CUADERNO DE EJERCICIOS PARA ELCURSO DE MATEMTICAS IDEPARTAMENTO ACADMICO DE MATEMTICASITAM, 2011INTRODUCCINLasMatemticassonparteintegral delaformacinacadmicadeloses-tudiantesdeAdministracin, EconomayCienciasSociales. Cadavezmsseaprecia la necesidad creciente de mejorar el nivel de las tcnicas cuantitativas,ascomodequelosestudiantesdeestasdisciplinasseancapacesdeplantear,resolver e interpretar los problemas con los que se enfrentan.El objetivodeestecuadernodetrabajoesel depresentarleal estudianteunmuestrariodeejerciciosenlosqueladerivadaeintegral exhibensugranutilidad como una poderosa herramienta. Asimismo se pone especial nfasis enel anlisisgrcodelasfuncionesconsideradas. Al nal seincluyeunabrevebibliografarecomendadaendondeel lectorhallarotrosejercicios, as comotemas anes.Guillermo Grabinsky S.1ndice generalI. LA DERIVADA 4I.1. Incrementos y tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.2. Lmites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.3. La derivada (Reglas de diferenciacin. Regla de la cadena). . . . 8I.4. Recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.5. La derivada como razn de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . 12I.6. Anlisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.7. Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas . . . . . . . 16I.8. Lmites y derivadas de funciones trigonomtricas . . . . . . . . . 20II. OPTIMIZACIN Y BOSQUEJO DE GRFICAS 22II.1. Funciones crecientes y decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II.2. Concavidad y puntos de inexin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22II.3. Grcas de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.4. Aplicaciones de mximos y mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . 25II.5. Anlisis incremental. Aproximacin por diferenciales.. . . . . . . 29II.6. Aproximacin de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.7. Diferenciacin implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31II.8. Diferenciacin logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.9. Elasticidad de la demanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35III.INTEGRACIN 38III.1. Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38III.2. Integrales indenidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39III.3. Aplicaciones de la integral indenida . . . . . . . . . . . . . . . . 40III.4. Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41III.5. Mtodo de sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III.6. Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44IV.LA INTEGRAL DEFINIDA 46IV.1. Integrales denidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46IV.2. rea bajo curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48IV.3. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48IV.4. rea entre curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492IV.5. Aplicaciones de la integral denida . . . . . . . . . . . . . . . . . 50V. Soluciones 52V.1. La derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52V.1.1. Incrementos y tasas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52V.1.2. Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53V.1.3. La derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55V.1.4. Recta tangente a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . 58V.1.5. La derivada como razn de cambio . . . . . . . . . . . . . 59V.1.6. Anlisis marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59V.1.7. Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas . . . 61V.1.8. Lmites y derivadas de funciones trigonomtricas . . . . . 63V.2. Optimizacin y bosquejo de grcas . . . . . . . . . . . . . . . . 64V.2.1. Funciones crecientes y decrecientes. . . . . . . . . . . . . . 64V.2.2. Concavidad y puntos de inexin. . . . . . . . . . . . . . 64V.2.3. Grcas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65V.2.4. Aplicaciones de mximos y mnimos . . . . . . . . . . . . 78V.2.5. Anlisis incremental. Aproximacin por diferenciales. . . . 79V.2.6. Aproximacin de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . 80V.2.7. Diferenciacin implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80V.2.8. Diferenciacin logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81V.2.9. Elasticidad de la demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87V.3. Integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88V.3.1. Antiderivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88V.3.2. Integrales indenidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89V.3.3. Aplicaciones de la integral indenida. . . . . . . . . . . . 89V.3.4. Integracin por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90V.3.5. Mtodo de sustitucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91V.3.6. Tabla de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92V.4. La integral denida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93V.4.1. Integrales denidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93V.4.2. rea bajo curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94V.4.3. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94V.4.4. rea entre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95V.4.5. Aplicaciones de la integral denida. . . . . . . . . . . . . 953Captulo ILA DERIVADAI.1. Incrementos y tasas1. Determine los incrementos de las funciones siguientes as como la tasa decambio promedio para los intervalos dados:a) f(x) = 2x + 7;x = 3;x = 0.2b) f(x) = 2x2+ 3x 5;x = 2;x = 0.5c) g(x) =x24x 2 ;x = 1;x = 0.5d) f(x) = 3 7x;x = 2;x = 0.3e) f(x) = 3x25x + 1;x = 3;x = 0.5f ) f(x) =x29x 3 ;x = 3;x = 0.22. (Crecimiento y variacin de la poblacin) La poblacin de cierta ciudaden el tiempot (medido en aos) esta dada por:p(t) = 10000 + 1000t 120t2Determine la tasa de crecimiento promedio entre cada pareja de tiemposa) t = 3 yt = 7 aos.b) t = 2 yt = 4 aos.c) t yt +t aos.3. (Funcin de costo) Despus de consultar a un matemtico, un fabricantesabe que el costo de producirx artculos puede simularse por:C(x) = 0.001x30.3x2+ 40x + 10004a) Determine el incremento en el costo cuando el nmero de unidadesse incrementa de 30 a 70.b) Calcule el costo promedio por unidad adicional de incremento en laproduccin de 40 a 70 unidades.c) Calcule el costo promedio por unidad adicional en el incremento deproduccin de 70 a 90 unidades.4. SeaC(x) =mx+bconm>0yb >0unafuncindecostolineal.Verique que el costo promedio por unidad adicional es siempre el mismo,independientemente de los niveles de produccin. Ilustre grcamente.5. (Relacindedemandaeingreso)Cuandoel preciodeciertoartculoesigual ap, el nmerodeartculosquepuedenvenderseporsemana(de-manda) est dado por la formulax =1000p + 1a) Determineelincrementodelademandacuandoel preciodeincre-menta de $4 a $9.b) Determineel incrementoenel ingresobrutocuandoel preciodelartculo se incrementa de $1 a $4.c) Calculeelincrementopromediodelingresototalporunidaddein-cremento en el precio cuando ste se incrementa de $1 a $9.6. (Crecimientodel PNB)Duranteel perodode1990a2010, el productonacional bruto de cierto pas se encontraba dado por la frmulaI= 5 + 0.1x2enmilesdemillonesdedlares(xenaosyx=0correspondeal ao1990). Determine el crecimiento promedio del PNB por ao entre 2000 y2005.7. El costo de producir x unidades de cierto artculo est dado por la funcin:C(x)=10x + 420 y el ingreso obtenido por la venta dex unidades estdadapor: I(x) =1000x x2. Seestnproduciendo200unidadesysedesea incrementar la produccin a210 unidades.a) Calcule los incrementos correspondientes en el costo, el ingreso y lautilidad.b) Determineelcambiopromediodelcosto,ingresoyutilidadporlasunidades adicionales vendidas.8. (Televidentes) Despus de consultar a un matemtico, una nueva empresade televisin por cable pudo simular la proporcin de familias que utiliza-ban su serviciot aos despus por medio de la frmula:p = 1 e0.1t5Determineel crecimientodepentret =1yt =2ylatasadecambiopromedio dep por ao.9. (Crecimientodelapoblacin)Lapoblacindeciertacomunidadcomofuncin del tiempot se encuentra que est dada por la frmula:y=200001 + 6(2)0.1tCalcule el incremento de y entre t = 20 y t = 30 y el crecimiento promediode la poblacin por ao durante este perodo.10. (Funcin de ingreso) El ingreso semanal total R (revenue) obtenido por laproduccin y venta dex unidades de cierto artculo est dado por:R = f(x) = 500x 2x2Determine la tasa promedio de ingresos por unidad extra cuando el nmerode unidades producidas y vendidas por semana se incrementa de 120 a 150.I.2. Lmites y continuidad1. Evale los siguientes lmites:a) lmx2(3x2+ 7x 1).b) lmx1(2x2+ 3x 1).c) lmx2x2+ 4x + 4x24.d) lmx9x- 3x281.e) lmx2x2+x 6x24.f ) lmx12 x 12 x + 3.g) lmx53x 6 3x 5.h) lmt0t3 t 9.i ) lmx0(x + 4)141x.j ) lmw11w + 1 12w 1.k) lmt1(t 1)2(1 t)(2 2t)2.6l ) lmx3x2+ 6x + 99 x2.m) lmx6x28x + 12x26x.n) lmx0x1 32x + 1.2. Determine los siguientes lmites unilaterales:a) lmx3[2x32[x 3.b) lmx3x22x 3[x 3[.c) lmx9+x 3x 9.d) lmt0+[t[ [ t[t.e) lmx3+[x 3[x 3.f ) lmx11 x2[x 1[.3. Calculelmxcf(x) dondef(x) y c estn dadas por:a) f(x) =

