matematica financieras.pdf

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua

UNAN - MANAGUA

Facultad Multidisciplinaria Regional de Carazo

FAREM - CARAZO

Departamento de Ciencia; Tecnología y Salud

Edificio Central “FAREM - CARAZO”

Dossier

“Matemáticas Financieras para la toma de decisiones”

CURSO DE VERANO 2014

Facilitador

Msc. Sergio Vado Conrado

JINOTEPE, CARAZO

ENERO – FEBRERO 2014

Matemáticas Financieras para la toma de decisiones FAREM CARAZO

Msc. Sergio Vado Conrado 2



Índice

TEMA 1: CALCULO DE INTERES SIMPLE……………………………………. 6

1.1. Introducción.

1.1.1. Objeto de estudio de las matematicas financieras

1.1.2. El Dinero.

1.1.3. Diagrama del flujo de caja.

1.1.4. Interés, monto, tasa de interés, plazo y valor actual.

1.2. Interés simple exacto y comercial.

1.3. Tasas de interés activas y pasivas.

1.4. Tasas de interés moratoria y de rendimiento.

1.5. Monto (Valor futuro) a interés simple.

1.6. Valor actual (valor presente) a interés simple.

1.7. Descuento bancario y simple racional.

1.8. Descuentos comerciales: comisiones, por pronto pago y en cadena.

1.9. Pagos parciales: método de la regla americana.

1.10. Ejercicios resueltos

1.11. Ejercicios propuestos

TEMA 2: CALCULO DE INTERES COMPUESTO…………………………………..47

2.1. Deducción de la fórmula del monto a interés compuesto.

2.2. Monto (valor futuro) a interés compuesto.

2.3. Diferencia entre interés simple y compuesto.

2.4. Valor presente o actual de una o varias sumas de dinero.

2.5. Número de períodos de capitalización de interés.

2.6. Determinación del plazo de una inversión a plazo fijo.

2.7. Definición y cálculo de las tasas de interés.

2.7. Monto con interés convertible continuamente.

2.8. Relación de equivalencias entre las tasas efectivas y nominales.



TEMA 3: ANUALIDADES……………………………………………………………69

3.1. Concepto de anualidad.

3.2. Clasificación de las anualidades.

3.3. Anualidades vencidas simples y cálculo de: montos, valor de la renta, tasa de interés

y valor actual.

3.4. Anualidades anticipadas simples y cálculo de: montos, valor de la renta y valor

actual.



3.5. Anualidades simples diferidas y cálculo de: montos, valor de la renta y valor actual.



TEMA 4: AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION…………………. 97

4.1. Concepto del proceso de amortización y sus elementos .

4.2. Sistemas de amortización de deudas con interés sobre saldos.

4.3. Monto de la cuota y elaboración de la tabla de pagos.

4.4. Sistema de amortización con interés flat y elaboración de la tabla.

4.5. Concepto de fondo de amortización, sus elementos y situaciones donde utiliza.

4.6. Depósito periódico y elaboración de la tabla de capitalización.

4.7. Diferencias básicas entre el proceso de amortización y fondo de amortización.


BIBLIOGRAFIA ………………………………………………………………….…121



INTRODUCCION:

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia

el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un

rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de

inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o

ingeniería económica.

Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra en

momentos precisos o determinados, información razonada, en base a registros técnicos, de

las operaciones realizadas por un ente privado o público, que permiten tomar la decisión

más acertada en el momento de realizar una inversión; con el derecho, por cuanto las leyes

regulan las ventas, los instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros,

corretaje, garantías y embarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma en que

se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, préstamos a interés; con la

economía, por cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales, un

negocio o empresa, podrían obtener mayores beneficios económicos; con la ciencia

política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven problemas económicos que

tienen que ver con la sociedad, donde existen empresas e instituciones en manos de los

gobiernos.

Las matemáticas financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en

cuento a inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien a

toda la población; con la ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril,

en el cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de los

equipos industriales de producción; con la informática, que permite optimizar

procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones y

negociaciones; con la sociología, la matemática financiera trabaja con inversiones y

proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que las empresas produzcan

más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor calidad de vida de la

sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja con activos financieros o títulos valores e

incluyen bonos, acciones y préstamos otorgados por instituciones financieras, que forman

parte de los elementos fundamentales de las matemáticas financieras.

Por ello, las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente práctica, su

estudio esta íntimamente ligado a la resolución de problemas y ejercicios muy semejantes a

los de la vida cotidiana, en el mundo de los negocios. Dinero y finanzas son indesligables.



TEMA I: CALCULO DE INTERES SIMPLE

OBJETO DE ESTUDIO DE LA MATEMATICA FINANCIERA:

El estudio de las Matemáticas Financieras consiste en encontrar el valor del dinero

en diferentes momentos en el tiempo, es decir valorar el premio de prescindir por cierto

tiempo, a cierta tasa de interés, de un determinado capital.

Existen diferentes métodos para dicho análisis, ya sea mediante el uso del Interés

Simple o el Interés Compuesto. En el primero de ellos se parte del hecho de que sólo el

capital genera intereses, en tanto que en el segundo los intereses también generan intereses.

Los métodos no son equivalentes ni su uso es operativo por parte del inversionista o

analista financiero. Existe un uso adecuado de acuerdo a una circunstancia particular.

Por ejemplo: Si se desea saber los ingresos de un determinado capital

(Invertido en Certificado de Depósito a Plazo) que paga intereses

semestralmente a una cierta tasa de interés por un período de 3 años, lo

recomendable es hacer uso del método de interés simple. Pero si por el contrario

se desea saber el monto que se obtendrá al final de 5 años, de una cierta cantidad de dinero

invertida periódica y consecutivamente y cuyos intereses se capitalizarán, habría que usar el

método de Interés Compuesto.

La matemática financiera desde el punto de vista de la Ingeniería Económica

permite al analista financiero tomar las mejores decisiones financieras, empleando diversos

métodos para evaluar las alternativas que se presentan,

Por ejemplo se pueden presentar dos opciones Ay B para invertir para

invertir en las cuales el capital inicial de la inversión es C$ 250,000 para ambas

y que la alternativa A proporcionará C$ 40.000 de ganancia dentro de 6 meses

y la alternativa B proporcionará C$ 40,000 de ganancia dentro de un año.

Si empleamos un poco el sentido común, lógicamente que optaríamos por la

alternativa A debido a la misma rentabilidad en menor tiempo; pero en la mayoría de las

decisiones se tienen en cuenta, además del sentido común, los resultados de los estudios

realizados de las alternativas o fenómenos que son objeto de comparación.



EL DINERO

"El dinero es el equivalente general, la mercancía donde el resto de las

mercancías expresan su valor, el espejo donde todas las mercancías reflejan su

igualdad y su proporcionalidad cuantitativa".

Según la economía habitual, dinero es cualquier cosa que los miembros de una comunidad

estén dispuestos a aceptar como pago de bienes y deudas, cuya función específica estriba en

desempeñar la función de equivalente general. El dinero surgió espontáneamente en la

remota antigüedad, en el proceso de desarrollo del cambio y de las formas del valor. A

diferencia de las otras mercancías, el dinero posee la propiedad de ser directa y

universalmente cambiable por cualquier otra mercancía.

“Marx procede en este terreno de modo distinto. Cuando analiza el trueque directo de

mercancías descubre el dinero en forma germinal...” .

FUNCIONES DEL DINERO

Formas concretas en que se manifiesta la esencia del dinero como equivalente general. En

la economía mercantil desarrollada, el dinero cumple las cinco funciones siguientes:

1) medida del valor “Con el dinero podemos medir, por ejemplo, el patrimonio que tiene

cada ciudadano. Y también podemos medir el precio de cada hora de trabajo social medio.”

2) medio de circulación,

3) medio de acumulación o de atesoramiento,

4) medio de pago y

5) dinero mundial.

Siendo su función elemental la de intermediación en el proceso de cambio. El hecho de que

los bienes tengan un precio proviene de los valores relativos de unos bienes con respecto a

otros.

TIPOS DE DINERO

Dinero – Mercancía: Consiste en la utilización de una mercancía (oro, sal, cueros) como

medio para el intercambio de bienes. La mercancía elegida debe ser: duradera,

transportable, divisible, homogénea, de oferta limitada.

Dinero – Signo: Billetes o monedas cuyo valor extrínseco, como medio de pago, es

superior al valor intrínseco. El dinero signo es aceptado como medio de pago por imperio

de la ley que determina su circulación (curso legal). El dinero signo descansa en la



confianza que el público tiene en que puede utilizarse como medio de pago generalmente

aceptado.

Dinero – Giral: Representado por los depósitos bancarios.

LA TRANSFORMACIÓN DEL DINERO EN CAPITAL

“El dinero se transforma en capital cuando con él compramos los factores objetivos y los

factores subjetivos para producir riqueza. Los factores objetivos son los medios de

producción y los factores subjetivos son la fuerza de trabajo. Por lo tanto, el dinero como

capital se diferencia del dinero como simple dinero por la clase peculiar de mercancías que

compra: medios de producción y fuerza de trabajo. La economía convencional sólo capta el

dinero como medio de cambio, y el dinero que funciona como capital igualmente lo capta

como medio de cambio. Y es cierto que el dinero que circula como capital funciona como

medio de cambio. La diferencia no estriba, por lo tanto, en la función que desempeña en el

mercado, sino en la clase de mercancías que se compra con él. El dinero como simple

dinero se emplea como medio de cambio de medios de consumo personal, mientras que el

dinero como capital se emplea como medio de cambio de medios de producción y de fuerza

de trabajo”...

SISTEMAS MONETARIOS

Un sistema monetario es un conjunto de disposiciones que reglamentan la circulación de la

moneda de un país.

Tradicionalmente, los países eligieron el oro y la plata como la base de un sistema

monetario mono metalista. Cuando adoptaron ambos metales a la vez, se trataba de un

sistema bi-metalista. Actualmente todas las divisas (dólar, Euro, yen, etc.) son dinero

fiduciario.

En épocas de inflación, la gente trata de desprenderse inmediatamente del dinero que se

desvaloriza y de retener aquellos bienes que conservan su valor.

EL RENDIMIENTO DEL DINERO:

La matemática financiera o la ingeniería económicas por ser éstas conjuntos de

métodos que ayudan a realizar los análisis financieros, se ven involucradas en toda

actividad económicas donde se pretenda obtener alguna ganancia; particularmente en la

medición del rendimiento del dinero invertido, porque a fin de cuentas es lo que está en

juego, es decir; si se pierde o se gana dinero. Es importante también tener en cuenta, las

condiciones micro y macroeconómicas de los procesos productivos. Debido a esto; muchas

veces se hace necesario analizar algunos aspectos relacionados con las empresas o entes

ejecutores de la inversión.



EL RENDIMIENTO DEL SISTEMA.

Es el grado de eficiencia que tiene o puede tener una empresa o proyecto, desde el

punto de vista estructural, al realizar las labores relacionadas con su gestión económica,

podríamos considerar: La eficiencia en los diferentes canales de distribución,

comercialización, grado de organización que tiene la estructura productiva, eficiencia en el

servicio a los clientes, calidad de los productos entre otros.

EL RENDIMIENTO FINANCIERO.

Es el que mide el grado de eficiencia que tiene o puede tener un proyecto desde el

punto de vista cuantitativo y estrictamente desde el punto de vista financiero, sin considerar

los aspectos sociales.

EL RENDIMIENTO ECONOMICO.

Es más amplio que el rendimiento financiero, incluye los aspectos sociales y el

rendimiento del sistema. En este caso se trata de medir el grado de eficiencia de un

proyecto tratando de considerar la combinación óptima entre todos los aspectos tales como:

rendimiento del sistema financiero y económico.

Se trata de medir o cuantificar la capacidad que tiene cualquier tipo de proyecto o

inversión de producir beneficios. En esta cuantificación, por lo general se consideran como

parámetros, el capital inicial de la inversión, la tasa interna de retorno económico-social

(TIRES), y el valor actual neto económico social (VANES).

En la dinámica de investigar si un proyecto es rentable (evaluación privada) surge

un problema y es que a nivel de toda la economía de un país, existen diferentes ramas y

sectores productivos, donde el capital inicial de inversión y los flujos de retornos de un

proyecto, no son iguales para otro, ni se presenta en las mismas condiciones, entonces se

recurre a un criterio más representativo y que nos permita una evaluación más rápida. Este

criterio se conoce como: El valor cronológico del dinero.

EL VALOR CRONOLOGICO DEL DINERO.

A menudo se dice que el dinero produce dinero. Esta aseveración es realmente

verdadera, si nosotros elegimos invertir dinero hoy, ya sea en un banco o en una

corporación de ahorro y préstamo, mañana habremos acumulado más dinero que el que

hemos invertido originalmente. Este cambio en la cantidad de dinero durante un período de

tiempo es lo que se conoce como el valor cronológico del dinero, este concepto es el más

importante en el estudio de la Ingeniería Económica. También debe notarse, que si una



persona o empresa pide hoy dinero prestado, mañana tendrá que pagar una cantidad mayor,

debido al valor del dinero en el tiempo.

El valor cronológico del dinero debe verse desde el punto de vista del valor real, o

sea; poder adquisitivo. A como lo veremos más adelante, el valor del dinero puede cambiar

a través del tiempo, no solamente debido a una tasa de interés, sino también por efectos de

la tasa de variación monetaria (devaluación) o la tasa de inflación.

RIESGO:

En todas las inversiones el elemento riesgo está presente y puede entenderse como

la ocurrencia de eventos, con grado de certeza o incertidumbre que pueden obstaculizar el

proceso de inversión. Algunos inversionistas estiman que, “ entre menos tiempo dure la

recuperación del dinero invertido, menores serán las posibilidades de pérdida y a mayor

riesgo, mayor rentabilidad” , no obstante en algunos casos, el factor riesgo se puede medir y

predecir haciendo uso de los métodos y técnicas de las Estadísticas y Probabilidades.

COSTO DE OPORTUNIDAD:

Por tener invertido el dinero, en un proyecto de largo plazo, podría perderse la

oportunidad de invertir en otros de más alta rentabilidad y menor plazo. Principalmente lo

que mueve a todo inversionista: EL CORDOBA DE HOY, puede convertirse en algo más que

el córdoba invertido inicialmente.

COSTO DEL CAPITAL O INTERÉS:

Independientemente del uso que se le quiera dar, el dinero siempre tendrá un costo.

Este costo está en relación directa al tiempo durante el cual se utilice. Resulta evidente el

hecho de que no hay dinero sobre el cual el prestamista o el propietario del dinero no espere

un rendimiento, y el que lo utiliza no puede omitir su costo, lo que conlleva a que el dueño

del capital opte por establecer un costo fijo y muchas veces periódicamente por el uso de su

dinero dado en préstamo.

En todas las actividades financieras, la costumbre de pagar un rédito por el uso del

dinero prestado se vuelve un elemento importante, para que los Bancos y Compañías

inversionistas, incrementen sus capitales a través de los ingresos obtenidos por la vía de los

intereses. En general todas las operaciones comerciales están relacionadas con los intereses

de los capitales en juego.



Toda persona natural o jurídica que obtiene préstamo, está obligada a pagar un

interés o rédito por el uso del dinero tomado en préstamo. Es sumamente importante tener

en cuenta, que el dinero genera dinero, acumulando valores que varían con el tiempo; este

es el problema fundamental de las finanzas, el estudio de las causas que origina la

acumulación del dinero en el tiempo.

FLUJOS DE CAJA:

Las personas y compañías tienen ingresos de dinero, (rentas) y pagos de dinero

(costos) que ocurren particularmente cada período de tiempo dado. Estos valores que

constituyen ingresos y pagos y que se dan periódicamente en el tiempo se denominan flujos

de caja. Para simplificar, se supone que todos los flujos de caja ocurren al final de cada

período de interés. Esto es lo que se conoce como convención fin de período, de lo

contrario se debe especificar.

Los flujos de caja se caracterizan por su signo, positivo si es un ingreso y negativo

si es un pago o desembolso. En cualquier instante de tiempo el flujo de caja podría

representarse como:

Flujo de Caja Neto = Ingresos – Egresos

FLUJOS DE CAJA POSITIVO (+).

Estos representan todas las entradas de dinero independientemente de donde

provengan. (Ver gráfico 1.1)

Gráfico 1.1:

(+)

25

40

60

30

90



FLUJOS DE CAJA NEGATIVOS (-).

Estos representan todas las salidas o egresos de dinero independientemente del

concepto que los origine. (Ver gráfico 1.2).

Gráfico 1.2:

Por Ejemplo: Un préstamo por $ 200.00 es positivo para la persona o

entidad que recibe el préstamo y para la institución financiera que le otorga es

negativa.

DIAGRAMA DE FLUJOS DE CAJA.

Es la representación gráfica o tabular de un flujo de caja en una escala de

tiempo. El diagrama representa el planteamiento del problema y muestra que

es lo dado y lo que debe encontrarse, es decir; es un instrumento visual del

analista que le permite resolver el problema mirando únicamente el dibujo del

diagrama de flujo. Puede asegurarse que el éxito para la resolución de un

problema de Matemática Financiera o Ingeniería Económica, depende de gran manera de la

elaboración del diagrama de flujos de caja.

En el diagrama de flujos de caja, la fecha o (cero) es considerada el Valor Presente y

la fecha 1 final del período 1. La fecha 2, final del período 2. La fecha 3 final del período

3 y así sucesivamente hasta el final del período de interés n. En vista de que se asume que

el flujo de dinero ocurre al final de cada período (salvo cuando se estipule lo contrario),

solamente se deben considerar las fechas marcadas 0, 1, 2, 3,…….., n.

( - )

95

69

100

40



A continuación dos formas de presentar los flujos de caja; tabular (Tabla 1.1) y

Diagramas o Gráficos 1.3 (a) y 1.3 (b)

FLUJOS DE CAJA TABULAR

Periodo (años) Alternativa A Alternativa B

0 $ <100,000.00 > $ <100,000.00 >

1 $70,000.00 $10,000.00

2 $50,000.00 $30,000.00

3 $30,000.00 $50,000.00

4 $10,000.00 $70,000.00

Tabla 1.1

Diagramas de flujos de caja de alternativa A y B

ALTERNATIVA: A

Gráfico 1. 3 (a)

4 años

10,000.00 30,000.00

50,000.00 70,000.00

100,000.00



ALTERNATIVA: B

La Dirección de la flechas en el diagrama de los flujos de caja es importante para la

solución de problemas. En este caso utilizaremos flechas hacia arriba para indicar un flujo

positivo (ingreso) y una flecha hacia abajo para indicar un flujo negativo (desembolso).

DEFINICION DE INTERÉS

El interés es la cantidad convenida que se paga por el uso del dinero en

calidad de préstamo o depósito. La evidencia del valor del dinero en el tiempo

se llama interés, y es una medida del incremento entre la suma de dinero

prestada o invertida y la cantidad final debida o acumulada.

El uso del capital no es gratuito y el concepto de interés surge precisamente de esto,

aunque el Antiguo Testamento prohibía específicamente los préstamos con tasa de interés a

los miembros de una misma comunidad, los teólogos medievales trataron de separar los

diferentes componentes del interés, tales como: el riesgo, el costo de oportunidad, la

inflación, y la inconveniencia de perforar el sólido muro de la prohibición y permitir

algunas filtraciones, para salvar las crecientes actividades comerciales de las

interpretaciones bíblicas ortodoxas. De lo contrario mucha gente estaba dispuesta a

enfrentar el “Castigo Divino”al poner en práctica un sistema mercantilista generalizado.

Para salvar la situación los teólogos desarrollaron sus teorías económicas apoyándose al

mismo tiempo en lo secular y lo sagrado.

Estas teorías con el desarrollo que ha alcanzado la sociedad en sus diversas

manifestaciones, se han transformado a tal punto que en la actualidad los bancos, las

entidades financieras y las personas no están dispuestas a facilitar ninguna cantidad de

4 años

100,000.00

10,000.00 30,000.00

50,000.00

70,000.00

Gráfico 1. 3 (b)



dinero, sin tener en cuenta cierto margen de ganancia o utilidad y todo esto originado por el

concepto de rentabilidad que se medie por el aumento del valor cronológico del dinero.

