Untref

Matematica - Ingeniera

Autor:Luke Starkiller

Version: 1 (2 de mayo de 2015)

1. Unidad 1: Los Conjuntos Numericos

1.1. Clasificacion de Conjuntos

N - Naturales Numeros enteros positivos Conjunto Discreto

Z - Enteros Naturales + 0 + Numeros enteros negativos Conjunto Discreto

Q - Racionales Enteros (Z) + Fracciones.Pueden expresarse como el cociente de dos Enteros.Son racionales si y solo s son periodicos.

Conjunto Denso

I - Irracionales Numeros Reales (R) no racionales.No pueden expresarse como el cociente de dos Enteros.Tienen infinitas cifras decimales no periodicas.

Conjunto Denso

R - Reales Racionales (Q) + Irracionales (I) Conjunto Continuo

Conjunto Discreto: Entre dos numeros enteros distintos siempre hay un numero finito de numerosenteros.

Conjunto Denso: Entre dos numeros racionales distintos existen infinitos numeros racionales.

Conjunto Continuo: A cada numero real le corresponde un punto de la recta, y a cada punto de larecta le corresponde un numero real.

1.2. Expresion Simbolica de Conjuntos

Por extension: Se define nombrando a cada elemento del conjunto. Ej: {25, 26, 27, 28}

Por comprension: Se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se buscauna frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).Ej: {x R / 5 < x < 9}

Como intervalo: Para indicar un conjunto de numeros reales comprendidos entre otros dos numerosreales. Ej: [5; 9], (5; 9), [5; +)

1.3. Modulo o Valor Absoluto

El modulo de un numero real es su valor numerico sin tener en cuenta su signo. Por definicion, el valorabsoluto siempre sera mayor o igual a cero.

Formalmente, el valor absoluto de todo numero real a esta definido por:

|a| ={ a, si a < 0

a, si a 0

Distancia: La distancia entre dos numeros reales a y b, que se escribe d(a; b). se define como el valorabsoluto de la diferencia de ambos numeros. Ej: d(10; 5) = |10 5| = 5

1

1.4. Propiedades Operacionales y del Modulo

Suma

Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no afecta el resultado. Ej:a + b = b + a.

Propiedad asociativa: Propiedad que establece que cuando se suma tres o mas numeros, la sumasiempre es la misma independientemente de su agrupamiento. Ej: a + (b + c) = (a + b) + c

Elemento neutro: Es 0 porque todo numero sumado por el 0 da el mismo sumando. Ej: a + 0 = a

Elemento opuesto: Es la misma cifra solo cambia el signo. Ej: a + (a) = 0

Propiedad distributiva: La suma de dos numeros multiplicada por un tercer numero es igual a lasuma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer numero. Ej: (6 + 3) 4 = 6 4 + 3 4

Multiplicacion

Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. Ej: x y = y x

Propiedad asociativa: Unicamente expresiones de multiplicacion o adicion son invariantes con respectoal orden de las operaciones. Ej: (x y) z = x (y z)

Propiedad distributiva: El total de la suma de dos numeros multiplicado por un tercer numero esigual a la suma de los productos entre el tercer numero y cada sumando.Ej: x (y + z) = (x y) + (x z)

Elemento neutro: La identidad multiplicativa es 1; el producto de todo numero multiplicado por 1 ess mismo. Esto se conoce como la propiedad de identidad. Ej: x 1 = x

Elemento inverso: Todo numero x, excepto cero, tiene un inverso multiplicativo, 1x , tal que x (1x

)= 1.

Potenciacion

Potencia de exponente negativo: La potencia de un numero con exponente negativo es igual alinverso del numero elevado al exponente positivo. Ej: an = 1an

Potencia de exponente fraccionario positivo: Una potencia de exponente fraccionario se puedetransformar en una raz cuyo ndice es el denominador y cuyo radicando es la base elevada al numerador.Ej: a

mn = n

am

Propiedad distributiva, respecto de la multiplicacion: (a b)n = an bn

Potencia de potencia: (an)m = anm

Multiplicacion de potencias de igual base: an am = an+m

Modulo

Los numeros opuestos tienen igual valor absoluto. Ej: |a| = | a|

El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.Ej: |a b| = |a| |b|

2

2. Unidad 2: Las Funciones

2.1. Relaciones

Relacion: Dados dos conjuntos, X e Y, y una formula f que determina algunarelacion binaria entre algun elemento de X con algun elemento de Y, diremosque esa formula f define una relacion entre X e Y cuando al menos un elementode X esta relacionado con al menos un elemnto de Y

f : X Y

Conjunto de partida o inicial: Es el primero de la relacion (en este caso,X ), pueden o no estar relacionados con un elemento del segundo conjunto.