3x 4 x ,= 25 x = 2; c = 2 Esfcontinua enc?b) f(x) =

x23x + 1 x < 11 x 1; c = 1 Esfcontinua enc?c) f(x) =x29x + 3x < 32x x 3; c = 3 Esfcontinua enc?4. Determine el valor deA y deB para que la funcin:f(x) =Ax2+ 5x 9 x < 1B x = 1(3 x)(A2x) x > 1sea continua en todo su dominio.5. Obtenga el valor de la constantec que hace que la siguiente funcin:f(x) =c x = 13x 11 xx ,= 1sea continua enx = 1 .76. Pruebe que para ningn valor de A es posible denir f(1) de tal modo quela funcin dada por:f(x) =

A(x 1) x < 1Ax2+ 2Ax + 1 x > 1pueda ser extendida continuamente enx0= 1 . Explique porqu.7. Encuentre el valor de h de modo que la siguiente funcin: f(x) =

hx + 3 x13 hx x < 1sea continua enx = 1.8. (TarifaPostal)Enviarunacartadeprimeraclasetieneuncostode$10por cada gramo o fraccin menor. Analice la continuidad de la funcin decosto f(x) que resulta de enviar una carta que pesa x gramos si 0 x 89. Cules de las siguientes armaciones son verdaderas?a) Una funcin no es continua enc slo sif(c) no est denida.b) Una funcin es continua enc siempre y cuandolmxcf(x) exista.c) Si fes continua en c, entonces la grca de fno presenta una roturaen(c, f(c)).10. Evalelmh0f(a +h) f(a)hpara las funcionesf(x) y los valores dados a continuacin:a) f(x) = 2x2+ 3x + 1 ;a = 1.b) f(x) = x21 ;a = 0.c) f(x) = 2x2+ 5x + 1 ;a = x.d) f(x) = 3x25x + 7 ;a = 2.e) f(x) = x2+x + 1 ;a = t.I.3. La derivada (Reglas de diferenciacin. Reglade la cadena)1. Calcule las derivadas de las funciones siguientes con respecto a la variableindependiente segn el caso y simplique lo ms posible.a) g(x) = 2x35x2+ 3x 7.b) h(u) =21 u.8c) f(t) =12t + 3.d) y= 4 + 2x3+ 3x1.e) y=x 3x.f ) y=83x+x7.g) f(x) = 2x3(x22).h) f(x) = (x 3)(2x21).i ) f(x) =2x + 3x 2 .j ) f(x) =x2+ 12x 3.k) f(x) =3x + 5x23.l ) f(x) = 9x1/3(x3+ 5).m) f(x) =2xx23x + 1.n) f(x) =2x 1(x3+ 2)(x23).) f(x) =x 1x + 1.2. Calcule:a) D

x43x2+ 5x2

.b)dydxparay=x 6x3.c) y

paray=2x54x3+ 2xx3.d) f

(x) paraf(x) =3x + 33x2.3. Dada la ecuaciny= f(x) = 6x x2encuentre:a) La funcin de la pendientem =dydx.b) La pendiente de la tangente a la grca enx = 2 yx = 4.c) Los valores dex que hacen que la pendiente sea cero.d) Ilustre grcamente el inciso c).4. Repita el ejercicio 3. paray= f(x) = 2x2+ 8x.95. Repita el ejercicio 3. salvo el inciso (d) paray= f(x) =23x3+ 3x2+ 2.6. Esboce la grca de una funcinfcuya derivada tiene todas las propie-dades siguientes:a) f

(x) > 0 cuandox < 1 y cuandox > 5 .b) f

(x) < 0 cuando1 < x < 5 .c) f

(1) = 0 yf

(5) = 0 .7. Encuentre nmerosa, b yc tales que la grca de la funcin:f(x) = ax2+bx +ctenga intersecciones con el eje de lasx en (0, 0) y (5, 0) y una tangentecon pendiente 1 cuandox = 2.8. Encuentre las ecuaciones de todas las tangentes a la grca de la funcinf(x) = x24x + 25 que pasan por el origen.9. (Crecimiento de las ventas) El volumen de las ventas S de cierto iPod estdado como una funcin del tiempot por la frmulaS(t) = 1000 + 200t 20t2en donde t se mide en semanas. Determine la tasa en que S cambia cuandoa) t = 0.b) t = 2.c) t = 5.d) Comparelosresultadosen(a), (b)y(c)conlascorrespondientestasas de crecimiento promedio sit = 0.0110. (Crecimientodelapoblacin)Ciertapoblacincrecedeacuerdoconlafrmulap(t)=30000 + 60t2en dondet se mide en aos. Calcule la tasade crecimiento cuandoa) t = 0.b) t = 1.c) t = 7.d) Comparelosresultadosen(a), (b)y(c)conlascorrespondientestasas de crecimiento promedio sit = 0.0111. (Crecimiento de la poblacin) Se estima que dentro de x meses la poblacinde cierta comunidad ser:P(x) = x2+ 20x + 8000a) A qu ritmo cambiar la poblacin dentro de 15 meses?10b) Cuntocambiarrealmentelapoblacinduranteel decimosextomes?12. (Funcin de precio-demanda) De acuerdo a una teora econmica, la de-mandad(x) de un producto en un mercado libre disminuye al aumentarel preciox. Suponga que el nmero de radios de transistoresd(x) que losconsumidores comprarn por semana en una cierta ciudad al precio x estdado pord(x) =50000x2+ 10x + 25con$5 x $15a) Encuentre la razn de cambiod

(x), de la demanda con respecto alcambio en el preciob) Calculed

(5) yd

(10) Qu signican?13. Calculedydxutilizando la regla de la cadenaa) y= (2x + 5)3.b) y= (x26)3/2.c) y= 3(x22)4.d) y= 2(x2+ 5x)3.e) y=x2+ 8.f ) y=33x2+ 4.g) y= (x24x + 4)1/2.h) y=12x + 4.i ) y=1(x23)8.j ) y=12x23x + 1.14. Evale las derivadas obtenidas en el ejercico 13. parax = 3.15. Encuentre la ecuacin de la tangente a la grca dey=42x23x + 3enel punto (1, 2) utilizando la regla de la cadena para encontrar la pendiente.Escriba la respuesta en la formay= mx +b .16. Suponga quef(x0) = f

