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FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y RECURSOS HUMANOS FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES ECONÓMICAS Y FINANCIERAS

UNIDAD ACADEMICA DE ESTUDIOS GENERALES

Manual para uso exclusivo de los estudiantes

Ciudad Universitaria USMP Av. Las Calandrias N°151

Santa Anita - Lima

MATEMÁTICA I

I Ciclo

Semestre 2018 – II

MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-II

Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes de las Facultades y Escuelas Profesionales:

FACULTAD DE CIENCIAS ADMINITRATIVAS Y RECUSOS HUMANOS Escuela Profesional de Administración de Negocios Internacionales

Escuela Profesional de Administración Escuela Profesional de Gestión de Recursos Humanos

Escuela Profesional de Marketing

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Escuela de Profesional Contabilidad y Finanzas

Escuela Profesional de Economía


INTRODUCCION

La matemática es una ciencia formativa, fomenta el razonamiento en todo ámbito

donde se pueda desarrollar una persona, por lo que el curso de Matemática I, es una

asignatura que cumple uno de los objetivos básicos de la universidad, enseñar a los

alumnos a obtener conocimientos en forma clara, ordenada, razonada, bajo estructuras

sólidas de la ciencia, para que ellos a su vez puedan aplicarlos en su vida personal y

profesional.

La presente Guía de Ejercicios y Problemas de Matemática I, está preparado

especialmente para nuestros alumnos de Estudios Generales de la USMP, orientada a

incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de

Matemática I, en la Unidad Académica de Estudios Generales.

Esta Guía que se presenta, contiene teoría, ejercicios resueltos y propuestos,

problemas de aplicación de cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarán

en el presente semestre académico 2018 - II, por lo que está estructurada en cuatro

unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades son: Lógica

matemática, conjuntos, ecuaciones, funciones, tópicos de geometría analítica y

aplicaciones de la programación lineal.

Con el propósito que la presente guía sea un instrumento básico de trabajo en

cada sesión de clase para el alumno, que contribuya a la formación profesional y

académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la

asignatura de Matemática I, es indispensable que el alumno use el manual tanto en

clase como también como un instrumento de práctica fuera de ella. Se insta también a

los alumnos usar la bibliografía recomendada en el sílabo.

Los Profesores


ESTUDIOS GENERALES

4

SEMANA 1

LÓGICA MATEMÁTICA

La lógica tiene sus inicios desde el tiempo de Aristóteles, nacido en Grecia (384-322

a.c.) plasmado en su obra “Organum”, llamada lógica aristotélica o clásica. Luego

Gottfried Wilhem Liebnitz (1646 – 1716) alemán, introduce los símbolos lógicos los cual

facilitaban el estudio, utilizándolos como instrumentos matemáticos. Sin embargo no es

sino hasta la genialidad de George Boole (1815 – 1864) Inglés, quien publicó su obra

“Una investigación de las leyes del pensamiento”, que realmente dio un gran salto al

estudio de la matemática simbólica que gracias a Bertrand Russell ( 1872 –1970) y

Alfred Whitchead (1864 –1947) con su obra “ Principia Mathemática” publicada en 1910

y 1913; que proponen como la base para el desarrollo vertiginoso de la lógica llamada

“ lógica simbólica”.

Concepto: La Lógica es la ciencia que estudia el razonamiento inductivo é deductivo.

El razonamiento inductivo es aquel que lleva a conclusiones generales a

partir de observaciones particulares y el razonamiento deductivo parte de

conclusiones generales y llega a conclusiones particulares.

1. ENUNCIADO. Es toda oración o frase que exprese alguna idea, a través de

afirmaciones, negaciones, preguntas, órdenes, saludos, emociones, etc.

Ejemplo: ¡Qué bueno que estudie matemática

¿Desea tener éxito en sus estudios?

¡Pero, por supuesto!

2. ENUNCIADO ABIERTO. Es aquel enunciado, el cual no se puede responder con

verdadero o falso.

Ejemplo: 3x<6 4x - 3y = 8 Ella es Psicóloga

3. PROPOSICIÓN LÓGICA. Una proposición es un enunciado cuya propiedad

fundamental es que puede responderse como verdadero (V) o falso (F), pero no

ambas a la vez. Por tanto, no existe ambigüedad en la respuesta. Una proposición

se representa simbólicamente por letras minúsculas tales como: p , q , r , s

llamadas variables proposicionales. Ejemplo:

p: La matemática es una ciencia pura.

q: Todos los universitarios han rendido un examen de admisión.


ESTUDIOS GENERALES

5

4. VALOR DE VERDAD. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota con

( )V p y escribimos:

( )V p V si el valor de p es verdadero y ( )V p F si el valor de p es falso.

5. PROPOSICIÓN SIMPLE. Es aquella proposición lógica que consta de un solo

sujeto y un predicado. Ejemplo:

p : Las flores son parte de una planta.

q: El curso de matemática I es pre-requisito para cursar Matemática II en la

USMP

6. PROPOSICIÓN COMPUESTA. Está conformada por dos o más proposiciones

simples unidas por palabras (operadores lógicos) que enlazan a dichas

proposiciones. Ejemplo:

Los universitarios tienen carnet de identificación y pagan medio pasaje p q

7. OPERADORES LÓGICOS. Son signos o símbolos que representan palabras y

que son usados para relacionar proposiciones. Tenemos:

SIMBOLO NOMBRE Algunas palabras

_ Negación “no” “ni” “nunca”

Conjunción “y” “pero” “también”

Disyunción débil “o” “a menos que”

Condicional “entonces”

Bicondicional “si y solo si”

Disyunción fuerte “ o….o….”


ESTUDIOS GENERALES

6

SEMANA 2

TABLAS DE VERDAD Y FORMALIZACION DE PROPOSICIONES

1.- TABLAS DE VERDAD.

2.- SIGNOS DE AGRUPACIÓN O DE COLECCIÓN. Los signos de agrupación

, , se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más

complejos. Otra finalidad de estos signos es darles mayor o menor jerarquía a los

operadores.

3.- FÓRMULA LÓGICA. Es una combinación de variables proposicionales y operadores lógicos. Se evalúa mediante tablas de verdad.

Las fórmulas lógicas o esquemas moleculares, se evalúan mediante tablas de valores

de verdad, el número de valores de verdad queda determinado por 2n, donde n

es el número de proposiciones.

Si al evaluar una fórmula lógica resulta que todos los valores de verdad de su operador

principal son verdaderos, entonces se tiene una TAUTOLOGÍA.

Si todos estos valores son falsos, es una CONTRADICCIÓN.

CONJUNCIÓN

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

DISYUNCIÓN FUERTE

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

DISYUNCIÓN DÉBIL

p Q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

CONDICIONAL

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

BICONDICIONAL

p q pq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

NEGACIÓN

p ~ p

V

F

F

V


ESTUDIOS GENERALES

7

Si es una combinación entre valores verdaderos y falsos, entonces se tiene una

CONTINGENCIA.

Ejemplo de Evaluación Lógica

[ ( p ~ q ) Λ ( ~ r v q ) ] ~ p

V F F F F V V V F

V F F F V V V V F

V V V F F F F V F

V V V V V V F F F

F V F V F V V V V

F V F V V V V V V

F V V F F F F V V

F V V V V V F V V

4.- El Esquema Lógico responde a una: CONTIGENCIA


ESTUDIOS GENERALES

8

CUANTIFICADORES

1. FUNCIÓN PROPOSICIONAL. La función proposicional es un enunciado abierto de

la forma ( )P x , es decir, se trata de una expresión que contiene alguna variable que al

ser sustituida por un valor particular se convierte en proposición.

Por ejemplo:

2( ) : 3 10P x x ; es un enunciado abierto

2(2) : 2 3 10P ; es una proposición falsa

2(3) : 3 3 10P ; es una proposición verdadera

2. CUANTIFICADORES. Los cuantificadores sirven para transformar un

enunciado abierto o función proposicional en una proposición para lo cual su misión

es indicar cuántos elementos de un conjunto dado, cumplen con cierta función

proposicional.

2.1 CUANTIFICADOR UNIVERSAL. Representado por ∀ se emplea para afirmar que

todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada función

proposicional.

. Notación:

∀ 𝒙 ∈ 𝑨 ∶ ”Para todo x que pertenece al conjunto A se cumple que”

2.2 CUANTIFICADOR EXISTENCIAL. Representado por , se usa para indicar que al

menos un elemento de un conjunto cumple con determinada función proposicional

. Notación:

∃ 𝒙 ∈ 𝑨 / ” Existe algún x que pertenece al conjunto A tal que”

3. NEGACIÓN DE LOS CUANTIFICADORES.

~ / ( ) :x A p x x A ( )~ p x “la negación de un existencial da un universal”

~ : ( ) /x A p x x A ( )~ p x “la negación de un universal da un existencial”


ESTUDIOS GENERALES

9

NOTA.

En general, la proposición universal :x A P x es verdadera si la propiedad ( )P x

lo es, es decir, si cumple con cada uno de los elementos de A y es falso si hay al menos

un elemento de A que no cumple la propiedad ( )P x .

En general, la proposición existencial : ( )x A P x es verdadera si en A hay al menos

un elemento x que cumple ( )P x y es falsa si ningún elemento de A cumple con ( )P x

, esto es, todo elemento de A no cumple ( )P x .

EJERCICIOS

CONOCIMIENTO:

I. Determina cuáles de las siguientes expresiones representa un enunciado (E) una proposición (P) o un enunciado abierto (EA)

a. ¡Me gusta el color blanco!............................................................................. ( ).

b. Roma es capital de Italia………………………………………………………. ( )

c. 4𝑥 − 2 < 7…………………………………………………………………………. ( )

d. El número 333 es divisible por 3………………………………………………. ( )

e. El, es el Presidente del Perú…………………………………………………….. ( )

f. Ricardo Gareca es el nuevo entrenador de la selección peruana…………… ( )

g. 2x + 1 = 0…………………………………………………………………………… ( )

II. Según tus conocimientos sobre el tema responde V o F a las siguientes expresiones:

a. La variable proposicional es uno de los tres elementos de la lógica…………. ( )

b. En la Disyunción Débil si ambas proposiciones son V la resultante es F…….. ( )

c. Una proposición compuesta se forma al unir dos simples con un conector….. ( )

d. Si la resultante de una Evaluación Lógica es V, tenemos una Contradicción... ( )

e. La proposición: O Mario Vargas Llosa es escritor o es poeta es Falsa………. ( )

f. En la Condicional cuando la segunda proposición es V sin importar el Valor.. ( )

de Verdad de la primera, la resultante es Verdadera.


ESTUDIOS GENERALES

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III. Pedro resuelve y determina el Valor de Verdad de las siguientes expresiones y coloca la respuesta en este orden: V V F V F; ¿es esta la secuencia correcta? Si no lo es ¿Cuál sería la correcta?

a. [√0.36 = 0.6 ∨ √−16 = 4] → ( 32 + 22 = 52)

b. [(1

2+5

4=

7

4)∆ (

1

5+5

7=

6

35)]

c. √3 < √7 → [(√3 + 6) > √16]

d. √9 = −3 ↔ [102 − 52 = 52] → (42 − 12 = 82)

e. [50 = 5 − 22 ∨ 101 = 4 + √36] → ( √52 − 22 = (7)(3)

………………………………..

IV. Luis resuelve y determina el Valor de Verdad de las siguientes expresiones y

coloca la respuesta en este orden: V V V F F F; ¿es esta la secuencia correcta?

Si no lo es ¿Cuál sería la correcta?

Dado el conjunto 𝑨 = {−𝟓,−𝟒…… , 𝟓}. Determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones:

1) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑥2 + 1 ∈ 𝐴 2) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∶ (𝑥2 − 1) = 0

3) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑥 − 4 ∈ 𝐴 4) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑥2 − 20 ≤ 5

5) ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑥−5

𝑥+2> 2 6) ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / 4𝑥 − 16 ∈ 𝐴

COMPRENSION:

V. Interpreta, Comprende, Simboliza y Determina el Valor de Verdad de las siguientes proposiciones:

a. O Miguel Grau fue el Caballero de los Mares o el Brujo de los Andes

………………………………………………………………………………..

b. Lima es la ciudad de los Virreyes y Trujillo la ciudad de la marinera.

………………………………………………………………………………..

c. 10 es múltiplo de 3 o 30 es divisor de 600

…………………………………………………………………………………

d. Si Paolo Guerrero es un futbolista entonces es un atleta

…………………………………………………………………………………

e. El día tiene 24 horas si y solo si una hora tiene 60 minutos.


ESTUDIOS GENERALES

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………………………………………………………………………………..

APLICACION

VI. Enrique el estudiante promedio del aula siguiendo las pautas para resolver una Evaluación Lógica determinó los resultados en cada una de ellas. Coloca una A si estás de acuerdo y NA si no estás de acuerdo:

a. [ ~p q p q p q ………………….Tautología……………. ( )

b. ~ ~ ~ ~p q p q p q ……………..Contradicción………… ( )

c. ~ ~ ~p q p r ………………………….. Contingencia………….. ( )

d. ~p q p r q p ………………… Contingencia…………… ( )

e. ~ ~p q p q ……………………………… Tautología…………….. ( )

VII. De la falsedad de ~ ~p q r s deduzca el Valor de Verdad de:

1. ~ ~ ~p q q p

2. ~ ~r q q q r s

3. ~r s q p s

VIII. Dado el conjunto 𝑩 = {−𝟑,−𝟏, 𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕 }. Hallar el Valor de Verdad inicial y luego Negar cada una de las siguientes proposiciones y establecer el nuevo Valor de Verdad:

1) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥2 − 2 ≤ 37 2) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥2 − 20 ≤ 29

3) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / 5𝑥 − 8 ∈ 𝐴 4) x B :4 1

55

x

5) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / 2𝑥−6

2> 3 6) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵/ 𝑥2 − 6 ≤ 0

7) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥 + 4 ≥ −1 8) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥2 − 20 ≤ 5

9) ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∶ 𝑥−1

𝑥−3> 0 10) ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 / (𝑋 − 3)(𝑋 + 2) = −4


ESTUDIOS GENERALES

12

SEMANA 3

CONJUNTOS

Desde que nacemos, nos encontramos con agrupaciones, en primer lugar con personas

a nuestro derredor tratando de conocernos, luego con cosas con las cuales empezamos

a diferenciar formas, texturas, etc. Así continuamos aprendiendo a relacionar objetos y

los vamos agrupando según las necesidades. Por ejemplo los compañeros de la

escuela, las enfermedades del corazón, estudiantes de matemática, entre otros. Nos

hacemos preguntas respecto a estas agrupaciones y sus componentes, por eso la

matemática se encarga de estudiarlas y este estudio es conocido como Teoría de

Conjuntos.

1. IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO. De manera intuitiva diremos que un conjunto es

una colección bien definida de objetos. A cada uno de estos objetos le denominamos

elemento del conjunto. Un conjunto se denota por una letra mayúscula, sus

elementos se encierran entre llaves y se separan por comas cuando el conjunto esta

expresado por extensión.

2. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS.

2.1. POR EXTENSIÓN. Aquí se listan todos los elementos del conjunto. Esta lista

de elementos la escribimos entre llaves.

2.2. POR COMPRENSIÓN. Aquí se escribe una propiedad que cumplen todos los

elementos que están en el conjunto.

3. RELACIÓN DE PERTENENCIA. Cuando un elemento se encuentra en un conjunto

se dice “que este elemento pertenece al conjunto” y se denota por “pertenece”.

4. SUBCONJUNTO. Es aquel que forma parte de otro. Se denota por y se lee “es

subconjunto de” ó “está contenido en”. Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo

si cada elemento de A también es elemento de B y se denota por A B .

El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto A.

5. DIAGRAMA DE VENN-EULER. Son gráficos que nos ayudan a ilustrar algunas

ideas. En el caso de la teoría de conjuntos se usan diagramas de Venn-Euler. Se

usan generalmente círculos para graficar los conjuntos y un rectángulo para el

conjunto universal.

6. CARDINAL DE UN CONJUNTO. Es la cantidad o número de elementos de un

conjunto y se denota por n A


ESTUDIOS GENERALES

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7. CONJUNTOS ESPECIALES.

7.1. CONJUNTO UNIVERSAL. Es aquel formado por todos los elementos con los

cuales estamos trabajando en un problema particular. Se denota por U . Es

muy importante establecer el conjunto universal, ya que eso determinará

nuestro marco de referencia.

7.2. CONJUNTO VACÍO. Es aquel que carece de elementos. Se denota por ó

.

7.3. CONJUNTOS DISJUNTOS. Dos conjuntos son disjuntos si no tienen

elementos en común.

7.4. CONJUNTO UNITARIO. Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

7.5. CONJUNTO POTENCIA. El conjunto potencia de un conjunto A , es el

conjunto formado por todos los subconjuntos de A . Se denota por P A y el

número de elementos de 2nP A , donde n es el número de elementos de

A .

7.6. CONJUNTO FINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es limitada.

7.7. CONJUNTO INFINITO. Es un conjunto cuya cantidad de elementos es

ilimitada. Por ejemplo el conjunto de números reales.

8. CARDINALIDAD CON Y SIN INTERSECCION

Sea A un conjunto cualquiera y “n” el número de elementos de A, luego se entiende como cardinalidad de un conjunto precisamente al número de elementos que el contiene el mismo. Ejemplo: A = {0, 1, 2, 3, 4 ,5} El número de elementos de A se representa como n(A) = 6; lo que equivale a decir; “A” tiene 6 elementos.

8.1 Cardinalidad de dos conjuntos sin intersección Sean A y B dos conjuntos sin intercepto: A ∩ B = Ø

Luego:

n(A U B) = n(A) + n(B)


ESTUDIOS GENERALES

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8.2 Cardinalidad de dos conjuntos con intersección Sean A y B dos conjuntos con intercepto: A ∩ B ≠ Ø

Luego:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

8.3 Cardinalidad de tres conjuntos con intersección Sean A, B y C tres conjuntos con intercepto: A ∩ B ∩ C ≠ Ø

Luego:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

8.4 Cardinalidad de la diferencia de dos conjuntos con intersección Sea A – B el conjunto diferencia entre ellos:

Luego:

n (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

NOTA: En 4.2 se puede expresar n(A U B) = n(A – B) + n(B)


ESTUDIOS GENERALES

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SEMANA 4

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1. UNIÓN. Dado dos conjunto A y B, la unión de A y B se define como:

/A B x x A x B

Nota; Siempre se cumple que A A

2. INTERSECCIÓN. Dado dos conjuntos A y B, la intersección de A y B se define como:

/A B x x A x B

Dos conjuntos son disjuntos sí A B . Además siempre se cumple que A

.

3. DIFERENCIA. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos A y B se define como:

/A B x x A x B

A B U

A B U

A B U

A

B

U A B

U

A

B

U A B

U

A B

U A

B

U


ESTUDIOS GENERALES

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4. DIFERENCIA SIMÉTRICA. Dado dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de A y

B se define como:

/A B x x A B x B A

5. COMPLEMENTO. Dado un conjunto A y el conjunto universal U, donde A U , se

define el complemento de A como:

/' cA A x x U x A

Nota: Siempre se cumple que: 'U y ' U .

A B U

U

A

A B U A

B

U

A’


ESTUDIOS GENERALES

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Método de Polya aplicado a un problema de Operaciones con Conjuntos

UNIDAD I CONJUNTOS

CAPACIDAD: Aplica racionalmente los métodos de la Teoría de Conjuntos para la solución

de problemas específicos de su formación profesional.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica la Teoría de Conjuntos en la resolución de

problemas basados en casos (Identifica el problema, Selecciona y Ejecuta la estrategia de

solución y reflexiona sobre los resultados) de la vida cotidiana.

FICHA N°: Resolver el siguiente problema, en torno a la Teoría de Conjuntos, utilizando la metodología de POLYA

PROBLEMA: Operaciones con Conjuntos Sean los conjuntos U = {x Ɛ Z / - 1 ≤ x ≤ 5}, A = {x Ɛ N*/ x (x + 3) (x – 5) = 0} y

B = {x Ɛ N / - 1 ≤ x < 4}.Se afirma que luego de realizar las operaciones con estos

conjuntos: [(A U B)C Δ (BC – A) = {- 1, 4, 5 } ¿Es o no correcto?

CRITERIO PASOS DESARROLLO

Identifica Entender

el problema

a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema?

Determinar si es o no correcto la afirmación en el sentido de que: [(A U B)C Δ (BC – A) = {- 1, 4, 5 }

b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del problema?

U = { x Ɛ Z / - 1 ≤ x ≤ 5 }, A = { x Ɛ N*/ x (x + 3)( x – 5) = 0 } y B = {x Ɛ N / - 1 ≤ x < 4}.

c) Identifica las condiciones ¿Cuál es la condición o condiciones del problema?

Determinar si la afirmación es o no correcta

Relaciona

Configurar un plan

Relaciona la condición con los datos y las incógnitas. ¿Cuál sería el planteamiento de solución del

problema?

1.- Determinar los conjuntos por Extensión.

2.- Analizar el resultado obtenido sobre el cual basa la

afirmación.

3.- Ejecutar todas las operaciones de conjuntos hasta lograr un

resultado y compararlo con el anterior.

4.- Comprobar el resultado.


ESTUDIOS GENERALES

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5.- Responder a la pregunta sobre si la afirmación es o no

correcta.

Resuelve

Ejecutar el plan

Resolver: Conjuntos por extensión: U = { x Ɛ Z / - 1 ≤ x ≤ 5 } = {-1, 0,1,2,3 4,5} A = { x Ɛ N*/ x (x + 3)( x – 5) = 0} = {-3, 0} B = {x Ɛ N / - 1 ≤ x < 4}.= {1,2,3} Operaciones: (A U B) = {-3,0,1,2,3} A U B)C = {-1,4,5} (BC – A ) = {-1,4,5} Luego: Si tenemos en cuenta que: (A Δ B) = (A U B) – (A ∩ B),por lo tanto [(A U B)C Δ (BC – A) = Ø

Reflexiona

Examinar la

solución

Revisamos la solución obtenida: ¿Cómo verificarías tu resultado? 1.- Revisando paso a paso cada operación realizada.

