matematicai 1

NOTAS DE MATEMÁTICA I

Prof. Wilmer O. Colmenárez R.

Septiembre, 2007

Contenido

1 Números Reales 31.1 Propiedades de las desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Propiedades de los Valores Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Desigualdad Triángular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Funciones 52.1 Función Par e Impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Clasi�cación de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Función Periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Función Creciente y Decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 Función Acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.6 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.7 Operaciones con Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.8 Composición de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.9 Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.10 Desplazamiento de las Grá�cas de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.11 Algunas Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.12 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Límte de Funciones y Sucesiones 10

3.1 Límite de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1.1 Propiedades de los Límites de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Límites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Límite de una Sucesión In�nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 Límite de Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.7 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.8 Límites al In�nito y Límites In�nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.9 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.10 Ejercicios de Repaso del Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Continuidad de Funciones 164.1 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

5 La Derivada 185.0.1 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.1 Algunos Teoremas Importantes de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.1.1 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.2.1 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3 La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3.1 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.4 Derivación Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.4.1 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.5 Derivación de la Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.6 Derivación de la Función Logaritmica y Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.6.1 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.7 Derivación de Funciones Trigonómetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.7.1 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.8 Derivada de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275.8.1 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.9 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.9.1 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Aplicaciones de la Derivada 296.1 Máximos y Mínimos Locales de una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2 Criterio de la Primera Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.3 Concavidad y Criterio de la Segunda Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.4 Ejercicios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2

Capítulo 1

Números Reales

1.1 Propiedades de las desigualdades

Las propiedades de las inecaciones son las siguientes:

1. Si a > b y b > c, entonces a > c

2. Si a > b, entonces a+ c > b+ c

3. Si a > b, entonces a� c > b� c

4. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc

5. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc

6. Si a > b > 0, entonces a2 > b2

1.2 Valor Absoluto

De�nición 1 Sea a un número real. El valor absoluto de a se denota por jaj y está dado por: jaj =�

a si a � 0�a si a < 0

1.2.1 Propiedades de los Valores Absolutos

1. jaj < b si y sólo si �b < a < b

2. jaj > b si y sólo si a > b o bien a < �b

3. jaj = b si y sólo si a = b o bien a = �b

1.2.2 Desigualdad Triángular

ja+ bj � jaj+ jbj

Demostración 1 Para todo númer x 2 R, se tiene que � jxj � x � jxj, por lo tanto � jaj � a � jaj y � jbj � b � jbj,por consiguiente � jaj � jbj � a+ b � jaj+ jbj.De lo anterior, � (jaj+ jbj) � a+ b � jaj+ jbjLuego, ja+ bj � jaj+ jbj

De�nición 2 Sean A y B dos puntos sobre la recta coordenada l, a y b sus coordenadas respectivas. La distanciaentre A y B se denota por d (A;B) = ja� bj

3

1.3 IntervalosIntervalo Abierto (a; b) = fx 2 R : a < x < bgIntervalo Cerrado [a; b] = fx 2 R : a � x � bg

Intervalos Semiabiertos(a; b] = fx 2 R : a < x � bg[a; b) = fx 2 R : a � x < bg

Intervalos In�nitos

(a;+1) = fx 2 R : x > ag[a;+1) = fx 2 R : x � ag(�1; a) = fx 2 R : x < ag(�1; a] = fx 2 R : x � ag

1.4 Ejercicios

1. Sea S =��1; 0; 1

2;p2; 2

�. Mediante sustitución determine cuál de los elementos de S sastiface la desigualdad

dada.

a. x+ 1 � 0 b. x+ 2 < 0

c.1

x� 1

2d. jx� 1j > 1

2. Resuelva la desigualdad. Exprese la solución en forma de intervalo e ilustre el conjunto solución en la recta real.

a. 3x � 12 b. �4x > 16 c. 20 < �4xd. 2x� 5 > 3 e. 7� x � 5 f. 3x+ 11 � 6x+ 8g. 4� 3x � � (1 + 8x) h. (x� 2) (x� 5) > 0 i. x2 � 3x� 18 � 0

j. x2 > 3 (x+ 6) k.x2 � 4x2 + 4

� 0 l.1

1� x �3

x

m.x

x+ 2� 1

xn.

x� 32x+ 5

� 1 o.1

x+

1

x+ 1<

2

x+ 2

p.1

jx+ 7j > 2 r.1

x< 4 s. x4 > x2

4

Capítulo 2

Funciones

De�nición 3 Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una correspondencia que asigna a cada elementox 2 A un único elemento y, con y 2 B.

Observación 1 El elemento y de B es el valor de f en x y se denota por f (x). El conjunto A se denomina Dominiode la función f (Df ) y el conjunto de todos los valores posibles de f (x) se llama Rango de la función (Rf ).

Ejemplo 1 La función f : R! R, de�nida por f (x) = x2.

Ejemplo 2 La función f : R! Z, de�nida por f (x) = [x]. "Función parte entera" ejemplo: f (1; 2) = [1; 2] = 1.

2.1 Función Par e Impar

De�nición 4 Sea f una función tal que si x 2 Df , entonces �x 2 Df , se tiene las siguientes de�niciones:

(i) f es par si f (x) = f (�x) , 8x 2 Df(ii) f es impar si f (x) = �f (�x) , 8x 2 Df

Observación 2 La grá�ca de una función par es simétrica con respecto al eje y. La grá�ca de una función impar essimétrica con respecto al origen ( el punto (0; 0)).

Ejemplo 3 La función f , de�nida por f (x) = x2 + 1 es pa·r. Y la de�nida por f (x) =1

xes impar.

2.2 Clasi�cación de Funciones

De�nición 5 Sea f una función de A en B, se dice que f es sobreyectiva si para todo b 2 B, existe un a 2 A, talque f (a) = b.

De�nición 6 Sea f una función de A en B, se dice que f es inyectiva si para todo a 6= b, con a; b 2 A se tiene quef (a) 6= f (b).

Observación 3 La función inyectiva se conoce como también función biunívoca.

Ejemplo 4 La función f , de�nida por f (x) = 3x+ 2 es biunívoca. Pero, la función g, de�nida por g (x) = x4 + 2x2

no lo es.

De�nición 7 Sea f una función de A en B, se dice que f es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva.

2.3 Función Periódica

De�nición 8 Se dice que una función f : R! R es periódica si existe un número real positivo k tal que t+ k 2 Dfy f (t+ k) = f (t), para todo t 2 Df .

Observación 4 Geométricamente esto signi�ca que la grá�ca de f se repite cuando las abcisas de los punto tomanvalores en intervalos sucesivos de amplitud k.

Ejemplo 5 La función de�nida por g (x) = senx, es periódica, de amplitud 2�.

5

2.4 Función Creciente y Decreciente

De�nición 9 Sea f una una función, se dice que f es creciente en I � Df , si para todo a; b 2 I con a < b, se tieneque f (a) < f (b).

De�nición 10 Sea f una una función, se dice que f es decreciente en I � Df , si para todo a; b 2 I con a < b, setiene quef (a) > f (b).

2.5 Función Acotada

De�nición 11 Sea f una función, se dice que a 2 R es una cota superior de f , si para todo x 2 Df , se tiene quef (x) � a.

De�nición 12 Sea f una función, se dice que a 2 R es una cota inferior de f , si para todo x 2 Df , se tiene quef (x) � a.

De�nición 13 Sea f una función, si f tiene cota superior e inferior, se dice que f es una función acotada.

2.6 Ejercicios:

1. Sea f (x) = x3 + 4x� 3. Calcular f (1), f (�1), f (0) y f�p2�

2. Sea f (x) =px� 1 + 2x. Calcular f (1), f (3), f (5) y f (10)

3. Dada la función f (x) = 3x2 � x+ 2. Calcular:

(a) f (a), f (�a), �f (a), f (a+ h), f (a) + f (b)

(b)f (a+ h)� f (a)

h, con h 6= 0

4. Dada la función f (x) =1

x2 + 1. Calcular:

(a) f (a), f (�a), �f (a), f (a+ h), f (a) + f (b)

(b)f (a+ h)� f (a)

h, con h 6= 0

5. Dada la función g (x) =1

x2 + 4. Calcular: g

�1a

�, 1g(a) , g

�a2�, [g (a)]2, g (

pa),pg (a)

6. Dada la función g (x) =1

x. Calcular: g

�1a

�, 1g(a) , g

�a2�, [g (a)]2, g (

pa),pg (a)

7. Determine el dominio de las siguientes funciones:

a. f (x) =p3x� 5 b. f (x) =

p7� 2x c. f (x) =

p4� x2

d. f (x) =px2 � 9 e. f (x) =

x+ 1

x3 � 9x f. f (x) =4x+ 7

6x2 + 13x� 5

8. Determine si la función f es inyectiva

a. f (x) = 2x+ 9 b. f (x) = 5� 3x2 c. f (x) =px

d. f (x) =1

7x+ 9e. f (x) = 2x2 � x� 3 f. f (x) = x3

g. f (x) = jxj h. f (x) = 4

6

9. Determine si la función f es par o impar

a. f (x) = �4x+ 3 b. f (x) = 4x� 3 c. f (x) = �3d. f (x) = 3 e. f (x) = 4� x2 f. f (x) = 3x3 � 4xg. f (x) = 7x4 � x2 + 7 h. f (x) = 9� 5x2 i. f (x) = 2x5 � 4x3j. f (x) = 2x3 + x2 k. f (x) =

p1 + x2 l. f (x) = 3

px3 � 4

m. f (x) = 5 + jxj

10. Trace la grá�ca y determine Df y Rf

a. f (x) = �4x+ 3 b. f (x) = 4x� 3 c. f (x) = �3d. f (x) = 3 e. f (x) = 4� x2 f. f (x) = �

�4 + x2

�g. f (x) =

p4� x2 h. f (x) =

px2 � 4 i. f (x) =

1

x� 4j. f (x) =

1

(x� 4)2k. f (x) =

x

jxj l. f (x) = x+ jxj

m. f (x) =p4� x n. f (x) = 2�

px

11. Trace la grá�ca y determine Df y Rf

a. f (x) =

�2 si x < 0�1 si x � 0 b. f (x) =

8<: 3 si x < �3�x si �3 � x � 3�3 si x > 3

c. f (x) =

8<: x si x < 0�x si 0 � x < 1x2 si x � 1

d. f (x) =

8<: x si x � 1�x2 si 1 < x < 2x si x � 2

e. f (x) =

8<: x2 � 4x� 2 si x 6= 23 si x = 2

f. f (x) =

8<: x2 � 11� x si x 6= 13 si x = 1

12. Explique por que la grá�ca de la ecuación x2 + y2 = 1 no es una función.

13. Demuestre que una función f es inyectiva si y sólo si toda recta horizontal corta a la grá�ca de f a lo sumo enun punto.

14. Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectangular que tiene dimensión 20 cm x 30cm. Para ello se recortarán cuatro cuadros idénticos de área x2, uno en cada esquina y se doblarán hacia arribalos dos resultantes. Exprese el volumen V de la caja como una función de x.

15. Determine el dominio de las siguientes funciones

a. f (x) =1

x� 3 b. f (x) =1

3x� 6 c. f (x) =x+ 2

x2 � 1d. f (x) =

x4

x2 + x� 6 e. f (x) =x3 + 1

x3 � x f. f (x) = 4px+ 9

g. f (t) = 3pt� 1 h. g (x) =

p2 + x

3� x i. F (x) =xpx� 10

j. F (x) = x2 � xp9� 2x

k. G (x) =px+

p1� x l. G (x) =

px+ 2� 2

px� 3

m. G (x) = 4px2 � 6x n. G (x) =

px2 � 2x� 8 h (x) =

rx2 � 2xx� 1

2.7 Operaciones con Funciones

Consideremas que las funciones reales f y g, tienen el mismo dominio, es decir, Df = Dg.

Adición (f + g) (x) = f (x) + g (x)

Sustracción (f � g) (x) = f (x)� g (x)Multiplicación (f � g) (x) = f (x) � g (x)División (f : g) (x) = f (x) : g (x), con g (x) 6= 0

7

Ejemplo 6 Consideremos las funciones f y g, de�nida por: f (x) = x y g (x) = x+ 2

(f + g) (x) = f (x) + g (x) = x+ x+ 2 = 2x+ 2(f � g) (x) = f (x)� g (x) = x� (x+ 2) = �2(f � g) (x) = f (x) � g (x) = x (x+ 2) = x2 + 2x(f : g) (x) = f (x) : g (x) = x : (x+ 2) = x

x+2

2.8 Composición de Funciones

De�nición 14 Consideremos las funciones f y g. Si Rg � Df , la composición f � g, se de�ne: (f � g) (x) = f (g (x))

Ejemplo 7 Consideremos las funciones f y g, de�nida por: f (x) = x2 y g (x) = x + 2, se tiene que (f � g) (x) =f (g (x)) = f (x+ 2) = (x+ 2)

2

2.9 Función Inversa

Teorema 1 Si f es una función uno a uno, existe una y sólo una función g de�nida sobre Rf y que sastiface laecuación f (g (x)) = x, para todo x 2 Rf .

Demostración 2 Consideremos que x 2 Rf .Luego, por hipótesis f es uno a uno, por lo tanto existe un g (x) 2 Df tal que f (g (x)) = x.

De�nición 15 Sea f es una función uno a uno. La inversa de f , se simboliza por f�1, es la única función de�nidaen Rf y que cumple la ecuación f

�f�1 (x)

�= f�1 (f (x)) = x, para todo x 2 Rf . .

Observación 5 La función inversa f�1 es simétrica con respecto a la recta y = x a la función f .

Ejemplo 8 Consideremos la función f , de�nida por f (x) =3x+ 2

5, se tiene que f�1 (x) =

5x� 23

. Evaluemos

f�f�1 (x)

�y f�1 (f (x)),

f�f�1 (x)

�= f

�5x� 23

�=3�5x�23

�+ 2

5=5x� 2 + 2

5=5x

5= x

f�1 (f (x)) = f�1�3x+ 2

5

�=5�3x+25

�� 2

3=3x+ 2� 2

3=3x

3= x

2.10 Desplazamiento de las Grá�cas de Funciones

En la tabla que se muestra a continuación están los despalzamiento de las grá�cas.

Desplazamientos Verticales

f (x) + c, con c > 0 c unidades hacia arriba

f (x)� c, con c > 0 c unidades hacia abajo

Desplazamientos Horizontales

f (x+ c), con c > 0 c unidades hacia la izquierda

f (x� c), con c > 0 c unidades hacia la derecha

8

2.11 Algunas Funciones

Las funciones esenciales, o más conocidas son las que se presentan a continuación

FUNCIÓNConstanteAfín

CuadráticaExponencialLogarítmica

Trigonometricas

FORMA Dominiof (x) = k, con k 2 R Rf (x) = mx+ b R

f (x) = ax2 + bx+ x, con a 6= 0 Rf (x) = ax, con a > 0 y a 6= 1 Rf (x) = logb x, con b > 0 , b 6= 1 R+

sen�, cos�, sec�,csc�, tan�, ctg�, sen�,

Observación 6 Las funciones de la forma f (x) = anxn+an�1xn�1+ � � �+a1x+a0, se denomina función polinómica.

2.12 Ejercicios:

1. Determine la suma, la resta, la multiplicación y el cociente de f y g

a. f (x) = 3x2 g (x) =1

2x� 3b. f (x) =

px+ 3 g (x) =

px+ 3

c. f (x) = x+1

xg (x) = x� 1

xd. f (x) = x3 + 3x g (x) = 3x2 + 1

e. f (x) = 2x3 � x+ 5 g (x) = x2 + x+ 2 f. f (x) = 7x4 + x2 � 1 g (x) = 7x4 � x3 + 4x

2. Realizar la composición f � g

a. f (x) = 2x+ 5 g (x) = x2 b. f (x) = x2 g (x) = 2x+ 5

c. f (x) =px g (x) = x2 + 5 d. f (x) = x2 + x g (x) = x

13

e. f (x) =1

xg (x) =

1

xf. f (x) = x2 g (x) =

1

x� 1g. f (x) = x� 1 g (x) =

1

xh. f (x) = x2 � 1 g (x) = x (x� 1)

i. f (x) =1

x� 1

x+ 1g (x) =

1

x2j. f (x) =

1px� 1 g (x) =

1

x2

k. f (x) = 7 g (x) = 4 l. f (x) = jxj g (x) = �5m. f (x) = x3 � 1 g (x) = 3

px+ 1

3. Realizar la composición f � g � h

a. f (x) = 4x g (x) = x� 1 h (x) = x2 b. f (x) = x� 1 g (x) = 4x h (x) = x2

c. f (x) = x2 g (x) = x� 1 h (x) = x4 d. f (x) = x� 1 g (x) = x2 h (x) = 4x

e. f (x) =1

xg (x) =

1

2x+ 1h (x) = x2 f. f (x) =

x+ 1

xg (x) =

1

2x+ 1h (x) = x2

4. Hallar f de manera que f � g = F

a. g (x) =1� x1 + x

F (x) =1 + x

1� xb. g (x) = x2 F (x) = ax2 + b

c. g (x) = �x2 F (x) =pa2 � x2

5. Hallar g de manera que f � g = F

a. f (x) = x2 F (x) =

�1� 1

x4

�2b. f (x) = x+

1

xF (x) = a2x2 +

1

a2x2

c. f (x) = x2 + 1 F (x) =�2x3 � 1

�2+ 1

6. Hallar la inversa si es posible.

a. f (x) = 5x+ 3 b. f (x) = 4x� 7 c. f (x) = mx+ b

d. f (x) = x5 e. f (x) = x5 + 1 f. f (x) = (1� x)3

g. f (x) = 1 + 3x3 h. f (x) = x3 � 1 i. f (x) = (x+ 1)3+ 2

j. f (x) = (4x� 1)3 k. f (x) = x35 l. f (x) =

�1� x3

�5m. f (x) =

1

xn. f (x) =

1

x3 + 1

9

Capítulo 3

Límte de Funciones y Sucesiones

3.1 Límite de Funciones

De�nición 16 Sea a un punto de un intervalo abierto, sea f una función de�nida en todo el intervalo, no necesari-amente en a, y L 2 R. Entonces, lim

x!af (x) = L si y sólo si para todo " > 0 existe un � > 0 tal que si 0 < jx� aj < �,

entonces jf (x)� Lj < "

Observación 7 limx!a

f (x) = L () (8" > 0) (9� > 0) (0 < jx� aj < � =) jf (x)� Lj < ")

Ejemplo 9 Probemos que limx!4

3x� 12

=11

2. Se tiene que f (x) =

3x� 12

. Evaluemos

��f (x)� 112�� < "��f (x)� 112

�� < " =)��3x� 12

� 112

�� < "=)

��3x� 1� 112

�� < "=) j3x� 1� 11j

j2j < "

=) j3x� 12j < 2"=) j3j jx� 4j < 2"=) jx� 4j < 2

3"

Consideremos � =2

3", es decir, (8" > 0) (9� > 0)

3.1.1 Propiedades de los Límites de Funciones

Teorema 2 limx!a

c = c, con a; c 2 R

Teorema 3 limx!a

x = a, con a 2 R

Teorema 4 Si limx!a

f (x) = L y limx!a

g (x) =M , entonces

1. limx!a

[f (x)� g (x)] = L�M

2. limx!a

[f (x) � g (x)] = L �M

3. limx!a

�f (x)

g (x)

�=L

M, si M 6= 0

4. limx!a

[kf (x)] = kL, con k 2 R

Teorema 5 Si m;a; b 2 R, entonces limx!a

(mx+ b) = ma+ b

Teorema 6 Sea n 2 Z+. Enonces,

10

1. limx!a

xn = an

2. limx!a

[f (x)]n=hlimx!a

f (x)in, si lim

x!af (x) existe

Teorema 7 Si f (x) es una función polinómica y a 2 R, se tiene que limx!a

f (x) = f (a).