(x0) = 2 y queg

(4) = 1 ; calcula(g f2)

(x0) .17. Obtenga

dxdz

cuandoz= 9 si:x = t3+ 2 yt = z1/2.18. Utilice las reglas de difrenciacin para obtenerf

(c) si:a) f(x) =

x2+ 1x + 1

1/2yc = 0 .11b) f(x) = lnx + 1x2+ 4

yc = 0 .c) f(x) = (x2+ 1)7(2x31)4yc = 1 .d) f(x) = xex2yc = 0 .19. A partir de la denicin calculef

(c) si:f(x) =x 1 yc = 10 .20. Obtenga:(

9x + (2x + 1)3)

(1) .I.4. Recta tangente a una curva1. Determine la ecuacin de la recta tangente a la grca def(x) = xx enel puntoP0= (0, f(0)) .2. Determine las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la grca de f(x) =4x x2que pasan por el puntoQ0= (2, 5) .3. Determine las coordenadas de los puntos en donde la recta tangente a lagrca def(x) =x33+x2+ 1 sea:a) Paralela al eje x (2soluciones).b) Paralela a la rectay= x (1 solucin).4. En qu punto sobre la parbolay= 3x212x +5 es la recta tangente atravs de l perpendicular a la rectax 6y + 3 = 0 ?5. Verique que a travs del punto(1, 1) las curvasy= x3yy= x1/3tienenrectas tangentes cuyas pendientes con recprocas.I.5. La derivada como razn de cambio1. Larelacindedemandadeciertoartculoestdadapor: p +q=200donde q representa el nmero de artculos y p es el precio unitario. Deter-mine la razn de cambio de la demandaqcon respecto al precio cuandoel precio es de $5 por cada artculo.2. Determine la razn de cambio porcentual de la funcinF(L)=500L1/2con respecto aL cuandoL = 400 .3. El costototal delafabricacinCes unafuncindelacantidadq deartculos producidos, que a su vez es una funcin del nmerot de horasempleadas en su fabricacin.a) Qu representa la derivada

dCdq

?12b) Qu representa la derivada

dqdt

?c) Qu representa el producto

dCdq

dqdt

?4. Se estima que ent aos cierta poblacin suburbana ser dep(t)=20 6t + 1miles de personas y que el nivel promedio de monxido de carbonoque se producir ser de c(p) = 2

p2+p + 58 partes por milln cuando lapoblacin dea de p miles. Determine la tasa de cambio del nivel promediodel monxido de carbono con respecto al tiempo a los 2 aos.I.6. Anlisis marginal1. (Costoeingresomarginal)Calculeel costomarginal C

(x)yel ingresomarginalR

(x) de las funciones de costo e ingreso siguientes:a) C(x) = 40 + (ln 2)x2.b) R(x) = x 0.01x2.c) C(x) = 0.0001x30.09x2+ 20x + 1200.d) R(x) = 5x 0.01x5/2.e) C(x) = 106x3(3 103)x2+ 36x + 2000 .f ) R(x) = 0.01x 103x2105x5/2.g) R(x) = 100x (log 5)x3(1 +x).2. (Ingresomarginal)Calculeel ingresomarginal R

(x), si laecuacindedemanda es:a) x + 4p = 1000 cuandop = 50.b) x +p = 10 cuandop = 6.c) x2/3+ 21p = 100 cuandop = 4.d) 10p +x + 0.01x2= 700 cuandop = 10.3. (Utilidadmarginal)Silafuncindedemandaesx + 4p=1000yladecosto esC(x)=1000 + 5x, calcule la utilidad marginal con respecto axcuandop = 150.4. (Utilidad marginal) Si la funcin de demanda esx+p = 10 y la de costoesC(x)=60 + x,calculelautilidadmarginalconrespectoaxcuandop = 7.5. (Utilidad marginal) Si la funcin de demanda esx2/3+ 50p=1000 y lade costo esC(x) = 50 + x3/2, calcule la utilidad marginal con respecto ala demanda cuandop = 16 yx = 25.136. (Utilidadesmarginales)El editordeunarevistadescubrequesi jaelpreciode$1asurevista, vende20,000ejemplaresal mes; sinembargo,si el precio jado es de $1.50, sus ventas slo sern de 15,000 ejemplares.Sielcostodeproducircadaejemplaresde$0.80ytienecostosjosde$10,000 al mes, suponiendo una ecuacin de demanda lineal:a) Calcule su funcin de utilidad marginal y determine el precio de larevista que haga qu la utilidad marginal sea igual a cero. Evale lautilidad misma cuando el precio es:b) $1.80 .c) $1.90 .d) $2 .7. La Secretara de Finanzas indica que a partir del 2001, el impuesto predialsobre una casa de tres habitaciones es de P(x) = 60x1/2+40x+1200 pesos,donde x se mide en aos. Estime el cambio del monto del impuesto predialdurante la primera mitad del ao 2005.8. En determinada fbrica, la produccin es deQ=600K1/2L1/3unidadesdonde Krepresentalainversinencapital yLel nmerodeobreros.Estime el incremento porcentual que se generar en la produccin a partirde un aumento de 2 % en el nmero de obreros, si la inversin de capitalno cambia. Compare con el incremento porcentual real.9. Si la relacin de demanda es:q2/3+ 50p=1000 y la de costo es:C(q)=50+q2/3, determinalautilidadmarginal conrespectoalademandacuandop = 18 yq= 64 .10. La relacin de demanda de cierto artculo est dada por 2q +p + 4 = 11. Determine:a) Elpreciomarginalconrespectoalademandaaunniveldeq=3unidades.b) El ingreso marginal con respecto al precio cuandop = 21 .11. La relacin de demanda de cierto artculo es:p(q2+ 1) = 300 en dondepes el precio por unidad yqla cantidad demandada. La funcin de costoes:C(q) = 3q2+ 4q dlares. Determine:a) La funcin de ingreso marginal con respecto a la cantidad.b) La utilidad promedio marginal cuandoq= 2 .12. (Tasas relacionadas) Una empresa tiene la funcin de costoC(x)=25 +2x120x2en donde x es el nivel de produccin. Si ste es igual a 5 actual-mente y est creciendo a una tasa de 0.7 por ao, calcule la tasa a la quelos costos de produccin se estn elevando.1413. (Tasas relacionadas) La ecuacin de demanda del producto de cierta com-paa es 2p+x = 300. Si la demanda cambia a una tasa de 2 unidades pormes cuando la demanda alcanza 40 unidades, A qu tasa est cambiandoel ingreso si la compaa ajusta su precio a la demanda cambiante?14. (Produccin marginal) Se estima que la produccin semanal de una ciertaplanta esQ(x) = x3+ 60x2+ 1200x unidades, dondex es el nmero detrabajadores empleados en la planta. Generalmente hay 30 trabajadoresempleadosenlaplanta.Useelanlisismarginalparaestimarelcambioen la produccin semanal que resultara de aadir un trabajador ms a lafuerza de trabajo y compare con el cambio real.15. (Ritmo de produccin) Un estudio de productividad sobre el turno matu-tino en una fbrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo alas 8:00 a.m. habr montadof(x) = x3+ 6x2+ 15 telfonos celularesxhoras despus.a) Obtenga una frmula para el ritmo al que el trabajador estar mon-tando telfonos despus dex horas.b) A qu ritmo estar montando telfonos el trabajador a las 9:00 a.m.?c) Cuntos telfonos montar realmente el trabajador entre las 9:00 ylas 10:00 a.m.?16. (Costomarginalycostopromediomarginal)Supongaqueelcostototalen dlares de la fabricacin deq unidades es:C(q) = 3q2+q + 500.a) Utilice el anlisis marginal para estimar el costo de la fabricacin dela cuadragsima primera unidad.b) Calcule el costo real de fabricacin de la cuadragsima primera uni-dadc) Qu costo de fabricacin aproximaC

