s84783621cb21a45c.jimcontent.coms84783621cb21a45c.jimcontent.com/download/version/1329177871/module/... ·...

MARCOSAPB – GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO --ANALÍTICA

mapb

1

1

M A R C O S A P B

2009

2

bhA

2rA

I

VR

fdd io

111

c

senC

b

senB

a

senA

hrV 2

12

2

2

2

b

y

a

x

pxy 42

12

2

2

2

b

y

a

x


mapb

2

2

LIBRO GUÍA DE GEOMETRÍA PLANA Y ANALÍTICA

LAS INCÓGNITAS DESPEJADAS

EXPRESIONES DE LOS PROBLEMAS

SISTEMAS DE MEDIDAS

MARCOS ANDRÉS PALACIOS BONILLA

LICENCIADO EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA CATEDRÁTICO DE LA U.T.CH.

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ

“DIEGO LUIS CÓRDOBA”

JOSÉ TENÓGENO PALACIOS MENA LICENCIADO EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ


CELESTINA PALACIOS BONILLA

LICENCIADA EN MATEMÁTICAS Y FÍSICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ



mapb

3

3


mapb

4

4

AGRADECIMIENTO MUY ESPECIAL A: AYLES DEL CARMEN PALACIOS BONILLA, hermana que sacrificó su felicadad para que

cada uno de sus hermanos alcanzara el más alto grado de conocimiento, este trabajo es un

reflejo de la meta trazada por ella y la correspondencia al deseo…

Muchas gracias hermana querida

MANUEL OSIAS HURTADO HINESTROZA, decano de la facultad de educación de la

Universidad Tecnológica del Chocó “Diego Luís Córdoba”, quien en todo momento coordinó

el equipo revisor de esta obra. Además, en éste amigo incondicional, reposan los más altos

valores de un ser humano…

Gracias amigo


mapb

5

5

PRESENTACIÓN

Estimado estudiante, si usted está leyendo este libro guía es porque hace parte del selecto

grupo de personas que escogieron este trabajo para alcanzar el más alto grado de desarrollo

educativo. Bienvenido al fascinante mundo de las matemáticas. Analizaremos los

componentes claves de la geometría plana y analítica, las principales expresiones que

facilitan la solución de un problema, la proporcionalidad (reglas de tres simple directa,

inversa y compuesta) y los casos que permiten aislar(despejar) una incógnita en una fórmula

matemática.

Dentro de la geometría plana, haremos un análisis bien detallado de las principales figuras

geométricas: El punto, tipos de líneas, ángulos, triángulos, cuadriláteros, círculos, sólidos y

las relaciones que existen entre ellas. Además, desarrollaremos los teoremas más importantes

de la misma…En la geometría analítica: El plano cartesiano, distancia entre dos puntos, punto

medio, división proporcional de un segmento, la línea recta y sus atributos y las secciones

cónicas: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Además, presenta la

aplicación de los componentes de esta asignatura del saber, en la solución de los problemas

de la sociedad y de las ciencias a las que sirve de apoyo.

LAS FÓRMULAS o expresiones algebraicas que caracterizan un fenómeno, principio o ley

natural, es una herramienta muy importante en el análisis, comprensión y predicciones de los

mismos.

LAS FÓRMULAS MATEMÁTICAS como un elemento resumidor y representativo de las

diferentes observaciones realizadas y comprobadas por el hombre, es una herramienta muy

útil para comprender los principios básicos de la naturaleza que se relacionan estrechamente

con el ser humano y la sociedad. Analizar, comprender y manipular las fórmulas, es un

ejercicio vital para entender y predecir los fenómenos naturales.

LAS INCÓGNITAS DESPEJADAS, presentan un estudio detallado y general de los pasos que se

deben seguir para aislar o despejar los elementos o magnitudes que intervienen en una

fórmula. A través del análisis y de la aplicación adecuada de los procedimientos indicados, el

estudiante adquiere destreza y habilidad en el manejo de las diferentes fórmulas que se

utilizan en las diferentes ramas del saber. Además, instruye al educando en el manejo de las

fórmulas que utilizamos para representar los fenómenos naturales, y le brinda al educando

una herramienta muy importante para resolver los problemas de la vida cotidiana, y además,

le facilita conocer las principales fórmulas usadas por las ciencias.

LAS PRINCIPALES EXPRESIONES QUE FACILITAN LA COMPRENSIÓN Y SOLUCIÓN DE UN

PROBLEMA, son un componente que le permite al estudiante comprender mejor los

conceptos matemáticos que intervienen en cada una de las situaciones problemáticas de la

sociedad.

LOS SISTEMAS DE MEDIDAS, son un componente que le permite al educando interiorizar las

unidades de medidas que el hombre ha diseñado para medir la longitud, la masa, el

volumen, el área y el tiempo. Además, los diferentes métodos para realizar conversiones

entre las mismas unidades de medidas, y entre unidades de medidas.


mapb

6

6

La proporcionalidad y las reglas de tres, son un componente que perfecciona al estudiante en

la solución de los problemas básicos de su contexto.

Hoy, la aplicación de las matemáticas es la base del desarrollo de la sociedad. Es el motor

con energía infinita que propulsa la ampliación de la base de datos del cerebro humano, y su

contribución al desarrollo de las demás áreas, la hace imprescindible en la búsqueda de la

solución de las situaciones problemáticas que el ser humano encuentra a diario. De ahí, que

el análisis, comprensión y aplicación de los algoritmos de esta área, le permite al estudiante

alcanzar el más alto grado en el conocimiento del mundo que lo rodea, es por eso, que la

geometría, las incógnitas despejadas, las expresiones de los problemas y los sistemas de

medidas, le proporcionan al educando las herramientas necesarias para que sea lógico y

crítico en el análisis de la vida real.

A manera de reflexión:

Este libro guía, es un texto preparado cuidadosamente, para que tanto el educando como el

educador, puedan visualizar más fácilmente la comprensión y aplicación de los conceptos más

importantes de la geometría plana y analítica, las incógnitas despejadas, las expresiones de los

problemas y los sistemas de medidas. De ahí, que la correcta interpretación de esta obra le

facilitará al educando la comprensión y predicción de los eventos naturales.