Teorema 8 Sean f; g; h funciones tales que f (x) � g (x) � h (x) y limx!a

f (x) = L = limx!a

h (x). Entonces, limx!a

g (x) =

L.

3.2 Límites Laterales

De�nición 17 Límite por la Izquierda. Sea f una función de�nida en un intervalo (c; a). Entonces, limx!a�

f (x) =

L1 signi�ca que f (x) puede acercarse arbitrariamente a L1 escogiendo x su�cientemente cerca de a, con x < a.

De�nición 18 Límite por la Derecha. Sea f una función de�nida en un intervalo (a; c). Entonces, limx!a+

f (x) = L2

signi�ca que f (x) puede acercarse arbitrariamente a L2 escogiendo x su�cientemente cerca de a, con x > a.

3.3 Ejercicios:

1. Demuestre los siguientes límites por de�nición.

a. limx!4

3x = 12 b. limx!5

(�4x) = �20 c. limx!2

(5x� 3) = 7d. lim

x!�3(2x+ 1) = �5 e. lim

x!�6(10� 9x) = 64 f. lim

x!4(8x� 15) = 17

g. limx!3

5 = 5 h. limx!a

x = a, con a 2 R

2. Determine si los límites limx!1

f (x), limx!1�

f (x) y limx!1+

f (x)

a. f (x) =

8<: x2 + 1 si x < 11 si x = 1

x+ 2 si x > 1b. f (x) =

�x3 si x � 13� x si x > 1

c. f (x) =

�3x� 1 si x � 13� x si x > 1

d. f (x) =

�jx+ 1j si x 6= 11 si x = 1

e. f (x) =

( 1

x� 1 si x < 1

1 si x � 1

3. Calcular los siguientes límites

a. limx!4�

jx� 4jx� 4 b. lim

x!4+

jx� 4jx� 4 c. lim

x!5�

x� 5jx� 5j

d. limx!5+

x� 5jx� 5j e. lim

x!0�

1

x3f. lim

x!0+

1

x3

4. Pruebe que limx!0

senx

x= 1

11


a. limx!�2

�3x3 � 2x+ 7

�b. lim

x!p2

�x2 + 3

�(x� 4) c. lim

x!4

3px2 � 5x� 4

d. limx!�2

px4 � 4x+ 1 e. lim

x! 12

2x2 + 5x� 36x2 � 7x+ 2 f. lim

x!�3

x+ 31x +

13

g. limx!2

x� 2x3 � 8 h. lim

x!2

x2 � x� 2(x� 2)2

i. limx!16

x�16px�4

j. limx!�2

x3+8x4�16 k. lim

x!1

�x2

x�1 �1

x�1

�l. lim

x!1

�px+ 1p

x

�6m. lim

x!16

2px+ x

23

4px+ 5

n. limx!�8

16x23

4� x 43

o. limx!3

3

r2 + 5x� 3x3x2 � 1

p. limx!�

5

rx� �x+ �

r. limh!0

4�p16� hh

s. limh!0

�1

h

��1p1 + h

� 1�

t. limx!1

(x� 1)5

x5 � 1 u. limx!6

(x+ 4)3(x� 6)2 v. lim

x!3+

q(x� 3)2

x� 3

3.4 Límite de una Sucesión In�nita

De�nición 19 Una sucesión in�nita fang es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros porsitivosZ+ = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; :::g

Ejemplo 10 Considermos la sucesión�1

n

�1n=1

, se puede escribir como�1

n

�. Se tiene que

�1

n

�=1

1;1

2;1

3;1

4;1

5; :::

De�nición 20 Una sucesión fang tiene el límite L, o converge a L, lo cual se denota por limn!1

an = L, si para todo

" > 0 existe un número positivo N tal que jan � Lj < " siempre que n > N . (an ! L). Si el número L no existe, lasucesión no tiene límite o diverge.

3.5 Ejercicios:

Estudie la convergencia de las siguientes sucesiones in�nitas:�1

n

�, f�3g,

�� 2n

�,�1

n+ 3

�, fng,

��1

2

�n�, f3ng,

fsenn�g y fcosn�g.

3.6 Límite de Funciones Trigonométricas

Teorema 9 limx!0

senx = 0

Demostración 3 i. Para x 2�0;�

2

�, se tiene que 0 < senx < x

ii. Para x 2��2; 0�, se tiene que x < senx < 0

Teorema 10 limx!0

cosx = 0

Demostración 4 limx!0

cosx = limx!0

p1� sen2x =

r1�

�limx!0

senx�2=p1� 02 = 1

Teorema 11 limx!0

senx

x= 1

Demostración 5 Para x 2��2;�

2

�, se tiene que cosx <

senx

x< 1.

Teorema 12 limx!0

1� cosxx

= 0

12

Demostración 6 Evaluemos,

limx!0

1� cosxx

= limx!0

1� cosxx

= limx!0

1� cosxx

� 1 + cosx1 + cosx

= limx!0

1� cos2 xx (1 + cosx)

= limx!0

sen2x

x (1 + cosx)= lim

x!0

senx

x� senx

1 + cosx

=�limx!0

senx

x

��limx!0

senx

1 + cosx

�= lim

x!0

senx

1 + cosx=

0

1 + 1= 0

3.7 Ejercicios:

Calcular los siguientes límites

a. limx!0

x

senxb. lim

x!0

senx3px

c. limt!0

sen3t

(2t)3 d. lim

�!0

3� + sen�

�

e. limx!0

2 + senx

3 + xf. lim

x!0

1� cosxx

g. lim�!0

2 cos � � 23�

h. limx!0

x2 + 1

x+ cosx

i. limx!0

sen (�3x)4x

j. limx!0

xsenx

x2 + 1

k. limx!0

1� cosxx23

l. limx!0

1� 2x2 � cosx+ cos2 xx2

m. limx!0

4x2 + 3xsenx

x2n. lim

x!0

x cosx� x22x

o. limx!0

cosx

1� senx p limx!0

senx

1 + cosx

r. limx!0

1� cosxsenx

s. limx!0

senx2x

t. limx!0

xctgx u. limx!0

cscx

ctgxv. lim

�!0�2 csc2 � w. lim

x!0

sen3xsen5x

x. limv!0

cos�v + �

2

�v

y. limx!0

sen2 x2senx

3.8 Límites al In�nito y Límites In�nitos

De�nición 21 limx!+1

f (x) = L() (8" > 0) (9N > 0) : (x > N =) jf (x)� Lj < ")

De�nición 22 limx!�1

f (x) = L() (8" > 0) (9N < 0) : (x < N =) jf (x)� Lj < ")

Teorema 13 San k 2 Q+ y c 2 R. Entonces, limx!�1

c

xk= 0 siempre y cuando xk esté de�nido.

De�nición 23 limx!a

f (x) = +1() (8M > 0) (9� > 0) : (0 < jx� aj < � =) f (x) > M)

De�nición 24 limx!a

f (x) = �1() (8M < 0) (9� < 0) : (0 < jx� aj < � =) f (x) < M)

Teorema 14 Sea n un número par, entonces limx!a

1

(x� a)n = +1.

Teorema 15 Sea n un número impar, entonces limx!a+

1

(x� a)n = +1 y limx!a�

1

(x� a)n = �1.

Observación 8 Si n es un número impar, entonces limx!a

1

(x� a)n no existe.

13

3.9 Ejercicios:

Calcular los siguientes límites

a. limx!1

5x2 � 3x+ 12x2 + 4x� 7 b. lim

x!1

3x3 � x+ 16x3 + 2x2 � 7

c. limx!�1

4� 7x2 + 3x

d. limx!�1

(3x+ 4) (x� 1)(2x+ 7) (x+ 2)

e. limx!1

3

s8 + x2

x (x+ 1)f. lim

x!�1

4x� 3px2 + 1

g. limx!1

p4x+ 1

10� 3x h. limx!1

2x2 � x+ 3x3 + 1

i. limx!4

5x�4 j. lim

x!4

54�x

k. limx!� 5

2

8(2x+5)3

l. limx!� 2

3

�47x+3

m. limx!�8

3x

(x+ 8)2 n. lim

x! 92

3x2

(2x� 9)2

o. limx!�1

2x2

x2�x�2 p limx!2

2x2

x2�x�2

r. limx!1

4x

x2 � 4x+ 3 s. limx!3

4x

x2 � 4x+ 3t. lim

x!0

1

x (x� 3)2u. lim

x!3

1

x (x� 3)2

v. limx!�1

x2

x+ 1w. lim

x!0

1

x

14

3.10 Ejercicios de Repaso del Capítulo

1. Calcular los siguientes límites:

a. limx!3

5x+ 11px+ 1

b. limx!�2

6� 7x(3 + 2x)

4

c. limx!�2

�2x�

p4x2 + x

�d. lim

x!4

�x�

p16� x2

�e. lim

x! 32

2x2 + x� 64x2 � 4x� 3 f. lim

x!2

3x2 � x� 10x2 � x� 2

g. limx! 3

2

x4 � 16x2 � x� 2 h. lim

x!3+

1

x� 3

i. limx!0+

1px

j. limx!5

1x �

15

x� 5k. lim

x! 12

8x3 � 12x� 1 l. lim

x!25

m. limx!3+

3� xj3� xj n. lim

x!2

px�

p2

x� 2

o. limh!0

(a+ h)4 � a4h

p limx!�3

3

rx+ 3

x3 + 27

r. limh!0

(2 + h)�3 � 2�3h

s. limx!� 5

2�

�p5� 2x� x2

�t. lim

x!2+

q(x� 2)2

2� x u. limx!1

x� 1jx� 1j

v. limx!3+

�[x]� x2

�w. lim

x!3�

�[x]� x2

�2. Demuestre por de�nición que lim

x!6(5x� 21) = 9

3. Trace la gra�ca de las siguientes funciones y calcular en límite en a:

a. f (x) =

�3x si x � 2x2 si x > 2

a = 2

b. f (x) =

�x3 si x � 24� 2x si x > 2

a = 2

c. f (x) =

( 1

2� 3x si x < �33px+ 2 si x � �3

a = �3

d. f (x) =

(9

x2si x � �3

4 + x si x > �3a = �3

e. f (x) =

8<: x2 si x < 12 si x = 14� x2 si x > 1

a = 1

f. f (x) =

8<: x4 + x

xsi x 6= 0

2 si x = 0a = 0

4. Calcular los siguientes límites:

a. limx!0

x2

senxb. lim

x!0

x2 + sen2x

4x2

c. limx!0

sen2x+ sen2x

3xd. lim

x!0

2� cosx1 + senx

e. limx!0

2 cosx+ 3x+ 2

5xf. lim

x!0

3x+ 1� cos2 xsenx

15

Capítulo 4

Continuidad de Funciones

De�nición 25 Sea f un función de R en R, se dice que f es continua en a 2 R, si y sólo si,

i. a 2 (b; c) � Df , f (a) existeii. lim

x!af (x) existe

iii. limx!a

f (x) = f (a)

Observación 9 Si f no es continua en a 2 R, se dice que f es discontinua en a.