(41)?d) Halleelcostopromedioyelcostopromediomarginaldefabricarqunidades.17. (Produccin marginal) En cierta fbrica, la produccin diaria es de 600K1/2unidades,dondeKrepresentalainversindecapitalmedidaenunidadesde1000dlares. La inversin actual de capital es de 900,000 dlares. Mediante elanlisis marginal estime el efecto que una inversin adicional de capital de1,000 dlares tendr en la produccin diaria.18. (Produccin marginal) En cierta fbrica, la produccin diaria es de 3000K1/2L1/3unidades, en donde K representa la inversin de capital de la rma medidaen unidades de 1,000 dlares yL representa la fuerza de trabajo medidaen horas de trabajo. Supongamos que el capital invertido actualmente esde400,000dlaresyqueseusancadada1,331horasdetrabajo. Useel anlisis marginal para estimar el efecto que una inversin adicional de15capital de 1,000 dlares tendr en la produccin diaria si el tamao de lafuerza de trabajo no cambia.19. (Raznporcentual decambio)Unempleadotieneunsalariode12,000dlares por ao y obtendr un aumento de 1,000 dlares cada ao. (NOTA:Si S(t)denotael salarioal tiempot, laraznporcentual decambiosedene como:100S

(t)S(t)% ).a) Expreselaraznporcentual decambiodesusalariocomofuncindel tiempo y dibuje su grca.b) A qu razn porcentual estar aumentando su salario despus de unao?c) Qulesucederalalargaalaraznporcentualdecambiodesusalario?20. (Demanda de consumo) Un distribuidor de jitomate de Sinaloa estima quelos consumidores locales comprarn aproximadamenteD(p) =4374p2kilosde jitomate por mes cuando el precio es de p pesos por kilo. Se estima quedentro det meses, el precio del jitomate ser de:p(t) = 0.02t2+ 0.1t + 6pesosel kilo. Aquritmoestarcambiandolademandadejitomatedentro de 10 meses? Estar creciendo o decreciendo?21. Una fbrica de cigarros produce x cartones de cigarros al da con un costodiariode50x(x + 200)x + 100dlares. Compruebequesi crecelaproduccinentonces:a) El costo se incrementa.b) El costo promedio disminuye.I.7. Derivadas de funciones exponenciales y loga-rtmicas1. Calculedydxpara cada una de las funciones siguientes y simplique lo msposible:a) y= e3x.b) y= 7ex.c) y= ex2.d) y= xex.e) y= x2ex.16f ) y=exx .g) y= ex.h) y=x + 1ex.i ) y=ex2ex .j ) y=ex3ex2 .k) y=ex1 ex.l ) y=exex+ 1.m) y= e(3x2+7x1).2. Calculedydxpara cada una de las funciones siguientes y simplique lo msposible:a) y= ln(3x + 7).b) y= ln(x2).c) y= ln(x2+ 7).d) y=ln x.e) y= (1 + ln x)7.f ) y=1ln x.g) y= x2ln x.h) y= x(ln x + 1).i ) y= xln(x 1).j ) y=ln xx.k) y=1 + ln x1 ln x.l ) y=x + 2ln(x + 2).3. Calculedydxparacadaunadelas funciones siguientes ysimpliqueloms posible. (NOTA: Utilice las diversas propiedades del logaritmo parafacilitar algunos clculos).a) y= exln x.17b) y=ln xe2x .c) y= exln(x2+ 1).d) y= ln

xex

.e) y= log(ex).f ) y= log(3(x2)) .g) y= ln

x2+ 1x + 1

.h) y= ln

(x + 2)e3xx2+ 1

.i ) y= lnx + 1x2+ 4

.4. Evale, si es posible, las derivadas obtenidas en el ejercicio 3. parax = 0yx = 1.5. Obtengaf

(c) si:a) f(x) = x3ex4yc = 1 .b) f(x) =1 ex1 +exyc = 0 .c) f(x) = ln(1 + (x 2)2) yc = 2 .d) f(x) =31 + 2e5xyc =15.6. Seay= exyx = ln(1 +t2) , calcula

dydt

sit = 1 .7. Determine la ecuacin de la recta tangente a la grca de y= f(x)a travsdel punto(c, f(c)) si:f(x) = ln

ex1 +e3x

yc = 0 .8. (Preciomarginal)Si xunidadespuedenvenderseaunpreciodepcadauna en dondex + ln(p + 1) = 50 ,0 x 50, calcule el precio marginalcon respecto a la demanda.9. (Demandamarginal) Laecuacindedemandadeciertoproductoestdada por:2x + 3 ln(p + 1) = 60. Calcule la demanda marginal a un nivelde precio dep = 2. Interprete el resultado.10. (Productividad fsica marginal) La productividad fsica de cierta empresaest dada porP(x)=500(x + 4)3/2 4000 en dondex es el nmero demquinas en funcionamiento. Determine la productividad fsica marginalcuando 5 mquinas estn en funcionamiento. Interprete el resultado.1811. (Ingresos y utilidades marginales) La ecuacin de demanda de cierto pro-ductoesp=300ex/20endondexunidadessevendenal preciode$pcadauno. Si el fabricantetienecostosjosde$500yuncostovariablede$20porunidad,hallelafuncindeingresomarginalylafuncindeutilidad marginal.12. (Ingreso marginal) Si x unidades pueden venderse a un precio dep cadauna, en donde: 2p+ln(x+1) = 70, encuentre la funcin de ingreso marginalcon respecto ax.13. La relacin de demanda de cierto artclo est dada por: 5p+ln(3q+2) = 25. Determina la funcin de ingreso marginal con respecto al precio.14. (Inters compuesto) Se deposita dinero en un banco que ofrece inters aun tipo anual del 6 % compuesto continuamente. Halle la razn porcentualde cambio del saldo con respecto al tiempo.15. (Depreciacin) Cierta maquinaria industrial se deprecia hasta que su valor,pasadostaos,esde: Q(t)=20000e0.4tdlares.(NOTA:laSHCPslopermitedepreciacinlineal, sinembargomuchasempresasutilizanotrotipodedepreciacionesinternamenteparaconocerladepreciacinreal yslo con nes informativos).a) A qu ritmo se est depreciando la maquinaria despus de 5 aos?b) Aquraznporcentualestcambiandoelvalordelamaquinariadespusdetaos?Dependeestaraznporcentualdetoescons-tante?16. Suponga que se invierten 70,000,000 de pesos a un tipo anual de intersdel 35 %. Calcule el saldo despus de 5 aos en cada uno de los siguientescasos:a) El inters es simple.b) El inters se compone semestralmente.c) El inters se compone continuamente.17. Con qu rapidez se duplicar el dinero si se invierte a un tipo anual deinters del 30 % y el inters se compone:a) trimestralmente?b) continuamente?18. Con qu rapidez se duplicar el monto de una inversin si se invierte aun tipo anual de inters simple del 30 %?19. Cul es la mejor inversin: 8.2 % anual compuesto trimestralmente 8.1 %anual compuesto continuamente?1920. Despusdetsemanasdel brotedeunaepidemiadeciertaclasedegri-pe, el nmerodepersonascontagiadasesaproximadamentede: f(t) =21 +e0.8tmiles de personas.a) Cuntas personas tenan la enfermedad al principio del brote?b) A qu tasa est creciendo el nmero de personas contagiadas a las4 semanas?c) Si la tendencia contina indenidamente, aproximadamente cuntaspersonas en total contraern la enfermedad?I.8. Lmites y derivadas de funciones trigonom-tricas1. Los lmites trigonomtricos bsicos son:lmt0sin(t)t= 1.lmt01 cos(t)t= 0.Utilice identidades trigonomtricas y estos lmites bsicos para hallar:a) lmt0tan(t)t.b) lmt0sin(2t2)5t2.c) lmt01 cos(2t)3t.d) lmt01-cos(t)t2.e) lmt0tan(t) sin(t)t cos(t).f ) lmt0tan(t) sin(t)t3.2. Las derivadas trigonomtricas bsicas son:ddt(sin(t)) = cos(t)ddt(cos(t)) = sin(t)Utilcelas para hallar las derivadas de las siguientes funciones:20a)ddt(tan(t)).b)ddt(cot(t)).c)ddt(sec(t)) .d)ddt(csc(t)).3. Utilice la regla de la cadena para hallardydxsi:a) y= sin(2x2+ 3x + 7).b) y= ln(cos(x2+ 3)).c) y= tan2(x32x).d) y= ecot(x).e) y= 4 sin2(cos(3x 7)).f ) y= sin(sin(sin(x))).4. Calculef

