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7/17/2019 MATEMÁTICAS 1.docx

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MATEMÁTICAS 1

Lo que vas a aprender

Los contenidos de esta unidad son: Los números naturales.

Divisibilidad.

Fracciones.

Cálculo mental, aproximado y con calculadora.

Sistema métrico decimal y de tiempo.

Al final de la unidad serás capaz de: Utilizar los distintos tipos de números, las operaciones y sus

propiedades.

Utilizar las relaciones de divisibilidad entre números naturales.

perar con !racciones y con números decimales.

Utilizar la !orma de cálculo más adecuada "mental, escrita o concalculadora# y expresar el resultado con la precisi$n re%uerida.

Utilizar adecuadamente la calculadora cuando el carácter de lasoperaciones lo re%uiera.

Utilizar las unidades más adecuadas para realizar mediciones.



ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LOS NÚMEROS

La necesidad de contar

Desde muy anti&uo, 'ombres y mu(eres ten)an la necesidad de contar animales,

realizar true%ues o contar las veces %ue sal)a la luna en un periodo de tiempo concreto.

Cuando las cantidades eran pequeñas, les bastaba con asi&nar a cadaob(eto un dedo, una piedra o un nudo en una cuerda utilizando, por tanto,un sistea de nueraci!n de representaci!n siple.

Sin embar&o, para cantidades elevadas este método no era e!ectivo, por lo%ue tuvieron %ue desarrollar sisteas de representaci!n ás cople"os.

La soluci$n pasaba por 'acer una marca *u otro si&no* cada vez %ue se lle&abaa una cantidad determinada, %ue 'oy llamamosn#ero $ase. Después, sese&u)a contando 'asta alcanzar de nuevo esa cantidad y se a+ad)a la misma

marca *o s)mbolo* y as) sucesivamente.

stos s)mbolos &eneralmente representa$an el n#ero 1%, posiblemente por larelaci$n %ue podemos establecer con los dedos de las anos, aun%ue en otrasculturas *como la a&a* también se representaba el '%, número de dedos deanos & pies.

Con el tiempo !ueron sur&iendo los sisteas de nueraci!n no posicionales,como el e&ipcio, y los posicionales, como el nuestro.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO POSICIONALES

n los sisteas no posicionales, los d)&itos tienen el valor del s($olo utilizado,%ue no depende de la posici!n %ue ocupan en el número

.

n estos sistemas, aun%ue se pre!er)a un orden de representaci$n, los d)&itospod)an aparecer en cual%uier posici$n.

ntre los sistemas de numeraci$n no posicional se encuentra el e)ipcio.

l sistea de nueraci!n e)ipcio era decial y no posicional. Cada unidad serepresentaba con un trazo vertical- las decenas, con un arco, y las centenas, millares, decenasde millar, centenas de millar y millones, con un (ero&l)!ico espec)!ico.

Observa los siguientes ejemplos y comprueba que el valor es el mismo enambos casos.



SISTEMAS DE NUMERACIÓN SEMI-POSICIONALES

stos sistemas no son estrictaente posicionales y al&unos de los s)mbolostienen el mismo valor en distinta posici$n.

ntre estos sistemas de numeraci$n se encuentra el roano.

l sistea de nueraci!n roana se utiliz$ en los territorios romanos y aún se si&ueusando para indicar los si&los, para representar el mes en la expresi$n abreviada

S($olos I * + L C , M

*alor decial / 0 /1 01 /11 011 /111

USS D LS 2345S 5462S

Se emplea la numeraci$n romana en los si&uientes casos7/. n los si&los, aun%ue para el caso de su escritura en textos impresos se pre!iere eluso de la versalita. Col$n lle&$ a 6mérica a !inales del si&lo 89.:. n los nombres propios como son los de los papas, los reyes "y dinast)as# y,excepcionalmente, persona(es de lina(es muy elevados desde el punto de vista social.l papa ;uan <ablo == muri$ en el a+o :110. La tradici$n dice %ue Carlos === 'a sido >elme(or alcalde de 4adrid>.?. n con&resos, !erias, olimp)adas, !estivales, simposios, certámenes, etc. 4a+ana seconocerá al &anador del === Certamen de literatura de nuestra asociaci$n. n libros, losvolúmenes, las partes, cantos, cap)tulos, secciones y demás divisiones de unapublicaci$n.@. Del mismo modo, se usan en los actos y escenas de una obra de teatro y paranumerar las pá&inas de los pr$lo&os y principios de un libro.