2.- Gráficamente

Respuesta: La Diferencia Simétrica motivo del problema resulta un vacío. Emita un Juicio Crítico respecto a si es correcto o no la afirmación Resolviendo el problema planteado en el tema de Operaciones con Funciones y comparando con el resultado previo sostengo que la afirmación es incorrecta ya que al final sr observa que el conjunto resultante de la Diferencia Simétrica propuesta no tiene elementos.


ESTUDIOS GENERALES

19

EJERCICIOS:

CONOCIMIENTO:

I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y de ser el caso completar la

expresión: a. Un conjunto determinado por comprensión es aquel cuyos elementos deben de

cumplir con ciertas propiedades……………………………………..................( )

b. La expresión /A B x x A x B corresponde a la Diferencia… ( )

Simétrica c. Dos conjuntos son disjuntos cuando: …………………………………...................... d. A = {x / x ͼ R} es un conjunto infinito………………………………………… ( ) e. Los elementos del Conjunto Potencia se calculan con la expresión:……………. f. El complemento del Conjunto Vacío es:………………………………………………. g. 𝐸𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐵 = {𝑥3 } 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑐í𝑜 ……………………… .…………… . ( )

II. Expresar los siguientes conjuntos por Comprensión:

1. 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝑍 𝑥⁄ (𝑥 − 5)(𝑥 + 6)(𝑥 + 7)} = 0 }

2. 𝐻 = { 𝑥 ∈ 𝑍 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟⁄ }

3. 𝐻 = { 𝑥 ∈ N −2 ≤ 𝑥 < 10; 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟; 𝑥 ≠ 4 ⁄ }

4. 𝐻 = { 𝑥 ∈ 𝑁 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟; 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜⁄ }

5. 𝐺 = { 𝑥 ∈ 𝑍 −2 ≤ 𝑥 < 11; 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟⁄ ; 𝑥 ≠ 1 , 3}

III. Jorge estableció el Valor de Verdad de las siguientes expresiones en el siguiente orden: V F V F V F ¿Es este el verdadero orden? Según sus conocimientos ¿está usted de acuerdo? Si no lo está ¿Cuál sería el orden de los Valores de Verdad?

a) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍+ −10 < 𝑥 ≤ −4,⁄ }, es un conjunto vacío

b) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅+ √−9𝑥 ∈ 𝑅⁄ },es un conjunto nulo

c) / 3B x x es múltiplo de es un conjunto infinito.

d) 1,2,3A y 1,1,3,2,3B son disjuntos

e) 1,2,3,4E es subconjunto de 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑍+ 0 < 𝑥 ≤ 4⁄ },

f) P


ESTUDIOS GENERALES

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COMPRENSION:

IV. Interpreta, Comprende y Determina el Valor de Verdad de las siguientes proposiciones:

Sea el conjunto 3,4, 6 ,8A , colocar verdadero o falso, según corresponda:

a) 3 A

b) 4 A

c) 8 A

d) 3,8 A e) A f) 6 A

g) A h) 6 A i) { 6 } ⊂ A

APLICACIÓN:

V. Resolver:

𝑎) 𝑆𝑖 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 −1 < 𝑥 ≤ 4⁄ }, Determinar P(A)

𝑏) 𝑆𝑖 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁∗ −1 < 𝑥 ≤ 3⁄ } . Determinar P(B)

𝑐) 𝑆𝑖 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁+ −1 < 𝑥 ≤ 4⁄ }, Determinar P(C)

𝑑) 𝑆𝑖 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑍 −1 < 𝑥 ≤ 5⁄ }, Determinar P(D)

VI. Aplica los conceptos de Operaciones con Conjuntos y determina de las mismas:

Sean los conjuntos:

𝒂) 𝑼 = {𝒙 ∈ ℤ+/𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟗}

𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ/𝒙 ≥ 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟓} y 𝑩 = {𝒙 ∈ ℤ/𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟗 ∧ 𝒙 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓}

Determinar:

a) A B b) ' 'A B c) A B

b) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/−3 ≤ 𝑥 < 6}, 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ∗/−2 < 𝑥 < 4} ,y 𝑈 = 𝐴 ∪ 𝐵.

Determinar:

a) B A b) ( ) 'A B A c) A B

c) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ∗/𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = 0} , 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/(𝑥2 − 1)(𝑥2 − 4) = 0} y

𝑈 = 𝐴 ∪ 𝐵

Determinar: 𝐸 = (𝐴 − 𝐵)′


ESTUDIOS GENERALES

21

d) 𝑈 = {𝑥 ∈ ℤ/−4 < 𝑥 ≤ 7}, 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ∗/𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥 < 4} y

𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ/−2 < 𝑥 ≤ 7 ∧ 𝑥 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜}

Determinar:

a) A U b) ' 'A B A c) A B

e) U = { x Ɛ Z / - 2 ≤ x ≤ 15 }, A = { x Ɛ N*/ x ≤ 8 }

B = {x Ɛ N / 5 < x < 15}, C = {x Ɛ Z / -1 ≤ x < 5} y

X = (A ∩ C) ∩ B e Y = (A – BC) - CC

Determinar si: X ≠ Y

VII. Aplica solo los conceptos de Cardinalidad de Conjuntos con y sin intersección y determina:

a) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A) = 6; n(B) = 3 y n(A ∩ B) = 2 determinar:

n(A Δ B)

b) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A U B) = 24; n(A – B) = 10 y n(B – A) = 6

determinar: 5n(A) – 4n(B)

c) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A) = 4; n(B) = 3 y n(A ∩ B) = 2 determinar:

n[P(A) U P(B)] + n[P(A U B)]

d) Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A U B) = 30; n(A – B) = 12 y n(B – A) =

10

determinar: n(A) + n(B)

MATEM ÁTICA I SEMESTRE ACADÉMICO 2018-I I

ESTUDIOS GENERALES

22

APLICACIONES DE CONJUNTOS

APLICACIÓN:

1. De un aula de 35 alumnos de la Universidad San Martín de Porres son evaluados,

aprobaron 22 en matemática, 20 en Física, 21 en química, 10 los tres cursos y 12 solo

dos cursos, algunos de ellos aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprobaron un solo

curso?

2. En un aula de clase se sabe que 22 estudiantes prefieren lenguaje, 24 estudiantes

matemática y 20 prefieren biología. Si los que prefieren al menos una asignatura son

35 y los que prefieren solamente una asignatura son 5. ¿Cuántos prefieren las tres

asignaturas?

3. En una reunión de doctores de 54 participantes, 35 dominan inglés y física, 21 inglés

y química y 16 física y química. Si todos por lo menos dominan 2 cursos ¿cuántos

dominan los 3 cursos?

4. De 72 postulantes se supone que 45 postulan a la Universidad San Martín de Porres,

36 postulan a la Universidad de Lima y los que postulan a las dos universidades son

el doble de los que no postulan a ninguna de las dos.

¿Cuántos postulan a una sola Universidad? ¿Cuántos postulan solo a la Universidad San Martín de Porres? ¿Cuántos postulas solo a la Universidad de Lima?

5. En un aula hay 72 alumnos que gustan de la música rock o salsa. La cantidad de los

que gustan el rock es el quíntuplo de los que sólo gustan la salsa; la cantidad de los

que sólo gustan el rock es el triple de los que gustan ambos géneros. ¿Cuántos

alumnos sólo gustan de un género?

6. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican básquet, 14 fútbol

y 11 tenis. 6 alumnos practican los tres deportes, 2 practican fútbol y básquet pero no

tenis, 1 practica básquet y tenis pero no fútbol, 3 practican sólo tenis. ¿Cuántos

alumnos practican sólo un deporte?

7. Una agencia de Turismo convocó a un concurso para administradores con

conocimientos de algún idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben inglés,

21 francés y 17 alemán. Además 17 saben inglés y francés; 14 inglés y alemán; 11

francés y alemán y 9 inglés, francés y alemán. ¿Cuántas personas se presentaron al

concurso?

8. En una encuesta realizada en 100 viviendas de un distrito se obtuvo que:

60 casas tenían aparatos de TV a color

30 casas tenían equipo de sonido

20 casas tenían DVD

21 casas tenían TV a color y equipo de sonido.


ESTUDIOS GENERALES

23

15 casas tenían TV a color y DVD

4 casas tenían equipo de sonido y DVD.

¿Cuántas casas, como máximo, no tenían estos aparatos?

JUICIO DE VALOR:

9. Se lleva a cabo una investigación de 1000 personas para determinar que medio utilizan

para conocer las noticias del día. Se encontró que 400 personas escuchan las noticias

en forma regular por TV. 300 personas escuchan noticias por la radio y 275 se enteran

de las noticias por ambos medios.

a) ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por TV?

b) ¿Cuántas de las personas investigadas se enteran de las noticias solo por la radio?

c) ¿Cuántas de las personas investigadas no escuchan ni ven las noticias?

Jorge el estudiante promedio del aula resuelve el problema y afirma lo siguiente:

Se enteran de las noticias solo por TV: 115 personas

Se enteran de las noticias solo por Radio: 35 personas

585 personas no ven ni escuchan las noticias

Resuelve y luego emite un juicio personal si estas o no de acuerdo con Jorge

justificando tu respuesta.

10. Un grupo de alumnos de Administración ha planeado realizar una investigación sobre

las respuestas de los espectadores a ciertos aspectos de las películas A, B y C.

Después de encuestar a 50 personas se obtuvo la siguiente información: 20 han visto

la película A; 17 han visto la película B; 23 han visto la película C. 6 han visto las

películas A y B, 8 han visto las películas B y C, 10 han visto las películas A y C.

Además, se sabe que 2 han visto las tres películas.

La finalidad del grupo es conocer lo siguiente:

¿Cuántas personas han visto una sola película?, ¿Cuántas personas han visto al

menos dos películas y cuantas no han visto ninguna de las películas?

Uno de los integrantes del grupo se adelanta y afirma que:

18 personas han visto solo una película.

18 personas han visto al menos dos películas

12 personas no han visto ninguna de las tres películas.

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta.


ESTUDIOS GENERALES

24

11. El docente de un aula de Matemática propone el siguiente problema de intersección

de conjuntos:

Un grupo de 60 chef se presentaron a un Concurso de Cocina en las siguientes

especialidades: postres, cremas y pastas. Obteniéndose como resultado que: 30

ganaron en la especialidad de pastas. 25 ganaron en la especialidad de postres. 20

ganaron en la especialidad de cremas. 5 ganaron en pastas y postres, pero no en

cremas. 7 ganaron en pastas y cremas. 1 ganó en las tres especialidades. Además,

se sabe que el número de los que ganaron sólo postres es la mitad de los que ganaron

la especialidad de pastas.

Determine ¿cuantos ganaron al menos, en dos de las especialidades? ¿Cuántos

ganaron? en las especialidades de Postres y Cremas? Y ¿Cuántos no ganaron en

ninguna especialidad?

Paul uno de los mejores estudiantes resuelve el problema y afirma lo siguiente:

16 ganaron en al menos dos especialidades

5 ganaron en postres y cremas

2 no ganaron en ninguna de las especialidades

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta.

12. En un estudio de mercado, para conocer la marca de automóvil que prefieren los

peruanos, se realizó una encuesta a 310 personas obteniéndose los siguientes

resultados: 140 personas prefieren la marca Nissan; 70 prefieren la marca Volvo y 110

la marca Toyota; 20 personas prefieren las marcas Volvo y Toyota, pero no la marca

Nissan; 15 personas prefieren las marcas Volvo y Nissan; 25 personas prefieren las

marcas Nissan y Toyota. Además, se sabe que el número de personas que prefieren

las tres marcas, es la séptima parte de los que prefieren la marca Volvo.

a) ¿Cuántas personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de

Automóvil?

b) ¿Cuántas personas prefieren solo Volvo y Toyota?

c) ¿Cuántas personas prefieren Nissan y Toyota, pero no Volvo?

Omar uno de los estudiantes distraídos del aula resuelve el problema y afirma lo

siguiente:

60 personas no prefieren ninguna de las tres marcas mencionadas de

Automóvil

30 personas prefieren solo Volvo y Toyota

15 personas prefieren Nissan y Toyota, pero no Volvo

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu respuesta


ESTUDIOS GENERALES

25

13. César, funcionario de una agencia de viajes, realiza una encuesta a un grupo de

turistas europeos sobre sus preferencias de pasar sus vacaciones en Sudamérica y

se obtuvo que: 13 prefieren Brasil y Perú, pero no Argentina; 12 prefieren sólo Brasil.

9 sólo prefieren Perú. 50 prefieren Perú o argentina, de los cuales 7 prefieren Brasil,

pero no Perú y 4 prefieren Perú y argentina pero no Brasil. 40 prefieren Brasil. Si todos

los turistas prefieren por lo menos un país, determine:

a) El número de turistas que prefieren al menos dos países.

b) El número de turistas que prefieren solo un país.

c) El número de turistas que fueron encuestados.

Visto el panorama al final de la encuesta el funcionario afirma lo siguiente:

32 personas prefieren al menos dos países

30 personas prefieren solo un país

62 personas fueron encuestadas


CASOS

CASO 1: “Preparándose para la evaluación”

Luis, Pedro y Marcial se encuentran en el patio de la Universidad y el primero le pregunta a

Marcial ¿Estudiaste para el examen?, éste le responde que todavía pero que sería bueno

juntarse para estudiar. Caminando con destino al aula de clases pasan por un quiosco de la

facultad y observan un letrero que decía: ¡Aproveche la oferta!, se trataba de 2 obras de

Mario Vargas Llosa y una publicación de un autor cubano disidente nacido en La Habana.

Terminada la clase decidieron pasear cerca de la Villa Deportiva y visualizaron a su

compañera María Flores entrenando en la pista de atletismo con mucho entusiasmo. Ella, es

una atleta con futuro dijo Pedro y a su vez recordó que pronto la ciudad de Lima festejaría

su aniversario de fundación.

Todos recordaron que el docente de la asignatura de Matemática había enfatizado que para

la evaluación en lógica los estudiantes deberían conocer fechas, capitales de países, nombres

de presidentes y organizaciones mundiales, entre otros, por lo que solicitarían en la biblioteca

un compendio que los ayude.

Finalmente, el docente les adelantó que una pregunta segura en el examen sería la

Evaluación de un Esquema Lógico.


ESTUDIOS GENERALES

26

El 1er ejercicio que se les presentó para desarrollar fue el que se detalla líneas abajo: procure

Ud. dar respuesta al mismo:

1.

Lee el contenido de la lectura: Reconoce y responde colocando V o F según sea el

caso:

a.- La expresión ¿Estudiaste para el examen? es un Enunciado Abierto

b.- Ella, es una atleta con futuro es un Enunciado

c.- Mario Vargas Llosa escribió “El mundo es ancho y ajeno” es una Proposición

d.- La expresión ¡Aproveche la oferta! es un Enunciado

e.- Lima fue fundada el 18 de Enero de 1534 es un Enunciado Abierto

f.- La capital de Cuba no es La Habana es una Proposición

El 2do ejercicio se trataba de determinar el Valor de Verdad de ciertas expresiones procure

Ud. dar respuesta al mismo:

2.

Asigna una variable proposicional a cada expresión parcial de la proposición

compuesta presentada, asigna el conector adecuado, simboliza y determina el Valor de

Verdad.

a) Lima es la capital del Perú y Cali la capital de Colombia

b) O PPK es el Presidente del Perú o PPK es el Presidente de la FIFA

c) Si Elena estudia a conciencia este fin de semana entonces aprobará el curso

3.-

El 3er ejercicio precisamente se trataba de una “fija” y optaron por realizarlo en forma

individual. Luis afirma que se trata de una Contradicción

EL Esquema Lógico a evaluar fue el siguiente:

[ ]~ ~p q p q q r

Realice Ud. La evaluación y determine si Luis está o no en lo correcto

CASO 2: Preferencias Profesionales

Tres amigos terminan de estudiar Lógica y empiezan con el tema de Conjuntos, para lo cual

leen el siguiente caso:

La Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras de la USMP realizó una

encuesta dirigida a 60 estudiantes de la Institución Educativa “Santa Anita” y obtuvo los

siguientes resultados:

30 eligieron “Contabilidad”,

24 eligieron “Negocios Internacionales”,


ESTUDIOS GENERALES

27

22 eligieron “Administración de empresas”,

8 eligieron “Contabilidad” y “Negocios Internacionales”,

6 eligieron “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”,

7 eligieron “Contabilidad” y “Administración de empresas”,

2 eligieron “Contabilidad”, “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”.

El empleado Ramírez emite un informe en el que entre otras cosas afirma lo siguiente: 40

eligen sólo una de las tres carreras,17 eligen al menos 2 de las tres carreras, 35 eligen

Contabilidad y Negocios Internacionales, pero no Administración de Negocios y 3 no eligen

ninguna de ellas.

1. Use los datos obtenidos en la encuesta realizada por la La Facultad de Ciencias

Contables, Económicas y Financieras de la USMP para elaborar la gráfica

correspondiente y dar respuesta a las siguientes preguntas:

a) n(A C) =

b) n(P A) =

c) n(A – C) =

d) d) n(A P) =

e) e) nP-(A C) =

f) f) n( A P)-C =

2. Coloque V o F según corresponda luego de resolver cada pregunta

a) ¿Cuántos eligen sólo una de las carreras profesionales?

b) ¿Cuantos eligen al menos 2 de las carreras profesionales?

c) ¿Cuántos eligen Contabilidad y Negocios Internacionales, pero no Administración de

Negocios?

d) ¿Cuántos no prefieren ninguna de las tres carreras profesionales?


ESTUDIOS GENERALES

28

SEMANA 5

ECUACIONES LINEALES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones

que conforman una ecuación son llamadas lados o miembros, y están separados por el

signo de igualdad “=”

La ecuación lineal de primer grado con una variable es aquella que adopta la forma canónica:

ax + b = 0 / a 0 a, b

Resolver una ecuación consiste en hallar el valor de la variable que hace verdadera

dicha igualdad.

La solución es también llamada raíz de la ecuación siendo expresada por: a

bx

DISCUSIÓN: Respecto a la solución de la ecuación, se debe tener en cuenta lo siguiente: 1º La ecuación es compatible determinada, (finitas soluciones)

Si: a 0 b

2º La ecuación es compatible indeterminada, (infinitas soluciones)

Si: a = 0 b = 0

3º La ecuación es incompatible, inconsistente (ecuación absurda)

Si: a = 0 b / b 0

1.- Resolver−𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 + 𝟑(−𝟐 − 𝟐𝒙)]}

Solución: Se resuelve primero lo que está dentro del paréntesis, respetando los signos, luego los corchetes y finalmente las llaves.

−𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 + 𝟑(−𝟐 − 𝟐𝒙)]} = −𝟓{−𝟐 [−𝟑𝒙 − 𝟔 − 𝟔𝒙]} = −𝟓{−𝟐 [−𝟗𝒙 − 𝟔]}

= −𝟓{𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟐} = −𝟗𝟎𝒙 − 𝟔𝟎

𝟎 = 𝟎

Luego x toma cualquier valor de los Reales.

ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE EN

LOS NÚMEROS REALES

EJEMPLOS:


ESTUDIOS GENERALES

29

2.- Resolver:

Solución:

Aplicando las siguientes identidades

ad =bc

( a+b ) ( c+d ) = ac+ad+bc+bd

Obtenemos:

(X+3)(x–4) = (x-2)(x+1)

x2- 4x + 3x – 12 = x2 + x - 2x - 2

Simplificando: - x – 12 = - x - 2

-12 = -2 ABSURDO.

la ecuación es Incompatible. C.S: x ε Ǿ

3.- Que valor de “x” satisface a la ecuación:

Solución:

Siendo el m.c.m. (4, 3, 6) = 12, se obtiene:

3 (3x-2) – 4 (5x–1) = 2 (2x-7) 9x – 6 - 20x + 4 = 4x - 14

Simplificando: -11x-2 = 4x-14

-15x = -12

De donde: x = C.S.: x ε {4

5}

4.- Qué valor de “x” satisface a la ecuación:

Solución: Debe tenerse en cuenta que los términos que son iguales en los dos miembros de la ecuación se pueden cancelar directamente; es decir: 5 con 5; 2 con 2; 3 con 3; -4 con –4 y 1 con 1; quedando:

4x

1x

2x

3x

d

c

b

a

6

7x2

3

1x5

4

2x3

15

12x

5

4

x5

2x1

43

25

3x

1x1

43

25


ESTUDIOS GENERALES

30

o lo que es lo mismo:

Por proporciones

x2 5x-x+5=x2-2x-3x+6 Simplificando:

-x+5=6 x = -1 C.S.: x ε {– 𝟏 }

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Al conjunto de ecuaciones:

253

542

yx

yx se le llama sistema de 2 ecuaciones lineales con

2 variables. Las variables o incógnitas son x e y. el problema consiste en encontrar valores

para x e y para los cuales ambas ecuaciones sean verdaderas (de manera simultánea). a

estos valores se les llama soluciones del sistema.

Interpretación Geométrica.

Como las ecuaciones del sistema son lineales, sus gráficas son rectas. Si los dibujamos en

un mismo plano, existen sólo 3 posibilidades:

1 .

2.

x5

2x

3x

1x

5x

2x

3x

1x

y

L1

L2

(xo; yo)

xo x

L1

L2

y

x

Un sólo punto de intersección. El sistema tiene solución única:

0

0

x x

y y

No hay intersección.

El sistema no tiene solución.

Infinitos puntos de intersección. El sistema tiene infinitas soluciones. Se le llama Solución paramétrica.