(c) si:a) f(x) = ln(cos x) yc = /4 .b) f(x) = etan xyc = /4 .c) f(x) =1 + sin2xcos2xyc = .5. Identique cada uno de los siguientes lmites como una derivada y obtengasu valor:a) lmh0sin( +h)h.b) lmx/2cos(x)x /2.6. Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a las grcas desin x ycos x en el punto comnP0= (/4, 1/2) . Ilustre.7. DetermineA, ByCtalesquef(x) =Asin x + Bcos x + Csatisfaga:f(0) = 5 ,f(/2) = 1 yf

(0) = 3 .21Captulo IIOPTIMIZACIN YBOSQUEJO DE GRFICASII.1. Funciones crecientes y decrecientes1. Suponga quef

(x) = x27x + 12 . Determine los intervalos en donde lagrca de la funcinfes creciente y donde es decreciente.2. Seaf(x) =(x2 1)5. Determinelosintervalosdondelagrcadeladerivadaf

(x) es creciente y donde es decreciente.3. Determine los intervalos de crecimientoydecrecimientode lafuncinf(x) = 3x44x312x2+ 17 .4. Construya un polinomio de grado 3 tal que sea: creciente en(, 2) (1, ) , decreciente en(2, 1) y cuya grca pase por el punto(0, 1) ,5. Determineel dominiodef(x) =x1/2(2 x)3/2as comolosintervalosdonde la grca defes creciente y donde es decreciente.II.2. Concavidad y puntos de inexin1. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, tambin los in-tervalos de concavidad positiva y negativa as como las coordenadas de lospuntos crticos y de inexin de:a) f(x) = 3x44x312x2+ 2 .b) f(x) = x4+ 8x3+ 18x22 .c) f(x) = x3/2.d) f(x) =x(x + 1)2.22e) f(x) =

x + 1x

2.f ) f(x ==21 +x2.2. Muestre que la grca de f(x) = Ax2+Bx+C (A ,= 0) no posee puntosde inexin. Qu representa la grca def?3. Proporcioneunejemplodeunafuncinquesea:crecienteen(, 0) (0, ) , no sea diferenciable enx=0 y cuya grca tenga un punto deinexin cuya abcisa seax = 0 .4. Muestre quef(x) = Px3+Qx2+Rx +S (P ,= 0) tiene un nico puntode inexin cuya abcisa esx = Q3P.5. Muestre con diversos ejemplos que la condicinf

(x0) = 0 no es ni nece-saria ni suciente para que el punto(x0, f(x0)) sea un punto de inexinde la grca def.II.3. Grcas de funciones1. Para cada una de las funciones siguientes:a) Indique para qu valores dex es creciente y/o decreciente.b) Indique para qu valores de x tiene concavidad positiva y/o negativa.c) Encuentre sus puntos crticos.d) Encuentre sus extremos relativos y puntos de inexin.e) Encuentre sus asntotas verticales y/o horizontales.f ) Indique su dominio y su rango.g) Dibuje su grca.1) f(x) = 2x3+ 3x212x 7.2) f(x) = 2 + (x 1)3.3) f(x) =x2x 2.4) f(x) = x2/3.5) f(x) = x3+x2+ 1.6) f(x) = x55x4+ 100.7) f(x) = 3x48x3+ 6x2+ 2.8) f(x) = (x21)5.9) f(x) =x23xx + 1.10) f(x) = 6x2+12000x.2311) f(x) = 1 +x1/3.12) f(x) = 2 + (x 1)2/3.13) f(x) = x4+ 8x3+ 18x28.14) f(x) =x2+ 1.15) f(x) =x2x + 2.16) f(x) =xx29.17) f(x) = 1 62 e3x.2. Esboce la grca de una funcin continua que tenga todas las propiedadessiguientes:a) f

(x) >0cuandox< 5ycuandox>1, f

(x) 2.3. Trace la grca de una funcin fque satisfaga las siguientes propiedades:a) fes continua en todo punto de R.b) f

(x) > 0 en(, 1) (1, 1) .c) f

(x) < 0 en(1, 3) (3, ) .d) f

(x) > 0 en(, 1) (3, ) yf

(x) < 0 en(1, 3) .e) f(0) = 0 = f(2) yf(1) = 1 .4. Hallar el mximo y mnimo absolutos de la funcin:f(x) = 2x3+ 3x212x 7en el intervalo 3 x 0.5. La derivada de cierta funcin es:f

(x) = x24x.a) En qu intervalos esfcreciente y/o decreciente?b) En qu intervalos esfcncava hacia arriba y/o hacia abajo?c) Halle las abcisas de los extremos relativos y de los puntos de inexindef.246. La derivada de cierta funcin es:f

