mate matic as
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3er Grado Volumen I
IIImatemticas
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Matemticas III. Volumen I, fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.
SECRETARA DE EDUCACIN PBLICAJosefina Vzquez Mota
SUBSECRETARA DE EDUCACIN BSICAJos Fernando Gonzlez Snchez
Direccin General de Materiales EducativosMara Edith Bernldez Reyes
Direccin de Desarrollo e Innovacinde Materiales Educativos
Subdireccin de Desarrollo e Innovacinde Materiales Educativos para la Educacin Secundaria
Direccin Editorial
INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIN EDUCATIVA
Direccin GeneralManuel Quintero Quintero
Coordinacin de Informtica EducativaFelipe Bracho Carpizo
Direccin Acadmica GeneralEnna Carvajal Cantillo
Coordinacin AcadmicaArmando Solares Rojas
Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)
AutoresAraceli Castillo Macas, Rafael Durn Ponce, Silvia Garca Pea, Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero, Jess Rodrguez Viorato
Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega Nez
Revisores acadmicos externosDavid Francisco Block Sevilla, Carlos Bosch Giral, Luis Alberto Briseo Aguirre
Diseo de actividades tecnolgicasMauricio Hctor Cano Pineda, Emilio Domnguez BravoDeyanira Monroy Zarin
Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez
Primera edicin, 2008 (ciclo escolar 2008-2009)D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2008 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.
ISBN 978-968-01-1703-1 (obra completa)ISBN 978-968-01-1704-8 (volumen I)
Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta
Servicios editorialesDireccin de arte:Roco Mireles Gavito
Diseo:Zona grfica
Diagramacin:Bruno Contreras, Vctor Vilchis
Iconografa:Cynthia Valdespino
Ilustracin:Curro Gmez, Victor Eduardo Sandoval, Gabriela Podest, Juan Pablo Romo
Fotografa:Cynthia Valdespino, Fernando Villafn
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ndice
Mapa-ndice
Clave de logos
BLOqUE 1
secuencia 1 Productos notables y factorizacin
secuencia 2 Tringulos congruentes y cuadrilteros
secuencia 3 Entre rectas y circunferencias
secuencia 4 ngulos en una circunferencia
secuencia 5 Problemas con curvas
secuencia 6 La razn de cambio
secuencia 7 Diseo de experimentos y estudios estadsticos
BLOqUE 2
secuencia 8 Ecuaciones no lineales
secuencia 9 Resolucin de ecuaciones por factorizacin
secuencia 10 Figuras semejantes
secuencia 11 Semejanza de tringulos
secuencia 12 ndices
secuencia 13 Simulacin
Bibliografa
Anexo 1
Anexo 2
4
9
10
12
32
40
48
58
62
74
88
90
100
112
118
128
144
156
157
159
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LG
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asIn
tera
ctiv
os
Au
la d
e m
edio
s
1.
Prod
uctosno
tablesyfactoriz
acin.
[12-
31]
Efectuarosim
plificarclculoscon
exp
resion
esalgeb
raicastales
como:(x
+ a
)2;(
x +
a)(
x +
b);(x
+ a
)(x
a).Factoriz
arexp
resion
es
alge
braicastalescomo:x
2 +
2ax
+ a 2
;ax 2
+ b
x;x
2 +
bx +
c ;x
2 +
a 2.
1.1
Aform
arcua
drad
osProg
rama1
1.2
Elcua
drad
ode
una
diferen
cia
Interactivo
1.3
Ladiferen
ciade
doscua
drad
os
1.4
Aform
arre
ctn
gulos
Prog
rama2
1.5
Uncasoespeciald
efactorizacin
2.
Tring
uloscon
grue
ntesycua
dril
teros.
[32-
39]
Ap
licarlo
scriteriosde
con
grue
nciadetring
ulosenlaju
stificacin
de
propied
adesdeloscu
adrilteros.
2.1
Lado
sop
uestosig
uales
Ladiago
nald
eun
paralelog
ramo
(Geo
metra
dinm
ica)
2.2
Puntosm
edios
Prog
rama3
Interactivo
Cmoverifi
carlacon
grue
nciadelasfig
uras
(Geo
metra
dinm
ica)
3.
Entrerectasycirc
unferenc
ias.
[40-
47]
Determinarm
edianteco
nstruc
cion
esla
spo
sicion
esre
lativa
sen
tre
rectasyuna
circ
unferenc
iayentrecirc
unferenc
ias.
Ca
racterizarla
rectasecanteylatan
genteaun
acircun
ferenc
ia.
3.1
Puntosenco
mn
3.2
Trazosdetang
entes
Prog
rama4
Interactivo
Tang
entes
(Geo
metra
dinm
ica)
3.3
Entrecircun
ferenc
ias
Interactivo
3.4
Algu
nosprob
lemas
Prog
rama5
4.
ngu
losen
una
circ
unferenc
ia.
[48-
57]
Determinarla
relacin
entreunn
guloin
scrit
oyun
ng
ulocentral
deuna
circ
unferenc
ia,sia
mbo
sab
arcanelm
ismoarco
.
4.1
Dosng
ulosdeun
acircun
ferenc
ian
gulosinscrit
osenun
acircun
ferenc
ia
(Geo
metra
dinm
ica)
4.2
Relacion
esam
edias
4.3
Prob
emosque
uno
delosn
gulosesla
mitad
delotro
Prog
rama6
Interactivo
4.4
Prob
lemasdemed
ida
Prog
rama7
5.
Prob
lemascon
curva
s.[5
8-61
]
Calcularla
med
idade
ng
ulosin
scrit
osycen
trales,a
scom
ode
arco
s,elreade
sectorescircularesydelacoron
a.
5.1
Slouna
parte
Prog
rama8
Interactivo
5.2
Loque
resta
5.3
Detodo
unpo
co
6.
Lara
znde
cam
bio.
[62-
73]
An
alizarla
raz
nde
cam
biode
unproc
esoofen
men
oqu
ese
mod
elaco
nun
afunc
inlin
ealy
relacion
arlacon
lain
clinacino
pend
ientede
lare
ctaqu
elore
presen
ta.
6.1
Elin
crem
ento
Sab
esque
esun
araz
n?
(Hojade
clcu
lo)
6.2
Pend
ienteyraz
nde
cam
bio
Prog
rama9
Interactivo
6.3
Algu
nasrazo
nesde
cam
bioim
portan
tes
Prog
rama10
7.
Dise
ode
exp
erim
entosyestudiosestad
stico
s.[7
4-87
]
Dise
arunestudiooexpe
rimen
toapartirde
datosobten
idosde
diversasfue
ntesyelegirlaformade
organ
izacinyrepresen
tacin
tabu
larogrfi
cam
sade
cuad
apa
rapresentarla
inform
acin.
7.1
Dise
ode
unestudioestadstico.