( )

x rr R

y f r

y

x

L1 L2


ESTUDIOS GENERALES

31

3. Métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales, antes de usar uno de los métodos, es

conveniente alinear los términos en x y en y:

A. Método de eliminación por adición

Ilustramos este método para el sistema: 2 4 5 .. . . . ( 1)3 5 2 .. . . . ( 2)

x yx y

Busquemos que los coeficientes de la variable x sean iguales, excepto por el signo, para esto

multiplicamos a la ecuación (1) por 3 y a la ecuación (2) por -2, así queda un sistema

equivalente:

4106

15126

yx

yx

Luego sumamos ambas ecuaciones, miembro a miembro, obtenemos: 112 y que es una

ecuación lineal en la variable y, fácil de resolver: 2/11y

Para obtener el valor de x, reemplazamos 2/11y en cualquiera de las ecuaciones originales

(1) ó (2), para este caso elegimos la ecuación (1):

2/11

542

y

yx

o 5)2/11(42 x

que es una ecuación lineal en la variable x, fácil de resolver, así 2/17x . Por lo tanto, la

solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx

Esta solución cumple en ambas ecuaciones.

B. Método de eliminación por sustitución

Ilustramos este método, con el sistema:

)2.....(253

)1.....(542

yx

yx

Primero escogemos una de las ecuaciones, en este caso (1) y despejamos una de las

variables, en este caso despejamos la variable y, así obtenemos:

2534

25

yx

xy

Sustituimos el valor de y en la ecuación (2), resultando una ecuación lineal, de una variable,

fácil de resolver:

2)4

25(53

x

x , luego 2/17x .


ESTUDIOS GENERALES

32

Reemplazamos, el valor hallado de x en la ecuación (1) se obtiene una ecuación lineal en la

variable y, fácil de resolver:

54)2

17(2

y , luego 2/11y .

Por lo tanto, la solución del sistema es única: 2/11,2/17 yx .

Esta solución cumple en ambas ecuaciones. Se pudo haber elegido la ecuación (2) y despejar

la variable x, y proceder de manera similar.

I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

5123

34

yx

yx b)

830043

920062

yx

yx

c)

2

11

6

5

8

3

22

1

3

2

yx

yx

d)

121)10()10(

22

xyyx

yx

e)

326

6124

pq

qp f)

3(2 ) 712 72 10 10

2 4

3 9 2

x yx

x y x y


ESTUDIOS GENERALES

33

EJERCICIOS:

CONOCIMIENTO:

I. Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:

a) La forma de unas Ecuación Lineal es ax + b = 0 donde a = 0…………. ( )

b) Si ax + b = 0 donde a = 0 y b = 0 luego:……………………………………….

c) Si ax + b = 0 y a = 0 luego la Ecuación Lineal es incompatible………… ( )

d) La ecuación 2 7 1x x tiene como C.S. = {2}……………………. ( )

e) La ecuación 64

89

2

37

xx tiene como C.S. = {- 2}……………………. ( )

APLICACIÓN:

II. Resolver:

a) 15x - 10 = 6x - (x + 2) + (-x + 3)

b) 5 ( 4 1) 6 (3 5) ( 2)x x x x x

c) 4 3 ( 2) 2( 8) 4 ( 6)x x x x

d) 6 2 8 3 2 14x x x

e) 2 24 3 (5 4) 3 ( 1)x x x x

f) 2 2 2

3 1 5 3 4 2x x x

g) 64

89

2

37

xx

h) 11 4 10

2 33 6

x xx

i) 21

53

14

98

3

72

xxx

j) 5

4

4

3

3

2

xxx

III. Resolver las siguientes ecuaciones racionales:

a) 4

2

2

x

x

x

x

b)

2

2

2 1

2 2 4

x x

x x x


ESTUDIOS GENERALES

34

c) 2

3 4 3 5 12

2 4 2 8

x x

x x x x

d) 39

14

3

12

3 2

xx

x

x

x

e) 14

114

7

8

37

12

xx

x

x

f) 34

4

9

1

32

2222

xxx

x

xx

x

g) 65

13

12

1

82

2222

xxxxxx

h) 4

4

2

2

x

x

x

x

IV. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:

a) 6 2 5 0x

b) 2 9 9x x

c) 3 2 5x x

d) 2 7 1x x

e) 5 2 4 2x x

f) 1 1x x

g) 5 14 2 1x x

h) 5 2 4 5x x x

i) 9 10 2 3 2x x x

j) 9 7 16 7x x x


ESTUDIOS GENERALES

35

APLICACIONES

1. Una compañía produce harina de pescado, con un costo variable de $38 por tonelada.

Si los costos fijos son $55 000 por mes y el alimento se vende en $63 por tonelada,

¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual

de $270 000?

2. Un fabricante de zapatos de cuero para caballero, vende cada par en $40. El costo de

fabricación de cada par de zapatos es de $24. Los costos fijos mensuales son de $16

000. ¿cuántos pares de zapatos debe vender el fabricante para llegar al punto de

equilibrio?

3. Para una compañía que fabrica ollas a presión, el costo combinado de mano de obra

y material es de $3 por olla. Los costos fijos son $10 000. Si el precio de venta de una

olla es $5.

a. ¿Cuántas ollas debe vender para que la compañía tenga una utilidad de $140

000?

b.¿Cuál será el ingreso para esa utilidad?

4. La compañía Jimmys fabrica rodilleras para deportistas que tiene un precio unitario de

venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $60 000, determine:

a. El número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de $90

000.

b. ¿Cuál será el ingreso para esa utilidad?

c. ¿Cuál será el costo total para esa utilidad?

5. Suponga que los consumidores comprarán q unidades de un producto al precio de

10002

q dólares por unidad. ¿Cuántas unidades deberá vender para obtener un

ingreso de $5 000?

6. La fábrica de comida para perros Omar’s, vende cada costal de comida en $200. El

costo de fabricación de cada costal es de $120. Los costos fijos mensuales son de $80

000. ¿Cuántos costales de comida para perros debe vender el fabricante para llegar

al punto de equilibrio?


ESTUDIOS GENERALES

36

7. El ingreso mensual total de un academia por la enseñanza de x alumnos está

dado por 450I x , y sus costos mensuales totales están dados por

380 3500C x . ¿Cuántos alumnos se necesitan inscribir mensualmente para llegar

al punto de equilibrio?

8. Si la razón entre el número de horas que una tienda de electrodomésticos está abierta,

al número de clientes diarios, es constante. Cuando la tienda está abierta 8 horas, el

número de clientes disminuye en 92 menos que el número máximo de clientes. Cuando

la tienda está abierta 10 horas el número de clientes es 46 menos que el número

máximo de clientes. Determinar el número máximo de clientes.

Rpta. 276.

9. Un negociante vende primero 1/3, luego los 2/5 de una pieza de tela y sucesivamente

1 / 4 de la parte que queda; sabiendo que vende en toral 48 metros. Determinar

cuántos metros quedará por venderse.

Rpta. 12 m.

10. Un negociante vende los 2/5 de un lote de aceite a un primer comprador, a un segundo

vende 1/3 de la cantidad de aceite que queda después de la primera venta; al final

quedan todavía 16 litros de aceite para vender. Cuántos litros ha vendido en total el

negociante.

Rpta: 24 litros.


ESTUDIOS GENERALES

37

SEMANA 6

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Definición.

Una ecuación de segundo grado es aquella expresión en la que el exponente máximo es 2,

siendo además racional y entera y, de la forma: 2 0ax bx c ; donde , ,a b c , son números

reales y 0a .

Completas: 2 0ax bx c

Incompletas: 2 0ax bx donde 0c ; 2 0ax c donde 0b

METODOS DE SOLUCION

Los métodos para resolver una ecuación de segundo grado son: Por factorización o por la fórmula general

a) Por Factorización. - Pueden ser mediante factor común, aspa simple, completando cuadrados, etc.

Ejemplo:

Resolver: 032 2 xx

Factorización mediante aspa simple: 032 2 xx

x2 3

x 1

Los factores son: (2 3)( 1) 0x x

Igualando a cero cada factor: 01 ; 032 xx

Resolviendo se obtiene: 1 ; 2

3 xx

El conjunto solución es: 3

2. ; 1 C S

Ejemplo:

Resolver: 3𝑥2 − 6𝑥 = 0

Usando el factor común: 3𝑥(𝑥 − 2) = 0 → 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2

𝐶. 𝑆: { 0; 2 }


ESTUDIOS GENERALES

38

b) Por la Formula General:

Una ecuación de segundo grado: 2 0ax bx c puede resolverse utilizando la

formula general:

2 4

2

b b acx

a

; Donde cba , y son los coeficientes de la ecuación.

Procedimiento

a) Se halla el valor de los coeficientes: cba , y .

b) Se reemplaza el valor de los coeficientes en la fórmula general.

c) Se reducen los términos semejantes en cada miembro

d) Se despeja la incógnita.

Además, de acuerdo al valor de la discriminante se tiene:

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales y diferentes.

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son complejas.

Si, 2 4 0b ac , entonces las raíces son reales e iguales.

Ejemplo:

Resolver: 0682 2 xx

Los valores de cba , y son: 2 , 8 , 6a b c

Reemplazando en la formula general (F.G.), se tiene:

2( 8) ( 8) 4(2)(6)

2(2)x

=

8 64 48

4

=

8 16

4

=

4

48

Entonces: 4

48

1

x y

4

48

2

x → 3

1x y 1

2x

→ 1 ; 3 . SC


ESTUDIOS GENERALES

39

(0,0)

(-1,1)

x + y = 0

x

y

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES.

Un sistema de ecuaciones no lineales es aquel sistema en el que al menos una ecuación no

es lineal. Se puede resolver un sistema no lineal, por el Método de eliminación por sustitución.

Ejemplos:

1. Resolver:

0

2

yx

xy ;Despejamos una variable (cualquiera) de la ecuación lineal.

Por ejemplo y, así:

0

2

yx

xy

Reemplazamos en la ecuación no lineal: 2xx , la cual es una ecuación cuadrática,

que al resolver se obtiene las raíces: 10 xóx .

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:

sí 0x entonces 0y ; sí 1x entonces 1y .

Por lo tanto, las soluciones del sistema no lineal son:

0

0

y

xó

1

1

y

x

Forma Gráfica

2. Resolver:

1

1

xy

xy

Observamos que en la ecuación lineal, la variable y está despejado. Sólo queda sustituir

en la ecuación no lineal: 1 1 x x , la cual es una ecuación con radical que nos lleva a

una ecuación cuadrática. Resolviendo se obtiene: 1)1( 2 xx , entonces resolviendo

se tiene: 10 xóx

Para hallar los valores de y, hacemos los reemplazos respectivos:

sí 0x entonces 1y ; sí 1x entonces 0y


ESTUDIOS GENERALES

40

Por lo tanto las soluciones del sistema no lineal son:

1

0

y

x o

0

1

y

x

Forma Gráfica

I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:

a)

03

4y 2

yx

x b)

43

6

xy

yx c)

0

8

2

2

xy

yx

d)

2qp

qp e)

2 0

3 2 1 0

p q

q p

f)

25

1

p q

p q

(0,1) (-1,0)

y = x+1

x

y


ESTUDIOS GENERALES

41

EJERCICIOS

CONOCIMIENTO:


a) En una Ecuación de 2do grado el exponente mayor de x es impar………… ( )

b) El Discriminante ( Δ ) sirve para hallar los valores de x……………………… ( )

c) Cuando Δ < 0 se tiene…………………………………………………………………..

d) ax2 + c es una……………………………………………………………………………..

e) El Discriminante ( Δ ) se expresa así:………………………………………………..

f) La Ecuación 4x2 – 16x se resuelve por Aspa simple…………………………. ( )

g) La Ecuación x2 + 4x + 4 tiene Δ = 0……………………………………………… ( )

APLICACION

II. Resolver las siguientes ecuaciones por cualquier método de solución:

a) 01322 xx b) 0192322 xx

c) 0125202 xx d) 2 2 9 0x x

e) 2 22 6 6 8x x x x f) 1 + 4(2x - 3)² = 4(2x - 3)

g) (x-1)(x+2) - (2x-3)(x+4) - x + 14 = 0 h) (x-1)(x+2) - (2x-3)(x+4) - x + 14 = 0

III. Resolver las siguientes ecuaciones por el método de factorización:

1) x2 25x 2) 2x2 – 72x = 0 3) x2 – 4x + 4= 0 4) 2x2 + x – 3 = 0 5) x2 – 2x + 9= 0 6) x2 + 8x + 16= 0

APLICACIONES

1. Un terreno rectangular de 4 x 8 m. se usa como jardín. Se decide poner una vereda

en toda la orilla interior de modo que 12 m2 del terreno se dejen para flores. ¿Cuál

debe ser el ancho de la vereda?

2. Una compañía determina que si produce y vende q unidades de un producto, el

ingreso total por las ventas será q100 . Si el costo variable por unidad es de S/.

2 y el costo fijo es S/. 1200, determine los valores de q para que la utilidad sea

cero.


ESTUDIOS GENERALES

42

3. La ecuación de ingresos de cierta compañía es: 2340 4I p p ; donde p es el

precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿Cuál será el precio

para que el ingreso sea de $ 6 000, si el precio debe ser mayor de $ 40?

4. El ingreso mensual de cierta compañía está dado por 2800 7 ,R p p donde p

es el precio en nuevos soles del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio

el ingreso será de S/. 10 000, si el precio debe ser mayor de S/. 50?

5. Cuando el precio de un producto es de p dólares por unidad, suponga que un

fabricante suministrará 23 4p p unidades del producto al mercado y que los

consumidores demandarán 224 p unidades. Si el valor de p para el cual la

oferta es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio, halle el

valor de p .

6. Una compañía de muebles para computadoras tiene la ecuación de ingresos

mensuales dada por: 2450 9I p p , donde p es el precio en dólares de cada

mueble. Determine e precio de cada mueble para que el ingreso mensual sea de

5400 dólares, si el precio debe ser mayor que 20 dólares.

7. Suponga que un comerciante venderá q unidades de un producto, cuando el

precio es de )110( q dólares por unidad. Determine el número de unidades que

debe vender a fin de obtener un ingreso por ventas de 3000 dólares, si debe

vender más de 50 unidades.

8. Un fabricante de camisas puede vender q unidades semanales al precio de p

dólares por unidad, donde qp 150 . El costo total de producir q unidades de

camisas es de )401800( q dólares. Halle el número de camisas que debe vender

a la semana para obtener una utilidad de 1 200 dólares, si el número de camisas

debe ser mayor que 50.

9. Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio de p

dólares por unidad, donde qp 185 . El costo total de producir q unidades de

pantalones es de )452800( q dólares. Halle el número de pantalones que debe

vender a la semana para obtener una utilidad de 2000 dólares, si el número de

pantalones debe ser mayor que 60.


ESTUDIOS GENERALES

43

SEMANA 7

DESIGUALDADES LINEALES

DESIGUALDADES: Es un enunciado que establece una relación de orden (< ,>, ≤, ≥ )

Ejemplo: 5 > 8 5 ≥ 8 8 < 5 8 ≤ 5

Propiedades de las desigualdades

1) Si: 𝑎 < 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 Ejemplo: 5 < 7 → 5 + 2 < 7 + 2

2) Si: 0a b

a b y c ac bc yc c

Ejemplo: 6 < 9 y 3 >0 ⇾ 6.3 < 9.3 y 6

3<

9

3

3) Si: 0a b

a b y c ac bc yc c

Ejemplo: 3 < 7 y -2 < 0 ⇾ 3 ( -2) > 7 ( -2) y 3

−2 >

7

−2

El conjunto solución de las desigualdades se da mediante INTERVALOS: Sea I un

subconjunto de R (I R). Decimos que I es un intervalo, si y sólo si es el conjunto de todos los

números reales que están comprendidos entre dos extremos (que pueden ser reales o ideales).

MATEM ATICA I SEMESTRE ACADEMICO 2018 – I I

ESTUDIOS GENERALES

44

INECUACIONES LINEALES

Definición: Son desigualdades, provistas de variables en primer grado y entes matemáticos

Ejemplo 1:

Resolver: 7𝑥 + 5 ≤ −3𝑥 − 5

Pasando las variables al primer miembro: 7𝑥 + 3𝑥 ≤ −5 − 5

Simplificando: 4𝑥 ≤ −10

Dividiendo entre 4: 𝒙 ≤−𝟓

𝟐

∴ 𝐶. 𝑆. = ⟨−∞; −5

2⟩

Ejemplo 2:

Resolver: −3𝑥 − 7 > 7𝑥 − 10

Pasando las variables al primer miembro: −3𝑥 − 7𝑥 > −10 + 7

Simplificando: −10𝑥 > −3

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 10: 𝑥 <3

10

∴ 𝐶. 𝑆. = ⟨−∞; 3

10⟩

Ejemplo 3:

Resolver: 3 −5𝑥

2≤

2

5+3𝑥

6

Multiplicando por 30 (MCD): 90 − 75𝑥 ≤ 12 + 15𝑥

Pasando las variables al primer miembro: −75𝑥 − 15𝑥 ≤ 12 − 90

Simplificando: −90𝑥 ≤ −78

Multiplicando por ( 1) y dividiendo entre 90: 𝑥 ≥13

15

∴ 𝐶. 𝑆. = [13

15; ∞[

Ejemplo4.

Resolver: 3−1𝑥 + 2−1𝑥 + 6−1𝑥 > 5

Solución:

5623

xxx

M.C.M. (3; 2; 6) = 6

−5

2

3

10

13

15


ESTUDIOS GENERALES

45

556

32

x

xxx

∴ C.S. = <5; +>

Ejemplo5:4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6

4𝑥 + 1 ≥ 3 − 5𝑥

Pasando las variables al primer miembro:

4𝑥 + 5𝑥 ≥ 3 − 1 Simplificando: 9𝑥 ≥ 2

Dividiendo entre9: 𝑥 ≥2

9

2

9

S3 − 5𝑥 > 10 − 7𝑥 6

Pasando las variables al primer miembro:

−5𝑥 + 7𝑥 > 10 − 3

Simplificando: 2𝑥 > 7

Dividiendo entre 2 : 𝑥 >7

2

7

2

∴ 𝑥 ∈ ⟨7

2 , ∞⟩

I

I

II 5

2/9

I

7/2

I


ESTUDIOS GENERALES

46

Método de Polya aplicado a un problema de Desigualdades Lineales

UNIDAD II NUMEROS REALES

CAPACIDAD: Utiliza axiomas y/o propiedades de los Números Reales para la solución de

problemas relacionados con operación de negocios. CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Reconoce y aplica los fundamentos teórico – prácticos

de los Números Reales en la solución de casos de contexto real relacionados con operaciones de negocios.

FICHA N°: Resolver el siguiente problema, en torno a números reales, utilizando la metodología de POLYA

PROBLEMA: Desigualdad Lineal La empresa de Pérez se dedica a la venta de impresoras, cada impresora tiene un precio unitario de venta de $ 130 y un costo unitario de $ 100. Si los costos fijos son de $ 3000, determine el número mínimo de impresoras que deben venderse para que la empresa no tenga perdida. El dueño del negocio estima que como mínimo debe producir y vender 101 impresoras para no obtener perdida. ¿Es o no correcto lo afirmado?


Identifica

Entender el problema

a) Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la incógnita del problema?

qmínimo para que la empresa no obtenga perdida.

b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del problema?

Precio de venta: $ 130 Costo unitario: $ 100 Costos fijos: $ 3000

c) Identifica la condición del problema

¿Cuál es la condición del problema? Determinar la cantidad mínima para que la empresa no obtenga perdida (U ≥ 0)

Relaciona

Configurar un plan

Relaciona la condición con los datos y las incógnitas. ¿Cuál sería el planteamiento de solución del problema?

1.- Reconocer e Interpretar el significado de U ≥ 0

2.- Comprender y Aplicar la fórmula: U = I – CT

3.- Reemplazar la expresión anterior en U ≥ 0

4.- Operar

5.- Determinar la q mínima.

6.- Comprobar en la desigualdad U ≥ 0


ESTUDIOS GENERALES

47

Reflexiona

Examinar la solución

Revisamos la solución obtenida: Verifica el resultado (130 * 100) – ( 100*100 + 3000) ≥ 0 13000 – 13000 ≥ 0 Respuesta: La cantidad mínima para no obtener perdida es 100

impresoras. Emita un Juicio Crítico respecto a si es correcto o no la afirmación Luego de aplicar la expresión correcta para que la empresa no obtenga perdida observamos que la cantidad mínima es 100 impresoras y no 101 como lo estimado por el dueño del negocio.


ESTUDIOS GENERALES

48

EJERCICIOS:

CONOCIMIENTO:


a) Definir Desigualdades Lineales e Inecuaciones Lineales es lo mismo……… ( )

b) El intervalo [¨1 ; 4] se puede escribir…………………………………………………..

c) El intervalo [- ∞ ; ∞+] significa los Reales……………………………………….. ( )

d) U ˃ 0 significa………………………………………………………………………………

e) I – CT ≥ 0 significa no obtener ganancias…………………………………………( )

f) El Equilibrio se da cuando………………………………………………………………..

g) Si se requiere la cantidad mínima para que U ˃ $10000 y luego de operar los

datos nos resulta q ˃ 500 la respuesta será 501…………………………………( )

h) El intervalo abierto en “a” y cerrado en “b” se denota………………………………..

APLICACION

I. Resolver e indicar el conjunto solución (C.S.) de los siguientes ejercicios:

1. (3x + 2)(x - 5) – (12x - 76) > 3(x + 7)(x - 1) – 42

2. (x + 2)(x + 5) – (x + 4)(x + 2) 10

3. (x + 2)2 – (x - 2)2 16

4. (x + 2)(x - 2) – (x + 1)2 13

5. x(x + 1)(x + 5) > (x + 1)(x + 2)(x + 3)

6. 57

3

5

6

3

2

xxx

7. 3

1x28

5

x

2

4x3

8. 2

x1

5

x

2

3x

9. 2

1

3

12

1

2

5

x

x

x


ESTUDIOS GENERALES

49

APLICACIONES DE DESIGUALDADES LINEALES

Obtener ganancia: 0U ; 0t tI C

No obtener pérdida: 0U ; 0t tI C

APLICACIONES

1. Una empresa produce cartucheras. Las cartucheras tienen un precio unitario de venta de

S/. 20 y un costo unitario de S/. 15. Si los costos fijos son de S/. 500 000, determine el

número mínimo de cartucheras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.