INTERES ACUMULADO O DEVENGADO

Es el interés generado al final de cierto período de tiempo por efecto del préstamo o

depósito y depende entre otros factores de:

a) La cantidad de dinero prestada o ahorrada

b) Del plazo del préstamo o depósito

c) De la tasa de interés pactada o establecida

METODO DE INTERES SIMPLE

En este método de cálculo de intereses el principal P no sufre ninguna variación en

el tiempo que dura la transacción, es decir, la tasa de interés se aplica solamente al principal

P en base al tiempo estipulado. El Interés Simple I de un principal P en n unidades de

tiempo y a una tasa de interés i, está dado por la expresión:

I = P i n Fórmula 1.1

Donde:

P: principal (cantidad prestada o ahorrada)

n: plazo tiempo de la transacción (préstamo o depósito) que puede ser años, meses, o días

etc.,

i : tasa de interés medida en años, meses, o días etc.,

I: interés acumulado o devengado.

Para el uso correcto de la fórmula (1.1) es necesario que las variables relacionadas

con el plazo (n) y la tasa de interés (i) estén definidas en la misma unidad de tiempo.

Por ejemplo:

a) n = 3 meses, i = 4 % trimestral

b) n = 5 años i = 18% anual

c) n = 10 meses i = 2 % mensual

d) n = 6 meses i = 20 % anual



En este último caso (d) para usar la fórmula se debe convertir 6 meses a 0.5 años o

bien 20% anual a 1.66667% mensual. (Ver ejercicios 1, 2 y 3)

Si la tasa i está dada en año y el tiempo n en días usaremos n/360; si n es en meses

usaremos n/12;

Lo anterior lo presentaremos en la tabla

Casos Plazo Tasa de Interés Fórmula

1 n = años i: anual I = P i n

2 n = meses i: anual I = P i (n/12)

3 n = días i: anual I = P i (n/360)

4 n = semanas i: anual I = P i (n/52)

COMENTARIO: Para determinar n entre fecha y fecha se utilizan todos los

días efectivos entre las fechas respectivas y se dividen entre 360 días

comerciales para anualizar el plazo.

INTERES SIMPLE COMERCIAL U ORDINARIO:

Al interés calculado sobre la base del año comercial que tiene 360 días y cada mes 30 días,

se le llama interés simple comercial u ordinario, es decir:

I = P i (n/360) Fórmula 1.2

Lo anterior provoca que muchas veces, las fechas de pago de un préstamo no

coincidan exactamente con la fecha en que se otorgó el préstamo.

Por ejemplo, un préstamo que se otorgó el 15 de enero de 1997 y con un plazo de 1

año, no necesariamente vence el 15 de enero 98, sino que puede vencer el 10 de

enero debido a que se trabaja con el año comercial de 360 días. Este es el sistema

utilizado comúnmente por las instituciones que trabajan con crédito y finanzas.



INTERES SIMPLE EXACTO:

Al interés calculado sobre la base de 365 días se le llama interés exacto. Por otra

parte el tiempo puede ser calculado de manera exacta y de manera aproximada, por

consiguiente para determinar el interés, las dos partes involucradas en la transacción deben

ponerse de acuerdo respecto al procedimiento que se utilizará.

El interés comercial y exacto son los mecanismos más conocidos y utilizados en la

práctica comercial, se conocen con el nombre de interés bancario.

EJERCICIO No. 1

Una persona realiza un depósito de $ 25, 000 en un banco a una tasa de interés

simple del 20% a plazo fijo de 10 meses, determine el interés devengado.

SOLUCIÓN:

Datos: P = $ 25, 000, n = 10/12 = 0. 83333 año, i = 20% anual

I = P i n =25, 000 ( 0.20) (10/12) = $4, 166.67

EJERCICIO No. 2:

Una persona plantea solicitar un préstamo de C$ 180.000, a 18 meses de plazo

a una tasa de interés simple de 30% anual. Calcule la cantidad que pagará en

concepto de intereses al final del plazo.

SOLUCION:

Datos: p = C$ 180, 000, n = 18 meses, i = 0.30/12 = 0.025 mensual

I = p i n = 180, 000 ( 0.30/12) (18) = C$ 81,000 ;

También da lo mismo, si n = 18/12 = 1.5 años, i = 30% anual ;

o sea: I = p i n = 180,000 (0.30) (18/12) = C$ 81,000



EJERCICIO No. 3:

¿Qué cantidad de intereses devenga un pagaré cuyo valor nominal es $50,000

(dólares) a un plazo de 270 días a una tasa de interés del 0.95% mensual?

SOLUCION:

Datos: p = 50,000, n = 270/360 = 0.75 años

i = 0.0095 (12) = 0.114 anual, luego;

I = p i n = 50,000 (0.114) (0.75) = $4,275;

También resulta lo mismo, si n = 270/30 = 9 meses, i = 0.95% mensual;

o sea: I = p i n = 50,000 (0.0095) (9) = $4,275

EJERCICIO No. 4:

Determinar el interés simple comercial de un certificado de $ 20,000 a plazo fijo

del 6 de enero 2010 al 20 de diciembre 2010 a una tasa del 6.3%.

SOLUCION: Los datos del ejercicio son: p = $ 20,000, i = 6.3% anual, el plazo es de

348 días (ver tabla del cálculo exacto para el numero de días). Entonces el dinero es:

I = pin = 20,000(0.063) (348/360) = $1,218.000

EJERCICIO No. 5:

Se realiza un depósito por $500 a plazo de un año, 4 meses y 16 días en una

institución bancaria que le paga el 0.51% mensual. Determinar el interés que

gana el depósito.

SOLUCION: Los datos son p = $500, i = 0.51/100 mensual, que multiplicado por 12

meses, resulta una tasa de 6.12% anual. El plazo lo convertiremos a años equivalentes de la

siguiente forma:

n = 1 + 4/12 + 16/360 = 1+ 0. 3333333 = 0. 0444444

n = 1.3777777 años (mínimos 8 decimales para expresar el tiempo)



Como la tasa de interés y el plazo están transformados a la misma unidad de tiempo.

Calculemos ahora el interés ganado por el depósito;

I = pin = 500 (0.0612) (1.37777777) = $42.16

EQUIVALENCIA ENTRE SUMAS DE DINERO.

Diferentes sumas de dinero se dice que son equivalentes si tienen el mismo

valor económico, esto quiere decir el valor del dinero en el tiempo, utilizando

conjuntamente una tasa de interés por ejemplo; si la tasa de interés es del 25%

anual, C$ 100.00 hoy son equivalentes a C$100.00 + C$ 25.00 = C$ 125.00 dentro de

un año.

TASAS DE INTERES:

La tasa de interés es la razón del interés devengado respecto al capital inicial.

En otras palabras es la cantidad porcentual que al multiplicarse por el capital

inicial, da como resultado el interés devengado en un período de tiempo

determinado y será denotado por I.

La determinación de la tasa efectiva o verdadera, de interés de un préstamo depende de

la que se haya convenido y el método que el acreedor cargue el interés, si éste se paga

al vencimiento del préstamo, la tasa convenida es la tasa efectiva de interés.

Las tasas de interés bancarias presenta tres resultados: Interés Compuesto Ordinario,

Interés Descontado, e Interés a Plazo.

TASAS DE INTERÉS.

TASA DE INTERES ACTIVA. Es la tasa de interés cobrada por los bancos del sistema

financiero nacional S. F. N. a las personas, instituciones y empresas a las cuales les ha

otorgado financiamiento para alguna actividad económica. Las tasas interés corriente y

moratoria son tasas activas.

TASA DE INTERES PASIVA. Es la tasa de interés pagada por los bancos del sistema

financiero nacional S. F. N. a sus ahorrantes y depositantes en sus diferentes formas y de

alguna manera constituye una tasa de rendimiento, por cuanto el ahorro es una inversión de

bajo riesgo.



Por naturaleza, las tasas de interés activa son mayores que las pasiva, ya que por parte de la

diferencia constituye la rentabilidad del mercado financiero. En Nicaragua, las tasas activas

y pasivas están determinadas según la oferta y demanda de dinero, así como índice de

riesgo de la inversión prevaleciente en el país por diferentes circunstancias.

Estas tasas de interés están determinadas para moneda extranjera (dólar) y para moneda

nacional (córdobas).

En Nicaragua al primer semestre del año 2010, según informe del Banco Central, el

promedio de las tasas de interés pasivas y activas en el SFN para un año de plazo estaba:

Pasiva Activa

Moneda nacional 5.90% 22.47%

Moneda extranjera 2.99% 16.65%

TASA DE INTERES MORATORIA.

Es el porcentaje de recargo que se adiciona a la tasa de interés corriente

pactada, por incumplimiento de pago en la fecha establecida. Generalmente se

calcula en base al tiempo transcurrido posterior a la fecha de vencimiento de la

deuda o cuota. Teóricamente se establece que; cuando el pago de una deuda o

cuota se retrasa, el interés moratorio se calcula, aplicando la tasa de interés (corriente más

moratoria) únicamente al principal de dicha cuota vencida, durante el tiempo en mora de la

cuota. Utilizando el Método de Interés Simple para efectuar el cálculo de interés

moratorio se usa la fórmula (1.3) que se deriva de la fórmula (1.1). Posteriormente este

cálculo se realizará con el Método de Interés Compuesto.

I = Pcv (ic + im) (Tm) Fórmula 1.3

Donde:

I = Interés moratorio

Pcv = Principal de la cuota o pago vencido.

ic = Tasa de interés corriente pactada

im = Tasa de interés mora

Tm = Tiempo de mora de la cuota o pago de la deuda



COMENTARIO: Muchas veces en la práctica, el cálculo de los intereses

moratorios, se derivan en base a una situación contractual (acreedor- deudor),

por eso es importante que el prestatario esté enterado al momento de contraer una

obligación financiera, el procedimiento que utiliza el prestamista para calcular dichos

intereses.

EJERCICIO No. 6:

Una empresa está amortizando una deuda a un banco y paga al final de cada mes

una cuota de valor C$17, 666.67 la cual está vencida y tiene 20 días de mora. El

principal es de C$15,000 y los intereses corrientes del mes son de C$2,666.67, la

tasa de interés corriente sobre el Préstamo es del 32% anual sobre el saldo y la tasa

de interés moratoria es del 8% anual. ¿Qué cantidad deberá pagar la empresa para ponerse

al corriente?

Datos:

Pcv = C$ 15,000 principal de la cuota vencida

ic = 32% tasa de interés anual

im = 8% tasa moratoria

Tm = 20 días de mora de la cuota

SOLUCION:

Aplicando la Fórmula 1.3 tenemos:

34.333$360

208.032.0000,15 CI

Total a pagar: C$17,666.67+C$333.34=C$18,000.00

OBSERVACIÓN Nota: Este mismo ejemplo será resuelto a interés compuesto.



80,000

20,000

80,000

TASA DE RENDIMIENTO O RENTABILIDAD:

La tasa de rendimiento es el porcentaje de utilidad obtenido o que se espera obtener de una

determinada inversión. La tasa anual de rentabilidad (r) responde a la pregunta de cuanto

ganaré o perderé en relación a la inversión efectuada. Es por lo tanto una relación.

r = Rentabilidad en % = INV

G Fórmula 1.4

Donde: G = Ganancia o pérdida de la inversión.

INV = Cantidad invertida.

EJERCICIO No. 7:

Hoy se invierte la cantidad de C$80,000 y dentro de un año espera obtener

C$100,000 y como no conoce de finanzas, quiere averiguar. ¿Cuál será su tasa de

rendimiento esperada?.

SOLUCION:

La ganancia anual de la inversión es igual a (C$100,000 – C$80,000) = C$20,000, o sea:

Ganancia = Ingresos – Egresos. Así la inversión genera un 25% de rendimiento, como se

puede apreciar al utilizar la ecuación 1.4:

r = INV

G = Anual %2525.0

000,80

000,20

000,80

000,80000,100

La anterior operación la podemos visualizar en un diagrama de flujos de caja o fondos de la

siguiente manera: (ver gráfico 1.4)

0 1 año

Gráfico 1.4.



Si la rentabilidad (r) se quiere anualizar, dado que no todas las inversiones son anuales, se

utiliza el factor de anualización, el cual está dado por:

DVdías

360

to vencimiende

360 Fórmula 1.5

Por tanto el rendimiento anualizado de una inversión es,

DVINV

Gr

360* Fórmula 1.6

La tasa de rendimiento descrita anteriormente tiene mucha aplicación en la bolsa de valores

y permite seleccionar la mejor alternativa de inversión en la transacción financiera con

títulos valores.

VALOR FUTURO A INTERESES SIMPLES DE UNA SUMA DE DINERO:

El valor futuro de una cantidad p a interés simple, es la cantidad acumulada

al final de cierto período de tiempo que incluye principal más los intereses

y lo designaremos F.

Si el tiempo n es medido en años, meses o días, el valor presente de una cantidad de dinero

es denominado p, su valor después de cierto período de tiempo y a una tasa de interés i

estará dado por:

F = P+I Fórmula 1.7

Sustituyendo I= Pin en (1.7) por su valor obtenemos una nueva versión de la fórmula

anterior:

F = P (1+in) Fórmula 1.8



EJERCICIO No. 8:

Una persona deposita en un banco C$130.000.00 en certificados de depósito a

término (C.D.T) a 6 meses de plazo. Certificado que devenga el 15% anual.

Determinar:

A. – Los intereses acumulados.

B. - El valor futuro de los certificados.

Datos

P = C$ 130,000.00 n = 6 meses i = 0.15 I =? F=?

Fórmula Solución A:

I = Pin I = (130,000.00) (0.15) (6/12) = C$9,750.00

Fórmula Solución B:

F = P+I F = C$ 130,000 + 9,750.00

F = C$ 139, 750.00

VALOR PRESENTE A INTERES SIMPLE DE UNA SUMA DE DINERO:

El valor presente, es el valor del dinero el día de hoy o el valor del dinero en

cualquier fecha anterior a la de su vencimiento y lo denominaremos P.

De acuerdo la fórmula (1.8) donde F = P(1+in), despejando p obtendremos el

valor presente el está dado por:

in1

FP

Fórmula 1.9



EJERCICIO No. 9:

¿Cuánto recibió el momento de ser otorgado un préstamo industrial, el Sr.

Gonzalo Martínez, si este 9 meses después de otorgado el préstamo pagó un

monto de C$ 165,568.50 a una tasa de interés del 24% anual.

DATOS:

P = ? F = C$165,568.50 n =1 año i = 0.24 .

FÓRMUILA SOLUCION

P = F/(1+in) P = 165,568.50/{1+(0.24) (9/12)

P = 200,000 (0.8474576)

P = C$140, 312.29

EJERCICIO No. 10:

Un inversionista tendrá que pagar dentro de 6 meses la cantidad de C$

300,000, si el banco le aplicó una tasa de descuento simple racional del 26%

anual, calcule el valor líquido que recibió del banco.

DATOS

F = C$300,00 n = 6 meses i = 0.26 p =?

FORMULA SOLUCION

Valor líquido es = P

P = F-D Valor a pagar al vencimiento = F

Donde P = 300,000/ [1+ (0.26) (6/12)

D = F-P P = C$265,486.73 valor recibido del banco

D = C$34,513.27



LOS DESCUENTOS

DESCUENTO BANCARIO:

El descuento simple bancario D es la diferencia entre el valor futuro F a pagar

y el valor presente P. Consiste en cobrar intereses por anticipado calculados

sobre el valor final F documento, así :

1. D = F-P

2. Sabemos por fórmula (1.8) que: F = P+ I

3. Al despejar I tenemos: I = F - P

4. Por 1 y 3 podemos concluir que: D = I

5. En este caso D se calcula: D = F.d.n

6. d es la tasa de descuento

El descuento bancario se emplea generalmente en la transacción de títulos

valores que se negocian en el mercado de valores y se colocan por un valor

más bajo que en el título valor.

Una característica de este cálculo es el tiempo de la tasa de descuento, que a lo sumo es un

año de plazo. En otras palabras, lo que se hace es un descuento sobre el valor facial que

tendrá el título en la fecha de reintegrar el dinero más su ganancia. Debido a esto la tasa de

descuento es menor que la tasa de rendimiento sobre la inversión.

EJERCICIO No. 11:

Una persona compra al Banco Central de Nicaragua un certificado de

inversión cuyo valor facial es de C$ 10,000.00 a una tasa de descuento

del 8.70% a 270 días de plazo. Calcule (a) el valor del descuento (b) la

tasa de rendimiento sobre la inversión.

Principio de Equivalencia:

Una o Varias sumas de dinero pueden

transformarse en otra u otras sumas de

dinero equivalentes con el paso del tiempo

si la tasa de interés utilizada para la

transformación satisface las aspiraciones

del inversionista.



DATOS SOLUCION A

F = C$$10,000.00 Como D = F-P al despejar P obtenemos

D = 0.087 P = F - D precio de compra

P = F (1- du)

N = 270 días P = 10,000-10,000 (0.087) (270/360)

D = ¿? P = 10, 000-652.50 = $9,347.50

Donde D = $ 652.50

SOLUCION B

En este caso para el cálculo de (r), la ganancia = descuento, la inversión = al precio de

compra del bono y los días vencidos = 270. Así, utilizando la fórmula 1.6 obtenemos:

r = (G/INV) (360/DV) = (652.5/9,347.50) (360/270)

r = 0.093073 = 9.3073% anual.

De esta manera esta persona obtuvo una tasa de rendimiento del 9.3073% ligeramente

superior a la tasa de descuento aplicada en la colocación del Certificado.

DESCUENTO SIMPLE O RACIONAL.

El descuento simple racional es de mucho menor uso que el bancario, posiblemente por que

la cantidad que se descuenta es menor. Este descuento se define como la diferencia entre el

valor Futuro F de una cantidad P.

D = F- P

Donde el valor P se calcula mediante la fórmula (1.9) remplazando i por d.



EJERCICIO No. 12:

Calcular el descuento simple del EJERCICIO No. 9.

DATOS: F = $ 10,000, d = 8.7% n = 270 días P =?, D =?

SOLUCIÓN: Por la fórmula 1.9 calculamos el valor presente P;

P = F/ (1 + in) = 10,000/ [1+ (0.087) (270/360)] = $ 9,387.47

Así, el descuento simple resulta ser;

D = F – P = 10,000 – 9,387.47 = $ 612.53

Podemos comparar, y observar que nos es el mismo resultado. Por tanto, el descuento

bancario no es lo mismo que descuento simple; lo que equivale a decir, que en tiempos

iguales y a una misma tasa, el valor actual p con descuento racional es siempre mayor que

el valor actual p con descuento bancario.

DESCUENTOS COMERCIALES.

Es costumbre de las casas comerciales en épocas especiales ofrecer una rebaja

sobre el precio de lista; por ejemplo: promociones de venta; por compras al

mayor, por pronto pago o por otras causas.

DESCUENTO POR COMISIONES.

Estas comisiones se expresan en porcentaje y en su valor no interviene el tiempo, su cálculo

es mediante:

D = F (i) Fórmula 1.10

Donde, D: descuento

F: Valor de la factura del producto vendido.

I: porcentaje de descuento por comisión.



VALOR NETO DE UNA FACTURA. Este valor P es igual al valor facturado F, menos

descuento D, no interviene el tiempo, o sea:

P = F – D = F – F (i)

P = F (1 – i ) Fórmula 1.11.

EJERCICIO No. 13:

Un comerciante ofrece descuento de un 10% sobre mercadería facturada con

valor superior a los $15,000. Un cliente factura una cantidad de $18, 513.45.

¿Qué valor pagará el comerciante?

DATOS

F = $18,513.45, i = 10%, P =?

SOLUCIÓN:

P = F(1 – i) = 18,513.45 (1-0.10) = 18,513.45 (0.90)

P = $16,662.11 valor que pagará el cliente.

DESCUENTON POR PRONTO PAGO.

Los distribuidores y mayoristas en el comercio entre varias alternativas ofrecen

descuentos por pronto pago, según la anticipación del pago en el plazo señalado del crédito.

Es costumbre señalar los descuentos por medio de fracciones cuyo numerador indica en

tanto por ciento y cuyo denominador indica el tiempo dentro del cual el comprador tiene la

opción de pagar, para tener derecho al descuento que señala el numerador.

EJERCICIO No. 14.

Un comerciante factura en un almacén el 15 de octubre del 2009 $80,000 con

las condiciones siguientes: a) 8% al contado b) 5/10 c) 4/20 c), 3/25 d) neto

a 30 días.

Calcular los pagos para cada una de las alternativas.



SOLUCION:

Los pagos en las fechas indicadas se calculan por la fórmula 1.11, y serian las siguientes:

a) P = 80,000 – 80,000 (0.08) = $73,600.00: fecha 15 de octubre.

b) P = 80,000 – 80,000 (0.05) = $76,000.00: fecha 25 de octubre.

c) P = 80,000 - 80,000 (0.04) = $76,800.00: fecha 05 de noviembre

d) P = 80,000 – 80,000 (0.03) = $77,600.00: fecha 10 de noviembre

e) P = 80,000 – 80,000 (0.00) = $80,000.00: fecha 15 de noviembre

DESCUENTO EN CADENA.