De�nición 26 Sea f un función de R en R, se dice que f es continua en [b; c], si y sólo si, f es continua en (b; c) yademás,

limx!b

f (x) = f (b) y limx!c

f (x) = f (c)

Teorema 16 Si las funciones f y g son continuas en a, entonces f�g, f �g y fg , con g (a) 6= 0, también son continuas

en a.

Demostración 7 Probemos que f + g es continua en a. Evaluemos, limx!a

(f + g) (x)

limx!a

(f + g) (x) = limx!a

[f (x) + g (x)]

= limx!a

f (x) + limx!a

g (x)

= f (a) + g (a) = (f + g) (a)

Teorema 17 Si f y g son funciones tales que g es continua a y f continua en g (a), entonces f � g es continua en a.

Demostración 8 Por hipótesis, se tiene que limx!a

g (x) = g (a) y limt!g(a)

f (t) = f (g (a))

Ahora, probemos que limx!a

f (g (x)) = f (g (a)), es decir, (8" > 0) (9� > 0) jx� aj < � =) jf (g (x))� f (g (a))j < "Por hipótesis, se tiene que(8" > 0) (9�1 > 0) jt� g (a)j < �2 =) jf (t)� f (g (a))j < "(8�1 > 0) (9� > 0) jx� aj < � =) jg (x)� g (a)j < �1De lo anterior, se tiene que jf (g (x))� f (g (a))j < ".

Teorema 18 (Valor Intermedio) Si f es continua en un intervalo cerrado [a; b], y w 2 (f (a) ; f (b)), entonces existeun número c 2 [a; b] tal que f (c) = w.

Observación 10 Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a; b], y w 2 (f (a) ; f (b)), entonces la gra�cade f que va del punto (a; f (a)) y (b; f (b)) la intersecta la recta y = w, por consiguiente existe un número c 2 [a; b] talque f (c) = w.

4.1 Ejercicios:

1. Demuestre que la función f es continua en el número a

a. f (x) =p2x� 5 + 3x a = 4 b. f (x) =

x

x2 � 4 a = 3

c. f (x) = 3x2 + 7� 1p�x

a = �2 d. f (x) = 1x a = 10�6

e. f (x) = 3px2 + 2 a = �5 f. f (x) =

3px

2x+ 1a = 8

16

2. Demuestre que f es continua en el intervalo indicado

a. f (x) =px� 4 [4; 8] b. f (x) =

p16� x (�1; 16]

c. f (x) =1

x2(0;1) d. f (x) =

1

x� 1 (1; 3)

3. Encuentre todos los números en los que la función f es continua

a. f (x) =3x� 5

2x2 � x� 3 b. f (x) =x2 � 9x� 3

c. f (x) =p2x� 3 + x2 d. f (x) =

x3px� 4

e. f (x) =x� 1px2 � 1

f. f (x) =xp1� x2

g. f (x) =jx+ 9jx+ 9

h. f (x) =x

x2 + 1

i. f (x) =5

x3 � x2 j. f (x) =4x� 7

(x+ 3) (x2 + 2x� 8)

k. f (x) =

px2 � 9

p25� x2

x� 4 l. f (x) =

p9� xpx� 6

4. Encuentre los valores de c y d para la cual la función f sea continua en todo R

a. f (x) =

�cx2 � 3 si x � 2cx+ 2 si x > 2

b. f (x) =

�c2x si x < 1

3cx� 2 si x � 1

c. f (x) =

8>><>>:c si x = �39� x2

4�px2 + 7

si jxj < 3

d si x = 3

d. f (x) =

8<: 4x si x � �1cx+ d �1 < x < 2�5x si x � 2

5. Sean f (x) = x2 y g (x) =

��4 si x � 0

jx� 4j si x > 0. Determine si las funciones compuestas f � g y g � f son

continuas en 0.

6. Determine si la función f es continua en 3

a. f (x) =

�1 si x 6= 30 si x = 3

b. f (x) =

8<: jx� 3jx� 3 si x 6= 31 si x = 3

c. f (x) =

8<: 1� x21 + x

si x 6= �11 si x = �1

d. f (x) =

8<: 2x2 � x� 6x2 � 3x+ 2 si x 6= 27 si x = 2

7. Veri�que el Teorema del Valor Intermedio para la función f en el intervalo [a; b], demostrando que si w escualquier numero entre f (a) y f (b), entonces existe un número c en [a; b] tal que f (c) = w

a. f (x) = x3 + 1 [�1; 2] b. f (x) = �x3 [0; 2]c. f (x) = x2 + 4x+ 4 [0; 1] d. f (x) = x2 � x [�1; 3]

8. Determine los valores de x, par que f (x) = 0, f (x) > 0 y f (x) < 0

a. f (x) = x4 � 4x3 + 3x2 b. f (x) = x (x+ 1)2(x� 3) (x� 5)

9. Determine donde f es continua y discontinua

a. f (x) = 2x4 � 3px+ 1 b. f (x) =

p(2 + x) (3� x)

c. f (x) =

p9� x2x4 � 16 d. f (x) =

px

x2 � 1e. f (x) =

��x2 � 16��x2 � 16 f. f (x) =

1

x2 � 16g. f (x) =

x2 � x� 2x2 � 2x h. f (x) =

x+ 2

x2 � 8

17

Capítulo 5

La Derivada

De�nición 27 Sea f una función, se dice que f es diferenciable en x, si y sólo si limh!0

f (x+ h)� f (x)h

existe. Si el

límite existe, se denomina derivada de f y se denota por f 0 (x)

Observación 11 La de�nición de f 0 (a), es equivalente a f 0 (a) = limx!a

f (x)� f (a)x� a .

Observación 12 La pendiente de la recta tangente a la grá�ca de la función f en el punto (a; f (a)) es f 0 (a).

Teorema 19 Si una función f es derivable en a, entonces f es continua en a.

Demostración 9 Si f es derivable en a, entonces f 0 (a) existe.

Ahora, f (x) = f (x) + f (a)� f (a) = f (a) + [f (x)� f (a)] x�ax�a = f (a) +f (x)� f (a)

x� a (x� a)

Luego, evaluemos, limx!a

f (x)

limx!a

f (x) = limx!a

�f (a) +

f (x)� f (a)x� a (x� a)

�= lim

x!af (a) + lim

x!a

f (x)� f (a)x� a � lim

x!a(x� a)

= f (a) + f 0 (a) � 0 = f (a)De lo anterior, f es continua en a.

Notación 1 f 0 (x) = [f (x)]0 = Dx [f (x)] = Dxy = y0 =df (x)

dx=d

dx[f (x)] =

dy

dx= fx

5.0.1 Ejercicios:

1. Determine f 0 (x) de las siguientes funciones

a. f (x) = 37 b. f (x) = 17� 6xc. f (x) = 9x� 2 d. f (x) = 7x2 � 5e. f (x) = 2 + 8x� 5x2 f. f (x) = x3 + x

g. f (x) =1

x� 2 h. f (x) =�1 +

p3�2

i. f (x) =6

x2j. f (x) = 8� x2

k. f (x) = 1x+5 l. f (x) =

p5

2. Demuestre que las siguientes funciones no son derivables en x = 5 f (x) = jx� 5j y f (x) = [x]

3. Pruebe que: Si una función f es continua en a, entonces no necesariamente f es derivable en a.

4. Trace la gra�ca de las siguientes funciones para determinar f 0

a. f (x) =

�2x si x � 0x2 si x > 0

b. f (x) =

�2x� 1 si x � 1x2 si x > 1

c. f (x) =

�jxj si jxj � 1

2� jxj si jxj > 1 d. f (x) =

�x� [x] si x � 0

1� x+ [x] si x > 0

5. Demuestre que la derivada de una constante es 0.

18

5.1 Algunos Teoremas Importantes de la Derivada

Teorema 20 Si f (x) = k constante, se tiene que f 0 (x) = 0

Demostración 10 f 0 (x) = limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

k � kh

= limh!0

0 = 0

Teorema 21 Si f (x) = x, se tiene que f 0 (x) = 1


f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

x+ h� xh

= limh!0

h

h= lim

h!01 = 1

Teorema 22 Si n 2 Z+ y f (x) = xn, se tiene que f 0 (x) = nxn�1


f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

(x+ h)n � xnh

=

= limh!0

�n0

�xn +

�n1

�xn�1h+ � � �+

�nn�1�xhn�1 +

�nn

�hn � xn

h=

= limh!0

h�nxn�1 + n(n�1)

2 xn�2h1 + � � �+ nxhn�2 + hn�1�

h=

= limh!0

�nxn�1 + n(n�1)

2 xn�2h1 + � � �+ nxhn�2 + hn�1�= nxn�1

Teorema 23 Si f (x) = kg (x), se tiene que f 0 (x) = k (g0 (x))


f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

kg (x+ h)� kg (x)h

= k limh!0

g (x+ h)� g (x)h

= kg0 (x)