2. Julio se dedica a la venta de sándwich de pollo. El precio de venta al público es de S/.

1,50 cada uno. Si el costo unitario de S/. 0,80 y los costos fijos de S/. 20,0 determine el

número de sándwich de pollo que deben venderse para que Julio no tenga pérdidas.

3. En la producción del periódico “La Voz” se tiene que el costo de materia prima es de S/.

0,20 y el costo de mano de obra es S/. 0,30, por unidad. El costo que se tiene sin importar

el volumen de ventas, es de S/. 1000 mensual. El precio de cada periódico es S/. 1,00.

Determine el número de periódicos que se deben vender para que la empresa editorial

obtenga utilidades.

4. Los niños de una escuela compran q unidades de galletas “Dulce sabor” al precio de

102

q por unidad. ¿Cuál es el número mínimo de unidades de galletas que deben

venderse para que el ingreso sea mayor que S/. 130?

5. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Gasta S/. 0,20 en fruta y S/.

0,20 en otros insumos (como azúcar, bolsas de marcianos, etc...) por unidad. Además,

debe aportar S/. 20,0 mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza para la

preparación de los mismos. Si los vende a S/. 0,50 cada uno. ¿Cuántos marcianos debe

elaborar y vender para obtener utilidades?

JUICIO DE VALOR:

1. El docente del aula propone el siguiente problema: Hoy, un fabricante tiene 2 500

unidades de un producto. El precio unitario del producto es S/. 4,0. El próximo mes el

precio por unidad se incrementará en S/. 0,50. El fabricante quiere que el ingreso total

recibido por la venta de las 2500 unidades no sea menor que S/. 10750, ¿Cuál es el

número máximo de unidades que pueden venderse este mes?

Armando el estudiante más calificado resuelve el problema y afirma que el número de

unidades que pueden venderse hoy es 1000.



ESTUDIOS GENERALES

50

2. El docente del aula propone el siguiente problema: Lupita prepara marcianos de fruta

para vender en su barrio. Gasta S/. 0,20 en fruta y S/. 0,20 en otros insumos (como

azúcar, bolsas de marcianos, etc.…) por unidad. Además, debe aportar S/. 20,0

mensual por consumo de luz, agua y gas que utiliza para la preparación de los mismos.

Si los vende a S/. 0,50 cada uno. ¿Cuántos marcianos debe elaborar y vender para

obtener utilidades?

Antonio líder del aula sostiene que Lupita debe vender más de 200 marcianos para que

pueda obtener ganancia


3. Un empresario en venta de repuestos para celulares exclusivos, estima que para

OBTENER GANANCIAS mensuales debe vender como mínimo 5000 repuestos por

mes. Si los costos que no se relacionan con la producción son de $70,000, los costos

combinados de mano de obra y material es de $21 por unidad y si cada repuesto se

vende en $35 determine si el empresario está o no en lo cierto. Emita un juicio personal

sobre la afirmación.

4. Un empresario en venta de carros exclusivos y reparados, estima que para NO

OBTENER PERDIDAS debe vender como mínimo 11 carros por mes. Si los

costos que no se relacionan con la producción son de S/.96, 000, los costos

combinados de mano de obra y material es de S/.2400 por carro y si cada carro

se vende en S/.12, 000 determine si el empresario está o no en lo cierto. Emita

un juicio personal sobre la afirmación

5. El docente del aula propone el siguiente problema Una empresa produce fundas de

automóvil y cada una tiene un precio unitario de venta de $80 y un costo unitario de

$35. Si los costos fijos son de $100000, determine el número mínimo de fundas que

deben venderse para que la empresa obtenga una Utilidad no menor que $800000.

Omar uno de los distraídos del aula sostiene que la empresa debe vender algo menos

de 20000 fundas para que pueda obtener la utilidad deseada.



ESTUDIOS GENERALES

51

SEMANA 8

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Definición: Son desigualdades, provistas de variables en segundo grado y entes matemáticos.

Casos: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0 a, b, y c ∈ ℝ y 0a

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0

Procedimiento:

Resolver la inecuación como si fuera una ecuación, hasta encontrar las raíces, o soluciones

de la ecuación, éstas serán los extremos del intervalo o los intervalos correspondientes al

conjunto solución.

Depende de la relación de orden que tenga la inecuación, para establecer el conjunto solución.

Caso 1.- 2 0ax bx c , entonces:

1) 2 0ax bx c , al resolver supongamos que obtenemos como soluciones 1x m y

2x n

2) Como la relación de orden es ≥

; ;x m n y m < n

Nota: Si la desigualdad hubiera sido solo > el conjunto solución sería:

; ;x m n

Caso 2.- 2 0ax bx c

𝑪. 𝑺 ∶ [𝒎;𝒏]

Nota: En el caso de ser solo < 𝑪. 𝑺 ∶ (𝒎; 𝒏)

m n

+ + −

− + +

𝑚 𝑛


ESTUDIOS GENERALES

52

Ejemplo:

Resolver 2 6 0x x

1) 2 6 0x x 0)2)(3( xx 31 x ó 22 x

2) Como la inecuación es

𝑪. 𝑺: 𝒙 ∈ ⟨−∞; −𝟐] ∪[𝟑 ; ∞⟩

EJERCICIOS:

CONOCIMIENTO:


a) Si la inecuación es de la forma 2( ) 0ax b el conjunto solución es: ……………………

b) Si la inecuación es de la forma 2( ) 0ax b el conjunto solución es: ………………………

c) Las raíces encontradas determinan el intervalo del Conjunto Solución…………………. ( )

d) El Método de las Áreas permite determinar el Conjunto Solución………………………...( )

APLICACION

I, Resolver e indicar el conjunto solución

1. x2> 3

2. x3 + 1 < (x - 1)3

3. x2 – 2x – 1 0

4. x2 – 6x + 25 < 11

5. x2 – 11x + 24 < 0

6. x2 – 9x + 20 > 0

7. x2 – 8x – 9 0

-2 3

+ + −


ESTUDIOS GENERALES

53

APLICACIONES DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

(Producción y utilidades). Las ventas mensuales x de cierto artículo cuando su precio es

p dólares están dadas por xp 3200 . El costo de producir x unidades al mes del

artículo es )5650( xC dólares. ¿Cuántas unidades de este articulo deberán producirse

y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2 200 dólares?

Solución.

( ) ( )I unidades vendidas precio por unidad

)3200( xxI

23200 xxI

El costo C (en dólares) de fabricar x unidades es xC 5650 , la utilidad U (mensual)

obtenida por producir y vender x unidades está dada por:

CIU

)5650()3200( 2 xxxU

2 195 3 650U x x

Dado que la utilidad U debe ser al menos de $2200, tenemos que

2200 U

2195 3 650 2200x x

Al escribir esto en la forma estándar y dividir todo entre -3 (notando que el signo de la

desigualdad se invierte), se obtiene la desigualdad:

2 65 950 0x x

Que es una inecuación cuadrática, por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el

intervalo cerrado 8.42 ; 2.22

Rpta.

Para alcanzar la meta requerida el número de unidades producidas y vendidas por mes debe

estar entre 23 y 42 inclusive.

xpI


ESTUDIOS GENERALES

54

(Decisión de precios). Una peluquería tiene un promedio de 120 clientes semanales a un

costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de $0,75 en el precio, la

peluquería perderá 10 clientes. ¿Cuál debe ser el precio máximo que puede cobrarse de

modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales?

Solución.

Sea x el número de incremento de $0, 75 por encima de $8. Entonces el precio por corte

de cabello es (8 0,75 )x dólares, y el número de clientes será de (120 10 )x por semana.

Entonces: Ingresos totales semanales = numero de clientes×precio por corte

)75.08)(10120( xxI

Los ingresos por los 120 clientes actuales son 960$ 8120 por tanto los nuevos ingresos

deben ser al menos $960

(120 10 )(8 0,75 ) 960x x

Simplificando

2 10 7,5 0x x

Por tanto la solución de la desigualdad es el intervalo 4/3 , 0

Esto es, el precio de un corte de cabello debe estar entre $8 y $(8 + 0,75(4/3)) = $9,00

Rpta. El precio máximo que puede cobrarse es $9,00

(Ingresos del fabricante). Al precio de p dólares por unidad, x unidades de cierto articulo

pueden venderse al mes en el mercado con xp 5500 .¿Cuántas unidades deberán

venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos de por lo menos $12 500?

Solución.

Ingresos totales semanales = numero de unidades x precio

; 12 500 I

(500 5 ) 12500x x 2500 5 12500x x 25 500 12500 0 x x

2 100 2500 0 x x 2( 50) 0 x

La solución de la desigualdad es 50x

Rpta. Al mes se deben venderse 50 unidades.

)5-(500 xxI


ESTUDIOS GENERALES

55

EJERCICIOS

1. La fábrica de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está

dado por la expresión G(x) = - 6x2 + 48x - 76 donde ( x en miles) es el número de

unidades producidas. ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de

al menos S/. 14 000?

2. La demanda mensual de un cierto artículo cuando su precio es de p dólares viene

dada por 200

3

p

unidades. Los costos generales de la planta son 650 dólares

mensuales y el costo de producción de cada unidad es de 46 dólares. ¿Qué

producciones garantizan que el beneficio mensual sea de por lo menos 1325 dólares?

3. El costo de producir “ x ” lámparas esta dado 2300 70C x x . Si estas se pueden

vender a 140 soles. ¿Cuántas deben producirse y venderse para obtener utilidades

semanales de al menos 900 soles?

4. Juguetes BASA puede vender al mes, a un precio de p dólares por unidad, x unidades

de cierto artículo, con 120p x . Si los costos totales son de (950 15 )x dólares,

¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse cada mes para obtener una utilidad

de al menos $1800?

5. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $25 cada una. El

costo C (en dólares) de producir x unidades cada semana, está dado por 2 300 26400C x x . ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse a la

semana para obtener alguna utilidad?

JUICIO DE VALOR:

1. El docente de matemática propone el siguiente problema: Si el precio “ p ” de cierto

articulo depende de la cantidad demandada “ q ” y está dado por 120 2p q , y

además se tienen costos fijos de $300 y el costo de producción de cada unidad es de

$20. ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse para obtener utilidades de al

menos $900? Ramiro el estudiante más aplicado del aula afirma que matemáticamente

la respuesta se debe expresar: 20 ≤ x ≤ 30



ESTUDIOS GENERALES

56

2. Las ventas mensuales “ x ” de cierto producto cuando su precio es “ p ” dólares está

dada por: 240 4p x . El costo de producir “ x ” unidades del mismo artículo

es 700 20C x dólares. ¿Cuántas unidades de éste artículo deberán producirse y

venderse de modo que las utilidades mensuales son sea menor que $2 300? Arturo el

estudiante más distraído del aula afirma que el número de unidades a producirse y

venderse está entre 20 y 30.


3. Una compañía de productos de belleza vende 300 unidades de un cosmético cuando

su precio unitario es de $60. Por cada disminución de $5 en el precio se venderán 45

unidades más. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos de al menos $19

500? José uno de los más destacados estudiantes del aula afirma que el precio máximo

es mayor que 49 pero menor que 51.


4. Un editor puede vender 12 000 ejemplares de un libro al precio de $25 cada uno; por

cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio

máximo deberá fijarse a cada ejemplar con el objeto de lograr ingresos de por lo menos

de $ 300 000? Juana una de las más destacadas estudiantes del aula afirma que el

precio máximo resulta de resolver la siguiente expresión: n2 - 5n ≤ 0


5. Un supermercado se encuentra con grandes existencias de manzanas que debe vender

rápidamente. El gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p céntimos por kilo,

venderá x kilos, con 1000 20x p . ¿Qué precio deberá fijar con el fin de obtener

ingresos de por lo menos $12000?

Norma acostumbrada a participar en clase afirma que el precio debe estar entre 20 y 30



ESTUDIOS GENERALES

57

CASOS:

CASO 1: EMPRESARIO EMPRENDEDOR

Un empresario del Emporio Comercial de Gamarra revisa con su contador la situación de uno de sus productos estrellas (Jean Clásico con bordado) para determinar la cantidad a producir y vender semanalmente si desea obtener una utilidad semanal de $1800. El contador revisa sus registros y verifica que el costo de producción por prenda es

de $15, los costos fijos de $950 y cada jean se vende en $70. Ambos convienen en que es necesario establecer una expresión fija que represente el precio del jean y establecen la misma como p = 120 – q. Además, el contador manifiesta que con 50 o 55 unidades podrían alcanzar la utilidad presentada anteriormente. 1. Comprensión del caso

1A. ¿Qué representan las siguientes fórmulas? Explique con sus propias palabras. Cu.q Cu.q + CF p.q CV + CF

2. Selección de la estrategia

2A. Si la Utilidad = Ingreso - Costo Total, plantear en función de “q” la Ecuación lineal y la Ecuación cuadrática, tomando los datos del caso 2.

3. Ejecución de la estrategia

3A. Con las mismas ecuaciones planteadas anteriormente, determine el valor de “q” en la Ecuación Lineal y valores que pueda tener la variable “q” en la Ecuación Cuadrática.

3B. Analizar el Discriminante y determinar el tipo de raíces de la Ecuación

cuadrática resultante en el caso planteado.

4. Evaluación de los resultados

4A. El contador manifiesta que con 50 o 55 unidades podrían alcanzar la utilidad de $1800 ¿Estas o no de acuerdo con la afirmación? Justificar

https://www.google.com/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=&url=https://www.pyme.es/importancia-la-contabilidad-parte-2/&psig=AOvVaw1UvmoMxRMf9OZFVrOI295h&ust=1524093396795451


ESTUDIOS GENERALES

58

CASO 2: CONTIENDA AMIGABLE

El docente del aula propone el siguiente problema

Una empresa produce fundas de automóvil y cada una tiene un precio unitario de venta de

$80 y un costo unitario de $35. Si los costos fijos son de $150000, determine el número

mínimo de fundas que deben venderse para que la empresa obtenga una Utilidad no menor

que $500000.

Omar y Luis estudiantes sobresalientes del aula luego de analizar, plantear y solucionar el

problema sostienen que la empresa debe producir y vender como mínimo 10000 fundas para

que pueda obtener la utilidad deseada.

Omar quien se encarga de plantear el problema propone establecer un punto de partida

fijando una expresión simbólica de la Utilidad empleando el criterio de obtener una utilidad:

1.- ¿Cuál de las siguientes expresiones fijó Omar como su punto de partida?

a) U = 0 b) U > 0 c) U < 0 U ≥ 0

2.- Cuál de las tres expresiones mostradas a continuación debió emplear Omar en el

planteamiento del problema:

U = I + CT I = p x q CT = Cuxq + CF

3.- Si Ud. fuera Omar como plantearía el problema:

……………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………….

4.- Entregado el planteamiento a Luis procedió a operacionalizar la información al

punto que obtuvo la siguiente expresión: U ≥ 10000 con lo que ambos confirman la

afirmación inicial de que son 10000 fundas que se deben producir y vender como

mínimo.

5.- Del planteamiento realizado por Ud. anteriormente realice las operaciones adecuadas y muestre su resultado:

6.- De coincidir con el trabajo de Omar y Luis comprobar el resultado:


ESTUDIOS GENERALES

59

SEMANA 9

FUNCIONES

I. SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL

El sistema coordenado bidimensional o 𝑅2 o rectangular o plano, se representa

mediante dos rectas perpendiculares, llamados ejes coordenados, que se intersectan o

cruzan en un punto llamado origen O. A la línea horizontal se le llama eje X (eje de

abscisas), y a la línea vertical, eje Y (eje de las ordenadas).

Cada punto P en un plano XY debe tener asignado un par de números llamado par

ordenado, se denota ( , )P a b , a se llama abscisa de P y b ordenada de P. Se dice

que P tiene las coordenadas ),( ba .

EJERCICIOS

Ubicar los puntos en un sistema de coordenadas rectangulares y si es posible, indique el

cuadrante al que pertenece cada punto.

a) ( 2,6) (1, 1) (5,7) (6, 3)

b) )9,2()11,0()0,2()8,1(

c) (0, 3) (2, 1) (3,5) ( 4,6)

d) (0,0) (3, 3) (4, 5) ( 1, 6)

y

x

I

CUADRANTE

II

CUADRANTE

III

CUADRANTE

IV

CUADRANTE

(eje de las ordenadas)

( eje de las abscisas)

y

xa

b

( , )a b

o


ESTUDIOS GENERALES

60

II. PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos A y B , el producto cartesiano se define como:

, /A B x y x A y B

Ejemplo 1

Dado los conjuntos: 2;1;0A y 4;2B , hallar: BA

Solución:

)4,2();2,2();4,1();2,1(();4,0();2,0(BA

Ejemplo 2

Dado el conjunto: 4; 3; 1A hallar: A A

Solución:

(4, 4); (4,3); (4, 1); (3, 4); (3,3); (3, 1); ( 1, 4); ( 1,3); ( 1, 1)A A

Propiedad

ABBA

III. RELACIONES

Dado un producto cartesiano A x B, mediante una regla de correspondencia entre la

abscisa y la ordenada de sus pares ordenados se dice que existe una RELACIÖN.

Las abscisas de los pares ordenados de la relación se les llaman DOMINIO

Las ordenadas de los pares ordenados de la relación de les llama RANGO

Observación

Si BA tiene n elementos entonces existen n2 relaciones de A en B

EJERCICIOS

1. Si 2;1;0;1A y 1;1;0;2 B . Hallar las relaciones siguientes:

a) 1 ( , ) / .R x y A B x y es un número par

b) 2 ( , ) / 0R x y A B x y

c) 3 ( , ) / 2R x y A B x y

d) 4 ( , ) / . 1R x y A B x y

e) 5 ( , ) / .R x y B A x y es un número impar

f) 6 ( , ) / 0R x y B A x y


ESTUDIOS GENERALES

61

g) 7 ( , ) / 1R x y B A x y

2. Si 2; 0; 1; 3A , hallar las relaciones siguientes:

1 ( , ) /R x y A A x y

2 ( , ) / 0R x y A A x y

𝑅3 = {(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐴 / 2𝑥 ≥ 𝑦 }

4 ( , ) / 1R x y A A x y

5 ( , ) /R x y A A x y

6 ( , ) / 1xR x y A A y

IV. FUNCIONES

Definición de Función

Una función de A en B , es una relación BAf que hace corresponder a cada

elemento ""x del conjunto A a lo más un elemento "" y del conjunto .B

La notación de una función es )(xfy que se lee “ y es igual a f dé x ”, donde ""x

es la variable independiente e "" y la variable dependiente.

El conjunto de valores que puede tomar ""x se denomina dominio de una función, y al

conjunto de valores que puede tomar "" y se le denomina rango de la función.

Formas de Representar una Función

Con el fin de describir una función específica podemos usar las siguientes formas:

a) Verbal (mediante una descripción con palabras).

El interés bancario producido por un capital, está en función del tiempo que esté

depositado.

b) Algebraica (por medio de una fórmula explícita).

Con una fórmula: A(r) = r2 que es el área de un círculo.

c) Visual (con una gráfica).

x

y


ESTUDIOS GENERALES

62

d) Numérica (a través de una tabla de valores).

Con una tabla de valores.

w (kilos) C(w) (dólares)

0 < w 1

1 < w 2

2 < w 3

3 < w 4

4

6.5

8.5

10

Costo de enviar por correo de primera clase una encomienda.

e) Diagrama Sagital

Dominio Rango

f) Conjunto de Pares Ordenados

1 2

4, 2 ; ,3 ; 0,1 ; 6,0 ; , 32 5

g

g es una función

A B

f


ESTUDIOS GENERALES

63

Formas para determinar si una Relación ó Correspondencia es una función

Existen dos formas para determinar si una relación o correspondencia es o no es una función:

1. Estableciendo los siguientes Principios:

Principio de Existencia: “Cada elemento de A está asociado a otro elemento de B” Principio de Unicidad: “A cada elemento de A le corresponde un solo elemento de B”

2. Aplicación del Método de la Recta Vertical: “Se traza una recta vertical paralela al eje “Y” y si corta a la gráfica de la supuesta función en un solo punto; luego la gráfica representa una función” Nota: Se debe analizar la gráfica presentada como posible función de izquierda a derecha aplicando el método referido. Ejemplos:

Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función:

g: A B {(1;3),(2;4),(,(3;5),(4;6),(5;7)}

f: A B {(1;2),(5;2),(3;a),(a;-2),(a;5)}

f

2

a

-2

5

1

5

3

a

A B

g

1

2

3

4

5

3

4

5

6

7

A B

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5


ESTUDIOS GENERALES

64

Determinar si las siguientes gráficas representan una función: 1.

2.

3.

4.

No es función ya que al trazar la recta vertical corta a la gráfica en 2 puntos.

Si es función ya que la vertical que se traza corta a la gráfica en 1 punto.

y

x

No es función ya que al trazar la recta vertical, corta a la gráfica en 2 puntos.

