I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001

Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000

Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007

Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922

Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051

Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908

Advanced Quantum Theory. Roman P. Addison-Wesley, 1965 ISBN 0201064952

S SF

Es una función entre dos espacios vectoriales y S S

Dados

: y :

definimos la suma

:

como

f S S g S S

f g S S

f g x f x g x

Dados

: y cualquier escalar

Definimos la multiplicación por un escalar

:

como

f S S r

rf S S

rf x rf x

Dados dos espacios vectoriales, y ,

el conjunto de todos los mapeos de en ,

con las operaciones de suma y

de multiplicación por un escalar definidas antes,

es un espacio vectorial.

S S

S S

:

El mapeo es inyectivo si para todos

, ,

con ,

se tiene

f S S

f

x y S

x y

f x f y

:

El mapeo es suryectivo si

la imagen o rango

de es todo

f S S

f

f S

:

El mapeo es un isomorfismo

si es inyectivo y suryectivo

Es decir, un isomorfismo es un

mapeo uno a uno.

f S S

f

:

para todo

El mapeo identidad es

inyectivo y suryectivo

s

I S S

I x x

:

:

Se define la composición como el mapeo

:

tal que

para todo

F U V

G V W

G F U W

G F t G F t

t U

U V WF G

U V WF G

U WG F

:

tiene un inverso si existe un mapeo

:

tal que

y s s

F S S

F

G S S

G F I F G I

:

tiene un inverso si y sólo si

es inyectivo

y

es suryectivo

F S S

F

La operación de composición enriquece

la estructura del espacio vectorial de

mapeos y se vuelve un álge

Otro ejemplo: El espacio vectorial de

matrices , con la multiplicación de

matrices

bra asociat

,

iva.

n n es un álgebra asociativa

Sean y espacios vectoriales sobre un campo .

: un mapeo de en .

Un mapeo es lineal si:

Para cualesquiera elementos y en

y cualesquiera y en , se tiene

Tambié

V W K

F V W V W

u v V

r s K

F ru sv rF u sF v

n se les llama HOMOMORFISMOS

Because abstract algebra studies sets

endowed with operations that generate

interesting structure or properties on the set,

functions which preserve the operations are

especially important. These functions are

known as .homomorphisms

Dados dos espacios vectorias, y ,

el conjunto de funciones lineales de en

es un espacio vectorial.

Normalmente se le denota ( ; ).

Es un subespacio vectorial del conjunto de

todos los mapeos de

V W

V W

V W

V

L

en .W

El que murió atropellado por una carroza fue Pierre Curie, no Poincaré.MIL DISCULPAS

Transformacioneslineales

Matrices

Transformacioneslineales

Matrices

:

.

n mA

A

n

L

L X AX

X

Definimos el mapeo

mediante la regla

para todo

C C

C

Toda matriz tiene asociada un mapeo lineal

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

. matriz

.

.

...

n

n

m m mn

a a a

a a a

m n

a a a

A

:

.

n mA

A

n

L

L X AX

X

Definimos el mapeo

mediante la regla

para todo

C C

C

A

A A

L rX sY

A rX sY rA X sA Y

rL X sL Y

Evidentemente el mapeo asociado

con una matriz es lineal, ya que

:

.

n mA

A

n

L

L X AX

X

Definimos el mapeo

mediante la regla

para todo

C C

C

2 2:

1 2 2

1 1

T

x x y

y x y

R R

2 2:

1 2 2

1 1

T

x x y

y x y

R R

1 2 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 2 1 1 1 1

1 1 0 1 0 1

1 2 0 2 1 2

1 1 1 1 0 1

1 2 1 3 1

1 1 1 2 1

3

2

2 2:

cos sin cos sin

sin cos sin cos

T

x x y

y x y

R R

2 2:

cos sin cos sin

sin cos sin cos

T R R

x x y

y x y

2 2:

3 13 / 2 1/ 2 2 2

1/ 2 3 / 2 1 3

2 2

1/ 23 / 2 1/ 2 1 3 / 2 1/ 2 03 / 2ˆ ˆ;0 11/ 2 3 / 21/ 2 3 / 2 1/ 2 3 / 2

T R R

x yx

yx y

Ti Tj

2 2:

3 13 / 2 1/ 2 2 2

1/ 2 3 / 2 1 3

2 2

T R R

x yx

yx y

30 grados

Transformacioneslineales

Matrices

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V W

L

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.