Sobre una misma factura se pueden hacer descuentos entre sí. Cada uno de estos descuentos

se efectúa sobre el valor neto de la factura después de deducir el descuento anterior.

EJERCICIO No. 15

La factorización de una mercadería es por valor de $120,000.00. El distribuidor

tiene los siguientes descuentos en ocasión de Navidad 2009 y Año Nuevo 2010.

a) Por comprar al por mayor 6%

b) Por promoción especial 4%

c) Por preferencia del cliente 2%

d) Por noches de compra navideñas 2009 3%

Determinar el valor neto a pagar:



SOLUCION:

Estos descuentos en cadena se presentan en la siguiente tabla:

VALOR DE FACTURA % DESCUENTO VALOR NETO DE FACTURA

$ 120,000.00

$ 112,800.00

$ 108,288.00

$ 106,122.24

6%

4%

2%

3%

$112,800.00

$108,288.00

$106,122.24

$102,938.57

VALOR NETO A PAGAR $102,938.57

Otra forma de cálculo del valor neto de factura es mediante la fórmula que sigue:

P = (1 – i1 ) (1 – i2 ) (1 – i3 )..... (1 – in ) Fórmula 1.12

Donde; ir tasas de descuentos en cadenas, y r = 1, 2,3,....,..., n.

Calculando el valor anterior se tiene el mismo resultado, como se puede observar;

P = 120,000 (1 – 0.06) (1 – 0.04) (1- 0.02) (1 – 0.03)

P = 120,000 (0.94) (0.96) (0.98) (0.97)

P = 120,000 (0.857821) = $ 102,938.57

PAGOS PARCIALES.

En las actividades comerciales, es frecuente la costumbre de utilizar

obligaciones en las que se aceptan pasos parciales o abonos a buena cuenta,

dentro del plazo de la obligación, en lugar de un solo pago en la fecha de

vencimiento.

En la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se

supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, continúa en el



proceso financiero dentro de un mismo juego de intereses, hasta la extinción de la

obligación. En este tipo de obligaciones se presentan varias alternativas y el análisis y

cálculo de los valores en juego deberán hacerse de acuerdo con las condiciones del

comercio y la banca local según el país.

REGLA DE LOS SALDOS INSOLUTOS:

Esta regla conocida como REGLA AMERICANA (United State Rule), el

interés se calcula sobre el saldo no pagado o insoluto de la deuda cada vez

que se efectúa un pago parcial. Si el pago es menor que el interés vencido, el

pago se lleva sin interés hasta que se hagan otros pagos parciales cuyo monto

exceda al interés vencido a la fecha del último de dichos pagos parciales.

La regla funciona mediante un proceso iterativo, en el cual se indica que cada vez que se

hace un pago debe calcularse el monto de la deuda hasta la fecha del pago y restar a ese

monto el valor del pago; así, se obtiene el saldo insoluto en esa fecha. Este proceso se repite

hasta calcular el saldo en la fecha de vencimiento, que será igual al último pago parcial y

que saldará totalmente la deuda. La incógnita del procedimiento es hallar el valor del

último pago parcial en la fecha de vencimiento y que liquida totalmente la deuda.

EJERCICIO No. 16:

Una persona compra un artículo electrodoméstico por valor de $10,000 en una

casa comercial de Managua, conviene en pagar $ 3,000 al contado y el saldo a

plazo de un año con intereses de 2% mensual, para el cual hará los siguientes

pagos: $4,000 y $2,000 a los tres y ocho meses respectivamente posterior fecha

de contraída la deuda. Calcular el saldo a pagar en la fecha de vencimiento.

SOLUCION:

Valor del artículo.............................................................. $10,000.00

Menos primer pago de contado........................................ $ 3,000.00

Saldo inicial..................................................................... $ 7,000.00

Monto de la deuda de los tres meses................................. $ 7,420.00

Menos segundo pago parcial............................................ $4,000.00

Saldo de la deuda a los tres meses.................................... $3, 420.00



Monto de la deuda a los ocho meses................................ $3,762.00

Menos tercer pago parcial................................................. $2,000.00

Saldo de la deuda a los ocho meses................................... $1,762.00

Monto de la deuda a los doce meses.................................. $1,902.96

Menos cuarto pago parcial................................................. $1,902.96

Saldo de la deuda al vencimiento...................................... $00000000

El uso de la regla de los saldos insolutos le permite al prestamista, ganar intereses

capitalizados, en cada fecha de los pagos parciales.

Por ejemplo, si un deudor de una obligación con intereses del 24% a un año de

plazo, hace pagos mensuales con esta regla, se le cobra sobre saldos el 2%

mensual con capitalización mensual, es decir intereses compuestos y no simples.

Otra forma de expresar los resultados del EJERCICIO No. 16, es a través de la

elaboración del calendario de pago de la amortización no periódica de la deuda,

considerando que todo pago o cuota Ck contiene dos elementos importante: los intereses

devengados en período Ik y la amortización al principal Ak que disminuye el saldo insoluto,

donde K representa el k-eximo pago parcial con 1< k < N; así la cuota o pago se expresa:

Ck = Ak + Ik Fórmula 1.13

Donde

Ck = valor de la cuota periódica

Ak = principal de la cuota, es una cantidad que es aplicable directamente a la deuda y la

disminuye

Ik = intereses de la cuota

k= numero de periodos o de pago que queremos cancelar la deuda



El calendario de pago del EJERCICIO No. 16 se presenta en la siguiente tabla.

NUMERO DE

PAGO

AMORTIZACION

AL PRINCIPAL

INTERES

DEVENGADOS

VALOR DEL

PAGO SALDO

0

1

2

3

4

$ 000000

$3,000.00

$ 3,580.00

$ 1,658.00

$ 1,762.00

$ 000000

$ 000000

$ 420. 00

$ 342. 00

$ 140. 00

$ 00000000

$ 3 , 000.00

$ 4 , 000.00

$ 2 , 000.00

$ 1 , 902.96

$ 10, 000.00

$ 7, 000.00

$ 3, 420.00

$ 1, 762.00

$ 00000000

Total:

$ 25, 000. 00

$ 2,337.89

$27, 337.89

SALDO

PAGADO

EJERCICIO No. 17:

Supongamos en el ejemplo anterior, que el cliente se retrasó 25 días en el

pago de 3 de $ 2,000 y que los intereses en mora se cobran al 12%.

¿Qué valor deberá pagar para ponerse al corriente?

SOLUCION:

Todo pago o cuota por lo general está compuesto (según la fórmula 1.13 ) por;

Ck = Ak + Ik

Donde C3 = $2,000.00, A3 = $1, 658.00, I3 = 342.00

En este caso los intereses en mora se cobran sobre la base del principal vencido ($

1,658.00) del pago correspondiente, durante el tiempo retrasado. Por la fórmula (1.3) esto

es:

Imo = (1,658) (0.02 + 0.02/12) (25/30)

Imo = (1,658) (0.03) (0.83333333) = $ 41.45

Por tanto el pago con mora es: $ 2,000 + $ 41.45 = $2041.45



Obsérvese que tanto la tasa de interés como el tiempo en mora se

transformaron a meses equivalentes, también se pudo haber transformado a

año comercial y el resultado sería el mismo.

TABLA PARA HALLAR EL NÚMERO EXACTO DE DIAS ENTRE DOS FECHAS:

A continuación se te presenta la siguiente tabla, por medio de la cual es posible hallar,

fácilmente el número exacto de días que abarca cualquier período de tiempo dentro de un

año particular.

Desde

cualquier

día

Al mismo día del Próximo

Meses Enero Febre. Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septi. Octub. Noviem

bre

Diciemb

re

Enero 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

Febrero 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

Marzo 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

Abril 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

Mayo 245 276 304 335 365 31 61 92 23 153 184 214

Junio 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

Julio 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

Agosto 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

Septiemb 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91

Octubre 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

Noviemb 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

Dieciem. 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365



REGLAS PARA USAR LA TABLA:

1.- Para obtener el número exacto de días comprendidos entre cualquier fecha de un mes y

la misma de cualquier otro me, hállese el número de la tabla situada en la columna

encabezada por el mes terminal y en la línea correspondiente al nombre del mes inicia.

2.- Cuando el número del día del mes terminal es mayor que el número del día del mes

inicial, hállese en la tabla el número que corresponde al número de días comprendidos entre

las mismas fechas de los dos mese, como en el caso (1), y préstesele la diferencia entre el

número del día del mes inicial y el mes terminal.

3.- Cuando el número del día del mes inicial es mayor que el del día del mes terminal,

hállese el número de la tabla que corresponde al número de días comprendidos entre las

mismas fechas de los dos mese, como en el caso (1), y réstesele la diferencia entre el

número del día del mes inicial y el mes terminal.

Por Ejemplo: Hállese el número exacto de días usando la tabla desde:

Caso solución

a) el 4 de enero al 4 de septiembre...........................................................243 días

b) el 9 de marzo al 19 de agosto............................................ 153 + 10 = 163 días

c) el 23 de mayo al 7 de noviembre ......................................184 – 16 = 168 días



PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERÉS SIMPLE

Formulas de Interés Simple

I = Pin

F =P (1 + i n)

P =F (1 + in)-1

F = P + I

I = interés; F = valor futuro; P = Capital; i = tasa de interés.

CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE COMERCIAL DE:

a. $2.500 durante 8 meses al 8%.

P = $2.500 n = 8 meses i= 0,08

I = 2.500 * 8/12 * 0.08 = $133.33 Respuesta

b. $60.000 durante 63 días al 9%.

P =$60.000 n =63 días i =0,09

I = 60.000 * 63/360 * 0.09 = $ 945.00 Respuesta

c. $12.000 durante 3 meses al 8½ %.

P =12.000 n =3 meses i =0,085

I = 12.000 * 3/12 * 0.085 = $ 255 Respuesta

d. $15.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre.

Del mismo año.

P =$15.000 i =0,10 n =167 días

I = 15.000 * 0.10 * 167/360 = $ 695,83 Respuesta

http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT

http://www.monografias.com/trabajos7/tain/tain.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/capintel/capintel.shtml

http://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtml



e. $8.000 durante 7 meses 15 días al 1,5% mensual.

P = $8000 n =7,5 i = 0,015

7 meses + 15 días * 1 mes =7,5 meses

Meses de 30 días

I = 8.000 * 7.5 * 0,015=$900. Respuesta

2. Un señor pago $2.500,20 por un pagaré de $2.400, firmado el 10 de abril de 2010 a un

4.5 % de interés. ¿En qué fecha lo pagó?

F = 2.500,20

P =2.400

i = 0.045

n =?

F = P (1 + in)

2.500,20 = 2400 (1 + 0,045 n)

0,04175 = 0,045 n

n = 0,9277 años Respuesta 10 de marzo de 2011

3. Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120.000 a un interés del 8% el 15 de

julio con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro

inversionista que desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer

inversionista?

F =120.000 (1 + 0,08 * 150/360) =124.000

= 124.000 (1 + 0,1 * 53/360)-1

= 122.000,93 Respuesta

http://www.monografias.com/trabajos2/letradecambio/letradecambio.shtml

http://www.monografias.com/trabajos54/interes-compuesto/interes-compuesto.shtml



4. Una persona debe cancelar $14.000 a 3 meses, con el 8% de interés. Si el pagará tiene

como cláusula penal que, en caso de mora, se cobre el 10% por el tiempo que exceda al

plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?

F = 14.000(1 + 0,08 * 3/12) = 14.280 Valor de vencimiento

F = 14.280(1+0,1 * 70/360) =14.557,67 respuesta - valor de mora.

5. Una persona descuenta el 15 de mayo un pagaré de $ 20.000 con vencimiento para el 13

de agosto y recibe & 19.559,90. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático se le

descontó el pagaré?

F = P (1+ in)

20.000=19.559,90 (1 + i * 90/360)

i =0, 09 è 9% Respuesta

http://www.monografias.com/trabajos7/perde/perde.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/tramat/tramat.shtml#COBRE



6. Una persona debe $20.000 con vencimiento a 3 meses y $16.000 con vencimiento a 8

meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses

y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagarás al 8% de

rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año).

F1=20.000(1+0,08 * 9/12)= 21.200

F2=16.000(1+0,08 * 4/12)= 16.426,67

Deuda = 21.200 + 16.426,67

Deuda = 37.626,67

Pagos

P1 = x (1+0,08 * 6/12) =1,04 x

P2 = x

Pagos =P1 +P2

Pagos =2,04 x

Deuda = Pagos

37.626,67=2,04 x

Valor de los pagarés 18.444,45 cada uno /Respuesta

Nota: En este problema como en todos los similares debe llevarse los valores de las deudas

a la fecha focal, en este caso 12 meses, para poder efectuar operaciones sobre estos valores.

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos35/el-poder/el-poder.shtml

http://www.monografias.com/trabajos6/diop/diop.shtml



PROBLEMAS DE DESCUENTO

Formulas para Descuento Real

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 + d * t)-1

Las formulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalencias.

i = d tanto por ciento/tasa de descuento

I = D descuento

VF =VN valor nominal

C =VP valor presente

Formulas de Descuento Comercial

D = VP * t * d

VN= VP + D

VN = VP (1 + d* t)

VP = VN (1 - d * t)

Determinar el valor líquido de los pagarés, descontados en un banco a las tasas y fechas

indicadas a continuación:

a. $20.000 descontados al 10%, 45 días de su vencimiento.

20.000(1- 0.1 * 45/360)= 19.750 Respuesta

b. $18.000 descontados al 9%, 2 meses antes de su vencimiento.

18.000(1-0.09 * 2/12)=17.730 Respuesta

http://www.monografias.com/trabajos11/bancs/bancs.shtml



c. $14.000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de

septiembre del mismo año.

14.000(1-0.08 * 95/360)=13.704,44 Respuesta

d. $10.000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14

de febrero del año siguiente.

10.000(1-0.1 * 86/360)=9.761,11 Respuesta

2.2. Alguien vende una propiedad por la que recibe los siguientes valores el 9 de julio

de cierto año:

a. $20.00 de contado

b. Un pagaré por $20.000, con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.

c. Un pagaré por $30.000, con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año.

Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9%, calcular el valor real de la venta.

a. 20.000 contado

b. 20.000(1-0.09 * 92/360)=19.540

c. 30.000(1-0.09 * 153/360)=28.852,5

Total =20.000 + 19.540 + 28.852,5 = $68.392,50 el valor real de la venta Respuesta

2.3 Un pagaré de $10.000 se descuentan al 10% y se reciben del banco $9.789.

Calcular la fecha de vencimiento del pagaré.

10.000=9.789 (1+0.1 * t)

t = 0,21 años

0,21 años * 12 meses = 2,52 meses Respuesta

http://www.monografias.com/trabajos10/hisme/hisme.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/curclin/curclin.shtml



2.4 El Banco Ganadero descuenta un pagaré por $80.000 al 10%, 90 días antes de su

vencimiento, 5 días después lo redescuenta en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la

utilidad del Banco Ganadero.

80.000(1-0.1 * 90/360)=78.000

80.000(1-0.09 * 75/360)= 78.500

Utilidad 78.500-78.000= 500 Respuesta

2.5 ¿Qué tasa de descuento real se aplico a un documento con valor nominal de 700

dólares, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron 666,67 dólares

netos?

700=666,67(1 + i 60/360)

i = 0.30 è 30% Respuesta

2.6 ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron 146,52 dólares, si

se descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?

146,52 = VF (1 - 0,49 * 85/360)

VF = 165,68 Respuesta.

http://www.monografias.com/trabajos4/costo/costo.shtml



PROBLEMAS PROPUESTOS DE INTERÉS SIMPLE

Resuelva los siguientes ejercicios. Verifique las respuestas que se ofrecen

1) Calcule el Monto (F) y el Interés Simple Comercial (I) de :

a) La cantidad de C$ 22,840 desde el 20 de octubre de 2009 al 16 de mayo de 2010 al

18%. Respuestas: C$ 2,375.36, C$ 25,215.36

b) La cantidad de C$ 18,547.80 durante 123 días al 1.2% mensual.

Respuestas: C$ 912.55, C$ 19,460.35

c) La cantidad de C$ 20,340.54 desde el 12 de noviembre de 2009 al 23 de junio de

2011 al 20%. Respuestas: C$ 6,667.18, C$ 27,007.72.

d) La cantidad de C$ 50,400 durante 142 días al 24%.

Respuestas: C$ 5,171.20, C$ 4,771.20 e) La cantidad de C$ 65,500 desde el 10 de julio 2009 al 15 de noviembre 2010, al

24.55%. Respuestas: C$ 87,521.00, C$ 22,021.00.

f) La cantidad de C$ 18,146 durante 10 meses y 25 días al 25%.

Respuesta: C$ 22,241.45, C$ 4,095.45.

g) La cantidad de C$ 150,800 desde el 3 de febrero al 25 de octubre del mismo año, al

0.9% mensual. Respuestas: C$ 162,743.36, C$ 11,943.36

h) La cantidad de C$ 10,000 durante 8 meses y 18 días al 0.88% mensual.

Respuestas: C$ 10,756.80, C$ 756.80

2) Una inversión de C$ 150,000 genera intereses pagaderos al final de cada tres meses por

la Cantidad de C$ 7,000 durante 9 meses. Calcule la tasa de rendimiento sobre la

inversión. Respuesta: r = 18.67%

3) En qué tiempo un capital de C$ 30,420.

a) Produce C$ 7,500 al 20% de interés simple?

Respuesta: 1 año, 2 meses, 6 días.

b) Alcanza un monto de C$ 35,450.65 al 20% de interés simple?

Respuesta: 9 meses, 27 días.

c) Produce C$ 5,635 al 18% de interés simple?

Respuesta: 1 año.

4) El monto de un préstamo es de C$ 80,000 que vence dentro de 10 meses a una tasa de

20%. Calcule su valor.

a) el día de hoy

b) Dentro de un año y 20 días.

c) Dentro de 9 meses

d) Dentro de 2 meses y 10 días

e) Dentro de 15 meses.

Respuestas:

a) C$ 68,571.43, b) C$ 83,555.55, c) C$ 78,688.52, d) C$ 70,935.96, e) C$ 86,666.67.

http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT




5) calcular la tasa de interés a la cual el monto de C$ 10,000 es C$ 11,436 en 8 meses.

Respuesta: 21.54%

6) El señor López compra un pagaré de C$ 200,000 en la Bolsa de Valores que gana

intereses del 24% a 16 meses de plazo. Ocho meses después el señor López decide

vender el pagaré.

a. Cuanto recibirá si la tasa en el mercado es de 20%

b. Que tasa de rendimiento obtuvo sobre la inversión

Respuesta: a) 232,941.17, b) 24.7%

7) Se colocan C$7.800 durante 4 bimestres en una agencia financiera que ofrece el 6%

semestral. ¿Cuánto ganarán de intereses y cuánto se acumulará al final del período?

8) Cierto capital gana C$157,50 de intereses al colocarlos durante 4 meses y medio en una

institución que paga el 30% anual. Determine cuánto se invirtió y cuánto se acumula.

9) Se adquiere una maquinaria por C$ 5 mil, dando al momento de la compra un 40% de

inicial, financiando el resto durante 7 trimestres. De esta forma, terminan pagándose

C$1.155 de intereses. ¿Qué tasa anual le fue aplicada? ¿Cuánto pagó en total por la

maquinaria?.

10) ¿Cuántos meses deben transcurrir para que C$ 812 colocados al 2,2% bimensual se

conviertan en C$ 910,252?.

11) Una empresa decide invertir C$ 6.300 durante 8 bimestres a una tasa que le garantice

que ganará C$ 2.419,20. ¿A qué tasa trimestral deberá invertir?.

12) El 24 de Marzo, el Sr. Diógenes invierte C$960 al 2,1% mensual y mantendrá su

inversión hasta que su dinero se convierta en C$1141,44. ¿Cuándo lo retirará?.

13) Una cuenta de ahorros ofrece el 0,05% diario. Decido guardar allí C$ 2.900 durante 5

meses y 10 días. ¿Cuánto retiraré al final del período? ¿Cuánto si lo dejo un año?.

14) Se adquiere un repuesto a crédito y el vendedor lo financia al 1,8% quincenal. La

operación dura 7 meses y 18 días y se terminan pagando C$ 725,925 por el repuesto.

Determine su valor de contado.