No es función ya que la vertical corta a la gráfica en 2 puntos.

y

x

y

x

y

x


ESTUDIOS GENERALES

65

Cálculo de las variables a y b en una función 1.- Si f es una función encontrar el valor de “a” y “b”

a) f: {(-1;42a – b),(2;3a + b),(6;1),(2;243),(-1;256)}

Solución

Para x = -1 tenemos y = 42a - b = 256

De acuerdo a la propiedad de los exponentes. 42a - b = 256 = 44 . . . . . . . . ( 1)

Para x = 2 tenemos y = 3a + b = 243

Por el misma propiedad se tiene: 3a + b = 243 = 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

Luego de (1) y (2); igualamos los exponentes resultando un sistema de ecuaciones con

dos incógnitas donde obtenemos que a = 3 y b = 2

b) f : {(a; a + b),(a;14),(b; b - a),(b ; 4)}

Solución

De acuerdo al principio de unicidad se tiene:

a + b = 14 y b – a = 4

Resolviendo tenemos que: a = 5 y b = 9

c) f : {(-1; 2a – 3b),(2; 5a + b),(3; 5),(2; 25),(-1; 64)}

Solución

De acuerdo al principio de unicidad se tiene:

a – 3b = 6 y a + b = 2

Resolviendo tenemos que: a = 3 y b = -1

2) Determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados es una función.

a) (2; 3), (3;4), ( 3;1), (4;5)

b) { (1; 5), ((−1)2 ; 9), (√−13

; 5), (−1; 9)}

c) { (2;2),(2;3),(3;3),(3;4),(4;5),(5;6)}

d) (1;2),(5;2),(3; ),( ; 2),( ,5)a a a

e) { (0;8),(-1;3),(0;16/2),(-1;5),(1;-6)}

f) ( 2;1),(6; 2);(3; 16),(4;1),(3, 4)

g) 3( 3;0),(0;0),(2; 8),(5;3),(2; 2)

h) { (4;2),(-62;8),(-1;22),(0;2),(-36;9)}

i) 1 4

1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3

a a

3) Si f es una función determinar ba, e indicar su dominio y rango.

a) (3;4),(7;8),(3; ),(7; )f b a

b) f = { (x; x +y),(x;12),(y; y – x),(y; 6)}

c) f = { (3; 8),(3; 22a – 1),(4; 81),(5;6),(4; 33b + 5),(7; a + b)}


ESTUDIOS GENERALES

66

d) f = { (3;27),(3, 32a – 1),(4;625),(9;4),(4; 53b + 5),(-4; a + b)}

e) f = { (2; 81),(2; 33a – 2b),(7,1),(5; 144 ),(3; a + b),(5; 122b -1)}

f) f = { (4,-1),(2;a),(4; b2 – a),(2;1)}

4) ¿Cuál de los siguientes diagramas representa una función?

b)

d)

a) A B

f)

h)

e) A B1

2

3

4

A Ba

b

c

d

e

1

2

3

4 5

A B

g)

A B

.

A B

AB

A B

c)


ESTUDIOS GENERALES

67

5) De los siguientes gráficos, determinar cuáles son funciones.

a)

b)

c)

y

x1

3

5 73 8

1

4

3

2

2

y

x461

2 2

3

4

2

8

( )f x

3


ESTUDIOS GENERALES

68

V. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

En la definición de una función encontramos que los valores que puede asumir “x” y los valores que asume “y” forman el Dominio (Dom) y Rango (Rg) respectivamente. Para el caso de una función representada gráficamente puede asumirse una metodología aparente para determinar el Domf y el Rgf y es la siguiente: Cuando se trata de definir Domf analizamos la totalidad de la gráfica de izquierda a derecha y proyectamos la misma sobre el eje X con lo que obtenemos el resultado cuidando la forma de los intervalos en cada tramo analizado. Para el caso del Rgf hacemos exactamente lo mismo pero esta vez se proyecta la gráfica sobre el eje Y. Ejemplo: En las siguientes gráficas determinar Domf y Rgf

Domf : 𝑥𝜖 < −∞; −5 >∪< −5;−4 >∪ [−3; 1[ ∪ {3} Rgf: 𝑦𝜖]−∞ ; 4]

Df : 𝑥 𝜖 < −∞; −5 >∪< −5;2] ∪< 2; 0] ∪< 0; 2 >∪< 2;∞ >

Rf : 𝑦 𝜖 < −∞; −2 >∪ {−1} ∪< 0; 6 >

Nota: El resultado del Dominio y Rango puede abreviarse según sea el tramo y el intervalo analizado.

x

4

3 1 3

y

4

2

5

5

2

1 2

2

6

2


ESTUDIOS GENERALES

69

Hallar el dominio y el rango sólo de los gráficos que representan una función:

4

3

1 4 5 -1

-2

-2

-4 2 4 x

-2

(b)

(d)

y

x

y

x

y

x

y

x

y

-4

6

2

1

(a)

(c)

-2

2

5

6 f(x)

1 2 5

y

x

5

1

2

-2 -3

-4 -6

6

(2; 3)

6 8 10

(e) (f)

-2 2 8

-2

(4; 7)

(g) y

x(0, 1)

(3, 6)

(0, 4)(4, 4)

y

x3

3

35

4

1 2

(h)

3

7

8 f(x)

2


ESTUDIOS GENERALES

70

EJERCICIOS

CONOCIMIENTO:


a) El plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes en sentido horario………… ( )

b) Un punto queda establecido en el plano cartesiano cuando tenemos………….. ( ) definido el par ordenado ( x; y)

c) El Producto Cartesiano A x B = B x A……………………………………………… ( )

d) Si A = {0;1;2} y B = {2;4} luego (4;2) es una relación de A X B……………………( )

e) Si a cada “x” elemento de A le corresponde un solo elemento “y” de B decimos que……

………………………………………………………………………………………………

f) La Regla de Correspondencia de una función se expresa como:……………………..

g) Los Principios de Unicidad y Existencia determinan…………………………………….

………………………………………………………………………………………………..

h) Una supuesta función expresada en pares de ordenado se reconoce si lo es cuando

………………………………………………………………………………………………..

i) El Método de la Recta Vertical consiste en……………………………………………….

……………………………………………………………………………………………….

j) El Rango de una función está formado por………………………………………………

……………………………………………………………………………………………….

k) Si A = 1 4

1;3 ,(2;1), ;2 ,( , )3 3

a a

luego representa una función…………….( )

COMPRENSION:

II. La gráfica adjunta:

Representa una función………………… ( )

Dominio; Df = R………………………….. ( )

Rango: Rf = [-5;0] U <4;6]………………..( )

4

2


ESTUDIOS GENERALES

71

APLICACIÓN Y ELABORACION:

III. Si f es una función encontrar los valores de “a” y “b” así como el dominio y rango:

a) f = {( 7;42a – b),(12;3a + b),(3;1),(12;243),(7;256)}

b) )64;1(),625,2(),5;3(),5;2(),2;1( 32 babaf

c) )2;1(),2;5(),2;(),;1(),7;5( 22 baabbabaf

d) )16;2(),3,1(),4;2(),2;7(),27;1( 2 babaf

IV. Determine que grafica representa una función:

x x

y y(a) (b)

y

x

y

x

(c) (d)

(e) (f) y

x

y

x

(g) (h) y

x

y

x


ESTUDIOS GENERALES

72

Hallar el dominio y el rango sólo de los gráficos que representan una función: V. Hallar el dominio y el rango de los gráficos que representan una función: a) b) c)

SEMANA 9

y

x1

3

5 73 8

1

4

3

2

2

y

x461

2 2

3

4

2

8

( )f x

3

4

2


ESTUDIOS GENERALES

73

SEMANA 10

VI. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

Función creciente: Una función f es

estrictamente creciente en el intervalo I ,

si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(

La grafica está creciendo o subiendo de

izquierda a derecha conforme el valor de x

también aumenta.

Función decreciente: Una función f es

estrictamente decreciente en el intervalo I ,

si Ixxxfxfxx 212121 ,)()(

La grafica está decreciendo o bajando de

izquierda a derecha conforme el valor de x

aumenta.

Ejemplo

La función 2( ) ( 1) , 0,5f x x x es estrictamente creciente.

Solución

Considerando 01 x y 52 x , entonces:

1)10()0()( 2

1 fxf

36)15()5()( 2

2 fxf

Se tiene que si )()( 2121 xfxfxx se cumple 5,0, 21 xx

Por lo tanto la función es estrictamente creciente en 5,0

Signos de la función

i. 0)( xf )(xf es negativa ;x a b

y

1( )f x

2( )f x

1x2x x

x

y

( )f x

a b c

y

2( )f x

1( )f x

1x 2x x


ESTUDIOS GENERALES

74

ii. 0)( xf )(xf es positiva ;x b c

Intersecciones con los ejes coordenados

- Intersección con el eje x

Hacemos 0)( xfy , y hallamos el valor de x .

- Intersección con el eje y

Hacemos 0x , y hallamos el valor de y .

Ejemplo

Dada la siguiente gráfica )(xfy

Tenemos:

Dominio:

, 8 6 5,0 1,8domf

Rango:

, 4 3 2,3Ranf

Intervalos de crecimiento:

5,0 , 5,8

Intervalos de decrecimiento

1,5

)(xf es positiva en

6 , 1,3 , 7,8

)(xf es negativa en

, 8 , 5,0 , 3,7

Puntos de intersección con el eje x

(3,0), (7,0)

Punto de intersección con el eje y

(0, 4)

y

x1

3

5 5 7

4

3 8

1

68

3 2


ESTUDIOS GENERALES

75

EJERCICIOS

1) Considerando que la gráfica adjunta corresponde a cierta función )(xfy , halle:

a) Dominio

b) Rango

c) Los intervalos de crecimiento

d) Los intervalos de decrecimiento

e) Los intervalos en el cual 0)( xf

f) Los intervalos en el cual 0)( xf

g) Los puntos de intersección con los ejes coordenados.

VII. EVALUACION DE UNA FUNCION

Evaluar una función significa encontrar un valor para la misma y éste puede ser numérico o literal.

La evaluación de una función tiene dos características:

- Evaluación Analítica

- Evaluación Gráfica

Ejemplos:(Evaluación Analítica)

1) Evalúa las siguientes funciones en los valores indicados:

Función f(a) f(0) f(-2) f(5) f(x + h)

f(x) = 4x2 + 1 4(a)2 + 1 1 17 101 4(x + h)2+1

f(x) = x / 2 a/2 0 -1 5/2 X + h / 2

f(x) = 2x - 6 2a - 6 -6 -10 4 2(x+h) - 6

f(x) = 3x 3a 0 -6 15 3(x+h)

2) Evaluar la función f(x) = 6x – 2 para: f(0) ; f(-2) ; f(8)

f(0) = 6(0) – 2 = -2 f(-2) = 6(-2) – 2 = -14 f(8) = 6(8) – 2 = 46

x

y


ESTUDIOS GENERALES

76

3) Evaluar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + √𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎: 𝑓(1)𝑦 𝑓(9)

𝑓(1) = √12 + √1 = 2

𝑓(9) = √92 + √9 = 12

4) Evaluar la función 𝑓(𝑥) = {(2𝑥2 – 10𝑥 + 2) ; 𝑥 < 3 7𝑥 + 1 ; 𝑥 > 3

𝑓(0) ; 𝑓(5) ; 𝑓(−2) ; 𝑓(√3)

5) Para resolver esta evaluación debemos tener en cuenta el dominio en el que se sitúa el valor de x examinado y el respectivo valor de la función para ese valor de x. Luego:

𝑓(0) = 2(0)2 – 10(0) + 2 = 2

𝑓(5) = 7(5) + 1 = 36

𝑓(−2) = 2(−2)2 – 10(−2) + 2 = 30

𝑓(√3 = 2(√3)2 – 10(√3) + 2 = 8 − 10(√3)

6) Evaluar función: 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 1 ; −6 ≤ 𝑥 ≤ 6

36 − 𝑥2 ; 6 < 𝑥 ≤ 10

ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑀 = 3𝑓(0) + 8𝑓(7)

4𝑓(−4) – 3𝑓(10)

Luego: f(0) = 02 – 1 = -1 f(7) = 36 – 72 = -13 f(-4) = (-4)2 – 1 = 15 f(10) = 36 – 102 = - 64

Así: 𝑀 = 3(−1) + 8(−13)

4(15) – 3(−64) =

−107

252


ESTUDIOS GENERALES

77

Determinar el valor de la función, para cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) = K , )5(;)(;)4( fhff

b) f(x) = 4x4 + 1 , ( 1) ; ( ) ; ( )f f a f x h

c) 5

( )3

xf x

x

, ( 1) ; (0) ; ( )f f f x h

d) 42)( 2 xxxf , ( ) ; (0) ; ( 3)f h f f

e) f(x) = x3, )11(;)3

1( ff

f) 62

1)( xxf ,

1( ); (0) ; ( 1)3

f f f

g) 27)( xxf , 1

( ) ; ( 5) ; (0)3

f f f

h) 𝑓(𝑥) = √ 𝑥 + 2 + √𝑥3 ; 𝑓(0) ; 𝑓(−1)

Ejemplos: (Evaluación Gráfica)

1) Dada la gráfica Nº 1:

i)

2,86

2,25)(

2

xx

xxxxf

)0(;)6(;)3

1( fff ; )2(f

j)

84;16

44;)(

2

2

xx

xxxf ,

62)1(3

4233

ff

ffH

k) 𝑓(𝑥) = {𝑋2 – 5 ; −3 ≤ 𝑥 ≤ 36𝑥 – 8 ; 3 < 𝑥 < 9

Determinar:

𝐴 = 3𝑓(−2) – 2𝑓(3)

3𝑓(4) + 2𝑓(8)

Determinar los valores de: f(-3), f(0), f(2), f(4), f(5) y f(8)

f(-3) = 0 f(0) = -4 f(2) =-6 f(4) = -6 f(5) = 4 f(8)= No existe

x

y

-4

-6

-6

4

8 5 2 -3


ESTUDIOS GENERALES

78

2) Dada la gráfica Nª 2:

Hallar: 𝑃 = 𝑓(−4) + 𝑓(0)

𝑓(5) − 𝑓(3)

f(-4) = 5 f(0) = -3 f(5) = 4 f(3) = 0

Luego: 𝑃 = 5 – 3

4 – 0 = ½

Ejercicios:

1. Dada la gráfica de la función:

a) Hallar (7) ( 3)

(2) ( 6) (0)

f f

f f f

b) Hallar los “ x ” para los cuales se cumple que

.0)( xf

c) Halle el dominio y el rango.

d) Indique los intervalos de crecimiento y

decrecimiento.

e) Indique los intervalos en que la función es

constante.

f) ¿En qué intervalos la función es negativa?

g) Hallar los puntos de intersección con los ejes

coordenados.

Tomando la gráfica Nª 1 como modelo: hallar

𝑀 = 6𝑓(7) + 3𝑓(3)

2𝑓(2) − 3𝑓(−3)

𝑁 = 7𝑓(6) − 𝑓(2)

2𝑓(−3) + 4𝑓(0)

x

y

-4

0

-3

-5

4

5

5 3


ESTUDIOS GENERALES

79

Tomando la gráfica Nª 2 como modelo: hallar

𝑅 = 6𝑓(−5) + 8𝑓(12)

3𝑓(8) – 4𝑓(−4) 𝑆 =

3𝑓(0) + 3𝑓(20)

2𝑓(3) + 2𝑓(5) 𝑃 =

𝑓(7)+𝑓(0)

𝑓(−5)−𝑓(−4)

2. Dada la gráfica de la función f (x), determina los intervalos donde es creciente o

decreciente. Así como los intervalos donde 𝑓(𝑥) > 0 𝑦 𝑓(𝑥) < 0.

a)

b)

3. Si 𝑓(𝑥) = {

|6−𝑥

𝑥| ; 𝑥 < 0

𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 4 ; 0 ≤ 𝑥 < 6

√𝑥 + 10 ¸𝑥 ≥ 6

𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑅 = [𝑓(0)+8𝑓 (−1)+𝑓(6)

𝑓(3)]

𝑓(−2)

𝑓(2)

x

y

6 4

-1

9

6

2

1 3 5 7 8 9

-2

4

x

y4

3

1

-1 -2

-5 1

-2


ESTUDIOS GENERALES

80

SEMANA 11

FUNCIONES ESPECIALES

Funciones especiales

1. Función lineal: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃;𝒂 ≠ 𝟎, 𝑫𝒐𝒎 𝒇(𝒙): 𝒙 ∈ 𝑹 , 𝑹𝒈 𝒇(𝒙): 𝒚 ∈ 𝑹

2. Función constante.

cxf )( , donde c es una constante, fDom , cfRan

3. Función cuadrática

,)( 2 cbxaxxf 0a , fDom .

4. Función polinomial

),()( xpxf Donde )(xp es un polinomio, fDom

5. Función Racional

( )

( )( )

p xf x

q x , donde )()( xqyxp ; q(x) ≠ 0 son funciones polinomiales.

0)(/ xqxfDom

6. Función radical

( ) ( )nf x p x , si n es par, 0)(: xpfDom

7. Función por partes o tramos

33

22

11

,)(

,)(

,)(

)(

fDomxxf

fDomxxf

fDomxxf

xf 21 fDomfDomfDom 3fDom .

8. Función valor absoluto

f x x , donde

, 0

, 0

x si xx

x si x

, )( fDom


ESTUDIOS GENERALES

81

Ejemplo

Hallar el dominio de las siguientes funciones:

1. 2

4( )

xf x

x x

04 x

x4

02 xx

10

0)1(

xx

xx

,4 0,1Dom f

2. 6 3 3

( )3 4

xf x

x

036 x

x2

043 x

43x

3/ 4,2Dom f

EJERCICIOS Determine el dominio de las siguientes funciones:

1. 9)( xf

2. xxxf 22

3. 2518)( xxxf

4. 216)( xxf

5. xxf 25)(

6. xx

xxf

2

3)(

2

7. 232

25)(

2

4

xx

xxxf

8. x

xxxf

24)(

2

9. 12

3)(

2

xx

xxf

10. 16

22)(

2

x

xxf

11. 1

326)(

2

x

xxf

12. 6

)(2

xx

xxf

13. 2

14

7)(

x

xxf

14. xx

xxf 5

32

49)(

15. 21

2)(

x

xxf

16. x

xxf

26

32)(

17. 12

1054)(

2

2

xx

xxxf

18. 65)( 2 xxxf

19. 4

65)(

2

x

xxxf

20.

2;1

2;2)(

3 xx

xxxf

4 2


ESTUDIOS GENERALES

82

OPERACIONES CON FUNCIONES

1. Suma de funciones

xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(

2. Diferencia de funciones

xgxfxgf , gDomfDomgfDom )(

3. Multiplicación de funciones

xgxfxfg . , gDomfDomgfDom ).(

4. División de funciones

xg

xfx

g

f

, gDomfDomgfDom )( 0)(/ xgx

5. Composición de funciones

,)()( xgfxgf )()()()( fDomxggDomxgfDom

,)()( xfgxfg )()()()( gDomxffDomxfgDom

Observación

Las operaciones entre funciones están definidas siempre y cuando el dominio de las

nuevas funciones sea distinto de vacío. Ejemplos

1. Si ( ) 1 ( ) 2,f x x y g x x hallar ))(( xgf y ( )( )f

xg

Solución

;1Dom f y, RgDom )( , entonces:

;1Dom f g , ;1 2f

Domg

Luego:

21)()()( xxxgxfxgf

2

1

)(

)()(

x

x

xg

xfx

g

f


ESTUDIOS GENERALES

83

7321

2. Si 7,3,2)( xxxf y 3,0,4)( xxxg . Hallar )(xgf y )(xfg

Solución

a) )()()()( fDomxggDomxgfDom

7,343,0 xx

31

743

x

x

3,0)( gfDom

1 0 3

Por lo tanto:

xxxfxgfxgf 2)4(24)()(

b) )()()()( gDomxffDomxfgDom

3,027,3 xx

21

12

320

x

x

x

)( fgDom

Por lo tanto:

)(xfg No está definido.

EJERCICIOS

1) Dada las funciones:

,24)(13)( xxgyxxf hallar las operaciones siguientes:

a) ))(( xgf b) ))(( xgf c) ))(.( xgf d) ))(( x

g

f

xxf )( y ,123)( 2 xxxg hallar las operaciones siguientes

a) ))(( xgf

b) ))(( xgf

c) ))(.( xgf d) ))(( xf

g

2) Sean las funciones:

2;63

2;42)(

xx

xxxf

y

4;4

4;24)(

2

xx

xxxg

Hallar: 6)2)((2

5)2)(.(3)

gof

fgHa

2 . 6 12)

7 0/

f g g fb H

f g

3) Sean Las funciones:

1;256

1;46)(

2

xx

xxxf

y

0;

0;24)(

2 xx

xxxg


ESTUDIOS GENERALES

84

hallar: a)

3 2 2 1

3 3

/f g f gH

g f

1/ 2

3 . 2 2)

2

f g f gb H

f g g f

4) Si 9,5,4,0,5,1,2,3 f y 6,8,1,5,2,3,4,2g

Hallar:2; ; . ; ; 3/f g f g f g f g f g

5) Sean las funciones:

2,3,4,0,5,1,2,2 f y 6,0,1,5,2,3,4,2g

Hallar:

(2) 2 (0)

4 (3)

/f g f gM

g f

6) Sean las Funciones

Hallar: a) )6)((3

)0)((4)5.)(.(2

gf

gfgfE b)

)20)((5

)8)((2)15)((3

gf

gfgfE

7) En cada uno de los ejercicios, indicar el dominio de gf , fg y hallar su regla de

correspondencia si existe.

a) 4,1,4)( xxxf y 5,0,12)( xxxg

b) 7,1,33)( xxxf y ( ) 12, 2;4g x x x

c) 8,3,1)(2

xxxf y ( ) 3 , 5;2g x x x

x

y( )g x

3

8

6 5

4

x

y( )f x

4

6

6 4

4

3

2

2


ESTUDIOS GENERALES

85

y

x

y

GRÁFICA DE FUNCIONES 1) Función constante

cxf )( , c = constante

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜖 {𝑐} 3) Función cuadrática

2)( xxf

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 0;Ran f

4) Función valor absoluto

, 0( )

, 0

x xf x x

x x

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅¸

0;Ran f

2) Función lineal

xxf )(

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜖 𝑅 4) Función raíz cuadrada

,)( xxf

,0fDom , 0;Ran f

5) Función racional

x

xf1

)(

𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥): 𝑥 𝜖 𝑅 − {0};

𝑅𝑔 𝑓(𝑥): 𝑦 𝜀 𝑅 − {0}

y

y y

c

x x 1

1

1

1 -1

-1

- 1 1

1

1 4

2

1

x

-1 1

1

x

y


ESTUDIOS GENERALES

86

SEMANA 12

FUNCIÓN LINEAL

RECTAS

Pendiente de una recta

Sean 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y dos puntos diferentes sobre una recta no vertical. La pendiente de la

recta se define como: tg Ø = 2 1

2 1

y y cambio verticalm

x x cambio horizontal

Podemos caracterizar la orientación de una recta por su pendiente:

Pendiente cero Recta horizontal

Pendiente indefinida Recta vertical

Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha

Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha

FORMAS DE ECUACION DE UNA RECTA

Ecuación de la recta con punto – pendiente conocido

Sea la recta L con pendiente m que pasa por el punto 0 0( , )x y , tiene por ecuación:

0 0( )y y m x x

Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,4) que tiene pendiente 5.