Teorema 24 Si m = f + g, se tiene que m0 (x) = f 0 (x) + g0 (x)

Demostración 14 m0 (x) = limh!0

m (x+ h)�m (x)h

= limh!0

f (x+ h) + g (x+ h)� [f (x) + g (x)]h

=

= limh!0

f (x+ h) + g (x+ h)� f (x)� g (x)h

=

= limh!0

f (x+ h)� f (x)h

+ limh!0

g (x+ h)� g (x)h

= f 0 (x) + g0 (x)

Teorema 25 Si m = f � g, se tiene que m0 (x) = f 0 (x)� g0 (x)

Teorema 26 Si m = f � g, se tiene que m0 (x) = f 0 (x) � g (x) + f (x) � g0 (x)


m (x+ h)�m (x)h

= limh!0

f (x+ h) � g (x+ h)� f (x) � g (x)h

=

= limh!0

f (x+ h) � g (x+ h) + f (x+ h) � g (x)� f (x+ h) � g (x)� f (x) � g (x)h

=

= limh!0

[f (x+ h)� f (x)] � g (x) + f (x+ h) � [g (x+ h)� g (x)]h

=

= limh!0

[f (x+ h)� f (x)] � g (x)h

+ limh!0

f (x+ h) � [g (x+ h)� g (x)]h

=

=

�limh!0

f (x+ h)� f (x)h

�� g (x) +

�limh!0

f (x+ h)

� �limh!0

g (x+ h)� g (x)h

�=

�limh!0

f (x+ h)� f (x)h

�� g (x) + f (x)

�limh!0

g (x+ h)� g (x)h

�=

= f 0 (x) � g (x) + f (x) � g0 (x)

19

Teorema 27 Si f =1

g, se tiene que f 0 (x) = � g0 (x)

[g (x)]2


1

g(x+ h)� 1

g(x)

h= lim

h!0

1

g (x+ h)� 1

g (x)

h=

= limh!0

g (x)� g (x+ h)g (x+ h) � g (x)

h= lim

h!0

g (x)� g (x+ h)h � g (x+ h) � g (x) =

= ��limh!0

1

g (x+ h) � g (x)

� �limh!0

g (x+ h)� g (x)h

�=

= � 1

[g (x)]2 g

0 (x) = � 1

[g (x)]2

Teorema 28 Si m =f

g, se tiene que m0 (x) =

g (x) � f 0 (x)� f (x) � g0 (x)[g (x)]

2


f

g(x+ h)� f

g(x)

h= lim

h!0

f (x+ h)

g (x+ h)� f (x)g (x)

h=

= limh!0

f (x+ h) � g (x)� g (x+ h) � f (x)g (x+ h) g (x)

h=

= limh!0

f (x+ h) � g (x) + f (x) � g (x)� f (x) � g (x)� g (x+ h) � f (x)hg (x+ h) g (x)

=

= limh!0

[f (x+ h)� f (x)] � g (x)� f (x) � [g (x+ h)� g (x)]h � g (x+ h) g (x) =

=

�limh!0

1g(x+h)g(x)

� �g (x) � lim

h!0

f(x+h)�f(x)h � f (x) � lim

h!0

g(x+h)�g(x)h

�=

=1

[g (x)]2 [g (x) � f 0 (x)� f (x) � g0 (x)] =

g (x) � f 0 (x)� f (x) � g0 (x)[g (x)]

2

Observación 13 Otra demostración del teorema anterior es la siguiente:

m0 (x) =

�f (x)

g (x)

�0=

�f (x) � 1

g (x)

�0= [f (x)]

0 � 1

g (x)+ f (x) �

�1

g (x)

�0= [f (x)]

0 � 1

g (x)+ f (x) �

�1

g (x)

�0= f 0 (x) � 1

g (x)+ f (x) �

� g0 (x)

[g (x)]2

!=

f 0 (x)

g (x)� f (x) � g

0 (x)

[g (x)]2

=g (x) � f 0 (x)� f (x) � g0 (x)

[g (x)]2

Teorema 29 Si �n 2 Z� y f (x) = x�n, se tiene que f 0 (x) = �nx�n�1

Demostración 18 f 0 (x) = (x�n)0 =�1

xn

�0=(xn) � (1)0 � (1) � (xn)0

(xn)2 ==

xn � 0� 1 � nxn�1x2n

= �nxn�1

x2n= �nx�n�1

5.1.1 Ejercicios:

1. Derive las siguientes funciones:

a. ff (x) = 10x2 + 9x� 4 b. f (x) = 6x3 � 5x2 + 9c. f (s) = 15� s+ 4s2 � 5s4 d f (t) = 12� 3t4 + 4t6e. g (x) =

�x3 � 7

� �2x2 + 3

�f. k (x) =

�2x2 � 4x+ 1

�(6x� 5)

g. h (r) = r2�3r4 � 7r + 2

�h. g (s) =

�s3 � 5s+ 9

�(2s+ 1)

i. f (x) =4x� 53x+ 2

j. h (x) =8x2 � 6x+ 11

x� 1j. h (z) =

8� z + 3z22� 9z k. f (w) =

2w

w3 � 7

20

l. f (x) = 3x3 � 2x2 + 4x� 7 m. g (z) = 5z4 � 8z2 + zn. F (t) = t2 +

1

t2o. s (x) = 2x+ (2x)

�1

p. g (x) =�8x2 � 5x

� �13x2 + 4

�r. H (y) =

�y5 � 2y3

� �7y2 + y � 8

�s. G (v) =

v3 � 1v3 + 1

t. f (t) =8t+ 15

t2 � 2t+ 3u. f (x) =

1

1 + x+ x2 + x3v. p (x) = 1� 1

x+1

x2+1

x3

w. h (x) = (5x� 4)2 x. g (r) = (5r � 4)3

2. Encuentredy

dx(a) y =

3x� 1x2

(b) y =x2 + 1

x4

3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gra�ca y =5

1 + x2en cada uno de los siguientes puntos: (0; 5) ;

�1; 52�

y (�2; 1)

4. Halle la ecuación de la recta tangente a la gra�ca y = 2x3 + 4x2 � 5x� 3 en cada uno de los siguientes puntos:(0;�3) ; (�1; 4) y (1;�2)

5. Encuentre los puntos donde la recta tangente a la grá�ca de y = x3 + 2x2 � 4x+ 5 es horizontal y es paralela ala recta de ecuación 2y + 8x� 5 = 0

6. Halle la ecuación de la recta tangente a la grá�ca de la función dada y el punto asignado

(a) La curva de Agnesi: y =a3

a2 + x2Punto

�a;a

2

�, donde a es una constante positiva

(b) La curva serpentina: y =abx

a2 + x2Punto

�a;b

2

�, donde a y b son constantes positivas

(c) Ecuación: y = x2 Punto (�2; 4)(d) Ecuación: xy = 4 Punto

�� 12 ;�8

�7. Sean f y g funciones derivables tales que f (2) = 3, f 0 (2) = �1, g (2) = �5 y g0 (2) = 2. Calcular

a. (f + g)0(2) b. (f � g)0 (2) c. (4f)

0(2)

d. (fg)0(2) e.

�f

g

�0(2) f. (g � f)0 (2)

g.�g

f

�0(2) h. (4g)

0(2) i. (ff)

0(2)

j. (2f � g)0 (2) k. (5f + 3g)0(2) l. (gg)

0(2)

m.�

1

f + g

�0(2) n. (3f � 2g)0 (2) o.

�5

g

�0(2)

p. (6f)0(2) r.

�f

f + g

�0(2) s.

�1

f � g

�0(2)

8. Pruebe que para las funciones derivables f , g, y h, se cumple que (f � g � h)0 = f 0 � g � h+ f � g0 � h+ f � g � h0

9. Utilizando el ejercicio antgerior, demuestre queh(f (x))

3i0= 3 (f (x))

2 � f 0 (x)

10. La bala de un cañón se eleva a 15 pie sobre el suelo y apuntaba según un ángulo de 45o. La trayectoria parabólicade Zacchini tenía un alcance horizontal de 175 pie

(a) Encuentre una ecuación del tipo y = ax2 + bx+ c que especi�que la trayectoria parabólica.

(b) Calcule aproximadamente la altura máxima alcanzada por la bala humana.

11. Un cohete que se tiene emplazado al pie de una colina cuya pendiente es 15 se dispara hacia la loma y sigue unatrayectoria dada por y = �0; 016x2 + 1; 6x

(a) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria del cohete en el momento de disparo?

(b) ¿Cuál es la pendiente de la trayectoria cuando choca contra la colina?

(c) Calcule la altura máxima del cohete sobre el suelo.

21

5.2 Diferencial

De�nición 28 Si y = f (x) y x tiene una incremento �x, entonces el incremento �y de y es: �y = f (x+�x)� f (x)

De�nición 29 Sea y = f (x), donde f es una función derivable, y se �x un incremento de x

1. (a) i. La diferencial dx de la variable independiente x es: dx = �xii. La diferencial dy de la variable dependiente y es: dy = f 0 (x)�x = f 0 (x) dx

Observación 14 De la de�nición se tiene quedy

dx= f 0 (x) = lim

�x!0

f (x+�x)� f (x)�x

= lim�x!0

�y�x

Observación 15 Si �x � 0, entonces �y � 0 y dy � 0, por lo tanto �y � dy

Ejemplo 11 Sea y = 3x2 � 5, se tiene que:

1. Con respecto a �y

�y = f (x+�x)� f (x) = 3 (x+�x)2 � 3x2

2. Ahora si x = 2 y el incremento es �x = 1, entonces �y = 15

3. Con respecto a dy

dy = f 0 (x)�x = f0 (x) dx =

�3x2 � 5

�0dx = 6x � dx = 6xdx

Observación 16 Se puede ver�car heuríticamente que dy � �y.