Qu
materiategu
stams?
Prog
rama11
Interactivo
7.2
Unjueg
ode
letras.O
troestudioestadstico
7.3
Qu
can
tida
dde
agu
aco
nsum
en
diariamen
telo
salum
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tercergrad
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tera
ctiv
os
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e m
edio
s
8.
Ecua
cion
esnolin
eales.
[90-
99]
Utilizarecu
acione
sno
line
alesparamod
elarsitua
cion
esyre
solverlas
utilizand
oproc
edim
ientospersona
lesuop
eracione
sinversas.
8.1
Elnm
erosecreto
Prog
rama13
Ecua
cion
escon
msdeun
asolucin
I(Calcu
lado
ra)
8.2
Cubo
s,cu
adrado
syaristas
8.3
Men
de
problem
asProg
rama14
Interactivo
9.
Resolucin
deecua
cion
esporfactoriz
acin.
[100
-111
]
Utilizar ecu
acione
scu
adrticaspa
ram
odelarsitua
cion
esyre
solverlas
usan
dola
factoriz
acin.
9.1
Cu
ntomiden
loslado
s?Prog
rama15
9.2
Losfactoresdecero
Interactivo
9.3
Elado
rno
Prog
rama16
9.4
Apliq
uemoslo
apren
dido
10.Figu
rassemejan
tes.
[112
- 1
17]
Co
nstruirfig
urassem
ejan
tesyco
mpa
rarlasmed
idasdelosn
gulosy
delo
slado
s.
10.1U
nco
raz
nmuy
especial
Prog
rama17
Interactivo
10.2A
plicacione
sde
lasem
ejan
zaProg
rama18
Interactivo
11.Se
mejan
zadetring
ulos.
[118
- 12
7]
Determinarlo
scriteriosde
sem
ejan
zadetring
ulos.
Ap
licarlo
scriteriosde
sem
ejan
zadetring
ulosenelan
lisisde
diferentespropied
adesdelospo
lgon
os.
Ap
licarla
sem
ejan
zadetring
ulosenelclcu
lodedistan
ciaso
alturasinaccesibles.
11.1E
xplorand
olasem
ejan
zadetring
ulos
Prog
rama19
11.2C
riteriosde
sem
ejan
zadetring
ulosI
Idea
detring
ulossem
ejan
tes
(Geo
metra
dinm
ica)
11.3C
riteriosde
sem
ejan
zadetring
ulosII
11.4C
lcu
lodedistan
cias
Prog
rama20
Interactivo
12.nd
ices.
[128
-143
]
Interpretaryutilizarndicespa
raexp
licarelc
ompo
rtam
ientode
diversassitua
cion
es.
12.1E
lnd
iceNaciona
ldePreciosal
Consum
idor
Prog
rama21
12.2nd
icesenlaescue
la
12.3
Quin
eselpeloteromsvalioso?
Prog
rama22
12.4M
ssob
ren
dices
Interactivo
13.S
imulacin.
[144
-15
5]
Utilizar la
sim
ulacinpa
rare
solversitua
cion
esproba
bilsticas.
13.1S
imulacin
Prog
rama23
13.2 A
plican
dola
sim
ulacin
13.3S
imulacinytiroslib
res
Prog
rama24
Interactivo
Simulacin co
n elm
odelode
urna(1)
(Hojade
clcu
lo)
EV
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s
14.Re
lacion
esfun
cion
alesenotrasdisciplin
as.
Re
cono
ceren
diferen
tessituacione
syfen
men
osdelafsica,la
biologa,
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nomayotrasdisciplinas,lapresen
ciade
can
tida
desqu
eva
ranun
aen
fun
cin
delaotrayrepresen
tarlare
glaqu
emod
elaestavariacin
med
ianteun
atablaoun
aexpresinalge
braica.
14.1E
lreade
laim
agen
Prog
rama25
Interactivo
14.2E
l corrald
elosco
nejos
14.3E
lmed
iolitrode
lech
eProg
rama26
15.Re
solucin
deecua
cion
escua
drticasporla
frmulage
neral.
Utilizarecu
acione
scu
adrticaspa
ram
odelarsitua
cion
esyre
solverlas
usan
dola
frmulage
neral.
15.1Lafrm
ulage
neral
Prog
rama27
15.2E
lbeisbolista
Interactivo
15.3C
untassoluc
ione
stien
eun
aecua
cin
Prog
rama28
15.4L
araz
ndo
rada
16.Teorem
ade
Tales.
Determinarelteo
remade
Talesm
edianteco
nstruc
cion
escon
seg
men
tos.
Aplic
arelteo
remade
Talesendiversosproblem
asgeo
mtric
os.
16.1L
acu
lpaesdelaspa
ralelas
Prog
rama29
Interactivo
Teorem
ade
Tales(G
eometra
dinm
ica)
16.2P
ropo
rciona
lidad
vspa
ralelismo
Prog
rama30
Recproc
ode
lteo
remade
Tales
(Geo
metra
dinm
ica)
16.3A
hestelteo
remade
Tales
17.Figu
rasho
motticas.
Determinarlo
sresultad
osdeun
aho
moteciacua
ndolara
znesig
ual,
men
orom
ayorque
1oque
1.
Determinarla
sprop
ieda
desqu
epe
rman
ecen
inva
riantesala
plicaruna
ho
moteciaauna
figu
ra.
Co
mprob
arque
una
com
posicin
deho
moteciasco
nelm
ismocentroes
igua
lalp
rodu
ctode
lasrazo
nes.
17.1E
specialm
entesem
ejan
tes
Prog
rama31
Interactivo
Lahom
oteciacom
oap
licacinde
lteorem
ade
Tales(G
eometra
dinm
ica)
17.2D
epen
dedelara
zn
Prog
rama32
18.Grfic
asderelacion
es.
Interpretar,co
nstruiryutilizargrfi
casde
relacion
esfun
cion
alesno
linea
lespa
ram
odelardiversassituacione
sofen
men
os.
18.1P
lano
inclinad
oProg
rama33
Interactivo
18.2L
a leyde
Boy
leProg
rama34
18.3L
acaja
19.Algu
nascaractersticasde
grfic
asnolin
eales.
Establecerla
relacin
que
existeen
trelaformaylaposicinde
lacurva
de
fun
cion
esnolin
ealesylosva
loresde
lasliteralesdelasexpresione
salge
braicasqu
ede
finen
aestasfun
cion
es.
19.1Ab
iertasym
sabiertas!
Prog
rama35
Interactivo
Func
ione
scu
adrticas
(Hojade
clcu
lo)
19.2Pa
raarribaypa
raaba
jo!
Interactivo
19.3L
asdesplazad
asInteractivo
19.4Ah
lesvan
una
sc
bicas!
Prog
rama36
Interactivo
19.5Ah
lesvan
una
ship
rbolas!