Solución.

Tenemos punto de paso (1,4) y m = 5 luego la ecuación de la recta es 4 5( 1)y x

simplificando : 5 1L y x .

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sea la recta L que pasa por los puntos 1 1 2 2( , ) ( , )x y y x y . Entonces la ecuación de recta

es: 2 11 1

2 1

( )y y

y y x xx x


ESTUDIOS GENERALES

87

Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la recta L que pasa por: (-1,2) y (3,5).

Solución.

Es claro que 5 2 3

3 ( 1) 4m

y tomando como punto de paso cualquiera de ellos, digamos

el punto (3,5) se tiene la ecuación: 3

5 34

y x . Reduciendo tenemos: 3 11

:4 4

L y x

Ecuación pendiente – intersección

Sea la recta L con pendiente m que interseca al eje y en b, tiene por ecuación:

bmxy

Ecuación lineal general: 0 CByAx

Ecuación de una recta vertical: ax

Ecuación de una recta horizontal: by

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Rectas Paralelas

Dos rectas 1 2L y L son paralelas, si sus pendientes 1 2m y m son iguales. Es decir:

21 // LL si sólo si 21 mm .

Rectas Perpendiculares

Dos rectas 1 2L Ly son perpendiculares, si sus pendientes 1 2m y m satisfacen la siguiente

relación 1 2. 1m m .

Es decir 1 2 1

2

1

L L mm

si y solo si .

Ejemplo 3: Hallar la ecuación de la recta L (y su perpendicular) que pasa por el punto

(1,2) y es paralela a la recta 2 3y x .

Solución. Si L pasa por el punto (1,2) y es paralela a la recta 2 3y x entonces la

pendiente de L es 2. Luego aplicando la ecuación punto pendiente tenemos

2 2( 1) : 2y x L y x . Luego la ecuación de la recta L1 perpendicular a L y que pasa

por (1,2) es L1: 1

2 12

y x resolviendo tenemos L1:1 3

2 2y x que es la recta

perpendicular a L.


ESTUDIOS GENERALES

88

EJERCICIOS

CONOCIMIENTO:

Colocar V o F en las siguientes expresiones y completar según sea el caso:

a) m = sen Ø = Δ vertical / Δ horizontal……………………………………….. ( )

b) Cuando se conoce dos puntos de la recta la pendiente es calculable…... ( )

c) Dos rectas paralelas tienen pendientes…………………………………………..

d) La pendiente m de una de dos rectas perpendiculares se expresa:……………

e) La gráfica de una recta que va de izquierda a derecha es positiva……….. ( )

f) La recta paralela al eje “X” tiene pendiente 0…………………………………( )

g) La recta paralela al eje “Y” tiene pendiente positiva………………………… ( )

h) La gráfica de una recta que va de derecha a izquierda es ……………………..

COMPRENSION :

Grafica la recta que pasa:

a) Por el punto (-2;1) y tiene pendiente m = 3

b) Pasa por los puntos (-1;3) y (2;5)

Grafica la recta que corta:

c) Al eje “X” y al eje “Y” en 5 y 6 respectivamente


ESTUDIOS GENERALES

89

APLICACIÓN:

1.- En cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuación de la recta con las condiciones dadas:

a) Pasa por el punto (-2,1) con pendiente m = 3.

b) Pasa por 4

2;5

y m = 5.

c) Pasa por 1 6

;5 5

y 3

24

m

d) Pasa por (-1,3) y (2,5)

e) Pasa por el punto 3

,12

y 2

7 31

2 4

m

f) Pasa por el origen y de pendiente -4.

g) Corta al eje X en 3, de pendiente 2.

h) Corta al eje Y en 5 de pendiente 4.

i) Corta al eje X en 6 y al eje Y en 3.

j) Pasa por (1,5) y paralela a la recta y = -x + 3.

k) Pasa por el punto A (-2, 5) y perpendicular a la recta y = 3x + 2.

l) Pasa por el punto A (2, 4) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B (0, 2)y C (-1, 5).

m) Pasa por el punto A (2,1) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos B (2,6) y C (9,1).

n) Que pasa por A (0,4) y paralelo a la recta L: 2x + y = -1

o) Es perpendicular a la recta y = -x + 2 y pasa por el punto A (3,4).

p) Pasa por A (5, 4) y paralela al eje Y.

q) Pasa por B (2, 4) y paralela al eje X.


ESTUDIOS GENERALES

90

APLICACIONES

Demanda Lineal Oferta Lineal

m es cantidad de equilibrio

n es precio de equilibrio.

Ejemplo

Supongamos que la demanda por semana de un producto es de 150 unidades a un precio de

$ 40 por unidad y de 300 unid. A un precio de $ 35 por unidad. Hallar la ecuación de demanda,

si dicha ecuación es lineal.

Solución.

Según los datos, es claro que q = 150 y p = 40; también q = 300 y p = 35. Por el hecho que

es lineal, el precio p y la cantidad q están relacionados linealmente, de modo que podemos

representar en un plano cartesiano de ejes q y p, los puntos 150,40 300,35y , hallando

así la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. Hallando la pendiente, tenemos que

q

p Pendiente negativa

q

p

Pendiente positiva

q

p

m

n (m,n) Punto de equilibrio


ESTUDIOS GENERALES

91

35 40 1

300 150 30m

, y tomando como punto de paso, cualquiera de ellos, digamos (40, 150)

tenemos la recta 1 454

30 3p q

, que es la ecuación de demanda.

APLICACIÓNES DE FUNCION LINEAL:

1) (Ecuación de demanda). Suponga que los clientes demandaran 60 unidades de un

producto cuando el precio es de $ 20 por unidad, y 25 unidades cuando el precio es de $

40 cada una. hallar la ecuación de la demanda, suponiendo que es lineal. Hallar el precio

por unidad cuando se requiere 35 unidades.

2) (Ecuación de demanda). La demanda semanal para un libro que se vende mucho es de

30,000 ejemplares cuando el precio es de $ 15 c/u y de 20, 000 libros cuando el precio es

de $ 25 c/u. hallar la ecuación de demanda para el libro, sabiendo que es lineal.

3) (Ecuación de oferta). Un fabricante de cocinas produce 200 unidades cuando el precio

es de $ 800 y de 300 cocinas cuando el precio es de $ 1 500. Hallar la ecuación de oferta,

sabiendo que es lineal.

4) (Ecuación de oferta). Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado 50

mil pares cuando el precio es $ 35 el par y 35 mil pares de zapatos cuando el precio es de

$ 30. determine la ecuación de oferta, sabiendo que p y q están relacionados linealmente.

5) (Punto de equilibrio) Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado

bien son, respectivamente:

180 15 6 18

2

pq s p

y . Obtenga el punto de equilibrio.

6) (Ecuación de costo). Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto

es de $ 40 y el costo para 20 unidades es de $ 70. Si el costo C está relacionado de forma

lineal con la producción q, determine el costo de producir 35 unidades.


ESTUDIOS GENERALES

92

JUICIO DE VALOR:

7) (Función de demanda). Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Se tienen dos bienes B1, B2, cuyas funciones de demanda son: 90 3

( )5

pq f p

y

( ) 140 12q f p p , respectivamente, donde p está expresado en dólares.

Si el precio unitario de ambos bienes es de $ 5, 75, ¿Cuál de los dos bienes tendrá

mayor demanda?

¿Existe algún precio del mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la

misma?

Jaime el estudiante más distraído del aula afirma que el bien B2 es de mayor demanda y

no existe precio en el mercado para el cual la demanda de ambos bienes sea la misma.


8) (Función de oferta). Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Se tienen dos bienes A, B, con ecuaciones de oferta dadas por ( ) 5 20p f q q y

( ) 15 120p f q q respectivamente. Un consumidor acude al mercado con las

intenciones de comprar uno, cualquiera de dichos bienes. Si el consumidor está dispuesto

a pagar $ 12 por cada unidad del bien comprado, ¿Cuál de los bienes debería comprar?

Omar el estudiante más calificado del aula afirma que el bien B debe ser comprado


9) (Punto de equilibrio) Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Si las ecuaciones de la demanda y de la oferta de un determinado bien son,

respectivamente:

180 15 6 18

2

pq s p

y . Obtenga el punto de equilibrio.

Pedro estudiante sobresaliente del aula afirma que PE (30; 8)



ESTUDIOS GENERALES

93

10) Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto (5; 6) y es perpendicular a la recta

L1 que corta a “X” e “Y” en 3 y 4 respectivamente.

Oscar el estudiante más calificado del aula afirma que la ecuación general es:

4y – 3x – 9 = 0


11) (Ecuación de oferta). En un cierto mercado se sabe que cuando el precio de una lámpara

es de S/ 2 000, no hay lámparas disponibles, sin embargo, por cada S/ 1 000 de aumento

en el precio, se dispone de 20 lámparas más para el mercado. Asumiendo que la relación

entre la cantidad ofrecida S y el precio unitario p es lineal. ¿Cuál es la ecuación de la

oferta?

Alfredo el estudiante más relajado del aula se propone resolver seriamente el problema y

afirma que la ecuación de la oferta es:

p= 50q + 2000


12) Un docente de matemática propone el siguiente problema:

Un fabricante de “MOUSE” para laptops produce 5200 unidades cuando el precio es de

$1240 y de 3200 unidades cuando el precio es de $1050. Suponga que el precio p, y la

cantidad q, producidas están relacionadas de manera lineal. Determina la función de

oferta.

Paul estudiante de EE.GG. en la asignatura de matemática afirma que la ecuación de la

Oferta es: 𝑝 = 19

200𝑞 + 746


ESTUDIOS GENERALES

94

APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y APLICACIONES VARIADAS DE OFERTA – DEMANDA- PUNTO DE EQUILIBRIO

1. En los problemas siguientes, se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda

para un producto. Si “p “representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de

unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.

a) Oferta:

32

100p q

; demanda:

712

100p q

b) Oferta: 35 2 250 0q p ;demanda: 65 785 0q p

2. En los problemas a) y b) se representa el ingreso total en TI dólares y TC el costo

total en dólares para un fabricante. si “q” representa tanto el número de unidades

producidas como el número de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de Equilibrio.

Esquematice un diagrama de equilibrio

qI

qCa

T

T

3

45002)

60085.0

05.0)

qC

qIb

T

T

3. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son: 125 250 0p p

y 100 1100 0p q respectivamente, encuentre el precio de equilibrio y la cantidad

de equilibrio.

4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son;6

5150

p q y 9

20 0150

p q

respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares y “q” el número

de unidades, encuentre el punto de equilibrio y muéstrelo gráficamente.

5. Las ecuaciones de oferta y demanda para cierto producto son: 3 200 1800 0q p y

3 100 1800 0q p , respectivamente, donde “p” representa el precio por unidad en dólares

y “q” el número de unidades vendidas por periodo.

a) Encuentre, algebraicamente, el precio de equilibrio y dedúzcalo por medio de una

gráfica.

b) Encuentre el precio de equilibrio, cuando se fija un impuesto de 27 centavos por

unidad, al proveedor.

6. A un precio de $2 400, la oferta de cierto bien es de 120 unidades, mientras que su

demanda es 560 unidades. Si el precio aumenta a $2 700 por unidad, la oferta y la

demanda serán de 160 y 380 unidades respectivamente.

a) Determine las ecuaciones de oferta y de demanda, suponiendo que son lineales.

b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio.


ESTUDIOS GENERALES

95

7. El punto de equilibrio de mercado para un producto, ocurre cuando se produce 13 500

unidades a un precio de $ 4,50 por unidad. El productor no ofertará unidades a $1 y el

consumidor no demandará unidades a $20. Encuentre las ecuaciones de oferta y

demandas si ambas son lineales.

8. A un precio de 50 soles por kg. la demanda de un cierto artículo es de 4 500kg., mientras

que la oferta es de 3 300kg. Si el precio se incrementa en 10 soles por kg., la demanda

y la oferta serán de 4 400 y 4 200kg., respectivamente. Encontrar la ecuación de la oferta

y demanda sabiendo que son lineales, indicando el punto de equilibrio.

9. Un empresario de ropa para niños observa, que el punto de equilibrio del mercado ocurre

cuando se producen 10 000 unidades a un precio de 40 soles por unidad. El consumidor

no demandará unidades a un precio de 50 soles la unidad y el productor no ofertará

unidades a 20 soles la unidad. Hallar la ecuación de la oferta y demanda sabiendo que

son lineales.

10. Un fabricante vende todo lo que produce .Su ingreso total está dado por : 7TI q y

el costo total es 6 800TC q donde “q” representa el número de unidades

producidas y vendidas .

a) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama de

equilibrio.

b) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio, si el costo total se incrementa

en 5%.

11. Un fabricante vende un producto a $ 8,35 por unidad, y vende todo lo que produce. Los

costos fijos son de son de $2 116 y el costo variable es de $ 7,20 por unidad. ¿A qué nivel

de producción existirán utilidades de $ 4 600? ¿A qué nivel de producción ocurre el punto

de equilibrio?

12. La compañía de Sandalias Cómodas fabrica sandalias para las que el costo del material

es de $ 0.80 por par, y el costo de mano de obra es de adicionales e $ 0,90 por par. Hay

costos adicionales por par de $0.30. Los costos fijos son de $ 70 000.Si cada par se vende

a $ 2,50 ¿Cuántos pares se deben vender para que la compañía llegue al equilibrio?


ESTUDIOS GENERALES

96

SEMANA 13

FUNCIÓN CUADRÀTICA

FUNCIÓN CUADRÁTICA

f es una función cuadrática si y sólo si puede escribirse en la forma 2( )f x ax bx c ;

donde a, b y c son constantes, con 0a .

Representación gráfica de una función cuadrática.

Su gráfica es una curva, llamada parábola, y es simétrica respecto a la recta vertical hx

, llamada eje de simetría y con vértice khV , .

si 0a , 2 y ax bx c si 0a ; cbxaxy 2

la parábola se abre hacia arriba. la parábola se abre hacia abajo.

( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k ( )Dom f R ; ( ) ,Ran f k

k valor mínimo de la función k valor máximo de la función

Coordenadas del vértice

Las coordenadas del vértice son: , ,2 2

b bV h k f

a a

y

x h

k ( h ; k )

y

x h

k ( h ; k )


ESTUDIOS GENERALES

97

Ejemplo 1

Determinar dominio, rango y gráfica de 2( ) 2 8 3y f x x x

Solución:

Primero hallamos el vértice

Como ,2a 8b y 3c , luego 2)2(2

)8(

2

a

bh y 2(2) 2(2) 8(2) 3 5f

Entonces el vértice es: (2, 5)V

Como 02 a , entonces la parábola se abre hacia arriba

Gráfica

Ejemplo 2

Determinar dominio, rango y gráfica de 2362)( xxxfy

Solución:

Primero hallamos el vértice

Como ,3a 6b y 2c , luego h= 1)3(2

6

2

a

b y

5)1(3)1(62)1( 2 f

Entonces el vértice es: )5,1(V

Como 03 a , entonces la parábola se abre hacia abajo

Gráfica

( )Dom f R

( ) 5,Ran f

)( fDom

5;)( fRan

3

x

2

-5 ( 2 ; -5 )

y

5 (-1; 5)

y

x

-

1

2

4

1


ESTUDIOS GENERALES

98

EJERCICIOS

CONOCIMIENTO:


a) f es una función cuadrática de la forma 2( )f x ax bx c ; con a = 0………………. ( )

b) Si a ≤ 0 la parábola va para abajo………………………………………………………….. ( )

c) Si la parábola va para arriba, luego el valor de K es:………………………………………….

d) El par ordenado que representa el vértice de la parábola es:………………………………..

e) Uno de los objetivos de la función cuadrática es:…………………………………………….

f) Si la gráfica de la parábola va para abajo se deduce que tengo que maximizar f……. ( )

g) La grafica de la parábola para arriba me indica que minimizar f………………………….( )

h) La parábola en una función cuadrática tiene pendiente 0………………………………….( )

COMPRENSION - ELABORACION:

Grafica las siguientes funciones cuadráticas

a) f = 12 + - 4x – x2

b) f = X2 – 4x + 1


ESTUDIOS GENERALES

99

c) f = 1400 x – 7x2

d) f = 60000 – 780x + 3x2

e) f = 2x2 + 2x + 3


ESTUDIOS GENERALES

100

APLICACIÓN:

Determinar dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados y graficar las siguientes funciones:

a) 2

( ) 4 1 y f x x x

b) 2232)( xxxfy

c) 2342)( xxxfy

d) 2

( ) 3 4 y k x x

e) 2

( ) 2 8 y h x x x

f) ( ) ( 3) 14 f x x x

g) 2

( ) 6 13 t f s s s

h) 2

( ) 2 4 y g t t t

i) ( ) ( 3) 14 f x x x

j) 261)( xxxfy

k) 154)( 2 xxxfy

l) 32)( xxxfy

m) xxxfy 2)(

n) 25)( xxfy

o) 7)( 2 xxfy


ESTUDIOS GENERALES

101

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÀTICA

Recuerda:

Ejemplo:

El ingreso de una empresa algodonera se estima a través del tiempo de acuerdo a la siguiente

función 224 288 64I t t , donde I es el ingreso en miles de dólares y t es el tiempo

medido en años.

a) ¿En qué año se alcanzará el máximo ingreso y cuánto será

b) Grafique la función ingreso.

Resolución:

a) 6)24(2

288

2

a

bth 224 288 64I t t

Luego: 2(6) 24(6) 288(6) 64I

(6) 800I

El máximo ingreso se alcanzará en el 6to año.

El máximo ingreso será de 800 mil dólares.

b)

U = IT - CT IT = p.q donde: p precio unitario. q cantidad.

V (h, k) =

a

bf

a

b

2,

2 el vértice de una parábola.

I

t 6

800 (6,800)


ESTUDIOS GENERALES

102

APLICACIONES

1. La función de demanda de un fabricante de muebles es qqfp 71400)( , donde p

es el precio (en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso máximo.

2. La función de demanda para una compañía de seguros para autos es

qqfp 132600)( , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando se

demandan q unidades (semanales).

a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso máximo.

c) Grafique la función ingreso.

3. La función de demanda para el fabricante de un producto es ,31200)( qqfp en

donde p es el precio por unidad cuando los consumidores demandan q unidades.

a) Determine el nivel de producción que maximizará el ingreso.

b) Determine este ingreso máximo.

c) Grafique la función ingreso.

4. La utilidad diaria por la venta de árboles de jardinería de un almacén, está dada por 2( ) 169 16P x x x , en donde x es el número de árboles vendidos.

a) Determine la cantidad de árboles vendidos que maximizará la utilidad.

b) Determine dicha utilidad máxima.

5. El ingreso mensual por conceptos de venta de q unidades de cierto artículo está dado

por 201.012)( qqqI soles. Determine el número de unidades que debe venderse

cada mes con el propósito de maximizar el ingreso. ¿Cuál es el máximo ingreso correspondiente?

JUICIO DE VALOR:

6. Para una empresa dedicada a la venta de bolsas de cemento para construcción se tiene

que la Función Costo se expresa como C (q) = 2q2 – 100q + 2500, determinar la cantidad

bolsas de cemento que debe producir y vender para que el costo sea mínimo en dicha

empresa.

Juan sostiene que son 25 bolsas que se debe producir y vender y el Costo mínimo es

de 1250.


ESTUDIOS GENERALES

103


7. Una fábrica vende 300 carteras al mes, a $15 cada una. Se desea aumentar el precio y

se estima que por cada incremento de $1 en el precio de venta, se venderán 4 carteras

menos. Si el costo de cada cartera es de $10.

a) Hallar la función utilidad mensual.

b) Determinar el número de carteras que se deben vender para obtener la utilidad máxima.

Pedrito afirma que la función U = -n2 +70n + 375 y el número de carteras a venderse para que la Utilidad sea máxima es de 35.


8. Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa

mediante la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 en donde q representa el número de

computadoras ensambladas.

a) Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo sea mínimo.

b) Determinar dicho costo.

c) Graficar la función costo.

Paolo afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para abajo.


9. Se estima que, de aquí a “t” años, el número de personas que visitarán el parque de

las leyendas será dado por la función 2( ) 30 120 3 000N t t t .

a) Actualmente ¿Cuál es el número de personas que visitan el parque de las

leyendas

b) Determinar el año en que será registrado el menor número de visitantes.

Toñito sostiene que en la actualidad 2800 personas visitan el parque y en 3 años se

registrara el menor número de visitantes.



ESTUDIOS GENERALES

104

10. La función de demanda de un fabricante de pieles es p = 2600 – 13q, donde p es el precio

(en euros) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

a) Encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante.

b) Determine el ingreso máximo

Piero afirma que el nivel de producción que maximiza el ingreso es 100 y el ingreso

máximo alcanza la cifra de 130000 euros.


APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.

1. En el problema siguiente, se proporciona una ecuación de oferta y una de demanda

para un producto. Si “p “representa el precio por unidad en dólares y “q” el número de

unidades por unidad de tiempo, encuentre el punto de equilibrio.

Oferta : 2 20p q ; demanda :2200 2p q

2. En el problema siguiente se representa el ingreso total en TI dólares y TC el costo

total en dólares para un fabricante. si “q” representa tanto el número de unidades

producidas como el número de unidades vendidas. Encuentre la cantidad de

Equilibrio. Esquematice un diagrama de equilibrio

303

)10( 2

qC

qI

T

T

3. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 2q = 20 y p + 2q2 - 200 = 0,



4. Si las ecuaciones de oferta y de demanda son p - 4q = 24 y p + 4q2 - 248 = 0




ESTUDIOS GENERALES

105

Método de Polya aplicado a un problema de Función Lineal y Función Cuadrática

UNIDAD III FUNCIONES Y TOPICOS DE GEOMETRIA ANALITICA

CAPACIDAD: Aplica y Utiliza los conceptos de funciones de la variable real de la

geometría analítica en el tema de Función Lineal considerando las condiciones del contexto en la que se desarrollara el profesional.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica reglas de procedimiento para determinar la

función de la Oferta y Demanda de un producto en operaciones de negocios.