5.2.1 Ejercicios:

1. Determinar �y

a) y = 2x2 � 4x+ 5 x = 2 �x = �0; 2b) y = x3 � 4 x = �1 �x = 0; 1

c) y =1

x2x = 3 �x = 0; 3

d) y =1

2 + xx = 0 �x = �0; 003

2. Determinar �y, dy, (dy ��y)

a) y = 3x2 + 5x� 2 e) y = 4� 9xb) y = 4� 7x� 2x2 f) y = 8

c) y =1

xg) y = x4

d) y = 7x+ 12 h) y = x�2

5.3 La Regla de la Cadena

Teorema 30 Si y = f (u) y u = g (x), tales quedy

duydu

dxexisten, entonces [(f � g) (x)]0 = [f (g (x))]

0= f 0 (g (x)) �

g0 (x) = f 0 (u) � g0 (x), es decir, dydx=dy

du� dudx

Demostración 19dy

dx= lim

�X!0

�y�x

= lim�X!0

�y�x

� �u�u

= lim�X!0

�y�u

� �u�x

=

�lim�u!0

�y�u

��lim

�X!0

�u�x

�=dy

du� dudx

Observación 17 Como �y = f (x+�x)� f (x) , por lo tanto, si se tiene que si �X ! 0, entonces �u ! 0.

22

Ejemplo 12 Consideremos las funciones f (x) =px y g (x) = 3x2 � x+ 2, entonces (f � g) (x) =

p3x2 � x+ 2, por

lo tanto

(f � g)0 (x) =�p3x2 � x+ 2

�0=h�3x2 � x+ 2

� 12

i0= 1

2

�3x2 � x+ 2

� 12�1 �

�3x2 � x+ 2

�0= 1

2

�3x2 � x+ 2

�� 12 � (6x� 1)

=6x� 1

2p3x2 � x+ 2

5.3.1 Ejercicios:

1. Derive las siguientes funciones

a. f (x) =�x2 � 3x+ 8

�3b. g (x) = (8x� 7)�5 c. f (x) =

x

(x2 � 1)4

d. f (x) =�4x3 + 2x2 � x� 3

�2e. k (x) =

�5x2 � 2x+ 1

��3f. q (x) =

x4 � 3x2 + 1(2x+ 3)

4

g. f (x) =�8x3 � 2x2 + x� 7

�5h. K (x) =

�3x2 � 5x+ 7

��1i. F (v) = (17v � 5)1000

j. g (w) =�w4 � 8w2 + 15

�4k. s (t) =

�4t5 � 3t3 + 2t

��2l. g (z) =

�z2 � 1

z2

�m. N (x) = (6x� 7)3

�8x2 + 9

�2n. p (s) =

1

(8� 5s+ 7s2)10o. S (t) =

�3t+ 4

6t� 7

�3p. f (w) =

�2w2 � 3w + 1

�(3w + 2)

4 r. k (u) =

�u2 + 1

�3(4u� 5)5

s. f (x) =

�3x2 � 52x2 + 7

�2t. g (x) = (3x� 8)�2

�7x2 + 4

��3u. M (z) =

9z3 + 2z

(6z + 1)3 v. N (x) =

7x�x2 + 1

�(3x+ 10)

4

w. h (x) =h(2x+ 1)

10+ 1i10

x. F (v) =�v�1 � 2v�2

��3y. f (t) =

h�1 + 1

t

��1+ 1i�1

2. Encuente la ecuación de la recta tangente y la ecuacion de la recta normal en el punto P de la grá�ca de laecuación dada. Así como también los puntos de la grá�ca donde la tangente es horizontal.

a) y =�4x2 � 8x+ 3

�4P (2; 81)

b) y =

�x+

1

x

�5P (1; 32)

c) y = (2x� 1)10 P (1; 1)

d) y =�x2 � 1

�7P (0;�1)

3. Sea y =�x4 � 3x2 + 1

�10. Encuentre dy y úsela para estimar el incremento de y cuando x varía de 1 a 1; 01.

4. Sea w = z3 (z � 1)5. Halle dw y úsela para estimar el incremento de w cuando z varía de 2 a 1; 98.

5. Sean w = f (z) y z = g (s). Exprese la fórmula de la Regla de la Cadena paradw

dsen términos de diferenciales

y determinedw

dspara w = z3 � 2

zy para z =

�s2 + 1

�5.

6. Sean v = F (u) y u = G (t). Exprese la fórmula de la Regla de la Cadena paradv

dten términos de diferenciales

y determinedv

dtpara v =

�u4 + 2u2 + 1

�3y para u = 4t2.

7. Si un cuerpo de masa m tiene una velocidad v, entonces su energía cinética K está deda por K =mv2

2.

Suponiendo que v es una función del tiempo t, aplique la Regla de la Cadena para encontrar una fórmula paradK

dt.

8. Calcule k (2) y k0 (2) suponiendo que k (x) = f (g (x)) y f (2) = �4. g (2) = 2, f 0 (2) = 3 y g0 (2) = 5.

9. Sea u (x) = v (w (x)). Considerando que v (0) = �1, w (0) = 0, u (0) = �1, v0 (0) = �3, u0 (0) = 2. Calculew0 (0).

10. Sean z = k (y), y = f (u) y u = g (x). Demuestre quedz

dx=dz

dy

dy

du

du

dx

23

5.4 Derivación Implícita

Consideremos y = f (x), por lo tanto y0 = f 0 (x).Para entender la derivación implícita basta con mostrar ejemplos.

Ejemplo 13 Dada la ecuación x2 + y2 = 1, determinar y0

x2 + y2 = 1 )�x2 + y2

�0= (1)

0 )�x2�0+�y2�0= 0

) 2x+ 2yy0 = 0 ) y0 =x

y

Ejemplo 14 Dada la ecuación y4 + 3y � 4x3 = 5x+ 1, determinar y0

y4 + 3y � 4x3 = 5x+ 1 )�y4 + 3y � 4x3

�0= (5x+ 1)

0 ) 4y3y0 + 3y0 � 12x2 = 5

)�4y3 + 3

�y0 = 5 + 12x2 ) y0 =

5 + 12x2

4y3 + 3

) f 0 (x) =5 + 12x2

4 [f (x)]3+ 3

5.4.1 Ejercicios:

1. Determine si es posible f (x) y f 0 (x)

a. 3x� 2y + 4 = 2x2 + 3y � 7x b. x3 � xy + 4y = 1 c. x2 + y2 � 16 = 0d. x2 � 2xy + y2 = x e.

px+

py = 1 f. 3x2 � 4y2 = 12

g. 3x2 � 4xy + y2 = 0 h. jx� yj = 2 i. y = (17y � 5)10 + x2

2. Determine si es posible f (x) y f 0 (x)

a. 8x2 + y2 = 10 b. 4x3 � 2y3 = x c. 2x3 + x2y + y3 = 1d. 5x2 + 2x2y + y2 = 8 e. 5x2 � xy � 4y2 = 0 f. x4 + 4x2y2 � 3xy3 + 2x = 0g.

1

x2+1

y2= 1 h. x = y + 2y2 + 3y3 i. x2y3 + 4xy + x� 6y = 2

j. 4� 7xy =�y2 + 4

�5k.

�y2 � 9

�4=�4x2 + 3x� 1

�2l. (1 + xy)

3= 2x2 � 9

3. En cuentre la ecuación de la recta tangente en el punto P a la grá�ca de la ecuación dada

a) xy + 16 = 0 P (�2; 8)b) y2 � 4x2 = 5 P (�1; 3)c) 2x3 � x2y + y3 � 1 = 0 P (2;�3)d)

1

x+3

y= 1 P (2; 6)

4. Halledy

dxpor derivación implícita y evaluar la derivada en el punto indicado

a) x2 + y2 = 16�3;p7�

b) x2 � y2 = 16 (4; 0)c) xy = 4 (�4;�1) d) x2 � y3 = 0 (1; 1)e) x3 � xy + y2 = 4 (0;�2) f) x3 + y3 = 8 (0; 2)

g) x2y + y2x = �2 (2;�1) h) y2 =x2 � 9x2 + 9

(3; 0)

i) (x+ y)3= x3 + y3 (�1; 1) j) x3y3 � y = x (0; 0)

k)pxy = x� 2y (4; 1) l) x

23 + y

23 = 5 (8; 1)

m) x3 + y3 = 2xy (1; 1) n) x3 � 2x2y + 3xy2 = 38 (2; 3)

5. Prueba que�xmn

�0= m

n xmn �1

6. Pruebe que�[f (x)] g(x)

0= [f (x)] g(x)

�g0 (x) ln f (x) +

g (x) f 0 (x)

f (x)

�

24

5.5 Derivación de la Función Inversa

Teorema 31 Sea f una función con inversa f�1, se tiene que f 0 (x) =1

(f�1)0(f�1 (x))

Demostración 20 f�1 (f (x)) = x)h�f�1

�0(f (x))

i[f 0 (x)] = 1) f 0 (x) =

1

(f�1)0(f (x))

5.6 Derivación de la Función Logaritmica y Exponencial

Teorema 32 Sea f una función tal que f (xy) = f (x) + f (y), entonces:

1: f (1) = 0

2: f

�1

y

�= �f (y) , con y 6= 0

3: f

�x

y

�= f (x)� f (y) , con y 6= 0

4: f 0 (x) =1

xf 0 (1)

Demostración 21 1. f (1) = f (1 � 1) = f (1) + f (1) = 2f (1)) f (1) = 0

2. 0 = f (1) = f�y � 1y

�= f (y) + f

�1

y

�) f

�1

y

�= �f (y)

3. f�x

y

�= f

�x � 1y

�= f (x) + f

�1

y

�= f (x)� f (y)

4. f 0 (x) = limh!0

f (x+ h)� f (x)h

= limh!0

f

�x+ h

x

�� f

�xx

�h

= limh!0

f

�1 +

h

x

�� f (1)

h=

= limh!0

1

x�f

�1 +

h

x

�� f (1)

h

x

=1

x� limh

x!0

f

�1 +

h

x

�� f (1)

h

x

=1

xf 0 (1)

Observación 18 Si f (x) = ex y g (x) = lnx, entonces f 0 (0) = g0 (1) = 1.

