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Universidad Tecnica Federico Santa Marıa Abril 2010
Guia Ejercicios Certamen N◦1Ayudante Felipe Araya A
1. Usando integral doble, calcule el area interior a las curvas r = 3 cos(θ), y r = 1 + cos(θ).Solucion A = (π
2+ 2
√3
2+√
38
) + 9(π4− π
6−√
38
)
2. Un solido esta limitado por el cono z2 ≥ x2 + y2,z > 0 y por la parte de la esferax2 + y2 + z2 ≤ 2. La densidad del solido es proporcional a la distancia al origen. Encontrarla forma explıcita de la densidad si la masa es igual a 1.
Solucion K(cteproporcionalidad) = 1
2π(1−√
22
)
3. Calcule el centro de masa del solido acotado por los cilindros parabolicos z = 4 − y2,z = y2 + 2 y los planos x = −2 y x = 2.
Solucion (x, y, z) = (0, 0, 3)
4. Calcular ∫ ∫ ∫Rz2dV
Donde R es la parte comun de las esferas x2 + y2 + z2 ≤ a2 y x2 + y2 + z2 ≤ 2az
Solucion= 59πa5
480
5. Obtener la coordenada y del centroide de la region solida con densidad constante, quees interior al cilindro x2 + y2 = 2y y que esta limitado superiormente por el paraboloidez = x2 + y2 e inferiormente por el plano z = 0
Solucion y = 43
6. CalculeI =
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
√x2 + y2 + z2 · e−(x2+y2+z2)dxdydz
Solucion= 2π
F.Araya/Primer Semestre 2010 1 LATEX 2ε
Universidad Tecnica Federico Santa Marıa Abril 2010
7. Considere la region descrita por los limites de integracion de la integral I.
I =∫ 1
0
∫ x2
x|x2 − y2|dydx
• Exprese I en las variables u-v, donde u = x+ y,v = x · y
• Calcule el valor del momento de inercia I0 (Momento de inercia polar) de la regionrespecto al origen. Suponer la densidad igual a uno.
Solucion= 1532
8. Hallar el volumen del solido S, acotado por el cilindro x2 + y2 = 4 y el hiperboloidex2 + y2 = z2 + 1
Solucion= 4√
3π
9. Calcular ∫ ∫ ∫R
√x2 + y2 + z2dV
Donde R es el interior de la esfera x2 + y2 + z2 = x
Solucion= π10
10. Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide elıptico z = 2x2 + y2 + 1,el plano x+ y = 1 y los planos coordenados.
Solucion= 34[unidades de volumen]
11. Una lamina ocupa la region encerrada dentro de x2 + y2 = 2y y fuera de x2 + y2 = 1.Encuentre el centro de masa de la lamina si la densidad esta dada por ρ(x, y) = 1√
x2+y2.
Solucion (x, y) = (0, 3√
32(3√
3−π))
12. Determine el momento de inercia en torno al eje z de un cono recto de radio basal a yaltura b, cuya densidad es proporcional a la distancia al eje z.(Aclaracion: La punta del conose encuentra en el origen).
Solucion= Kπa5b15
F.Araya/Primer Semestre 2010 2 LATEX 2ε