Problemas de Finales años pasados

1 -Determinar en forma analítica la ecuación general de la recta que pasa por el punto (2, - 5) y es perpendicular a la recta de ecuación x + y = 6. Graficar las rectas y determinar sus ángulos de inclinación.

2.- a) Dibujar la cónica representada por la ecuación ( x - 2)2+ y2= 2 b) Determinar en forma analítica y gráfica sus intersecciones con los ejes coordenados.

3.- a) ¿Cuál es la ecuación de la elipse cuyo vértice es (± 4 , 0) y focos (± 2 , 0) ? b) Graficarla.

4- Dadas las ecuaciones: A) y – (x –1)2 = 0 B) y2 – 4/9 x2 = 4

a) Identificar a qué tipo de cónica corresponde. b) Representarlas gráficamente.

5- Explicar :

a) ¿ Cómo se calcula las coordenadas del vértice y el eje de simetría de la parábola de ecuación

y = - x2

+ 4 x ?. Representarla gráficamente.b) ¿ Qué es una ecuación ? ¿ Qué significa resolver una ecuación ? ¿ Qué representan gráficamente las raíces de una ecuación ?c) ¿ Es posible aplicar el teorema del coseno para calcular un cateto de un triángulo rectángulo, conociendo la hipotenusa y un ángulo agudo ?d) Si dos figuras planas tienen igual área, ¿ tienen siempre el mismo perímetro ?e) Si una recta pasa por dos puntos de igual ordenada, ¿ la recta tiene pendiente ?.

1.- Resolver los siguientes problemas:

1-1- Probar que el punto (1, - 2) pertenece a la recta determinada por los puntos (- 5, 1) y (7, - 5) y equidista de ellos. ¿ Qué ángulo de inclinación tiene la recta ?

1-2- a) Graficar la función : y + 5 = 2 x2

b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1 , - 3) y (3 , 9). Graficarla. c) Determinar las intersecciones entre la función del items a) y la recta. Verificar gráficamente.

1-3- Determinar analíticamente la ecuación general de la circunferencia que tiene por centro el punto de intersección de las rectas R: 3x + 2y = 0 y S: 4x + y – 5 = 0, y por radio la distancia

de este punto al punto (5 , 1). Verificar gráficamente y determinar las intersecciones con los ejes.

2.- Dadas las ecuaciones: a) y2 + 4/9 x2 = 4

b)

x2

25 − y2=1

a) Identificar a qué tipo de cónica corresponde. b) Representarla gráficamente.

3.- Analizar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta

a) El sistema de ecuaciones {a1 x

2+ b1 x + c1= y ¿ ¿¿¿ está representado gráficamente por dos rectas.

b) La recta de ecuación x + 5 = 0 tiene pendiente nula.

c) Las rectas y =±m

n x

son las asíntotas de una hipérbola de ecuación

x2

m2− y

2

n2=1

d) Si la escala con la que se ha construido el modelo de una casa es 1/40, entonces el frente cuya medida real es 12 m, mide en la maqueta 30 cm.

e) El teorema del seno puede aplicarse para determinar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuando se conoce la longitud de uno de los catetos y la amplitud del ángulo opuesto a él.

1- Resolver los siguientes problemas, justificando detalladamente las respuestas dadas :

1.1- Determinar en forma analítica la ecuación general de la recta que pasa por el punto (2, - 5) y es

perpendicular a la recta de ecuación

x6

+ y3

=1 . Graficar las rectas y determinar sus ángulos de

inclinación.

1.2- a) Determinar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (2,0) y radio igual al cuadrado de la distancia entre este punto y el origen de coordenadas.

b) Calcular, si existen, los puntos de intersección entre la circunferencia dada en a) y la cónica de

ecuación 4 x2+ 36 y2= 144

c) Representar ambas cónicas en el mismo sistema de coordenadas cartesianas.

1.3- a) ¿ Cuál es la ecuación de la hipérbola cuyo vértice es (± 3 , 0) y pasa por el punto (5,2) ?.

b) Escribirla en la forma y = f (x) (indicar cada paso) c) Graficarla.

2- Explicar, justificando adecuadamente las respuestas : a) ¿ Cuál es el vértice y el eje de simetría de la parábola de ecuación y = - 2x

2 + 8 x ?.

Representarla gráficamente.

b) ¿ Cómo se define la altura y la mediatriz de un triángulo ? Graficarlas en un triángulo acutángulo escaleno cualquiera.

c) ¿ Es posible aplicar el teorema del coseno para calcular un cateto de un triángulo rectángulo cuando se tienen un ángulo agudo y la hipotenusa ?.

d) Si en un prisma de base cuadrada se reduce a la mitad la longitud del lado y se duplica la altura del prisma, ¿ se duplican su volumen y su área total ?

e) ¿ Cuáles son las diferencias y similitudes que existen entre un rectángulo y un rombo ?