0. n las si&uientes divisiones militares7 armadas, cuerpos del e(ército, a&rupaciones o&rupos, escuadrillas o &rupos de in!anter)a de marina, secciones de in!anter)a demarina y escuadras de in!anter)a de marina. =9 Cuerpo del (ército, == 6&rupaci$n. <aralas re&iones militares. === re&i$n 4ilitar.A. n la denominaci$n de las carreteras nacionales radiales. La nacional = une 4adride =rún.

6LBU26S 5BL6S D L6 2U456C=2 54626/. Si se repiten ci!ras i&uales de !orma consecutiva, se suman sus valores.

== : CCC ?11:. Si aparecen dos ci!ras desi&uales se&uidas, se sumarán si la primera es mayor "oi&ual# %ue la se&unda, y se restarán si la primera es menor %ue la se&unda.

9= 9 es mayor %ue = 0E/ A 8C 8 es menor %ue C /11/1 G1?. 9, D y L no se repiten, pues existen letras %ue poseen el valor correspondiente.

H 99 8 H LL C H DD 4@. Una raya encima del número romano indica %ue dic'o número %ueda multiplicadopor /111. Si aparecen más rayas, la multiplicaci$n será por / 111 tantas veces comorayas aparezcan.0. tra convenci$n es la de poner una raya de subrayado, en lu&ar de una doble rayapara indicar la multiplicaci$n por / 111 111.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONAL

n estos sistemas la posici!n de cada d()ito deterina su valor tanto

)lo$alente coo individualente. -uestro sistea de nueraci!n es posicional.



Veamos un ejemplo:

?I0 ? centenas J ?11 unidades:/? ? unidades J ? unidades

EJERCICIOS CON SOLUCIÓN

/0ACTIC

1. scribe en nuestro sistema de numeraci$n los si&uiente números escritos en elsistema e&ipcio7

J Soluci!n: :?

J Soluci!n: /: :0I'. scribe en el sistema romano los si&uientes números7

a# /G Soluci!n: 8=8 b# @G Soluci!n: 8L=8 c# /GG Soluci!n: C8C=8

d# KGI Soluci!n: DCCC8C9== e# /0?0 Soluci!n: 4D8889 !# 0:?@ Soluci!n: 9CC888=9

2. =nvesti&a sobre los si&uientes sistemas de numeraci$n e indica si sonposicionales o no posicionales7

a# 2umeraci$n babil$nica Soluci!n: posicional b# 2umeraci$n maya Soluci!n: no posicional

A/LICA L A/0E-,I,

n la localidad de <uentesampayo !ue librada una batalla contra los!ranceses decisiva en la Buerra de =ndependencia. bserva la placaconmemorativa y contesta7



1. La batalla se produ(o en el mes de (unio y dur$ dos d)as. Mué d)asN Soluci!n: I y K de (unio

'. =ndica el a+o en el %ue se produ(o el suceso7 Soluci!n: /K1G2. La placa se puso para conmemorar el OOOOO aniversario Soluci!n: /I03. n %ué a+o se puso la placaN Soluci!n: /GK@

CA/. 1

Los números naturales

NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN

2uestro sistema de numeraci$n, %ue naci$ en la =ndia en el si&lo 9== y lle&$ a uropa a través de los

árabes, presenta dos caracter)sticas !undamentales7 es decial y posicional.

s decimal por%ue utiliza diez cifras para !ormar una unidad de orden superior.

Las diez ci!ras utilizadas para escribir los números son7 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ! " .

Dado %ue solo disponemos de estos diez d)&itos, representaremos cantidadesde la si&uiente !orma7 para cantidades entre % & 4 unidades utilizamos númeroscon una cifra- para cantidades entre 1% & 44 unidades, números de dos cifras-para cantidades entre 1%% & 444 unidades, números de tres cifras- y as)sucesivamente.

s posicional por%ue el valor de cada ci!ra depende del lu)ar o posici!n %ueocupa.

n el sistema de numeraci$n decimal, el lu&ar %ue ocupa una ci!ra nos indicasu orden. Los distintos lu&ares %ue puede ocupar un s)mbolo "ci!ra# son losdistintos !rdenes o cate)or(as de unidades "unidades5 decenas5 centenas,etc.#.

Los números 2543, 2534, 2345 y 3543 están !ormados por las mismas ci!ras (2, 3, 4 y5) y, sin embar&o, su valor es distinto. sto se debe a la posici$n %ue ocupa cada ci!raen cada caso.



<or e(emplo, el d)&ito ? puede valer ? si está en la posici$n de las unidades, pero vale?1 si está en la posici$n de las decenas, y ?11 si está en la posici$n de las centenas.

Beneralizando, cada vez %ue nos movemos una posici!n 6acia la izquierda, el d)&itovale diez veces ás- y cada vez %ue nos movemos una posici!n 6acia la derec6a,vale diez veces enos.



