ADAPTACIN CURRICULAR1EDUCACIN SECUNDARIAMatemticasJ. Colera, I. GazteluEsta serie de Matemticas responde a un proyecto pedaggico creado y desarrollado por Anaya Educacin para la ESO. En su elaboracin han participado:Autores: Jos Colera e Ignacio GazteluCoordinacin editorial: Mercedes Garca-PrietoEdicin: Carlos VallejoDiseo de cubiertas e interiores: Miguel ngel Pacheco y Javier SerranoTratamiento infogrfico del diseo: Javier Cullar, Patricia Gmez y Teresa MiguelEquipo tcnico: Aurora Martn e Isabel PrezCorreccin: Sergio BorbollaIlustraciones: Jess Aguado y Tatio VianaEdicin grfica: Nuria Gonzlez y Mar MerinoFotografas: Age Fotostock; Archivo Anaya: Candel, C.; Cosano, P.; Leiva, . de; Lpez-Archilla, A.; Martin, J.; Martn, J.A.; Padura, S.; Ramn Ortega, P. Fototeca de Espaa; Rivera Jove. V.; 6 x 6 Produccin Fotogrfica; Valls, R.;123 RF ; Cordon Press/Corbis; Getty Images; NASA; Prisma.Las normas ortogrficas seguidas son las establecidas por la Real Academia Espaola en su ltima edicin de la Ortografa, del ao 1999.ndiceContenidos Competencias Unidad1. Origen y evolucin de los nmeros 2.Aproximacin de nmeros naturales por redondeo 3. Operaciones con nmeros naturales1. Potencias 2. Potencias de base 10. Aplicaciones 3. Raz cuadrada Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... 1 Los nmeros naturales 2 Potencias y racesPgina 7Pgina 191. La relacin de divisibilidad......................... 282. Mltiplos de un nmero ............................. 303. Divisores de un nmero .............................. 314. Criterios de divisibilidad ............................. 325. Nmeros primos y compuestos.................. 336. Mnimo comn mltiplo de dos nmeros.. 347. Mximo comn divisor de dos nmeros Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... 3DivisibilidadPgina 273Esta serie de Matemticas responde a un proyecto pedaggico creado y desarrollado por Anaya Educacin para la ESO. En su elaboracin han participado:Autores: Coordinacin editorial: Edicin: Diseo de cubiertas e interiores: Tratamiento infogrfico del diseo: Equipo tcnico: Correccin: Ilustraciones:Edicin grfica:Fotografas: ndiceContenidos Competencias Unidad1. Origen y evolucin de los nmeros ............. 82.Aproximacin de nmeros naturales por redondeo.................................................... 103. Operaciones con nmeros naturales ............ 111. Potencias.................................................... 202. Potencias de base 10. Aplicaciones .............. 223. Raz cuadrada............................................. 24Ejercicios y problemas...........17Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin......................18Ejercicios y problemas...........26Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin......................26 1 Los nmeros naturales 2 Potencias y racesPgina 7Pgina 191. La relacin de divisibilidad......................... 282. Mltiplos de un nmero ............................. 303. Divisores de un nmero .............................. 314. Criterios de divisibilidad ............................. 325. Nmeros primos y compuestos.................. 336. Mnimo comn mltiplo de dos nmeros.. 347. Mximo comn divisor de dos nmeros..... 36Ejercicios y problemas...........38Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin......................39 3DivisibilidadPgina 27Contenidos Competencias Unidad1. Nmeros positivos y negativos .................... 422. El conjunto de los nmeros enteros............ 443. Sumas y restas de nmeros enteros .............. 454. Sumas y restas con parntesis...................... 475. Multiplicacin y divisin de nmeros enteros.501. Los rdenes de unidades decimales............. 562. Operaciones con nmeros decimales ........... 603. Divisin de nmeros decimales ................... 62Ejercicios y problemas...........52Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin......................53Ejercicios y problemas...........64Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin......................65 4 Los nmeros enteros 5 Los nmeros decimalesPgina 41Pgina 55Contenidos Competencias1. Las magnitudes y su medida ........................ 682. El Sistema Mtrico Decimal....................... 693. Medida de la longitud................................ 704. Medida de la capacidad.............................. 725. Medida del peso......................................... 736. Medida de la superficie ............................... 741. El significado de las fracciones.................... 802. Fracciones equivalentes ............................... 833. Algunos problemas con fracciones.............. 851. Reduccin a comn denominador.............. 902. Suma y resta de fracciones.......................... 913. Multiplicacin y divisin de fracciones....... 934. Algunos problemas con fracciones.............. 94Ejercicios y problemas...........76Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin......................77Ejercicios y problemas...........86Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin......................87Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... 6El Sistema Mtrico DecimalPgina 67 7 Las fraccionesPgina 79 8 Operaciones con fraccionesPgina 891. Letras en vez de nmeros............................1102. Expresiones algebraicas...............................1123. Ecuaciones4. Primeras tcnicas para la resolucinde ecuaciones 5. Resolucin de ecuaciones de primer gradocon una incgnita 6. Resolucin de problemas con ayuda de las ecuaciones Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... Pgina 109 10 lgebra1. Relacin de proporcionalidad entremagnitudes 2. Problemas de proporcionalidad directa.......1003. Porcentajes.................................................1024. Aumentos y disminuciones porcentuales .....Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... 9 Proporcionalidad y porcentajesPgina 971. Mediatriz y bisectriz ....................................1242. Simetras en las figuras planas 3. Relaciones angulares...................................1264. Medida de ngulos.....................................1275. ngulos en los polgonos............................129Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... 11Rectas y ngulosPgina 123UnidadContenidos Competencias Unidad1. Nmeros positivos y negativos .................... 422. El conjunto de los nmeros enteros............ 443. Sumas y restas de nmeros enteros .............. 454. Sumas y restas con parntesis...................... 475. Multiplicacin y divisin de nmeros enteros.501. Los rdenes de unidades decimales............. 562. Operaciones con nmeros decimales ........... 603. Divisin de nmeros decimales ................... 62Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... 4 Los nmeros enteros 5 Los nmeros decimalesPgina 41Pgina 55Contenidos Competencias1. Las magnitudes y su medida ........................ 682. El Sistema Mtrico Decimal....................... 693. Medida de la longitud................................ 704. Medida de la capacidad.............................. 725. Medida del peso......................................... 736. Medida de la superficie 1. El significado de las fracciones.................... 802. Fracciones equivalentes ............................... 833. Algunos problemas con fracciones.............. 851. Reduccin a comn denominador.............. 902. Suma y resta de fracciones.......................... 913. Multiplicacin y divisin de fracciones....... 934. Algunos problemas con fracciones.............. 94Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... Ejercicios y problemas........... Autoevaluacin...................... Ejercicios y problemas...........95Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin......................96 6El Sistema Mtrico DecimalPgina 67 7 Las fraccionesPgina 79 8 Operaciones con fraccionesPgina 891. Letras en vez de nmeros............................1102. Expresiones algebraicas...............................1123. Ecuaciones .................................................. 1144. Primeras tcnicas para la resolucinde ecuaciones .............................................. 1155. Resolucin de ecuaciones de primer gradocon una incgnita....................................... 1176. Resolucin de problemas con ayuda de las ecuaciones .............................................. 119Ejercicios y problemas........... 120Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin...................... 121Pgina 109 10 lgebra1. Relacin de proporcionalidad entremagnitudes................................................. 982. Problemas de proporcionalidad directa.......1003. Porcentajes.................................................1024. Aumentos y disminuciones porcentuales ..... 106Ejercicios y problemas........... 107Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin...................... 108 9 Proporcionalidad y porcentajesPgina 971. Mediatriz y bisectriz ....................................1242. Simetras en las figuras planas..................... 1253. Relaciones angulares...................................1264. Medida de ngulos.....................................1275. ngulos en los polgonos............................129Ejercicios y problemas........... 131Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin...................... 132 11Rectas y ngulosPgina 123UnidadContenidos Competencias Unidad1. Tringulos..................................................1342. Cuadrilteros..............................................1363. Polgonos regulares.....................................1384. Circunferencia............................................1395. Cuerpos geomtricos.................................. 1406. Poliedros .....................................................1417. Cuerpos de revolucin................................. 1421. Medidas en los cuadrilteros.......................1462. rea de un tringulo...................................1483. Medidas en los polgonos...........................1494. Medidas en el crculo .................................. 1501. Coordenadas cartesianas.............................1542. Informacin mediante puntos.................... 1553. Interpretacin de grficas ............................1564. Distribuciones estadsticas ...........................1575. Parmetros estadsticos ................................1586. Grficos estadsticos ....................................159Ejercicios y problemas........... 143Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin...................... 144Ejercicios y problemas........... 151Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin...................... 152Ejercicios y problemas........... 161Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasAutoevaluacin...................... 162Pgina 145 13 reas y permetros 12 Figuras geomtricasPgina 133 14Tablas y grficasPgina 153Todas las civilizaciones han tenido un sistema de nu-meracin. Estos han pasado de unos pueblos a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo.Desdelaprehistoriahastanuestrosdas,egipcios, babilonios, griegos, romanos, chinos, indios, rabes, mayas han manejado sistemas muy diversos, con similitudes y diferencias.Los sistemas de numeracin sirven para escribir n-meros y, as, recordarlos y transmitirlos. Pero deben servir,tambin,paraoperarconellos.Piensaenel sistemadenumeracinromano(queyaconoces)e imagina cmo se las apaaran para efectuar sumas. PorejemploMCCCXLVI+DCCCXXXIV.Segu-ramentelosagruparanenunidades,decenas,cen-tenasM CCC XL VI DCCCXXXIVMMCLXX XMMCLXXXNo parece fcil. Pues imaginemos lo complicado que tendra que ser multiplicar.Elsistemadenumeracinegipcioestandifcilde manejarcomoelromano.Paramultiplicardosn-meros,disearonuncuriosoprocedimientobasado enduplicacionessucesivas.Enlapginasiguiente podrs ver en qu consiste.1Los nmerosnaturalesDEBERS RECORDAR El sistema de numeracin decimal. Cmo se operan nmeros naturales. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.78 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD19 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.8Los nmeros surgen de la necesidad de contar.Podemos imaginar al hombre primitivo haciendo muescas en su cayado o ensar-tando semillas en un collar para llevar la cuenta de las cabras de su rebao.Cuandolasociedadevoluciona(intercambios,comercio)sehacenecesa-rio expresar nmeros ms grandes. Para eso hubo que inventar smbolos. Por ejemplo: 5 20 (los 20 dedos de una persona)Los smbolos utilizados por una cultura y sus normas de uso forman un sistema de numeracin. ejemploObserva cmo se escribira con los smbolos anteriores el nmero 47:El sistema de numeracin egipcio: un sistema aditivoLos egipcios usaban estos smbolos:unodiezcienmilSetratadeunsistemaaditivo,porque,paraescribirunnmero,sevanaa-diendo (sumando) los smbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada. El sistema de numeracin romanoLos romanos, como ya sabes, utilizaban algunas letras a las que daban valores numricos:I V X L C D Muno cinco diez cincuenta cincuent cincuent cien quinientos q q milEstos smbolos se utilizaban tambin de forma aditiva, excepto para escribir 4, 9, 40, 90; en estos casos se resta el signo menor colocado a la izquierda.Por ejemplo: xiv xc cx mcclxxx{ {{ 1490110 1280Origen y evolucin de los nmeros171435 1435El sistema de numeracin decimal: un sistema posicionalNosotros usamos el sistema de numeracin decimal, que naci en la India en el siglo vii y lleg a Europa por medio de los rabes.Como sabes, utiliza solo diez smbolos o cifras:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Cadacifrapuedeocupardistintasposiciones,quesonlosdiferentesrdeneso categoras de unidades.En este sistema, diez unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del or-den inmediato superior. As, el valor de una cifra depende del lugar que ocupa. Por eso decimos que es un sistema posicional.ActividadesDM UM C D U3 0 0 0 05 0 0 03 0 01 083 5 3 1 8M CM DM UM C D U4 03 0 02 0 0 05 0 0UNIDADES DE MILLNCENTENAS DE MILLARDECENAS DE MILLARUNIDADES DE MILLARCENTENAS DECENAS UNIDADES 3 5 3 1 810110130000 unidades300 unidades9 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD19 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.8 ejemploEl sistema de numeracin egipcio: un sistema aditivo El sistema de numeracin romanoOrigen y evolucin de los nmeros1El sistema de numeracin decimal: un sistema posicionalNosotros usamos el sistema de numeracin decimal, que naci en la India en el siglo vii y lleg a Europa por medio de los rabes.Como sabes, utiliza solo diez smbolos o cifras:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Cadacifrapuedeocupardistintasposiciones,quesonlosdiferentesrdeneso categoras de unidades.En este sistema, diez unidades de un orden cualquiera hacen una unidad del or-den inmediato superior. As, el valor de una cifra depende del lugar que ocupa. Por eso decimos que es un sistema posicional.1 Escribe los nmeros 14, 25, 28 y 52 en un sistema de numeracin aditivo que utiliza estos smbolos: = 1 = 5 = 202 Qu nmeros representan estos grabados egipcios?:3 Escribe en nmeros romanos las siguientes cantidades:a) 42 b) 159 c) 21854 Qu nmero se ha escrito en cada recuadro?:a) XLIX b) CCLX c) MCCCVI5 Observa y contesta:a) Cuntos millares hay en 40 centenas?b)Cuntas decenas son tres unidades de millar?c) Cuntos millares hay en dos millones?d)Cuntas unidades de millar forman medio milln?ActividadesDM UM C D U3 0 0 0 05 0 0 03 0 01 083 5 3 1 8M CM DM UM C D U4 03 0 02 0 0 05 0 0UNIDADES DE MILLNCENTENAS DE MILLARDECENAS DE MILLARUNIDADES DE MILLARCENTENAS DECENAS UNIDADES 3 5 3 1 810110130000 unidades300 unidades1010 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD111 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Cuando un nmero tiene muchas cifras, es difcil de recordar e incmodo para operar. Por eso lo solemos sustituir por otro ms manejable de valor aproxima-do, terminado en ceros. ejemplos268251270 00060351926000000La forma ms frecuente y prctica de realizar aproximaciones es el redondeo.Para redondear un nmero a un determinado orden de unidades: redondear redondear Se sustituyen por ceros todas las cifras a la derecha de dicho orden. Si la primera cifra sustituida es mayor o igual que cinco, se suma una uni-dad a la cifra anterior. ejemplosAproximaciones del nmero 293 518: A las centenas de millar 2 93 518 300 000 A las decenas de millar 29 3 518 290 000 A los millares 293 518 294 0001 Redondea a las decenas los siguientes nmeros:a) 96 b) 299c) 458d) 553e) 3087f ) 4906g) 6837h) 90602 Redondea a las centenas estas cantidades:a) 3502 b) 1696c) 2724d) 3310e) 6193 f ) 5924g) 6508h) 95383 Redondea a los millares estos nmeros:a) 24 963 b) 7 280c) 15 800 d) 59 300e) 40 274 f ) 55 555g) 39 785 h) 99 3994 Redondea a los millones las cantidades siguientes:a) 4 356000 b) 36 905000c) 1 584390 d) 15 326999e) 74 825048 f ) 13 457000g) 89 245321 h) 55 571000ActividadesLa casa cuesta270000 .La ciudad tiene6 millonesde habitantes.+1+1268251 6035192 habitantesA La sumaRecuerda que sumar es unir, juntar, aadir.583 + 162 + 45 + 38 = 828 euros La restaRecuerdaquerestaresquitar,suprimir,hallarloquefaltaoloquesobra;es decir, calcular la diferencia.Por ejemplo, si disponemos de 693 , para poder comprar el equipo de ciclista todava nos faltan:828 693 = 135 euros Uso del parntesisComoves,enlasexpresionesconoperacionescombinadas,losparntesis empaquetanresultadosparciales,modificandoelordenenquehandehacerse las operaciones. Algunas propiedades de la sumaPropiedadconmutativa:Lasumanovaraalcambiarelordendelos sumandos.a + b = b + aPropiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la for-ma en que se agrupen los sumandos.(a + b) + c = a + (b + c)Operaciones con nmeros naturales39 1 + 38 + 3119 (1 + 3)9 45162 38 45 583 EjemplosPropiedad conmutativa8 + 6 = 6 + 81414Propiedad asociativa(3 + 2) + 6 = 3 + (2 + 6)5 + 63 + 81111Aproximacin de nmeros naturales por redondeo21110 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD111 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Cuando un nmero tiene muchas cifras, es difcil de recordar e incmodo para operar. Por eso lo solemos sustituir por otro ms manejable de valor aproxima-do, terminado en ceros. ejemplos268 25127000060351926000000La forma ms frecuente y prctica de realizar aproximaciones es el redondeo. ejemplos ActividadesLa casa cuesta270000 .La ciudad tiene6 millonesde habitantes.+1+1268251 6035192 habitantesAunqueyasabesoperarconnmerosnaturales,convienequehagamosun rpido repaso de algunos conceptos y propiedades. La sumaRecuerda que sumar es unir, juntar, aadir.Por ejemplo, el equipo de ciclista que ves al margen cuesta, en total:583 + 162 + 45 + 38 = 828 euros La restaRecuerdaquerestaresquitar,suprimir,hallarloquefaltaoloquesobra;es decir, calcular la diferencia.Por ejemplo, si disponemos de 693 , para poder comprar el equipo de ciclista todava nos faltan:828 693 = 135 euros Uso del parntesisObservadosexpresionesformadasporlosmismosnmerosylasmismas operaciones, pero con resultados diferentes:Comoves,enlasexpresionesconoperacionescombinadas,losparntesis empaquetanresultadosparciales,modificandoelordenenquehandehacerse las operaciones. Algunas propiedades de la suma Propiedadconmutativa:Lasumanovaraalcambiarelordendelos sumandos.a + b = b + a Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la for-ma en que se agrupen los sumandos.(a + b) + c = a + (b + c)Operaciones con nmeros naturales39 1 + 38 + 3119 (1 + 3)9 45162 38 45 583 EjemplosPropiedad conmutativa8 + 6 = 6 + 81414Propiedad asociativa(3 + 2) + 6 = 3 + (2 + 6)5 + 63 + 81111Aproximacin de nmeros naturales por redondeo21212 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD113 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.1 Opera mentalmente.a) 20 + 6 b) 120 + 6c) 68 + 10 d) 168 + 10e) 64 + 54 f ) 164 + 54g) 73 + 71 h) 137 + 71i) 37 + 20 j) 237 + 20k) 61 + 16 l) 261 + 16m) 48 + 7 n) 348 + 7) 98 + 29 o) 298 + 242 Calcula mentalmente.a) 27 5 b) 27 + 10c) 15 2 d) 15 10e) 57 53 f ) 57 53 3g) 66 56 h) 66 56 5i) 34 25 j) 34 25 5k) 26 12 l) 26 12 7m) 54 31 n) 54 31 10) 71 38 o) 71 38 103 Calcula.a) 15 + 8 + 10 b) 15 + 8 + 20c) 13 11 + 7 d) 13 11 + 17e) 59 + 21 + 30 f ) 59 + 21 + 40g) 48 + 12 25 h) 48 + 12 35i) 68 24 12 j) 68 24 22k) 150 45 15 l) 150 45 5m) 240 + 60 70 n) 240 + 60 60) 315 30 85 o) 315 30 754 Calcula con lpiz y papel.a) 254 + 78 + 136b) 1 480 + 237 + 48c) 340 + 255 429d) 1 526 831 + 63e) 782 346 274f ) 1 350 1 107 585 Opera y compara los resultados en cada caso:a) 13 9 + 3 b) 13 + 3 913 (9 + 3)(13 + 3) 9c) 15 8 + 4 d) 15 + 4 815 (8 + 4)(15 + 4) 8e) 18 16 + 2 f ) 18 + 2 1618 (16 + 2)(18 + 2) 16g) 11 5 3 h) 11 3 511 (5 3)(11 3) 5i) 23 15 + 6 j) 23 + 6 1523 (15 + 6)(23 + 6) 15k) 35 20 5 l) 35 5 2035 (20 5)(35 5) 206 Jorge compra una camisa de 54 y unos pantalones de 79 . En la camisa le rebajan 6 , y en los panta-lones, 15 . Cunto gasta?7 Cunto pesa el elefante pequeo?8 Teresa gana 1670 al mes. Paga una letra de 384 y, adems, tiene unos gastos de 950 . Cunto ahorra cada mes?9 Paracomprarunsofde1458 yunsillnde 324 , la familia Antnez entrega 750 en efectivo y deja el resto aplazado. A cunto asciende la deuda contrada?Actividades1588 kg?845 kg 1107 kg La multiplicacinRPor ejemplo, si una entrada para el circo cuesta 38 , cinco entradas cuestan:38 + 38 + 38 + 38 + 38 = 38 5 = 190 Propiedades de la multiplicacin Propiedad conmutativa: El producto no vara al cambiar el orden de los factores.a b = b a Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicacin es independiente de la forma en que se agrupen los factores.(a b) c = a (b c) ejemplos Propiedad distributiva: El producto de un nmero por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del nmero por cada sumando.a (b + c) = a b + a ca (b c) = a b a c Problema resuelto(3 5) 4=3 (5 4)15 43 20606015 4=4 156060Clculo mental22 4511 2 9 59910 990Lapropiedadasociativanospermite reagruparlostrminos,ylaconmu-tativa, cambiarlos de orden.1312 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD113 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. Actividades1588 kg?845 kg 1107 kg La multiplicacinRecuerda queRR multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma repe multiplicar multiplicar tida de sumandos iguales.Por ejemplo, si una entrada para el circo cuesta 38 , cinco entradas cuestan:38 + 38 + 38 + 38 + 38 = 38 5 = 190 Propiedades de la multiplicacinPropiedad conmutativa: El producto no vara al cambiar el orden de los factores.a b = b aPropiedad asociativa: El resultado de una multiplicacin es independiente de la forma en que se agrupen los factores.(a b) c = a (b c) ejemplosPropiedad conmutativa: Propiedad asociativa:Propiedad distributiva: El producto de un nmero por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del nmero por cada sumando.a (b + c) = a b + a ca (b c) = a b a cUn fontanero trabaja cuatro horas por la maana y tres por la tarde. Si cobra 15 euros la hora, cunto gana en el da?Podemos resolver el problema de dos formas:maanatarde maana tarde15 (4 + 3) 15 4 + 15 315 7 60 + 45105 105 Comoves,ambasexpresionescoinciden,confirmandolapropiedaddistri-butiva.15 (4 + 3) = 15 4 + 15 3Problema resuelto(3 5) 4=3 (5 4)15 43 20606015 4=4 156060Clculo mental22 4511 2 9 59910 990Lapropiedadasociativanospermite reagruparlostrminos,ylaconmu-tativa, cambiarlos de orden.1414 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD115 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.10 Expresa los productos siguientes como sumas de su-mandos repetidos:a) 4 6 b) 10 4c) 32 3 d) 28 1e) 150 2 f ) 1 000 311 Opera mentalmente.a) 8 7 b) 8 7 10c) 36 3 d) 36 3 10e) 70 7 f ) 70 7 10g) 34 4 h) 34 4 10i) 60 2 j) 60 2 10k) 16 5 l) 16 5 10m) 15 3 n) 15 3 10) 87 8 o) 87 8 1012 Copia y completa estas multiplicaciones: 13 Multiplica mentalmente por 9 y por 11 como se hace en los ejemplos. 