Interactivo
19.6E
fectosespeciales
Interactivo
20.Grfic
asporped
azos.
Interpretaryelab
orargrfic
asformad
asporseccion
esre
ctasycurva
squ
emod
elan
situa
cion
esdemov
imiento,llen
adode
recipien
tes,etctera.
20.1L
asalbercas
Prog
rama37
Interactivo
20.2D
iversosprob
lemas
EV
AL
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ICO
SPr
og
ram
asIn
tera
ctiv
os
Au
la d
e m
edio
s
21.Diferen
ciasensucesion
es.
Determinaruna
exp
resin
gen
eralcua
drticapa
radefi
nirelen
simo
trm
inoen
suc
esione
snu
mricasyfigu
rativa
sutilizand
oelm
tod
ode
diferen
cias.
21.1N
merosfigu
rado
sProg
rama38
Interactivo
21.2L
asdiferen
ciasenexpresione
salge
braicas
21.3E
lmtod
ode
diferen
cias
Prog
rama39
21.4A
plique
moslo
apren
dido
22.Teorem
ade
Pitg
oras.
Ap
licarelteo
remade
Pitg
orasenlare
solucin
deprob
lemas.
22.1
Qu
eselteo
remade
Pitg
oras?
Prog
rama40
Interactivo
Teorem
a de
Pitg
oras
(Geo
metra
dinm
ica)
22.2A
plicacione
sde
lteo
remade
Pitg
orasI
Prog
rama41
22.3A
plicacione
sde
lteo
remade
Pitg
orasII
23.Ra
zone
strigon
omtric
as.
Re
cono
ceryde
term
inarla
srazo
nestrigon
omtric
asenfamiliasde
tring
ulosre
ctn
gulossemejan
tes,co
moco
cien
tesen
trelasmed
idas
delo
slado
s.
Calcularm
edidasdelado
syde
ng
ulosdetring
ulosre
ctn
gulosa
partirde
losva
loresde
razo
nestrigon
omtric
as.
Re
solverproblem
assen
cillo
s,en
diversosm
bitos,utilizand
olasrazo
-ne
strigon
omtric
as.
23.1L
aco
mpe
tenc
iaProg
rama42
Interactivo
ngu
lodeelevacinyde
presin
(Hojade
clcu
lo)
23.2C
osen
osysen
os
23.33
0,4
5y60
Prog
rama43
23.4A
resolverproblem
asInteractivo
24.La exp
onen
cialyla
line
al.
Interpretaryco
mpa
rarlasrepresen
tacion
esgrfic
asdecrecim
iento
aritmticoolin
ealy
geo
mtric
ooexpo
nenc
iald
ediversas
situacione
s.
24.1C
recimientode
pob
lacion
esProg
rama44
Interactivo
24.2Interscom
puesto
24.3G
rfic
ade
laexp
onen
cial
Prog
rama45
24.4L
ade
preciacin
delasco
sas
25.Re
presen
tacin
delain
form
acin.
An
alizarla
relacin
entredatosdedistintanaturaleza,peroreferid
os
aun
mismofen
men
ooestudioqu
esepresentaen
represen
tacion
es
diferentes,p
araprod
ucirnu
evainform
acin.
25.1M
ucho
sda
tos
Prog
rama46
Interactivo
25.2D
e im
portan
ciasocial
EV
AL
UA
CI
N
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REC
UR
SOS
TEC
NO
LG
ICO
SPr
og
ram
asIn
tera
ctiv
os
Au
la d
e m
edio
s
26.Ecua
cion
esysistemasdeecua
cion
es.
Dad
oun
problem
a,determinarla
ecu
acinlin
eal,cu
adrticao
sistem
ade
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acione
sco
nqu
esepue
dere
solver,y
viceversa,
prop
oneruna
situa
cin
que
semod
eleco
nun
ade
esasrepresen
ta-
cion
es.
26.1L
osdiscpu
losde
Pitg
oras
Prog
rama47
26.2E
cuacione
syge
ometra
Interactivo
27.Co
nosycilin
dros.
An
ticipa
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loscu
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squ
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eran
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iraro
traslada
rfig
uras.
Co
nstruirde
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nosycilin
drosre
ctos.
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ticipa
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squ
eseobtiene
nalre
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cilind
rooaunco
nore
cto.
An
ticipa
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nocerlasseccione
squ
eseobtiene
nalre
alizarcortes
aun
cilind
rooaunco
nore
cto.
Determinarla
variacin
que
seda
enelra
diode
losdiversoscrc
ulos
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ralelosen
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cto.
27.1S
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27.2C
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ros
Prog
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27.3C
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Interactivo
27.4S
eccion
esdeco
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28.Vo
lumen
delcon
oyde
lcilind
ro.
Co
nstruirlasfrm
ulasparacalcularelv
olum
endecilin
drosycon
os.
28.1T
inacosdeag
uaProg
rama50
Interactivo
28.2C
onosdepa
pel
Prog
rama51
29.Estimarvolm
enes.
Estimarycalcu
larelvolum
endecilin
drosycon
os.C
alcu
larda
tos
descon
ocidosdad
osotrosre
lacion
adoscon
lasfrm
ulasdelclcu
lo
devolum
en.
29.1P
roblem
asprcticos
Prog
rama52
Interactivo
30.Grfic
acaja-b
razo
.
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9
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10
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11
BLOQUE 1
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12
secuencia 1
En esta secuencia descubrirs procedimientos simplificados para efectuar multiplicaciones con expresiones algebraicas y para encontrar los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.
A FORMAR CUADRADOSPara empezarLosbloquesalgebraicossonunaherramientaquepermiterepresentaroperacionesconexpresionesalgebraicas.Enlasecuencia12deMatemticas ii,volumenIlosusasteparamultiplicarpolinomios;ahora,teayudarnaencontrar,demanerasimplificada,elresul-tadodeelevaralcuadradounbinomio.
RecortalosBloques algebraicosdelanexo1Recortablesypgalosencartn.
Conbloquesdereasx 2,x y1formacuadradosdediferentetamaoeidentificalaex-presinalgebraicaquecorrespondealamedidadesusladoscomosemuestraenlasdosfigurassiguientes.
SESin 1
Productos notables y factorizacin
x + 1
x 1
a = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2x + 1
x + 2
x 2
a = x 2 + 2x + 2x + 4 = x 2 + 4x + 4
Encuentraeltrinomioquerepresentaelreadelosdoscuadradossiguientes.
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13
IIIMATEMTICAS
Consideremos lo siguienteEnlasiguientetablaaparecenbinomiosquerepresentanlasmedidadelladodediferen-tescuadrados,ascomolostrinomiosquecorrespondenasusrespectivasreas.
a) Examinalosdosprimerosejemplosycompletalasiguientetabla.
