República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación

Facultad de ingenieríaBarquisimeto-Cabudare

Actividad de matemática.

Daniel Parra C.I.: 22301685

1.) Determine si la función es solución de la ecuación diferencial.

a ) y=senx ln (csc x+ctgx ) ; y ,,+ y=−ctgxPara comprobar esto se debe derivar dos veces y sustituir en la ecuación diferencial dada, para

determinar si la función dada satisface dicha ecuación:

Primera derivada:

y '=cosx· ln (cscx+ctgx )+senx· (cscx+ctgx ) 'cscx+ctgx

y '=cosx· ln (cscx+ctgx )+senx·−cscx·ctgx−csc2 xcscx+ctgx

y '=cosx· ln (cscx+c tgx )+senx·−cscx· (ctgx+cscx )cscx+ctgx

y '=cosx· ln (cscx+ctgx )+senx· (−cscx )

y '=cosx· ln (cscx+ctgx )−senx·1

senx

y '=cosx· ln (cscx+ctgx )−1

Segunda derivada:

y ' '=−senx· ln (cscx+ctgx )+cosx· (cscx+ctgx ) 'cscx+ctgx

−0

y ' '=−senx· ln (cscx+ctgx )+cosx·−cscx·ctgx−csc2 xcscx+ctgx

y ' '=−senx· ln (cscx+ctgx )+cosx·−cscx· (ctgx+cscx )cscx+ctgx

y ' '=−senx· ln (cscx+ctgx )+cosx· (−cscx )

y ' '=−senx· ln (cscx+ctgx )−cosx·1

senx

y ' '=−senx· ln (cscx+ctgx )− cosxsenx

y ' '=−senx· ln (cscx+ctgx )−cotx

Al sustituir en la ecuación diferencial dada, se tiene:

y ' '+ y=[−senx· ln (cscx+ctgx )−cotx ]+senx· ln (cscx+ctgx)Simplificando:

y ' '+ y=−cotx

Por lo que la función y=senx· ln (cscx+ctgx ), es solución de la ecuación diferencial dada.

2.) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al método

correspondiente.

a . ) senx cos xy ,+ y=tg2 x

b ) (e2 y− ycos xy )dx+ (2xe 2 y−x cos xy+2 y )dy=0

a.)

senx·cosx· y '+ y=tg2 x

Dividiendo la ecuación diferencial por senx·cosx:

senx·cosx· y '

senx·cosx+ ysenx·cosx

= tg2 xsenx·cosx

y '+ ysenx·cosx

=

sen2 xcos2 x

senx·cosx

y '+ 1senx·cosx

y= sen2 xsenx· cos3 x

y '+ 1senx·cosx

y= senx

cos3 x

Ecuación diferencial lineal de la forma:

y '+P(x) y=Q( x)

Con:

P ( x )= 1senx·cosx

yQ ( x )= senx

cos3 x

P ( x )= 1senx·cosx

= 1sen2 x

2

= 2sen2x

=2csc 2x

Factor integrante:

μ(x )=e∫P ( x )dx=e

2∫ csc2 xdx

μ(x )=e22

ln|csc2x +cot 2x|=e ln|csc 2x+cot 2 x|

Entonces:

μ(x )=csc 2 x+cot 2x

Por lo que:

e∫P ( x )dx

y=∫Q(x )e∫ P ( x )dxdx

(csc 2 x+cot 2x ) y=∫ senx

cos3 x(csc 2x+cot 2 x )dx

(csc 2 x+cot 2x ) y=∫ senx

cos3 x ( 1sen2x

+ cos2xsen2 x )dx

(csc 2 x+cot 2x ) y=∫ senxcos3 x ( 1+1−2 sen2 x

2 senx·cosx )dx(csc 2 x+cot 2x ) y=∫ 1

cos3 x

2 (1−sen2 x )2cosx

dx

(csc 2 x+cot 2x ) y=∫ 1cos3 x

cos2 xcosx

dx

(csc 2 x+cot 2x ) y=∫ sec2 xdx

(csc 2 x+co t 2 x ) y=tanx+C

y= tanx+Ccsc 2 x+cot 2x

b)