23 9 = 23 10 23 = 230 23 = 207 23 11 = 23 10 + 23 = 230 + 23 = 253a) 12 9 b) 12 11c) 15 9 d) 15 11e) 18 9 f ) 18 11g) 25 9 h) 25 11i) 27 9 j) 27 11k)33 9 l) 33 1114 Calcula y recuerda que para multiplicar por 10, 100, 1000, se aaden uno, dos, tres, ceros.a) 19 10 b) 12 100c) 15 1 000 d) 35 10e) 41 100 f ) 57 1 000g) 140 10 h) 230 100i) 460 1 00015 Copia, completa y comprueba que los resultados co-inciden.15 (6 2) 15 6 15 2- 15 16 Resuelve mentalmente.a) Enunbidndeaguacaben5litros.Cuntosli-tros hay en 20 bidones?b) Un kilo de almendras cuesta 12 . Cunto cuesta una bolsa de 5 kilos?c) Una caja de refrescos contiene 24 botellas. Cun-tas botellas hay en 10 cajas?d) Cunto cuesta cambiar las cubiertas de las cuatro ruedas de un coche a razn de 150 cada una?17 Un barco pesquero captura 240 kilos de merluza que sevendea11 elkilo.Culeselvalortotaldela captura?18 Unedificiotiene27 plantas.Encadaplantahay12 viviendas,yencadavivienda,7ventanas.Cuntas ventanas hay en el edificio?19 Enunagranjahay38vacasy15caballos.Cuntas patas suman en total?Actividades1 8 2941 7 4 57 8 6 55 29 01 2 6 09 82 8 7 46 9 9 3 4 La divisin Orden en que han de hacerse las operaciones ejemplos14 32EjemplosDivisin exacta:4080540 = 8 5Divisin entera:4383543 = 8 5 + 3Ejemplos1514 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD115 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. -Actividades La divisinRecuerda: Dividir es repartir en partes iguales. Cunto vale cada parte?Se distribuyen 150 bombones en 6 cajas iguales. Cuntos bombones irn en cadacaja?150 630 25 150 : 6 = 25 bombones por caja0 Dividir es partir un todo en partes de un tamao determinado. Cuntas par-tes se obtienen?Cuntas cajas de 25 bombones se llenan con 150 bombones?150 2500 6 150 : 25 = 6 cajas Una divisin puede ser exacta o entera dependiendo del valor del resto: Divisin exacta (el resto es cero). Divisin exacta Divisin exactaD d El dividendo es igual al divisor por el cociente.0 cccD =D D d d d c Divisin entera (el resto es distinto de cero). Divisin entera Divisin enteraD d El dividendo es igual al divisor por el cociente ms r ccc el resto.D =DD d dd c +cc r Orden en que han de hacerse las operacionesAl resolver expresiones con operaciones combinadas, debes tener en cuenta las normasdellenguajematemtico.Estasnormasaseguranquecadaexpresin tenga un significado y una solucin nicos. ejemplosEstas dos expresiones tienen distinto significado a pesar de estar formadas por los mismos nmeros y operaciones.En las expresiones con operaciones combinadas, hemos de atender: Primero, a los parntesis. Despus, a las multiplicaciones y a las divisiones. Por ltimo, a las sumas y a las restas.6 + 2 46 + 814(6 + 2) 48 432EjemplosDivisin exacta:4080540 = 8 5Divisin entera:4383543 = 8 5 + 3Ejemplosa) 2 + 3 7 4 = 2 + 21 4 == 23 4 = 19b) 2 + 3 (7 4) = 2 + 3 3 == 2 + 9 = 11c) (2 + 3) 7 4 = 5 7 4 == 35 4 = 3116 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.16 1720 Divide mentalmente:a) 46 : 46 b) 62 : 31c) 280 : 40 d) 640 : 80e) 360 : 40 f ) 476 : 68d)168 : 56 e) 138 : 6921 Averigua el cociente y el resto en cada divisin:a) 96 : 13 b) 713 : 31c) 5 309 : 7 d) 7029 : 26e) 49 896 : 162 f ) 80391 : 62922 Calcula mentalmente, teniendo en cuenta que dividir entre 5 es igual que dividir entre 10 y, despus, mul-tiplicar por 2.a) 60 : 5 b) 80 : 5 c) 120 : 5d) 140 : 5 e) 170 : 5 f ) 200 : 5g) 210 : 5 h) 340 : 5 i) 420 : 523 Completa los ejemplos y, despus, calcula.(80 : 20) : 4 80 : (20 : 4) : : X Xa) (50 : 10) : 5 b) 50 : (10 : 5)c) (36 : 6) : 2 d) 36 : (6 : 2)e) (30 : 5) 2 f ) 30 : (5 2)g) (36 : 6) 3 h) 36 : (6 3)24 Resuelve mentalmente.a) Cuntas docenas salen de una bandeja de 60 pas-teles?b) Un grupo de 120 excursionistas se reparte en tres autobuses. Cuntos suben a cada autobs?c) Cuntas horas son 240 minutos?d) Cincuentacaramelospesan450gramos.Cunto pesa cada caramelo?25 Un camin transporta 14 caballos que suponen una carga de 4 830 kilos. Cunto pesa, por trmino me-dio, cada caballo?26 Cincoamigosgananunpremiode13285 enlas quinielas. Qu cantidad corresponde a cada uno?27 Calcula como en el ejemplo. 12 2 412 2 4 = 12 8 = 412 84a) 8 + 5 2 b) 13 4 3c) 5 + 6 : 3 d) 15 10 : 5e) 4 2 + 7 f ) 4 6 13g) 15 : 3 + 10 h) 5 6 1828 Opera como en el ejemplo. (17 5) : 3(17 5) : 3 = 12 : 3 = 412 : 34a) (7 + 2) : 3 b) (8 5) 2c) (8 + 2) 4 d) (13 5) : 4e) 5 (7 + 5) f ) 3 (15 10)g) 36 : (2 + 7) h) 15 : (18 13)29 Calcula mentalmente y compara los resultados.a) 2 + 3 4 (2 + 3) 4b) 6 2 3 (6 2) 3c) 15 4 3 (15 4) 3d) 5 2 + 4 5 (2 + 4)e) 2 15 10 2 (15 10)30 Resuelve siguiendo los pasos del ejemplo. 4 5 3 4 220 12 24 5 3 4 2 == 20 12 2 =8 2= 8 2 = 66a) 4 6 + 3 6 25 b) 3 5 12 + 3 6c) 6 3 4 7 d) 28 4 5 + 3e) 6 5 10 + 8 : 4 f ) 19 + 10 : 2 8 3g) 15 : 3 + 4 2 + 3 4 h) 4 7 4 2 3 5Actividades:590 18:10 29 UNIDAD1Sistemas de numeracinUtilidades de los nmerosOperaciones6 7 8 9 Interpreta, describe, exprsate10Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasEjercicios y problemas17 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.16 17XX Actividades UNIDAD1Sistemas de numeracin1Escribe en el sistema aditivo egipcio cada uno de esos nmeros:a) 48 b) 235 c) 2 1302Traduce,alsistemadecimal,estosnmeros romanos:a) xiv b) lxxiii c) lxixd) ccxvii e) dcxc f ) mcmlviUtilidades de los nmeros3Una familia tiene dos coches cuyas matrculas son:a) Cul de los dos coches es ms antiguo?b)Escribe la matricula siguiente en cada caso (es de-cir, la del coche que se matricul inmediatamen-te despus).c)Escribedosmatriculasconsecutivasdemanera que ninguna de las cifras de una y otra coincidan.d)Escribedosmatriculasconsecutivasquetengan diferentes las tres letras.4Estos son los nmeros de varias habitaciones en un hotel de playa.401 235724 231a) Una de ellas est al final del pasillo. Cul es?b) Otra est en la ltima planta. Qu nmero tiene?c) Cules de ellas estn a la misma altura?5Lees, en un anuncio, que una vivienda se ven-de por 293528 . Unos das despus lo comentas con un amigo, pero no te acuerdas exactamente del precio. Cul de las siguientes expresiones elegiras para transmitir la informacin? (Explica por qu.) Cuesta casi trescientos mil euros. Cuesta doscientos y pico mil. Cuesta doscientos noventa mil.OperacionesSumas y restas6Calcula.a) 5 + 7 3 4 b) 18 4 5 6c) 10 6 + 3 7 d) 8 + 5 4 3 5e) 12 + 13 + 8 23 f ) 40 18 12 6Multiplicacin y divisin7Multiplica.a) 16 10 b) 128 10 c) 60 10d) 17 100 e) 85 100 f ) 120 100g) 22 1000 h) 134 1 000 i) 140 1 0008Calcula el cociente y el resto en cada caso:a) 2647 : 8 b) 1345 : 29c) 9045 : 45 d) 7482 : 174e) 7971 : 2 657 f ) 27 178 : 254Operaciones combinadas9Opera:a) 2 (4 + 6) b) 2 4 + 6c) 8 : (7 5) d) 5 7 5e) (5 + 6) 4 f ) 5 + 6 : 3g) (19 7) : 2 h) 18 7 2Interpreta, describe, exprsate10 Escribeunanicaexpresinaritmticaque lleve a la solucin de este problema:ProblemaUnhortelanolleva llev llev al mercado mer mer 85kgdetomates y35 kg de frambuesas. fr fr Si SS vende los tomates a 2/kg y las frambuesas fr fr a 3/kg, cunto obtendr obtendr obtendr por laventa de la mercanca?Consolida lo aprendido utilizando tus competenciasEjercicios y problemasAB1818 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Resuelve problemas1 La oca mediana pesa 850 g ms que la pequea y 1 155 g menos que la grande. Cunto pesan entre las tres?2 Un camin de reparto transporta 15 cajas de re UU -frescos de naranja y 12 cajas de limn. Cuntas botellas lleva en total si cada caja contiene 24 unidades?3 Un pueblo tiene dos mil habitantes, pero se es-peraqueenlosprximosdiezaosaumentesupo-blacinenun50%.Qupoblacinseesperapara dentro de diez aos?4 Un mayorista de alimentacin compra 150 sa-cos de patatas de 30 kg por 2 000 . Despus, al seleccionar la mercanca, desecha 300 kg y envasa el resto en bolsas de 5 kg, que vende a 4 la bolsa. Qu ganancia obtiene?5 Un apicultor tiene 187 colmenas con una pro-duccin de dos cosechas al ao, a razn de 9 kilos de miel por colmena en cada cosecha. La miel se envasa en tarros de medio kilo y se co-mercializa en cajas de seis tarros que se venden a 18 euros la caja.Qu beneficio anual produce el colmenar?6 Observa la grfica correspondiente a la distribu-cin,porsectoreseconmicos,deloshabitantesde una ciudad de 48000 habitantes: Cuntos habitantes de la ciudad pertenecen al sec-tor servicios?Ejercicios y problemasConsolida lo aprendido utilizando tus competenciasAGRIC. GANAD. IND. SERV.Autoevaluacin 1 Aqu tienes una cantidad escrita en distintos sistemas de numeracin:3 290MMMCCXCa) Qu sistemas son?b) Di sin son aditivos o posicionales.2 Escribe las siguientes cantidades con letras o con cifras, segn corresponda.a) Ochocientos cuarenta y tres mil.b) Trece millones doscientos ochenta mil.c) 1 500 000d) 350000 0003 Una ciudad tiene 839000 habitantes. Expresa esa can-tidad:a) Redondeando a las centenas de millar.b) Redondeando a las decenas de millar.4 Calcula los trminos que faltan en cada caso:a) 143 + = 237 = 237 b) 133 = 85c) 25 = 175 d) : 15 = 135 Coloca los parntesis para que las siguientes igualdades sean ciertas:a) 8 5 3 = 9 b) 8 4 5 = 12c) 6 3 1 + 2 = 24 d) 6 3 1 + 2 = 146 Tienesunbuenmontndemonedasde50,20y10 cntimos. De cuntas formas diferentes puedes juntar un euro? Justifca tu respuesta.7 Un hortelano tiene dos campos con 160 y 213 manza-nos, respectivamente. Espera cosechar, por trmino me-dio, 35 kg de manzanas por rbol. Al recoger la cosecha, la envasar en cajas de 10 kg.a) Cuntos kilos de manzanas espera recoger?b) Cuntas cajas de 10 kilos llenar?19Lasmatemticassiemprefueronunaherramienta pararesolverproblemascotidianos.Cuntomide esteterreno?Cmohemosderepartirnoslacose-cha? Cmo utilizar las estrellas para orientarnos?En el siglo vi a.C., apareci el primer gran terico de las matemticas: Pitgoras. Este griego, gran viajero, acabasentndoseenelsurdeItalia,dondefund una secta mstico-cientfca que renda culto a la as-tronoma.Lospitagricos,eneltratamientodelosnmeros, distinguan entre aritmtica yaritmtica aritmtica logstica. La primera es-tudiaba las propiedades tericas de los nmeros. La segunda no estudiaba nada, solo se dedicaba a calcu-lar.Comoconsiderabanlalogsticaunatareainfe-rior, solo se ocuparon de la aritmtica. Relacionaron losnmerosconlageometra.Aelloslesdebemos las palabras cuadrado y cubo referidas a los nmeros.Tressiglosdespusapareceenescenaotrogriego: Arqumedes.Ademsdegranmatemtico,fueun extraordinario calculista. Y gracias a esto, ide un sis-tema para describir nmeros enormes. Estaba basado enlaspotenciasdebase10,queestudiarsenesta unidad.2Potenciasy racesDEBERS RECORDARCmo se multiplica un nmero por la unidad seguida de ceros.Cmo se aproxima un nmero. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.2020UNIDAD221Potencias1Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales:a aa a aa a aa a aa a =aa a5En las potencias, el factor repetido se llama base, y el nmero de veces que se repite, exponente. ejemplos Expresar en forma de potencia:3 3 3 3 = 342 2 2 2 2 = 25 Calcular:53 = 5 5 5 = 125 104 = 10 10 10 10 = 10000 El cuadrado de un nmeroEl cuadrado de un nmero es la potencia de exponente 2. ejemploEl cuadrado de 5 es:52 = 5 5 = 25(25 cuadraditos) El cubo de un nmeroEl cubo de un nmero es la potencia de exponente 3. ejemploEl cubo de 5 es:53 = 5 5 5 = 125(125 cubitos)a5Se lee8exponentebaseaelevado a cinco. a aoaelevado a la quinta. a aActividadesPOTENCIA BASE EXPONENTE265 3a4m 5 Las potencias en la calculadora ejemplo{|\}***{\}{}{\}{|\}55555No lo olvidesLapotenciadeexponente0deun nmero es igual a 1. Por ejemplo:50 = 1 10 = 1 1340 = 1 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.2120UNIDAD221Potencias1 ejemplos El cuadrado de un nmeroEl cuadrado de un nmero es la potencia de exponente 2. ejemploEl cuadrado de 5 es:52 = 5 5 = 25(25 cuadraditos) El cubo de un nmeroEl cubo de un nmero es la potencia de exponente 3. ejemploEl cubo de 5 es:53 = 5 5 5 = 125(125 cubitos)1 Expresa con una potencia.a) 6 6 b) 6 6 6c) 7 7d) 5 5e) 10 10 10 f ) 4 4 4 4 g) 3 3 3 3 3 3 h) 10 10 10 10 102 Expresalaspotenciassiguientescomoproductode factores repetidos:a) 34b) 27c) 93d) 152e) 106f ) 2043 Copia y completa.a) m m m = m b) x x x x =xx xc) a aa a aa a a a a =a a4d) y y y y =y y2e) .................... = b3f ) .................... = n54 Completa la tabla.5 Calcula mentalmente.a) 23b) 52c) 43d) 203e) 104f ) 1126 Calcula con lpiz y papel.a) 28b) 35c) 94d) 152e) 123f ) 304g) 205h) 852i) 1003j) 3242k) 153l) 957 Obtn el valor de estas potencias con ayuda de la cal-culadora:a) 115b) 374c) 623d) 1363e) 1014f ) 1404g) 375h) 147i) 266j) 333ActividadesPOTENCIA BASE EXPONENTE265 3a4m 5 Las potencias en la calculadoraLas potencias, excepto en los casos ms sencillos, arrojan como resultados nme-ros grandes. ejemplo85 = 8 8 8 8 8 = 64 8 8 8 = 512 8 8 = 4096 8 = 32768Comoves,losclculosresultanrutinariosymolestos,porloquesesuelen hacer con una calculadora: En una calculadora cientfca utilizaremos la tecla :85 88 5 =8{|\} En las calculadoras sencillas, utilizaremos las teclas* e =:8588** = = = =828{\}838{}848{\}858{|\}No lo olvidesLapotenciadeexponente0deun nmero es igual a 1. Por ejemplo:50 = 1 10 = 1 1340 = 1 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.2222UNIDAD223 Yasabesqueparamultiplicarpor10bastaaadiruncero.TeniendoestoenY Ycuenta, el clculo de las potencias de base 10 resulta sencillo y has de ser capaz de realizarlo mentalmente:102 = 10 10 =............................................................... 100103 = 10 10 10 =..................................................... 1000104 = 10 10 10 . 10 =............................................ 10 000105 = 10 10 10 10 10 =................................... 100 000109 =............................................................ 10000000009 cerosObserva que el nmero de ceros del resultado coincide con el exponente de la potencia.Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente.7 ceros107 = 10000000Comopuedescomprobar,escribireinterpretarnmerosgrandesutilizando potencias de base 10 es mucho ms cmodo, pues su orden de magnitud ya nos viene dado por el exponente y no es necesario contar los ceros:1000000000 0001012Potencias de base 10. Aplicaciones2En un gramo de plata hay 5600000000000000000000 tomos.5 600 000 000 000 000 000 000 20 cifrasEn un gramo de plata hay56 1020 tomos. Expresin abreviada de nmeros grandesY ejemploActividades1 Expresa con todas sus cifras.a) 101b) 106c) 108d) 109e) 1010f ) 1011g) 1013h) 1014i) 1015j) 1017k) 1018l) 10202 Escribe como potencias de base 10.a) Una decena.b) Una centena.c) Un millar.d) Un milln.e) Mil millones.f ) Un billn.Actividades GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.92322UNIDAD223YU1000000 0000001012Potencias de base 10. Aplicaciones2En un gramo de plata hay 5600000000000000000000 tomos.5600000 000000 000 000 000 20 cifrasEn un gramo de plata hay56 1020 tomos. Expresin abreviada de nmeros grandesYa has observado que el tamao de un nmero con muchos ceros se percibe me YY -jor si se expresa con una potencia de base 10:100000000000 000 = 1014Ahora vamos a aprovechar este recurso para facilitar la expresin y la comprensin de nmeros muy grandes. ejemploUn ao luz equivale, aproximadamente, a 9500000000000 kilmetros.Observalastransformacionesqueproponemosparahaceresacantidadms manejable: 9500000000000 95 100000000000 95 1011Diremos, entonces, que un ao luz equivale a 95 1011 kilmetros.Como ves, se trata de una cantidad ms fcil de leer, de escribir y de recordar. Descomposicin en producto por la unidad seguida de ceros. Transformacin del segundo factor en potencia de base 10.3 Transforma como en el ejemplo: 240000 = 24 104a) 9000 b) 72000c) 460 000 b) 24000 0004 Expresa con todas sus cifras.a) 4 105b) 7 107c) 15 109d) 18 1012e) 86 1014f ) 91 10185 Elnmerodeglbulosrojosqueunserhuma-notieneenlasangreesveinticincomilmillones (25000000000).Expresa esa cantidad en forma abreviada.6 El nmero de molculas elementales en un litro de agua es 330000000000000000000000, aproximadamente. Expresa esa cantidad en forma abreviada.ActividadesActividades GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.92424UNIDAD225Raz cuadrada3 Actividades GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Calcular la raz cuadrada es hacer la operacin inversa de elevar al cuadrado.b2 = a aa5a= b ejemplos 42 = 16816= 4La raz cuadrada de 16 es 4. 152 = 2258225= 15La raz cuadrada de 225 es 15.= b bb8Se lee: la raz cuadrada deaes igual a a a b. Races exactasLosnmeroscuyarazesexactasellamancuadradosperfectos.Porejemplo, son cuadrados perfectos 36, 100 400.36= 6 100= 10 400= 205 5 562 = 36 102 = 100 202 = 400 Races enterasPara la mayora de los nmeros, la raz no coincide con una cantidad exacta de unidades enteras.Busquemos, por ejemplo, la raz de 40:Al nmero natural que ms se aproxima, por debajo, a la raz, lo llamamos raz entera.40 68La raz entera de 40 es 6.La raz cuadrada de 40 es unnmero comprendido entre 6 y 7. 62 = 36 < 40 72 = 49 > 408 6 < < 7 40 < < 7 < < 7No lo olvidesTE CONVIENE MEMORIZAR LOS PRIMEROS CUADRADOS PERFECTOS12 = 1102 = 10022 = 4112 = 12132 = 9122 = 14442 = 16132 = 16952 = 25142 = 19662 = 36152 = 22572 = 49162 = 25682 = 64172 = 92 = 81182 = 1. 2. Ejercicios resueltosa = = razradicando2524UNIDAD225Raz cuadrada31 Copia y completa como en el ejemplo. 25 = 58La raz de 25 es igual a 5.a) 49= 78b) 64= 8c) 81= 82 Calcula mentalmente.a) 4 b) 9c) 36 d) 400e) 900 f ) 3 600g) 4 900 h) 6 400i) 8 100 j)10 0003 Calcula la raz entera en cada caso:a) 5 b) 10 c) 24 d) 32e) 39 f ) 50g) 68 h) 92i)105 j)1104 Escribeloscuadradosperfectoscomprendidosentre 200 y 900.152 162172182 302225

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324 9005 Calcula, teniendo en cuenta los resultados del ejerci-cio anterior.a) 289 b) 361c) 484 d) 576e) 676 f ) 8416 Observaelcuadroycalculaindicandosilarazes exacta o entera.502 = 2500 512 = 2601 522 = 2704532 = 2809 542 = 2916 552 = 3025a) 2550 b) 2601c) 2725 d) 2815e) 2916 f ) 2929Actividades GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.C5 ejemplos Races exactas 5 5 5 Races enteras No lo olvidesTE CONVIENE MEMORIZAR LOS PRIMEROS CUADRADOS PERFECTOS12 = 1102 = 10022 = 4112 = 12132 = 9122 = 14442 = 16132 = 16952 = 25142 = 19662 = 36152 = 22572 = 49162 = 25682 = 64172 = 92 = 81182 = 1. Calcular mentalmente900 .x2 = 9008302 = 9008 900= 308Raz exacta2.Teniendo en cuenta los datos del cuadro, TTcalcular 1440 ,1444y1580 . 378Raz entera = 388Raz exacta 398Raz enteraEjercicios resueltos14401444 = 38 = 381580372 = 1369382 = 1444392 = 1521402 = 16002626Clculo de potencias1Calcula mentalmente.a) 24b) 63c) 35d) 204e) 3002Calcula con lpiz y papel.a) 55b) 95c) 110d) 153e) 1643Obtn con la calculadora.a) 412b) 510c) 453d) 674e) 993 Potencias de base 10. Expresin abreviada de nmeros grandes4Escribe con todas sus crifras.a) 102b) 106c) 1010d) 1012e) 10165Expresa con todas sus cifras.a) 13 107b) 34 109c) 62 10116Transforma como en el ejemplo. 180000 = 18 104a) 5 000 b) 1 700000 c) 4000000000Raz cuadrada7Copia y completa como en el ejemplo.82 = 64564 = 8a)2 = 36536 = b)2 = 2565256 = 8Calcula, por tanteo, la raz exacta o la entera.a) 90 b) 121 c) 1785Resuelve problemas9 Para cubrir el suelo de una habitacin cuadra-da,sehancolocado22filasde22baldosascada una. Cuntas baldosas se han utilizado?10 Martahaconstruidoun cubogrande,de10centmetros dearistajuntandocubitospe-queosdemadera,de1cmde arista.Cuntoscubitoshaem-pleado?11 Una finca cuadrada tiene una superficie de 900UUmetros cuadrados. Cuntos metros lineales de alam-brada habra que comprar para cercarla?12 Observa el cubo de la ilustracin formado por 5 5 5 cubitos unitarios.a) Supn que lo pintamos de rojo. Cuntos cubi-tos unitarios habran quedado parcialmente pin-tados?b)Supnqueloqueremoshacermsgrande,re-cubrindolocompletamenteconunacapade cubitosverdes.Cuntoscubitosverdesnecesi-taramos?Ejercicios y problemasConsolida lo aprendido utilizando tus competencias GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.1 Calcula:a) 72b) 1042 Completa:a) 2= 8 b) 2 = 363 Calcula:a) 103b) 1074 Escribe en la notacin abreviada el nmero 45 000000.5 Completa:a) 36 = b) 400 = c)10000 = d) = 3 e) = 8 f ) = 306 Cuntoscuadrosdemoqueta,deunmetrodelado, necesitas para cubrir el suelo de una nave cuadrada de 30 metros de lado? (Haz un dibujo antes de resolverlo.)7 Hctorquieredibujarunacuadrcula,igualdeancha que de alta, que contenga 225 cuadros. Cuntas flas y cuntas columnas debe poner?Autoevaluacin 27Alejandra,fundadaporAlejandroMagnoenelsi- glo iv a.C., pas a ser el centro cultural (cientfico, artstico) de la civilizacin griega.Euclides, sabio griego del siglo iii a.C., vivi en Ale-jandra, donde fund una gran escuela de matem-ticas.Recopilysistematiztodoelconocimiento matemticodesupoca.Peronoselimitaesto: fue,adems,ungraninvestigadorquecontribuy con numerosas aportaciones.Euclidesplasmsuobraenunacoleccindetre-ce libros que se denominaron Elementos. La mayor parte de estos libros estaban dedicados a la geome-tra, y solo cuatro de ellos, a la aritmtica. En estos desarroll,entreotrascosas,lateoradeladivisi-bilidad:nmerosprimosycompuestos,divisores, mltiplos, etc.Los Elementos de Euclides han sido estudiados y ad-mirados en todas las pocas.3DivisibilidadDEBERS RECORDAR La divisin exacta y la divisin entera.Algunas tcnicas de clculo mental para multiplicar y dividir. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.28 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD329 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.28Dos nmeros estn emparentados por la relacin de divisibilidad cuandorelacin de divisibilidad relacin de divisibilidaduno cabe en el otro una cantidad exacta de veces; es decir, cuando su cocien-te es exacto.Observa los ejemplos siguientes: En una estantera de 80 cm caben, exactamente, cuatro cazuelas de 20 cm.80 20820 cabe un nmero 8 80 es divisible entre 20.0 4 exacto de veces en 80. Sinembargo,enunaestanterade80cmnoencajaunacantidadexactade fuentes de 25 cm.80 25825 no cabe en 80 un 8 80 no es divisible entre 25.5 3nmero exacto de veces.Mltiplos y divisoresCuando dos nmeros estn emparentados por la relacin de divisibilidad, deci-mos que: El mayor es mltiplo del menor. El menor es divisor del mayor. divisor divisor ejemplo40 840 es mltiplo de 8.0 58 40 = 8 5 8 8 es divisor de 40.divisin exacta408

8

8

8

8 aes mltiplo debo lo que es igualsi la divisina : bes exacta. bes divisor deaLa relacin de divisibilidad1Ten en cuentaCada divisor de un nmero lleva otro emparejado.408405

05088 es divisor de 40.5 es divisor de 40.Relacin de divisibilidaddivisin exacta.aes divisible entreb.aes mltiplo deb.bes divisor dea.ab0c Actividades29 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD329 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.28Mltiplos y divisores ejemploaes mltiplo debo lo que es igualsi la divisina : bes exacta.bes divisor deaLa relacin de divisibilidad1Ten en cuentaCada divisor de un nmero lleva otro emparejado.408405

05088 es divisor de 40.5 es divisor de 40.Relacin de divisibilidaddivisin exacta.aes divisible entreb.aes mltiplo deb.bes divisor dea.ab0c1 Copia y completa.4088 40 es divisible entre 5.0 5a) 35 88 35 no es34b) 42 68 c) 100 258 d) 108 188 2 Di en cada caso siaes d aa ivisible entreby justifica tubbrespuesta, como en el ejemplo: a = 78 aa 78 6878 es divisible entre 6, b = 6 bb 1813porque su cociente es0exacto.a) a = 90 aab = 30 bbb)a = 185 aab = 15 bbc) a = 182 aab = 14 bbd)a = 2 030 aab = 10 bb3 Di si los nmeros de cada pareja estn emparentados por la relacin de divisibilidad:a) 224 y 16 b) 420 y 35c) 613 y 13 d) 513 y 19e) 688 y 44 f ) 2 070 y 464 Encuentra, al menos, cuatro parejas de nmeros em-parentados por la relacin de divisibilidad.