Binomio Trinomio
x + 1 (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1
x + 2 (x + 2)2 = x 2 + 4x + 4
x + 3 (x + 3)2 =
x + 4 (x + 4)2 =
x + 6 (x + 6)2 =
x + 10 (x +10)2 =
b) Subrayaeltrinomioquerepresentaelreadeuncuadradocuyoladomidex + 100.
x 2 + 100x + 10 000 x 2 + 10 000 x 2 + 200x + 10 000
Comparensussoluciones.Comentencmoobtuvieronlostrinomiosquesonresultadodeelevarlosbinomiosalcuadrado.
x + 4
x 4
a =
=
x + 6
x 6
a =
=
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14
secuencia 1
Manos a la obrai. Lafigura1muestrauncuadradoquemidedeladox + 5.
x + 5
x + 5
Figura 1
a) Cuntosbloquesdereax 2seutilizaronparaformar
elcuadrado?
b) Cuntosdereax?
c) Cuntosderea1?
d) Delassiguientesexpresiones,subrayenlasquerepre-sentanelreadelcuadrado.
x + 5
x 2 + 5x + 5x +25
x 2 + 25
x 2 + 10x +25
e) Verifiquensilasexpresionesquesubrayaronseobtie-nenalelevaralcuadradoelbinomiox + 5.Paraeso,completen lamultiplicacin (x + 5) (x + 5) y luegosumenlostrminossemejantesparaobteneruntrino-mio.
(x + 5)2 = (x + 5) (x + 5)
=
=
Recuerden que:
Para multiplicar dos binomios se multiplica
cada trmino de un binomio por todos
los trminos del otro y luego se suman los
trminos que son semejantes.
(x + 7) (x + 7) = x 2 + 7x + 7x + 49
= x 2 + 14x + 49
Comparensussolucionesycomentenculdelossiguientesprocedimientosusaranparahacerdemanerasimplificadalamultiplicacin(x + 8) (x + 8),sinnecesidaddehacerunamultiplicacintrminoportrmino.
Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertrmino(x 2)yelcuadradodelsegundotrmino(64).
Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertrmino(x 2)mselproduc-todelosdostrminos(8x )mselcuadradodelsegundotrmino(64).
Elresultadoseobtienesumandoelcuadradodelprimertrmino(x 2)mseldobledelproductodelosdostrminos(16x )mselcuadradodelsegundotrmino(64).
Verifiquensusreglashaciendolamultiplicacin(x + 8) (x + 8).
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15
MATEMTICAS IIIii. Elevenal cuadradoel binomio (2x + 3) ymultipliquen trminopor trminopara
obtenercuatroproductosparcialescomoloindicanlaslneas.Luegosumenlostr-minossemejanteshastaobteneruntrinomio.
4x 2
(2x + 3) (2x + 3) = 4x 2 + 6x + + =
+ Trinomio cuadrado perfecto
6x 12x
a) Qurelacinhayentreeltrmino4x 2deltrinomioyeltrmino2xdelbinomio?
b) Qurelacinhayentreel9deltrinomioyel3delbinomio?
c) Cuntasvecesapareceelproductoparcial6xenlamultiplicacin?
d) Qutrminosdelbinomiosemultiplicaronparaobtenerlo?
e) Qurelacinhayentreeltrmino12xdeltrinomioyelproductodelosdostr-
minosdelbinomio?
Comparen sus soluciones y encuentren una procedimiento simplificado para obtenereltrinomioqueresultaalefectuarlaoperacin(3x + 2)2,sinnecesidaddehacerunamultiplicacintrminoportrmino.
A lo que llegamosLa expresin que resulta al elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto.
El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.
(3x + 5)2 = 9x 2 + 30x + 25
El primer trmino del binomio se eleva al cuadrado
El segundo trmino del binomio se eleva al cuadrado
Se multiplican ambos trminos (3x ) (5) = 15x
Se duplica el producto
(2) (15x) = 30x
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16
secuencia 1
Lo que aprendimosEscribeelbinomioalcuadradooeltrinomiocuadradoperfectoquefaltaencadaren-glndelasiguientetabla.
Binomio al cuadrado Trinomio cuadrado perfecto
(x + 9)2
(3x + 1)2
x 2 + 24x + 144
(2m + 5)2
4x 2 + 36x + 81
EL CUADRADO DE UnA DiFEREnCiAConsideremos lo siguienteDelcuadradodelafigura2serecortaronalgunasparteshastaquequedotrocuadradomspequeo,comosemuestraenlafigura3.
x
x
x 2 x
x
1
1
Figura 2 Figura 3
a) Culeslamedidadelladodelcuadradoazuldelafigura3?
b) Laexpresinalgebraicaquerepresentaelreadelcuadradoazules:
Comparensussoluciones.
SESin 2
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17
MATEMTICAS IIIManos a la obrai. AnayRicardodecidieronusaralgunosbloquesalgebraicosparacompletarelreadel
cuadradoazuldelafigura3.
Ricardosediocuentadequeconunbloquedereaxyotrodereax 1podacompletarelcuadradodeladox .
Figura 4
x
x1
1
x
1rea = x
x
1rea = x 1
Despusdecompletarelcuadradodeladox,expresqueelreadelcuadradoazuldelafigura3era:x 2 x (x 1).
Ana,porsuparte,ustresbloquesparacubrirelcuadradodeladox;despusexpre-selreadelcuadradoazulcomox 2 2(x 1) 1.
a) Usenlosbloquesalgebraicosdeladerecha(dereasx 1y1)paracompletarelcuadradodeladox comocreanquelohizoAna;luegotracencadabloquesobrelafigura5eilumnenlosdeacuerdoasucolor.
11
1
x
x1
1 rea = x 1
rea = x 1
Figura 5
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18
secuencia 1b) Completenlaigualdadysimplifiquenambasexpresioneshastaobteneruntrinomio.
ProcedimientodeAna:
A = (x 1)2 = x 2 2(x 1) 1 = =
ProcedimientodeRicardo:
A = (x 1)2 = x 2 x (x 1) = =
Lostrinomiosqueobtuvieronenambosprocedimientosdebenseriguales.Sinore-sultaronas,revisensusoperacionesycorrjanlashastaobtenerelmismotrinomiocuadradoperfecto.
c) Otramaneradeobtenerelreadelcuadradoazuldelafigura3consisteenelevaralcuadradoelbinomiox 1.Hganloynoolvidenreducirlostrminossemejantes.
x 2
(x 1)2 = (x 1) (x 1) = x 2 x + =
+ Trinomio cuadrado perfecto
x 2x
ii. Otenganelresultadode(y a )2,paraverificarsialelevaralcuadradocualquierbi-nomioquerepresentaunadiferenciaseobtieneuntrinomiocuadradoperfecto.Noolvidensumarlostrminossemejantes.
y 2
(y a )2 = (y a) (y a) = y 2 ay + =
ay 2ay
Obtuvieronuntrinomiocuadradoperfecto?
