MATEMÁTICA 1

NÚMEROS REALES

5°

INDICADORES

Identifica las propiedades de los números reales, determinando el valor de verdad de proposiciones.

Calcula el valor de expresiones algebraicas usando las propiedades del valor absoluto.

Evalúa y justifica enunciados relacionados con las propiedades de orden en R.

CONTENIDO

1. Recta numérica real2. Relación de orden3. Desigualdad

Ley de Tricotomía Definiciones y Teoremas

4. IntervalosClases de intervalos

5. Valor absolutoDefinición y Propiedades

NÚMEROS REALES

RECTA NUMÉRICA REAL

La recta numérica es una recta geométrica; donde se establece una biyección, es decir a cada número real se hace corresponder un único punto de la recta y para cada punto de la recta sólo le corresponde un único número real.

RELACIÓN DE ORDEN

El conjunto de los números reales está ordenado, esto significa que podemos comparar cualesquiera de dos números reales que no sean iguales mediante desigualdades y decir que uno “es menor que” o “mayor que” el otro.

NÚMEROS REALES

Si a ˆ b є R, se tiene:• a > b: «a es mayor que b»• a < b: «a es menor que b»• a ≥ b: «a es mayor o igual que b»• a ≤ b: «a es menor o igual que b»

DESIGUALDAD

Es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos de desigualdad: <; ≤; >; ≥

LEY DE TRICOTOMIA

Para cada par de números reales a y b, es verdadera una, y solamente una, de las proposiciones:

a < b a = b a < b

NÚMEROS REALES

DEFINICIONES

Si a, b, c y d pertenecen a los reales

6. a b a b 0

7. Si a b a c b c

8. Si a b c d a c b d

9. Si a b c 0 ac bc

10. Si a b c 0 ac bc

1. Si a 0 a espositivo

2. Si a 0 a esnegativo

3. a b a b a b

4. a b c a b b c

5. a b a b 0

NÚMEROS REALES

TEOREMAS BÁSICOS DE LAS DESIGUALDADES

2

1. Si a b c R a c b c

a.c b.c2. Si a b c 0 a b

c c

a.c b.c3. Si a b c 0 a b

c c

4. a R a 0

0 a b5.Si 0 a.c b.d

0 c d

6. a.b 0 a 0 b 0 a 0 b 0

7. a.b 0 a 0 b 0 a 0 b 0

18. a 0 0

a1

9. a 0 0a

10. Si a y b tienen elmismo signo :

1 1 1a x b

b x a

NÚMEROS REALES

2 2

a11. Si 0 a.b 0 sib 0

ba

12. Si 0 a.b 0 sib 0b

113. a 2 ; a R

a1

14. a 2 ; a Ra

15. a b 2ab ; a,b R

TEOREMAS BÁSICOS DE LAS DESIGUALDADES

NÚMEROS REALES

PARA LA CLASE …

01. Si a.b.c.d < 0; a.d2 > 0; 2b.c < 0, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta?A. c < 0 B. c > 0 C. d < 0 D. d > 0 

02. Si: a < 0 < b, afirmamos:I. a2 > a.b II. a/b < 1 III. 1/a < 1/b IV. a2 < b2

¿Cuántas son verdaderas?A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

03. Si a.b < 0; a + c > 0 y b.c > a, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?I. Si a < 0, entonces b.c < 0 II. Si c > 0, entonces b > 0III. Si a.b.c > 0, entonces a > 0B. Solo I B. Solo II C. I y III D. II y III

NÚMEROS REALES

PARA LA CLASE …

04. Si x + y > 0; x.z < 0; y.z > x. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son necesariamente ciertas?I. Si y > 0 z > 0 II. Si x < 0 y.z < 0 III. Si

A. I y III B. I y II C. Solo III D. Solo II

05. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?I. Si 5x ≥ 25 x ≥ 5 II. Si x/3 ≥ -2 x ≤ 6 III. Si x/5 ≤ -3 x ≥ 15 IV. Si -x ≥ -1 x ≤ 1 V. Si -x ≤ 4 x ≥ -4

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

x.y0 x 0

z

NÚMEROS REALES

PARA LA CLASE …

06. Si x, y, z є R - {0} entonces podemos afirmar que:

I. Si II. Si III. Si

A. Sólo I es falsa B. Sólo II es falsaC. Sólo III es falsa D. Todas son falsas

07. De los siguientes enunciados, ¿cuántos son verdaderos?, si sabemos que a < b < 0I. Si II. Si III. Si IV. Si V. Si

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

x xz y

y z

NÚMEROS REALES

2 2x y x y 1 1x y

x y

2a b x a b x a b 2 2a b x a b x a b

2 2b a x b a x a b 2 2 2 2a b x a b x 1

2 2 2 2a b x a b x 1

PARA LA CLASE …

08. De las siguientes desigualdades; indica la(s) correcta(s):

I. II. III. IV.

A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo IV

52 5 10 2 17 11

5 24 3 2 11 112 11 112 5

NÚMEROS REALES

INTERVALOS

Los intervalos son sub conjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.