5 Verdadero o falso?a) 15 est contenido exactamente 4 veces en 60.b) 75 est contenido exactamente 3 veces en 225.c) 42 es divisible entre 7.d) 54 es divisible entre 8.e) 65 contiene a 13 un nmero exacto de veces.6 Copia y completa, como en el ejemplo. 18318 es mltiplo de 6. 8 066 es divisor de 18.a)18918 es de 2. 8 022 es de 18.b) 205 8 04 c)104 138 0087 Explica con claridad por qu 518 es mltiplo de 37.8 Es 23 divisor de 345? Razona tu respuesta.9 Busca:a) Tres nmeros que sean divisores de 40.b) Tres nmeros que sean mltiplos de 7.c) Tres nmeros que sean divisores de 770.d) Tres nmeros que sean mltiplos de 50.10 Busca entre estos nmeros:5 10 15 20 3035 45 60 75 90a) Todos los que sean divisores de 90.b) Todos los que sean mltiplos de 3.11 Considera estos nmeros:8 10 20 24 3045 60 75 95 120a) Cules son mltiplos de 4? b) Cules son mltipos de 10? c) Cules son mltiplos de 15?Actividades420137090119181566213030 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD331 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Los mltiplos de un nmero son otros nmeros, de igual o mayor tamao, que locontienenunacantidadexactadeveces.Porejemplo,observalalongitud recorrida por la rana en sucesivos saltos de 20 centmetros:Los nmeros 20, 40, 60, 80, contienen a 20 una cantidad exacta de veces; es decir, todos ellos son mltiplos de 20.Observa, tambin, que se obtienen multiplicando 20 por un nmero natural, y que la serie puede continuar indefinidamente.20 5 20 6 20 7 20 8 9 9 9 9100 120 140 160 Los mltiplos de un nmero natural,a,se obtienen al multiplicaraporaacualquier otro nmero naturalk: a aa k kk 8mltiplo dea Todo nmero natural,a,es mltiplo a 1 =aa ade s mismo y de la unidad. Un nmero distinto de cero tiene infinitos mltiplos.1 Escribe.a) Tres mltiplos de 5.b) Tres mltiplos de 12.c) Tres mltiplos de 19.d) Tres mltiplos de 30.2 Aade cuatro trminos a cada una de estas series:a) Mltiplos de 686, 12, 18, 24, b) Mltiplos de 15815, 30, 45, 60, c) Mltiplos de 53853, 106, 159, 212, 3 Busca,entreestosnmeros,losqueseanmltiplos de 6:10 12 1630 42 5460 7690148 1744 Escribe los diez primeros mltiplos de 25.5 Escribe los veinte primeros mltiplos de 5. Fjate en laltimacifra.Quobservas?Cmosabes,deun vistazo, si un nmero es mltiplo de 5?ActividadesMltiplos de 2020 1 = 2020 2 = 4020 3 = 6020 4 = 80

920 kNotacinCuando nos referimos a un mltiplo deunnmero,podemosescribirlo con un punto encima, as:78mltiplo de 7a8mltiplo dea18 = 3818 es mltiplo de 3.Mltiplos de un nmero2Divisores de un nmero3ActividadesDivisores de 2020 : 1 = 2020 : 2 = 1020 : 4 = 520 : 5 = 420 : 10 = 220 : 20 = 1Divisores de 30Bsqueda de los divisores de 30:: 1 = 30 : 2 = 15 30: 3 = 10 : 4 : 5 = 6 Los divisores de 30 son:1235 30151063130 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD331 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.ActividadesMltiplos de 2020 1 = 2020 2 = 4020 3 = 6020 4 = 80

20 kNotacinCuando nos referimos a un mltiplo deunnmero,podemosescribirlo con un punto encima, as:7 mltiplo de 7amltiplo dea18 = 318 es mltiplo de 3.Mltiplos de un nmero2Divisores de un nmero3Los divisores de un nmero son otros nmeros, de igual o menor tamao, que estn contenidos en l una cantidad exacta de veces.Observa,porejemplo,lasdistintasformasdedividirungrupode20chicosy chicas en equipos iguales:Cada uno de los nmeros 1, 2, 4, 5, 10 y 20 est contenido en 20 una cantidad exacta de veces. Por tanto, todos ellos son divisores de 20.Como puedes comprobar, forman parejas cuyo producto es 20:1 202 104 5 Para obtener todos los divisores de un nmero,a,buscamos las divisio-nes exactas: Todo nmero es divisor de s mismo.8a :aa a = 1 aa El 1 es divisor de cualquier nmero.8a : 1 =aa aa :aa b =bb c cca :aa c =cc b bb8a =aa b bb c cc 8Entoncesby bb csoncc divisores dea.1 Encuentra todos los divisores de cada uno de los n-meros siguientes:a) 8 b) 12c) 15 d) 28e) 36 f ) 55g) 60 h) 802 Encuentra todos los divisores de:a) 7 b) 13 c) 17 d) 29Qu observas?3 Decuntasformasdiferentessepuedenrepartiren equipos iguales los 24 alumnos y alumnas de una cla-se?Cuntosequipossalenencadacaso?(Porejem-plo, 3 equipos de 8 alumnos).ActividadesDivisores de 2020 : 1 = 2020 : 2 = 1020 : 4 = 520 : 5 = 420 : 10 = 220 : 20 = 1Divisores de 30Bsqueda de los divisores de 30:: 1 = 308 S: 2 = 158 S30: 3 = 108 S: 48 NO: 5 = 68 SLos divisores de 30 son:1235777797797797797730151063232 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD333 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Ejemplos37 88cifra par378 es mltiplo de 2.45 1cifra impar451 no es mltiplo de 2.Ejemplos28 08es mltiplo de 5.55 78no es mltiplo de 5.Los criterios de divisibilidad son reglas prcticas que sirven para descubrir si unnmero es divisible por 2, 3, 5 u otros nmeros sencillos. CMO AVERIGUAR SI UN NMERO ES MLTIPLO DE 2Observa que todos los mltiplos de 2, y solo ellos, terminan en cifra par:24681 01 21 41 61 82 02 22 42 62 83 0 Un nmero es mltiplo de 2 sitermina en cifra par:0 - 2 - 4 - 6 - 8 CMO AVERIGUAR SI UN NMERO ES MLTIPLO DE 3Toma cualquier mltiplo de 3 y suma sus cifras. Vers que la suma es unmltiplo de 3. 3 11 = 33 8 3 + 3 = 6 8 3Un nmero es mltiplo de 3 sila suma de sus cifras es mlti-plo de 3.3 24 = 72 8 7 + 2 = 9 8 33 136 = 408 8 4 + 0 + 8 = 12 8 3 CMO AVERIGUAR SI UN NMERO ES MLTIPLO DE 5Contempla, ahora, los mltiplos de 5 y fjate en que todos, y solo ellos,terminan en 0 o en 5:51 0 Un nmero es mltiplo de 5si su ltima cifra es un cero oun cinco.1 52 02 53 03 54 0 Criterios de divisibilidad41 Copia y rodea los mltiplos de 2.57667190991111622284838052 De los nmeros siguientes, cules son mltiplos de 3?Justifica tu respuesta.173 186 390 510 555 679 7541 0233 Copia y rodea los mltiplos de 5.3281552077354205538154 Escribe la sucesin de los veinte primeros mltiplosde 10. Obsrvalos. Cmo sabes, de un vistazo, si unnmero es mltiplo de 10?10 - 20 - 30 - 40 - ActividadesSuma de las cifras Mltiplo de 3Ejemplos35983 + 5 + 9 = 17 ? 3359 no es mltiplo de 3.25282 + 5 + 2 = 9 = 3252 es mltiplo de 3.Nmeros primos y compuestos5 EJEMPLO EJEMPLODescomposiciones de 1818 = 2 918 = 3 618 = 2 3 3El 13 no se puede descomponer13 = 13 1Actividades3332 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD333 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Ejemplos37 8cifra par378 es mltiplo de 2.45 1cifra impar451 no es mltiplo de 2.Ejemplos28 0es mltiplo de 5.55 7no es mltiplo de 5.L Criterios de divisibilidad4ActividadesEjemplos359 3 + 5 + 9 = 17 ? 3359 no es mltiplo de 3.2522 + 5 + 2 = 9 = 3252 es mltiplo de 3.Nmeros primos y compuestos5Los divisores de un nmero permiten expresarlo en forma de producto. EJEMPLO18 = 2 918 8divisores (1 - 2 - 3 - 6 - 9 - 18)

8 18 = 3 618 = 2 3 3Los nmeros, como 18, que se pueden descomponer en factores ms sencillosse llaman nmeros compuestos.Sin embargo, hay nmeros que solo tienen dos divisores (el mismo nmero y launidad), lo cual impide su descomposicin. EJEMPLO13 8 divisores(1 - 13 ) 813 = 13 1Los nmeros, como 13, que no se pueden descomponer en factores mssencillos se llaman nmeros primos.Un nmero primo solo tiene dos divisores: l mismo y la unidad.El nmero 1, como solo tiene un divisor, no se considera primo.En la tabla se han marcado:los mltiplos de 2, , excepto el 2.los mltiplos de 3, , excepto el 3.los mltiplos de 5, , excepto el 5.y as, sucesivamente, con los mltiplos de7, ; de 11,*; de 13,; Los nmeros que han quedado sin marcar son losprimos menores que 30. Comprueba que ningunode ellos se puede descomponer en factores. 18 18 Descomposiciones de 188 18 = 2 98 18 = 3 68 18 = 2 3 3El 13 no se puede descomponer13 = 13 12 3 45 67 891011 1213 14151617 1819 202122*23 242526272829 301 Clasifica en primos y compuestos.5811152128313345492 Entre estos nmeros hay dos primos. Bscalos.47 57 Expresa cada uno de los67 compuestos como un77 87 producto de dos factores.3 Descompn en tres factores.a) 16b) 18c) 40d) 66e) 72f ) 222g) 500h) 10604 Descompn el nmero 100.a) En dos factores.b) En tres factores.c) En el mximo nmero de factores que sea posible.Actividades3434 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD335 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.La resolucin de ciertos problemas exige el manejo de los mltiplos comunes de varios nmeros. Veamos un ejemplo: ejemploDoa Rosita toma una pldora para el reuma cada 4 das y una cpsula para el corazn cada 6 das.Cada cunto tiempo coinciden ambas tomas en el mismo da?Ambas tomas coinciden en los das que son mltiplos comunes de 4 y 6, y se repiten cada 12 das.12+1224+1236+1248+12Elmenordeestosmltiploscomuneses12yrecibeelnombredemnimo comn mltiplo de 4 y 6.Elmenordelosmltiploscomunesdedosomsnmeros,a,b,c,se llama mnimo comn mltiplo, y se expresa as:mn.c.m. (a, b, c, )Clculo del mnimo comn mltiplo (mtodo artesanal)Para obtener el mnimo comn mltiplo de dos nmeros: Escribimos los mltiplos de cada uno. Entresacamos los comunes. Tomamos el menor. ejemploVamosacomprobar,siguiendoelmtododescrito,queelmnimocomn mltiplo de 4 y 6 es, efectivamente, 12.Mnimo comn mltiplo de dos nmeros6Ejercicio resueltomltiplos de 4 8 4 - 8 - 12 - 16 - 20 - 24mltiplos de 6 8 6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36mltiplos comunes 8 12 - 24 - 36 - 48mn.c.m. (4, 6) = 12 Actividades3534 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD335 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. ejemploClculo del mnimo comn mltiplo (mtodo artesanal) ejemploMnimo comn mltiplo de dos nmeros6Calcular mn.c.m. (10, 15).Ejercicio resueltoMltiplos de 10810203040506070Mltiplos de 158153045607590105Mltiplos comunes830 - 60 - 90 El menor de los mltiplos comunes de 10 y 15 es 30.8 mn.c.m. (10, 15) = 30mltiplos de 4 8 4 - 8 - 12 - 16 - 20 - 24mltiplos de 6 8 6 - 12 - 18 - 24 - 30 - 36mltiplos comunes 8 12 - 24 - 36 - 48mn.c.m. (4, 6) = 121 Copia, observa y contesta.1212 12 812 24 