Entonces la matriz asociada a es:

donde

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V W

L

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.

Entonces la matriz asociada a es:

donde

ALas columnas de la matriz , son los

transformados de los vectores de la base.

2 2

2

2

2

:

, 2 ,

Dominio:

Contradominio o codominio:

Imagen o rango:

Este mapeo es lineal

F

F x y x y x y

R R

R

R

R

2 2: , 2 ,

1,0 2,1 0,1 1,1

2 1

1 1

F F x y x y x y

F F

A

R R

ij

LX AX

A a

Si definimos la matriz

vemos que

ALas columnas de la matriz , son los

transformados de los vectores de la base.

2: , 2 3

1)

L L x y x y

Sea

¿Es un mapeo lineal?

R R

2

21 1 1 2 2 2

: , 2 3

1)

, , ,

, ).

L L x y x y

v x y v x y

r s K

R R

R

Sea

¿Es un mapeo lineal?

Bueno, es obvio que sí, pero demostremoslo.

Sea dos vectores en

y dos escalares (es decir, elementos de

Por

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

,

2 3

2 3 2 3 , ,

L rv sv L rx sx ry sy

rx sx ry sy

r x y s x y rL x y sL x y

rL v sL v

la definición

2: , 2 3

2)

ˆ ˆ2 1 3 0 2 2 0 3 1 3

. 2, 3 2 3

L L x y x y

L i L j

a

xL v a v x y

y

R R

Sea

¿Cuál es la matriz asociada a este mapeo?

Así que el vector es (2,-3).

Es obvio que

3 21 2 3 1 2

11

22

3

: , , ,

1 0 0

0 1 0

1,0,0 1,0 0,1,0 0,1 0,0,1 0,0

En este caso a simple vista se encuentra la matriz

asociada,

Pero ...

Ahora la matriz es

F R R F x x x x x

xx

A xx

x

F F F

A F

1 0 01,0,0 0,1,0 0,0,1

0 1 0F F

:T V V

T V

lineal de dimensión finita

• Se llaman propiedades intrínsecas a las que no

dependen del sistema de coordenadas.

• Si la matriz asociada a la transformación lineal es

diagonal, muchas de estas propiedades pueden ser

descubiertas fácilmente.

2 2:

2 0

0 3

2 0 2

0 3 3

T R R

T A

x xAx

y y

2 2

1 2

2 0:

0 3

2 0 1 2 1 2 0 0 0 0ˆ ˆ2 3

0 3 0 0 0 0 3 1 3 1

T R R T A

Ae Ae

X

Y

Estira el eje en 2

Estira el eje en 3

2 2

2 2

2 2

2 0:

0 3

1

2 3

/ 2 , /3

14 9

T R R T A

x y

u x v y

x u y v

u v

¿Qué le hace a un círculo de radio 1?

Haciendo el cambio de variable

y

tenemos

T

1

.

,...,

Sea una transformación lineal de en , con

un espacio vectorial de dimensión finita

Si tiene una representación matricial diagonal,

entonces existe un conjunto de elemen-

tos independn

T V V

V n

T

u u

,...,

1,2,3,...,

1

ientes en y correspondientemente

un conjunto de escalares, tales que

para

n

k k k

V

T u u k n

11 22

1

: , ,...,

(dim )

,...,

,...,

1,...,

nn

n

n

k k k

T V V A diag a a a

V n

u u V

Tu u k n

1

lineal con

Entonces siempre existen

linealmente independientes

escalares

tales que

para

1 2

11

22

ˆ ˆ ˆ, ,...,

0 ... 0 0 0 0

0 ... 0 . . .

. . . .

. 1 1

. . . .

0 0 ... 0 0 0

n

iiii

nn

e e e

A

a

a

aa

a

Sea la base respecto a la

cual la matriz es diagonal

ˆ ˆi ii iAe a e

11 22, ,...,ij nnA a A diag a a a

1

.

