UNIVERSIDAD DEL VALLE- SEDE CARTAGO

Programa: Administracin de Empresas

Asignatura: Matemticas Financieras

Profesor: JULIO HERNANDO LOZANO JIMENEZ

Modulo: FINANZAS Contenido del Programa

1. Matemtica Financiera

1.1. Inters

1.1.1. Clases de inters

1.1.2. Tasa de inters

1.1.3. Nomenclatura

1.1.4. Lneas de tiempo

1.1.5. Clase de tasas de inters

1.2. Principios de Equivalencia

1.2.1. Valor Presente

1.2.2. Valor Futuro

1.2.3. Anualidad

1.2.4. Amortizaciones

Mdulo: FINANZAS

1.3. Evaluacin de Proyectos

1.3.1. VPN

1.3.2. TIR

BIBLIOGRAFIA VARELA V,RODRIGO: Evaluacin econmica de Alternativas operacionales y proyectos de inversin. 1ra edicin. Editorial Norma.

SPAG CHAIN, NASSIR, Criterios de evaluacin de proyectos. 1ra. Edicin Madrid Mcgraw Hill, 1993

ORTIZ ANAYA HECTOR, Anlisis financiero aplicado

BRIGHMAN WESTON, Fundamentos de Administracin Financiera

BREALEY MYERS, Principios de Finanzas Corporativas

CASTAO SERGIO, SANTA GLORIA LUCIA Finanzas y costos- un acercamiento a la Gestin financiera de las organizaciones de salud. Fundacin Corona.

1. Matemtica Financiera 1.1. INTERES - Concepto General

El uso de un bien ajeno trae consigo el pago de una contraprestacin. El dinero no escapa a este principio general. En el mercado financiero quien entrega dinero en prstamo espera recibir al final de un plazo una cantidad mayor a la entregada y quien recibe el dinero sabe que deber pagar un valor superior al inicialmente obtenido, esta diferencia es lo que en finanzas se denomina INTERES.

1. Matemtica Financiera

Resumiendo: Inters es el precio que se paga o se recibe por el uso u otorgamiento del dinero.

Ejemplo:

Prstamo $100

Plazo 2 Meses

Entrega $ 110

I = 110 - 100

I = $ 10

1. Matemtica Financiera 1.1.1. Clases de Inters 1.1.1.1. Inters Simple

Es aquel en el cual los intereses generados en un periodo, no se acumulan al capital inicial para generar nuevos intereses en los periodos siguientes.

1.1.1.2. Inters Compuesto

Es aquel en el cual, los intereses obtenidos en un periodo se suman al capital existente al inicio del mismo para generar nuevos intereses

1. Matemtica Financiera

1.1.2. TASA DE INTERES

Expresa la relacin entre el dinero recibido o pagado por un concepto de intereses y el monto transado referido a un determinado periodo de tiempo (ao, semestre, trimestre, mes, etc.).

La tasa de intereses debe ser expresada en trminos porcentuales (30%,20%, etc.)

1. Matemtica Financiera Periodo de Referencia:

Expresa el periodo de tiempo al cual est referida la tasa de inters que generalmente es para un ao

Periodo de Aplicacin:

Expresa la manera en que se aplicar la tasa de inters dada para un periodo de referencia (30% anual, pagadera trimestralmente)

Forma de Aplicacin:

Expresa el momento en el cual se causa el inters por periodo de aplicacin el cual puede ser vencido o anticipado.

1. Matemtica Financiera

1.1.3. NOMENCLATURA

P (V.P) Valor Presente

F (V.F) Valor Futuro

A (P.M.T) Anualidad

N Nmero de periodos

1. Matemtica Financiera

1.1.4 LINEAS DE TIEMPO

Consiste en una lnea horizontal que tiene como longitud el tiempo que dure la operacin financiera, dividida en secciones iguales que representan los periodos que componen el tiempo del proyecto, tambin se denomina diagrama de flujo de caja o diagrama de tiempo valor

1. Matemtica Financiera

1.1.4. LINEAS DE TIEMPO

Para su construccin y operacin se aplican los siguientes principios:

El tiempo cero se considera el presente

Los ingresos se representan con flechas hacia arriba

Los egresos se representan con flechas hacia abajo

Formulacin Inters Simple.