La utilización y recomendación de este libro por parte de la relación DOCENTE-DISCENTE trae

grandes beneficios en el proceso ENSEÑANZA--APRENDIZAJE.

IMPORTANTE:

Este libro guía, carece de respuesta a los ejercicios propuestos. La idea es potencializar la

capacidad de aplicar los conceptos y de seguir los procedimientos, para llegar a las

soluciones.


mapb

7

7

CONTENIDO

Cód.

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

Páginas

01 Definición y Métodos 8 a 9

02 Punto Geométrico, Línea y Clases de líneas 9 a 13

03 Plano 13 a 14

04

SEGMENTO

Medida

15 a 18 Operaciones

05 Envolvente y envuelta 19 a 20

06

ÁNGULOS

Clases según su giro y amplitud

21 a 39 Operaciones

07 Perpendicularidad y paralelismo 40 a 51

08

TRIÁNGULOS

Clases según la medidad de sus lados y ángulos

52 a 63 Rectas y puntos notables

Congruencia o igualdad de triángulos y casos

09

POLÍGONO

Clases de polígonos regulares

64 a 71

Cuadriláteros

Paralelogramo, Rectángulo y

Cuadrado

Rombo , Trapecios y clases

10

PROPORCIONALIDAD

DE SEGMENTOS

Razón de segmentos, segmentos proporcionales

y propiedades

72 a 82

11 Semejanza de triángulos y casos 83 a 102

12

CIRCUNFERENCIA Y

CÍRCULO

Cálculos importantes en una circunferencia

103 a 130

Posisciones relativas de dos circunferencias

Ángulos en una circunferencia

Relaciones métricas en una circunferencia

Segmento áureo

13

SUPERFICIE, PERÍMETRO Y

ÁREA

Superficie y perímetro

131 a 145

Área

De un rectángulo y un Paralelogramo

De un triángulo y un cuadrado

De un rombo y un trapecio

De un Polígono regular

De un írculo, una corona circular, un

sector circular, un trapecio circular, una

embecadura y una elipse

14 Área limitada por dos o más figuras 146

15 Algebra y geometría 147 a 152

16 Área de una figura irregular 153

17 Comprobación teorema Pitágoras desde el concepto de área 154

18

VOLUMEN Y ÁREAS DE

POLIEDROS

De un ortoedro y un cubo

155 a 169 De un prisma y una pirámide

De un cilindro, un cono y una esfera

De un tronco de pirámide y un tronco de cono

19 Tablas de resúmenes de polígonos y poliedros 170 a 171

20 Volumen total y volumen limitado por dos o más sólidos 172 a 173

21 Algebra y geometría 174 a 181


mapb

8

8

Cód.

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Páginas

22 Plano cartesiano, gráfica de un número decimal y de un racional 182 a 185

23

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Puntos sobre rectas paralelas a un eje

185 a 188 Puntos sobre rectas oblicuas

24 Plano tridimensional 189

25 División proporcional de un segmento y punto medio 190 a 193

26

GRÁFICA DE

FUNCIONES

REALES

Función constante y función líneal

194 a 205

Funciones de

segundo grado

De la función cuadrática

De una circunferencia

De una elipse

Función racional

Funciones

trascendentales

Logaritmo natural

Logaritmo decimal

Función valor absoluto

Función raíz cuadrada

Función cúbica

27 Análisis de la gráfica de una función real 206 a 211

28 Solución gráfica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 212 a 214

29

LA LÍNEA RECTA

Ecuación general

214 – 224

Ecuación de la recta punto pendiente

Ecuación de la recta punto intercepto

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Rectas paralelas y perpendiculares

Ángulo entre rectas y distancia de una recta a un punto

30 Construcción de la función de un fenómeno 225 a 235

31

SECCIONES CÓNICAS

La cicunferencia y ecuaciones 236 a 249

La párabola y ecuaciones 250 a 276

La elipse y ecuaciones 277 a 302

La hipérbola y ecuaciones 303 a 324

OTROS COMPONENTES

32 PRINCIPALES EXPRESIONES QUE FACILITAN LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA 324 a 330

33 FÓRMULAS MÁS USADAS POR LAS CIENCIAS Y COMO DESPEJAR O AISLAR UNA INCÓGNITA 331 a 345

34

PROPORCIONALIDAD

Razón matemática

345 a 350

Magnitudes directamente proporcionales y la regla de

tres simple directa

Magnitudes inversamente proporcionales y la regla de

tres simple inversa

Regla de tres compuesta y escalas

35

SISTEMAS DE

MEDIDAS

De longitud

351 a 366

De superficie o área

De volumen

De capacidad

De tiempo

36 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 367


mapb

9

9

GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO

GEO Tierra

METRÍA Medida

Hoy, la geometría es la ciencia de las infraestructuras de la sociedad. La geometría se

encarga de la forma, tamaño y posición de los cuerpos; además, de las relaciones que

existen entre ellos…

TIPOS DE GEOMETRÍAS

PLANA: Analiza las figuras en dos dimensiones(largo y ancho)

DEL ESPACIO: Analiza los cuerpos de tres dimensiones(largo, ancho y alto)

ANALÍTICA: Combina la plana, la del espacio y el algebra

DESCRIPTIVA Y PROYECTIVA: Aplicadas al dibujo técnico

Entre otras…

MÉTODOS DE LA GEOMETRÍA

1. MÉTODO DEDUCTIVO: Es el más usado por esta área, a partir de conocimientos previos

conocidos, se obtienen nuevos conocimientos.

2. AXIOMA: Es una proposición tan sencilla y evidente que no necesita demostración, y siempre

se toma como verdadera.

EJEMPLO 1: El padre tiene más edad que el hijo.

EJEMPLO 2: El todo es mayor que cualquiera de sus partes.

3. POSTULADO: Es una proposición no tan evidente como un axioma, pero que también se

admite sin demostración.

EJEMPLO 1: Hay infinitos puntos.

EJEMPLO 2: Por un punto exterior a una recta pasa una sola paralela a dicha recta.