Teorema 33 Si g (x) = lnx, entonces g0 (x) =1

x

Demostración 22 Como g (xy) = g (x) + g (y), se tiene que g0 (x) =1

xg0 (1) =

1

x

Teorema 34 Si f (x) = ex, entonces f 0 (x) = ex

Demostración 23 Como f�1 (x) = lnx, se tiene que f 0 (x) =1

(f�1)0(f (x))

=1

(f�1)0(ex)

=11

ex

= ex

Teorema 35 Si f (x) = logb x, entonces f0 (x) =

1

x ln b

Demostración 24 Ahora, logb x =lnx

ln b, se tiene que

f 0 (x) = (logb x)0=

�lnx

ln b

�0=

1

ln b(lnx)

0=

1

x ln b

Teorema 36 Si f (x) = ax, entonces f 0 (x) = ax ln a

Demostración 25 Consideremos y = ax. Luego,

y = ax ) ln y = ln ax ) ln y = x ln a) y0

y= ln a) y0 = y ln a

De lo anterior, f 0 (x) = f (x) ln a, por consiguiente f 0 (x) = ax ln a

25

5.6.1 Ejercicios:

1. Encuentre f 0 (x) suponiendo que f (x) es la expresión dada

a) ln (9x+ 4) b) ln�x4 + 1

�c) ln (2� 3x)5 d) ln

�5x2 + 1

�3e) ln

p7� 2x3 f) ln 3

p6x+ 7

g) ln�3x2 � 2x+ 1

�h) ln

�4x3 � x2 + 2

�i) ln 3

p4x2 + 7x j) x lnx

k) lnpx+

plnx l)

1

lnx+ ln

1

x

m) (lnx) ln (x+ 5) n)x2

lnxo) lnx3 + (lnx)

3p) ln jxj

r) ln (5x� 7)4 (2x+ 3)3 s) ln 3p4x� 5 (3x+ 8)2

t) ln

px2 + 1

(9x� 4)2u) ln

x2 (2x� 1)3

(x+ 5)2

v) ln

rx2 � 11 + x2

w) ln (lnx)

x) ln�x+

px2 � 1

�y)

pln (x2 + 1)

2. Encuentre y0

a) 3y � x2 + lnxy = 2 b) y2 + ln

�x

y

�� 4x+ 3 = 0

c) x ln y � y lnx = 1 d) y3 + x2 ln y = 5x+ 3e) y = ln (x+ y) f) (lnx) (ln y) = xy � 1


a) e�5x b) e3x

c) e3x2

d) e1�x2

e)p1� e2x f)

1

ex + 1g) e

px+1 h) xe�x

i) x2e�2x j)pe2x + 2x

k)ex

x2 + 1l)

x

ex2

m)�e4x � 5

�3n)

�e3x � e�3x

��4o) e

1x +

1

exp) e

px +

pex

r)ex � e�xex + e�x

s) e(ex)

t) e�2x lnx u) ex ln x

v) eln x w) ln ex

x) lnex + 1

ex � 1 y)ln (ex + 1)

ln (ex � 1)

4. Encuentre y0

a) exy � x3 + 3y2 = 11 b) xey + 2x� ln (y + 1) = 3c) y3 + xey = 3x2 � 10 d) xey � yex = 2

5.7 Derivación de Funciones Trigonómetricas

Teorema 37 Si f (x) = senx, entonces f 0 (x) = cosx


sen (x+ h)� sen (x)h

= limh!0

(senx) (cosh) + (senh) (cosx)� senxh

=

= limh!0

�senh

h

�cosx� lim

h!0

�1� cosh

h

�senx = cosx

26

Teorema 38 Si f (x) = cosx, entonces f 0 (x) = �senx


cos s (x+ h)� cos (x)h

= limh!0

(cosx) (cosh)� (senx) (senh)� cosxh

=

= � limh!0

senx

�senh

h

�� limh!0

cosx

�1� cosh

h

�= �senx

Teorema 39 Si f (x) = tgx, entonces f 0 (x) = sec2 x

Demostración 28 f 0 (x) = (tgx)0 =�senxcosx

�0=(cosx) (senx)

0 � (senx) (cosx)0

cos2 x=

=(cosx) (cosx)� (senx) (�senx)

cos2 x=cos2 x+ sen2x

cos2 x=

1

cos2 x=

�1

cosx

�2= sec2 x

5.7.1 Ejercicios:


a) secx b) cscx c) ctgxd) 4 cosx e) xsenx f) sen

�x2 + 2

�g) cos (4� 3x) h) cos5 3x i) sen4

�x3�

j) x3 cos1

xk)

senx

1 + cosxl) tg (8x+ 3)

m) ctgx

2n) sec

px� 1 o) csc

�x2 + 4

�p) ctg

�x3 � 2x

�r) tg 3

p5� 6x s) cos

�3x2�+ cos2 3x

t) tg36x u) csc2 2x v) sec e�2x

w) x2 csc 5x x) x csc1

xy) tg2x sec3 x


a) x2 sec3 4x b) (sen5x� cos 5x)5 c) senpx+

psenx

d) ctg3 (3x+ 1) e) ecos 2x f)cos 4x

1� sen4xg)

sec 2x

1 + tg2xh) ln jcscx+ ctgxj i) sen (2x+ 3)

4

j) e�3xtgpx k) ln csc3 3x l) ln ln sec 2x

m) csc (ctg4x) n) tg32x� sec3 2x o) (tg2x� sec 2x)3

p)csc 3x

x3 + 1r) 4x3 � x2ctg3 1

xs) xctgx

3. Encuentre y0

a) y2 = x cos y b) xy = tgyc) exctgy = xe2y d) y2 + 1 = x2 sec y

5.8 Derivada de Orden Superior

De�nición 30 Sea f una función derivable, se de�ne la derivada de orden 2 (f (2) = f 00) como sigue:

f00(x) = (f 0 (x))

0=d

dx

�dy

dx

�=d2y

dx2

Ejemplo 15 Consideremos f (x) = 4x5 + 2x2 + 5x� 3, se tiene que

f (x) = x5 + 2x2 + 5x� 3 ) f 0 (x) = 5x4 + 4x+ 5) f 00 (x) = 20x3 + 4) f 000 (x) = 60x2

) f (4) (x) = 120x) f (5) (x) = 120) f (6) (x) = 0

27

5.8.1 Ejercicios:

1. Determine f 0 (x) aprovechando el hecho de que jaj =pa2. Hallar también el dominio de f 0 y trace la grá�ca.

a) f (x) = j1� xj b) f (x) =��x3 � x��

c) f (x) =��1� x2�� d) f (x) =

x

jxj

2. Determine la primera y segunda derivada de las siguientes funciones:

a) g (z) =p3z + 1 b) k (s) =

�s2 + 1

� 23 c) k (r) = (4r + 7)

5

d) f (x) = 5p10x+ 7 e) f (x) = 3x4 � 4x2 + x� 2 f) g (x) = 3x8 � 2x5

3. Determine D3xy

a) y = 2x5 + 3x3 � 4x+ 1 b) y =p2� 5x

c) y =2x� 33x+ 1

d) y = (3x+ 1)4

4. Suponiendo que la ecuación de�ne una función f tal que y = f (x), determine y00 si es que existe.

a) x3 � y3 = 1 b) x2y3 = 1c) x2 � 3xy + v2 = 4 d)

pxy � y + x = 0

5. Sea f (x) =1

x. Encuentre una formula para determinar f (n) (x) para todo entero positivo n. Halle f (n) (1).

6. Sea f (x) =px. Encuentre una formula para determinar f (n) (x) para todo entero positivo n.

7. Demuestre que si un polinomio f (x) de grado n, entonces f (k) (x) = 0 para k > n.

5.9 Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

Teorema 40 (Teorema de Rolle) Si una función f es continua en un intervalo [a; b], derivable ne (a; b) y f (a) =f (b), entonces existe al menos un número c en (a; b) tal que f 0 (c) = 0.

Teorema 41 (Teorema del Valor Medio) Si una función f es continua en un intervalo [a; b] y derivable en (a; b),

entonces existe un número c en (a; b) tal que f 0 (c) =f (b)� f (a)

b� a .

5.9.1 Ejercicios:

1. Demuestre que f sastiface las hipótesis del Teorema de Rolle en un intervalo [a; b] y encuentre todos los númerosc en (a; b) para los que f 0 (c) = 0.

a) f (x) = 3x3 � 12x+ 11 [0; 4] b) f (x) = 5� 12x� 2x2 [�7; 1]c) f (x) = x4 + 4x2 + 1 [�3; 3] d) f (x) = x3 � x [�1; 1]

2. Demuestre que si la función f sastiface las hipótesis del Teorema del Valor Medio en un intervalo [a; b]. Encuentre

todos los números c en (a; b) para los que f 0 (c) =f (b)� f (a)

b� a .

a) f (x) = x3 + 1 [�2; 4] b) f (x) = 5x2 � 3x+ 1 [1; 3]

c) f (x) = x+4

x[1; 4] d) f (x) = 3x5 + 5x3 + 15x [�1; 1]

e) f (x) = x23 [�8; 8] f) f (x) =

1

(x� 1)2[0; 2]

g) f (x) = 4 +px� 1 [1; 5] h) f (x) = 1� 3x 1

3 [�8;�1]i) f (x) = x3 � 2x2 + x+ 3 [�1; 1] j) f (x) = jx� 3j [�1; 4]

28

Capítulo 6

Aplicaciones de la Derivada

Las aplicaciones de la derivada a estudiar en este curso son las siguientes:

1. Máximos y Mínimos Locales de una Función

2. Criterio de la Primero Derivada

3. Concavidad

4. Criterio de la Segunda Derivada

5. Regla de L�Hôpital

6. Razón de Cambio

7. Aplicaciones a la Física

8. Resolución de Problemas de Máximos y Mínimos

6.1 Máximos y Mínimos Locales de una Función

De�nición 31 Sea f una función de�nida en un intervalo I , x1; x2 2 I y x1 < x2(i) f es creciente en I, si f (x1) < f (x2)

(ii) f es creciente en I, si f (x1) > f (x2)

(iii) f es constante en I, si f (x1) = f (x2), para todo x1; x2 2 I

De�nición 32 Sea f una función de�nida en un intervalo I y c 2 I

(i) f (c) es un máximo en I, si f (c) � f (x), para todo x 2 I

(ii) f (c) es un mínimo en I, si f (c) � f (x), para todo x 2 I

Teorema 42 Si una función f es continua en un intervalo [a; b], entonces f alcanza un máximo y un mínimo por lomenos una vez en [a; b].