36 48 60 72 7 7 84 96 108 1818 18 818 36 54 72 7 7 90 108 126 a) Escribe los cuatro primeros mltiplos comunes de 12 y 18.b) Escribe el mnimo comn mltiplo de 12 y 18.2 Copia, observa y completa a simple vista.a) 686 12 18 24 30 36 42 48 54 888 16 24 32 40 48 56 mn.c.m. (6, 8) = b) 989 18 27 36 45 54 63 72 771212 12 812 24 36 48 60 72 77 84 mn.c.m. (9, 12) = c) 1515 15 815 30 45 60 75 90 105 2525 25 825 50 75 100 125 150 mn.c.m. (15, 25) = 3 Calcula por el mtodo artesanal, igual que se ha hecho en el ejercicio anterior.a) mn.c.m. (5, 8)b) mn.c.m. (8, 12)c) mn.c.m. (12, 24)d) mn.c.m. (30, 40)e) mn.c.m. (50, 75)f ) mn.c.m. (200, 300)4 Calcula mentalmente.a) mn.c.m. (2, 3)b) mn.c.m. (4, 5)c) mn.c.m. (6, 9)d) mn.c.m. (6, 12)e) mn.c.m. (5, 10)f ) mn.c.m. (15, 20)5 Una fbrica enva mercanca a Valencia cada 6 das y a Sevilla cada 8 das. Hoy han coincidido ambos envos. Cunto tiempo pasar hasta que vuelvan a coincidir?6 Se han construido dos columnas de igual altura: la pri-mera apilando cubos de 40 cm de arista, y la segunda, con cubos de 30 cm de arista. Qu altura alcanzarn sa-biendo que superan los dos metros, pero no llegan a tres?3 m2 m1 m7 El autobs de la lnea roja pasa por la parada, frente a mi casa, cada 20 minutos, y el de la lnea verde, cada 30 minutos. Si ambos pasan juntos a las dos de la tar-de, a qu hora vuelven a coincidir?Actividades3636 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD337 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Mximo comn divisor de dos nmeros7Tambin encontrars problemas que exigen el manejo de los divisores comunes a varios nmeros. Veamos un ejemplo: ejemploUna sociedad protectora de animales ha recogido 8 gatos y 12 perros que se han de transportar en jaulas iguales, lo ms grandes que sea posible, y de forma que en todas quepa el mismo nmero de individuos. Cuntos animales irn en cada jaula?Tanteando, se encuentran tres posibles soluciones: Primera solucin: jaulas con un inquilino.G G G G G G G G P P P P P P P P P P P P8 1 12 1 Segunda solucin: jaulas con dos inquilinos.G G G G G G G G P P P P P P P P P P P P4 2 6 2 Tercera solucin: jaulas con cuatro inquilinos.G G G G G G G G P P P P P P P P P P P P2 4 3 4Las soluciones coinciden con los divisores comunes de 8 y 12:1 - 2 - 4Elmayordeestosdivisorescomuneses4yrecibeelnombredemximo comn divisor de 8 y 12.Elmayordelosdivisorescomunesadosomsnmeros,a,b,c,se llama mximo comn divisor, y se expresa as:mx.c.d. (a, b, c, )Clculo del mximo comn divisor (mtodo artesanal)Para obtener el mximo comn divisor de dos nmeros: Escribimos los divisores de cada uno. Entresacamos los comunes. Tomamos el mayor. ejemploVamosacomprobar,siguiendoelmtododescrito,queelmximocomn divisor de 8 y 12 es, efectivamente, 4.Ejercicio resueltodivisores de 8 8 1 - 2 - 4 - 8divisores de 12 8 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12divisores comunes 8 1 - 2 - 4mx.c.d. (8, 12) = 4Actividades70 cent.80 cent.3736 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD337 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Mximo comn divisor de dos nmeros7 ejemploClculo del mximo comn divisor (mtodo artesanal) ejemploEjercicio resueltoCalcular mx.c.d. (20, 30).Divisores de 20812451020Divisores de 30812356101530Divisores comunes81 - 2 - 5 - 10El mayor de los divisores comunes de 20 y 30 es 10. 8 mx.c.d. (20, 30) = 10divisores de 8 8 1 - 2 - 4 - 8divisores de 12 8 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12divisores comunes 8 1 - 2 - 4mx.c.d. (8, 12) = 41 Copia, observa y contesta.Div. de 128 123 4612Div. de 188 123 6918a) Escribe los divisores comunes de 12 y 18.b) Escribe el mximo comn divisor de 12 y 18.2 Copia, observa y completa a simple vista.a) Div. de 128123 4612Div. de 168124816mx.c.d. (12, 16) = b) Div. de 15813 515Div. de 20812451020mx.c.d. (15, 20) = c) Div. de 248123 4681224Div. de 30812356101530mx.c.d. (24, 30) = 3 Calcula por el mtodo artesanal, igual que se ha hecho en el ejercicio anterior.a) mx.c.d. (6, 8)b) mx.c.d. (8, 20)c) mx.c.d. (10, 15)d) mx.c.d. (12, 24)e) mx.c.d. (18, 24)f ) mx.c.d. (40, 50)4 Calcula mentalmente.a) mx.c.d. (2, 3)b) mx.c.d. (4, 5)c) mx.c.d. (3, 9)d) mx.c.d. (6, 9)e) mx.c.d. (30, 40)f ) mx.c.d. (50, 75)5 Rosahasacadodelahuchaunmontndemonedas, todas iguales, y ha comprado un bolgrafo. Despus, ha vuelto a la tienda y ha comprado un rotulador.Cuntopuedevalercadamoneda?(Buscatodaslas soluciones posibles).6 Un carpintero tiene dos listones de 180 cm y 240 cm, respectivamente, y desea cortarlos en trozos iguales, lo ms largos que sea posible, y sin desperdiciar madera. Cunto debe medir cada trozo?Actividades70 cent.80 cent.38 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.38 39La relacin de divisibilidad1Reflexiona,contestaSoNoyjustifica tus respuestas:a)Se pueden guardar 300 litros de aceite en bido-nes de 15 litros sin que sobre nada?b) Si sacas del horno 100 magdalenas, y las empa-quetas por docenas, queda alguna suelta?c) Se puede cortar un listn de 1,80 m en un n-mero exacto de trozos de 20 cm?d)Hacen 100 minutos un nmero exacto de cuar-tos de hora?2Razona si existe relacin de divisibilidad entre:a) 20 y 300 b) 13 y 195 c) 38 y 138d) 15 y 75 e) 23 y 203 f ) 117 y 702Mltiplos y divisores3Calcula mentalmente.a)Tres nmeros contenidos una cantidad exacta de veces en 180.b) Tres nmeros que contengan a 15 una cantidad exacta de veces.c) Tres divisores de 180.d) Tres mltiplos de 15.4Escribe.a) Los mltiplos de 20 comprendidos entre 150 y 210.b) Un mltiplo de 13 comprendido entre 190 y 200.5Escribe.a) Todos los pares de nmeros cuyo producto es 80.b) Todos los divisores de 80.6Cules de estas cantidades de dinero puedes obtener juntando billetes de cinco euros?:Y juntando billetes de 10 euros?7Busca todos los divisores de:a) 10 b) 18 c) 20 d) 24e) 30 f ) 39 g) 45 h) 508Describe todas las formas que hay de dividir una clase de 30 chicos y chicas en equipos iguales. Por ejemplo: 5 equipos de 6.9Busca todas las formas posibles de hacer mon-tones iguales con 72 terrones de azcar.Criterios de divisibilidad10 Sustituye cada letra por una cifra, para que el nmero resultante sea divisible entre 3.A51 2B8 31C 52D 1E811 Busca, en cada caso, todos los valores posibles de apara que el nmero resultante sea, a la vez,a amltiplo de 2 y de 3:4 a 3 2 a 2 4 aNmeros primos y compuestos12 Separa los nmeros primos de los compuestos. 14 17 28 29 47 53 57 63 71 79 91 9913 Busca el primer nmero, mayor que 90, que no se pueda expresar como el producto de dos fac-tores diferentes de l mismo y de la unidad.14 Averiguasielnmero113esprimoocom-puesto. Justifica tu respuesta.Mximo comn divisor y mnimocomn mltiplo15Calcula.a) mn.c.m. (4, 8) b) mx.c.d. (4, 8)c) mn.c.m. (10, 20) d) mx.c.d. (10, 20)e) mn.c.m. (20, 30) f ) mx.c.d. (20, 40)16 El mnimo comn mltiplo de dos nmeros es 15. Cules pueden ser esos nmeros?UNIDAD3Ejercicios y problemasConsolida lo aprendido utilizando tus competencias Autoevaluacin 1 2 3 4 5 6 7 8 15 22 37 45 80 94 120 1 000 Resuelve problemas17181920212223 Utiliza el mximo comn divisor.39 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.38 39La relacin de divisibilidadMltiplos y divisoresCriterios de divisibilidad1011Nmeros primos y compuestos121314Mximo comn divisor y mnimocomn mltiplo15 16UNIDAD3Ejercicios y problemasConsolida lo aprendido utilizando tus competencias Autoevaluacin 1 Buscaparesdenmerosemparentadosporlarelacin de divisibilidad:6 10 30 802 Contesta s o no y justifca tu respuesta.a) Es 60 divisible entre 15?b) Es 5 mltiplo de 15?c) Es 6 divisor de 30?d) Es 162 mltiplo de 8?3 Escribe.a) Loscincoprimerosmltiplosde6comprendidos entre 50 y 70.b) Todos los divisores de 30.4 Completa.a) Un nmero es mltiplo de 3 cuando b) Un nmero es divisible entre 5 cuando 5 Separa los primos de los compuestos:14 - 23 - 65 - 67 - 87 - 97 - 101 - 1116 Calcula.a) mn.c.m. (10, 15)b) mx.c.d. (10, 15)c) mn.c.m. (30, 40)d) mx.c.d. (30, 40)7 De cuntas formas distintas se puede dividir una clase de28alumnos,enequiposconelmismonmerode miembros, sin que sobre ninguno?8 Enunedifciodeofcinas,elvigilantenocturnocom-pleta su ronda cada 30 minutos, y su compaero, que vigila el parque exterior, cada 40 minutos. Ambos ini-cian su jornada a las diez de la noche. A qu hora vol-vern a coincidir en el punto de partida?Resuelve problemas17 Antonio tiene entre 40 y 50 aos, justo el tri-ple que su hijo Julio, que tiene menos de 15. Cun-tos aos tiene cada uno?18 Ricardopuedeordenarsucoleccindecro-mosporparejas,portrosyengruposdecinco. CuntoscromostieneRicardo,sabiendoqueson ms de 80 y menos de 100?19 Raquelhaenvasado64mantecadosencajas iguales.Cuntascajashallenado?