4. TEOREMA: Es una proposición que puede ser demostrada. La demostración consta de un

conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.

EJEMPLO 1: La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale dos ángulos rectos (180°).

EJEMPLO 2: En dos poligonales convexas de extremos comunes, la envolvente es mayor que

la envuelta.

Todo teorema tiene dos partes: La Hipótesis: Lo que se supone (de quien se habla).

La Tesis: Lo que se quiere demostrar (lo que se dice).

En nuestro primer ejemplo:

Hipótesis: Supongamos que A, B y C son los ángulos interiores de un triángulo...

Tesis: La suma de A, B y C vale dos ángulos rectos (180°).

5. COROLARIO: Es una proposición que se deduce de un teorema como

consecuencia del mismo.

De nuestro primer ejemplo de teorema, se deduce el siguiente corolario: La suma de los

ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un ángulo recto (90°).

Medida de la tierra


mapb

10

10

6. TEOREMA RECIPROCO: Todo teorema tiene su reciproco. El reciproco de

nuestro primer ejemplo de teorema dice: Si la suma de los ángulos interiores de un polígono

vale dos rectos, el polígono es un triángulo.

Hipótesis: Tenemos un polígono cuyos ángulos interiores suman dos rectos…

Tesis: El polígono es un triángulo.

7. LEMA: Es una proposición que sirve de base a la demostración de un teorema. Es como un

teorema preliminar a otro que se considera más importante.

EJEMPLO: Para demostrar el área total de un cubo, se tiene que demostrar el lema que dice:

Un cubo se puede descomponer en seis cuadrados…

8. ESCOLIO: Es una observación que se hace sobre un teorema previamente demostrado.

9. PROBLEMA: es una proposición en la que se pide:

Construir una figura que reúna ciertas condiciones(los problemas gráficos)

Calcular el valor de alguna magnitud geométrica(los problemas numéricos)

Gráfico: Construir dos recta paralelas.

Numérico: Calcular el área de un triángulo.

10. MÉTODO DE REDUCCIÓN AL ABSURDO: Se niega la tesis, se busca una contradicción,

y luego, se concluye la misma tesis.

PUNTO GEOMÉTRICO

Las siguientes figuras son puntos geométricos:

Los puntos se denotan o nombran con las letras mayúsculas ABCD…Z

Léase: punto A y punto Q.

El punto geométrico es tan, pero tan pequeño, que carece de dimensión.

El punto geométrico no se puede definir, sólo se puede imaginar…

POSTULADO: Hay infinitos puntos.

LÍNEA

Es un conjunto especial de puntos.

Todas estas figuras son líneas

La combinación de líneas, permite construir cualquier cuerpo geométrico.

A Q


mapb

11

11

LÍNEA RECTA

Las siguientes figuras son líneas rectas:

Una línea recta se extiende sin limite en ambos sentidos. Es infinita.

Línea recta no se puede definir, suele considerársele como la distancia más corta entre dos

puntos o como una serie de puntos que van en una misma dirección.

Para denotar(nombrar) una recta, se denotan dos de sus puntos o se le asigna una letra.

Veamos:

POSTULADO 1: Por dos puntos pasa una y solamente una recta.

Por los punto Q y K, es imposible trazar otra línea recta diferente…y si se traza es la

misma…

POSTULADO 2: Dos rectas no pueden tener más que sólo punto en común.

Las rectas S y D se cortan en el punto P.

Siempre que dos rectas se corten, lo hacen

en un mismo punto…

POSTULADO 3: A cada punto de la recta le corresponde un número real, y viceversa.

S D

P

Q

10

P

14

K

12

A los puntos Q, K y P se le han asignado

los números 10, 12 y 14, respectivamente.

S

Simbólicamente:

, léase: Línea recta S

S

Simbólicamente: , léase: Línea recta QK QK

Q

K

Q

K


mapb

12

12

CLASES DE LÍNEAS RECTAS

Para simplificar un poco y generalizar, vamos a hablar en algunos casos de rectas y a

considerarlas sin las flechas.

LÍNEA RECTA HORIZONTAL: Va en dirección occidente – oriente y viceversa.

LÍNEA RECTA VERTICAL

Va en dirección norte sur y viceversa.

LÍNEA RECTA OBLICUA O TRANSVERSAL

No es horizontal ni vertical.

LÍNEAS RECTAS INTERSECANTES

Se cortan en un punto determinado.

LÍNEAS RECTAS PARALELAS

Nunca se cortan. En toda su extensión están separadas por la misma distancia.

, léase: Línea recta K paralela a la recta M

….? ….? ….?

¿Serán paralelas el par de rectas no denotadas? ¿Porqué?

MK //

BD//

KP //

RSMN//

S F Q

C K

P

Las rectas C y K, se cortan o

intersectan en el punto P

es horizontal AB

A

B Occidente Oriente

es vertical

MN

Norte

Sur

M

N

M

K

K

P D B


mapb

13

13

LÍNEAS RECTAS PERPENDICULARES

Al cortarse forman ángulos de rectos (90°).

, léase: Recta PM perpendicular a la recta KQ. ….?

¿Serán perpendiculares el par de rectas no denotadas? ¿Porqué?

OTROS TIPOS DE LÍNEAS

LÍNEA CURVA

No tiene porción recta.

POSTULADO: Al unir un punto interior A con uno exterior B de una curva simple cerrada se

corta dicha curva.

LÍNEA MIXTA

Está formada por segmentos de rectas y curvas.

KQPM

MK

Línea curva cerrada

A

B

A punto interior y B punto exterior de la

curva cerrada, unidos por un segmento de

recta. Es imposible que al ir del punto A al

punto B o viceversa, no se atraviese la curva

A

B

K

Q

P

M

90°


mapb

14

14

LÍNEA QUEBRADA, ANGULAR O POLIGINALES CÓNCAVAS Y CONVEXAS

Está formada por segmentos de rectas.

Una línea tiene una sola dimensión: La longitud de la recta

SEMIRRECTA

Cada una de las dos partes en que se divide una línea recta.

La recta QK se ha dividido por el punto O, formándose las semirrectas OQ y OK.