,...,

,...,1

Sea una transformación lineal de en , con

un espacio vectorial de dimensión finita

Si existe un conjunto de elemen-

tos independientes en y correspondientemente

un conjunto

n

n

T V V

V n

u u

V

1 2

1

1,2,3,...,

, ,...,

,..., .

de escalares, tales que

para

entonces la matriz diagonal

es una representación de relativa a la base

k k k

n

n

T u u k n

A diag

T

u u

1

1

,.

,...,

..,

,...,

1,...,

n

n

k k k

n

u u V

Tu u k n

T

u u

1

la matriz asocia

Si existen

linealmente independientes

escal

da a es diagonal en la base

formada por l

ares

tales que

para

entonc

os vectores

es

: (dim )T V V V n lineal

k

k

u

Se dice que los vectores son los

y los escalares son los .

También se les llama eigenvectores y eigenvalores

respectivamente.

También se

vectores propios

valores

les llama vectores y va

pr

lo

opios

res caracterís-

ticos

1,2,3,...,para k k kT u u k n

Por lo tanto, el problema de diagonalizar

una matriz se transformó ahora en el

problema de encontrar los vectores y

valores propios de la transformación,

es decir de una matriz.

:

,

Sea un espacio vectorial

Sea un subespacio vectorial de .

Sea una transformación lineal.

Un escalar es un valor propio, si hay

un elemento no nulo en tal que

El elemento se llama v

V

S V

T S V

x S

T x x

x

.

ector propio de

perteneciente a .

El escalar es llamado vector propio

correspondiente a

T

x

0

,

T x x

Aunque el cumple con la ecuación

para todo no se le considera vector propio.

Hay solo un valor propio

para cada vector propio.

0, ,

T x x T x x

x x x

Si

con entonces y por tanto, = .

, : , ,

: , ,

C a b f a b R f a b

D C a b C a b D f f

f

infinitamente diferenciable en

¿Es lineal esta transformación?

Los vectores propios de este operador son todas las

funciones no nulas, que satisfacen la ecuación

exp

f

D

f x c x

Es decir, las funciones propias de , son todas

las funciones de la forma

22

22

d xE x

m dx

0x x a

( 0) 0 ( ) 0x x a

22

22

d xE x

m dx

( 0) 0 ( ) 0x x a

2 22

2 2

2sin

1,2,3,...

n

nE nma

nx x

a a

n

22

2

H E

V Em

1 2

:

, ,...,

,..., ,k

k

V

S V

T S V

u u u T

1

Sea un espacio vectorial.

Sea un subespacio vectorial de .

Sea una transformación lineal.

Sean vectores propios de ,

con valores propios diferentes

entonces los vectores 1 2, ,..., ku u u son

linealmente independientes.

1 2

2

, ,...,

, ,...,k

k

T

u u u

1

El inverso del teorema anterior no es válido.

Si tiene vectores propios independientes

, entonces los valores propios

correspondientes no son necesa-

riamente distintos.

0

I

I x x x

Por ejemplo, para la transformación identidad ,

, todo vector es un vector propio,

pero solo hay un valor propio, el 1.

1 2

2

, ,...,

, ,...,k

k

T

u u u

1

El inverso del teorema anterior no es válido.

Si tiene vectores propios independientes

, entonces los valores propios

correspondientes no son necesa-

riamente distintos.

dim

:

V n

T V V

n

Si ,

toda transformación lineal

tiene como máximo

distintos valores propios.

T n

V T

Si tiene exactamente distintos valores propios,

los vectores propios correspondientes forman una

base de y la matriz de relativa a esta base es

una matriz diagonal con los valores propios como

elementos diagonales.

dim :V n T V V

n

Si , toda transformación lineal

tiene como máximo distintos valores propios.

nLa existencia de

es una condición suficiente,

pero no necesaria

para tener una represent

valor

ación

es prop

diag

ios

onal.

n valores propios

Hay transformaciones lineales con menos

de diferentes cuya

representación es diagonal.

nLa existencia de valores propios es una

condición suficiente, pero no necesaria

para tener una representación diagonal.