15) Un terreno se compra, pero a los dos años y 5 meses se vende por C$ 6.478,70, luego

de ganar C$ 2.038,70 por inflación. ¿Qué tasa de inflación semestral se está usando?

16) Un capital de C$ 4.200 se invierte en dos bancos: 9/14 partes en el BANPRO, al 22%

durante 10 meses, y el resto en el BDF, al 20% durante 1 año y un mes. Determine: a)

El monto final de su inversión. b) La tasa de interés que realmente aplicó a su inversión



17) El señor Moreno recibe C$ 55 mil como premio de una lotería y decide invertirlos de

la siguiente manera: El 30% durante 5 trimestres en una institución financiera que le

ofrece el 19% de interés simple anual y el resto durante 1 año y dos meses en un banco

que le da el 23% anual simple. Determine el total de intereses que percibirá y el capital

que tendrá al final de las inversiones.

18) Agropecuaria Palo Alto decide comprar un lote de maquinarias de siembra por un total

de C$ 650 mil. Como cuota inicial, la empresa aporta el 20%, dejando el resto para ser

financiado en 2 años y medio por una agencia que cobra el 8% semestral simple.

Determine de cuánto será el pago que deberá realizar la Agropecuaria para liquidar su

deuda al final del período

19) Una empresa decide colocar cierto capital durante 9 meses al 22,5% anual en un

banco. Al final de ese período, tras ganar C$810 de intereses, tiene un total de C$5.610.

Determine cuánto fue el capital colocado.

20) ¿A qué tasa de interés mensual hay que colocar C$ 500 para que, al pasar un semestre

se conviertan en C$ 551 ?

21) El 4 de Abril coloqué C$ 7 mil en una cuenta de ahorro VIP que me ofrece el 2%

simple mensual. Deseo retirar mi dinero cuando haya ganado C$ 616 de intereses.

¿Cuándo debo realizar el retiro?

22) Se coloca cierto capital al 20% anual. Determine cuánto tiempo pasará para que este

capital se duplique..

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS DEL 7 AL 22

7) Intereses = C$624 ; Monto final = C$8.424

8) Se invirtieron C$ 1400; Se acumulan C$ 1557,50

9) Tasa aplicada = 22% anual ; Total pagado = C$ 6.155

10) Deben transcurrir 11 meses

11) Tasa = 7,2% trimestral

12) El día de Navidad (25 de Diciembre)

13) A los 5 meses y 10 días Retirará C$ 3.132 ; Al año Retirará C$ 3.422

14) Valor de Contado = C$ 570



15) Tasa semestral de inflación = 9,5%

16) Monto final = C$ 5.020 ; Tasa real aplicada = 18,02% anual

17) Intereses percibidos = C$ 14.249,58 ; Capital Final = C$ 69.249,58

18) Deberá pagar C$ 728 mil

19) Se colocó un capital de C$ 4.800

20) Tasa = 1,70% mensual

21) Debo retirar el 14 de Agosto (132 días mas adelante)

22) 5 años

TEMA II: CALCULO DE INTERES COMPUESTO

En la unidad anterior abordamos problemas de interés simple, donde el

capital permanecía invariable o constante durante todo el tiempo que

duraba la transacción y que los intereses se retiraban periódicamente.

Cuando utilizamos el método de INTERES COMPUESTO,

observamos que el capital va aumentando en cada período; por cuanto

el interés se va integrando al capital para luego calcular intereses sobre un nuevo monto

en cada período. Por ello es muy corriente decir que en el interés compuesto “los

intereses ganan intereses”, porque se capitalizan en cada período de interés.

CALCULO DEL VALOR FUTURO A INTERES COMPUESTO.

Para deducir la fórmula general del cálculo del interés compuesto, calcularemos

primeramente el valor futuro, partiendo del ejercicio siguiente:



EJERCICIO No. 17:

Una persona deposita en un banco US$ 1,000 en una cuenta de ahorro a plazo

fijo de un año. El Banco capitaliza el interés trimestralmente a una tasa del

2% trimestral, cual será el valor de la cuenta final del año?

Ilustremos la situación en la siguiente tabla

PERIODO

TRIMESTRAL

VALOR

PRESENTE

P, INICIO DE

PERIODO

INTERES EN

TRIMESTRES I,

I = Pin

VALOR FUTURO

F

FIN DE

PERIODO

1

2

3

4

$ 1,000.00

$ 1,020.00

$ 1,040.40

$ 1,061.21

1,000.00 (0.02) = 20.00

1,020.00 (0.02) = 20.40

1,040.40 (0.02) = 20.81

1,061.21 (0.02) = 21.23

$ 1,020.00

$ 1,040.40

$ 1,061.21

$ 1,082.43

Los nuevos montos o valores futuros para cada período, se muestran a continuación en

el gráfico de capitalización, donde el interés se suma o se integra al capital en cada

trimestre.

DIAGRAMA DE FLUJO

1, 020 1,040.40 1,061.21 1,082.43

0 1 2 3 4

1,000



La situación anterior la podemos representar gráficamente, mostrando el valor presente y el

valor futuro así: (ver gráfico SIGUIENTE).

US$1,082.43

0 1 2 3 4

US$1,000

La fórmula general para el cálculo de interés compuesto la deducimos a partir de los

resultados anteriores, la cual se muestra en la siguiente tabla.

PERIODO VALOR PRESENTE P,

INICIO DE PERIODO

INERES I

DEL

PERIODO

VALOR FUTURO F, FIN DE

PERIODO

1

2

3

4

5

.

.

.

n

P

P (1+ i)

P(1+i )2

P(1 + i)3

P(1 + i)4

.

.

.

P (1 + i ) i-n

Pi

P (1+ i)i

P (1+ i)2

i

P (1+i)3

i

P (1+i )4

i

.

.

.

P (1 + i ) n-1

i

P + Pi = P (1 + i)

P(1 + i )+ P (1+i)i = P (1 +i)2

P(1 + i )2+ P (1+i)

2 i = P (1+i)

3

P(1 + i )3+ P (1+i)

3 i = P (1+i)

4

P(1 + i )4+ P (1+i)

4 i = P (1+i)

5

.

.

.

P (1+i) n-1

+P (1+i)n-1

i =P (1+i)n

A B = A + B



De lo anterior podemos generalizar la fórmula de valor futuro a interés compuesto para N

períodos de la siguiente manera:

F = P(1+ie) n

Fórmula 2.1

Donde

F = Valor futuro (monto de una deuda).

P = Valor presente (principal de una deuda).

ie = Tasa de interés efectiva anual.

n = Plazo en años y total de capitalizaciones de la operación financiera.

También la fórmula 2.1 es equivalente a la siguiente:

F = P(1+j/m)m-n

Fórmula 2.2

O bien:

F = P(1+i)N

Donde

j = Tasa de interés nominal periódica o tasa convenida para una operación

financiera.

m = Frecuencia de capitalización de los intereses según la tasa nominal j.

n = Tiempo o plazo de la operación financiera.

N = m.n = número total de capitalizaciones de intereses.

i = j/m tasa de interés efectiva para períodos de capitalización menores que un año.

Retomando el EJERCICIO No. 17 y resolviéndolo por la fórmula (2.1) obtenemos el

mismo resultado.



DATOS SOLUCION

P = US$ 1,000 F = P(1+i)N

i = 2% = 0,02 trimestral F = 1,000 (1+0.02)4

n = 1 año F = 1,000 (1+082432)

m = 4 F = US$ 1, 082.43

N = 4 (1) = 4

F = ?

Observamos que el resultado es el mismo, tanto por deducción, como por inducción. En la

solución anterior se recalca que el valor de 0.02 es lo que gana un dólar en un trimestre y

4x1 es el número de capitalizaciones durante el tiempo de la transacción, lo que significa

que US$ 1,000 colocados al 0.02 trimestral producen al cabo de 4 trimestres un monto o

valor futuro de US$ 1,082.43 dólares.

EJERCICIO No. 18:

Deducir los datos para cada una de las siguientes transacciones financieras de

un cierto capital P invertido a la tasa indicada y al plazo determinado:

1-.Tasa del 20% convertible semestralmente a cinco años de plazo.

2-.Tasa del 24% convertible mensualmente a 16 meses de plazo.

3.-Tasa del 1.5% mensual a tres años de plazo.

SOLUCION:

DATOS DE 1: DATOS DE 2: DATOS DE 3: DATOS DE 4:

P = Capital P = Capital P = Capital P = Capital

J = 0.20 j = 0.18 j = 0.24 j = 0.18

m = 2 m =12 m = 4 m = 12

n = 5 n = 16/12= 1.3333 n = 18/12 =1.5 n = 3

N = 10 N = 16 N = 6 N = 36

F=? F =? F = ? F = ?



EJERCICIO No. 19:

El lector puede el lector puede proponerse una cantidad específica para P y

calcular el valor F, utilizando las fórmulas 2.1 y 2.2. De esta forma

comprobará que el resultado es el mismo para cada transacción realizada.

DIFERENCIAS ENTRE EL INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO.

Fundamentalmente existen dos diferencias entre ambos métodos:

a) La aplicación de los métodos difiere en respuesta al tipo de transacción financiera

efectuada: si los intereses son pagaderos por período, actúa el interés simple. Si los

intereses son integrados al principal en cada período de capitalización, actúa el interés

compuesto.

b) El crecimiento de una inversión específica se da de forma más acelerada para un mismo

plazo y una misma tasa de interés. Si observamos el EJERCICIO No. 17 resuelto en el

cuadro podemos apreciar que el monto a interés compuesto de US$ 1,000 colocados a

una tasa del 0.02 trimestral, durante un año es US$ 1,082.43. En cambio si realizamos

el cálculo a interés simple detectamos que se produce una ligera disminución de US$

2.43 en el monto o valor futuro de la misma transacción. Efectuando los cálculos e

interés simple conforme la fórmula (1.11) confirmamos lo señalado.

DATOS: SOLUCION:

P = US$ 1,000 F = P (1 + in)

I = (0.02) 4 = 0.08 anual F = 1,000 [1 + (0.08) (1)]

n = 1 año F = 1,000 (1.08)

F = ? F = US$ 1,080.00

El método de cálculo del interés compuesto, hace crecer al principal o capital invertido de

forma exponencial, en vista del proceso de capitalización de los intereses por períodos de

acuerdo a la especificidad de la tasa, a la cual se coloca el capital.

Observemos en el EJERCICIO No. 17 como el valor futuro a interés compuesto crece más

rápidamente que el valor futuro a interés simple, por efecto de la capitalización de los

intereses. El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráfico

corresponde al de una función exponencial; por el valor futuro a interés simple crece con

progresión aritmética y su uso gráfico corresponde a una función lineal.



Como ejercicio dejamos al lector que deduzca la relación entre las tasas de interés simple y

compuesto y dibuje los gráficos a interés simple y compuesto correspondientes al

EJERCICIO No. 17.

CALCULO DEL VALOR PRESENTE A INTERES COMPUESTO.

El valor presente o actual, es el valor del dinero el día de hoy o el valor del

dinero en cualquier fecha anterior a la de su vencimiento. El cálculo del

valor presente responde a las siguientes preguntas: Si se desea una determinada cantidad de

dinero en el futuro, ¿Cuanto se tendrá que invertir hoy, conociendo la tasa de interés y el

plazo de la Inversión? Otra forma de uso valor presente, es por ejemplo, la determinación

del valor actual de una deuda pendiente, si se desea pagarla por adelantado antes de la

fecha de su vencimiento.

De la formula (2.1) o (2.2) al despejar la variable P obtenemos el valor presente a interés

compuesto, de la siguiente manera:

F = P (1+i) N

Fórmula 2.4

Al despejar la fórmula (2.4) obtenemos lo siguiente:

P = F (1+i)-N

Fórmula 2.4

Toda las variables básicas que intervienen en las formulas (2.1) y (2.2), son validas para

formulas (2.4)



EJERCICIO No. 19:

Determinar el valor futuro de un depósito de $100,000 al 8% de interés,

capitalizable semestralmente y a un plazo de 2 años, 3 meses y 20 días.

DATOS

p = $100,000 principal. j = 8% = 0. 08 anual

m = 2 frecuencia de capitalización de los intereses anualmente.

n = 2 + (3/12) + (20/360) = 2.305555 años = 27.6667 meses

N = m (n) = 2(2.305555) = 4.611111 total de capitalizaciones.

i = j/m = 0.08/2 = 0.04 tasa efectiva por semestre.

F =? Valor futuro

SOLUCION

F = P (1+i) N

fórmula de valor futuro

F = 100,000 (1+0.04)4.611111

F = 100.000 (1.198236) = $119,823.67

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P = $100,000.00

F=?

27.6667 meses



EJERCICIO No. 20:

Una persona obtiene un préstamo de C$ 75,500 a 10 años de plazo, con

intereses del 12% anual efectivo. Determinar el valor futuro que deberá

pagar en la fecha de vencimiento.

DATOS:

Cuota inicial = C$ 55,000 F = C$ 125,000 m = 4 N = 8 trimestres

P = Valor de contado de la casa. j = 0.24 i = 0.24/4 = 0.06 tasa efectiva por trimestre.

P =?

SOLUCION:

P = Cuota inicial + f (1+i)-N

= 55,000+122,500 (1.06)-8

=

55,000+122,500 (0.627412371) = 55,000+76,858.02 =C$ 131,858.02

P = C$75,000

Grafico 2.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

F =?

Años



CALCULO DEL NÚMERO DE PERIODOS:

El cálculo del numero de periodos a interés compuesto nos es útil para saber en que tiempo

se puede alcanzar un monto prefijado de una determinada inversión realizada el día de hoy,

a partir del conocimiento de la tasa de interés que actúa en la transacción.

Deducción de la formula:

De la formula 2.1 se sabe que,

F = P (1+i) N

formula 2.1

Se trata de despejar N de la siguiente manera:

(1+i)N = f/p

Aplicando logaritmo natural (1n) a la ecuación anterior en ambos miembros tenemos;

1n (1+i) N

= 1n (f/p)

N1n (1+i) = 1n (f/p)

De donde al despejar N se obtiene la formula deseada:

𝑁 =𝑙𝑛

𝑓𝑝

𝑙𝑛(1 + 𝑖)

EJERCICIO No. 21:

Una persona invirtió en un C.D.T (certificado de depósito a término) la

cantidad de C$15,000 y le redimieron C$30,596.01. Determinar el plazo del

certificado si la tasa de interés era del 25% efectivo.

DATOS SOLUCION

P = C$15,000

F = C$30,596.01 i

p

f

N

1ln

ln



i = 0.25 annual

N =?

añosN

N

19444444.3

2231435.0

7128196.0

25.1ln

0397345.2ln

25.01ln

000,15

01.596,30ln

Significa que el plazo del C.D.T es 3.1944444 años. Para ser más exacto esto es: 3años, 2

meses, 10 días.

EJERCICIO No. 22:

Un señor está interesado en acumular la cantidad de C$50,000 para

comprarse un automóvil usado. En este momento dispone de C$20,000 y

decide para su propósito, depositarlos en una cuenta de ahorro a plazo fijo

en un Banco que paga el 12% convertible trimestralmente.

¿Que tiempo deberá esperar este señor para comprar el vehículo?

DATOS SOLUCION

P = C$ 20,000

F = C$ 50,000 i

p

f

N

1ln

ln



J = 0.12

03.1ln

5.2ln

03.01ln

000,20

000,50ln

N = 029558802.0

916290731.0

m = 4 i = 0.12/4 =0.03

N=? N = 30.99891276 trimestres

Lo que significan: 7años, 8 meses, 29dias, 21 horas, o sea

7 años, 9 meses aproximadamente.

2.5- CALCULO DE LA TASA DE INTERES.

Para calcular la tasa de interés i la despejamos en la formula 2.1de la siguiente manera:

= P (l+i) N

= f

= (l+i) N

= f/p

= l + i = pf /1/N

- l

i = pf /l/N

– l Formula 2.7

Por ejemplo, si una persona invierte $15,000 y dentro de 5 años le devuelven $24,157.65.

Que tasa de interés gana?

I = [f/p] 1/N

- l = [24,157.65/15,000]1/5

– l = 10% anual

LAS TASAS NOMINALES Y LAS TASAS EFECTIVAS.

Al iniciar esta unidad abordamos un tanto las tasas de interés sin profundizar en su

significado. Trataremos de aclarecer los conceptos relacionados con las tasas nominales y

las tasa efectivas; así mismo, la relación entre ellas y la relación entre dos tasas nominales.



TASA NOMINAL

Es la tasa de interés que la denominaremos j, que se pacta generalmente a un

año y el pago de interés se puede acordar que se realice cada día, cada mes,

cada 2 meses cada 3 meses, cada 6 meses etc. Esto no es otra cosa que acordar

periodos de intereses diarios, mensuales, bimestrales, trimestrales etc. De ahí

que una tasa nominal es aquella que se expresa sobre la base de un año con periodos de

capitalización diario, mensual trimestral etc.

Lo anterior quiere decir que la tasa nominal es igual a la tasa de interés del periodo

multiplicada por el número de periodo al año.

EJERCICIO No. 23:

Una tasa nominal del 30% convertible o capitalizable mensualmente, nos

proporciona una tasa periódica del 2.5%, o sea:

i = j/m = 0.30/12 = 2.5% mensual, donde la tasa nominal anual es

j = (i) (m) = (0.025) (12) = 30%

TASA EFECTIVA.

Esta tasa determina la cantidad de utilidad periódica que realmente se adiciona

al capital en el instante que se liquida; es decir, es la tasa de rentabilidad a

interés compuesto. La tasa efectiva también puede ser diaria, mensual,

bimensual, trimestral etc. Para periodos de interés menores que un año la tasa efectiva se

denota por i y cuando el periodo es un año la denotamos por ie.

Cuando la tasa nominal establece periodos de capitalización una sola vez al año, entonces

decimos que la tasa nominal j es igual a la tasa efectiva anual ie.

Cuando los intereses se capitalizan m veces al año, entonces décimos que la tasa de

interés es necesariamente nominal, pues las tasas efectivas no se capitalizan.



RELACION ENTRE LA TASA NOMINAL Y LA TASA EFECTIVA.

Conociendo la tasa nominal j, procedemos a convertirla en tasa efectiva mediante los pasos

siguientes:

Determinamos el numero de capitalizaciones m, ya que la tasa nominal nos dice el periodo

de capitalización, entonces podemos hallar el numero de periodos que hay en el tiempo

definido por la tasa nominal.

EJERCICIO No. 24:

Supongamos una tasa nominal del 24% anual capitalizable trimestralmente, el

numero de capitalizaciones m = 4 (porque hay 4 trimestre en el año)

Determinaremos la tasa periódica i, que se obtiene a partir de j y m , la cual se define así:

i = m

j =

.

min

jtasaladeperiodoporcióncapitalizadefrecuencia

periodicaalnoTasa

EJERCICIO No. 25:

a) L a tasa periódica para el ejemplo 2.10 será:

i = j/m = 0.24/6 = 0.04

Por lo tanto, una tasa nominal anual del 24% convertible trimestral mente es equivalente a

una tasa efectiva trimestral del 6%.

b) para un tasa periódica de interés nominal del 24% semestral con capitalizaciones

mensuales, entonces la tasa efectiva periódica mensual i es:

i = j/m = 0.24/6 = 0.04

Donde m = 6 ya que el semestre tiene seis meses. Así, una tasa del 24% semestral,

convertible mensualmente es equivalente a una tasa efectiva del 4% mensual.

1. Convertiremos la tasa efectiva periódica a tasa efectiva anual ie utilizando la

siguiente formula:

ie = (l+i) M

–l formula 2.8



EJERCICIO No. 26:

Retomemos nuevamente el ejercicio, para calcular la tasa efectiva anual,

donde m = 4, j = 0.24, así:

ie = (l+0.24/4)4 – l = 0.262477 = 26.2477% efectivo anual

Para la tasa nominal del 24% semestral convertible mensualmente, la tasa efectiva anual

será:

Ie = (l+0.24/6)12

– l = 0.601032 = 60.1032% anual.

El resultado anterior, es la tasa efectiva anual. Así, para una misma tasa nominal, a mayor

numero de capitalizaciones mayor tasa de interés efectiva. La tasa efectiva siempre será

mayor o igual a la tasa nominal.

LAS TASAS EQUIVALENTES:

Son aquellas que en condiciones diferentes producen la misma tasa efectiva

anual. Se dice que dos o más tasas de interés anuales con diferentes periodos

de capitalización son equivalentes, cuando producen el mismo interés

compuesto al final de un año.