FICHA N°: Resolver el siguiente problema, en torno a funciones y tópicos de geometría analítica, utilizando la metodología de POLYA

PROBLEMA: Función Lineal

En un taller de tutoría, el profesor propone el siguiente problema: En una operación de negocios los clientes demandan 60 unidades de un artículo cuando el precio es de $20 y 25 unidades cuando el precio es de $40.Considerando que el precio y la cantidad tienen una relación lineal; determinar la Ecuación de la Demanda y el precio cuando los clientes requieran 35 unidades. Rignoberto luego de resolver el problema afirma que la Ecuación de la Demanda es:

p = − 4𝑞+380

7 y el precio para 35 unidades es de $34.28 ¿Es correcta o no la afirmación?


Identifica

Entender el

problema


1.- La Ecuación de la Demanda para esas condiciones. 2.- El precio para 35 unidades

b) Identifica los datos del problema ¿Cuáles son los datos del problema?

P1 = $ 20 ; P2 = 40 y q1 = 60 ; q2 = 25 Nueva cantidad = 35

c) Identifica las condiciones

¿Cuál es la condición o condiciones del problema? Determinar la ecuación de la Demanda


ESTUDIOS GENERALES

106

Relaciona Configurar

un plan


problema?

1.- Calcular la pendiente 2.- Analizar qué tipo de Ecuación de la Recta se ajusta al problema 3.- Seleccionar la Ecuación Punto – Pendiente conocida 4.- Seleccionar q0 y p0

5.- Operar y encontrar la Ecuación de la Demanda 6.- Determinar el precio para q = 35 7.- Comprobación

Resuelve

Ejecutar el plan

Resolver: Ecuación Punto – pendiente: p – p0 = m (q – q0) ; y aplicando los datos en la ecuación de la pendiente respectiva resulta:

m = 40−20

25−60 =

− 4

7

Luego aplicando la ecuación anterior:

𝑝 =− 4

7 𝑞 +

380

7

Para 35 unidades p = 34.28

Reflexiona


Revisamos la solución obtenida: Indica ¿Cómo podrías verificar el resultado? Reemplazando valores en la ecuación encontrada: Cuando q = 60 luego p = 20 q = 25 luego p = 40 Respuesta:

La Ecuación de la Demanda es: 𝑝 = − 4

7𝑞 +

380

7

Emita un Juicio Crítico respecto a si es correcto o no la afirmación Rignoberto está en lo correcto


ESTUDIOS GENERALES

107

UNIDAD III FUNCIONES Y TOPICOS DE GEOMETRIA ANALITICA

CAPACIDAD: Aplica y Utiliza los conceptos de funciones de la variable real de la

geometría analítica en el tema de Función Cuadrática considerando las condiciones del contexto en la que se desarrollara el profesional.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Aplica reglas de procedimiento para optimizar una

función en operaciones de negocios.

FICHA N°: Resolver el siguiente problema, en torno a funciones y tópicos de geometría analítica, utilizando la metodología de POLYA

PROBLEMA: Función Cuadrática

Los costos de producción de una empresa que ensambla computadoras se expresa

mediante la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 en donde q representa el número de

computadoras ensambladas.

Determinar la cantidad de computadoras que se deben ensamblar para que el costo sea mínimo

Determinar dicho costo.

Graficar la función costo.

Paolo afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para abajo.

Resuelve y luego Critica o Defiende la afirmación justificando tu


Identifica



1.- Cantidad para que el Costo sea mínimo 2.- Costo mínimo

b) Identifica los datos y condición del problema ¿Cuáles son los datos y condición del problema?

1.- La función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 2.- Determinar el costo mínimo

c) Cual es la dirección de la gráfica, porqué y cuáles son los componentes del vértice

1.- La grafica de la parábola va para arriba porque a > 0

2.- Vèrtice (h; K) : ℎ = −𝑏

2𝑎 𝑦 𝐾 = 𝑓(ℎ)

3.- K es mínimo


ESTUDIOS GENERALES

108

Relaciona

Configurar un plan


problema?

1.- Analizar la función y determinar el sentido de la parábola

2.- Determinar el vértice de la parábola

3.- Graficar

4.- Determinar el .K mínimo = Costo mínimo

Resuelve

Ejecutar el plan

Resolver: Sea la función C(q) = 3q2 – 780q + 60000 a = 3 b = - 780 c = 60000

Luego aplicando en Vèrtice (h; K) : ℎ = −𝑏

2𝑎 𝑦 𝐾 = 𝑓(ℎ)

h = 130 y K = 9300 Hasta el momento esta es una respuesta algebraica que nos permite deducir que siendo. K mínimo = Costo mínimo El costo mínimo es: 1300 para una cantidad q = 130 computadoras ensambladas. Gráfico:


ESTUDIOS GENERALES

109

Reflexiona


Revisamos la solución obtenida: Indica ¿Cómo podrías verificar el resultado? El resultado algebraico debe coincidir con el resultado gráfico y como estamos siguiendo la metodología de Polya debemos comprobar cada paso.

Respuesta: Costo mínimo = 9300 Cantidad de computadoras ensambladas: 130 Emita un Juicio Crítico respecto a si es correcto o no la afirmación Paolo está en un error cuando afirma que el número de computadoras a ensamblarse para que el costo sea mínimo es 120, el costo mínimo es de 1250 y que al graficar la función ésta va para abajo


ESTUDIOS GENERALES

110

CASO 1. EQUILIBRIO ENTRE LA DEMANDA Y OFERTA

Las ecuaciones de la Oferta y Demanda de un producto que se vende en el Emporio Comercial

de Gamarra son:3q -200p +1800 = 0 y 3q +100p – 1800; donde p representa el precio / unidad

en dólares y q el número de unidades vendidas por periodo.

1.- Muestre las ecuaciones dadas de forma que representen las funciones Oferta y

Demanda:

....................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………

2.- ¿Qué sentido tienen las rectas que representan a la Oferta y la Demanda? Mostrarlo

en una expresión matemática:

…………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………….

2.- ¿Cómo se expresaría el equilibrio entre la Oferta y la Demanda?

……………………………………………………………………………………………………………

3.- Determinar el precio y la cantidad en el equilibrio y muéstrelo mediante una gráfica:


ESTUDIOS GENERALES

111

CASO 2. VISITANTES AL ZOOLOGICO DE HUACHIPA

Los directivos del zoológico de Huachipa se reúnen con el propósito de dilucidar algunas

dudas de parte del directorio quienes andaban preocupados por el ingreso de efectivo a fin de

cubrir los gastos y generar beneficios con la asistencia de público a las instalaciones.

Uno de ellos, matemático de profesión sostiene que de aquí a “t” años el número de personas

que visitaran el zoológico se puede expresar mediante la siguiente función:

N(t) = 30 t2 – 120 t + 3000

1.- ¿Cuál es el número de personas que asisten actualmente al zoológico?

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

2.- Tratándose de una función cuadrática ¿Cuál sería la gráfica que tendríamos que

trabajar en este caso?

……………………………………………………………………………………………………………

3.- De tratarse de una parábola determinar su sentido y vértice

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

4.- ¿En qué año en se registrará el menor número de visitantes al zoológico? Graficar

…………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………..


ESTUDIOS GENERALES

112

SEMANA 14

DESIGUALDADES EN EL PLANO CARTESIANO

Si en un plano P consideramos una recta L éste queda dividido en tres conjuntos: el conjunto

de puntos que están en la recta misma, y los semiplanos 1

p y 2

p formados por los puntos

que están a uno y otro lado de la recta L .

Consideremos la recta vertical x a .

Los puntos que están en la recta son aquellos que satisfacen su ecuación. Los puntos que

están a la izquierda satisfacen la inecuación x a , y los puntos que están a la derecha

satisfacen la inecuación x a .

EJEMPLO 1. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad y x

Primero graficamos a la recta y x .

La recta ha sido trazada en forma punteada ya que los puntos sobre ella no forman parte del

conjunto solución de la desigualdad (semiplano abierto). Por tanto, la recta trazada es la

frontera entre los puntos que satisfacen la desigualdad y los puntos que no la satisfacen.

y x

a


ESTUDIOS GENERALES

113

Para determinar el semiplano que representa gráficamente a la inecuación se toman dos

puntos. Uno que esté por encima de la recta y el otro por debajo. El punto que satisface la

desigualdad determina el semiplano que representa la solución.

En nuestro caso tomamos los puntos ( 2; 2) y (3; 2) , entonces el punto que satisface la

desigualdad es (3; 2) , por lo que la gráfica de y x es el semiplano bajo la recta fronteriza.

EJEMPLO 2. Graficar en el plano cartesiano la desigualdad 1y x

Primero graficamos a la recta 1y x .

Luego verificamos si las coordenadas del punto (0, 0) satisfacen la desigualdad. Como este

es el caso, entonces el semiplano que representa gráficamente a la inecuación es el que

contiene al origen.

y x


ESTUDIOS GENERALES

114

Graficar en un mismo sistema de coordenadas el conjunto formado por las

siguientes desigualdades:

EJEMPLO 3

25

0

0

x y

x

y

Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección

de las regiones correspondientes a cada una de ellas.

Primero graficamos la desigualdad 0x :

Es decir: 0x . Se observa que esta recta es coincidente con el eje Y del sistema.

Su grafica es el semiplano ubicado a la derecha del eje Y (puesto que 0x )

Segundo graficamos la desigualdad 0y :

Es decir: 0y . Se observa que esta recta es coincidente con el eje X del sistema.

Su grafica es el semiplano ubicado arriba del eje X (puesto que 0y ).

Tercero graficamos la desigualdad 25x y :

Es decir: 25x y .

Su grafica es el semiplano ubicado por debajo de la recta 25x y (puesto que

25x y ).


ESTUDIOS GENERALES

115

EJEMPLO 4.

Indicar los vértices del polígono formado.

Como las desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, se debe graficar la intersección

de las regiones correspondientes a cada una de ellas.

Es claro que la región que corresponde a 0x es el semiplano ubicado a la derecha del eje

Y , y la que corresponde a 0y es el semiplano ubicado arriba del eje X . Graficaremos

las rectas 2 6x y y 4x y .

Y

X

25

25


ESTUDIOS GENERALES

116

EJEMPLO 5

𝑥 − 𝑦 < 5

𝑥 + 2𝑦 < 14

𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0

SOLUCIÓN

𝑥 − 𝑦 = 5 (1) 𝑥 + 2𝑦 = 14 (2)

𝒚 𝒙−𝟓 𝟎 𝟎 𝟓

𝒚 𝒙 𝟕 𝟎 𝟎 𝟏𝟒

A, B y C son los vértices del

polígono.


ESTUDIOS GENERALES

117

EJEMPLO 6

2𝑥 + 𝑦 ≤ 8

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12

𝑥 ≥ 0 , 𝑦 ≥ 0

SOLUCIÓN

2𝑥 + 𝑦 = 8 → (1) 2𝑥 + 3𝑦 = 12 → (2)

𝒚 𝒙𝟖 𝟎𝟎 𝟒

𝒚 𝒙 𝟒 𝟎 𝟎 𝟔

A, B y C son los vértices

del polígono.


ESTUDIOS GENERALES

118

EJERCICIOS

CONOCIMIENTO:


a) En una recta L paralela a “Y” trazada en un plano P se tiene x = 4 luego uno de los

puntos de esa recta es (4; 6)…………………………………………………………… ( )

b) La recta L mencionada en “a” divide al plano solo en 2 semiplanos……………….. ( )

c) Los puntos que están situados a la derecha de la recta frontera se representan como

x < a………………………………………………………………………… …………….. ( )

d) El conjunto formado por todas las desigualdades nos permite graficarlas en un mismo

sistema de coordenadas…………………………………………………….................. ( )

e) El principio de no negatividad se representa………………………………………………...

f) El polígono formado debajo de las rectas trazadas en el plano P representa la……….

…………………………………………………………………………………………………..

g) Los vértices del polígono formado nos permiten…………………………………………..

.......................................................................................................................................

h) Para maximizar una función objetivo evaluamos los resultados y………………………

…………………………………………………………………………………………………..

APLICACIONES

Graficar en el plano cartesiano el conjunto formado por las desigualdades

siguientes:

a)

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 45𝑥 − 𝑦 ≥ 2

𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0

b)

3𝑥 − 4 ≥ −2𝑥 + 𝑦 ≤ 9𝑥 − 𝑦 = 1

𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0

c)

𝑦 ≤ 7 3𝑥 − 𝑦 ≤ 3 𝑥 + 𝑦 ≥ 5 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0

d)

𝑥 − 4𝑦 ≥ 42𝑥 − 𝑦 ≤ 2𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0


ESTUDIOS GENERALES 119

SEMANA 15

INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACION LINEAL

La teoría de la programación lineal fue desarrollada en la década 1940 - 1950 por matemáticos

tales como John von Neumann, George Dantzig, T. Koopmans, etc. La programación lineal

sirve para encontrar el valor máximo o el valor mínimo de una expresión lineal sujeta a un

conjunto de desigualdades lineales. La aplicación más común abarca el problema general de

asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible, esto es,

en forma óptima. Tiene aplicaciones en la investigación de operaciones, ciencias

administrativas, física y biología.

Veamos el ejemplo de una fábrica que produce una gama de artículos y que dispone de una

variedad de recursos (personal, materias primas, máquinas, créditos, etc.) cada uno de los

cuales supone un costo a considerar. ¿Cuál debe ser la política a seguir si se quieren

conseguir los máximos beneficios?

FORMA DE REPRESENTAR LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

FORMA GENERAL:

FUNCIÓN OBJETIVO

FO: Máx. / Min Z = C1X1 + C2 X2 + ... + CJXJ + ... + CnCn

a. RESTRICCIONES ESTRUCTURALES

Re:

{

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2+ . . . . . +𝑎1𝑛𝑥𝑛 , < = > 𝑏1𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2+ . . . . . +𝑎2𝑛𝑥𝑛, < = > 𝑏2

.

.𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2+ . . . . . +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛, < = > 𝑏𝑚

Donde:

n = número de variables de decisión. m = número de restricciones, y n > m

aij = son coeficientes técnicos, que indican la proporción de un determinado recurso que requiere un producto, por cada unidad que se elabore de ella. Sirve para indicar también en algunos casos, una relación lógica de las variables.



bj= son las constantes, referidos al nivel de recursos disponibles. En algunos casos representan los valores que tienen las relaciones lógicas.

Cj= representan los costos o utilidades que generan cada una de las variables del

modelo por unidad.

c) RESTRICCIONES DE “ NO NEGATIVIDAD (RNN) ”

XJ > 0 ; J = 1, 2, ..., n

X2

X1

VARIABLES ESTRUCTURALES O DE DECISION:

Son variables bases del modelo, que están directamente relacionadas con el problema real.

EJEMPLO N° 1:

FO: MIN Z = 2x1+ 15x2 + 10x3 + 5x4

Re:

{

2x1 + x2 + 3x3 − x4 ≥ 10x1 + 4x2 + 2x4 ≥ 15

5x1 + 3x2 + x3 + x4 ≥ 20x ≥ 0y ≥ 0

+

+



PROBLEMAS DE APLICACIÓN

EJEMPLO 1

Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento

A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades

de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento cuesta $ 1,20 por unidad y el B $ 0.8 por

unidad. ¿Cuántas unidades de cada alimento deben prepararse para minimizar el costo?

¿Cuál es el costo mínimo?

SOLUCIÓN

Carbohidratos (x) A B

Proteínas (y) X 2 4

Y 2 1

𝐶𝑀𝐼𝑁 = 1,2𝑥 + 0,80𝑦

Sujeto a:

{

2𝑥 + 2𝑦 ≤ 16 → (1)

4𝑥 + 𝑦 ≤ 20 → (2)

𝑋 ≥ 0 → (3)

𝑌 ≥ 0 → (4)

𝑦 𝑥8 00 8

𝑦 𝑥20 00 5

VERTICES:

𝐴 ( 8 , 0) 𝐶 (0 , 20)

B: 4𝑥 + 𝑦 = 202𝑥 + 2𝑦 = 16

4𝑥 + 𝑦 = 20 𝑥 + 𝑦 = 8

𝑥 + 𝑦 = 8 4 + 𝑦 = 8 ⇒ 𝑦 = 2 𝑥 = 4

𝐵 (4, 2)

𝐶𝐴 = 1,2 (8) + 0,8 (0) = 9,6

𝐶𝐵 = 1,2 (4) + 0,8 (2) = 4,8 + 1.6 = 6,4 (𝑚í𝑛. )



RESPUESTA:

Deben comprarse 8 unidades de carbohidratos y ninguna unidad de proteínas para minimizar

el costo. El costo mínimo será de 9,6 dólares.

EJEMPLO 2

Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 Kg.

de acero y 120 Kg. de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesita 1Kg de

acero y 3 Kg de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se necesita 2kg de acero

y 2kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a $200 y las de montaña a $150. ¿Cuántas

bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es el beneficio

máximo?

SOLUCIÓN

ACERO ALUMINIO

A 1 3 X : Bicicleta de paseo

B 2 2 Y : Bicicleta de montaña

Total 80 120 U : Utilidad

Máx 𝑈 = 200𝑥 + 150 𝑦

S. A.

{

𝑥 + 2𝑦 ≤ 80 → (1)

3𝑥 + 2𝑦 ≤ 120 → (2)

𝑋 ≥ 0 → (3)

𝑌 ≥ 0 → (4)

𝑦 𝑥40 00 80

𝑦 𝑥 60 0 0 40

VERTICES

A (40,0) B

C (0; 40)

B:

𝑥 + 2𝑦 = 80 20 + 2𝑦 = 80

3𝑥 + 2𝑦 = 120 2𝑦 = 80 −𝑥 − 2𝑦 = −80 3𝑥 + 2𝑦 = 120

𝑦 = 30

2𝑥 = 40 𝑥 = 20

𝐵 (20; 30)

RESPUESTA:

𝑈𝐴 = 200 (40) + 150 ( 0) = 8000

𝑈𝐵 = 200 (20) + 150 (30) = 8500 (𝑀á𝑥)

𝑈𝐶 = 200 (0) + 150 (40) = 6000



Respuesta:

Deben construirse 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña. La utilidad máxima es de $8 500.

EJEMPLO 3

Una empresa fabrica dos modelos de DVD: el modelo A y el modelo B. Se dispone de 50

kilogramos de caucho y de 80 horas de mano de obra. Para fabricar un DVD del modelo A se

utiliza 1 kilogramo de caucho y 1 horas de trabajo, y para fabricar un DVD del modelo B se

utiliza 1 kilogramo de caucho y 2 hora de trabajo. Si la venta le genera una utilidad 30 soles

por cada modelo A y 40 soles por cada modelo B. ¿Cuántos DVD de cada tipo debe fabricar

y vender para que la utilidad sea máxima?, ¿Cuál es la utilidad máxima?

Consideremos: x : Número de DVD del modelo A

y : Número de DVD del modelo B.

U : Utilidad mensual.

La función objetivo, que se debe maximizar, es: 30 40U x y

50 (1)

2 80 (2)

0 (3)

0 (4)

. .

x y

x y

x

y

s a

A las restricciones (3) y (4) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que

satisface simultáneamente las condiciones (1) a (4) se denomina región factible.

Graficando las desigualdades e identificando la región factible se tiene:

MODELO A MODELO B TOTAL

Cantidad de caucho 1x 1x 50 kg.

Horas de mano de obra 1x 2x 80 horas

Y

X

40

50 80

50

A B

C

D



Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía

tiene un valor máximo (o mínimo) y se encuentra en uno de sus vértices. Para hallar este valor

es suficiente evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y

después elegir aquél en que la función objetivo resulte óptima.

En nuestro caso, las coordenadas de los vértices de la región factibles son:

A (0, 0) B (50, 0) C (20, 30) D(0, 40)

Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:

U (0, 0) = 30 (0) + 40 (0) = 0

U (50, 0) = 30 (50) + 40(0) = 1500

U (90, 0) = 30 (20) + 40 (30) = 1800

U (0, 40) = 30 (0) + 40 (40) =1600

Por consiguiente U tiene un valor máximo en C , en donde: 20x e 30y .

Se debe fabricar y vender 20 DVD del modelo A y 30 DVD del modelo B. La utilidad máxima

es de de S/. 1 800.

EJEMPLO 4

Supongamos que una compañía fabrica dos tipos de artefactos, manuales y eléctricos. Cada

uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual

requiere del empleo de la máquina A durante dos horas, de una hora en la máquina B y de

una hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de una hora en A, dos horas en B y

una hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponibles por mes

para el uso de las tres máquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad que se

obtiene con artefactos manuales es de $4 y de $6 para los eléctricos. Si la compañía vende

todos los artefactos que fabrica ¿cuántos artefactos de cada tipo se deben elaborar con el

objeto de maximizar la utilidad mensual?

Un resumen de los datos se presenta en la siguiente tabla

A B A Utilidad

Manual 2h 1h 1h 4

Eléctrica 1h 2h 1h 6

Horas disponibles 180 160 100



Consideremos

x : Número de artefactos manuales que se fabrican en el mes.

y : Número de artefactos eléctricos que se fabrican en el mes.

U : Utilidad mensual.

La función objetivo es:

: 4 6U x y Maximizar

2 180 (1)

2 160 (2)

100 (3)

0 (4)

0 (5)

x y

x y

x y

x

y

A las restricciones (4) y (5) se les denomina condiciones de no negatividad. La región que

satisface simultáneamente las condiciones (1) a (5) se denomina región factible.

Aunque existen una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice a la función

de utilidad.