Monto de Intereses: I= P*i*n

Equivalencias:

VF= P+I

VF= P*(1+i*n)

VP= F/(1+i*n)

i= (VF/P 1)/N

n= (VF/P 1)/i

1. Matemtica Financiera

1.1.5. CLASES DE TASAS DE INTERES

1.1.5.1. INTERES NOMINAL

Es una tasa de referencia que generalmente no refleja la realidad en cuanto a los intereses devengados anualmente.

El inters nominal no debe ser usado en relaciones de equivalencia.

Para realizar operaciones matemticas de tipo financiero, se requiere hallar la tasa efectiva o la tasa peridica equivalente.

INTERES NOMINAL

El inters nominal se caracteriza porque se indica:

El periodo de aplicacin o capitalizacin

El periodo de referencia que generalmente es un ao

El momento de aplicacin de la tasa de inters (anticipado o vencido)

Se expresa como r

Ejemplos:

36% Anual capitalizable mes vencido

20% Semestral capitalizable trimestralmente

32% capitalizable bimestre anticipado.

1. Matemtica Financiera

1.1.5.2 TASA DE INTERES PERIODICA

Corresponde a la tasa de inters que se aplicar por periodo (anticipado o vencido) que resulta de dividir la tasa nominal anual por el nmero de periodos de aplicacin comprendidos en el periodo de referencia (r/n). Se expresa como i

i= r/n

Ej: 36% anual pagadero por trimestre vencido

36%/4 = 9% Trimestre

Ejemplos:

Hallar la tasa peridica correspondiente a las siguientes tasas nominales:

a) 36% AMV

b) 20% STV

c) 32% ABV

Solucin:

a) r= 36%, periodo de referencia: 1 ao, n= 12 (12 meses en un ao). i= 36/12, i= 3% mensual

b) r= 20%, periodo de referencia: semestre, n=2 (hay 2 semestres en un ao). i=20/2, i= 10%

c) r= 32%, periodo de referencia: Ao, n= 6 (hay 6 bimestres en un ao). i=32/6, i= 5,33% bimestral.

1. Matemtica Financiera

1.5.3. TASA DE INTERES EFECTIVA La tasa efectiva indica el inters que realmente

se va a recibir o pagar durante el periodo de referencia, tambin se le denomina tasa de inters real.

Debe entenderse tambin como aquella tasa de inters que aplicada por una sola vez vencida en el periodo de referencia produce el mismo resultado o valor futuro que el obtenido al aplicar la tasa peridica (i) n veces con una reinversin de los intereses recibidos peridicamente a la misma tasa.

1. Matemtica Financiera

1.5.3. TASA DE INTERES EFECTIVA

La tasa efectiva presupone una reinversin de los intereses recibidos peridicamente en el mismo momento y a la misma tasa peridica. Su nomenclatura es E

Ejemplo: Una empresa presta $100 hoy para ser cancelados dentro de un ao a una tasa de inters del 36% capitalizado mensualmente. Cunto tendr que cancelar al termino del plazo pactado?, cul ser el inters anual realmente cobrado?

r= 36%, P= 100, n= 12, i= desconocido, F= desconocido

Solucin: i=r/n, 36/12, i= 3% mensual

MES INTERES

DINERO AL

FINAL DEL

MES

0 0 100

1 3 103

2 3,09 106,09

3 3,18 109,27

4 3,28 112,55

5 3,38 115,93

6 3,48 119,41

7 3,58 122,99

8 3,69 126,68

9 3,80 130,48

10 3,91 134,39

11 4,03 138,42

12 4,15 142,58

Si le prestan $100 debe cancelar $142.58, es decir, $42.58 de inters, esto equivale al 42.58%.