Comparensussolucionesycomentencmosepuedeobtenereltrinomiocuadradoperfectoquecorrespondealcuadradodeunadiferencia,sinseguirelprocedimientodelaactividadii.
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19
MATEMTICAS IIIA lo que llegamosAl elevar al cuadrado una diferencia tambin se obtiene un trinomio cuadrado perfecto, pero ahora el doble del producto de los trminos del binomio tiene signo menos.
El siguiente procedimiento permite obtener el resultado de manera simplificada.
(x b )2 = x 2 2bx + b 2
x se eleva al cuadrado b se eleva al cuadrado
El producto de (x ) y (b) se duplica
Terecomendamostomarencuentalosdosaspectossiguientes:
a) Elcuadradodeunadiferenciapuedeexpresarsecomoelcuadradodeunasuma.Porejemplo:
(x 12)2 = [x + ( 12)]2 = x 2 + 2(x) (12) + (12)2
= x 2 24x + 144
b) Hayexpresionesqueparecentrinomioscuadradosperfectosperonoloson,porejemplo:x2 2x + 9.
Comotienedostrminosquesoncuadrados:x 2y9,podrasuponersequeeltrinomioesresultadodedesarrollar(x 3)2,sinembargo(x 3)2 = (x + 3) (x + 3) = x 2 6x + 9.
Lo que aprendimos1. Encuentraelcuadradode lossiguientesnmerosaplicando la reglaparaelevaral
cuadradounbinomio,talcomosemuestraenlosdosejemplos.
1032 = (100 + 3)2 = 1002 + 2 (100) (3) + 22 = 10 000 + 600 + 9 = 10 609
4992 = (500 1)2 = 5002 + 2 (500) (1) + 12 = 250 000 1 000 + 1 = 249 001
a) 192 = (20 1)2 = ( )2 2 ( ) ( ) + ( )2 = =
b) 512 = (50 + 1)2 = ( )2 + 2 ( ) ( ) + ( )2 = =
Recuerda que:
El producto de un nmero negativo
elevado al cuadrado es positivo.
(12)2 = (12) (12) = + 144
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20
secuencia 1
c) 1052 = (100 + 5)2 = ( )2 + 2 ( ) ( ) + ( )2 = =
d) 1982 = (200 2)2 = ( )2 2 ( ) ( ) + ( )2 = =
e) 9992 = ( )2 = ( )2 2 ( ) ( ) + ( )2 = =
2. Escribeelbinomioalcuadradooeltrinomioquefaltaencadarengln.Tencuidado,hayuntrinomioquenoescuadradoperfecto!Elevaalcuadradolosbinomiosqueobtengaspara verificar si correspondenal trinomiopresentado en la columna iz-quierdadelatabla.
Binomio al cuadrado Trinomio
(x 7)2
(2x + 1)2
x2 24x + 144
(x + 12)2
x2 14x + 9
x2 + 3x + 2.25
(x + 12 )2
4x2 2x + 14
a) Escribeeltrinomiodelatablaquenoescuadradoperfecto:
b) Porqunoesuntrinomiocuadradoperfecto?
LA DiFEREnCiA DE DOS CUADRADOSPara empezarDosbinomiosqueslodifierenenelsignodeunodesustrminossellamanbinomios conjugados,porejemplox + 3eselbinomioconjugadodex 3;2x + 6eselbinomioconjugado2x + 6.
Consideremos lo siguienteAuncuadradodereax2selehacortadoenunadesusesquinasuncuadradodereaa2enunadesusesquinas,talcomosemuestraenlafigura6.
Lafigura6secortporlalneapunteadarojayconlasdospiezasseformelrectngu-lodelafigura7.
SESin 3
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21
MATEMTICAS III
a) Culeselreadelasuperficieazuldelafigura6?
b) Qubinomiostienesquemultiplicarparaobtenerelreadelrectnguloformadoporlasdospiezasenlafigura7?
rea = ( ) ( )
c) Realizalamultiplicacintrminoportrminoysumalostrminossemejantesparaobtenerelreadelafigura7.
( ) ( ) =
=
Comparensussoluciones.
Manos a la obrai. Calquenenunahojalafigura6,cortenporlalneapunteadayformenelrectngulo
delafigura7.
a) Culeslaexpresinalgebraicaquerepresentalamedidadelabasedelrectngu-
loazuldelafigura7?
b) Cul es la expresin algebraica que representa la medida de su altura?
c) Expresenladiferenciadeloscuadradosx 2ya 2comoelproductodedosbinomiosconjugados.
x 2 a 2 = ( ) ( )
d) Factoricen16 9x 2comounadiferenciadecuadrados.
16 9x 2 = ( ) ( )
x a
x
a
aa 2
Figura 6
x
Figura 7
a
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22
secuencia 1ii. Realicenlassiguientesmultiplicacionestrminoportrminoyverifiquensidespus
desumarlostrminossemejantesobtienenunadiferenciadecuadrados.
4x 2
a) (2x + 3) (2x 3) = 4x 2 6x + =
6x
b) (2x + 3) (2x + 3) = =
c) (2x 3) (2x 3) = =
d) (2x + 3) (2x 3) = =
e) Enqucasosseobtuvounadiferenciadecuadrados?
f) Enqucasosno?
Comentencomo,apartirdeunadiferenciadecuadrados,podranidentificarlosbi-nomiosconjugadosquelaproducenalsermultiplicados.
A lo que llegamosEl producto de dos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados.
(x + y ) (x y ) = x 2 y 2Binomios conjugados Diferencia de cuadrados
La factorizacin de una diferencia de cuadrados son dos binomios conjugados.
Larelacinanteriorpuedeaplicarseparamultiplicarparejasdenmeros,.Paraello,tie-nenquepresentarloscomosifueranbinomiosconjugados.Ejemplos:
(102) (98) = (100 + 2) (100 2) = 10 000 4 = 9 996
(47) (53) = (50 - 3) (50 + 3) = 2 500 9 = 2 491
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23
MATEMTICAS IIILo que aprendimos1. Realizalassiguientesmultiplicaciones.Expresacadaparejadefactorescomobino-
miosconjugadossyobtnelproductomedianteunadiferenciadecuadrados.
a) (21) (19) = = =
b) (32) (28) = = =
c) (97) (103) = = =
d) (1 002) (998) = = =
2. Completalasiguientetablaescribiendoparacadaparejadebinomiosconjugadossurespectivadiferenciadecuadradosyviceversa.
Binomios conjugados Diferencia de cuadrados
(x + 8) (x 8)
(2x + 3) (2x 3)
x 2 100
4x 2 25
(3x + 2y ) (3x + 2y )
A FORMAR RECTnGULOSPara empezari. Enlafigura8semuestraunrectnguloformadoconlosbloquesalgebraicos.