C.P (f) = {a, b, c}

Conjunto de llegada o final: Es el segundo de la relacion (en este caso, Y ),pueden o no estar relacionados con un elemento del conjunto inicial

C.LL(f) = {x, y, z}

Conjunto Imagen: Ese el conjunto formado por los elemento del conjunto dellegada que estan relacionados con el conjunto de partida.

im(f) = {x, y}

Dominio: Es el conjunto formado por los elementos del conjunto de partidaque tienen imagen en el conjunto de llegada.

Dom(f) = {a, c}

Dominio natural: Dada una formula, llamaremos dominio natural de laformula al conjunto formado por todos los numeros reales que tienen imagenen R a traves de la formula en cuestion.

Dn(f) = {R}

Imagen de un elemento: Dado un elemento x del C.P, y otro elemento ydel conjunto imagen, se dice que y es imagen de x si x esta relacionado con ysegun la relacion f.

f(x) = y

Preimagen o imagen inversa de un elemento: Dado un elemento x delC.P, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que x es la preimagen dey si y esta relacionado con x segun la relacion inversa de f.

f1(y) = x

2.2. Funciones

Funcion: Dada una relacion f entre un conjunto de partida X y unconjunto de llegada Y, diremos que f es una funcion entre X e Y si ysolo si, todos los elementos del conjunto inicial tienen una iamgen y solouna imagen.

f : X Yx y = f(x)

Conjunto de partida o inicial: Es el primero de la relacion (en estecaso, X ), pueden o no estar relacionados con un elemento del segundoconjunto.

C.P (f) = {a, b, c}

Dominio: Es el conjunto formado por los elementos del conjunto departida que tienen imagen en el conjunto de llegada. Coincide con elConjunto de partida.

Dom(f) = {a, b, c}

3

Conjunto de llegada o final: Es el segundo de la relacion (en estecaso, Y ), pueden o no estar relacionados con un elemento del conjuntoinicial

C.LL(f) = {x, y, z}

Codominio: Corresponde con el conjunto de llegada de una funcion. Cod(f) = {x, y, z}

Conjunto Imagen: Ese el conjunto formado por los elemento del con-junto de llegada que estan relacionados con el conjunto de partida.

im(f) = {x, y}

Imagen de un elemento: Dado un elemento x del C.P, y otro elementoy del conjunto imagen, se dice que y es imagen de x si x esta relacionadocon y segun la relacion f.

f(x) = y

Preimagen o imagen inversa de un elemento: Dado un elementox del C.P, y otro elemento y del conjunto imagen, se dice que x es lapreimagen de y si y esta relacionado con x segun la relacion inversa def.

f1(y) = x

Funcion inversa: Es la resultante de invertir el dominio y el conjuntoimagen de una funcion biyectiva. Se expresa f1, y est tambien biyectivaporque mantiene una relacion de identidad con f.

f(x) = y f1(y) = x

Funcion par: Una funcion f es par cuando para todo x de su dominose cumple que -x tambien pertenece a su dominio, y f(x) = f(x). Elgrafico de una funcion par es simetrico con respecto al eje de ordenadas(o eje de las y).

Funcion impar: Una funcion f es par cuando para todo x de su dominose cumple que -x tambien pertenece a su dominio, y f(x) = f(x).El grafico de una funcion par es simetrico con respecto al origen decoordenadas.

Raz o cero: Todo elemento x perteneciente al dominio de una funcionf con imagen cero.

f(x) = 0

Conjunto de ceros: El conjunto de todas las races de una funcion. C0 = {x1, x2}

Ordenada al origen: Preimagen y del elemento x perteneciente aldominio de una funcion f igual a cero.

f1(y) = 0

Conjunto o intervalos de positividad: Conjunto de valores del do-minio cuyas imagenes son valores positivos.

C+ = {a, b}C+ = [5; 8)

Conjunto o intervalos de negatividad: Conjunto de valores del do-minio cuyas imagenes son valores negativos.

C = {c, d}C = [9;+)

Intervalo de crecimiento: Intervalo o subconjunto del dominio en else verifica que x1 < x2 f(x1) < f(x2).

C = [3, 7)

Intervalo de decrecimiento: Intervalo o subconjunto del dominio enel se verifica que x1 < x2 f(x1) > f(x2).

