matematica financiera como modelo economico

UNIVERSIDAD APEC

2014

Matemtica Aplicada a la

Economa La Matemtica Financiera como Modelo

Econmico

Mateo

S A N T O D O M I N G O . R E P B L I C A D O M I N I C A N A

Maestra en Matemtica Superior Matemtica Aplicada a la Economa

Wilson Mateo 2013-1052

La Matemtica Financiera como

modelo Econmico

Wilson Mateo A.

2013-1052

Abril 12, 2014



Definicin de objetivos

Presentar brevemente los principales aspectos histricos de la matemtica financiera.

Analizar las caractersticas de un modelo de mercado

Presentar las diversas aplicaciones matemticas en la matemtica financiera.

Presentar diferentes modelos matemticos aplicados en las finanzas.

Definir los principales componentes de la matemtica financiera.



Introduccin/marco terico

Un modelo matemtico es uno de los tipos de modelos cientficos que emplea algn tipo de

formulismo matemtico para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables,

parmetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar

comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difciles de observar en la

realidad(Wikipedia). Los modelos matemticos se han convertido en herramientas

indispensables para las ciencias econmicas, las finanzas, las ciencias empresariales y la direccin

de empresas. Esto es as porque permite afrontar problemas que de otro modo serian difciles de

resolver1 (Martin Anthony, Norman Biggs 2002). A partir de esta definicin, usaremos el

concepto de modelo matemtico para analizar diferentes modelos financieros y aplicaciones

prcticas en el mundo de las finanzas. Durante el desarrollo de esta consulta bibliogrfica, se

definirn conceptos muy importantes como anualidades, amortizacin de un prstamo, valor

presente y valor futuro. De igual forma, nos referiremos a aspectos histricos de la matemtica

financiera, abordaremos diversos modelos financieros mediante ejemplos prcticos de la vida

diaria. Al final, no pretendemos desarrollar una nueva teora con las afirmaciones expuestas en

este trabajo, ms bien; motivar a los lectores a indagar ms acerca de este fascinante mundo de

las finanzas.

1 Martin Anthony, Norman Biggs, Matemticas para la economa y las finanzas. 2002. Cambridge University



Aspectos histricos de la matemtica Financiera

Las matemticas han sido aplicadas a muchas reas de las finanzas a travs de los aos. No hay

mucha informacin acerca de la historia de las matemticas financieras, ni de cul era el

problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que se cree es que se dieron como un

desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o

determinados pagos, por ejemplo los que haban de realizar los aldeanos a sus seores feudales

en la poca del feudalismo en Europa. Las matemticas financieras aparecieron inicialmente con

los intereses, se cree que "alguien" se dio cuenta que si otro le deba dinero o vacas o cabras o lo

que fuera, l deba recibir una compensacin por el tiempo que esta persona tardara en cancelar

la deuda.

En la segunda mitad del siglo XX hemos asistido a una notable evolucin de la economa

financiera, que slo ha sido posible mediante la aplicacin sistemtica y con intensidad creciente

del pensamiento matemtico. Una vez ms, las matemticas han permitido formular con rigor los

principios de otra ciencia, y han proporcionado un mtodo de anlisis que conduce al

establecimiento de propiedades y relaciones que, lejos de ser triviales, incorporan un alto nivel

de complejidad, son fciles de contrastar desde el punto de vista emprico y tienen aplicacin

prctica inmediata.

Matemtica de las finanzas: caracterizacin

La matemtica financiera, tambin llamada matemtica de las operaciones financieras, es una

parte de la matemtica aplicada que estudia los modelos matemticos relacionados con los

cambios cuantitativos que se producen en sumas de dinero, llamados capitales.(Vidarre Aguirre)

Se puede entender un modelo econmico como una representacin o propuesta o, ms

ampliamente, como un concepto ya sea proposicional o metodolgico acerca de algn proceso o

fenmeno econmico. Como en otras disciplinas, los modelos son, en general, representaciones

ideales o simplificadas, que ayudan a la comprensin de sistemas reales ms

complejos.(Wikipedia).