(x) = x22x 8.a) En qu intervalos esfcreciente y/o decreciente?b) En qu intervalos esfcncava hacia arriba y/o hacia abajo?c) Halle las abcisas de los extremos relativos y de los puntos de inexindef.7. Seaf(x) = 4x3+ 12x2+x 3(x 3)(2x + 1). Determine la ecuacin de cada una desus asntotas (tome en cuenta la posibilidad de races comunes).II.4. Aplicaciones de mximos y mnimosNOTA: Use el criterio de la segunda derivada en cada uno de los ejerciciosque as lo requiera.1. Seaf : [1, 8] Rdenidapor: f(x) =12x5 75x4 280x3+ 10.Determinelascoordenadasdetodoslospuntoscrticosdef yel valormximo y mnimo de la funcin en[1, 8] .2. La polica federal de caminos ha estado registrando la velocidad del trn-sitoenlasalidadelaautopistaaToluca. Losdatossugierenqueentrela1:00ylas6:00p.m.enundanormaldelasemana,lavelocidaddeltrnsito en la salida es aproximadamente de:v(t) = 2t321t260t + 40kilmetros por hora, donde t es el nmero de horas desde el medioda. Enqumomentoentrela1:00ylas6:00p.m.eltrnsitoesmsrpido,enqu momento es ms lento y cules son las velocidades correspondientes?3. La relacin de demanda de cierto artculo es: q +p = 12 mientras que elcosto est dado por:C(q) = 5q312q236q . Determine:a) El nmero de unidadesq que maximizan la utilidad.b) El preciop y el ingreso correspondiente a la utilidad mxima.4. Cuandoseproducenqunidadesdeunciertoartculo, el costototal defabricacin es de:C(q) = 3q2+ 5q + 75miles de pesos. A qu nivel de produccin ser menor el costo medio porunidad y cul es ste?5. El costo de mantenimiento de cierta otilla de automviles se ajusta a lasiguientefuncin: C(t)=et6+ 2mientrasqueelvalorcomercialdelaotilla esV (t) = et. La suma de las dos funciones da como resultado lafuncin de reposicin de la otilla:R(t) = C(t) +V (t) dondet se mide enaos.Determineeltiempoptimoyelvalorptimocorrespondiente(elptimo ocurre cuandoR(t) es mnimo).256. Para qu valor dex en[1, 4] est ms inclinada la grca de la funcinf(x) = 2x213x3? Cul es la ecuacin de la recta tangente a la grcaen ese punto?7. Unaproyeccina5aosenlatendenciadeciertapoblacinsealaquedentro det aos, la poblacin serP(t)= t3+ 9t2+ 48t + 50 miles depersonas:a) En qu momento durante el perodo de 5 aos, crecer la poblacincon mayor rapidez?b) En qu momento durante el perodo de 5 aos, crecer la poblacincon menor rapidez?8. En cierta fbrica, el costo de puesta a punto es proporcional al nmero demquinas utilizadas, y el costo de operacin es inversamente proporcionalal nmero de mquinas utilizadas. Demostrar que el costo total es mnimocuando el costo de puesta a punto es igual al costo de operacin.9. Un fabricante puede producir televisores a un costo de 250 dlares cadaunoyestimaquesi sevendenaxdlarescadauno, losconsumidorescomprarn500 xtelevisores por da. Aqupreciodebevender lostelevisoresel fabricanteparamaximizarel benecio, cuntostelevisoresdebe vender y cul es el mximo benecio?10. Multivisin ha hecho un estudio de los hbitos de sus suscriptores entre las5:00 p.m. y medianoche. El estudio indica que el porcentaje de la poblacinadulta local que sintoniza Multivisin x horas despus de las 5:00 p.m. es:f(x) =18(2x3+ 27x2108x + 240).a) En qu momento entre las 5:00 p.m. y medianoche est sintonizadoMultivisin por el mayor nmero de personas?b) En qu momento entre las 5:00 p.m. y medianoche est sintonizadoMultivisin por el menor nmero de personas?11. Una ley econmica establece que el benecio se maximiza cuando el ingresomarginal es igual al costo marginal.a) Use la teora de extremos para explicar por qu esta ley es cierta.b) Qu hiptesis sobre la forma de la curva de benecio estn implcitasen esta ley?12. Unacompaadeautobusesalquilaunautobsde50plazasagruposde35omspersonas. Si ungrupocontieneexactamente35personas,cada persona paga $600 pesos. En grupos mayores, la tarifa de todos sereduce en $100 pesos por cada persona que sobrepase las 35. Determinar eltamao del grupo para el cual los ingresos de la compaa sern mayoresas como los ingresos mximos.2613. (Modelo de inventario) Por cada cargamento de materiales en bruto, unfabricante debe pagar gastos de pedido para cubrir empaque y transporte.Cuando llegan los materiales en bruto deben ser almacenados hasta que senecesiten, por lo que hay un costo de almacenamiento. Si cada cargamentodemateriales enbrutoes grande, sonnecesarios pocos cargamentos ylos costos de pedido sern bajos, pero los costos de almacenamiento, sinembargo sern altos. Si cada cargamento es pequeo, los costos de pedidosern altos poruqe se necesitarn muchos cargamentos, pero los costos dealmacenamiento sern bajos. As, el costo total est dado por:CT= CA +Cp +CdondeCA es el costo de almacenamiento,Cpes el costo del pedido yCesel costo total del material. Un fabricante deseara determinar el tamaodel cargamento que minimizara el costo total.a) Ejemplo:Un fabricante de bicicletas compra 6,000 llantas al ao aun distribuidor y est tratando de decidir la frecuencia de sus pedi-dos. Los gastos de pedido son de 20 dlares por cargamento, el costode almacenamiento es de 96 centavos por llanta por ao y cada llantacuesta 25 centavos. Suponga que las llantas se usan a un ritmo cons-tante a lo largo del ao, y que cada cargamento llega justo cuando elcargamento precedente ha sido terminado. Cuntas llantas deberapedircadavezelfabricanteparaminimizarelcosto?