, léase: Semirrecta OQ y semirrecta OK.

PLANO

Superficies como: una pared, el piso, una hoja de papel, una baldosa, etc, dan una idea de lo

que es un plano.

Veamos:

yOQ

OK

Vértice: Punto donde se unen dos lados

Lado: Cada segmento de recta

Convexa: Si al prolongar uno

de sus lados en los dos

sentidos, toda la poligonal

queda en un mismo semiplano

Cóncava: Si al prolongar

uno de sus lados en los

dos sentidos, la poligonal

queda en dos semiplano

y , letras griegas. Léase: plano y plano , respectivamente.

Plano PQR para el primero, en este caso, se escogen tres puntos no alineados.

Denote y lea el segundo…

Los planos son de extensión infinita (ilimitada) en todos lo sentidos.

R

Q

K

P

O Q

K

K

O Q

O


mapb

15

15

POSTULADO 1: Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno.

POSTULADO 2: Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta está

contenida en el plano.

SEMIPLANO

Cada una de las dos partes en que se divide un plano.

El plano ha sido dividido por la recta MN, formándose los semiplanos y .

POSTULADO DE SEPARACIÓN DEL PLANO: Dos puntos de un semiplano determinan un

segmento que no corta a la recta que da origen a los dos semiplanos; y dos puntos de distintos

semiplanos determinan un segmento que corta a la recta.

Si en el semiplano ubicamos dos puntos, estos no cortan la recta MN que crearon el semiplano;

pero, si en el semiplano ubicamos un punto y en el semiplano ubicamos otro punto, al unirse, se

corta la recta MN que formó los dos semiplanos.

INTERSECCIÓN DE PLANOS

R

Q

K

P

M

N

R

Q

M

N

K

P

M

N

M

N

La recta MN se forma por la intersección

de los planos y .

POSTULADO 1: Si dos planos tienen un

punto común tienen una recta común.

Es obvio, que se trata de la recta que pasa por

dicho punto.

POSTULADO 2: Si dos planos se intersecan, su

intersección es una recta. En este caso: La recta

MN.

A D

B

Los puntos A, B y D son no alineados, al

unirse sólo puede pasar un plano por ellos.

Q

P

Los puntos P y Q son comunes para el

plano , al trazar una recta por ellos, la

misma queda dentro del plano.


mapb

16

16

SEGMENTO

Es la distancia más corta entre dos puntos. A menudo hacen uso de esta definición para la

línea recta….Error.

POSTULADO DE LA DISTANCIA: A cada par de puntos, le corresponde un número real

positivo único(distancia entre ellos).

MEDIDA DE LA LONGITUD DE UN SEGMENTO

Para medir la longitud de un segmento se puede utilizar una regla, un metro, una cinta, un

compás o cualquier otro elemento que sirva para tal fin.

, léase: La medida del segmento QR es de 5 unidades. También: uQR 5

Construye: Un segmento de 4cm, uno de 1m, uno de 7Km, uno de 10m y otro de 8cm

OPERACIONES CON SEGMENTOS

ADICIÓN DE SEGMENTOS

Clave: Se coloca uno a continuación de otro. El segmento suma va del origen del primero a

la cabeza del último. Sumemos los siguientes segmentos:

umQR 5

A

B

P

K

?......: PKsegmentoABléaseAB

Q P

A B

M N

Q P A B

M N

PQMNABAQ

viceversaoQpuntoalApuntodelvasumasegmentosEl

:

= distancia del segmento PQ

…coordenadas de P y Q,

respectivamente.

d

21 xyx

. La distancia se halla

estableciendo la diferencia entre sus

coordenadas.

12 xxd

dP

Q

1x 2x

EJEMPLO

1046)4(612 xxd

P

4

Q

6

?d

R Q

u

u = unidad


mapb

17

17

EJEMPLO

Hallemos la suma de los siguientes segmentos:

SUSTRACCIÓN DE SEGMENTOS

Clave: Se superponen los segmentos de tal forma que los orígenes coincidan, el segmento

diferencia va de la cabeza del segmento menor a la cabeza del mayor.

EJEMPLO

Hallemos la diferencia de los siguientes segmentos:

LONGITUD HORIZONTAL O VERTICAL DE UN SEGMENTO

Clave: Se establece la diferencia entre sus extremos.

A B

4m

M N

5m

A B

4m M N 5m

mmmMNABAN

Suma

954

:

cmcmcmcmcmNRMNQMPQPR

Suma

204,41433,0905,1866,0

:

1cm 0,433cm

M Q P

0,866cm 1,905cm

N R

Q R

P M Superponiendo:

M

Q R

P

Diferencia

MPQRPR

dos

:tanRe

A 4m MN = ? M N

9,25m

mmmAMANMN 25,5425,9

Q R longitudLQRL .

P M

4 7

MPsegmentodellongitudMPL ....1347)4(7


mapb

18

18

MULTIPLICACIÓN DE UN SEGMENTO POR UN NÚMERO O ESCALAR

Clave: Se repite el segmento tantas veces como lo indique el número.

EJEMPLO 1.

Dado el segmento , hallemos ,

Solución:

EJEMPLO 2.

Dado el segmento , hallemos:

Solución:

Sea el segmento producto, entonces:

En este caso, el segmento producto es menor que el segmento factor; esto, se presenta,

siempre y cuando el número o escalar sea una fracción propia(denominador mayor que el

numerador).

PUNTO ENTRE DOS PUNTOS

Un punto K está entre los puntos P y Q, si solo si:

QK QK5

MN

M N

P Q Hallemos : PQ5

P Q P Q P Q

El segmento producto va de M a N: PQMN 5

Q K 4,5cm

cmcmQKPR 5,22)5,4(55

Q K Q K Q K

P R

4,5cm 4,5cm 4,5cm 4,5cm 4,5cm

M N 9m

PQ = PK + KQ…suma de segmentos.