Aplicaciones matemticas en el mundo de las finanzas

Modelos bsicos: El modelo de la tela de araa (Martin Anthony, 2002)

La grafica del la izquierda es bien conocida por nosotros, nos referimos a la representacin de la oferta y

la demanda. D que representa la funcin de demanda y

O que representan la funcin de oferta, coinciden en un

punto E, a este punto se le llama punto de equilibrio del

mercado que no es mas que el momento en el cual el

mercado no presenta utilidades2.

Martin Anthony plantea la necesidad de observar

caractersticas especiales que merecen prestar atencin

al momento de referirnos a equilibrio de mercado. Se

refiere a factores que producen un desfase cronolgico

entre la actuacin de los proveedores y la forma en que

reacciona el propio mercado cuando factores externos

afectan la oferta. A este tipo de modelo se le llama

modelo de la tela de araa. Este modelo relaciona un

conjunto de sucesiones en la funcin oferta y demanda,

que posteriormente podra generar cambios en el

equilibrio del mercado.

2 Usaremos el concepto para referirnos al caso en que el mercado no represente perdidas ni ganancias.



Logaritmos: Aplicaciones en el campo de las finanzas.

Los logaritmos son elementales para la aplicacin de modelos matemticos en finanzas, vamos a ver

algunas situaciones.

Situacin 1: En cunto tiempo se acumula un capital de $47,800 si se invierten $40,000 a una tasa de 2%

mensual capitalizables mensualmente?

Sol. EL monto acumulado se determina mediante la expresin:

Si reemplazamos estos valores, obtendramos

Aplicando logaritmos en ambos lados de la ecuacin, se obtiene

Esto implica que los $40,000 iniciales se convertirn en $47800 en 9 meses.

Situacin 2. Qu tasa es necesaria para triplicar un capital durante 10 aos capitalizables

cuatrimestralmente?

como k=30, entonces nos queda:

Aplicamos propiedades de los logaritmos



Y con una aritmtica simple nos queda que

Analicemos la situacin anterior para un capital de $1000.

Por lo anterior sabemos que:

De donde

Y con aritmtica



Inters Compuesto.

Decisin que vale!

Veamos los siguientes anucios publicitarios.

Ambos bancos ofrecen atractivas tasas para certificados de inversin, capitalizables en los periodos

especificados. SI usted tuviera que elegir la mejor opcin, cual considera correcta?

Evidentemente

Veamos esto con lupa.

Calculemos las tasas efectivas de ambos bancos



Si procedemos de la misma forma para calcular la tasa efectiva que ofrece Scotiabank obtenemos:



13% mensual 12.92% cuatrimestral

Consideremos el caso general de una inversin que crece con inters compuesto. Sea P una suma

invertida a una tasa de inters del R por ciento anual. Luego, el inters en el primer ao es (R/

100)P, de modo que el valor de la inversin despus de 1 ao es

En donde

El inters del segundo ao ser el R% de este nuevo valor

Por lo tanto, el valor despus de dos aos ser:

Observemos que cada ao el valor de la inversin se multiplica por un factor de de su valor el ao previo. Despus de n aos, el valor est dado por la frmula:

En algunos casos, el inters se capitaliza ms de una vez por ao, por ejemplo, semestralmente (2 veces por ao), trimestralmente (4 veces por ao) o mensualmente (12 veces por ao). En estos

, donde



casos, el porcentaje R de la tasa de inters anual, la cual por lo regular se cotiza, se denomina la tasa nominal. Si se compone k veces por ao y si la tasa de inters nominal es del R por ciento, esto significa que la tasa de inters en cada composicin es igual al (R/ k) por ciento. En n aos, el nmero composiciones es kN.

Tasa efectiva se define como la tasa anual que proporcionara el mismo crecimiento si se compone una vez por ao. Considere una inversin que se compone k veces por ao a una tasa de inters nominal de R%. Entonces, la inversin crece por un factor de en un ao,

donde

.

Sea la tasa de inters efectiva e

. Entonces, por definicin, la inversin

crece por un factor de cada ao. De modo que tenemos

lo cual permite que se calcule la tasa efectiva.