Por lo anterior la tasa no es del 36% sino del 42.58% que es la efectiva anual.

Se haba dicho que inters efectivo, aplicado una sola vez produce el mismo resultado que el nominal aplicado n veces.

En el ejemplo, el 3% se aplico 12 veces y se obtuvo un valor de $142.58, apliquemos E una sola vez:

I= 100*42.58%= 42.58

F= P+I

F= 100+42.58= 142.58

Ejemplo:

Una entidad financiera cobra intereses al 30% anual. Se desea saber:

a) Cual es la tasa mensual equivalente?

b) Cual es la tasa trimestral equivalente?

EJEMPLO

Suponga que Usted adquiere un prstamo por valor de $1.000.000 a una tasa de inters del 20% anual anticipada. En este caso el banco le entrega solo $800.000, es decir, en trminos reales se debe pagar dentro de un ao $1.000.000 por $800.000 que le entregan hoy. Que tasa de inters le estn cobrando?

P= 800.000

I= 200.000

T= I/P=

T= 200.000/800.000

T= 0.25= 25%

La tasa de inters real es 25% y no 20% como se indicaba.

Ejemplo:

Cul ser el inters efectivo anual equivalente al 30% anual capitalizable mes anticipado?

E=?

r= 30% ACMA

N= 12

ia= ?

iv= ?

PROCESO DE CONVERSION:

ra

Tasa Nominal Anticipada

ia Tasa Peridica Anticipada

iv Tasa Peridica Vencida

1.1.5.6. TASA DE INFLACION

La tasa de inflacin se define como la medida del incremento continuo en los precios de los bienes y servicios a travs del tiempo. La tasa de inflacin opera como una tasa de inters compuesto.

Aplicando una tasa de inflacin se puede estimar el costo de una artculo hacia el futuro, suponiendo que el nico factor que influir ser la inflacin.

Se puede realizar la operacin inversa, es decir, determinar el valor de un artculo hacia el pasado utilizando una ao base y una tasa de inflacin.

A este valor se le conoce como el valor del artculo medido en pesos constantes(medidos en pesos del ao base) y la operacin se conoce como Deflacin.

Cuando el flujo de caja de una inversin esta dado en pesos corrientes, se debe utilizar una tasa de inters que contenga la inflacin (tasa inflada). Cuando el flujo de caja esta dado en pesos constantes, para su anlisis se debe utilizar una tasa de inters que no contenga la inflacin (tasa deflactada).

Ejemplo: Cul ser la rentabilidad real de una inversin que genera un inters del 31% anual, si durante el ao la inflacin fue del 15%?

td= ?

tf= 31%

ti= 15%

Muchos pensaran que la rentabilidad real se obtiene restando a la tasa de rentabilidad, la tasa de inflacin: r= 32-15= 16%, pero esto no es correcto.

1.1.5.7 TASAS COMPUESTAS

Una tasa se llama compuesta, cuando esta es el resultado de la aplicacin simultanea de dos o ms tasas que operan en condiciones diferentes. Un ejemplo de ello, son los prstamos de las corporaciones de ahorro y vivienda donde opera simultneamente la tasa de inters y la tasa de correccin monetaria (UVR). Cuando se aplican dos o ms tasas de inters simultneamente, no es correcto sumarlas para hallar la tasa equivalente.

Ejemplo: Se adquiere un prstamo a un inters del 7% anual ms la correccin monetaria la cual se estimo en un 10% efectiva anual, Cul ser el inters real cobrado?

i1= 7.0%

i2= 10%

ir= (1.07)(1.1)-1

ir= 17.70%

El inters real es el 17.7% que es diferente a la sumatoria de los dos intereses.

SI

ES TASA

NOMINAL

ES TASA

EFECTIVA?

HALLAR TASA PERIODICA

DEBE

HALLAR

TASA

MAYOR

HALLAR E DADO i

HALLAR i DADO E

NO NO

SI

ON

SI

i= r/m

CONVERSION DE INTERESES