Figura 8
x + 1
x + 8
SESin 4
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24
secuencia 1a) Cuntosbloquesdereax 2seutilizaron?
b) Cuntosdereax ?
c) Cuntosderea1?
d) Culessurea?
ii. Conlosbloquesalgebraicosapropiadosx 2,x y1reproducelasfiguras9,10y11detalmaneraquetenganelreaindicada.Trazaencadacasolosbloquesqueutilizasteparaformarlayescribelamedidadesubaseydesualtura.
Figura 10 Figura 11
rea = x 2 + 9x +18 rea = x 2 + 9x + 20
Figura 9
rea = x 2 + 9x +14
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25
MATEMTICAS IIIConsideremos lo siguienteCompletalatablasiguiente.
Primer factor (Medida de la base)
Segundo factor (Medida de la altura)
Producto (rea del rectngulo)
x + 8 x + 1
x + 7 x + 2
x2 + 9x + 18
x + 5 x + 4
x + 3 x + 2
x 2 + 5x + 4
a) Qureglasiguesparaencontrarelproductosiconoceslosdosfactores?
b) Siconoceselproducto,cmoobtieneslosfactores?
Comparensussoluciones.
Manos a la obrai. Enlafigura12,conbloquesalgebraicosseformunrectngulodebasex + 5yaltu-
rax + 2.
a) Observen lafigura12y,sinhacer lamultiplicacin
trmino por trmino, encuentren el producto de
(x + 5) (x + 2) =
b) Cmoloobtuvieron?
x + 5
x + 2
Figura 12
Los binomios (x + 5) y (x + 2) tienen un trmino
comn que es x. Estos binomios se llaman
binomios de trmino comn.
5 y 2 son los trminos NO comunes.
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26
secuencia 1c) Ahorarealicenlamultiplicacintrminoportrmino.
x 2
(x + 5) (x + 2) = x 2 + 2x + + 10 =
+
2x 7x
d) Quoperacinhacenparaobtenereltrminox 2?
e) Quoperacinhacencon los trminos5 y2de losbinomiosparaobtenerel
coeficientedeltrmino7xdelproducto?
f) Quoperacinhacencon5y2paraobtenereltrmino10?
g) Apliquenloanteriorparacompletarlaigualdad.
(x + 6) (x + 3) = x 2 + x +
Comparensussolucionesydiscutancmoobtuvieronlareglaparamultiplicardosbinomioscontrminocomn.
A lo que llegamosPara obtener el producto de dos binomios con trmino comn se puede hacer lo siguiente:
(x + 4) (x + 3) = x 2 + 7x + 12
1. El trmino comn x se eleva al cuadrado.2. Se suman los trminos no comunes: 4 + 3 = 7; el resultado 7 se multiplica por x.3. Se multiplican los trminos no comunes: (4) (3) = 12
ii. Apliquenlareglaanteriorparaobtenerelproductode(x + 5) (x 2):
a) Cuntoobtienenalsumar(+5) + (2)?
b) Cuntoobtienenalmultiplicar(+5) + (2)?
c) Escribanelproductosinrealizarlamultiplicacintrminoportrmino
(x + 5) (x 2) =
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27
MATEMTICAS IIIc) Ahorarealicenlamultiplicacintrminoportrmino.
x 2
(x + 5) (x + 2) = x 2 + 2x + + 10 =
+
2x 7x
d) Quoperacinhacenparaobtenereltrminox 2?
e) Quoperacinhacencon los trminos5 y2de losbinomiosparaobtenerel
coeficientedeltrmino7xdelproducto?
f) Quoperacinhacencon5y2paraobtenereltrmino10?
g) Apliquenloanteriorparacompletarlaigualdad.
(x + 6) (x + 3) = x 2 + x +
Comparensussolucionesydiscutancmoobtuvieronlareglaparamultiplicardosbinomioscontrminocomn.
A lo que llegamos
d) Ahoramultipliquentrminoportrminoparaverificarelresultadoanterior.
x 2
(x + 5) (x 2) = x 2 2x + =
2x
e) Sonigualeslosproductosobtenidosenlosincisosc)yd)?
Comparen sus soluciones, discutan y verifiquen si la regla funciona par cualquiermultiplicacindebinomioscontrminocomn.
iii.Almultiplicardosbinomioscontrminocomnseobtuvo:
( ) ( ) = y 2 + 10y + 16
a) Culeseltrminocomn?
b) Qunmerossemultiplicaronparaobtener16?
c) Cuntodebensumaresosnmeros?
d) Escribanenlosparntesislosfactoresquecorrespondanaltrinomioy 2 + 10y + 16.
e) Multipliquenensucuadernolosbinomiostrminoportrminoparaverificarelresultadoanterior.
Comparensussolucionesycomentenquoperacionestienenquerealizarparaencontrareltrminocomnylostrminosnocomunesdelosbinomios.
A lo que llegamosPara factorizar el trinomio x 2 + 5x + 4, se puede hacer lo siguiente:1. Se obtiene el trmino comn; en este caso es x, porque (x ) (x ) = x 2
x 2 + 5x + 4 = (x + ) (x + )2. Se buscan parejas de nmeros enteros que multiplicados den 4.
(2) (2) = 4 (2) (2) = 4 (4) (1) = 4 (4) (1) = 4
3. Se selecciona la pareja de nmeros que sumada d el coeficiente del trmino 5x; en este caso, se seleccionan 4 y 1 porque 4 + 1 = 5.
Por lo tanto:
x 2 + 5x + 4 = (x + 4) (x + 1)
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28
secuencia 1
Lo que aprendimos1. Aplicaelproductodelosbinomioscontrminocomnencadamultiplicacin.
a) (23) (25) = (20 + 3) (20 + 5) = 400 + (8) (20) + 15 =
b) (105) (98) = (100 + 5) (100 - 2) =
c) (48) (49) =
2. Completalatabla.
Binomios con trmino comn Trinomio de segundo grado
(x + 8) (x + 2)
x 2 + 9x + 18
x 2 3x 10
x 2 + 3x + 2
x 2 3x + 2
(x + a) (x + b)
Un CASO ESPECiAL DE FACTORiZACinConsideremos lo siguiente
Figura 13
Altura
Base
6x
2x 2
Nosiempreocurrequeelreadeunrec-tngulo corresponda a un trinomio. Porejemplo,enlafigura13serepresentaunrectnguloderea2x 2 + 6x.
a) Culeslamedidadelabase?
b) Culeslamedidadelaaltura?
Comparensusrespuestas.
SESin 5
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29
MATEMTICAS IIIManos a la obrai. Sobrelafigura13,tracendosbloquesdereax 2yseisdereax.Despus,completen
latablasiguiente:
Rectngulo rea (Base) (Altura)
Azul 2x 2 (2x ) ( )
Rojo 6x (2x ) ( )
Completo 2x 2 + 6x (2x ) ( )
Comoelfactor2xapareceenlastresmultiplicacionesdelaltimacolumna,esunfactorcomndelostrminos2x 2y6x.