La existencia de

linealmente independientes es una

condición necesaria y suficiente para

que la transformación lineal tenga

una representación ma

v

t

ectores

ricial d

p

iagonal.

ropiosn

T

: (dim )

0

,

0

0

0

0

lineal

con

Queremos encontrar entonces los valores tales

que la ecuación tenga solución

O sea,

con

T V V V n

Tx x x

Tx x x

Tx x

I T

Tx Ix

x

Ix Tx

x

: (dim ); 0

,

0

lineal, con

Si es la matriz asociada a la transformación

entonces la ecuación

tiene una solución diferente de cero, si y sólo

si, la matriz es singular, es deci

T V V V n Tx x x

A

I

T

x

I A

A x

r, no tiene

inversa, es decir, su determinante es igual a cero

: (dim )

0

det 0

.

lineal,

con

Si es un valor propio de , entonces satisface

la ecuación

Inversamente, si satisface esta ecuación,

entonces es un valor propio de

T V V V n T A

Tx x x

T

I A

T

det

0

det 1 det

matriz la matriz identidad

Definimos la función

Entonces

a) es un polinomio de grado en

b) El término de mayor grado es

c) El término constante, , es

es lla

n

n

A n n I n n

f I A

f n

f

A A

f

mado el polinomio característico de A

dim

:

,

.

V R

V n

T V V T A

T

A

R

espacio vectorial sobre

lineal, y

Los de son las raices del

polinomios característico de la matriz , q

valores

ue

caen e

propi

n

os

dim

:

,

.

V R

V n

T V V T A

T

A

espacio vectorial sobre

lineal, y

Los valores propios de son también

los valores propios de la matriz

Lo mismo se dice de los vectores propios.

Son matrices que representan

la misma transformación, pero

respecto a diferentes bases

y por ello parecen diferentes

Si usamos bases diferentes

para y para , tenemos

representaciones diferentes

de la misma transformación,

es decir, matrices diferentes.

V W

1

.Sean y dos matrices

Si existe una matriz no singular que

las relaciona de la siguiente manera

entonces y representan la misma

transformación lineal

A B n n

C

B C AC

A B

1

.Sean y dos matrices

Si existe una matriz no singular que

las re

SIMILARE

laciona de la siguiente manera

entonces se dice que son

S

A B n n

C

B C AC

n nDos matrices son similares

si y sólo si

representan la misma

transformación lineal

Las matrices similares tienen•El mismo determinante•La misma traza•Los mismo valores propios•El mismo polinomio característico•El mismo polinomio minimal•El mismo rango

:

,

,

E

T V E E

T

x

T x x

x x

Sea un espacio euclidiano

lineal

Si es un valor propio y

es el vector propio correspondiente,

se tiene

, ,

, ,

, ,

T x x x T x

x x x x

T x x x T x

x

es real, si y sólo si,

para todo

Esto se cumple trivialmente en un espacio

euclidiano real

, ,

, ,

, ,

es puramente imaginario, si y sólo si,

para todo

T x x x T x

x x x x

T x x x T x

x

:

, , ,

Sea un espacio euclidiano

lineal

Si para todo

la transformación es hermitiana

E

T V E E

T

T x y x T y x y V

T

1 12 2

2 1 2

1 1 1

2 1 2 2

:

1 0

1 1

x xT R R

x x x

x x x

x x x x

T

T

¿Es una transformación lineal?

Sí.

1 11 1 1 2 2 2

1 2 2

1 11 1 2 1 2 2

2 1 2

,

,

, ,

x yT x y x y x y x y

x x y

x yx T y x y x y x y

x y y

T x y x T y

Claramente

1 12 2

2 1 2

:x x

T R Rx x x

T

1 2 1

2 1 2

0

0

x ix xi

x ix xiS

¿Es lineal?

Sí.

1 22 2

2 1

:x ix

Sx ix

S

C C

2 12 1 1 2

1 2

1 21 2 2 1

2 1

,

,

, ,

ix yS x y ix y ix y

ix y

x iyx S y ix y ix y

x iy

S x y x S y

Claramente

1 22 2

2 1

:x ix

Sx ix

S

C C