P

Q

K

P D

= 5,4m


mapb

19

19

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

El punto M es el punto medio de los puntos P y Q, si esta entre ellos y se verifica que:

PM = MQ

EJERCICIOS

1. Construye: Segmentos de 4cm; 6,5cm; 1cm; 9,34cm y 7,2cm. Además, halle la suma…

2. Para cada figura, realice la operación indicada:

Q K 6,24Km

?3 QK

?MK

3m 2,25m 3/4m M K R Q

P 15,85cm K Q

23m ?QK

?MK

9/2 8/3 3/4m M K R Q

20cm F D

Halle: DFDE52

M R

Halle: MRME35

12,2Km

M N

1 21

21

23 1 0

K Q P R

Los puntos M y N son los puntos medios de los segmentos PQ y KR.

Halle la longitud del segmento MN.

D R

2 11 L(DR) = ?

M S

12 4 L(MS) = ?

B

D

5

5

L(BD) = ?

5,52

11

2

92

2

QPM

Hallemos el punto medio del siguiente segmento:

M Q P

2 9

M

5,52

11

PM = K y MQ = K, entonces: PM = MQ

Sea M el punto medio del segmento PQ,

entonces: ..expresión para hallar la

coordenada del punto medio: Se suman los

extremos y se divide por dos.

2

QPM

M

Q P K K


mapb

20

20

ENVOLVENTE Y ENVUELTA

ENVOLVENTE: Línea que rodea a otra. ENVUELTA: Línea que es rodea.

TEOREMA 1.

En dos poligonales convexas, de extremos comunes, la envolvente es mayor que la envuelta.

Demostración:

Construcción auxiliar: Prolonguemos AF hasta que corte a BC en G y prolonguemos a FE

hasta que corte a CD en H.

En ABGF:

AB + BG AF + FG….(1)…….Distancia más corta entre dos puntos.

En FGCH:

FG + GC + CH FE + EH….(2)…….Distancia más corta entre dos puntos.

En HDE:

EH + HD ED….(3)…….Distancia más corta entre dos puntos.

Sumando miembro a miembro (1),(2) y (3):

AB + BG + FG + GC + CH + EH + HD AF + FG + FE + EH + ED

AB + BG + GC + CH + HD AF + FE + ED……(4)………………….….simplificando.

Pero:

BG + GC = BC….(5)…..suma de segmentos.

CH + HD = CD….(6)…..Suma de segmentos.

Sustituyendo (5) y (6) en (4): AB + BC + CD AF + FE + ED …….…demostrado

A B

D

AD y DB son envolventes para AB

Para cada figura, identifique todas las envolventes que pueda. Primero, bautice cada…

Los tramos de rectas de la figura anterior, son segmentos, para abreviar el trabajo

se ha obviado y se obviará la gorrita() que lleva el símbolo en la parte

superior….pero son segmentos y hay que imaginarlos con su gorrita…

B G C

H

D A

E F

Hipótesis:

ABCD envolvente

AFED envuelta

A y D son los puntos extremos

Tesis:

AB + BC + CD AF + FE + ED


mapb

21

21

EJEMPLO 1.

Si E es la intersección de CD con AB y CG = GD, CF = FD, CE = ED.

Demostremos que: CG CF CE

EJEMPLO 2.

EJERCICIO

Para cada figura, realice la demostración indicada:

Solución:

CFD es envolvente para CED, entonces:

CF + FD CE+ ED. Pero: FD = CF y ED = CE

Luego: CF + CF CE+ CE 2CF 2CE

Por lo tanto: CF CE ….(1)

CGD es envolvente para CFD, entonces:

CG + GD CF+ FD. Pero: GD = CG y FD = CF

Luego: CG + CG CF+ CF 2CG 2 CF

Por lo tanto: CG CF ….(2)

Comparando 1 y 2:

CG CF y CF CE. Entonces:

CG CF CE…Por transitividad…Demostrado

A B

C

F E

D

G

Demostremos que:

GR + GM + RM PF + PQ + QF

G

M

Q

R

P

F

Sumando miembro a miembro:

RF + RP + PG + GQ + QM + FM PF + PQ + QF…(4)

Pero: RP + PG = GR.

GQ + QM = GM.

RF + FM = RM…..Sustituyendo estas expresiones

en (4):

GR + GM + RM PF + PQ + QF

Solución:

RGM es la envolvente y PFQ, la envuelta.

En FRP: En PGQ:

RF + RP PF…(1) PG + GQ PQ…(2) En FQM: QM + FM QF…(3)

Demuestre que:

PK + KM + MH + PH FQ + QR + RD + FD

P H

D

M R K

Q

F

D

R

K Q Si QD = DK y QR = RK

Demuestre que : QR QD

Demuestre que el perímetro del

FQM es mayor que el perímetro

del PNR

M

P

F

Q

N

R

Demostrar que el perímetro del rectángulo

QRKM es mayor que el perímetro del

triángulo DQR

K

Q R

M D

Demuestre que:

QR + FP FM + MR + QD + DP

Ayuda: Ubique un punto donde se cortan las envolventes

M

Q

R

P

F

D


mapb

22

22

ÁNGULOS

Geométricamente, un ángulo es la unión de dos semirrectas con un extremo común.

Veamos:

REGIÓN CONVEXA: Cuando el segmento que une dos puntos que están dentro de ella, queda

contenido en su totalidad dentro de la misma. Todos los anteriores ángulos son convexos.

El ángulo (1) del ejemplo anterior se denota: FIN, NIF o simplemente I.

Léase: ángulo FIN, ángulo NIF o simplemente ángulo I.

Cuando se denota un ángulo utilizando tres letras, ¿qué posición ocupa la letra que se

encuentra en el extremo común?

Cuando se denota utilizando una sola letra, ¿cuál se toma?

EJERCICIO

Construye 4 ángulos y denótelos.

ELEMENTOS DE UN ÁNGULO

Consideremos el siguiente ángulo.

FORMACIÓN DE UN ÁNGULO

Un ángulo se forma por la rotación de una semirrecta sobre su origen.

, son semirrectas.

INIF e

1

Extremo común

Ángulo

Semirrecta

Semirrecta I

F

N

M

2

Interior del ángulo

Exterior

R

A Exterior

3

Región

convexa

Región no

convexa

O

D

N

¿Cuáles son los elementos de un ángulo?