De�nición 33 Sea f una función tal que c 2 Df(i) f (c) es un máximo local de f , si existe una intervalo (a; b), con c 2 (a; b) tal que f (c) � f (x), para todo x 2 (a; b)

(ii) f (c) es un mínimo local de f , si existe una intervalo (a; b), con c 2 (a; b) tal que f (c) � f (x), para todo x 2 (a; b)

Teorema 43 Si una función f tiene un máximo o mínimo local en un número c de un intervalo abierto, entoncesf 0 (c) = 0 ó f 0 (c) no existe.

Corolario 1 Si f 0 (c) existe y f 0 (c) 6= 0 entonces, f (c) no es un máximo local ni un mínimo local.

Teorema 44 Si una función f es continua es un intervalo [a; b] y alcanza su máximo o su mínimo en un númeroc 2 (a; b), entonces f 0 (c) = 0 ó f 0 (c) no existe.

De�nición 34 Un número c 2 Df se llama número crítico si f 0 (c) = 0 ó f 0 (c) no existe.

29

6.2 Criterio de la Primera Derivada

Teorema 45 Sea f una función continua en [a; b] y derivable en (a; b), se tiene que:

(i) Si f 0 (x) > 0, para todo x 2 (a; b), entonces f es creciente en [a; b]

(ii) Si f 0 (x) < 0, para todo x 2 (a; b), entonces f es decreciente en [a; b]

Demostración 29 De (i). Supongamos que [x1; x2] � [a; b], por el Teorema del Valor Medio existe c 2 (x1; x2), tal

que f 0 (c) =f (x2)� f (x1)

x2 � x1.

Como x1 < x2 y f 0 (c) > 0, se tiene que f (x2) � f (x1) > 0, por lo tanto f (x2) > f (x1). De lo anterior, f escreciente en [a; b].

Criterio de la Primera Derivada

Sea f una función continua en un número crítico c 2 I, y derivable en I no necesariamente en c, se tiene que

(i) Si f 0 cambia de + en � en c, entonces f 0 (c) es una máximo local de f

(ii) Si f 0 cambia de � en + en c, entonces f 0 (c) es una mínimo local de f

6.3 Concavidad y Criterio de la Segunda Derivada

30

6.4 Ejercicios:

1. Gra�car las siguientes funciones, determinando: dominio, rango, intersección con los ejes, intervalos de crec-imiento, intervalos de concavidad, máximo locales, mínimos locales y puntos de in�exión

a) f (x) = 5� 6x2 � 2x3 b) f (x) = 3x2 � 10x+ 7c) f (x) = 1� 3

px2 d) f (x) = x4 � 5x2 + 4

e) f (x) = x3 + 1 f) f (x) =1

x2g) f (x) = 4x2 � 3x+ 2 h) g (x) = 2x+ 5i) s (t) = 2t3 + t2 � 20t+ 4 j) K (z) = 4z3 + 5z2 � 42z + 7k) F (w) = w4 � 32w l) k (r) = r5 � 2r3 + r � 12m) f (z) =

pz2 � 16 n) M (x) = 3

px2 � x� 2

o) g (t) = t2p2t� 5 p) T (v) = (4v + 1)

pv2 � 16

q) G (x) =2x� 3x2 � 9 r) f (s) =

s2

5s+ 4

s) f (t) =�t3 � 9t

�3t) g (x) = x3 +

6

xu) F (x) =

3px2�x2 � 9

�v) H (u) = 3

pu (5u� 2)

w) f (x) = (x+ 5)4(2x� 3)3 x) G (r) = (r � 1)2 3

q(1� 6r)2

2. Gra�car las siguientes funciones, determinando: dominio, rango, intersección con los ejes, intervalos de crec-imiento, intervalos de concavidad, máximo locales, mínimos locales y puntos de in�exión

a) f (x) = 5� 7x� 4x2 b) f (x) = 6x2 � 9x+ 5c) f (x) = 2x3 + x2 � 20x+ 1 d) f (x) = x3 � x2 � 40x+ 8e) f (x) = x4 � 8x2 + 1 f) f (x) = x3 � 3x2 + 3x+ 7g) f (x) =

3px4 + 4 3

px h) f (x) =

3px2 (8� x)

i) f (x) = x2 3px2 � 4 j) f (x) = x

p4� x2

k) f (x) =3px2 (x� 7)2 + 2 l) f (x) = 4x3 � 3x4

m) f (x) = x3 +3

xn) f (x) = 8� 3

px2 � 2x+ 1

o) f (x) = 10x3 (x� 1)2 p) f (x) =�x2 � 10x

�4q) f (x) = 3

px� 1 r) f (x) =

x+ 4px

s) f (x) =x

x2 + 1t) f (x) =

x2

x2 + 1

3. Calcular los siguientes límites aplicando L�Hôpital

a) limx!0

sinx

2xb) lim

x!0

5x

tanxc) lim

x!5

px� 1� 2x2 � 25

d) limx!4

x� 4px+ 4� 2

e) limx!2

2x2 � 5x+ 25x2 � 7x� 6 f) lim

x!�3

x2 + 2x� 32x2 + 3x� 9

g) limx!

sinx� xtanx� x h) lim

x!

sinx

x� tanx i) limx!

x+ 1� exx2

j) limx!0

x� sinxx3

k) limx!0+

cosx

xl) lim

x!0+

lnx

cotx

m) limx!0

2x

arctanxn) lim

x!0

ex � e�x � 2 sinxx sinx

o) limx!2

ln (x� 1)x� 2

p) limx!+1

2x2 + 3x+ 1

5x2 + x+ 4q) lim

x!1

x lnx

x+ lnxr) lim

x!0

tanx� sinxx3 tanx

s) limx!0

x� arctanxx sinx

t) limx!+1

e�x

1 + e�xu) lim

x!�2

tanx

cotx


a) limx!0+

x lnx b) limx!�

2�(tanx) ln (sinx) c) lim

x!+1

�x+

1

x

�5xd) lim

x!0+(ex � 1)x e) lim

x!0+xx f) lim

x!+1x1x

g) limx!�

2�(tanx)

cos xh) lim

x!1�(1� x)ln x i) lim

x!+1(1 + ex)

e�x

31

5. Realizar los siguientes ejercicios:

(a) Un globo esférico se in�a y su radio (cm) a los t minutos está dado por r (t) = 3 3pt, donde 0 � t � 10.

Calcule la razón de cambio con respecto a t en t = 8 y el volumen del globo.

(b) El volumen V (en pie3) de un pequeña represa durante la época de lluvias está dado por V (t) = 500 (t+ 1)2,donde t se mide en meses y 0 � t � 3. La tasa de cambio del volumen con respecto al �ujo instantáneohacia la represa. Calcule el �ujo en los tiempos t = 0 y t = 2. ¿Cuál es el valor del �ujo cuando el volumenes de 11250 pie3.

(c) Suponga que el pulso de un individuo (en latidos/minuto) a los t segundos de haber comenzado a correr,está dado por P (t) = 56 + 2t2 � t, para 0 � t � 7. Calcule la tasa de cambio de P (t) con respecto a t ent = 2; t = 4 y t = 6.

(d) Encuentre la velocidad y la aceleración al tiempo t correspondiente a las funciones de porsición s de unpunto en movimiento rectilíneo.

i: s (t) = 3t2 � 12t+ 1 [0; 5] ii: s (t) = t2 + 3t� 6 [�2; 2]iii: s (t) = t3 � 9t+ 1 [�3; 3] iv: s (t) = 24 + 6t� t3 [�2; 3]v: s (t) = 2t4 � 6t2 [�2; 2] vi: s (t) = 2t3 � 6t5 [�1; 1]

(e) Un automóvil baja por un plano inclinado. El número de pies s (t) recorridos a los t segundos está dadopor s (t) = 5t2+2. ¿Cuál es la velocidad es t = 1seg:? ¿Cuál es la velocidad es t = 2seg:? ¿Cuándo alcanzauna velocidad de 28pie=seg?

6. Resolver los siguientes problemas de máximos y mínimos

(a) Se quiere una caja de base cuadrada y sin tapa que tenga un volumen de 4 dm2. Encuentre las dimensionesque minimicen la cantidad de material necesario. R = 2pie x 1pie

(b) Resolver el problema anterior, suponiendo que la caja tiene tapa.

(c) Se desa construir un recipiente cilindrico de metal sin tapa que tenga una capacidad de 1 m3. Encuentre lasdimensiones que debe tener para que la cantidad de material sea mínima, suponiento que no se desperdicia

nada. R =13p�

(d) Un veterinario cuenta con 30 m de tela de alambre y quiere construir 6 jaulas para perros levantandoprimero una cerca alrededor de una región rectangular, y dividiendo luego la región en seis rectángulosiguales mediante cinco rejas paralelas a uno de los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la zona rectangularpara que el área total sea máxima? R = 25pie x 50

7 pie

(e) A la 1:00 p.m. el barco A se encuentra a 30 millas al sur del barco B y viaja hacia el norte a 15 mi/h.El barco B navega hacia el oeste a 10mi/h. ¿A qué hora se alcanza la distancia mínimo entre los barcos?R = 2 : 23 : 05p:m:

(f) Una cerca de 8 pie de alto al nivel del suelo va paralela a un edi�cio alto. La cerca dista 1 pie al edi�cio.Calcule la longitud de la escalera más corta que se puede apoyar entre el suelo y el edi�cio por encima dela reja. R = 5

p5

32

matematicai 1

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