(Escribetodas las soluciones posibles).20 Enunalmacndemaderassehanapilado tablonesdepino,deungrosorde35mm,hasta alcanzarlamismaalturaqueotrapiladetablones de roble, de 20 mm de gruesos. Cul ser la altura de ambas pilas? (Busca, al menos, tres soluciones).21 Un vaso pesa 75 gramos, y una taza, 60 gra-mos. Cuntos vasos hay que colocar en uno de los platillos de una balanza, y cuntas tazas en el otro, para que la balanza quede equilibrada?22 Un comerciante, en un mercadillo, intercam-bia con un compaero un lote de camisetas de 24 la unidad por un lote de zapatillas de 30 la uni-dad. Cuntas camisetas entrega y cuntas zapatillas recibe?23 Ungrupode60nios,acompaadosde36 padres,acudenauncampamentoenlamontaa. Paradormir,acuerdanocuparcadacabaaconel mismo nmero de personas. Adems, cuantas me-nos cabaas ocupen menos pagan. Por otro lado, ni lospadresquierendormirconniosnilosnios con padres. Cuntos entrarn en cada cabaa? Utiliza el mximo comn divisor.41 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Sia9leaadimos6yrestamos7,obtenemos8. Esta afrmacin la podemos escribir as:9 + 6 7 = 8.Para llegar a una expresin tan sencilla, las matemticas han tenido que recorrer un largo camino.En el siglo iii a.C., los chinos trabajaron con cantidadesnegativas.Paraello,utilizabandosconjuntos devarillas,unasrojasparalaspositivasyotrasnegrasparalasnegativas.Conellasefectuabanclculos con extraordinaria destreza. Aunque los nmeros negativosnorepresentabanningunadifcultadpara los chinos, no consideraban vlida la solucin de un problema si esta era negativa. Qu curioso!Tuvieron que pasar todava unos mil aos, hasta que enelsiglovii,enIndia,sesistematizaraelusode losnmerosnegativos,delceroydelaregladelos signos. De India, y gracias a los rabes, estos conceptos llegaron a Europa hacia el siglo ix. Sin embargo, hasta el siglo xv no aparecieron los signos + y ; primero, paraxv xvdesignarcantidadespositivasynegativas,ydespus, paralasoperacionesdesumayresta.Elsigno=se invent en 1560. Ya ves, lo que t puedes escribir en unos segundos, a la matemtica le cost miles de aos.4Los nmeros enterosDEBERS RECORDARCmo ordenar los nmeros naturales en la recta numrica.Cmo hacer sumas y restas combinadas de nmeros naturales.El signifcado de los parntesis y el orden de prioridad de las operaciones. GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.42 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD443 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.42Losnmerosnaturalesseutilizanparaexpresarmatemticamentemultitud desituacionescotidianas.Sinembargo,avecesnosirvenparacuantificarlas situacionesopuestasasociadas.Enesoscasos,esnecesarialautilizacindelos nmeros negativos. Por ejemplo: Estamos a ocho grados centgrados. 8 +8 8 N. natural Estamos a ocho bajo cero. 8 8 8 N. negativo Julin gana 20 euros. 8 +20 8 N. naturalJulin gasta 20 euros.8 20 8 N. negativo Llamamos nmeros negativos a los que estn por debajo del cero.Los nmeros negativos se escriben precedidos del signo menos:1, 2, 3, 4, 5, Cuando un nmero no lleva signo, entendemos que es positivo:3 = +3 +15 = 15Cuandoseplanteanoperacionesconnmerosnegativos,estossesuelen escribir entre parntesis:5 + (2) 8 El nmero positivo 5 se suma con el negativo 2.(4) (3) 8 El nmero negativo 4 se multiplica por el negativo 3.Utilidad de los nmeros positivos y negativosLos nmeros positivos y los nmeros negativos sirven para expresar cantidades o posiciones fijas. ejemplos En un edificio nos podemos encontrar en un piso sobre la calle o en un stano:Sexto piso 8 +6Segundo stano 8 2 Nuestrosaldoenunacuentabancariapuedeserpositivooestaren nmeros rojos (negativo):Rosa tiene ciento cincuenta euros.8 +150Francisco debe ochenta y cinco euros. 8 85Nmeros positivos y negativos143210 1 2 35 ejemplosActividadesgarajecalderasgimnasiotiendarestaurantepeluqueraacademiaviviendaviviendatrastero43 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD443 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.42 Utilidad de los nmeros positivos y negativos ejemplosNmeros positivos y negativos143210 1 2 35Losnmerospositivosylosnegativossirvenparaexpresarvariacionesde cantidad. ejemplos Con el ascensor del edificio puedes subir o bajar a otra planta: Subes del segundo al quinto (tres plantas).8 +3Bajas del tercer piso al segundo stano (cinco plantas). 8 5 La temperatura que marca el termmetro sufre variaciones:Hace ms calor. El termmetro ha subido dos grados. 8 +2Est refrescando. El termmetro ha bajado dos grados.8 21 Describe tres situaciones en las que se hace necesario el uso de nmeros negativos. Por ejemplo, para expresar las lecturas del termmetro de ambiente.2 Escribe tres elementos ms en cada una de las siguientes series numricas:a) 0, 1, 1, 2, 2, b) 6, 4, 2, 0, 2, c) 20, 15, 10, 5, 0, d) 21, 20, 18, 15, 11, e) 8, 7, 5, 2, 2, 3 Asocia un nmero positivo o negativo a cada uno de los enunciados siguientes:a) Mercedes tiene en el banco 2500 euros.b) Miguel debe 150 euros.c) Vivo en el sptimo piso.d) Tengo el coche aparcado en el segundo stano.e) El termmetro marca 18 C.f ) El termmetro marca tres grados bajo cero.g) Tengo un billete de 10 .h) Debo 2 a un amigo.4 Expresa numricamente cada enunciado:a) He ganado 60 con una quiniela.b) He pagado una factura de 60 .c) El termmetro ha subido cinco grados.d) El termmetro ha bajado cinco grados.e) El ascensor ha subido cuatro plantas.f ) El ascensor ha bajado cuatro plantas.g) He perdido una moneda de 2 .5 Expresa con un nmero los saltos en cada escalera:6 Escribe un nmero para cada movimiento en la recta:7 Asocia un nmero a cada enunciado:a) La temperatura ha bajado de 21 C a 18 C.b) He subido del segundo stano al segundo piso.c) La semana pasada tena 37 en la hucha y ahora solo tengo 34 .d) Haamanecidoadosgradosbajoceroyahora,a medioda, tenemos 3 C.Actividadesgarajecalderasgimnasiotiendarestaurantepeluqueraacademiaviviendaviviendatrastero5 0 10B A154444 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD445 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.El conjunto de los nmeros enteros2Orden en la rectaSi un nmero,a,es menor que otro, b,entoncesaesta a la izquierda de ben la recta.4 < 1 < +30 +3 1 4El conjunto ZSi al conjunto N de los nmeros naturales le aadimos los correspondientes nmerosnegativos,obtenemosunnuevoconjuntoqueseconoceenmatemticas como conjunto de los nmeros enteros y se designa por la letra Z.Valor absoluto de un nmero enteroEl valor absoluto de un nmero entero es la longitud del segmento que lo separa del cero en la recta numrica. Se expresa escribindolo entre barras:El valor absoluto de 7 es 7 8 |7| = 7El valor absoluto de +4 es 4 8 |+4| = 47 = 7 7 = 74 = 4 4 = 470+4El valor absoluto de un nmero entero es el nmero natural que resulta al quitarle el signo.|a| 8valor absoluto deaComparacin de nmeros enteros Si dos enteros son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo: +20 > +8. Cualquiernmeropositivoesmayorqueelcero,yelceroesmayorque cualquier negativo. Por ejemplo: +8 > 0 > 8. Entredosenterosnegativos,esmayoreldemenorvalorabsoluto.Por ejemplo: 8 > 201 Escribe el valor absoluto de:a) 5 b) +8 c) 3d) +4e) 7f ) +12 Completa.a) |6| = b) |+6| = c) |2| = d) |+9| = e) |11| = f ) |+10| = 3 Escribedosnmerosdistintosquetenganelmismo valor absoluto.4 Representa en la recta y ordena de menor a mayor.7, +4, 1, +7, +6, 4, 5, +3, 115 Copia y coloca el signo < o el signo > segn corresponda.a) (+8) (+3) b) (8) (+3) c) (+8) (3)d) (2) (5) e) (+2) (5) f ) (2) (+5)6 Ordena de menor a mayor.a) +5, 3, 7, 0, +1, +6, 12, 5b) 6, 3, 9, 0, 1, 5, 12, 4ActividadesnaturalesenterosnegativosSumas y restas de nmeros enteros3ESumas y restas de dos nmeros Si me dan 4 y me dan 3, gano 7.84 + 3 = +7 Sumas y restas de ms de dos nmerosPTen en cuentaElordennocuentamientrascada nmero conserve su signo:+2 5 = 5 + 2 = 35 + 2 = 3+2 5 = 3Ejercicio resueltoSe expresa as:3 8 + 6 4 = 5 + 6 4 = 1 4 = 34544 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD445 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.El conjunto de los nmeros enteros2Orden en la rectaSi un nmero,a,es menor que otro, b,entoncesaesta a la izquierda de ben la recta.4 < 1 < +3El conjunto ZValor absoluto de un nmero enteroEl valor absoluto de 7 es 7 8 |7| = 7El valor absoluto de +4 es 4 8 |+4| = 4Comparacin de nmeros enteros Si dos enteros son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto. Por ejemplo: +20 > +8. Cualquiernmeropositivoesmayorqueelcero,yelceroesmayorque cualquier negativo. Por ejemplo: +8 > 0 > 8. Entredosenterosnegativos,esmayoreldemenorvalorabsoluto.Por ejemplo: 8 > 20ActividadesnaturalesenterosnegativosSumas y restas de nmeros enteros3Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones ms sencillas, que son las que no tienen parntesis.Sumas y restas de dos nmeros LOS DOS NMEROS LLEVAN EL MISMO SIGNO Si me dan 4 y me dan 3, gano 7.84 + 3 = +7 Si me quitan 3 y me quitan 8, pierdo 11. 8 3 8 = 11Cuando los dos nmeros llevan el mismo signo: Se suman los valores absolutos. Se pone el mismo signo que tenan los nmeros. LOS DOS NMEROS TIENEN DISTINTO SIGNO Si me quitan 2 y me dan 8, gano 6. 82 + 8 = +6 Si me dan 4 y me quitan 9, pierdo 5. 8 +4 9 = 5Cuando los dos nmeros llevan distinto signo: Se restan los valores absolutos. Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.Sumas y restas de ms de dos nmerosPara resolver estas expresiones, puedes actuar de dos formas diferentes.Ten en cuentaElordennocuentamientrascada nmero conserve su signo:+2 5 = 5 + 2 = 33 05+23 05+25 + 2 = 3+2 5 = 3Calcular: 3 8 + 6 4Ejercicio resuelto1.er mtodo: Puedes ir operando, paso a paso, en el orden en que aparecen los nmeros. 3 8 + 6 45 + 6 41 4 3Se expresa as:3 8 + 6 4 = 5 + 6 4 = 1 4 = 34646 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD447 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.1 Copia y completa. Si me dan 6 y me dan 7, gano 13.8 +6 + 7 = Si me dan 3 y me quitan 8, pierdo 8 +3 8 = Si me quitan 4 y me dan 6, 8 4 + 6 = Si me quitan 5 y me quitan 4, 8 5 4 = 2 Calcula, teniendo en cuenta que ambos nmeros tienen el mismo signo.a) 6 + 5b) +4 + 8c) +10 + 7d) 6 2e) 4 6f ) 5 9g) +8 + 7h) 8 7i) 12 43 Opera,teniendoencuentaquelosdosnmerosllevan signos diferentes.a) +9 5 b) +3 7 c) +6 10d) 2 + 7 e) 15 + 5 f ) 11 + 8g) 7 12 h) 11 4 i) 18 + 104 Calcula.a) +6 7 b) 8 + 7 c) 5 1d) +8 + 2 e) +10 12 f ) 16 + 20g) +11 + 21 h) 13 12i) 18 + 115 Ejercicio resuelto Ejercicio resueltoResolver, operando en el orden en que apare- RRcen las operaciones: 12 4 6 12 4 6 8 6 12 4 6= 8 6 = 226 Opera,siguiendolospasosdelejercicioresueltoanterior.a) 10 3 5 b) 15 9 6 c) 5 8 + 4d) 9 3 + 5 e) 2 + 2 + 7 f ) 10 + 8 + 6g) 10 3 + 8 h) 4 3 2 i) 1 5 77 Ejercicio resuelto Ejercicio resueltoResolver,sumandoprimerolosnmerosdelRRmismo signo: 6 15 + 4 6 15 + 4 10 15 6 15 + 4 = 10 15 = 5 58 Opera como en el ejercicio resuelto anterior.a) 9 2 3 b) 12 4 6 c) 3 7 + 4d) 5 9 + 8 e) 13 + 6 + 4 f ) 2 + 10 15g) 11 4 + 8 h) 5 3 4 i) 8 + 5 + 69 Resuelve juntando los positivos por un lado y los negativos por otro, como en el ejemplo. 