C = [10, 16)

4

Maximo absoluto: Mayor valor alcanzado por la funcion. Verifica quef(M) f(x)

Mnimo absoluto: Menor valor alcanzado por la funcion. Verifica quef(M) f(x)

Maximo local: Mayor valor alcanzado por la funcion en un intervaloen particular.

Mnimo local: Menor valor alcanzado por la funcion en un intervalo enparticular.

Clasificacion segun inyectividad

Funcion inyectiva: Decimos que una funcion f para cuando elementos distintos del conjunto de partidatienen imagenes distintas en el conjunto de llegada.

x1 6= x2 f(x1) 6= f(x2)

Funcion sobreyectiva: Una funcion es sobreyectiva cuando el conjunto imagen coincide con el conjuntode llegada de la funcion.

Funcion biyectiva: Las funciones biyectivas son simultaneamente inyectivas y sobreyectivas.

Composicion de funciones

Funcion compuesta: Es una funcion formada por la composicion (o aplicacion sucesiva) de otras dosfunciones. As, sean dos funciones f : A B y g : C D, tales que el recorrido de la primera estecontenido en el dominio de la segunda, im(f) C, entonces puede formarse la composicion de g con f,la funcion g f : A D que a cada a en el dominio A le asocia el elemento (g f)(a) = g[f(a)].

Propiedades:

La composicion de funciones es asociativa. Ej: h (g f) = (h g) f .

La composicion de funciones en general no es conmutativa. Ej: (g f) 6= (f g).

5

3. Unidad 3: Las Funciones Lineales

3.1. Definicion

Funcion lineal: Funcion cuya representacion en el plano cartesiano es una linea recta. Expresada en suforma explcita:

f : X Y/f(x) = m x + b

x Variable dependiente.

m Pendiente de la recta: Se define como la diferencia en el eje y dividido por la diferencia en el eje xpara dos puntos distintos en una recta.

m =y2 y1x2 x1

b Ordenada al origen: Punto de corte de la recta con el eje y. f(0)

m > 0 La funcion es creciente.

m < 0 La funcion es decreciente.

m = 0 La funcion es constante.

m = 1 b = 0 Funcion identidad.

Dadas dos rectas

m1 = m2 Las rectas son paralelas.

m1 m2 = 1 Las rectas son perpendiculares.

m1 = m2 b1 = b2 Las rectas son coincidentes.

Tambien puede expresarse en su forma implcita: Ax + By + C = 0

Pendiente: ABOrdenada al Origen: CB

3.2. Proporcionalidad Directa

Proporcionalidad directa: Dadas dos variables X e X, Y es (directamente) proporcional a X si hayuna constante k distinta de cero tal que y = k x

Constante de proporcionalidad: La relacion entre dos magnitudes de proporcionalidad directa, equi-valente al cociente entre un valor de la primera y el correspondiente de la segunda. k = y/x

Funcion de proporcionalidad directa: Funcion lineal definida a partir de dos magnitudes de propor-cionalidad directa.

6

3.3. Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incognitas

Un sistema de ecuaciones es lineal, cuando sus ecuaciones son de primer grado.

3.3.1. Metodos de Resolucion de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sustitucion

El metodo de sustitucion consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incognita, preferible-mente la que tenga menor coeficiente y a continuacion sustituirla en otra ecuacion por su valor.

En caso de sistemas con mas de dos incognitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equi-valente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos unsistema con una ecuacion y una incognita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando estemetodo reiteradamente.

Igualacion

El metodo de igualacion se puede entender como un caso particular del metodo de sustitucion en el quese despeja la misma incognita en dos ecuaciones y a continuacion se igualan entre s la parte derecha deambas ecuaciones.

Reduccion

Este procedimiento, disenado para sistemas con dos ecuaciones e incognitas, consiste en transformar unade las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en laque una misma incognita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacion, se sumanambas ecuaciones produciendose as la reduccion o cancelacion de dicha incognita, obteniendo as unaecuacion con una sola incognita, donde el metodo de resolucion es simple.

3.3.2. Clasificacion de Sistemas Lineales de Ecuaciones Lineales con Dos Incognitas

m1 6= m2 Compatible Determinado Hay un unico par (x0; y0) que verificalas dos ecuaciones del sistema.

m1 = m2 b1 = b2 Compatible Indeterminado Infinitos pares verifican las ecuacionesdel sistema.

m1 = m2 b1 6= b2 Incompatible Ningun par verifica las ecuaciones delsistema.

3.4. Inecuaciones Lineales con Una Incognita

Son aquellas inecuaciones en las cuales la variable tiene grado uno (El grado de un polinomio es el gradomaximo de los exponentes de las variables de los monomios que lo componen).