Se puede probar que una función lineal definida sobre una región factible acotada y no vacía

tiene un valor máximo (o mínimo) y se puede encontrar este valor en un vértice. Esta

afirmación permite hallar soluciones óptimas, para lo cual es suficiente evaluar la función



objetivo en cada uno de los vértices de la región factible y después elegir aquél en que la

función objetivo resulte óptima.

En nuestro caso, tenemos

A (40, 60) B (80, 20) C (90, 0) D(0, 0) E (0, 80) .

Entonces, se evalúa la función objetivo en cada punto:

U (40, 60) = 4 (40) + 6 (60) = 520

U (80, 20) = 4 (80) + 6 (20) = 440

U (90, 0) = 4 (90) + 6 (0) = 360

U (0, 0) = 4 (0) + 6 (0) = 0

U (0, 80) = 4 (0) + 6 (80) = 480.

Por consiguiente U tiene un valor máximo de $520 en A , en donde 40x e 60y .

EJERCICIOS

1. Maximice: 5 7z x y

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 3 2 7x y ; 2 5 12x y

2. Minimice: 4 3z y x

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 3 4 4x y ; 6 8x y

3. Maximice: 2z x y

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 2 1y x ; 4 9y x

4. Minimice: 2z y x

sujeta a las condiciones 0x ; 0y ; 1y x ; 3 2y x

5. Dada las siguientes restricciones: 2 4x y ; 2 5x y ; 0x ; 0y

a) Grafica la región defina por las restricciones indicando sus vértices.

b) Calcule el valor máximo de la función objetivo 5 2z x y sujeta a las restricciones

dadas.



6. Grafique el sistema de inecuaciones

0,0

54

1

3

yx

xy

yx

yx

7. Dado el siguiente problema de programación lineal: : ( , ) 5 4f x y x y max

Sujeta a

0,0

602

15053

yx

yx

yx

. Esboce la gráfica

8. Dada las restricciones

0,0

3

42

yx

yx

yx

Determine el máximo valor de yxyxf 32),(

9. Maximizar la función yxyxf 50002000),(

Sujeta a las restricciones

2 3 3

2 9

2 5 5

0, 0

x y

x y

x y

x y



SEMANA 16

APLICACIONES

1. Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros P1 y P2.

La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1 y

420 de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de

reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600 000 y es capaz

de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día, el tipo B es un diseño más

económico, cuesta $300 000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de

P2 por día. Debido a los costos de operación es necesario tener al menos 4 cámaras de

cada tipo en la planta. ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de

construcción y aun así satisfacer el programa de producción requerido? (Suponga que

existe un costo mínimo).

2. Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre la contaminación una compañía

química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso que complementa o

reemplaza al proceso anterior de fabricación de un producto químico en particular. El

proceso anterior descarga 25 gramos de dióxido de carbono y 50 gramos de partículas a

la atmósfera por cada litro de producto químico producido. El nuevo proceso descarga 15

gramos de dióxido de carbono y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro

producido. La compañía obtiene una utilidad de 40 y 50 centavos por litro en los procesos

anteriores y nuevos respectivamente. Si el gobierno no permite a la planta descargar más

de 12 525 gramos de dióxido de carbono ni más de 20 000 gramos de partículas a la

atmósfera por día, ¿cuántos litros de producto químico deben producirse diariamente por

cada uno de los procesos para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?

3. Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos artículos:

camiones y camionetas con base en la información siguiente:

Máquina A Máquina B Máquina C

Camión 2h 3h 5h

Camioneta 1h 1h 1h

Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la

máquina A, 80 horas, para la B 50 horas, para el acabado 70 horas. Si las utilidades en

cada camión y cada camioneta son de $7 y $2 respectivamente. ¿Cuántos juguetes de

cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar la utilidad? ¿Cuál es la

utilidad máxima?



4. La empresa de transporte “Viaje Feliz”, desea vender a lo más 260 pasajes de Lima a

Tumbes, , de dos clases: clase VIP y clase económica.

Las ganancias correspondientes son de 60 y 40 soles respectivamente. Además, la

empresa decide vender por lo menos 120 pasajes de la clase económica. Se pide:

a) La cantidad de pasajes de cada clase para que las ganancias sean máximas.

b) Cuál es la ganancia máxima.

5. Si “X” es el número de unidades del producto A; “Y” el número de unidades del producto B,

el administrador formula el modelo utilizando la técnica de programación lineal (P.L.):

G = 500x + 200y

s.a.:

2x + 3y > 12

2x + y < 8

x > 0; y > 0

Afirma que cuando se producen y venden 3 unidades del producto A y 2 unidades del

producto B; la ganancia máxima será $19 000.

Se pide defender o cuestionar dicha afirmación justificando su respuesta.

6. La mueblería ESTILO S.A. fabrica y vende juegos de dormitorio en caoba y cedro. Cada

juego de dormitorio de caoba le origina una ganancia de $120 y cada juego de dormitorio

de cedro le origina una ganancia de $150. Se sabe que la fábrica produce al mes no más

de 200 juegos de dormitorios de caoba y no más de 250 juegos de dormitorios de cedro;

y que al mes en tienda no se venden más de 300 juegos de dormitorios. Al utilizar la

técnica matemática de la programación lineal, que consiste en:

c) Plantear tus incógnitas y darles variables.

d) Formular la ecuación o función ganancia.

e) Plantear el sistema de inecuaciones.

f) Graficar el sistema de inecuaciones.

g) Evaluar en la función ganancia.

Recomienda cuántos juegos de dormitorio y de qué tipo se deben producir y vender para

maximizar las ganancias de la empresa.

7. Un empresario textil para su departamento de ropa de vestir encarga la confección de

pantalones y poleras de damas estilo deportivo. El fabricante dispone para la confección

750 m de tejido de algodón y 1 000 m de tejido de poliéster; se sabe que cada pantalón

precisa de 1 m de algodón y 2 m de poliéster y que cada polera necesita de 1.5 m de

algodón y 1 m de poliéster.

El precio del pantalón se fija en S/.100 y el de la polera en S/.80. Su Gerente de Ventas

le indica que debe vender 250 pantalones y 375 poleras para que el Ingreso sea máximo,



Se le pide a Ud. que defienda o cuestione la opinión del Gerente de Ventas e indique

además cuál sería el Ingreso Máximo.

8. La empresa SONY S.A. fabrica televisores LCD y LED. Cada televisor LCD produce una

ganancia de $120 y cada televisor LED $80. Para cumplir con la demanda diaria, dicha

empresa debe cumplir como mínimo 250 LCDs y 150 LEDs. Si la producción diaria no

debe sobrepasar de 520 televisores. Al utilizar la técnica matemática de la programación

lineal, que consiste en:

a) Plantear tus incógnitas y darles variables.

b) Formular la ecuación o función ganancia.

c) Plantear el sistema de inecuaciones.

d) Graficar el sistema de inecuaciones.

e) Evaluar en la función ganancia.

Recomienda cuántos televisores y de qué tipo debe producir y vender para maximizar

las ganancias de la empresa.

9. Una compañía fabrica dos tipos de artefactos manuales y eléctricos. Cada uno de ellos

requiere en su fabricación el uso de dos máquinas: A y B. Un artefacto manual requiere

del empleo de la máquina A durante una hora y de una hora en la máquina B. Supóngase,

además, que el número máximo de horas por mes que dispone para el uso de las dos

máquinas A y B es de 180 y 100 respectivamente.

La Utilidad que se obtiene con artefactos manuales es de $4 y para los eléctricos es de

$6. Su Gerente de Ventas le indica que la Utilidad Máxima se obtiene cuando se venden

80 artefactos manuales y 20 artefactos eléctricos. Se le pide a Ud. que defienda o

cuestione la opinión del Gerente de Ventas e indique además cuál sería la Utilidad

Máxima.



Método de Polya aplicado a un problema de Programación Lineal

UNIDAD IV

PROGRAMACION LINEAL Y APLICACIONES

CAPACIDAD: Utiliza y aplica axiomas y/o propiedades de la programación lineal para la solución de problemas relacionados con su especialidad.

CONTENIDO DE LA CAPACIDAD: Reconoce las características de la programación

lineal, alcances y formas de representación con el propósito de plantear, modelar y solucionar

problemas específicos de su formación profesional.

FICHA N°: Resolver el siguiente problema, en torno a la Programación Lineal y sus aplicaciones, utilizando la metodología de POLYA

PROBLEMA: Maximizar una función objetivo

La empresa SONY S.A. fabrica televisores LCD y LED. Cada televisor LCD produce una

ganancia de $120 y cada televisor LED $80. Para cumplir con la demanda diaria, dicha

empresa debe cumplir como mínimo 250 LCDs y 150 LEDs. Si la producción diaria no debe

sobrepasar de 520 televisores. Al utilizar la técnica matemática de la programación lineal,

que consiste en:

a) Plantear tus incógnitas y darles variables.

b) Formular la ecuación o función ganancia.

c) Plantear el sistema de inecuaciones.

d) Graficar el sistema de inecuaciones.

e) Evaluar en la función ganancia.

Recomienda cuántos televisores y de qué tipo debe producir y vender para maximizar las

ganancias de la empresa.


Identifica


a) Identifica la/las incógnitas

1.- x = LCD ; y = LED 2.- Función Objetivo 3.- Sistema de inecuaciones 4.- Principio de No negatividad

b) Identifica los datos

x genera una ganancia de $120 , y genera una ganancia de $80 x + y ≤ 520 ; x ≥ 250 ; y ≥ 150; x ≥ 0 ; y ≥ 0

c) Identifica la condición del problema

Evaluar y maximizar la función Ganancia



Relaciona

Configurar un plan

Relaciona la condición con los datos y las incógnitas.

1.- Determinar la Función Objetivo (Ganancia)

2.- Plantear las restricciones (Desigualdades)

3.- Graficar

4.- Determinar la Región Factible

5.- Determinar los vértices de la Región Factible

6.- Evaluar

7.- Determinar la ganancia

Resuelve

Ejecutar el plan

Resolver: Función Objetivo: G = 120x + 80y Restricciones: x ≥ 250; y ≥ 150; x + y ≤ 520; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Gráfica: Cada estudiante debe graficar A:(250;150) B:(250;270) C:(370;150) Luego, evaluando la función G =120x + 80y A= 42000 G máxima = $ 56400 si se vende: B = 51600 x = 370 ; y = 150 C = 56400



Reflexiona


Revisamos la solución obtenida: Revisamos la solución obtenida: Indica ¿Cómo podrías verificar el resultado? Los valores de x e y encontrados los comprobamos en las restricciones y cumplen con ellas.

Respuesta: Después de realizar las operaciones respectivas tenemos que: 1.- El número de televisores LCD y LEDs que se debe

producir y vender para que la Ganancia sea máxima es:

x = 370 ; y = 150



CASO 1 MAXIMIZANDO EL BENEFICIO

Finalizado el semestre de estudio un estudiante de la USMP decide aprovechar su tiempo

repartiendo propaganda publicitaria.

La empresa A le paga $5 por cada impreso repartido y la empresa B con folletos más grandes

le paga $7 por impreso repartido. El estudiante lleva 2 bolsas:

Una para los impresos de A en la que caben 120

Otra para los impresos de B en la que caben 100

Así mismo, el estudiante ha calculado que cada día puede repartir 150 impresos como máximo

entre ambos.

Analice, comprenda e interprete la lectura del caso y responda las preguntas siguientes

1.- Determinar la Función Objetivo

……………………………………………………………………………………………………………

2.- Establecer las condiciones (Desigualdades) que se generan en el problema

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

2. Gráfica y obtenga el polígono resultante calculando cada vértice del mismo

4.- Evalué cada vértice y determine en cuál de ellos se generará el máximo beneficio, es

decir, la combinación perfecta de folletos de A y B.



RESOLUCION DE PROBLEMAS POR EL

METODO DE CASOS



UNIDAD Nª1

CONJUNTOS CASO: Preferencias Profesionales La Facultad de Ciencias

contables, económicas y

financieras de la USMP realizó una

encuesta dirigida a 60 estudiantes

de la Institución educativa “Santa

Anita” y obtuvo los siguientes

resultados:

30 eligieron “Contabilidad”,

24 eligieron “Negocios

Internacionales”,

22 eligieron “Administración de empresas”,

8 eligieron “Contabilidad” y “Negocios Internacionales”,

6 eligieron “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”,

7 eligieron “Contabilidad” y “Administración de empresas”,

2 eligieron “Contabilidad”, “Negocios Internacionales” y “Administración de empresas”.

Fuente: http://www.usmp.edu.pe/contabilidadyeconomia/index.php

Ficha de encuesta

Estimado estudiante, esta encuesta permitirá conocer las preferencias sobre las

diferentes Carreras que ofrece la Facultad de Ciencias contables, económicas y

financieras de la USMP, por favor, responde las preguntas con franqueza

completando los espacios.

Nombre:

________________________________

Edad:

__________

Grado:

________

Mujer: Varón:

1. Contabilidad

2. Administración de empresas

3. Marketing

4. Negocios Internacionales

http://www.usmp.edu.pe/contabilidadyeconomia/index.php



1. Responda las siguientes preguntas. (2 puntos)

a) ¿Qué carreras ofrece la Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras

de la USMP? (0,5 puntos)

1 ) ________________________________________ 2 ) ________________________________________ 3 )________________________________________

4 ) ________________________________________

b) ¿Los que prefieren Negocios Internacionales son 28? (0,5 puntos)

__________________________________________________________________

c) ¿Los que prefieren Contabilidad son 24? (0,5 puntos)

__________________________________________________________________

d) ¿Los que prefieren tres de los cursos son 9? (0,5 puntos)

2. Si: M = Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras de la USMP.

(3 puntos)

a = Contabilidad , b = Administración de empresas c = Marketing d = Negocios Internacionales

e = Ingeniería Industrial f = Matemática Pura.

a) Determina por Extensión el conjunto M = Facultad de Comunicaciones (los elementos serán las carreras de dicha facultad) (0,5 puntos)

M = ,

b) Determina por Comprensión el conjunto M = Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras (0,5 puntos) M = {x/x es una _____________________________________________________ }

c) Determina si cada elemento pertenece o no pertenece a cada conjunto escribiendo V

o F. (0,5 puntos)

a M ( )

b M ( )

d M ( )

c M ( )

f M ( )

e M ( )

d) Si tenemos que M = { a, b, c, d } y N = { b } (0,5puntos)

Determina la inclusión o no inclusión escribiendo V o F.

N M ( )

b M ( )

d M ( )

M N ( )



e) Colocando Si o No en los paréntesis determine lo que se le pide: (1 punto)

En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto M tiene: 2 elementos ( ) 4 elementos ( ) 1 elemento ( )

En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto N es: Unitario ( ) Vacío ( )

En relación a los datos de la pregunta d) el conjunto M es: Finito ( ) Infinito ( )

En relación a los datos de la pregunta d) los conjuntos M y N son: Disjuntos ( ) Iguales ( )

Si definimos los siguientes conjuntos

A = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Contabilidad”

C = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Negocios Internacionales”

P = Total Estudiantes que eligieron la carrera de “Administración de empresas”



UNIDAD Nª2

INECUACION LINEAL

MOVISTAR empresa de prestigio en la rama de venta de celulares de marcas conocidas como

NOKIA encarga a la Gerencia de Marketting realizar un estudio para ampliar su negocio, pero

esta vez en la producción y venta de repuestos más solicitados por sus clientes.

Dicha gerencia escoge el repuesto más solicitado y con el apoyo del personal que labora en

el Área de Costos proceden a evaluar una supuesta situación en la que se considera

importante la amplia demanda del repuesto y las posibilidades económicas de la empresa

para tomar una decisión tan importante.

Luego de costeado el repuesto se concluye que el Costo unitario de mano de obra y

material por unidad es de $21, los Costos Fijos por mes son de $70000 y el repuesto debe

venderse a $35.

Para que la empresa Obtenga Ganancia el encargado de Marketting sostiene que MOVISTAR

debe de producir y vender como mínimo 5001 unidades por mes.

Finalizado el estudio la empresa decide dar el paso importante de ampliar su negocio en la

producción y venta de repuestos más solicitados por sus clientes

1.- Responda V o Fa las siguientes preguntas: (4 puntos)

a) La expresión U > 0 significa que se obtiene ganancia……………………………… ( )

b) Costo Variable es igual a Costo unitario por la cantidad…………………………………( )

c) Costo Fijo es aquel que tiene que ver con la producción……………………………… ( )

e) El alquiler del local es un costo variable……………………………………………………( )



2.- Responda a las siguientes preguntas: ( 6 puntos)

¿Qué expresión utilizaría para obtener el ingreso?

a) I = p*q b) I = CV + CF c) U = 0 d) I < 0

¿Cuándo la empresa desea estar en el equilibrio se cumple?

a) U = I – CT b) I – CT = 0 c) U ≤ 0 e) U ≥ 0

¿Cuándo la empresa desea no obtener perdida se cumple?

a) I – CT ≥ 0 b) No vende c) I = 0 e) I = CT

¿Qué expresión utilizaría para obtener el costo total?

a) CT = Cuq + CF b) CT = Cuq – CF c) CT = I d) CT = q

En la simulación la desigualdad resultante es:

a) 35q – (21q + 70000) ≤ 0 b) 35q – (21q + 70000) ≥ 0

En la simulación la q mínima resultante es:

a) q = 4999 b) q = 5000 c) q = 5001 d) q = 4900

¿Si ud fuera el gerente de Marketting que recomendaría al Directorio de MOVISTAR?



UNIDAD Nª3

FUNCION LINEAL

En la fábrica de confecciones de la marca UMBRO se reúne el Gerente General con sus

asesores para delinear la expresión que representa a la Demanda y Oferta de un nuevo

modelo de zapatos de futbol.

Para ello, el Gerente de Producción en función a su experiencia y para no tener resultados

arriesgados propone una supuesta situación a través del siguiente caso:

“Cuando se oferta 50 pares de zapatos de futbol el precio será de $240 y cuando se

ofertan 70 pares del mismo modelo el precio es de $276”.

Pero, si la demanda es de 70 pares el precio será de $340 y cuando la demanda sea de

110 pares el precio es de $260”


a) La pendiente tiene la siguiente expresión 𝑚 = 𝑞𝟐−𝐪𝟏

𝑝2−𝑝1……………………………… ( )

b) La Ecuación punto / pendiente se aplica al conocer 2 puntos de la recta…………… ( )

c) La intersección de las rectas de oferta y demanda representa el Equilibrio….. ………( )

e) Cuando la Oferta y la Demanda son iguales se obtiene ganancia……………………. ( )

2.- Responda V o Fa las siguientes expresiones: (4 puntos)

Pendiente cero Recta horizontal ( )

Pendiente indefinida Recta vertical ( )

Pendiente positiva Recta que sube de izquierda a derecha ( )

Pendiente negativa Recta que desciende de izquierda a derecha ( )



3.- Responda las siguientes preguntas: (12 puntos)

La pendiente de la Oferta es:

a) 𝟒

𝟓 b)

𝟓

𝟒 c)

− 𝟒

𝟓 d)

−𝟓

𝟒

La pendiente de la Demanda es:

a) 2 b) – 2 c) 1 d) – 1

La Ecuación de la Oferta es:

La Ecuación de la Demanda es:

Los valores de “q” y “p” en el Equilibrio son:

a) (280;100) b) (100; 280) c) (100; 180) d) (180, 100)

Ubica los puntos de la Oferta y la Demanda en los gráficos dados:

q

p

Pendiente negativa

q

p

Pendiente positiva



UNIDAD Nª4

PROGRAMACION LINEAL

El Departamento de Diseño de la fábrica de muebles OLIMPIA presenta dos sillones A y B a

la Gerencia de Ventas de la empresa para su análisis y pronunciamiento respectivo.

El responsable de ventas recurre al Gerente de Producción entregándole la Ficha Técnica de

cada sillón, ya que en una reunión de ventas los agentes coincidieron en que tenían todo lo

necesario para lograr un buen ingreso para la empresa.

La inquietud llegó al Gerente General quien con una visión de negocio propuso que el área

productiva emita un informe sobre la forma más adecuada de obtener una ganancia

máxima antes de aprobar la producción de ambos sillones.

La Ficha Técnica para producir el sillón A manifestaba que era necesario 1 hora de Carpintería

y 2 horas de Tapicería y para producir el sillón B necesario 3 hora de Carpintería y 1 hora de

Tapicería.

La disponibilidad total de los talleres de Carpintería y Tapicería es 80 y 90 horas

respectivamente. Ventas estima que las ganancias por la venta del sillón A es de $60 y por la

del sillón B es de $30


La función objetivo en este caso es:

a) G = x + 3y b) G = 2x + 6y c) G = 60x + 30y

Una de las restricciones es:

a) 2x + 6y > 0 b) x + 3y ≤ 90 c) 2x + 6y ≥ 0

El Polígono formado tiene:

a) 3 vértices b) 2 vértices c) 4 vértices

Uno de los vértices del polígono es:

a) (30;0) c) (30;20) c) (0;90)



2.- Complete las siguientes expresiones: (4 puntos)

a) La restricción en el área de Carpintería es:……………………………………………………..

b) La restricción en el área de Tapicería es:……………………………………………………….

c) El principio de No negatividad es:………………………………………………………………..

d) El valor de “x” y “y” luego de solucionar el sistema de ecuaciones es:………………. ……..

3.- Cual de los gráficos adjuntos se asemeja al resultado del tema propuesto: (1 punto)

a) b)

4.- Si llamamos A, B , C y D a los vértices encontrados (3 puntos)

A: (0 ; 0) B: (0 ; 30) C: (30 ; 20) d) (40 ; 0) y evaluamos la

Función Objetivo la Ganancia máxima se da cuando:

a) X = 30 y Y = 20 b) X = 0 y Y = 30 c) X = 30 y Y = 90

Luego la ganancia máxima es de:

a) 900 b) 1600 c) 2400 d) 1700

Si ud fuera el Gerente General que juicio emitiría al respecto de la producción de ambos

sillones:

Y

X

40

50 80

50

A B

C

D

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