EJERCICIO No. 27:

Convirtamos una tasa nominal del 30% anual capitalizable una vez al año, a una

tasa efectiva anual equivalente:

Aquí tenemos que: j = 0.30, m = l, luego mediante la formula 2.8 tenemos;

ie =

1

1

30.01

- 1 = 1.30 – l = 0.30 = 30%

Lo anterior nos confirma que: una efectiva anual es igual a la tasa nominal cuando esta

última capitaliza los intereses una sola vez al año.



EJERCICIO No. 28:

Hallar la tasa efectiva semestral ( i ) y la tasa nominal ( j ) convertible

semestralmente, equivalente a una tasa nominal j = 30% convertible

mensualmente.

1) Hallemos la tasa efectiva anual por la formula 2.8:

ie =

M

m

jl

- l =

12

12

30.0

l- l = 34,48888% anual.

2) Mediante la fórmula 2.9 calculamos la tasa periódica ( i ) :

i = (l + ie )1/m

– l Fórmula 2.9

i = (1.3448888)1/2

– 1 = 15.9693% semestral

3) Como j = ( i ) ( m ) = ( 0.159693 ) ( 2 ) = 31.93868% anual

EJERCICIO No. 29:

a) Que tasa de interés efectiva ( i ) mensual, es equivalente a una tasa de

interés efectiva anual del 20.10% ? La solución la hallaremos empleando la

formula 2.9, o sea:

i = (1.2010)1/12

- l = 1.537995% mensual.

b) cual es la tasa efectiva semestral equivalente a la tasa del 2.25% mensual? La

solución la hallaremos mediante la formula 2.8 tomando en cuenta que la tasa efectiva

es para un periodo menor que un año y que en ese periodo se producen m

capitalizaciones.

i = (l + 0.0225)6 - l = 14.2825% semestral

Si realizamos una simple multiplicación de 2.25% por 6, resulta la tasa nominal semestral,

o sea: j = (0.0225) (6) = 13.5% que es inferior a la tasa efectiva para el mismo periodo.

B) Cual es la tasa efectiva anual equivalente al 2% mensual? De la formula 2.8

sabemos que i = 2% efectiva mensual con m = 12 capitalizaciones, entonces;

ie = (l + i )m

– l = (l.02)12 – l = 26.824179%



TASA DE INTERES NOMINAL CAPITALIZABLE CONTINUAMENTE.

En algunas transacciones financieras es común observar que los intereses

se capitalizan continuamente y no es que las tasas de interés efectivas sean

menores que las que realmente se proponen los inversionistas, sino que, en

estos casos se transforman tasas efectivas anuales o de cualquier otro

periodo a tasas de de interés equivalentes, pero con intereses capitalizables de forma

continua. Por ejemplo, es normal escuchar la propaganda de las instituciones

financieras ofertando a los ahorrantes, tasa de interés pasivo capitalizable

continuamente, con el ánimo de llamar la atención. Se enfatiza de que “el dinero

depositado en cuentas de ahorro crece de día, de noche y en cada momento, es decir;

no descansa “. Se trata entonces, de tasas de interés capitalizable de forma continua.

VALOR FUTURO O MONTO DE UN CAPITAL CON INTERES

CAPITALIZABLE CONTINUAMENTE.

Anteriormente calculamos el valor futuro ( f ) con una tasa nominal ( j ) con una

frecuencia finita de capitalización de los intereses m- veces en un año, mediante la

formula 2.2. Esta formula no la podemos usar cuando la frecuencia de capitalización de

la tasa (j) es continua, ya que la variable m en este caso tenderá a infinito, es decir,

crece en un valor muy grande. Pero se puede transformar, de tal manera que nos sea

posible aplicarla en estas condiciones. Dicha transformación se realiza a partir de la

formula 2.2, o sea:

𝐹 = 𝑃𝑒𝑗𝑛 Fórmula 2.10

Donde: F = Valor futuro o monto

P = Principal o capital

j = tasa periódica nominal con intereses capitalizables continuamente

n = Plazo de la operación financiera

e = 2.7182818… Valor constante



EJERCICIO No. 30:

Un señor deberá cancelar el monto de un préstamo dentro de 9 meses a una

tasa de interés de 18% anual, capitalizable continuamente. Sí el principal es de

$ 1,245.50. Determine el valor a cancelar a la fecha de vencimiento.

DATOS: SOLUCIÓN

F =? F = pe jn

P = 1,245.50 f = 1,245.50 75.018.07182918.2

f = 0.18 continua f = 1,245.50 (1.1445368)

n = 9/12 = 0.75 año f = $ 1,425.52 (monto esperado)

PROBLEMAS RESUELTOS DE INTERÉS COMPUESTO

Formulas de Interés Compuesto:

M = C (1 + i)n

C = M (1 + i)-n

M = monto o también llamado VF; C = capital; i = tasa; n =tiempo

1. Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con

capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.

i = 0,15 efectiva trimestral

n = 10 años

M = 20.000

C =?

C = 20.000 (1+ 0.15/4)-10(4)

C = 4.586,75 Respuesta



2. ¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3%

anual, para que se convierta en %7.500?

n =?

C = 2.000

i = 0,03

M =7.500

7.500 = 2.000 (1 +0,03)n

ln 15/4 = n ln 1,03

n = 44,71 años

44,71 años * 12 meses = 536,52 meses Respuesta.

3. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:

a. al 5% efectivo anual

M = 100 (1 + 0,05)10

= 162,89 Respuesta

b. al 5% capitalizable mensualmente

M = 100 (1 + 0,05/12)10(12) =164,20 Respuesta

c. al 5% capitalizable trimestralmente

M = 100 (1 + 0,05/4)10(4)

=164,36 Respuesta

d. al 5% capitalizable semestralmente

M = 100 (1 + 0,05/2)10(2) =164,86 Respuesta

1. Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente

durante 10 años 4 meses.

VF = 20.000(1 + 0,08) 10 (4/12) = 44.300,52 Respuesta

http://www.monografias.com/trabajos/anatocismo/anatocismo.shtml



2. ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable

trimestralmente?

(1+ 0,08)4/2

= (1 + n.c.s)2/2

i =0,0808 è 8,08% Respuesta

6. Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10.000 se convierten

en $12.500, en 5 años.

12.500 = 10.000 (1 +i/2 )10

i =0,0451 è 4,51% Respuesta

7. ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de ahorros que

acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000?

10.000=6.000 (1+ 0,08)n

n = 13,024 /2

n = 6,512 años Respuesta

8. ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza

duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que

ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?

M =2

C = 1

2=1(1+ i) 10

i = 7,17% sociedad maderera

M = 1(1+0,06/4)10(4)

M =1,8140 no duplico

Respuesta es más conveniente la sociedad maderera

http://www.monografias.com/trabajos35/sociedad/sociedad.shtml



9. Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.000 sin interés que vence

dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio

ofrecido.

C = 120.000(1 + 0,08)-3

C = 95.259,87 Respuesta

10. Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de

interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible

mensualmente.

VF = 20.000(1 + 0,05) 10 = 32.577,89 Respuesta

VF = 20.000(1 + 0,05/12) 120

= 32.940,19 convertible mensualmente Respuesta.

PROBLEMAS PROPUESTOS DE INTERÉS COMPUESTO

1) hallar el valor de un documento de valor nominal $ 50,000 a un plazo de 3 años y 6

meses si el interés es del 32% C.T. Respuesta $ 146,859.68

2) hallar el monto de $ 23,000 en 2 años y 5 meses al 30% C.S. Respuesta: $ 45.196.08

3) que depósito debe ser hecho hoy en un fondo que paga el 24% C.M para tener

disponibles $ 60,000 al cabo de 2 años. Respuesta: $ 37,303.29

4) cual es el valor final de un certificado de valor nominal de $ 15,500 a un plazo de 8

meses y 12 días si la tasa de interés es de 6.8% C.T.? Respuesta: $ 16,249.14

5) una corporación financiera recibe una letra de cambio pro valor nominal de $ 300,00

con vencimiento en 10 meses y un interés del 36% C.M. A los 4 meses solicita que le

sea descontada por el bando de América del sur que cobra el 4% mensual, cuanto

recibirá la corporación por la letra? Respuesta: $ 306,412.93

6) un inversionista local tiene 3 opciones para invertir su dinero

a) al 28.5% C.M

b) al 32% simple

c) al 30% C.S

d) que opción le sugiere usted. Respuesta: 28.5% C.M

http://www.monografias.com/trabajos16/fijacion-precios/fijacion-precios.shtml#ANTECED



7) a) En que tiempo un capital de $ 48,500 alcanza un valor de $ 60,000 si es invertido al

8.3% C.M?

b) en que tiempo se duplica? Respuesta: a) 2 años, 6 meses y 27 días, b) 8 años, 4

meses, 17 días.

8) A que tasa nominal CT el monto de $ 3,000 será de $ 9,000 en tres años.

Respuesta: j = 38.349% CT.

9) a) A que tasa efectiva anual se duplica en capital en 2 años.

b) A que tasa nominal CS se duplica un capital en 2 años.

c) A que tasa nominal CM se duplica un capital en 2 años.

Respuesta: a) i = 41.42%, b) j = 37.84% CS, c) j = 35.163% CM

10) Si un certificado de depósito a término en el mercado primario de la bolsa de valores es

emitido a $ 93,677 para ser redimido a $ 100,000 en 90 días, calcular la tasa de

rentabilidad trimestral y la tasa de rentabilidad mensual; a) sin tomar en cuanta la

retención en la fuente y b) tomando en cuenta la retención del 3.7 %.

Respuesta: a) 6.7497% trimestral, 2.2011% mensual. B) 6.4838% trimestral,

2.1162% mensual.

11) Una persona invierte dinero al 20% CM. ¿Qué tasa de interés efectiva gana sobre la

inversión? Respuesta: 21.939108% anual.

12) a) cuál es la tasa equivalente convertible continuamente a 24% efectivo. B) cuál es la tasa

efectiva equivalente 20% CS. Respuesta: a) 21.511137%, b) 21%

13) A) determine una tasa de interés CM que rinda lo mismo que 20% convertible

continuamente. B) determine una tasa nominal convertible continuamente, que genere los

mismos intereses que 18% CT. Respuesta: a) 20.167596%, b) 17.606754%



14) Determine el monto de C$ 12.500 invertidos al 21% de forma continua, durante 18

meses. Respuesta: C$ 17,128.24

15) Un documento por C$ 50,000 se vence dentro de 15 meses, si se descuenta a una

tasa: a) del 18% de forma continua, b) del 18.10% CT, c) del 18.20% CS. Determine el

menor valor al día de hoy (indique el inciso). Respuesta: Inciso a) C$ 39,295.81

16) El señor Marcelino Hernández es dueño de un pagaré de C$ 60,000 a 5 años de

plazo con intereses al 8% CS. Tres años antes de su vencimiento lo ofrece en venta a un

inversionista que invierte al 10% CT. A) ¿Qué valor le ofrece el inversionista? B) ¿Cuál

es la tasa de rentabilidad del señor Hernández? Respuestas: a) $ 66,038.66, b) 4.9116

17) Determinar el monto de $ 50,000 durante 2 años, 3 meses y 25 días. A) al 20% CM.

b) al 20% CT. C) al 20% CC. Respuestas: a) $ 79,208.89, b) $ 78,624.81, c) $

79,512.31

18) Hoy se contrae una deuda que junto con sus intereses al 8.5% efectivo trimestral al

final de 4 años representará C% 500,000. Determine la cantidad que se deberá pagar si

la deuda se cancela al cabo de 18 meses. Respuesta: C$ 221,142.71

TEMA III: ANUALIDADES.

Normalmente las personas vinculadas a la actividad financiera reciben o

pagan cantidades iguales de dinero a intervalos iguales de tiempo, a una

tasa de interés compuesto ocasionalmente continuo. Tales pagos o recibos

los denominamos anualidades o rentas en el mercado financiero.

Las anualidades son de frecuente utilización en las diversas transacciones, ya sea,

comerciales o financieras, tanto dl sector público (gastos del gobierno) como del sector

privado, esto se da en función de: depositar, retirar, amortizar o abonar igual cantidad de

dinero; pagar primas de seguros de vida, recibir o pagar salarios nominales fijos, pagos de

renta de la vivienda, amortizaciones a préstamos personales e internacionales.

El hecho de llamarse anualidades no significa que los pagos o recibos fijos se realicen

anualmente. Las anualidades pueden ocurrir cada quince días, cada mes, cada trimestre,

semestre, anual o cualquier otro período que se escoja en la actividad financiera. una

anualidad de término constante es un valor fijo de dinero que se paga o recibe a intervalos

iguales de tiempo a una tasa de interés compuesto o continuo.

Una anualidad también puede ser de términos variables ya sea lineal o exponencial.



ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD.

Pago o recibo periódico A: Es la cantidad constante de cada pago, o renta periódica.

Período del flujo: Es el intervalo de tiempo entre dos flujos sucesivos o períodos de

capitalización de la tasa de interés. El número total de períodos lo designamos por N.

Plazo o término de la anualidad: Es el intervalo de tiempo transcurrido desde el

comienzo del primer período en que se efectúa el primer flujo, hasta el final del último.

Tasa de interés de una anualidad: Por tratarse las anualidades de equivalencias

financieras, las tasas de interés se trabajarán en sus tasas equivalentes, efectivas i por

períodos de capitalización que deberá coincidir con el período del flujo A.

Período de capitalización de una anualidad: es el intervalo de tiempo en el cual los

intereses acumulados se convierten en capital.

CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES.

Las anualidades pueden clasificarse según:

1. Su tiempo o plazo definido.

2. La forma en que deben realizarse los flujos de dinero.

3. Las formas de calcular sus valores.

ANUALIDADES ORDINARIAS VENCIDAS.

Las anualidades ordinarias o vencidas son aquellas en que el pago de la renta

se hace al final de cada período de interés, por ejemplo, el pago mensual de

servicio de cable, recibir nuestro salario nominal, pagos de las primas de

pólizas de seguro, las cuotas de una amortización nivelada etc.

Las anualidades ordinarias o vencidas, el tipo más común de anualidad, ya que

generalmente, los pagos se hacen al final de período.



CALCULO DEL VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA

VENCIDA.

Para calcular este valor, utilizaremos el punto cero (hoy) como punto de referencia o

fecha focal en el diagrama de flujos, es decir, encontrar el valor presente P dada la serie de

flujos A, en N períodos de tiempo a una tasa de interés i. El valor presente de una serie de

flujos uniformes es la suma de todos los valores presentes de cada uno de los flujos a

interés compuesto.

𝑃 = 𝐴 1− 1+𝑖 −𝑁

𝑖 Fórmula 3.1

EJERCICIO No. 31:

Cuánto deberá invertir hoy el señor Frank Pérez, para obtener una renta de C$

50,000.00 cada año durante los próximos 6 años, si la tasa de interés en el

mercado es del 12%.

DATOS.

A = C$ 50,000.00 anuales. j = 0.12 m = 1 i= 0.12 anual n = 6 años. N = 6 flujos,

P=?

SOLUCIÓN:

Mediante la fórmula 3.1 obtenemos

P= 50,000.00 (1-(1.12)-6

)/0.12 = C$ 205,570.37

Si queremos encontrar el valor de la magnitud A o renta, partiremos del conocimiento del

valor actualizado o presente P, el valor de A, el valor de N y tasa de interés i.

La fórmula para determinar la magnitud de valor A en este caso la obtenemos despejando

la fórmula (3.1) Así:

𝑃 = 𝐴 1 − 1 + 𝑖 −𝑁

𝑖

𝐴 = 𝑃 𝑖

1− 1+𝑖 −𝑁 Fórmula 3.2



EJERCICIO No. 32:

Una persona deposita la cantidad de C$ 260,000.00 en un banco que0paga el

15% efectivo anual con el objetivo de realizar retiros iguales al final de cada

año por 4 años. ¿Cuál será el valor de dichos retiros?

DATOS:

P= C$ 260,000.00 i= 15% anual. N = 4 flujos ie = 0.15 m =1 n = 4 años N = 4(1) = 4

A = ¿?

SOLUCIÓN:

Por la fórmula 3.2 tenemos lo siguiente:

A = 260,000 (0.15)/ [1-(1.15)-4

] = C$ 91,069

CALCULO DEL VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA

VENCIDA

Para el cálculo del valor futuro F, utilizaremos la fecha de vencimiento como fecha focal o

punto de referencia en el diagrama de flujos es decir; encontrar el valor futuro de la serie de

flujos A en N período de tiempo a una tasa de interés i.

𝐹 = 𝐴 (1+𝑖)𝑁−1

𝑖 Fórmula 3.3

El monto o valor futuro de una serie de flujos es la suma de todos los valores futuros de

cada uno de los flujos a interés compuesto;

EJERCICIO No. 33:

Una empresa deposita en un fondo de amortización al final de cada mes la

cantidad de C$ 10,000.00. ¿Cuál será el valor acumulado en el fondo al

término del tercer año, si el fondo gana una tasa de interés del 12%

capitalizable mensualmente?



DATOS:

A = C$ 10,000.00 mensual N = 36 = (12 x 3) períodos mensuales. j = 0.12 m = 12

n = 3 años i = j/m = 0.01 tasa efectiva mensual F=¿?

SOLUCIÓN:

Por la fórmula 3.3 se tiene:

F = 10,000.00 [(1.01)36

– 1]/ 0.01 = C$ 430,768.78

En otro aspecto, si queremos encontrar el valor de la magnitud A o renta, partiremos de la

afirmación: conocemos su valor futuro F, el valor de los flujos A, el número de N períodos

en el tiempo a una tasa de interés i efectiva por período de capitalización.

𝐹 = 𝐴 (1+𝑖)𝑁−1

𝑖 Fórmula 3.3

Para obtener A deseado la despejamos en la fórmula (3.3) y resulta;

𝐴 = 𝐹 𝑖

(1+𝑖)𝑁−1 Fórmula 3.4

EJERCICIO No. 33:

Cuando deberá invertir la Cía. CAL. SA al final de cada 3 meses, durante los

próximos 5 años en un fondo que paga el 16% anual capitalizable

trimestralmente, con el objeto de acumular el valor del principal de un

préstamo de C$ 250.000.00?

DATOS: A =?

F = C$ 250.000.00 A = C$ 8,395.44

j = 0.16 anual

m = 4

i = 0.16/4 = 0.04 trimestral

n = 5 años

N = 20 trimestres



SOLUCION:

Como se desea acumular el valor del principal éste se convierte en valor futuro, entonces

por la fórmula 3.4 se tiene la solución respectiva:

ANUALIDAD GENERAL Y AJUSTE DE LA TASA E INTERES AL PERIODO

DEL PAGO O RENTA.

Cuando el período de capitalización de intereses de la tasa efectiva periódica i

no coincide con el período del pago renta A, se decide que no hay equivalencia

financiera y se le llama anualidad general. Para vencer esta situación, se puede

utilizar uno de los dos métodos para el tratamiento de anualidades generales, que consiste

en ajustar el período de la tasa de interés al período de la tasa de interés al período del pago

a través de tasas equivalentes y luego proceder de acuerdo a las fórmulas estándares.

FORMULA DE AGRUPACIÓN. Esta fórmula se utiliza cuando el período del pago es

mayor que el período de interés (pp > pi). Supongamos que se realiza pago al final de cada

año y la tasa de interés se capitaliza trimestralmente, entonces por cada intervalo de pago se

producen 4 períodos de la tasa de interés. Entonces, es necesario agrupar el valor de los 4

períodos de la tasa en uno solo, de manera que se ajuste al período del pago. Esta

agrupación se realiza en su forma equivalente.

𝑖1 = (1 + 𝑖2)𝑚 − 1 Fórmula 3.5

i1: tasa de interés periódica efectiva agrupada

i2: tasa de interés periódica efectiva dada

m: numero de periodos de la tasa de interés i2 por cada pago A

Con i1 < i2

FORMULAS DE DISTRIBUCIÓN: En este caso, al contrario de la fórmula anterior, la

utilizamos cuando el (pp < pi). Si supongamos que se capitalizan semestralmente, entonces

por cada intervalo de pago se producen 6 períodos de la tasa de interés. Aquí, es necesario

distribuir el valor único de la tasa periódica, en 6 valores periódicos de la tasa, de manera

que se ajuste al período del pago. Esta distribución se realiza por la formula 2.9 o en su

formula equivalente;



𝑖2 = (1 + 𝑖1)1

𝑚 − 1 Fórmula 3.6

i1: tasa de interés periódica efectiva dada

12: tasa de interés periódica efectiva distribuida

m: numero de pago A por periodo de la tasa de interés i1.

Con i1 < i2

CALCULO DEL TIEMPO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA VENCIDA.

