UD5 – Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

MATEMÁTICAS 3º ESO

EcuacionesUna ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas.

Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad entre expresiones algebraicas de grado uno. Los valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad se denominan soluciones de la ecuación.

Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

Definiciones…

Identidad

Solución de una ecuación

Ecuaciones equivalentes

Definiciones…

Identidad: una identidad es una igualdad entre expresiones algebraicas que es cierta para cualquier valor de la incógnita

Solución de una ecuación: la solución a una ecuación son los valores de la incógnita que hacer cierta la igualdad entre expresiones algebraicas.

Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución

Tipos de ecuaciones

Ecuaciones polinómicasSon ecuaciones de la forma P(x)=0 siendo P(x) un polinomio.

Si el polinomio P(x) es de grado 1, la ecuación polinómica será de primer grado, si el polinomio es de grado 2, la ecuación polinómica será de segundo grado y así sucesivamente.

Habitualmente las ecuaciones polinómicas no se presentan en la forma de la definición, sino que es preciso efectuar una serie de trasnsformaciones para llegar a ella.

Ejemplos:

Ecuaciones exponencialesSon ecuaciones exponenciales aquellas en las que la incógnita aparece en el exponente de algún término de la ecuación.

Ejemplos:

Ecuaciones con radicales o irracionalesSon ecuaciones que contienen polinomios bajo un signo radical

Ejemplos:

Resolución de ecuaciones de primer grado

Procedimiento Ejemplo:

Eliminamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva

Eliminamos denominadores si buscamos fracciones equivalentes con el m.c.m. de los denominadores

Trasposición de términos

Reducción de términos semejantes

Despejar la incógnita

Resolución de ecuaciones de segundo grado

Tipo Procedimiento Ejemplo:Completas: Aplicar la fórmula

Incompletas: Sacar factor común e igualar cada uno de los factores a cero.

Incompletas: Despejar x2 y luego x aplicando que la operación inversa a elevar al cuadrado es la raíz cuadrada.

Discriminante y número de soluciones

El estudio del discriminante nos da el número de soluciones que tendrá la ecuación. ¿Por qué?

Ante la fórmula que nos permite resolver ecuaciones de segundo grado:

Resolución de problemas mediante ecuaciones

Ecuaciones bicuadradas

Procedimiento Ejemplo:

Cambio de variable

Resolvemos la ecuación de segundo grado en la variable

Deshacemos el cambio de variable

Una ecuación bicuadrada es una igualdad del tipo , siendo

Ecuaciones irracionalesSon ecuaciones que contienen polinomios bajo un signo radical

Procedimiento Ejemplo:

Aislar un término radical en uno de los dos miembros de la ecuación

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad. CUIDADO CON IDENTIDADES NOTABLES

Si todavía quedan raíces se repite el proceso anterior, si no, se resuelve la ecuación resultante

Practicamos…

Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

“Ecuaciones visuales”

http://www.educaplus.org/play-13-Ecuaciones-visuales.html

http://www.educaplus.org/play-14-Ecuaciones-visuales-II.html

http://www.educaplus.org/play-15-Puzzle-algebraico.html

Sistemas de ecuaciones lineales Una ecuación lineal con dos incógnitas es de la

forma donde

Un sistema de dos ecuaciones lineales son dos ecuaciones lineales que tienen que verificarse a la vez.

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener : Una solución (un valor para x y otro para y): Sistema

compatible determinado Infinitas soluciones: Sistema compatible indeterminado Ninguna solución: Sistema incompatible

Sistemas de ecuaciones lineales: método de sustitución

Procedimiento Ejemplo:

Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema.

Sustituimos en la otra ecuación la incógnita despejada por la expresión que acabamos de obtener. Así obtenemos una única ecuación con una incógnita que resolvemos.

Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales y despejamos la otra incógnita

Sistemas de ecuaciones lineales: método de igualación

Procedimiento Ejemplo:

Despejamos una de las incógnitas en las dos ecuaciones del sistema.

Igualamos las dos expresiones, con lo que obtenemos una única ecuación lineal con una incógnita

Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales y despejamos la otra incógnita

Sistemas de ecuaciones lineales: método de reducción

Procedimiento Ejemplo:

Multiplicamos cada ecuación por el número adecuado que nos permita que una de las dos incógnitas tenga los coeficientes opuestos en las dos ecuaciones.

Sumamos las dos ecuaciones y resolvemos la ecuación resultante

Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales y despejamos la otra incógnita