(NOTA:Si xrepresenta el nmero de llantas en cada pedido, entonces con objetode simplicar se puede suponer que en todo momento se tienenx/2llantas almacenadas).14. Hay 320 metros de cerca para encerrar un terreno rectangular.a) Cmo debera usarse la cerca para que el rea encerrada sea la msgrande posible?b) Ser cierto que el rectngulo de permetro dado que encierra mayorrea es el cuadrado?15. Sehaobservadoquelaproporcindelapoblacinqueseenteradeunrumor despus de un tiempo t es igual a:t25(1 +t2)2(t est medido en dasy el rumor empieza ent = 0).a) Encuentrelamayorymenorproporcindepoblacinquellegaaenterarse del rumor, as como los tiempos en los cuales la proporcinde individuos enterados crece ms rpidamente y ms lentamente.b) A la larga, qu ocurre con la proporcin de gente enterada?16. Unalibrerapuedeobtenerunlibroauncostode$30porlibro. Lali-brerahaestadovendiendoellibroa$150porejemplaryaesteprecio,27ha estado vendiendo 200 ejemplares por mes. La librera est planeandobajar su precio para estimular las ventas y estima que por cada $10 pesosde reduccin en el precio se vendern cada mes 20 libros ms.a) A qu precio debera vender el libro la librera para generar el mayorbenecio posible?b) Qu cantidad adicional de libros son vendidos al nuevo precio?c) Cul es el mayor benecio?17. Cada mquina de una maquiladora puede producir 50 unidades por hora.El costo de puesta a punto es de 80 dlares por mquina y el costo de ope-racin es de 5 dlares la hora por todas las mquinas. Cuntas mquinasdeben usarse para producir 8,000 unidades al menor costo posible?18. Se estima que el costo de construccin de un edicio de ocinas que tienen pisos de altura es de:C(n) = 2n2+ 500n + 600miles de dlares. Cuntos pisos deber tener el edicio para minimizar elcosto medio por piso?19. Un estudio de productividad del turno matutino en una fbrica indica queun trabajador medio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habr producido:Q(t) = t3+ 9t2+ 12tunidadest horas despus. En qu momento de la maana el trabajadorest operando ms ecientemente? (NOTA: el momento de mxima eca-cia es igual al momento en el que el ritmo de produccin se maximiza. Talmomento es llamado en ocasiones el punto de los benecios decrecientes).20. La funcin de demanda de cierto artculo est dada por: p = 15ex/3para0 x 8dondepesel precioporunidadyxestdadoenmilesdeunidades. Determine el precio y la cantidad que maximicen el ingreso, ascomo dicho ingreso mximo.21. Un fabricante puede producir cmaras a un costo de 40 dlares cada una yestima que si se venden en p dlares cada una, los consumidores comprarnaproximadamente:D(p) = 800e0.01pcmaras por semana.a) A qu precio debe vender el comerciante las cmaras para maximizarel benecio?b) Acuntoasciendeelmayorbenecioyaproximadamentecuntasdeben ser vendidas para alcanzarlo?2822. Considere la funcin cuadrticaf(x) = ax2+bx +c(a ,= 0) cuya grcarepresenta una parbola.a) Usando la primera derivada determine las coordenadas del vrtice.b) Usando la segunda derivada verique que la parbola se abre haciaarriba o hacia abajo de acuerdo a que a > 0 o a < 0 respectivamente.23. Determine las constantesA, ByCde modo que la funcinf(x)=x3+Ax2+Bx +Ctenga todas las siguientes propiedades:a) Un mximo relativo enx = 2.b) Un mnimo relativo enx = 1.c) Un punto de inexin enx = 1/2.d) La grca pasa por el punto(2, 6).II.5. Anlisis incremental. Aproximacin por di-ferenciales.1. El costo total en dlares de fabricarx unidades de un cierto artculo es:f(x) = 3x2+ 5x + 10.El nivel actual de produccin es de 40 unidades. Estime cmo cambiar elcosto total si se producen 40.5 unidades y compare con el cambio real.2. Se ha proyectado que dentro de t aos, la tirada de un peridico local serde:c(t) = 100t2+ 400t + 5000.Estimelacantidadenquecrecerlatiradaenlosprximos6mesesycompare con el cambio real.3. Usadiferencialesparaaproximar 99.8. Compareconel valorquepro-porciona tu calculadora.4. LaventaanualdeunnuevovideoseajustaalaecuacinV (t)=3tetdondet es el tiempo en aos desde su introduccin yV (t) son las ventascorrespondientes:a) Usediferencialesparaestimarencambioenlasventasduranteelsegundo trimestre desde que se inicia la introduccin del video.b) Cul es el cambio real en las ventas durante ese perodo? Comparecon el valor anterior.295. La produccin diaria en cierta fbrica es de Q(L) = 9003L unidades, don-de L representa el tamao de la fuerza laboral medida en horas-trabajador.Normalmente se utilizan 1000 horas-trabajador cada da. Estime la can-tidad de horas-trabajador adicionales necesarias para incrementar la pro-duccin diaria en 15 unidades.6. El editor de cierto texto estima que si se distribuyen x miles de ejemplaresdecortesaalosprofesores, lasventassernde V (x) =20 15e0.2xmiles de dlares durante el primer ao. En la actualidad, el editor planeadistribuir10,000 ejemplares de cortesa.Estimeel aumento en lasventassi se distribuyen 500 ejemplares adicionales y compare con el incrementoreal en las ventas.7. Sehaproyectadoquedentrodetaos, lapoblacindeunacomunidadsuburbana ser de:P(t) = 20 6t + 1miles de personas. Cunto crecer aproximadamente la poblacin duranteel prximo trimestre y cul es el cambio real?8. Unestudiodeproductividadsobreelturnomatutinoenunaciertama-quiladora indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8:00a.m. habr ensamblado:f(x) = x3+ 6x2+ 15xtelevisoresx horas despus. Cuntos televisores ensamblar realmente eltrabajador enre las 9:00a.m. y las 9:15 a.m.?9. El costo total de un fabricante es deC(q) = 0.1q3.0.5q2+ 200miles de pesos, dondeq es el nmero de unidades producidas. El nivel deproduccin actual es de 40 unidades, y el fabricante planea disminuirlo a38 unidades. Estime cunto cambiar el costo total como consecuencia.10. Se estima que la produccin semanal de cierta planta es: Q(x)= x2+2100xunidades, dondexesel nmerodetrabajadoresempleadosenlaplanta. Usualmente hay 60 trabajadores empleados en la planta.a) Estime el cambio en la produccin si la fuerza de trabajo se reducea 55 trabajadores.b) Estime el cambio en la produccin si la fuerza de trabajo de incre-menta a 62 trabajadores.11. En ciertafbrica, la produccin diariaes de60K1/2unidades,dondeKrepresenta la inversin de capital medida en unidades de 10,000 pesos. Lainversin actual de capital es de 9,000,000 pesos (esto es K= 900). Estimeel efecto que una inversin adicional de capital de 8,000 pesos tendr enla produccin diaria.3012. En cierta fbrica, la produccin diaria es de 3000K1/2L1/3unidades, don-deKrepresentalainversindecapital delarmamedidaenunidadesde 1,000 dlares yL representa la fuerza de trabajo medida en horas detrabajo.Supongamosqueelcapitalinvertidoactualmenteesde400,000dlaresyqueseusancadada1,000horasdetrabajo. Estimeel efec-tosobrelaproduccinsilafuerzadetrabajosereducea940horassinmodicar el capital invertido.II.6. Aproximacin de segundo ordeny f