4 + 6 8 + 7 = 6 + 7 4 8 = 13 12 = 1a) 5 + 7 2 4b) 2 6 + 4 9c) 9 6 7 + 2d) 4 5 + 3 + 8e) 8 + 2 7 + 6f ) 1 + 5 + 6 7Actividades8 6 12 4 6= 8 6 = 2 8 6 12 4 6= 8 6 = 28 6 12 4 6= 8 6 = 28 6 12 4 6= 8 6 = 28 6 12 4 6= 8 6 = 2 8 6 12 4 6= 8 6 = 28 6 12 4 6= 8 6 = 2 8 6 12 4 6= 8 6 = 2 10 15 6 15 + 4 = 10 15 = 5 10 15 6 15 + 4 = 10 15 = 5 10 15 6 15 + 4 = 10 15 = 510 15 6 15 + 4 = 10 15 = 510 15 6 15 + 4 = 10 15 = 5 10 15 6 15 + 4 = 10 15 = 510 15 6 15 + 4 = 10 15 = 5 10 15 6 15 + 4 = 10 15 = 5 2. mtodo: Puedes sumar los positivos por un lado y los negativos por otro. Despus, se restan los resultados.3 8 + 6 43 + 6 8 4 9 123Se expresa as:3 8 + 6 4 = 3 + 6 8 4 = 9 12 = 3Sumas y restas con parntesis4(3) + (+5) == 3 + 5 = +2(+5)(5)(+2) + (5) == 2 5 = 3Larasumarunnmeroentero,sequitaelparntesisysedejaelsigno propio del nmero:+ (+a) = +a+ (a) = aPara restar un nmero entero, se quita el parntesis y se le pone al nmero el signo contrario al que tena: (+a) = a (a) = +a8 + (2) = 8 2 = 6 8 + (+5) = 8 + 5 = 13+ (+5) = +577 aadirganancia Ingresar una gananciaes aumentar (ganar).+ (2) = 277 aadirdeuda Ingresar una deudaes disminuir (perder).8 (+5) = 8 5 = 38 (2) = 8 + 2 = 10 (+5) = 577 extraerganancia Suprimir una ganancia es disminuir (perder). (2) = +277 extraerdeudaSuprimir una deuda es aumentar (ganar). Ejercicio resuelto4746 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD447 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado. ActividadesSe expresa as:3 8 + 6 4 = 3 + 6 8 4 = 9 12 = 3Sumas y restas con parntesis4(3) + (+5) == 3 + 5 = +2(+5)(5)(+2) + (5) == 2 5 = 3Losnmerosenteros,enlasoperaciones,sesuelenpresentarentreparntesis. Ahora vas a aprender a suprimir esos parntesis en las expresiones con sumas y restas. As, se reducen a lo que ya sabes. Se presentan cuatro casos.Parasumarunnmeroentero,sequitaelparntesisysedejaelsigno propio del nmero:+ (+a) = +a+ (a) = aPara restar un nmero entero, se quita el parntesis y se le pone al nmero el signo contrario al que tena: (+a) = a (a) = +a8 + (2) = 8 2 = 6SUMAR UN NMERO POSITIVO SUMAR UN NMERO NEGATIVO8 + (+5) = 8 + 5 = 13+ (+5) = +577 aadirganancia Ingresar una gananciaes aumentar (ganar).+ (2) = 277 aadirdeuda Ingresar una deudaes disminuir (perder).8 (+5) = 8 5 = 38 (2) = 8 + 2 = 10 UN NMERO POSITIVO RESTAR UN NMERO NEGATIVO (+5) = 577 extraerganancia Suprimir una ganancia es disminuir (perder). (2) = +277 extraerdeudaSuprimir una deuda es aumentar (ganar).Calcular: (+3) + (+5) = 3 + 5 = 8 (+5) (+8) = 5 8 = 3 (+10) + (3) = 10 3 = 7 (+2) (6) = 2 + 6 = 8 (8) + (4) = 8 4 = 12 (5) (+6) = 5 6 = 11 (6) + (+3) = 6 + 3 = 3 (7) (3) = 7 + 3 = 4Ejercicio resuelto4848 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD449 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Operar la expresin siguiente: 12 [8 (7 10) + (2 6)]Podemos resolverla de dos formas diferentes:a) Operar dentro de cada parntesis, empezando por los ms pequeos. 12 [8 (7 10) + (2 6)] = 12 [8 (3) + (4)] = = 12 [8 + 3 4] = = 12 [+7] = = 12 7 = 5b) Quitar parntesis, empezando por los ms pequeos, y despus operar. 12 [8 (7 10) + (2 6)] = 12 [8 7 + 10 + 2 6] = = 12 8 + 7 10 2 + 6 = = (12 + 7 + 6) (8 + 10 + 2) = = 25 20 = 5Ejercicio resueltoSumas y restas dentro de un parntesisEl parntesis empaqueta, en un solo bloque, todo lo que va en l. Por eso, el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior. Se dan dos casos.PARNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO +(+3 6 + 5)Los signos finales son los mismos que tenan los sumandos dentro del parntesis.PARNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO(+8 6 5)Los signos finales son los contrarios a los que haba dentro del parntesis.Al quitar un parntesis precedido del signo +, los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban.Al quitar un parntesis precedido del signo , cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto.Me la quita. Estupendo![(8) + (10) + (3)] == [8 10 3] = 8 + 10 + 3 = +21Me dan (+3)Me dan (6)8 +(+3) + (6) + (+5) = 3 6 + 5Me dan (+5) Me dan Me dan (+3) Me dan (+3)Me dan (6) Me dan (6) Me dan (6) Me dan (6) Me dan (6) Me dan (6) Me dan (6) Me dan (6)Me dan (6) Me dan (6) Me dan (6) Me dan (6) Me dan (6) Me dan (6) Me quitan (+8)Me quitan (6) 8 (+8) (6) (5) = 8 + 6 + 5Me quitan (5) Me quitan Me quitan (+8) Me quitan (+8)Me quitan (+8) Me quitan (+8)Me quitan (6)Me quitan (6) Me quitan (+8) Me quitan (+8) Me quitan (+8) Me quitan (+8)Me quitan (6)Me quitan (6)Me quitan (6)Me quitan (6)Me quitan (6)Me quitan (6) Me quitan (6)Me quitan (6)Me quitan (6)Me quitan (6)Me quitan (6)Me quitan (6) Actividades4948 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD449 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Ejercicio resueltoSumas y restas dentro de un parntesis +(+3 6 + 5)Los signos finales son los mismos que tenan los sumandos dentro del parntesis.(+8 6 5)Los signos finales son los contrarios a los que haba dentro del parntesis.Al quitar un parntesis precedido del signo +, los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban.Al quitar un parntesis precedido del signo , cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto.Me la quita. Estupendo![(8) + (10) + (3)] == [8 10 3] = 8 + 10 + 3 = +21Me dan (+3)Me dan (6)8 +(+3) + (6) + (+5) = 3 6 + 5Me dan (+5) Me danMe quitan (+8)Me quitan (6) 8 (+8) (6) (5) = 8 + 6 + 5Me quitan (5) Me quitan1 Quita parntesis. Q Qa) +(1) b) (+4)c) +(+8) d) (+7)e) +(10) f ) (6)g) +(11) h) (13)i) +(15) j) (+16)k) +(9) l) (7)2 Quita los parntesis Q Q .a) +(+2) b) +(8)c) +(4) d) (9)e) (+5) f ) +(12)g) +(14) h) +(+15)i) (+25) j) (2)3 Operaycompruebalosresultadosdelassiguientes sumas y restas:a) +(+8) (+5) b) (+6) (2) c) +(2) + (6) d) +(+7) (3)e) +(9) (+2) f ) (+6) + (+4)a) +3;b) 4;c) 8;d) +10;e) 11;f ) 2 f f4 Quita parntesis, calcula, y co Q Q mprueba el resultado de cada operacin:a) +(5 + 3) b) +(6 3)c) (8 + 15) d) (2 4)e) +(9 7 2) f ) +(1 8 + 3)g) (6 + 5 7) h) (7 5 + 4)i) +(3 1 4) j) (2 3 + 8)a) +8; b) 9; c) 23; d) +6; e) 0; f) 4; g) +8; h) 6; i) 8; j) 35 Quita el parntesis y calcula igual que se ha hecho en el ejemplo. 16 (5) = 16 + 5 = 21a) 12 + (+4)b) 8 + (+3) c) 10 (+8) d) 15 (6) e) 13 (+9)f ) 9 + (1)g) 2 (+8)h) 3 (5) i) 4 + (10) j) 10 (+16)k) 15 (+25) l) 30 (12)6 Suprime los parntesis y, despus, opera, como en el ejemplo. (+14) (12) = 14 + 12 = 2 a) +(+7) + (+6) b) +(5) + (3)c) +(6) (+8) d) (7) + (10)e) (3) (5) f ) (2) (+6)g) +(7) (3) h) (5) + (+4)i) +(12) + (+10) j) (+6) (+8)7 Calcula.a) 18 + (+12) b) 22 (+15)c) 35 (15) d) 30 + (18)e) 24 (20) f ) 15 (+15)g) (+22) 16 h) (27) 30i) +(25) 24 j) (+36) + 26k) (+12) (+13) l) +(16) + (14)8 Quitaprimeroelparntesis,comoenelejemplo,y despus calcula. 15 (+3 8) = 15 3 + 8 = 23 3 = 20a) 12 + (+3 5) b) 14 + (+12 10)c) 6 (9 7) d) 15 (2 9)e) 11 (6 + 3) f ) 10 (7 5)g) 13 + (8 + 2) h) 17 + (5 9)i) 8 + (8 + 8) j) 9 (3 10)9 Repite los ejercicios de la actividad anterior, operando enprimerlugardentrodelparntesis,comosehace en el ejemplo. 15 (+3 8) = 15 (5) = 15 + 5 = 20Compruebaqueobtieneslosmismosresultadosque eliminando primero los parntesis.10 Calcula quitando primero los parntesis, como en el ejemplo. (5 12) (8 6) = 5 12 8 + 6 = 11 20 = 9a) (7 4) + (9 5) b) (2 + 6) + (5 8)c) (5 9) + (2 12) d) (7 + 3) (5 + 4)e) (8 12) (2 5) f ) (10 7) (2 6)g) (8 + 4) + (5 9) h) (6 2) (7 9)Actividades5050 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD451 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.Ten en cuentaPara multiplicar tres enteros: (2) (3) (5) = (+6) (5) == 30o bien:(2) (3) (5) = (2) (+15) == 30La multiplicacin de enteros cumple la propiedad asociativa.ingreso+5ingreso+5ingreso+5factura5factura5factura5ingreso+5ingreso+5ingreso+5aaan+5 +5 n+5 +5 nu+5 +5ul+5 +5laingreso ingresoal ll ldingreso ingresodoingreso ingresooaaan+5 +5 n+5 +5 nu+5 +5ul+5 +5laingreso ingresoalllldingreso ingresodoingreso ingresoooaaan+5 +5 n+5 +5 nu+5 +5ul+5 +5laingreso ingresoalllldingreso ingresodoingreso ingresooofactura5factura5factura5aan5 5 n5 5 nu5 5ul5 5lafactura facturaalllldfactura facturadofactura facturaoaan5 5 n5 5 nu5 5ul5 5lafactura facturaal ll ldfactura facturadofactura facturaooaan5 5 n5 5 nu5 5ul5 5lafactura facturaalllldfactura facturadofactura facturaooMultiplicacin de nmeros enterosPara multiplicar nmeros enteros, actuaremos igual que para multiplicar nmeros naturales, pero ahora, adems, hemos de preocuparnos del signo.PRODUCTO DE DOS NMEROS POSITIVOSSi obtengo 3 ingresos de 5 , gano 15 .+(+5) + (+5) + (+5) = 5 + 5 + 5 = +15(+3) (+5) = +15PRODUCTO DE UN NMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVOSi me llegan 3 facturas de 5 , pierdo 15 .+(5) + (5) + (5) = 5 5 5 = 15(+3) (5) = 15PRODUCTO DE UN NMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVOSi me anulan 3 ingresos de 5 , pierdo 15 .(+5) (+5) (+5) = 5 5 5 = 15 (3) (+5) = 15PRODUCTO DE DOS NMEROS NEGATIVOSSi me anulan 3 facturas de 5 , gano 15 .(5) (5) (5) = +5 + 5 + 5 = +15(3) (5) = +15Paraautomatizarlamultiplicacindeenteros,aplicalasiguientereglaquete permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar.REGLA DE LOS SIGNOSAl multiplicar dos nmeros enteros: Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultadofinal es positivo.Silosdosfactorestienendistintosigno,elresultado final es negativo. (+) (+) =+() () =+(+) () =() (+) =Multiplicacin y divisin de nmeros enteros5Divisin de nmeros enteros EJEMPLOS Operaciones combinadas EJEMPLOLa regla de los signos para la divisin coincide con la del producto.signos(+) : (+) =+iguales() : () =+signos(+) : () =diferentes() : (+) =No es lo mismo [(60) : (+6)] : (2)[10] : (2)+5que(60) : [(+6) : (2)][60] : (3)+20La divisin de enteros no es asocia-tiva.Ten en cuentaActividades5150 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado.UNIDAD451 GRUPO ANAYA, S.A. Matemticas 1. ESO. Material fotocopiable autorizado