LOS NÚMEROS NATURALES

Se da este nombre a cada uno de los elementos de la sucesi$n "1, /, :, ?...# %ue sirve para contar,

ordenar, medir o codi!icar.

Son infinitos: P1, /, :, ?, @, 0, A, I, K, G, /1, //, QSe pueden ordenar: 1 R / R : R ? R @ R A R I R K R G R /1 R //Se representan ordenados en una l(nea recta:

USO DE LOS NÚMEROS NATURALES #I$

stamos rodeados de números %ue solemos usar para contar , ordenar , edir o codificar .

/A0A C-TA0

La primera necesidad %ue tuvieron todas las civilizaciones, incluso antes %ue la de

ordenar, !ue la de contar /

. <or ello, se puede decir %ue los números naturales se 'aninventado para poder realizar esta tarea.

n la actualidad solemos contar varias veces al d)a y en diversas situaciones7 elnúmero de naran(as %ue necesitamos para el zumo del desayuno, los cubiertos %ue'emos de poner en la mesa, las mudas %ue debo llevar en la maleta para realizar unvia(e, el número de bolas %ue necesito para (u&ar al billar, etc.

Actividad propuesta

<ara (u&ar al billar necesitamos %uince bolas de colores y una bola blanca, por lo %ueantes de iniciar el (ue&o debemos contarlas para comprobar %ue no !alta nin&una.



Comprueba si !altan o sobran bolas. Soluci!n: stán todas las bolas7 %uince de colores y una blanca.

/. 6l&unos autores piensan lo contrario, como puede leerse en el libro umeraci!n yc"lculo "/GKK# de ernardo B$mez 6l!onso.

LA ESTIMACI7-

Se estima cuando se cuenta una cantidad de fora apro8iada y rápida. Suele 'acerse cuando noes necesario o resulta di!)cil 'acerlo con precisi$n.

Solemos estimar, por e(emplo, cuando %ueremos calcular la comida y bebida %ue necesitamos

para or&anizar una !iesta, cuando necesitamos saber si el a!oro de un &imnasio es su!icientepara or&anizar un acto o cuando %ueremos tener una idea de las personas %ue 'an participadoen una mani!estaci$n.

Actividad propuesta

Cuenta los mani!estantes de la cuadr)cula amarilla y multiplica por cuatro. Tendrásuna estimaci$n de las personas %ue aparecen en la ima&en. Soluci!n: Seestima %ue asistieron @K personas.

USO DE LOS NÚMEROS NATURALES #II$

/A0A 0,E-A0

n nuestra vida cotidiana solemos ordenar con mayor !recuencia de la %uepudiésemos pensar.

Tomemos como e(emplo las si&uientes situaciones7 cuando vamos a la carnicer)a,pescader)a o !ruter)a- cuando vamos al médico- cuando participamos en una carrerapopular como la San Silvestre- cuando vamos a entrar en un espectáculo n todos



estos casos se nos asi&na un número %ue establece el orden en el %ue nos van aatender o el orden de lle&ada.

Actividad propuesta

=ndica el dorsal del c'ico o c'ica %ue va en :.posici$n. Soluci!n: Dorsal ???.

-o$res que reci$en los n#eros ordinales:

5BL6S <656 L6 SC5=TU56 D 5D=26LS

/. Todos los ordinales tienen &énero masculino y !emenino7 a. Cuando está !ormado por dos o más palabras s$lo concuerda en &énero la últimapalabra. <or e(emplo, vi&ésimo se&unda. 4ar)a es la se&unda y <ablo el tercero. b. n la !orma abreviada el &énero masculino se escribe con el cardinal acompa+adode una VoW en el super)ndice, por e(emplo /X- cuando el &énero es !emenino se escribe con el cardinalcorrespondiente acompa+ado de una VaW en el super)ndice, por e(emplo :. 4ar)a es la: y <ablo el ?X.

:. Desde el //XY// 'asta el /GXY/G se escribe sin separar los compuestos %ue !ormanla palabra. <or e(emplo, decimotercero.



?. 6 partir del vi&ésimo, :1X, se escriben las decenas separadas de las unidades. <or e(emplo, vi&ésimo tercero.@. 2ombre de las decenas. a. Forma masculina7 décimo, vi&ésimo, tri&ésimo,cuadra&ésimo, %uincua&ésimo, sexa&ésimo, septua&ésimo, octo&ésimo, nona&ésimo.b. Forma !emenina7 décima, vi&ésima, tri&ésima, cuadra&ésima, %uincua&ésima,sexa&ésima, septua&ésima, octo&ésima, nona&ésima.