(x)x +12f

(x)(x)2Enlossiguientesejercicios,aproximeelvalorpedidomediantediferencialesyusando las aproximacin de segundo orden. Compare los resultados entre s ycon el valor que ofrece su calculadora.1. 482.4823. sin(31o) (NOTA: convierta en radianes).4. (2.012)4II.7. Diferenciacin implcita1. Obtenga la ecuacin de la recta tangente a la curvay= f(x) a travs delpuntoP0 , si la curva queda implcitamente denida por la relacin:a) x = cos(x2y) + 3y24 yP0= (0, 1) .b) 32y= (x3+y)2yP0= (2, 8) .c) 9x2+ 4y2= 36 yP0=

2,32

.d) x2xxy= 3y 12 yP0= (4, 4) .(Verique antes queP0 pertenece a la relacin) .2. Hallar la pendiente de la recta que es tangente a la curvax2y3+ 8 = 5y3cuandox = 2.3. Se estima que el ingreso anual de cierta revista por publicidad ser deR(x) = 0.5x2+ 3x + 160millones de pesos cuando su circulacin sea dex miles. La circulacin dela revista es actualmente de 10,000 y est creciendo a un ritmo de 2,000por ao. A qu ritmo est creciendo el ingreso por publicidad?314. Usandodiferenciacinimplcita, muestrequelasrectastangentesalascurvas: y2=4x3y2x2+ 3y2=14enel puntocomnP0=(1, 2)sonperpendiculares.5. Obtengadydxparax = 6 en la relaciny3+ 3x2+ 17 = 0 como sigue:a) Derivando implcitamente.b) Despejado y luego derivando (El resultado debe ser el mismo que eldel inciso anterior).6. Hallardydxpor diferenciacinimplcita. (NOTA: Si ypuededespejarseexplcitamente como funcin de x, derive directamente tambin y veriqueque el resultado coincide con el de la diferenciacin implcita).a) 3x + 4y= 8 (Recta).b) x2+y2= 25 (Circunferencia).c) x2+y= x3+y2.d) x3+y3= 9xy (Folio de Descartes).e) xy= 1 (Hiprbola equiltera).f ) y2+ 2xy23x + 1 = 0.g)1x+1y= 1.h) (2x +y)3= x.i ) (x 2y)2= y.j ) (x2+y2)2= 4(x2y2) (Lemniscata de Bernoulli).k) 4x2+ 9y2= 36 (Elipse).7. Determinelascoordenadasdelospuntosatravsdeloscualeslacurvax2+y2= xy + 12 tiene una:a) Tangente horizontal.b) Tangente vertical.8. Muestre que la recta tangente a la curva cuya ecuacin es4y= (y2+x)2en el puntoP0= (3, 1) es perpendicular a la rectay= 3x + 13 .9. Suponga quex yyrepresentan cantidades de dos materias primas nece-sarias para un proceso productivo y que la ecuacin:60x3/4y1/4= 3240unidadesdescribelascantidadesxyyparalascualeslaproduccinesde3240unidades. Useladerivacinimplcitaparacalcularlasrazonesmarginales cruzadasdydxydxdyenx = 81 yy= 16.3210. Suponga que la relacin de demanda de cierto producto es p+2x+xp = 38en dondex est dado en miles de unidades yp es el precio en dlares porunidad.Supongatambinqueelprecio(yenconsecuencialademanda)cambia semanalmente, esto es, p es funcin del tiempo. A qu rimto estcambiandolademandacuandox=4si el precioestdisminuyencoarazn de 0.40 dlares por semana?11. Igual que el anterior, pero ahora halle el ritmo de cambio de la demandasi el precio aumenta a razn de 0.20 dlares por semana.II.8. Diferenciacin logartmicaEjemplo:Diferencie la funcin:f(x) =3x + 1Solucin:Utilizando el logaritmo natural def:ln f(x) =13 ln(x + 1)Aplicando la regla de la cadena:f

(x)f(x)=13(x + 1)Resolviendo paraf

(x):f

(x) =13(x + 1)3x + 11. Utilizando la diferenciacin logartmica obtenga la derivada de las siguien-tes funciones:a) f(x) = e5x.b) f(x) = 3e4x+1.c) f(x) = x2ex.d) f(x) = xex.e) f(x) = x2ln x.f ) f(x) = xlnx.g) f(x) =xln x.h) f(x) = exln x .i ) f(x) = ln e2x.j ) f(x) = e(ln x+x ln 3x).33k) f(x) =61 +ex.l ) f(x) =

x + 1x 1.m) f(x) =(x + 2)5(3x 5)6.n) f(x) = 2x.) f(x) = xx.2. Elija8funcionesenel ejercicioanterior, dervelasdirectamenteycom-pruebe que el resultado coincide con el resultado de la diferenciacin lo-gartmica.3. Calculef

(c) usando diferenciacin logartmica si:a) f(x) = (x + 1)x+ (ex)xyc = 0 .b) f(x) = (x)ex+ (xe)xyc = 1 .c) f(x) =(x3)1/5(3x + 2)5yc = 1 .4. Sea y= xrcon r =mny m,n nmeros enteros. Use diferenciacin logart-mica para probar quedydx= rxr1. (Sugerencia: comoy= xm/nentoncesyn= xm. Ahora use diferenciacin logartmica).5. Obtengaf

(x) si:a) f(x) = x2x+1six > 0 .b) f(x) = (lnx)xsix > 0 .6. Para cada una de las funciones siguientes:a) Indique para qu valores dex es creciente y/o decreciente.b) Indique para qu valores de x tiene concavidad positiva y/o negativa.c) Encuentre sus puntos crticos.d) Encuentre sus extremos relativos y puntos de inexin.e) Encuentre sus asntotas verticales y/o horizontales.f ) Indique su dominio y su rango.g) Dibuje su grca.1) f(x) = (x + 1)5/3.2) f(x) =ex2/22.343) f(x) = xe2x.4) f(x) = exex.5) f(x) =41 +ex.6) f(x) = ln(x2+ 1).7) f(x) = 700 400e0.5x.8) f(x) = ex+ex.9) f(x) = x ln x .10) f(x) = x2ex.7. Se estima que dentro det aos la poblacin de cierto pas ser de:P(t) =1601 + 8e0.01tmillones de personas. Cundo estar creciendo ms rpidamente la po-blacin?8. Un fabricante puede producir radios a un costo de 5 dlares cada uno y es-tima que si se venden por x dlares cada uno, los consumidores comprarnaproximadamente1000e0.1tradios por semana.a) A qu precio debera vender el fabricante los radios para maximizarel benecio?b) Cul es el mximo benecio?c) Aproximadamente,cuntosradiossevendenalprecioindicadoena) ?II.9. Elasticidad de la demandaPara un artculo dado, sea p el precio por unidad y x el nmero de unidadesque se adquirirn durante un perodo determinado de tiempo al preciop, y seax=f(p). Laelasticidaddelademandaporloregularsedenotaconlaletragriega (eta) y se dene como:=pxdxdp=pf

(p)f(p).Notequesederivaconrespectoap. Si R=pxrepresentael ingreso, en-tonces se obtiene:dRdp=x(1 + ) ydRdx=p

1 +1

. Estas frmulas permitendeterminar cambios en el ingreso total correspondientes a pequeos cambios dep y dex respectivamente si se conoce la elasticidad.1. Calculelaelasticidaddelademandaparalasrelacionesdedemandasi-guientes:35a) x = 100(5 p).b) x = 50(4 p).c) x = 2009 p.2. Si la relacin de demanda es: x=1000 5p, calcule la elasticidad de lademanda como:a) p = 5.b) p = 10.c) p = 15.3. En el caso de la relacin de demanda:x600 p12= 1determine los valores de p y las correspondientes demandas para los cuales:a) = 1.b) = 2.c) = 23.4. La relacin de demanda es x = k(1pp2) (k > 0 constante). Determine elvalor de p y la correspondiente demanda que haga unitaria a la elasticidadde la demanda.5. Si la relacin de demanda esx2+ p2=25 determine la elasticidad de lademanda cuandop = 4.6. Con respecto a la relacin de demandax2+px +p2= aa) Calcule la elasticidad de la demanda cuandop = 2 ya = 7.b) Calcula la elasticidad de la demanda cuandop = 2 ya = 12.7. Para cualquier funcin de demanda linealp = mx + b conm < 0 yb > 0verique que la elasticidad de la demanda es:a) elstica sip >b2.b) inelstica sip 0 tal que: 50er(5t)dt = 3 y la ecuacin que resulta ese5r3r 1 = 0 .10. 50f(t)e0.07tdt 63.929.49 dlares.11. a) 32f(x)dx = e1e1.5b) 20f(x)dx = 1 e1c) 3f(x)dx = e1.5lmxe0.5x= e1.5d) Los tres casos anteriores agotan todas las posibilidades y son ajenosentre s.95Bibliografa[1] Arya,J. C.yLardner R.W., Matemticas Aplicadasa laAd-ministracin y a la Economa (quinta edicin), Pearson, Mxico,2009.[2] HaeusslerE. F., Paul R. S. yWoodR. J. , MatemticasparaAdministracinyEconoma(dcimosegundaedicin),Pearson,2008[3] Homann, L. D. Bradley G. L. y Rosen, K. H. , Clculo aplicadopara Administracin, Economa, Contadura y Ciencias Sociales(octava edicin), McGraw-Hill, Mxico, 2006.[4] Budnick, F.S., Matemticas Aplicadas para Adimnistracin,EconomayCiencias Sociales (terceraedicin), McGraw-Hill,Mxico96