Para representar intervalos, se usan habitualmente dos notaciones, por ejemplo, para representar el conjunto de los x tal que a ≤ x < b se puede representar [a; b> o bien [a; b[ . La regla del corchete invertido resulta más intuitiva si uno se imagina que el corchete es una mano que tira hacia fuera o empuja hacia dentro, respectivamente, un extremo del intervalo. En el ejemplo anterior, a pertenece al intervalo mientras que b no.

INTERVALOS

CLASES DE INTERVALOS

INTERVALOS

Intervalo abierto:a < x < bx a, b o x ]a, b[

Intervalo cerrado:a x b x [a, b]

a b +–

a b +–

Intervalo semi – abierto

Por la izquierda: a < x b x a, b] o x ]a, b]

Por la derecha: a x < b x [a, b o x [a, b[ a b +–

a b +–

CLASES DE INTERVALOS

INTERVALOS

Intervalos al infinito

x < a x ]–, a[

x a x ]–, a]

a +–

a +–

x > a x ]a, +[

x ≥ a x [a, +[

a +–

a +–

EJEMPLO:

Este ejercicio nos servirá para recordar la teoría de conjuntos y la representación de las inecuaciones en la recta numérica.

Representa los siguientes conjuntos numéricos y exprésalos como un único intervalo cuando sea posible:I. ]-∞;4] U [2;5[ II. ]-∞;4] ∩ [2;5[ III. ]-3;7[ ∩ [0;7]

Solución:

I. ]-∞;4] U [2;5[ → ]-∞, 5[

Este es un intervalo no acotado y su representación en la recta numérica es de la siguiente forma:

INTERVALOS

II. ]-∞;4] ∩ [2;5[ → [2;4]

Este es un intervalo cerrado y su representación en la recta numérica es de la siguiente forma:

III. ]-3;7[ ∩ [0;7] → [0;7[

Este es un intervalo semi abierto y su representación en la recta numérica es de la siguiente forma:

INTERVALOS

PARA LA CLASE …

1. Considera los siguientes intervalos: A = [-3; 3], B = ]-3; 3[, C = [-1; 4]

y D = ]-4; 5].  Dibuja sobre la recta real y escribe con notación de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:I. A U D II. A ∩ B III. B – C IV. (AUC) - B    

02. Si "a" representa un número entre 3 y 7; "b" representa un número entre 21 y 33, b/a representa un número entre:A. 7 y 33/7 B. 3 y 11 C. 3 y 7 D. 7

y 11

03. Si x [2; 4] ; entonces "2x + 3" pertenece al intervalo:A. [4; 8] B. [7; 11] C. ]4; 8] D. [7; 11[

INTERVALOS

PARA LA CLASE …

04. Si x ]3, 7[ ; entonces pertenece al intervalo:

A. [8; 20] B. ]8; 20[ C. D.

05. Si x ]-3; 2] , indica el mayor valor entero en el intervalo de x2.A. 3 B. 4 C. 8 D. 9

06. Si y . Halla m.n

A. 3/143 B. 13/143 C. 143/3 D. 143/13

INTERVALOS

13x 1

1 1;

20 8

1 1;

8 20

1 3x ;

2 2

x 5m;n

x 2

PARA LA CLASE …

07. Si ; halla el menor valor de “M” sabiendo que:

A. 1/4 B. 1/5 C. 1/6 D. 1/7

08. Si , entonces está comprendido entre:

A. -10 y – 1 B. 2 y 20 C. 2 y 10 D. 1 y 10

INTERVALOS

1 3x ;

4 2

x 2M

x 4

10 a 5

2 b 1

2 c 5

a.bM

c

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real es su valor después de quitarle su eventual signo negativo. Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo; mientras que si es negativo, el valor absoluto es el número opuesto.   

El VALOR ABSOLUTO de un número representa la distancia del punto al origen.

"2" está a 2 unidades de cero, y "-2" también está a 2 unidades de cero. Así que el valor absoluto de 2 es 2, y el valor absoluto de -2 también es 2. Esto es:

VALOR ABSOLUTO

2 2 ; 2 2

VALOR ABSOLUTO

x ;si x 0x

x ;si x 0

2 3 2 3 3 π π 3

Propiedades

21

2

22 23

4

5

6

P. x x

P . x 0 ; x R

P . x x x ; x R

P . x x ; x R

P . x.y x . y ; x,y R

xxP . ; x,y R y 0

y y

DefiniciónSi x R:  

Ejemplos:

|7| = 7 |–3| = –(–3) = 3 

PARA LA CLASE …

01. Efectúa:

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

02. Hallar el valor de:

A. B. -2 C. 4 D. 2

03. Si 3x + 15 = 0. Determina el valor de

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

INTERVALOS

3 5 7M

6 1

P 2 3 2 1

2 2 4

x 5J

x 5

PARA LA CLASE …

04. Si y > x , además x2 - y2 = 27; x + y = 3. ¿Cuál es el valor de " x - y "?A. -9 B. 9 C. ± 9 D. Ninguna

05. Si: x -1 ; 4. Calcula: A. 3 B. 4 C. 8 D. 2x – 2

06. Si x < -1; calcula:

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

07. Si: x 0 ; 3 Reducir:

A. x + 4 B. 7 C. 11 D. 12 + 7/x

INTERVALOS

x 5 x 2 1

x 2 x 3

x x 1

5x 48 2x 16E

x

NÚMEROS REALES