(e2 y− ycosxy )dx+ (2x e2 y−xcosxy+2 y )dy=0

Tomemos:

M (x , y )=e2 y− ycosxy

y

N ( x , y )=2x e2 y−xcosxy+2 y

∂∂ y

M ( x , y )=2e2 y−cosxy+xysenxy

∂∂ x

N ( x , y )=2e2 y−cosxy+xysenxy

Dado que:

∂∂ y

M ( x , y )= ∂∂x

N ( x , y )

La ecuación diferencial es exacta, por tanto existe f(x,y) tal que:

∂∂ x

f ( x , y )=M ( x , y )

y

∂∂ y

f ( x , y )=N ( x , y )

Entonces:

f ( x , y )=∫M (x , y )dx=∫ (e2 y− ycosxy )dx

f ( x , y )=x e2 y− yysenxy+h ( y)

f ( x , y )=x e2 y−senxy+h( y )

Entonces:

∂∂ y

f ( x , y )=2x e2 y−xcosxy+h ' ( y )

Como:

∂∂ y

f ( x , y )=N (x , y )

2 xe2 y−xcosxy+h' ( y )=2x e2 y−xcosxy+2 y

Entonces:

h' ( y )=2 y

Luego:

h ( y )=∫2 y dy

h ( y )= y2

f ( x , y )=x e2 y−senxy+ y2

La solución es de la forma:

f ( x , y )=C

x e2 y−senxy+ y2=C

3.) Resolver las ecuaciones diferenciales de orden N por coeficientes indeterminados.

a . ) y ,,+ y ,=2e2 x senxb . ) y ,,+9 y=93x+3 cos x

a)

y ' '+ y'=2e2x senx

Resolviendo la ecuación homogénea:

y ' '+ y'=0

r2+r=0

r (r+1 )=0

r=0 ;r+1=0

r=0 ;r=−1

Números reales distintos.

Solución homogénea:

yh=C0 e0x+C1 e

−1x

yh=C0+C1e− x

Solución particular:

Como:

g ( x )=2e2 x senx

y p=A e2 xcosx+Be2x senx

Derivando:

y ' p= (A e2 x )'cosx+A e2x (cosx )'+(Be2 x) ' senx+Be2x (senx ) '

y ' p=2 Ae2x cosx+Ae2x (−senx )+2B e2 xsenx+Be2x cosx

y ' p= (2 A+B ) e2x cosx+(−A+2 B ) e2 xsenx

Derivando nuevamente:

y ' ' p= (2 A+B ) [ (e2 x)' cosx+e2x (cosx )' ]+(−A+2 B ) [ (e2x )' senx+e2x (senx ) ' ]y ' ' p= (2 A+B ) [2e2xcosx+e2 x (−senx ) ]+(−A+2 B ) (2e2 xsenx+e2 xcosx )

y ' ' p= (2 A+B ) [2e2xcosx−e2x senx ]+(−A+2B ) (2e2 x senx+e2xcosx )

Distributiva:

y ' ' p= (4 A+2B ) e2xcosx+ (−2 A−B ) e2 x senx+ (−2 A+4 B ) e2x senx+(−A+2 B ) e2 xcosx

Agrupando los términos semejantes:

y ' ' p= (4 A+2B−A+2B ) e2x cosx+(−2 A−B−2 A+4 B ) e2 x senx

y ' ' p= (3 A+4 B ) e2x cosx+(−4 A+3B )e2x senx

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

y ' '+ y'=2e2x senx

(3 A+4B ) e2x cosx+(−4 A+3 B ) e2 x senx+(2 A+B )e2x cosx+(−A+2 B ) e2 x senx=2e2x senx

Sumando los términos correspondientes:

(3 A+4B+2 A+B )e2x cosx+(−4 A+3B−A+2 B ) e2 x senx=2e2x senx

(5 A+5 B ) e2 xcosx+(−5 A+5 B ) e2x senx=2e2x senx

5 A+5 B=0 y−5 A+5B=2

{ 5 A+5 B=0−5 A+5 B=2

10 B=2

B= 210

=15

y

5 A=−5B⇒ A=−B=−15

Luego, la solución particular es:

y p=−15

e2 xcosx+ 15e2x senx

Solución general:

y= yh+ y p

y=C0+C1e− x−1

5e2x cosx+ 1

5e2x senx

b . ) y ,,+9 y=93x+3cos xy ' '+9 y=93 x+3cosx

Resolviendo la ecuación homogénea:

y ' '+9 y=0

r2+9=0

r2=−9

¿±3i

∝=0 y β=3

Número complejo no repetidos.

yh=e∝ x (C0 cosβx+C1 senβx )

Solución homogénea:

yh=e0 x (C0 cos 3x+C1 sen3 x )yh=C0 cos3 x+C1 sen3 x

Solución particular para el método de coeficientes indeterminados:

Como:

g ( x )=93 x+3cosx

La solución particular es:

y p=Ax+B+C·cosx+D·senx

Derivando:

y ' p=A−C·senx+D·cosx

Derivando:

y p' '=−C·cosx−D·senx

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

y p' '+9 yp=93 x+3cosx

−C·cosx−D·senx+9 (Ax+B+C·cosx+D·senx )=93 x+3cosx

−C·cosx−D·senx+9 Ax+9 B+9C·cosx+9D·senx=93 x+3cosx

9 Ax+9 B+8C·cosx+8D·senx=93 x+3cosx

Igualando coeficientes:

9 A=93 ;9B=0 ;8C=3 ;8D=0

A=939; B=0

9;C=3

8;D=0

8

A=313;B=0 ;C=3

8; D=0

Sustituyendo en yp:

y p=313x+0+ 3

8·cosx+0· senx

y p=313x+ 3

8· cosx

Solución general:

y= yh+ y p

y=C0 cos3 x+C1 sen3 x+ 313x+ 3

8· cosx

4.) Resuelva por variación de parámetros:

y ,,+9 y=14Csc3 x

y ' '+9 y=14Csc3 x

Resolviendo la ecuación homogénea:

y ' '+9 y=0

r2+9=0

r2=−9

¿±3i

∝=0 y β=3

Número complejo no repetidos.

yh=e∝ x (C0 cosβx+C1 senβx )

Solución homogénea:

yh=e0 x (C0 cos3 x+C1 sen3 x )yh=C0 cos3 x+C1 sen3 x

Por variación de parámetros, la solución particular es:

y p=C0(x )·cos3 x+C1(x )· sen 3x

{ C'0 ( x ) ·cos3 x+C'

1 ( x ) · sen3 x=0

−C'0 ( x ) ·3 sen3 x+3C'

1 (x ) ·cos3 x=14Csc3 x

Resolviendo el sistema de ecuaciones por Crammer:

w=| cos3 x sen3 x−3 sen3 x 3 cos3 x|=3 cos23 x+3 s en2 3x=3 ( cos2 3 x+sen23 x )=3

w0=| 0 sen3 x14Csc3 x 3cos 3x|=0+ 1

4sen3x·C sc 3 x=1

4sen 3x·

1sen3 x

w0=14

w1=| cos 3x 0

−3 sen3 x14Csc3 x|=1

4cos3 x·Csc3 x+0=1

4cos3 x·

1sen3x

w1=14∙cos3 xsen3x

=14

cot 3 x

Entonces:

C '0 ( x )=

w0

w=

143

=1

12

C0 ( x )=∫ 112

dx

C0 ( x )= 112

x

Además:

C '1 ( x )=

w1

w=

14

cot 3x

3=

112

cot 3 x

C1 ( x )= 112∫cot 3 xdx

C1 ( x )= 112

∙13∙ ln|sen (3 x)|

C1 ( x )= 136

∙ ln|sen(3x )|

Al sustituir:

y p=1

12x·cos 3x+ 1

36∙ ln|sen(3x )|· sen3 x

y p=1

12x·cos 3x+ 1

36· sen 3x ∙ ln|sen (3 x)|

Solución general:

yG= yh+ y p

yG=C0 cos3 x+C1 sen 3x+ 112

x·cos3 x+ 136

· sen3 x ∙ ln|sen (3 x)|