En muchos casos se hace necesario conocer el tiempo en que se acumulará una cantidad

deseada a partir de una serie de pagos o depósitos. El tiempo lo podemos calcular al

despejar (n) en la fórmula 3.3, sabiendo que n = N/ m donde n está definida años que

coincide con los periodos capitalizados, si m = 1, con la tasa efectiva, de período igual al

pago, es decir;

𝑛 =𝑙𝑛

𝐹𝑖

𝐴+1

𝑙𝑛 1+𝑖 Fórmula 3.7

PROBLEMAS RESUELTOS DE ANUALIDADES VENCIDAS

1. Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas

ordinarias.

(a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.

F = 2.000[¨ (1 + 0, 04)17

-1]/0.04 =47.395,07 valor futuro

P = 2.000[¨ 1 – (1+ 0, 04)-17

]/ 0.04 =24.331,34 valor presente

(b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.

F = 4.000[¨ (1 + 0, 073)6 -1]/0.073 =28.830,35 valor futuro

P = 4.000[¨ 1 – (1+ 0, 073)-6 ]/ 0.073=18.890,85 valor presente

http://www.monografias.com/trabajos13/reper/reper.shtml



(c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.

F = 200[¨ (1 + 0, 0067)40

-1] / 0.0067 =9.133,50 valor futuro

P = 200[¨ 1 – (1+ 0, 0067)-40

] / 0.0067=7.001,81 valor presente

2.Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones:

$20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un

último pago de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el

cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.

i =0,09/12=0,0075

P = 1.000[¨ 1 – (1+ 0, 0075)-30

] / 0.0075=26.775,08

2.500(1+0,0075)-31

=1.983,09

26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.

3.¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000

de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de

$2.500, si se carga el 12% con capitalización mensual?

i =0,12/12=0,01

P = 1.600[¨ 1 – (1+ 0, 01)-30

] / 0.01 = 41.292,33

http://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/plane/plane.shtml



2.500(1+0,01)-31=1.836,44

41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 Respuesta

4. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima que

se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del

dinero es del 8%.

P = 8.000.000[¨ 1 – (1+ 0, 08)-10

]/0.08=53.680.651,19 respuesta.

5.En el ejercicio 4 Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el

valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas

representan el 25% de la producción.

1.500.000(1 + 0,08)-10

= 694.790, 23

53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8

694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta

http://www.monografias.com/trabajos54/produccion-sistema-economico/produccion-sistema-economico.shtml

http://www.monografias.com/trabajos16/marx-y-dinero/marx-y-dinero.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/contabm/contabm.shtml



6.En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que abona

el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus

consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18

años.

F = 1.500 [¨ (1 + 0, 08)11

-1] / 0.08 =24.968,23

24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16

F = 3.000[¨ (1 + 0, 08)7

-1]/ 0.08 =26.768,41

1.500(1 + 0,08)18= 5994,02

42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 Respuesta

7.Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de

interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20

años.

0,06 /12 =0,005 tasa mensual

F = 100[¨ (1 + 0, 005)240 -1]/ 0.005 =46.204,09 Respuesta.

http://www.monografias.com/trabajos30/comisiones-consignaciones/comisiones-consignaciones.shtml



PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANUALIDADES VENCIDAS

1) Determine el valor actual y final de una serie de depósitos de $ 150,000 al final de cada

año por 8 años, si la tasa de interés es del 22.5% efectivo.

Respuestas: $ 535,198.64 y $ 2,713,961.85

2) Determine el valor a pagar al final de cada trimestre para cancelar una deuda por $

54,443.70 durante 3.75 años, si la tasa de interés que se paga es del 17.2% CT.

Respuesta: $ 5,000.00

3) Doña Ana María Díaz ahorra al final de cada mes la cantidad $ 100.00 en una cuenta que

gana el 9.380606% efectivo. Determine el valor acumulado de la cuenta de ahorros al final

de 15 años. Respuesta: $ 37,840.57.

4) Una empresa desea tener disponible dentro de 51 meses $ 47,395.02 para reponer una

maquinaria. ¿Qué cantidad deberá depositar en un fondo al final de cada trimestre, si el

fondo gana una tasa de interés del 16.32% CS. Respuesta: $ 2,000.00

5) Determine el valor a pagar al final de cada mes durante 5 años, a una tasa de interés del

21.987093% efectivo para saldar el principal de una deuda por $ 200,000. Nota. Los

intereses se pagan por separado. Respuesta $1,963.22

6) Un préstamo por $ 3,035,546.64 se va cancelar mediante el sistema de cuotas niveladas

anuales, la primera un año después a una tasa de interés del 15% durante 12 años.

Determine el valor de la cuota. Respuesta $ 560.000

7) Determine el valor actual y final de una serie de depósito de $320 al fina de cada mes

durante 4 años, si la tasa de interés es del 12.1204 %CT.

Respuesta $12,151.67 y 19,591.23

8) Desde hace 5 años una compañía dejó de pagar la cantidad de $ 4,000 al final de cada

semestre, se quiere saber qué valor tendrán eso pagos en la actualidad si la tasa de interés

es del 18% C. S. Respuesta $60,771.72

9) ¿Qué tiempo deberá esperar un banco para acumular 9,364,564.02 sabiendo que puede

invertir $130,000 al final de cada año y aun interés del 20% efectivo? Respuesta 15 años.

http://www.monografias.com/trabajos13/reper/reper.shtml



10) Determine el principal de una deuda, sabiendo que se realizarán pagos iguales

mensuales vencidos por valor de $12,247.56 durante 3 años a un interés del 28.565088% C.

S. Respuesta $300,000.00

11) Una persona deposita en un fondo al final de cada mes $360.00 durante 4.5 años, si la

tasa de interés del 12% C. M. Determine: (a) el valor final, (b) el valor actual, (c) el valor

final si retira $2,000 a los 2 años de comenzada la serie de depósitos.

Respuestas a) 25,610.77, b) $14,964.72, c) $22929.22

ANUALIDADES ORDINARIAS ANTICIPADAS.

Las anualidades ordinarias anticipadas son aquellas en que los flujos de dinero

se presentan a inicio de cada período de capitalización y el último se produce

un período antes del plazo de la anualidad. Supondremos que son flujos que

se realizan los primeros días de cada período de tiempo.

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA ANTICIPADA.

Necesitamos encontrar el valor presente de una serie de flujos uniforme A, el primero a

partir del día de hoy y el último un período antes del vencimiento.

Para deducir la fórmula partimos de los siguientes aspectos:

1. el valor presente del flujo A que se produce hoy (valor cero en la escala) es igual a

A.

2. Los flujos restantes A partir del primer período hasta el penúltimo, se pueden tratar

como una anualidad ordinaria vencida, así, su valor presente se calcula mediante la

fórmula (3.1) restando un período de capitalización.

Después de simplificar una serie geométrica, se llega a la expresión que nos permite

calcular, el valor presente de la anualidad ordinaria anticipada.

𝑃 = 𝐴 + 𝐴 1−(1+𝑖)−𝑁+1

𝑖 Fórmula 3.8



EJERCICIO No. 34:

Una empresa desea comprar de contado un compresor que se vende en los

siguientes términos: el valor de cada cuota es de C$ 3,000pagadas por

adelantado en forma mensual, por 3 años de plazo y a una tasa por el crédito

del 30% convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor efectivo equivalente del equipo

médico?

DATOS:

A = 3,000.00 valor de la cuota mensual anticipada.

j = 0.30 tasa nominal anual.

m = 12 frecuencias de capitalizar intereses en un año.

i = 0.30/12 = 0.025 tasa efectiva mensual.

n = 3 años de plazo.

N = 36 períodos mensuales de capitalización

P =¿?

SOLUCIÓN:

Por la fórmula 3.8 obtenemos el valor de contado que equivale a calcular el valor presente o

valor descontado, es decir:

P = 3,000 + 3,000[1-(1.025)-35

] / 0.025 = C$ 72,435.47

PARA CALCULAR EL VALOR DE LA MAGNITUD A ANTICIPADA, se parte del

conocimiento del valor presente P, la tasa de interés efectiva i por período de capitalización

y el plazo o números de flujos N.

En este caso, el valor A se obtiene despejándola en la fórmula (3.8) de la siguiente forma.

𝑃 = 𝐴 + 𝐴 1−(1+𝑖)−𝑁+1

𝑖

𝐴 = 𝑃 𝑖

𝑖+1−(1+𝑖)−𝑁+1 Fórmula 3.9



VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ORDINARIA ANTICIPADA

Para realizar el cálculo del valor futuro en este caso, utilizaremos N como

fecha focal como punto de referencia en el diagrama de tiempo valor.

Encontrar el valor futuro de la serie de flujos A anticipados en N período de

tiempo a una tasa de interés efectivo i por período de tiempo.

𝐹 = 𝐴 (1+𝑖)𝑁+1−1

𝑖 − 𝐴 Fórmula 3.10

EJERCICIO No. 35:

Una familia alquila una casa ubicada en una zona residencial de Managua en

US$ 800.00 pagaderos mensualmente por adelantado. Si el contrato de alquiler

se firma por un período de 5 años. ¿Cuál será el monto total que recibirá el

propietario de la casa si los pagos los deposita en una cuenta que paga el 6.6 %

capitalizable mensualmente?.

DATOS:

A = US $ 800 pagos mensuales anticipados J = 6.6 % = 0.066 m = 12

i = j/m = 0.066/12 = 0.0055 n = 5 años N = 60 flujos mensuales F = ¿?

SOLUCION:

Remplazando la información en la fórmula 3.10 se tiene:

𝐹 = 800 (1 + 0.0055)60+1 − 1

0.0055 − 800 = 𝑈𝑆$56,997.00

Para calcular el valor anticipado de la magnitud A conociendo el valor de las demás

variables F, I y N podemos

𝑨 = 𝑭 𝒊

(𝟏+𝒊)𝑵+𝟏−(𝟏+𝒊) Fórmula 3.11



PROBLEMAS RESUELTOS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS

1.Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con

pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12%

convertible mensualmente.

P = 3.000 [¨1 + (1 – (1+ 0,01 )-180 + 1

) / 0.01]= 252.464,64

2.Una persona recibe tres ofertas parea la compra de su propiedad: (a) $400.000 de

contado; (b) $190.000 de contado y $50.000 semestrales, durante 2 ½ años (c) $20.000

por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250.000, al finalizar el cuarto

año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?

Oferta b

P = 50.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,04 )-4

/ 0.04]= 231.494,76 + 190.000 = 421.494,76

Oferta c

P =20.000 [¨1 + 1 – (1+ 0,02 )-11 / 0.02]= 215.736,96

http://www.monografias.com/trabajos/ofertaydemanda/ofertaydemanda.shtml




25.000(1 +0,08)-4 = 183.757,46

215.736,96 + 183.757,46 = 399.494,42

Respuesta = Oferta b es la más conveniente.

3.¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes,

durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible

mensualmente?

P =500 [¨1 + 1 – (1+ 0,0075 )-179

) /0.0075]= 49.666,42 Respuesta.

4.¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6%

para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de

$2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10%

del costo?

2’000.000 * 0.10= 200.000

2’000.000 - 200.000 = 1’800.000

1´800.000 = A [¨ (1 + 0,06 )6 -1 - 1]/0.06

A = 301.239,17 Respuesta.

http://www.monografias.com/trabajos7/coad/coad.shtml#costo



5.Sustituir una serie de pagos de $8.000 al final de cada año, por el equivalente en

pagos mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente.

8.000 = A [¨ (1 + 0,0075 )13 -1 - 1]/0.0075

A = 634,85 Respuesta.

6. Un empleado consigna $300 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que

paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000?

0,08/12 = 0,0067

30.000 = 300 [¨ (1 + 0,08 )n

+ 1 -1 - 1]

0,08

n = 76,479 meses

PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANUALIDADES ANTICIPADAS

1) el alquiler de un lote de terreno es de $150.00 dólares mensuales anticipados. Un

contratista desea alquilar el terreno durante 3 años, si el interés pactado es de 6% C. M.

determine el pago por anticipado y al final durante el período establecido.

Respuesta $ 4,955.30 y $5,929.92.

2) Una persona esta amortizando un préstamo personal de $1,811.72 mediante cuotas

niveladas una tasa de interés del 16% C. S. En un plazo de 5 años. Halle un sistema de

pago equivalente mediante cuotas niveladas semestrales anticipadas. Respuesta $250.00.

3) La compañía HRP hace una donación de %30,000 a la Cruz Roja para que sea retirada

dentro de 16 meses. Determine la cantidad que deberá invertir la compañía en el negocio

de tarjetas de créditos mensualmente, comenzando hoy para entregar la cantidad prometida,

si la tasa de interés que cobra a sus clientes es del 5% mensual acumulativa.

Respuesta $1.,207.71.



4) Una casa se vende a través de tres opciones (1) cuota inicial $6,500 y pagos anticipados

anuales durante 3 años de $5,929.82 a un interés del 27.115988 C. T. (2) mediante pagos

mensuales de $667.18, el primero el día de hoy en un plazo de 4 años y ana tasa de interés

del 30.196335% efectivo, (3) cuota inicial de $10,000 y pagos trimestrales vencidos por

$2,343.49 durante año y medio a un interés del 30% C. T.

Respuesta la Mejor opción es la número 2.

5) Los pagos mensuales anticipados para estudiar una maestría por2 años en la Universidad

de Tula, es de $300 dólares. La matrícula al inicio $500.00 derecho de graduación

$1,000.00 a los 2 años. Si se le carga un interés del 6.6% C. M. determine el costo de los

aranceles de la maestría al final del período y pagando por anticipado.

Respuesta $9,820.87 y $8,609.55

6) La deuda de un pequeño agricultor adeudado con un banco hasta el día de hoy en una

cantidad de C$ 14,525.90. la propuesta del banco para cancelar la deuda mediante pagos

anticipados semestrales en un plazo de 5 años comenzando hoy a una tasa de interés de

30% C. M. Calcule el valor de la cuota semestral. Respuesta C$ 2,588.61.

7) La reposición de un activo fijo de la empresa ENEA dentro de 2.5 años es de $500,000.

Qué cantidad deberá depositar mensualmente la empresa (comenzando hoy) en fondo de

amortización que gana el 18% C. M. para acumular la cantidad deseada?

Respuesta: $13,122.75

8) Cuál es el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor C$

11,302.31 durante 8 años a una tasa 6.5% trimestral. Respuesta $160,500.

9) Determine el valor actual de una serie de pagos anticipados trimestrales de valor

$13,302.31 durante 8 años a una tasa de interés del 12.456167% C. M.

Respuesta $188,901.24

10) Una planta generadora de electricidad es vendida en $6000 de una cuota inicial y 18

pagos de $4,000 al final de cada mes. Si después de haber pagado las 6 primeras cuotas y

justamente antes d efectuar el pago la séptimo cuota decide cancelar de un solo contado el

saldo de la deuda, cuánto deberá cancelar con intereses al 6.1208% efectivo trimestral¿?

Respuesta $43,147.39.



11) Un comerciante compró una mercancía mediante 8 pagos mensuales al principio de

cada mes de $ 3,000 y un pago final de $10,000 al final dl año. Si los interese fueron del

38.478377% anual. ¿Qué cantidad hubiese pagado de contado? Respuesta $29,089.56

12) El arreglo de pago entre un cliente y un banco sobre una deuda vencida estipula, 18

pagos mensuales de $2,000 al principio de cada mes. Se efectuaron cumplidamente los

primeros 4 pagos y luego se dejó de pagar los siguientes 5, ¿Cuánto tendrá que pagar el

cliente al vencimiento del siguiente para cancelar la totalidad de la deuda sí el interés es del

3% efectivo mensual? Respuesta $26,976.20

13) El estado desea capitalizar $1,000,000.00 dentro de 5 años para indemnizar una

propiedad intervenida para la construcción de un estudio. Se tiene planeado capitalizar

dicha cantidad mediante la creación de un fondo en cual se depositarán cuotas mensuales

ordinarias de valor $A y cuotas extraordinarias semestrales, de valor $3A. La primera a

los 6 meses, la segunda a los 12 meses y así sucesivamente. Cuando se deposita cuota

extraordinaria no habrá cuota ordinaria. La tasa de interés es del 30% C. M., hallar: (a) el

valor de las cuotas ordinarias (b) el valor de las cuotas extraordinarias.

Respuesta (a) $5,600.03 y (b) $16,800.09

14) Determine el valor actual de 8 pagos trimestrales anticipados de C$12,000 y dos pagos

extras: uno de C$18,000 a los 2 años y el otro de C$24,000 a los 3 años, sí la tasa de

interés es del 28% anual. Respuesta C$100,556.42.

ANUALIDADES DIFERIDAS VENCIDAS.

Las anualidades diferidas, son las que contienen períodos de gracias, los cuales

constituyen elementos usuales en muchas transacciones financieras. El

período de gracia se fundamenta en que se da la cancelación o se capitalizan

los intereses de un préstamo, sin afectar el principal, para el caso de la actualización de los

pagos. En otras palabras, es el período variable entre la liberación de algún dinero prestado

y el comienzo de las amortizaciones.

Las Anualidades Diferidas son aquellas cuyos flujos comienzan después de transcurrido

varios intervalos o períodos de capitalización que forman parte del período de gracia.

VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDA.

Las características de estas anualidades es que: Además de estipular el período de gracia el

último flujo A coincide con el vencimiento de la anualidad.



Para el cálculo de valor presente P utilizaremos como en casos anteriores, el concepto de

anualidades ordinaria vencida.

3. Se obtiene el valor K que representa el número de períodos de capitalizaciones

correspondientes al período de gracia donde no se produce ningún pago o flujo A.

4. en los períodos comprendidos entre el valor K y N, la anualidad en referencia es

vencida. Por tanto, su valor presente P hasta el valor K de acuerdo a la fórmula (3.1)

es:

𝑷𝑲 = 𝑨 𝟏−(𝟏+𝒊)−𝑵+𝑲

𝒊 Fórmula 3.12

5. El valor Pk encontrado en la fórmula anterior no resuelve el problema, ya que

realmente estamos interesados en calcular el valor presente P en el valor (0) cero.

Para encontrar dicho valor actualizamos Pk a través de la fórmula (2.4) de interés

compuesto, de la siguiente manera:

P = Pk (1+i)-k

fórmula 3.13

O bien, combinando las formulas (3.12) y (3.13) obtenemos la fórmula de dos factores;

𝑷 = 𝑨 𝟏−(𝟏+𝒊)−𝑵+𝑲

𝒊 (1 + 𝑖)−𝐾

Fórmula 3.14

EJERCICIO No. 36:

Un agricultor a través de un banco, compró un camión el primero de enero del

2010 para utilizarlo en su finca, comprendiendo que haría pagos mensuales C$

4,500.00 por 24 meses, el primero con vencimiento el primero de julio 2010. si

el interés de financiamiento del banco es del 24% anual, capitalizable mensualmente. ¿Cuál

es el contado del camión?.



DATOS:

Del primero de enero al primero de julio hay 6 meses lo que significa que se da un período

de gracia de 5 meses, dado que al final del mes 6 se pagará la primera cuota.

A = C$ 4,500 pagos mensuales K = 5 meses correspondientes al período de gracia

J = 24% = 0.24 m = 12 i = 0.24/12 = 0.02 N = 2* 12 = 24 meses de plazo

N = 24+5 = 29 tiempo total incluyendo el período de gracia. P =?

SOLUCION:

𝑷 = 𝟒, 𝟓𝟎𝟎 𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐)−𝟐𝟗+𝟓

𝟎. 𝟎𝟐 (1 + 0.02)−5 = 𝐶$77,089.16

EJERCICIO No. 37:

Un proyecto en la zona norte del país, relacionado con el cultivo del café, ha

estimado (según del flujo neto) que al término del año 5 genera ingresos

anuales por la cantidad de C$ 400,000 y se espera que ese rendimiento se

mantenga por espacio de 10 años. Si la tasa de interés de oportunidad s del 30% efectivo.

Hallar el valor actualizado de los rendimientos.

DATOS:

A = C$ 400,000.00 valor de los ingresos anuales. i = 30% = 0.30 anual. n = 14 años.

K = 4 años (período diferido) N = 14 años de capitalizaciones.