¿Cómo se llama el extremo común?

F

E

O

Lado

Lado

Vértice

C

T A

Lado final

Lado inicial

Sentido de rotación

N

A D Lado

final

Lado

inicial

Sentido de rotación

Lado inicial: Es la posición inicial de la semirrecta Lado final: .


mapb

23

23

CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN SU GIRO

ÁNGULO POSITIVO: Si su rotación se hace en sentido contrario al movimiento de las

manecillas del reloj. Como los siguientes:

ÁNGULOS NEGATIVOS: Si su rotación se hace en el mismo sentido del movimiento de las

manecillas del reloj. Como los siguientes:

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Decimos que un ángulo está en posición normal, cuando cumple las siguientes condiciones:

Está ubicado en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares.

El lado inicial coincide con el eje positivo de las equis (x).

El origen coincide con el origen del sistema de coordenadas…

Veamos:

, , , , , , , , son letras griegas

EJERCICIO

Construye: Dos ángulos positivos, dos negativos y tres en posición normal.

Reloj

0

y

x 0

y

x

0

y

x


mapb

24

24

MEDIDA DE LA AMPLITUD DE UN ÁNGULO

Recordemos que el elemento más usado para determinar la amplitud de un ángulo es el

“Transportador”.

Hay dos sistemas para expresar la medida de la amplitud de un ángulo: El sistema

sexagesimal y el sistema cíclico.

SISTEMA SEXAGESIMAL

En este sistema, los ángulos se expresan en grados (unidad más común). Un ángulo puede

medir: 1°, 15°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°, 620°, etc.

1° Léase: un grado. El grado es la unidad patrón de este sistema.

Un grado es la de una rotación total.

EJEMPLO

Hallemos y grafiquemos el ángulo que es de una rotación total.

Solución:

Gráfica:

EJERCICIO

Halle y grafique el ángulo que representa: de

rotación total.

El signo (+) indica que la rotación se hace en sentido contrario a las manecillas del reloj y el

signo (), en el mismo sentido.

SUBMÚLTIPLOS DEL GRADO

El grado tiene dos submúltiplos: El Minuto y el Segundo

360

1

4

1

ánguloelesestemidetotalrotaciónunaComo ,904

360)360(

4

1360

5

4,

2

1,

6

1,

2

3,

4

1,

3

2,

2

1 y

.:1.60160

11

.min:1.60160

11

||||||

||

|||

segundounLésae

utounLésae

90°

Un Minuto es la sesentava parte de

un grado y un Segundo, la

sesentava parte de un Minuto.

Con estas reglas de tres simple directa,

podemos convertir grados a minutos y

segundo, minutos a segundos y viceversa. ||| 601 |601


mapb

25

25

COMO EXPRESAR UN ÁNGULO EN GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS

El siguiente esquema es de gran ayuda

Grado

60

Minuto

60

Segundo

EJEMPLO 1.

Expresemos en grados, minutos y segundos el siguiente ángulo: 90°.

Solución:

Quitandóle un grado a 90°, esto, porque el ángulo está representado por un

número entero

Convirtiendo el grado en minutos.

Quitándole un minuto a .

Convirtiendo el minuto en segundo.

NOTA: La conclusión se puede expresar por simple inspección (Sin seguir los pasos

propuestos).

EJEMPLO 2

Expresemos en grados minutos y segundos: 49,7°

Solución:

Separando la parte entera de la decimal. Entonces:

Convirtiendo la parte decimal en minutos.

Quitandóle un segundo a .

Convirtiendo el minuto en segundo.

EJEMPLO 3.

Expresemos en grados, minutos y segundos: .

Solución:

El siguiente esquema muestra lo que se va a realizar.

Grado

60

Minuto

60

Segundo

18990

|608990 || 1598990 |60

|||60598990

7,0497,49|

|

421

607,0

|42497,49 || 141497,49 |42

|||60414949,7

43268

ANÁLISIS:

De mayor a menor, se multiplica

De grado a minuto: se multiplica por 60.

De minuto a segundo: se multiplica por 60.

De grado a segundo: se multiplica dos veces por 60.

De menor a mayor, se divide

Se aplica el procedimiento anterior, pero dividiendo

||||

||

|

607721432688

87214326868

21126

6043268

43268


mapb

26

26

EJEMPLO 4

Expresemos en grados, minutos y segundos:

Solución:

El siguiente esquema muestra lo que se va a relizar.

EJERCICIO

Exprese los siguientes ángulos en grados, minutos y segundos:

SISTEMA CÍCLICO

En este sistema los ángulos se expresan en radián(rad).

ARCO: Porción de circunferencia comprendido entre dos puntos.

Si la longitud de una circunferencia se divide por su diámetro, el cociente es igual al número

irracional: 3,14159… que se representa con la letra griega .

= 3,14159…

Léase: Pí. Por eso, en este sistema un ángulo puede medir:

53216

314169000,23465,4326;48,5;5,9;60,180,90 y

.,3

2,

4

3,

6,

4

3,

3,

2,

2

3,,2 etc

Grado

60

Minuto

60

Segundo 53216

|||||

|

||

564614532164656

14286416

60886521

6053216

Segundos Minutos Grados

Un radián es la amplitud que tiene un ángulo,

que subtiende un arco igual a la longitud del

radio de la circunferencia.

.11 radr

r

r

S

rS

22

2

.D

rrD

r

Diámetro

ciacircunfereladeLongitudL

D

I

á

m

e

t

r

o

r

r

S = r

Arco


mapb

27

27

EQUIVALENCIA ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CÍCLICO

EJEMPLO 1.

Expresemos en radianes el siguiente ángulo 80°.

EJEMPLO 2.

Expresemos en grados el siguiente ángulo:

EJERCICIOS

CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE LA AMPLITUD

Son: Nulo, recto, llano, agudo, obtuso y de un giro.

ÁNGULO NULO

Mide cero grado 0°.

9

480:.

