mat021-certamen_2-1

8/2/2019 mat021-certamen_2-1

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Universidad Tecnica Federico Santa MarıaDepartamento de Matematica—————————————–

CERTAMEN No 2 MAT-021 2009

Apellido Paterno Apellido Materno Nombres

Rol:-0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4

5 5 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6

7 7 7 7 7 7 7

8 8 8 8 8 8 89 9 9 9 9 9 9

k

Paralelo:0 0

1 1

2 2

3 3

4

5

6

7

8

9

No. Alternativas Reservado

1. A B C D E

2. A B C D E

3. A B C D E

4. A B C D E

4. A B C D E

6. A B C D E

7. A B C D E

8. A B C D E

9. A B C D E

10. A B C D E

11. A B C D E

12. A B C D E

13. A B C D E

14.A

B

C

D

E

15. A B C D E

16. A B C D E

17. A B C D E

18. A B C D E

IMPORTANTE TIEMPO: 90 minutos.

1. Indique con claridad solo una alternativa, rellenando completamente el cırculo correspondiente. Noescriba en la columna reservado.

2. Utilice solo lapiz grafito en la hoja de respuesta. No se admitiran borrones con corrector en estahoja.

3. Todas las respuestas deben ser fundamentadas. El desarrollo en el cuadernillo debe hacerse conlapiz pasta para poder ser considerado en el proceso de apelacion.

4. Las respuestas con alternativa correcta que no tengan desarrollo o fundamento adecuado, seranconsideradas omitidas. No intente adivinar.

5. No debe arrancar hojas del cuadernillo. Si necesita hacer calculos o anotaciones, use el espacio dejadopara ello y/o el reverso de la ultima hoja.

6. Revise que todos sus datos (nombre, ROL y paralelo) ası como sus respuestas estan debidamenteescritos en esta hoja. Sus datos personales deben ser escritos adicionalmente en el cuadernillos depreguntas.

7. No se permiten calculadoras, celulares ni hojas adicionales.

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CERTAMEN No

2 MAT-021 2009

Apellido Paterno Apellido Materno Nombre Paralelo

P R E G U N T A S

1. Sea f la funcion definida por

f (x) =

sen2 x

2x2si x < 0

x + 1

x + 2si x > 0

entonces, lımx→0

f (x) es igual a:

(A) −2

(B) −1/2

(C) 1/2

(D) 2

(E) No existe

2. El valor de lımx→4

|x|− 4

x− 4es:

(A) -1

(B) 1

(C) +∞(D) −∞(E) No existe

3. La amplitud de la funcion f (θ) = sen θ + cos θ es:

(A) 2

(B) 1

(C)√

2

(D) 1√ 2

(E) -2

1

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4. La inecuacion12

x−2 ≤ 4 tiene por solucion:

(A) ∅(B) 0

(C) ]−∞, 0]

(D) [0,

∞[

(E) R

5. La igualdad log(x + 3) = log(x) + log(3) se cumple para:

(A) x = e

(B) x = 3/2

(C) x = 2/3

(D) para todo x > 0(E) para ningun x ∈ R

6. Sea

f (x) =

√x− 1

x− 1si x > 1

b si x = 1

a(x3 − 1)

x− 1si x < 1

Los valores de a y b de modo que f sea continua en x = 1 son:

(A) a = 16 y b = 1

2

(B) a = 6 y b = 2

(C) a = 6 y b = 12

(D) a = 16 y b = 2(E) No existen aquellos valores.

2

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7. Si f (x) = ln(|x|− 1) entonces dom(f ) es:

(A) ]− 1, 1[

(B) [−1, 1]

(C) R−]− 1, 1[

(D) R

−[

−1, 1]

(E) R

8. Sea f : R→ R definida por

f (x) =

x + a si x

≥1

b− x si x < 1

Si la curva y = f (x) pasa por el punto (2, 4) y f es continua en todo R, entonces:

(A) a = 1 y b = 3

(B) a = −1 y b = −2

(C) a = 4 y b = 2

(D) a = 2 y b = 4

(E) a = 2 y b = 0

9. La relacion dada por x2 = y2 representa:

I) dos rectas que pasan por el origen.

II) dos rectas perpendiculares.

III) solo al punto (0,0).

Entonces es ( son ) verdadera (s) :

(A) solo I

(B) solo II

(C) solo III

(D) I y II

(E) ninguna de las anteriores

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10. Uno de los focos de la elipse x2 + 4y2 − 10x − 40y + 109 = 0 tiene abscisa (primeracoordenada) igual a:

(A) 2√

3

(B) 2√

5

(C) 5 + 2√

3

(D) −5 + 2√3

(E) 5 + 2√

5

11. El recorrido de la funcion f (x) = 5 +√

3 sen(3x)− cos(3x) es:

(A) Rec (f ) = [−5, 5](B) Rec (f ) = [−7, 7]

(C) Rec (f ) = [3, 7]

(D) Rec (f ) = [4, 6]

(E) Otro conjunto

12. Sean f y g dos funciones tales que |f (x)| < 4 y lımx→1

g(x) = ∞.

Entonces lımx→1

f (x)

g(x)es:

(A) 4

(B) -4

(C) 1

(D) 14

(E) 0

4

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13. Si θ ∈]π2 ,π[ satisface la relacion

1− cos2 θ

1 + cos2 θ=

1

19

entonces el valor de senθ es:

(A)3

5

(B) −35

(C) 910

(D) 1√ 10

(E) − 1√ 10

14. El valor de a, b ∈ R de modo que la funcion f : R −→ R definida por:

f (x) =

|x− 1| sen

1

x−1

si x < 1

a− 1 si x = 1

1−√

1−(x−1)2x−1 + b si x > 1

sea continua en x = 1 son, respectivamente:

(A) a = 0 y b = 0

(B) a = 1 y b = 0

(C) a = 12 y b = 1

(D) a = 1 y b ∈ R(E) Para todo a, b ∈ R, f es discontinua en x = 1

5

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15. La ecuacion de la circunferencia tangente a la recta de ecuacion 5x−12y = 1 y concentri-ca con la circunferencia 4x2 + 4y2 − 16x + 20y + 25 = 0 es:

(A) (x + 2)2 + (y − 5

2)2 = 9

(B) (x − 2)2 + (y +5

2)2 = 9

(C) (x − 2)2 + (y + 52

)2 = 2172

(D) (x − 8)2 + (y − 10)2 = 169

(E) (x − 8)2 + (y − 10)2 =159

13

2

16. En la siguiente figura el triangulo ABC es rectangulo en C y el trazo BD bisecta al

angulo ∠CBA. De acuerdo a la informacion presentada, tan(2α) =6

x. Por otro lado, se

sabe que tan(2α) =2tanα

1− tan2 α. Entonces, el valor de x es:

(A) 2√

3

(B) 3√

2

(C) 4

(D) 6√

2

(E) −3√2

6

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17. Las constantes m, b ∈ R tales que

lımx→+∞

mx + b− x3 + 1

x2 + 1

= 0

son, respectivamente:

(A) m = 0 y b = 0

(B) m = 1 y b = 0

(C) m = 1 y b = 1

(D) m = 1 y b = −1

(E) m = −1 y b = 1

18. Sea f (x) =3x4 − (a− 1)x2 + 3x + 2

x2 + x + 1. Determine condiciones sobre a ∈ R de modo que

f (x) tenga, al menos, una raız en el intervalo ] − 2,−1[.

(A) 3 < a < 12

(B) a = 0

(C) 3 ≤ a ≤ 12

(D) a = 1

(E) Ninguna de las anteriores.

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