Sonigualeslasexpresionesquerepresentanlasmedidasdelasalturasdelosrectn-
gulosazulyrojo?
Estasexpresionessellamanfactores no comunesdelostrminos2x 2y6x.
Comparensusrespuestasycomenten:
a) Quotrosfactorescomunespuedentenerlostrminos2x 2y 6x ?
b) Puedenformarserectngulosdiferentesaldefigura13,condosbloquesdereax 2yseisdereax ?Dibjenlosenelpizarrnyexpresensurea2x 2 + 6xpormediodedosfactores.
A lo que llegamosPara factorizar un binomio tal como 4x 2 + 20x se puede hacer lo siguiente:
1. Se factoriza cada trmino del bino-mio de manera que el factor comn contenga la literal y el mximo valor posible del coeficiente:
4x 2 = (4x ) (x )
20x = (4x ) (5)
2. Se expresa la factorizacin: 4x 2 + 20x = (4x ) (x + 5)
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secuencia 1ii. Apliquenlareglaanteriorparafactorizar14x 2y 21x y 2
14x 2y = (7x y ) ( )
21x y 2 = (7x y ) ( )
14x y 2 21x y 2 = (7x y ) ( )
Comparensussoluciones,discutanyverifiquensilareglafuncionaparafactorizarcualquiertipodepolinomios.
Lo que aprendimos1. Expresalossiguientespolinomioscomoelproductodedosfactores.
a) x 2 18x + 81 = ( ) ( )
b) x 2 + 20x + 100 = ( ) ( )
c) x 2 400 = ( ) ( )
d) x 2 + 8x 20 = ( ) ( )
e) 4x 2 + 8x = ( ) ( )
f) x 2 + 11x + 24 = ( ) ( )
g) x 2 + 10x + 24 = ( ) ( )
h) x 2 + 14x + 24 = ( ) ( )
i) x 2 + 2x 24 = ( ) ( )
j) 9x 2 36x = ( ) ( )
2. Factorizandopodraestablecerseunareglatilparacalcularelproductodeciertosnmeros;examinalassiguientesmultiplicacionesytratadeencontrarlarelacinen-trelosfactoresinvolucradosyelresultado.Sepuedeestablecerunareglageneral?
(12) (18) = 216 (23) (27) = 621 (31) (39) = 1 209 (54) (56) = 3 024
a) Qurelacinmatemticaencuentrasentrelascifrasdelasunidadesdelosfac-
tores?
b) Cmoobtieneselnmeroformadoporlasdoscifrasdeladerechadelproducto?
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MATEMTICAS IIIc) Cmoobtieneselnmeroformadoporlasdemscifrasdelaizquierdadelpro-
ducto?
d) Siyadescubristelaregla,calculamentalmenteelresultadodecadaoperacin.
(13) (17) = (43) (47) = (61) (69) =
(74) (76) = (88) (82) = (191) (199) =
Para saber msSobre productos notables y factorizacin, consulta:http://interactiva.matem.unam.mxRuta1: lgebra Una embarrada de lgebra Binomio al cuadradoRuta1: lgebra Una embarrada de lgebra Diferencia de cuadrados[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora (PUEMAC), UNAM.
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secuencia 2
En esta secuencia aplicars criterios de congruencia para la justifica-cin de propiedades sobre los cuadrilteros.
lados opuestos igualesPara empezarA lo largo de la historia se han hecho afirmaciones matemticas que por mucho tiempo se creyeron ciertas, luego fueron reconocidas como errneas. Para evitarlo, los matem-ticos exigieron que las afirmaciones matemticas tuvieran una prueba rigurosa, es decir, una justificacin que no deje lugar a dudas.
En esta sesin conocers una de estas justificaciones rigurosas en la geometra.
Consideremos lo siguienteObserven los siguientes cuadrilteros, escojan cules tienen sus lados opuestos iguales.
sesin 1
Tringulos congruentes y cuadrilteros
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IIIMATEMTICASDe las siguientes propiedades, cul tienen en comn los cuadrilteros que eligieron?
a) Sus cuatro lados son iguales.
b) Cualesquiera de sus lados opuestos son paralelos.
c) Sus cuatro ngulos son iguales.
d) Sus diagonales son perpendiculares.
Dibujen dos cuadrilteros que satisfagan la propiedad que eligieron anteriormente y verifiquen si cualesquiera de sus lados opuestos son iguales.
Comparen sus respuestas y comenten:
Qu diferencia hay entre que un cuadriltero sea paralelogramo y que tenga sus pares de lados opuestos paralelos?
Ser cierta la siguiente afirmacin? Todos los paralelogramos tienen sus pares de lados opuestos iguales.
Manos a la obrai. Realicen la siguiente actividad.
Tringulos congruentes y cuadrilteros
Paso 1. Dibujen en un papel un paralelogramo y re-crtenlo.
Paso 2. Despus tracen una diagonal y anoten los nom-bres a los vrtices del paralelogramo tal como se muestra.
Paso 3. Recorten los dos tringulos por la diagonal. Paso 4. Pongan un tringulo encima del otro hasta que parezcan uno solo.
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secuencia 2a) Qu lado qued sobrepuesto con el lado aB?
b) Qu lado qued sobrepuesto con el lado BD?
c) Qu lado qued sobrepuesto con el lado Da?
Comparen sus respuestas y comenten:
Son congruentes aBD y cDB?
ii. Resuelvan las siguientes actividades para justificar que los tringulos aBD y cDB son congruentes.
a) De los ngulos marcados en la figura, cules son alternos internos? (Por lo tanto iguales).
= y =
b) De los siguientes criterios de congruencia, cul usaran para justificar que los tringulos aBD y cDB son congruentes? Justifiquen su respuesta.
i) LLL (lado, lado, lado) ii) LAL (lado, ngulo, lado) iii) ALA (ngulo, lado, ngulo)
c) Algunas de las siguientes afirmaciones son consecuencia de que los tringulos aBD y cDB son congruentes, cules son?
i) Los tres lados del aBD son iguales y respectivamente los del cBD.
ii) Los lados del aBD son iguales a los correspondientes del cDB.
iii) BD es igual al lado cB .
iv) aD es igual al lado Bc.
v) aB es igual al lado cB .
a) De los ngulos marcados en la figura, cules son alternos internos? (Por lo tanto
Recuerden que:
Los ngulos alternos internos
entre paralelas son iguales.
1 = 2
12
a D
cB
x
a y
cz
w
Recuerden que:
Dos tringulos son congruentes si se pueden hacer corresponder sus lados y ngulos de tal manera que lados y ngulos correspon-dientes midan lo mismo.