9

4

180

80

80

180

dondeDex

x

5

2

725

2:

.725

3605

360180

5

2

1805

2

dondeDe

x

x

240150,120,90,60,45,30:

5.2:3

2,

2

3,

2,

4,

3,

6,

12

yángulossiguienteslosradianesenExpreseb

radyángulossiguienteslosgradosenExpresea

Un giro completo en el sistema sexagesimal

mide 360°. El mismo giro en el sistema

cíclico vale 2. Entonces: 2 = 360°.

De igual forma: = 180°.

Con estas reglas de tres , podemos llevar un

ángulo de un sistema a otro…

2360

Se multiplica en cruz, y al despejar

la incógnita , el término que la

multiplica pasa a dividir

A

B

C

mA = 0°. = ángulo

Léase: La medida del ángulo A es igual a cero

grado.

0°


mapb

28

28

ÁNGULO RECTO

Mide noventa grados 90°.

ÁNGULO LLANO

Mide ciento ochenta grados 180°.

ÁNGULO AGUDO

Mide menos de 90°.

ÁNGULO OBTUSO

Mide más de 90°.

ÁNGULO DE UN GIRO

Mide 360°.

mRAP = 90°

R

A P

90°

mRQK = 180°

R

Q

K

180°

45°

Si 90°, entonces,

es agudo

78°

Si 90° 180°,

entonces, es obtuso

135°

98°

mBAC = 360°

360°

A

B

C


mapb

29

29

CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN SU SUMA Son: complementarios y suplementarios.

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos son complementarios si y sólo si la suma de sus medidas es 90°, o sea, un

ángulo recto.

EJERCICIO

Para cada ángulo, halle su complemento: 30°, 45°, 60°, 75°, 80° y 68,50°

Solución:

Sea x el complemento de 30°, entonces: x 30° = 90° x = 90° 30° = 60°.

El complemento de 30° es 60°.

Halle el complemento de los demás ángulos.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos son suplementarios si y sólo si la suma de sus medidas es 180°, o sea, un ángulo

llano.

EJERCICIO

Para cada ángulo, halle el suplemento: 10°, 30°, 45°, 60°, 90°, 130° y 80,75°

Solución:

Sea x el suplemento de 45°, entonces: x 45° = 180° x = 180° 45° = 135°.

El suplemento de 45° es 135°. Halle el suplemento de los demás

ángulos.

= 90°

= 180°

180°


mapb

30

30

CLASES DE ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN

Son: adyacentes, consecutivos y opuestos por el vértice.

ÁNGULOS ADYACENTES

Tienen un lado común y los otros dos pertenecen a la misma recta.

ÁNGULOS CONSECUTIVOS

Tienen un lado común.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Dos ángulos son opuestos por el vértice, si uno se forma por la prolongación de los lados del

otro a partir del vértice.

ÁNGULOS CONGRUENTES

Dos o más ángulos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida.

Q

110°

D

110°

mQ = 110°

mD = 110° mQ = mD

Entonces: Q D

Léase: ángulo Q congruente con

el ángulo D

y 2 son adyacentes

2

Lado común

1, 2, 3, 4, y 5 son consecutivos.

3 5

4

2 1

Los ángulos 2 y 4 son opuestos por el vértice.

De igual forma, los ángulos 1 y 3 también son…

3

4

2

1


mapb

31

31

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que tiene por origen el vértice del ángulo y lo

divide en dos ángulos congruentes(igual medida).

EJERCICIOS

1. Dada la figura:

Indique la relación que existe entre:

a). 4 y 2 .

b). 2 y 3 .

c). 4 y 5 .

d). 3 y 4 .

d). 3 y MKQ .

f). 1, 2, 3, 4y 5 .

2. Dada la figura sobre la medida de la amplitud de un ángulo, identifique los

siguientes ángulos y sus medidas.

P

Q

M

R

K D

70°

20°

m KDR = 60°

m KDS = 60°

Entonces: KDR KDS

Como KD es la bisectriz del ángulo RDS,

entonces: mRDS = m KDR + m KDS.

O sea: 120° = 60° + 60°

R

D

K

S

60°

60°

120°

P Q

N

R

K

M

1

2 3

4 5


mapb

32

32

a). Los ángulos agudos.

b). Los ángulos suplementarios.

c). Los ángulos complementarios.

d). Los ángulos rectos.

e). Los ángulos llanos.

OPERACIONES CON ÁNGULOS ADICIÓN O SUMA DE ÁNGULOS

PROCEDIMIENTO:

Los ángulos se escriben en forma vertical, de tal forma que las unidades se correspondan:

grados debajo de grados, minutos debajo minutos y segundos debajo de segundos. Luego,

se suma común y corriente.

Los minutos y segundos, no deben pasar de 60. Si esto ocurre, se hace la correspondiente

conversión, dividiendo por 60 y el cociente se le suma a la unidad inmediatamente

superior.

EJERCICIO

Dados:

Solución:

Realice las demás operaciones.

SUSTRACCIÓN O RESTA DE ÁNGULOS

Básicamente, se aplica el mismo procedimiento adoptado para la suma, sólo que en vez de

sumar, debemos restar.

EJERCICIO

Dados: Halle:

Solución:

. Como 90° no tiene minutos ní segundos, se descompone:

||||||||| 2590.45100.485929.334985.90 QEDBA

EDBEAQBQEEDDBBAHalle ......:

|||

|

|

|||

||

|||

|||

||||||

81108114

149

60109

121

6081

485929

334985

485929334985

|||2149115DB

||||||||| 2945.3910.605939.474950.180.90 RQEDBA

RAQBQREDEBDA .....

|||47495090 DA


mapb

33

33

Realice las demás operaciones.

MULTIPLICACIÓN DE UN ÁNGULO POR UN NÚMERO O ESCALAR

CLAVE: Se multiplica cada unidad por el escalar o número.

EJERCICIO

Dados:

Solución:

Realice las demás operaciones. TEOREMA 2 Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

Demostración:

ABD + DBK = ABK……(1)….suma de ángulos

Pero: ABK = 180°……...(2)…..ángulo llano.

Sustituyendo 2 en 1:

ABD + DBK = 180°…..demostrado.