Se resuelven con un procedimiento similar al de las ecuaciones lineales, es decir, dejando las variables aun lado y los numeros al otro.

Se debe invertir la desigualdad si se pasa un numero negativo multiplicando o dividiendo.

7

3.5. Funcion Modulo

Para escribir la formula de la funcion que expresa la distancia entre cualquier numero x de la recta aunnumero a, necesitamos utilizar una formula a trozos:

d(x; a) = |x a| ={

a x, si x < ax a, si x a

Si queremos definir la funcion que expresa la distancia desde cualquier numero x de la recta al 0, laformula nos queda:

d(x; 0) = |x| ={ x, si x 0 es concava hacia arriba ( ), ycuando a < 0 es concava hacia abajo ( ).

4.2. Formas de Expresion

4.2.1. Forma Canonica

f(x) = a (xm)2 + n (a 6= 0)

a Coeficiente principal a > 0 La parabola es concava hacia arriba,el vertice corresponde al mnimo de la funcion.a < 0 La parabola es concava hacia abajo, elvertice corresponde al maximo de la funcion.

m,n Coordenadas delvertice(xv; yv)

m xv (Ojo con el signo!)n yv

Calculos Asociados

Races: x1, x2 = mna

4.2.2. Forma Factorizada

f(x) = a (x x1) (x x2) (a 6= 0)

a Coeficiente principal a > 0 La parabola es concava hacia arriba,el vertice corresponde al mnimo de la funcion.a < 0 La parabola es concava hacia abajo, elvertice corresponde al maximo de la funcion.

x1, x2 Races (Ojo con el signo!)

Calculos Asociados

Vertice (xv; yv): xv =x1+x2

2 . Tambien funciona:a+b2 con f(a) = f(b) yv = f(xv)

9

4.2.3. Forma Polinomica

f(x) = a x2 + b x + c (a 6= 0)

a Coeficiente principal a > 0 La parabola es concava hacia arriba,el vertice corresponde al mnimo de la funcion.a < 0 La parabola es concava hacia abajo, elvertice corresponde al maximo de la funcion.

c Ordenada al Origen

Calculos Asociados

Vertice (xv; yv): xv = b2a yv = f(xv)

Races: x1, x2 =bb24ac

2a

Discriminante: 4 = b2 4ac. Permite determinar el numero de races.4 > 0: Dos races reales.4 = 0: Una raz real (doble).4 < 0: Sin races reales.

4.3. Sistemas de Ecuaciones No Lineales con Dos Incognitas

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es de primer grado.

Se resuelven, generalmente, mediante los metodos de sustitucion o de igualacion.

4.3.1. Clasificacion de Sistemas Lineales de Ecuaciones Lineales con Dos Incognitas

Compatible Determinado Hay una cantidad n de soluciones, siendo n un numero real

Compatible Indeterminado Infinitas soluciones.

Incompatible El conjunto solucion es vaco.

4.4. Inecuaciones No Lineales con Una Incognita

Son aquellas inecuaciones en las cuales la variable tiene grado dos (El grado de un polinomio es el gradomaximo de los exponentes de las variables de los monomios que lo componen).

Se debe invertir la desigualdad si se pasa un numero negativo multiplicando o dividiendo.

10

Unidad 1: Los Conjuntos NumricosClasificacin de ConjuntosExpresin Simblica de ConjuntosMdulo o Valor AbsolutoPropiedades Operacionales y del Mdulo

Unidad 2: Las FuncionesRelacionesFunciones

Unidad 3: Las Funciones LinealesDefinicinProporcionalidad DirectaSistemas de Ecuaciones Lineales con Dos IncgnitasMtodos de Resolucin de Sistemas de Ecuaciones LinealesClasificacin de Sistemas Lineales de Ecuaciones Lineales con Dos Incgnitas

Inecuaciones Lineales con Una IncgnitaFuncin MduloRepresentacin de Funciones de Frmula bold0mu mumu h(x) = k |x - a| + bh(x) = k |x - a| + bh(x) = k |x - a| + bh(x) = k |x - a| + bh(x) = k |x - a| + bh(x) = k |x - a| + b

Unidad 3: Las Funciones CuadrticasDefinicinFormas de ExpresinForma CannicaForma FactorizadaForma Polinmica

Sistemas de Ecuaciones No Lineales con Dos IncgnitasClasificacin de Sistemas Lineales de Ecuaciones Lineales con Dos Incgnitas

Inecuaciones No Lineales con Una Incgnita