N – k = 10 flujos anuales de ingresos. P =¿

SOLUCIÓN:

𝑷 = 𝟒𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝟏 − (𝟏 + 𝟎. 𝟑𝟎)−𝟏𝟒+𝟒

𝟎. 𝟑𝟎 (1 + 0.30)−4

= 𝐶$432,973.56



PARA EL CÁLCULO DE LA MAGNITUD DEL VALOR A de la anualidad, partimos

del conocimiento de las demás variables de la fórmula (3,14);

𝑷 = 𝑨 𝟏−(𝟏+𝒊)−𝑵+𝑲

𝒊 (1 + 𝑖)−𝐾

Así, al despejar A de la fórmula mencionada, obtenemos

𝑨 = 𝑷 (𝑖)(𝟏+𝒊)𝑲

𝟏−(𝟏+𝒊)−𝑵+𝑲 Fórmula 3.15

La fórmula anterior también se utiliza para calcular el valor de la cuota nivelada C, cuando

a un préstamo se le concede períodos de gracia y no se cancelan intereses de forma

periódica, sino que se capitalizan para luego pagarlos en las cuotas que se proyectan.

EJERCICIO No. 38:

Un organismo internacional otorga al Gobierno de Nicaragua un préstamo por

la cantidad de US$ 10 millones de dólares. El Gobierno liquidará el préstamo

con interese del 3.5% efectivo y en 8 pagos anuales iguales. El primer pago se

deberá efectuar a los 3 años de realizada la transacción. Hallar el valor de cada pago anual.

DATOS:

P = US$ 10,000,000 valor del préstamo. i = 3.5% = 0.035 anual.

K = 2 años (período de gracia) N = 10 períodos anuales capitalizados.

N – k = 8 cuotas anuales iguales. A = C = valor de la cuota anual.

SOLUCIÓN:

Por medio de la fórmula 3.15 y reemplazando la información, calculamos el valor de la

cuota anual.



A = 10,000,000 (1.035)2 (0.035) / [1 – (1.035)

-8] =

A = 10,000,000 (1.071225) (0.035) / (0.2405884)

C = 10,000,000 (0.155838) = US$ 1,558,382.21.

VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDA.

Utilizaremos la fecha de vencimiento como fecha focal o punto de referencia, para

encontrar el valor futuro F de la serie de flujos A diferidos en k períodos de tiempo, con

(N – k) períodos capitalizados a una tasa de interés i.

𝐹 = 𝐴 (1+𝑖)−𝑁+𝐾−1

𝑖 Fórmula 3.16

EJERCICIO No. 39:

Una industria camaronera estima que la utilidad anual que generará un

proyecto es de US$ 185,000 dólares a partir del año 4. la tasa de interés a la

que reinvierten los fondos liberados es del 14% anual. El proyecto se agotará a

los 20 años continuos de explotación.

Calcular el monto de las reivindicaciones en el año 20.

DATOS:

A = $ 185,000 anuales a partir del año 4 i = 14 % = 0.14 anual. K = 3 años.

N = 20 años tiempo total. N – k = 17 flujos diferidos. F =?

SOLUCIÓN:

Sustituyendo los datos en la fórmula anterior, obtenemos:

F = $ 185,000 [(1.14)17

- 1] / 0.14 = 185,000 (59.1176014)

F = $ 10, 936, 756.26



PARA EL CÁLCULO DE LA MAGNITUD DEL VALOR A de la anualidad, partimos

del conocimiento de las demás variables de la fórmula (3,16);

𝐹 = 𝐴 (1+𝑖)−𝑁+𝐾−1

𝑖

En este caso la fórmula es

𝐴 = 𝐹 𝑖

(1+𝑖)−𝑁+𝐾−1 Fórmula 3.17

EJERCICIO No. 40:

Una empresa deberá cancelar un préstamo cuyo monto será de C$ 200,120.45

al término de 6 años. Si la empresa acuerda realizar pagos iguales semestrales,

al 16% capitalizable semestralmente. ¿Cuál será el valor de los pagos, si

efectúa el primero a los 18 meses de realizada la operación?

DATOS:

F = C$ 200,120.45 j = 16% = 0.16 m = 2 i = 0.16/2 = 0.08 semestral.

K = 2 período de gracia. N = 12 total período semestrales.

N – K = 10 flujos semestrales. A =¿?

SOLUCIÓN:

Sustituyendo en la fórmula anterior, hallamos

A = 200,120.45(0.08) / [(1.08)10

- 1] = 200,120.45 (0.069029 =

A = C$ 13,814.21



PROBLEMAS RESUELTOS DE ANUALIDADES DIFERIDAS

Formulas para anualidades diferidas

Son las mismas que las anualidades vencidas y anticipadas salvo que estas tienen un

periodo de gracia.

1.Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral; los estudios de ingeniería

muestran que los trabajos preparatorios y vías de acceso demoraran 6 años. Se estima

que los yacimientos en explotación rendirán una ganancia anual de $2.400.000.

suponiendo que la tasa comercial es del 8% y que los yacimientos se agotarán después

de 15 años continuos de explotación, hállese el valor futuro de la renta que espera

obtenerse.

VF = 2.400.000 [(1 + 0,08)15

- 1]/0,08

VF = 6.516.503,43 Respuesta

2.En el problema anterior, hállese el valor de utilidad que espera obtener, en el

momento de la adquisición de los yacimientos.

VP = 2.400.000 [1 - (1 + 0,08)-15

]/0,08

VP = 20.542.748,85

20.542.748,85 (1 + 0,08)-6

= 12.945.416 Respuesta.

3. Una compañía frutera sembró cítricos que empezaran a producir dentro de 5 años.

La producción anual se estima en $400.000 y ese rendimiento se mantendrá por

espacio de 20 años. Hallar con la tasas del 6% el valor presente de la producción.

VP = 400.000 [1 - (1 + 0,06)-20 ] /0,06

VP = 4587968,487 (1 + 0,06)-5

= 3428396,90

http://www.monografias.com/trabajos14/historiaingenieria/historiaingenieria.shtml



4.Alguien deposita $100.000 en un banco, con la intención de que dentro de 10 años se

pague, a él o a sus herederos, una renta de $2.500, a principio de cada mes. ¿Durante

cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6% convertible mensualmente?

VF = 100.000 (1 + 0,005)120 = 181.939,67

181939,67 = 2.500 [ 1 + 1- (1 + 0,005)-n +1 ]/0,005

n = 90,13 meses

Respuesta = 7 años 7meses

5.Una deuda contraída al 8% nominal, debe cancelarse con 8 cuotas semestrales de

$20.000 c/u, con la primera obligación por pagar dentro de 2 años. Sustituirla por una

obligación equivalente pagadera con 24 cuotas trimestrales, pagándose la primera de

inmediato.

20.000 [1 + 1 - (1 + 0,04)-7

] /0.04)(1+0,04)-4 = 119.707,7136

119.707,71 = A [1 + 1 - (1 + 0,02)-23]/0,02

A = 6.204,97 Respuesta anualidades trimestrales



PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANUALIDADES DIFERIDAS

1) Un auto se vende mediante un pago inicial de $3,000 y 16 pagos de $350.00 mensuales,

el primero dentro de 5 meses. Si la tasa de interés sobre saldo es del 15.7913% C. M.

determine (a) el valor del auto al contado, (b) al término del último pago mensual.

Respuestas. (a) $7,764.35 y (b) $10,084.64

2)El costo de adquisición de una máquina es de $30,000. Los costos de operación y

mantenimiento se estiman en $500.00 mensuales, comenzando en el mes 6 y después de

iniciar operaciones. Si la tasa que se le carga es del 1% mensual, determine: (a) el costo

anual equivalente semestral, (b) costo uniforme equivalente semestral, ambos cálculos

hasta el año 3. Respuestas: (a) $17,956.24 y (b) $8,710.24

3) Determine el valor actual y final de los depósitos de $350.0 trimestrales, realizados para

el fondo de inversiones de una empresa consultora, el primer depósito se efectuará al final

del primer años y durante 4 años a una tasa de interés del 16% C. T.

Respuestas: 3,625.60 y 7,638.58.

4) Un préstamo de $350,000 se amortizará mediante cuotas niveladas iguales, la primera al

término del año 3 después de haber obtenido el préstamo. A una tasa de interés del 15%

efectivo anual y un tiempo total de 12 años, calcule (a) el valor de la cuota anual, (b) un

sistema de pago equivalente mediante cuotas de pagos niveladas vencidas mensuales

comenzando un mes después. Respuestas: (a) $92,228.80 y (b) 5,042.74

5) A un empresario capitalino que va amontar una fábrica, le ofrecen un crédito con un

tiempo total de 5 años incluido un período de gracia de 2 años, amortización mediante

cuotas mensuales iguales a un interés del 24% C. M. Halle la cuota para un préstamo de

$1,000,000.00. Respuesta $63,103.58

6) Don José Cantor necesita hacer unas reparaciones en su casa de habitación con la llegada

del invierno. Necesita el dinero para el primero de mayo, pero sólo puede pagar como

máximo C$ 3,000 mensuales y a partir del primero de octubre hasta el primero de junio del

siguiente año. A una tasa de interés del 6.1208% efectivo trimestral, determine la cantidad

máxima que puede recibir en préstamo Don José. Respuesta: C$ 22,621.94

7) Una compañía deberá pagar pensiones a sus trabajadores jubilados trimestralmente hasta

por una cantidad de $20,000 durante 5 años, el primer pago lo hará dentro de un año. Para

este fin la compañía ha decidido hacer un depósito en una institución bancaria para que le

permita asumir as obligaciones futuras. Si el depósito devenga un interés del 8.24321%

efectivo, determine el valor del depósito. Respuesta: $269,351.20



8) Una empresa desea reunir $3,000,000 en 5 años, haciendo depósitos trimestrales en una

cuenta de ahorros que paga el 12% C.T. por períodos vencidos y completos. Después de 2

años el banco elevó la tasa de interés en sus cuentas de ahorro al 18% C. T. Si continuó

haciendo depósitos de igual cantidad cuál será el capital reunido al finadle 5 años.

Respuesta: $3,410,192.

9) Una persona compra un automóvil valorado de contado en $18,000. si le exigen una

cuota inicial del 25% y el saldo lo va a cancelar en 36 cuotas iguales mensuales, la primera

a los 3 meses de iniciada la transacción, a cuánto ascendería la cuota, sí los intereses son

del 24% efectivo anuales, cuánto pagaría si deseara cancelar el saldo insoluto después de la

cuota 27. Respuesta: Cuota $532.26, saldo $4,384.36

10) Una institución desea reunir $3,000,000 mediante 6 depósitos semestrales iguales

vencidos con interés del 5% efectivo semestral. (a) cuál debe ser el valor de la cuota.

(b)Elaborar una tabla de capitalización, (c) sin elaborar la tabla de capitalización, calcular

que tanto del incremento al fondo es debido a intereses en el período 4.

Respuesta (a) $44,105.24, (c) $6,952.09.

11) Determine el valor actual y final de una cuenta de ahorros que se abrió con un capital

inicial de $1,200, duración 1.5 años, interés de 6% C. M., depósitos mensuales de $324.50

desde el mes 5 hasta el 18 inclusive. Respuesta: $5,490.63, $6,006.35.

12) Cual es el valor actual y final de una obligación financiera que inicia a los 4 meses

mediante pagos de $455.38 y tiene una duración total de 42 meses e intereses del 24%

efectivo. Respuesta: $12,000, $25,477.62.

13) Don Marcelino abre una cuenta de ahorro en un banco privado con $200.00 y deposita

$50 al final de cada mes durante 18 meses. En el mes 19 retira $500.00 y no deposita. Del

mes 20 al 33 deposita $60. en el mes 34 retira $750.00 y no deposita. Finalmente del mes

35 al 42 deposita $40.00 mensuales. Determine el valor actual (mes cero) y al final de los

43 meses de la cuenta de ahorro de Don Marcelino, si el interés es del 6% C. M.

Respuestas: $971.07, $1,203.35.



TEMA IV: AMORTIZACION Y FONDOS DE

AMORTIZACION

En el mercado financiero la expresión amortización se utiliza para

denominar el proceso mediante el cual se extingue gradualmente una

deuda por medio de pagos o abonos periódicos que pueden ser iguales o

diferentes en intervalos de tiempos iguales o diferentes. Estos pagos son

hechos para liquidar tanto el capital o principal, así como los intereses y

demás conceptos que genera determinada deuda.

La parte principal no cubierta por las amortizaciones en una fecha dada se conoce

como saldo insoluto o principal insoluto en la fecha. El principal insoluto al inicio del

plazo es la deuda original. El principal que resultará al final de la cuota o pago al término

del plazo es cero, y de esta manera la deuda queda pagada.

El proceso de amortización de una deuda es un elemento importante para el financiamiento

ya sea interno o externo, de una inversión, debido a que el inversionista necesita conocer el

proceso de cálculo que es necesario seguir para estimar el monto del servicio de la deuda,

así como también el período de reembolso y el factor de recuperación de capital.

ELEMENTOS DE LA AMORTIZACIÓN

Toda cuota o pago en el proceso de amortización está dada por la siguiente fórmula

estándar:

CK = AK + IK Fórmula 4.1

Donde

CK : Valor de la cuota nivelada o proporcional

AK : principal de la cuota, es una cantidad que es aplicable directamente a la deuda y la

disminuye

IK : intereses de la cuota, es una cantidad de dinero que devenga el saldo del préstamo o

principal adeudado.

K: numero de periodo o pago que queremos cancelas, k es un contador de cuotas con

1 ≤ k ≤ N



SISTEMA DE PAGO INTERÉS SOBRE SALDO Y FLAT.

El S.F.N (Sistema Financiero Nicaragüense), y bancos internacionales que

proporcionan dinero en préstamo, generalmente calculan los intereses por

períodos en base al saldo actualizado de la deuda (saldo insoluto), este

procedimiento es conocido como, amortización con intereses sobre saldos,

no obstante, también hay instituciones que cobran intereses sobre principal

original, es lo que se conoce como interés FLAT. Este último sistema es muy usado por las

casa comerciales que operan en Nicaragua y que conceden financiamiento a sus clientes a

través de bancos para la compra de electrodomésticos. A interés FLAT la disminución del

saldo no disminuye el interés que se paga.

En todos los procesos de amortización, una vez que se ha seleccionado el modelo o

sistema a utilizar, se procede a elaborar la tabla de amortización, también conocida como

calendario de pago. Esta tabla es manejada por las partes involucradas en la operación

financiera y facilita dar seguimiento el cumplimiento de todos los pagos acordados, así

como, la elaboración de los flujos de caja.

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN.

AMORTIZACIÓN MEDIANTE LA REGLA AMERICANA

Este procedimiento estudiado en el cálculo de interés simple es un método

flexible de amortización, establece una serie de pagos parciales iguales o

diferentes en períodos iguales o diferentes comprendidos en el plazo de la

deuda y se cobran intereses sobre saldos actualizados.

AMORTIZACIÓN MEDIANTE LA CUOTA NIVELADA

Este es un sistema gradual de amortización con intereses sobre saldos, donde los pagos son

iguales y periódicos. Esta forma de amortización fue creada en Europa y es la más usada en

el campo de las finanzas.

Para el cálculo de la cuota recurrimos a las anualidades ya estudiadas anteriormente. Dentro

de este sistema pueden presentarse varias variantes tales como: cuota niveladas anticipada,

vencidas y diferidas a como ya las hemos calculado.



Cuando se acuerda cancelar un préstamo mediante cuotas niveladas vencidas, cada cuota a

pagar es de igual valor, hecha al final en períodos de tiempos iguales.

Ck es el valor de dicha cuota, la cual contiene la amortización al principal Ak y los

intereses Ik devengados en el pago K con 1 ≤ k ≤ N. El proceso que se sigue de la forma

de pago se muestra en el gráfico 4.1 donde

Ck = C y que representa una serie de flujos (C) (anualidad ordinaria vencida).

Así, reemplazando (C) por (A) en la fórmula 3.2

𝐴 = 𝑃 𝑖


Obtenemos el valor de la cuota nivelada, entonces:

𝐶 = 𝑃 𝑖


Donde:

C = Cuota nivelada a pagar durante la vida del préstamo

i = Tasa efectiva de interés corriente por período de cuota.

N = Número de cuotas acordadas.

P = Deuda original o principal.

Como cada cuota (C) contiene interés y principal necesitamos calcular algunos valores

importantes para la elaboración del calendario de pago:



AMORTIZACIÓN MEDIANTE CUOTA PROPORCIONAL.

Este es un sistema de amortización constante Ak y el valor de la cuota Ck es

proporcional decreciente debido a que los intereses Ik decrecen por que se

calculan sobre saldos.

Este sistema es usual en los préstamos personales, pequeña empresa (industria, servicio y

comercio), empresas individuales, sociedades, cooperativas entre otras.

Calculo de la cuota.

La cuota proporcional se calcula de la siguiente manera:

Amortización Ak:

𝑨 =𝑷

𝑵=

PRINCIPAL O DEUDA

𝑵𝑼𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑫𝑬 𝑷𝑨𝑮𝑶𝑺 𝑷𝑨𝑪𝑻𝑨𝑫𝑶𝑺 Fórmula 4.3

Intereses Ik:

Ik = (Sk-1) (i) = (Saldo período anterior) (Tasa periódica)

Ik = (Sk-1) (i)

Así el valor de la cuota en el período k será:

Ck = Ak + Ik

Es importante tener presente que el saldo Sk es reducido únicamente por la cantidad

correspondiente a la amortización Ak.

EJERCICIO No. 41:

Un banco otorga un préstamo de C$ 225,000 a la empresa comercializadora

de camarones “San Mateo”. La tasa de interés es del 30% CM. sobre saldo. El

plazo de la deuda es de 12 meses y la forma de pago es mediante cuotas

mensuales vencidas con amortización nivelada constante.

a) Determine el valor de las cuotas.

b) Elabore tabla de amortización.



DATOS

P = C$ 225,000 Principal J = 30% = 0.30 anual

m = 12 frecuencia de cap. Intereses en el año. i = j/m = 0.30/12 = 0.025% mensual

N = 12 número de pago pactados.

SOLUCIÓN

La amortización constante es: Ak = 225,000/12 = C$ 18,750

S0 = P = C$ 225,000 principal inicial, período 0

I1 = Sk-1 (i) = S0 (i) = 225,000 (0.025) = C$ 5,625

C1 = A1 + I1 = 18,750 + 5,625 = C$ 24,375.00 : cuota 1

S1 = C$ 225,000 – C$ 18,750 = C$ 206,250 saldo en período 1

I2 = S1 (i) = 206,250 (0.025) = C$ 5,156.25

C2 = A2 + I2 = 18,750 +5,156.25 = C$ 23,906.25 cuota 2


I3 = S2 (i) = 187,500 (0.025) = C$ 4,687.50

C3 = A3 + I3 = 18,750 + 4,687.50 = C$ 23.437.50 cuota 3

. . .

. . .

. . .


I12 = S11 (i) = 18,750 (0.025) = C$ 468.75

C12 = A12 + I12 = 18,750 + 468.75 = C$ 19,218.75 cuota 12



c) El calendario de pago se presenta en siguiente tabla

PERIODO Y

FECHA

AMORTIZACIÓN

AL PRINCIPAL

INTERESES

DEVENGADOS

CUOTA

PROPORCIONAL

SALDO

INSOLUTO

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C$ 0000000

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 18,750.00

C$ 0000000

C$ 5,625.00

C$ 5,156.25

C$ 4,687.50

C$ 4,218.75

C$ 3,750.00

C$ 3,281.25

C$ 2,812.50

C$ 2,343.75

C$ 1,875.00

C$ 1,406.50

C$ 937.50

C$ 468.75

C$ 0000000

C$ 24,375.00

C$ 23,906.25

C$ 23,437.50

C$ 22,968.75

C$ 22,500.00

C$ 22,031.25

C$ 21,562.50

C$ 21,093.75

C$ 20,628.00

C$ 20,156.25

C$ 19,687.50

C$ 19,218.75

C$ 225,000.00

C$ 206,250.00

C$ 187,500.00

C$ 168,750.00

C$ 150,000.00

C$ 131,250.00

C$ 112,500.00

C$ 93,750.00

C$ 75,000.00

C$ 56,250.00

C$ 37,500.00

C$ 18,750.00

0000000

TOTAL C$ 225,000 C$ 36,562.2 C$ 261,562.25 SALDO PAGADO

Mediante la fórmula 4.4 de la suma n-ésima de una sucesión decreciente a un valor

constante, podemos determinar la cantidad total que se paga por concepto de intereses del

préstamo.