En el ejemplo anterior utilizamos la tasa efectiva para comparar los beneficios que generara una

inversin durante un perodo de capitalizacin k.

Composicin continua

Suponga que una cantidad de dinero, digamos $100, se invierte a una tasa de inters de 8% compuesta anualmente. Cada ao el valor de la inversin aumenta por un factor de 1.08, de modo que despus de N aos, es igual a . Por ejemplo, despus de 4 aos, la inversin tiene un valor de Ahora supongamos que la inversin de $100 se compone semestralmente y que la tasa nominal de inters se mantiene en 8% anual. Esto significa que la tasa de inters semestral es de 4%. Entonces, cada medio ao, el valor de la inversin crece por un factor de 1.04. En un periodo de N aos hay 2N de tales composiciones semestrales; as despus de N aos la inversin tiene un valor de . Por ejemplo, 4 aos despus el valor es



Podemos continuar de esta manera: dividimos el ao en k periodos iguales y componemos el inters al final de cada uno de estos periodos a una tasa nominal de inters anual de 8%. Esto significa que la tasa de inters para cada periodo es de 8/k por ciento y la inversin aumenta en valor por un factor de 1+ 0.08/ k para cada uno de estos pequeos periodos. Durante N aos hay kN de tales periodos de composicin, de modo que el valor despus de N aos est dado por la

frmula

De lo anterior se deduce la siguiente frmula:

El Banco Popular Dominicano tiene una tasa nominal de

inters anual de 7%, compuesta continuamente. Para

atraer clientes prefiere presentar una tasa efectiva de

inters anual. Qu tasa debera presentar en su

publicidad?

Veamos lo que ocurre.

Si

Que con un factor de 100 sera 7.25%. Por tanto, en dicha publicidad conviene que se promueva

la tasa efectiva de inters anual y no la compuesta continuamente a un 7%.

Sucesiones: Aplicaciones en el campo de las finanzas. Una sucesin es una lista ordenada de nmeros. Por ejemplo,

2, 5, 8, 11, 14,...

3, 6, 12, 24, 48,...



Las sucesiones pueden ser finitas o infinitas. Al n-simo trmino de una sucesin se le llama

trmino general.

DEFINICIN Una sucesin se dice que es una progresin aritmtica (PA) si la diferencia entre cualquier trmino y el anterior es la misma a lo largo de toda la sucesin. La diferencia algebraica entre cada trmino y el anterior se denomina diferencia comn y se denota por d.

Veamos algunas aplicaciones en las finanzas.

Los pagos mensuales que Alicia efecta al banco por un prstamo forman una PA. Si sus pagos

sexto y dcimo son de $345 y $333, respectivamente, de cunto ser su dcimo quinto pago al

banco?

Solucin Sea a el primer trmino y d la diferencia comn de los pagos mensuales de la PA. Entonces, los pagos sucesivos (en dlares) son

a, a + d, a+ 2d, ...

Dado que los pagos sexto y dcimo (en dlares) son de 345 y 333,

Si aplicamos algn mtodo de resolucin para el sistema anterior podemos obtener los

valores de a y los valores de d.

Luego realizamos las respectivas sustituciones y encontramos los valores de y , pero

como los interesa encontrar el valor de



Y as, el pago decimoquinto que debe realizar es de $318

Luego de esto, si nos interesa saber a cunto asciende el monto total de la deuda de Alicia,

entonces nos apegamos el siguiente teorema.

La suma de n trminos de una PA con primer trmino a y diferencia comn d est dada por

Para la deuda de Alicia tenemos que utilizar el primer pago que hizo o sea :

Tendramos lo siguiente:

DEFINICIN Una sucesin de trminos se dice que estn en una progresin geomtrica (PG) si la razn de cada trmino al trmino anterior es siempre la misma. Esta razn constante se denomina razn comn de la PG.

El n-sino trmino de una PG, se obtiene por:

Y la sumatorio de dichos trminos



Depreciacin. Santo Domingo Motors vende un vehculo en

$1,000,000 y se deprecia anualmente a una tasa de 20% de su valor.