0. 6 partir del vi&ésimo, aun%ue se escriba el ordinal correspondiente, en el len&ua(eoral se suele utilizar el cardinal correspondiente. <or e(emplo, el veinticinco ":0X#.DS 9=T65 vita el error de decir Vntra el onceavoW 5ecuerda7 l su!i(o ZavoYa'ace re!erencia a las partes en las %ue se divide la unidad. Se emplea a partir delonceavoYa

/A0A ME,I0

<ara medir una ma&nitud "peso, altura, lon&itud, etc.# utilizamos los números naturalesantes de la unidad de edida correspondiente. <or e(emplo7 2## g, $# min, 2# cm,

etc.

ntre las edidas %ue 'abitualmente 'acemos con números naturales están lassi&uientes7 el peso de al&unos productos de c'arcuter)a como el pavo o el %ueso,

normalmente en )raos 9) o ;ilo)raos 9;)- el tiempo empleado en unacompetici$n deportiva, ense)undos 9s o inutos 9in- la lon&itud de los ob(etos,en etros 9 o cent(etros 9c- etc.

6s), cuando vamos a la c'arcuter)a solemos pedir cantidades de estetipo7 3## gramos %e pavo, $5# gramos %e queso o me%io &ilo "011 &ramos#de jam!n serrano.

/A0A C,I<ICA0

sta !unci$n tiene cada vez más importancia en nuestra sociedad. Los números %ueutilizamos para codificar no ordenan ni miden y, sin embar&o, proporcionan muc'ain!ormaci$n.

<ensemos en un n#ero de tel=fono, por e(emplo el '5#4' . Sabemos%ue se trata de un telé!ono asturiano ubicado en el conce(o de Llanera.

'5 nos indica %ue el telé!ono está ubicado en 6sturias. Las ci!ras II son las asi&nadas a Llanera.

tros e(emplos son7 el ,-I, el -I<, el IS>-, el c!di)o postal o el c!di)o de$arras %ue llevan los productos %ue se comercializan como las ma%uinillas, el

c'ampú



EJERCICIOS CON SOLUCIÓN

A/LICA L A/0E-,I,

1. Cuenta todos los cuadrados %ue !orman las seis caras del cubo de

5úbi[. Soluci!n: 0@ cuadrados "G amarillos, G azules, G blancos, Gnaran(as, G ro(os y G verdes#.

'. Cuando 'a&o carrera continua suelo comprobar con el puls$metro loslatidos de mi coraz$n. n esta ocasi$n, realicé dos mediciones7 en laprimera lat)a a /:1 pulsaciones por minuto y en la se&unda a /11

pulsaciones por minuto. Con estos datos, 'az una estimaci$n sobre elnúmero de latidos %ue 'e tenido en un entrenamiento de A1minutos. Soluci!n: AA11 pulsaciones o latidos del coraz$n.

2. \az una estimaci$n de los &ranos %ue contiene un pa%uete de arroz de /[&. /ista: pesa una cantidad pe%ue+a de arroz, por e(emplo :0 &ramos-cuenta los &ranos y multiplica por @1.

3. 4ientras Fidel esperaba en la cola para sacar una entrada para ver elconcierto de su &rupo !avorito, lle&$ su ami&a Caro. n ese momento, élocupaba el lu&ar cuadra&ésimo tercero y ella ten)a delante A? personas.

Cuántas personas ten)a delante FidelN Soluci!n: @: personas.

Mué lu&ar ocupaba Caro en la !ilaN Soluci!n: Sexa&ésimocuarta.

?. Se+ala la unidad %ue utilizar)as para realizar las si&uientes mediciones7

a# Muiero comprar (am$n cocido. Soluci!n: &ramos "&# b# Deseo medir mi peso. Soluci!n: [ilo&ramos "[&# c# Tiempo empleado por atleta en recorrer /11 metros lisos.

Soluci!n: se&undos "s# d# Tiempo %ue dura un partido de !útbol.

Soluci!n: minutos "min# e# Distancia entre dos ciudades. Soluci!n: [il$metros "[m# !# 6nc'o de una calle. Soluci!n: metros "m#



@. ntre los números codi!icados se encuentra la !ec'a de nacimiento.Supon&amos %ue 'emos nacido el /I de mayo de /GK1. li&e lacodi!icaci$n adecuada

a# /IYmayoY/GK1

b# DiecisieteY10Y/GK1

c# /IY10Y/GK1 Soluci!n correcta

. Si 4anu naci$ el :1Y1:Y/GG1, en %ué mes naci$N Cuántos a+os tendrá en el a+o:1:1N Soluci!n: n !ebrero. ?1 a+os.

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