Sn = N/2 [2a - (N – 1)d] Fórmula 4.4



Donde:

N = Número de pagos o términos

a = Intereses ganados en el primer mes (primer término)

d = Diferencia común de intereses en cada pago

SN = Total de intereses pagados (suma de la sucesión)

De acuerdo al ejemplo anterior tenemos:

N = 12 pagos

a = C$ 5,625.00

d = C$ 468.75, entonces:

SN = 12/2 [2(5,625) – (12 – 1) 468.75] = C$ 36,562.50

OBSEVACIÓN: Es un error calcular la tasa de interés que realmente actúa sobre el préstamo,

de la siguiente forma: i = 36,562.50/225,000 = 0.1625 = 16.25% ya que toma en cuenta

el valor del dinero en el tiempo.

AMORTIZACIÓN MEDIANTE CUOTA A INTERÉS FLAT.

En este sistema de amortización la cuota se calcula de forma similar que la

cuota proporcional, la diferencia es la forma de calcular los intereses FLAT o

fijos. El interés se calcula sobre el saldo original, debido a esta forma de

cálculo, la tasa de interés efectiva que se paga por un préstamo es elevada.

Es un sistema que se aplica con frecuencia en la política de créditos de las casas

comerciales de Nicaragua y muy poco en préstamos bancarios, a menos que la tasa de

interés se reduzca y se haga equivalente a una tasa de interés activa de interés sobre saldos.



La cuota (Ck) a pagar en este tiempo de amortización es de igual valor durante todo el

proceso. Tanto la parte que amortiza al principal (Ak) como los intereses (Ik) en cada cuota

son iguales.

Las amortizaciones no reducen los intereses en cada cuota por eso se llama INTERES

FLAT.

Calculo de la cuota.

Como sabemos la cuota es:

Ck = Ak + Ik

Donde, la parte de amortización (Ak) se calcula utilizando la fórmula 4.7 o sea:

Amortización Ak:

𝑨 =𝑷

𝑵=

PRINCIPAL O DEUDA

𝑵𝑼𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑫𝑬 𝑷𝑨𝑮𝑶𝑺 𝑷𝑨𝑪𝑻𝑨𝑫𝑶𝑺

Los intereses iguales Ik en cada cuota se determina mediante:

Intereses Ik:

𝑰𝒌 =𝑰

𝑵=

Pin (INTERES TOTAL )

𝑵𝑼𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑫𝑬 𝑷𝑨𝑮𝑶𝑺 𝑷𝑨𝑪𝑻𝑨𝑫𝑶𝑺 Fórmula 4.4



EJERCICIO No. 42:

Una persona recibe una oferta de una casa comercial para comprar un equipo

de sonido de marca reconocida en el mercado nacional e internacional. La

oferta consiste en lo siguiente: el valor de contado es C$ 9,198.18 con un

descuento del 3%. Si se adquiere al crédito se paga una prima de C$ 550 y el saldo

mediante cuotas iguales mensuales hasta un plazo de 20 meses a un interés del 5% flat

mensual. La persona se decidió por el crédito a 12 meses de plazo.

a) Calcule el valor de la cuota

b) Elabore el calendario de pago.

DATOS

C0 = C$ 550 cuota inicial P = C$ 9,918.18 – C$ 550 = C$ 8,648.18 saldo a financiar

i = 5% = 0.05 flat mensual N = 12 pagos pactados.

SOLUCIÓN

El valor de la amortización permanente será:

Ak = P/N = 8,648.18/12 = C$ 720.68

El valor de los intereses flat en cada cuota se determinan así:

Ik = Pin/N = 8,648.18 (0.05) (12) / 12 = 5,190/12 = C$ 432.41

De tal manera que la cuota mensual es:

Ck = Ak + Ik = 720.68 + 432.41 = C$ 1,153.09



La tabla siguiente es la de amortización de la deuda.

FIN DE

PERIODO

MENSUAL

AMORTIZACIÓN

AL PRINCIPAL

INTERESES

DEVENGADOS

FLAT

CUOTA CON

INTERESE FLAT SALDO

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C$ 0000000

C$ 550.00

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 720.68

C$ 0000000

C$ 0000000

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 432.41

C$ 0000000

C$ 550.00

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 1,153.09

C$ 9,198.18

C$ 8,648.18

C$ 7,927.50

C$ 7,206.82

C$ 6,486.14

C$ 5,765.46

C$ 5,044.78

C$ 4,324.10

C$ 3,603.42

C$ 2,882.74

C$ 2,162.06

C$ 1,441.38

C$ 720.68

C$ 000000

TOTAL C$ 9,198.18 C$ 5,188.92 C$ 14,387.10 SALDO

PAGADO

PROBLEMAS RESUELTOS DE AMORTIZACIÓN

1. Una deuda de $20.000 debe amortizarse con 12 pagos mensuales vencidos.

Hallar el valor de estos, a la tasa efectiva del 8%, y elaborar el cuadro de

amortización para los dos primeros meses.

http://www.monografias.com/trabajos15/amortizacion-gradual/amortizacion-gradual.shtml#SISTEM



(1+0,08)1/12

= (1+ e.m)12/12

i = 6,43 *10-3

20.000= A [ 1 - (1 + 0,0064)-12 ]/0,0064

A = 1.737,19 Respuesta

FECHA PERIODO CUOTA INTERÉS AMORTIZACIÓN SALDO

0 0 1.737,19 0 0 20.000

0 1 1.737,19 128,68 1.608,50 18.391,49

0 2 1.737,19 118,33 1.618,85 16.772,63

0 3 1.737,19 107,91 1.629,27 15.143,36

0 4 1.737,19 97,43 1.639,75 13.503,60

0 5 1.737,19 86,88 1.650,30 11.853,30

0 6 1.737,19 76,26 1.660,92 10.192,37

0 7 1.737,19 65,57 1.671,61 8.520,26

0 8 1.737,19 54,82 1.982,36 6.838,40

0 9 1.737,19 43,99 1.693,18 5.145,21

0 10 1.737,19 33,10 1.704,08 3.441,13

0 11 1.737,19 22,14 1.715,04 1.726,08

0 12 1.737,19 11,10 1.726,08 0



2. Una deuda de $100.000 debe cancelarse con pagos trimestrales vencidos en 18

cuotas, con interés del 12% capitalizable semestralmente. Hallar el saldo

insoluto, al efectuar el noveno pago.

(1+0,12)2/4

= (1 +et)4/4

100.000 = A [ 1 - (1 + 0,029)-18

]/0,029

A = 7.244,03 Anualidad

Para encontrar el valor del noveno pago

F = 7.244,03 [ (1 + 0,029)-9 - 1 ]/0,029

F = 73.462,00

M = 100.000 (1 + 0,029)9 = 129.979,95

73.462,00 + 129.979,95 = 56.517,95 Respuesta Saldo insoluto al noveno pago.

3. Una propiedad se vende en $300.000, pagaderos así; $100.000 al contado y el saldo

en 8 cuotas iguales semestrales con interés del 10% convertible semestralmente.

Hallar los derechos del vendedor y del comprador, al efectuarse el quinto pago

300.000 – 100.000 = 200.000

200.000 = A [ 1 - (1 + 0,05)-8

]/0,05

A = 30.944,36

F = 30.944,36 [ (1 + 0,05)-5 - 1 ]/0,05

F = 170.987,13

M = 200.000 (1 + 0,05)5 = 255.256,31

Derecho del Vendedor 255.256,31 -170.987,13 = 84.269,17

D. comprador + 84.269,17 = 300.000

D comprador = 215.730.83

http://www.monografias.com/Derecho/index.shtml



4.¿Con cuantos pagos semestrales iguales y vencidos de $9.500 se pagaría la

adquisición de un terreno que cuesta $29.540 si se carga una tasa anual de 34%

convertible mensualmente?

Conversión de la tasa

(1 +0,34)6 = (1 +i.s.)

12

Interés semestral = 0,1825

29.540 = 9.500 [ 1 - (1 + 0,1825)-n ]/0,1825

ln 0,4325 = - n ln(1,1825)

-0,838 = -n (0,1676)

n = 5 pagos semestrales Respuesta

5.Determine el número de pagos necesarios para amortizar totalmente la compra a

crédito de un automóvil que cuesta $48.000 y se vende con un enganche de 45% y el

resto a pagar en mensualidades vencidas de $1.254,75 con interés al 39% convertible

mensualmente.

Enganche 21.600

Quedan 26.400

http://www.monografias.com/trabajos15/financiamiento/financiamiento.shtml



i = 0,39/12

i = 0,0325

26.400 = 1254,75 [ 1 - (1 + 0,0325)-n

]/0,0325

n = 36 mensualidades Respuesta

6.Una aspiradora se vende en $499 al contado o mediante 4 pagos mensuales

anticipados de $135 ¿Cuál es la tasa efectiva mensual que se paga al adquirir ese

aparato a crédito?

499 = 135 [1 + 1 – (1 + i)-3

]/i

2,69 = 1 – (1 + i)-3

/i

Interpolación

0,06 – 0,05 = 0,06 – i

2,6730 – 2,7232 2,6730 – 2,69

0,00017 = 0.06 – i

0,0502

i = 0,05661

i = 5,66 % Respuesta



FONDO DE AMORTIZACIÓN

El fondo de amortización es una cantidad que se capitaliza (crece) mediante

pagos periódicos que devengan cierto interés, de modo que en un número

finito de depósitos se obtenga un monto deseado.

En la práctica financiera, la creación del fondo de amortización puede obedecer a los

siguientes objetivos:

a) Pagar el principal de una deuda a su vencimiento mediante cuotas periódicas, los

intereses corrientes que devengan la deuda se pagan por separado.

b) Acumular cierta cantidad de capital para reemplazar activos fijos en las empresas,

que se demeritan con el uso.

c) Tener reservas para proveer el pago de las pensiones de jubilación y vejez a los

trabajadores de compañías.

d) Retirar a su vencimiento los fondos de la emisión de obligaciones, entre otras,

En un fondo de amortización, cada pago que se reserva periódicamente es una

anualidad que gana intereses que se capitalizan, en cada período de capitalización; por eso

todos los problemas son similares a los ya estudiados en las anualidades.

Es importante establecer la diferencia entre el fondo de amortización y la

amortización propiamente dicha, si bien ambos son métodos para pagar a plazos un

préstamo o liquidar una obligación. En el primer importe de los plazos sirve únicamente

para pago de capital; en el segundo, por el contrario, los plazos son suficientes para pagar el

capital y el interés corriente sobre el mismo. Otra diferencia consiste en que; en el fondo de

amortización la deuda permanece constante hasta que se completa el fondo, mientras que

en el caso de la amortización, la deuda disminuye en cada pago sucesivo.

CALCULO DEL VALOR DEL PAGO PERIÓDICO.

Para el calculo del pago Dk al final de cada período, partimos del conocimiento

del valor o monto F que se deseamos acumular, la tasa periódica de interés i

que devenga el fondo y la cantidad del períodos de capitalización N. De esta

manera mediante la fórmula 3.4 calculamos el pago, o sea:



1)1( Ni

iFD

Fórmula 4.5

CALCULO DEL IMPORTE DEL FONDO DESPUÉS DEL K-ESIMO PAGO.

Cuando se han venido haciendo pagos a un fondo de amortización por espacio

de algunos años o períodos, resulta útil calcular rápidamente el monto total

acumulado Sk, justamente después del K-esimo pago Dk donde 1<k<N; para

realizar este calculo, usamos la fórmula 3.3 intercambiando la A por D y N por K, de esta

forma resulta:

i

iD

k

kS1)1(

Fórmula 4.6

TABLA DE CAPITALIZACIÓN.

La tabla de capitalización del fondo de amortización, sirve para mostrar el

crecimiento período a período del capital y contiene de forma estándar 5

columnas, a como se muestra en la tabla 4.7 del siguiente ejemplo.

EJERCICIO No. 43:

Una empresa industrial estima que dentro de 10 años tendrá que cambiar,

cierto tipo de maquinaria por motivo de desgaste debido a su uso. Este cambio

tendrá un costo de $ 850,000 y con el objetivo de disponer de este capital en su

momento ha decidido crear un fondo de amortización en un banco local, que devenga una

tasa de interés del 9.5%.

a) Determinar el valor del pago anual al fondo de amortización.

b) Calcular el monto acumulado después del pago 7 y el respectivo saldo.

c) Elaborar tabla de capitalización.



DATOS

F = $ 850,000 monto que desea acumular N = 10 pagos anuales

i = 9.5% = 0.095 anual D = ? valor del pago anual para el fondo

S7 = ? monto acumulado después del pago 7.

SOLUCIÓN

a) El valor de pago al fondo de amortización lo calculamos mediante la 4.5 esto es:

D = 850,000(0.095) / [(1 + 0.095)10

– 1] = 850,000(0.06426615) =

D = $ 54,626.23

b) El monto acumulado después del pago 7 lo hallamos por 4.6,

S7 = 54,626.23 [(1 + 0.095)7 – 1] / 0.095 = 54,626.23 (9.3426484) =

S7 = $ 510,353.66

El saldo Fk después de k pagos se determina mediante: Fk = F – Sk así el saldo es;

S7 = F – Sk = 850,000 – 510,353.66 = $ 339,646.34

c) La tabla siguiente muestra la capitalización del fondo de amortización.



A B C D E

FIN DE

PERIODO

ANUAK

CUOTA O PAGO DEL

FONDO DE AMORT.

INTERES

SOBREL EL

FONDO

INCREMENTO

AL FONDO

CAPITAL EN EL

FONDO

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

$ 54,626.23

$ 54,626.23

$ 54,626.23

$ 54,626.23

$ 54,626.23

$ 54,626.23

$ 54,626.23

$ 54,626.23

$ 54,626.23

$ 54,626.23

$ 000000000

$ 5,189.49

$ 10,871.98

$ 17,094.32

$ 23,907.77

$ 31,368.50

$ 39,538.00

$ 48,483.59

$ 58,279.03

$ 69,005.04

$ 54,626.23

$ 59,815.72

$ 65,498.22

$ 71,720.55

$ 78,534.00

$ 85,994.73

$ 94,164.23

$ 103,109.83

$ 112,905.26

$ 123,631.27

$ 54,626.23

$ 114,441.95

$ 179,940.16

$ 251,660.70

$ 330,194.70

$ 416,189.42

$ 510,353.64

$ 613,463.47

$ 726,368.73

$ 850,000.00

TOTAL $ 546,262.30 $ 303,737.70 $ 850,000.00 MONTO DESEADO

11) Las cifras que aparecen en la columna B representan los pagos periódicos para el fondo

de amortización.

12) La columna E muestra el total en el fondo después de cada pago. Una línea más debajo

de la columna C, aparece el interés de un período sobre cada cifra de la columna E.

13) Cada pago periódico de la columna B, más el interés correspondiente de la columna C,

suman el total incrementado al fondo al final de cada período de la columna D.



PROBLEMAS RESUELTOS DE FONDO DE AMORTIZACIÓN

1. Se establece un fondo de $5.000 semestrales que abona el 6% capitalizable

semestralmente. Hallar el valor acumulado en 5 años y elaborar el cuadro del fondo.

0,06/2 = 0,03

F = 5.000 [¨ (1 + 0,03 )10 -1] /0.03 =57.319,39

FECHA PERIODO CUOTA INTERÉS

VALOR

AGREGADO

AL FONDO

SALDO

0 0 0 0 0 0

0 1 5.000 0 5.000 5.000

0 2 5.000 150 5.150 10.150

0 3 5.000 304,5 5.304,5 15.454,5

0 4 5.000 463,63 5.463,63 20.918,13

0 5 5.000 627,54 5.627,54 26.545,67

0 6 5.000 796,37 5.796,37 32.342,04

0 7 5.000 970,26 5.970,26 38.312,31

0 8 5.000 1.149,36 6.149,36 44.461,68

0 9 5.000 1.333,85 6.333,85 50.795,53

0 10 5.000 1.523,86 6.523,86 57.319,39



2. Un artesano necesita remplazar cada 5 años todas sus herramientas, cuyo valor

es de $10.000. ¿Qué deposito mensual debe hacer en una cuenta de ahorros que

abona el 8%, capitalizable trimestralmente?

(1 + 0,08)4/12= (1 + e.m)12/12

4

Tasa efectiva mensual = 6,622 * 10-3

10.000 = A [(1 + 6,622 * 10-3)2 - 1]

6,622 * 10-3

A = 136,28 Respuesta

3.Para cancelar una deuda de $80.000 a 5 años plazos, se establecen reservas anuales

en un fondo que abona el 6%; transcurridos dos años eleva sus intereses al 7%. Hallar

las reservas anuales y hacer el cuadro de fondo

80.000 = A [(1 + 0,06)5 - 1]

0,06

A = 14.191,71 Primeros dos años

F = 14.191,71 [¨ (1 + 0,06)2 -1] = 29.234,92

0,06

M = 29234,92 (1+ 0,07)3 = 35.814,04

44.185,95 = A [(1 + 0,07)3 - 1]

0,07

http://www.monografias.com/trabajos11/contrest/contrest.shtml



A = 13.744,11 Los 3 últimos años.


VALOR

AGREGADO

AL FONDO

SALDO

0 0 0 0 0 0

0 1 14.191,71 0 14.191,71 14.191,71

0 2 14.191,71 851,502 15.043,21 29.234.92

0 3 13.744,11 2.046,44 15.790,56 45.025,48

0 4 13.744,11 3.151,78 16.895,89 61.921,38

0 5 13.744,11 4.334,49 18.078,61 80.000

4. Un municipio emite obligaciones a 10 años de plazo por $2.000.000 que devengan el

8% de interés. ¿Qué depósitos anuales debe hacer en un fondo que abona el 6% y que

egreso anual tendrá el municipio hasta el pago de la deuda?

2.000.000 * 0,08 = 160.000

2.000.000 = A [¨ (1 + 0,06)10 -1]

0,06

A = 151.735,92 depósitos anuales

151.735,92 + 160.000 = 311735,92 Respuesta total egreso anual

http://www.monografias.com/trabajos14/obligaciones/obligaciones.shtml



5.Hallar la reserva anual en un fondo que paga el 7% de interés, para cancelar en 25

años una deuda de $100.000.

100.000 = A [¨ (1 + 0,07)25 -1]

0,07

A = 1.518,05 depósitos anuales

Se deben pagar $29.000 dentro de 12 meses por una deuda con anterioridad. Si para pagarla

se decide constituir un fondo mediante depósitos bimestrales vencidos ¿cuál sería el

importante de los mismos si se colocan en un instrumento de inversión que rinde el 26%

convertible mensualmente?

(1 + 0,26)12/6 = (1 + i. bimestral)6/6

12

i = 0,04380

29.000 = A [¨ (1 + 0,04380)6 -1]

0,04380


http://www.monografias.com/trabajos12/cntbtres/cntbtres.shtml



6.Para pagar una deuda de $5.400 que vence dentro de 5 meses se va a construir un

fondo mediante depósitos mensuales anticipados. Si los depósitos se colocan en un

fondo de inversiones que rinde el 32% anual convertible mensualmente, hallar su

importe.

i = 0,32

12

i = 0,0266

5.400= A [¨ (1 + 0,0266)6 -1 - 1]

0,0266


7.Haga una tabla que muestre la forma en que amortizaría una deuda de $15.000

contratada hoy y que debe pagarse en 3 meses con interés al 12% trimestral

capitalizable mensualmente si se decide constituir un fondo mediante depósitos

quincenales vencidos en una cuenta de inversiones que rinde el 2,7% mensual efectivo.

(1 + 0,027)12/24 = (1 +e. q.)24/24

Efectiva quincenal = 0,0134

16.872,96 = A [¨ (1 + 0,0134)6 -1]

0,0134


http://www.monografias.com/trabajos12/cntbtres/cntbtres.shtml




VALOR

AGREGADO

AL FONDO

SALDO

0 0 0 0 0 0

0 1 2.719,34 0 2.719,34 2.719,34

0 2 2.719,34 36,46 2.755,81 5.475.16

0 3 2.719,34 73,42 2.792,76 8267,92

0 4 2.719,34 110,87 2.830,22 11.098,14

0 5 2.719,34 148,82 2.868,17 13.966,32

0 6 2.719,34 187,28 2.906,63 16.872,96

8. ¿Cuál debe ser el importe de cada uno de 8 depósitos mensuales anticipados que se

colocan en un fondo de inversión que rinde el 28,4% convertible mensualmente con el

objeto de amortizar una deuda de $8.888,89 que vence exactamente dentro de 8 meses?

8.888,89 =A [¨ (1 + 0,02375)9 -1 - 1]

0,02375

A = 998,29 Respuesta



BIBLIOGRAFIA

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Financieras”, Departamento de Matemáticas y Estadísticas, Facultad de Ciencias

Económicas, UNAN-Managua, 2002.

2. Ayres, Frank Jr., “Matemáticas Financieras”, McGraw-Hill, Tercera Edición,

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