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MATEMTICAS IIIiii. Expliquen cmo a partir de que los tringulos aBD y cBD son congruentes se puede
afirmar que los lados opuestos del paralelogramo son iguales.
Comparen sus respuestas y comenten:
Adems de los paralelogramos, habr otros cuadrilteros con lados opuestos son iguales?
A lo que llegamosLos lados opuestos de un paralelogramo son iguales, pues si se traza una de sus diagonales, se obtienen dos tringulos congruentes.
Lo que aprendimosLa siguiente figura tiene marcados con diferentes letras algunos de los ngulos que en ella aparecen. Usa las etiquetas de esta figura para completar la justificacin a la si-guiente afirmacin:
En un paralelogramo, ngulos opuestos son iguales.
a
bc
de
fg
h
m
no
p i
jk
l
Justificacin:
Los ngulos a y son opuestos en el paralelogramo. Para justificar que son iguales, observemos que a es igual a pues son ngulos correspondientes (respecto a las dos paralelas horizonta-les y la transversal de la izquierda, ver figura). Luego es igual a k pues son ngulos alternos internos (respecto a las dos paralelas no horizontales y la transversal definida por la base del parale-logramo, ver figura). Lo cual muestra que los ngulos opuestos y k son iguales pues ambos son iguales a .
De manera similar se puede justificar que los otros ngulos opuestos y son iguales.
Comparen sus respuestas.
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secuencia 2
puntos MediosPara empezarEn geometra existen muchos cuadrilteros y se clasifican en varios tipos, tales como cuadrados, rectngulos y paralelogramos. Estos tipos no son excluyentes, es decir, un mismo cuadriltero puede ser de dos o ms tipos. Por ejemplo, un cuadrado es a la vez un rectngulo, un trapecio y un paralelogramo.
Describe a qu tipos pertenecen cada uno de los siguientes cuadrilteros:
Consideremos lo siguienteLos siguientes pares de segmentos se intersecan en su punto medio. Unan los extremos de los segmentos, para formar cuadrilteros, y despus contesten lo que se les pide.
Cules de los siguientes tipos de cuadriltero aparecieron? Mrquenlos con una .
Cuadrado Rectngulo Trapecio Paralelogramo Rombo
sesin 2
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MATEMTICAS IIILos cuatro cuadrilteros que se formaron son todos de un mismo tipo. Cul es? Mr-quenlo con una .
Cuadrado Rectngulo Trapecio Paralelogramo Rombo
Cada uno dibuje otro par de rectas que se intersequen en su punto medio. Unan los ex-tremos de los segmentos para formar un cuadriltero y decidan si ste es del mismo tipo que el que marcaron en la pregunta anterior.
Comparen sus respuestas y comenten si siempre se formar un paralelogramo al unir los extremos de dos segmentos que se intersequen por su punto medio.
Manos a la obrai. En el segmento con extremos a y c se ha mar-
cado el punto medio M con rojo. Dibuja otro segmento cuyo punto medio coincida con el punto M y etiqueta sus extremos con las letras B y D. Despus traza los segmentos aB, Bc, cD y Da.
a) Agrupa los segmentos aM, BM, cM y DM en parejas de segmentos iguales y jus-tifica por qu son iguales.
= . Justificacin:
y
= . Justificacin:
b) Agrupa los ngulos aMB, BMc, cMD y DMa en parejas de ngulos iguales y justifica por qu son iguales.
= . Justificacin:
y
= . Justificacin:
ii. De los siguientes criterios de congruencia, cul usaras para justificar que los trin-gulos aMB y cMD son congruentes?
i) LLL ii) LAL iii) ALA
Explica por qu los otros dos criterios no funcionan:
a
M
c
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secuencia 2iii. Como los tringulos aMB y cMD son congruentes, se pueden escribir algunas igual-
dades de lados y ngulos. Relaciona las siguientes dos columnas uniendo con una l-nea los elementos que tienen la misma magnitud.
aM
MB
Ba
aMB
MBa
BaM
cM
Dc
MDc
DcM
MD
cMD
iV. De las igualdades anteriores, cul crees que te sirva para argumentar que los seg-mentos aB y cD son paralelos?
=
Comparen sus respuestas y comenten:
Cmo podran argumentar que los lados aD y Bc son paralelos?
A lo que llegamosSi un cuadriltero satisface que sus diagonales se intersecan en su punto medio, entonces este cuadriltero debe ser un paralelogramo. Para justificar esta propiedad de manera formal se pueden emplear los criterios de congruencia.
Lo que aprendimosElige algunos de los textos que estn en el recuadro de razones para completar la justi-ficacin del siguiente hecho geomtrico.
Sean M y N los puntos medios de los lados aB y cD del paralelogramo aBcD, respecti-vamente. Entonces, se satisface que los tringulos MBc y nDa son congruentes.
B
M
c
D
n
a
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MATEMTICAS IIIRazones
En un paralelogramo los lados opuestos son iguales.
En un paralelogramo los ngulos opuestos son iguales.
En un paralelogramo los ngulos adyacentes son complementarios.
Son la mitad de lados iguales.
Es un paralelogramo.
ngulos alternos internos entre paralelas son iguales.
Son congruentes por el criterio de lado, ngulo, lado.
Son congruentes por el criterio de lado, lado, lado.
Son congruentes por el criterio de ngulo, lado, ngulo.
Justificacin
Afirmacin Razn
aB = cD
MB = nD
Bc = aD
aBc = cDa
MBc es congruente con nDa
Para saber msSobre la justificacin de los hechos geomtricos en la historia, consulta:Ruiz, Concepcin y Sergio de Rgules. "Geometra prctica y geometra deductiva" en Crnicas geomtricas. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.
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secuencia 3
Entre rectas y circunferenciasEn esta secuencia identificars las posiciones relativas entre una recta y una circunferencia y entre circunferencias. Conocers algunas propiedades de las rectas secante y tangente de una circunferencia.
Puntos en comnPara empezari. LacircunferenciadecentroOmide2cmderadio.Trazalasrectasquesepiden.
a) Unarectaequenointersequealacircunferencia.
b) Unarectasqueintersequealacircunferenciaendospuntos.
c) Unarectatqueintersequealacircunferenciaenslounpunto.
d) Unarectadquepaseporelcentrodelacircunferencia.
Comparensustrazosyverifiquensicumplenconlascondicionepedidas.
ii. Midelasdistanciasdecadaunadelasrectasalcentrodelacircunferencia.
a) Paraculdelasrectasladistanciaescero?
b) Paraculdelasrectasladistanciaes2cm?
c) Paraculdelasrectasladistanciaesmayorque2cm?
d) Paraculdelasrectasladistanciaesmenorque2cm?
Comparenyjustifiquensusrespuestas.
sesin 1
Recuerda que:
La distancia de un punto a una
recta es la medida de la
longitud del segmento perpen-
dicular del punto a la recta.
O
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