Determine una expresin para el valor despus de n aos. Si el valor

de desecho es $300,000, cual es la vida efectiva del vehculo (el

nmero de aos hasta que su valor depreciado sea menor que su

valor de desecho)?

Solucin Ya que el valor del vehculo se deprecia cada ao en un 20% de su valor al inicio del ao, el valor del vehculo al trmino de cada ao es el 80% o cuatro quintos del valor al inicio de ese ao. As que, el valor (en pesos) al trmino del primer ao es

Al final del segundo ao ser

De manera similar se puede obtener para el tercer ao

Se puede observar que estos trminos forman una PG, donde

Por lo tanto, el trmino general de esta sucesin se puede escribir como:

Vamos a construir una tabla de depreciacin para ver esto mejor.

Para los clculos usaremos

Aos 1 2 3 4 5 6

800,000 640,000 512,000 409,000 327,680 262,144



Plan de ahorros. Un seor motivado por la

publicidad de una administradora de fondos de

pensiones, decide invertir $24,000 al ao. Cul

es el valor de esta inversin al final del dcimo

ao? Incluya el capital invertido.

Solucin. Los primeros $24,000 se invierten a

diez aos, o sea, su valor se incrementara en

funcin de

Donde

En consecuencia, el valor es de $ . Los segundos $24,000 se invierten 1 ao ms tarde; por lo

que permanecern en el plan durante 9 aos. Por tanto,

su valor se incrementa a $ . Los terceros $24000 estarn en el plan 8 aos y tienen el valor de $. Continuamos de esta manera hasta el dcimo pago de $24000, el cual se hizo 9 aos despus del primero. Su valor 1 ao despus es $24000(1.08).

Lo que tenemos es una PG con a =24000, r= 1.08 y n= 11. Por tanto,

Simplificando todo esto y haciendo un ejercicio de aritmtica nos queda que



Otros conceptos:

Dejamos la siguiente lista de conceptos financieros para que puedan ser investigados.

Valor Actual o presente: Es el que corresponde a un bien, una inversin, cantidad de dinero o un

valor en un instante considerado como presente, lo que permite evaluar su equivalencia con

otros bienes, valores o inversiones.

VF.- Valor futuro VA.- Valor presente o actual k.- Tipo de inters n.- plazo, normalmente expresado en aos.

Anualidades: son pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo (generalmente de un ao) que se llaman intervalos de pago. Cuando el pago de la anualidad se efecta al final del intervalo de pago, se llama anualidad ordinaria; y si se efecta al principio del intervalo de pago, se llama anualidad anticipada.

La frmula para calcular el monto de anualidades es:

Amortizacin: e-econmic3, define este concepto como las reducciones en el valor de los activos

o pasivos para reflejar en el sistema de contabilidad cambios en el precio del mercado u otras reducciones de valor.

3 www.e-economic.es. Revista electrnica dedicada a la divulgacin de conocimientos financieros.



Bibliografa

1. Villalobos, Jos Lus. Prentice Hall. (2001). Matemticas Financieras. Mxico.

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2. Jagdish C. Arya, Robin W. Lardner. (2002). Departament of Mathematics, Simon Fraser

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Mxico.

3. Ayres Jr. Frank. Mc. Graw Hill. Serie Schawm. Matemticas Financieras.

4. Ernest F. Haeussler, Jr. Richard S. Paul. Prentice Hall. Ed. Pearson. (1997). Matemticas

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5. Ernest F. Haeussler, Jr. Richard S. Paul. Prentice Hall. Ed. Pearson. Matemticas para

administracin y Economa. 10ma Ed. Mxico 2003.

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8. Navarro, Eliseo. Nave Jun. Fundamentos de Matemticas Financieras. Antonio Bosch,

editor. Espaa (2003).

9. Sydsaeter, Knut. Hammond, Petter J. Matemticas para el Anlisis Econmico. Prentice

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Inters compuesto: definicin, origen de su formula. Aplicaciones practicas

matematica financiera como modelo economico

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