TEOREMA 3

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

|||60598990

|||

|||

|||

|||

131039

131039

474950

605989

DA

.2745.422519.4530.90 |||||| QyEBA

QEBQEAQEBAHalle 5.22.42.2.3.4.2:

|||0617583E

|||||||||

|||

|||

|||

06175806775712675571267557

3

422519

)422519(33E

Los minutos y segundos no deben pasar de 60.

Hipótesis:

ABD y DBK son adyacentes

Tesis:

ABD + DBK = 180°

B

D

A K

Hipótesis:

y son opuestos por el vértice

Tesis:

=

NOTA: Si alguna unidad del sustraendo es

mayor que el minuendo, la inmediatamente

superior le presta una unidad y la misma se

convierte en la unidad deseada, sumando la

conversión con la unidad existente. Luego,

se resta común y corriente.


mapb

34

34

Demostración:

+ = 180°…..(1)….por ser adyacentes.

+ = 180°…..(2)… por ser adyacentes.

Comparando 1 y 2:

+ = + …..por transitividad.

= …….simplificando……...demostrado. Demuestre usted que: = .

TEOREMA 4 Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta suman 180°.

Demostración:

PQR + RQD = 180°….(1)….por ser adyacentes.

PQR = PQK + KQR….(2)….suma de ángulos.

Reemplazando 2 en 1: PQK + KQR + RQD = 180°…..demostrado.

TEOREMA 5

La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto, vale cuatro ángulos rectos(360°).

Demostración:

Prolonguemos uno de los lados de los ángulos, en este caso PK hasta D, quedando dividido el

QKM en dos ángulos: QKD y DKM

PKQ + QKD = 2R…(1)….Por ser consecutivos formados al mismo lado de PD

PKM + DKM = 2R…(2)….Por ser consecutivos formados al mismo lado de PD

Sumando miembro a miembro (1) y (2):

PKQ + QKD + PKM + DKM = 4R …(3)

Pero:

QKD + DKM = QKM…(4)…..?

OJO: Dos cosas iguales a

una tercera, son iguales

entre sí.

Hipótesis:

PQK, KQR y RQD son consecutivos

formados a un mismo de la recta PD

Tesis:

PQK + KQR + RQD = 180° Q

R K

P D

Hipótesis:

Los PKQ, QKM y PKM son

consecutivos alrededor del punto K

Tesis: PKQ + QKM + PKM = 4R(360°)

K

Q

M

P

D

R = 90°


mapb

35

35

Sustituyendo (4) en (3):

PKQ + QKM + PKM = 4R(360°)…..demostrado.

Demuestre el mismo teorema para 4 ángulos alrededor de un mismo punto.

EJEMPLO 1.

Dos ángulos están en relación de 4 : 5 y su suma es 160°. Hallemos los ángulos.

Solución:

Sea la constante de proporcionalidad

Cada elemento de la relación se multiplica por esta constante, esto es:

Como la suma es 160°, entonces: . De donde:

Multiplicando a por la constante de proporcionalidad:

OTRA FORMA(Planteando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas)

Como la relación es de 4 : 5, entonces:

Como la suma es 160°, entonces:

EJEMPLO 2.

Hallemos el ángulo que es igual a la tercera parte de su suplemento.

Sea = un ángulo. Como el otro ángulo que es el suplemento de x equivale a la tercera parte,

entonces: es el suplemento de .

Como son suplementarios, entonces: Resolviendo esta ecuación lineal:

xxx 5,4

16054 xx

|||40461777777,179

1601609

xx

xx 5,4

||||||205388400671

y

x

x

sonángulosLos :

20538820023085)404617(55

40067116018468)404617(44

|||||||||

|||||||||

mayorángulomenorángulo yx .

)1......(5

4

y

x

)2......(160 yx

||||||205388400671

y

yx

yxeny

yyyyyy

yx

sonángulosLos

devaloreldoSustituyen

envalorestedosustituyenydexdespejando

:

)2()1(

|||||

|||

400671111111,715

555555,355

5

)888888,88(4

5

4

:5

4

205388888888,889

800800980054160

5

4

......5

4

x

3

xx

.1803

x

x

Por ambos métodos se llega

a la misma conclusión.


mapb

36

36

Debido a que 135° y 45° son suplementarios y además, 45° es la tercera parte de 135°, entonces, 45°

es el ángulo.

EJEMPLO 3.

EJERCICIOS

1.

2. Halle el ángulo que es igual a la mitad de su complemento.

3. Un ángulo y su suplemento están en relación de 5:4. Halle los ángulos.

4. Dos ángulos están en relación de 3 a 6 y su suma vale 240°. Halle los ángulos.

5. Halle el ángulo que es igual a su complemento.

6. Halle el ángulo que es igual a las 3/5 de su suplemento.

7. Para cada figura, halle la amplitud de los ángulos:

453

135

3:.135

4

54054045403

xxxxx Luego

.15108.41,95.43763.4345123

:sup,.)

1588.41,85.4363.434523

:,.)

|||||||

||||||

lementoelhalleángulocadaParab

ocomplementelhalleángulocadaParaa

2x

x3

Hallemos el valor de los ángulos.

Solución:

Los ángulos son suplementarios, entonces:

El valor del del ángulo es:

El valor del ángulo es:

xyx

32

|||422551

7

3603607:

.1802

7180

2

61803

2

xxLuego

xxxx

x

2

x ||||||

5142252

422551

2

x

x3||||||

0617154)422551(33 x

2x + 20°

2x

2x +5° 2

3x4x

2x

25x

3

2x3x

6x


mapb

37

37

AUTOEVALUACIÓN NRO 1.

1. Dados los siguientes enunciados, escribe V(verdadero) y F(falso):

a) La hipótesis y la tessis son elementos de un teorema .

b) La bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos desiguales .

c) Un grado equivale a 70| .

d) Los axiomas son enunciados que se deben demostrar .

e) Las líneas rectas tienen punto final e inicial .

f) Un ángulo que en el sistema sexagesimal vale 180°, en el sistema cíclico vale

2 .

g) Los postulados son enunciados que no necesitan demostración .

h) Un ángulo en posición normal tiene su lado inicial en el eje negativo de las

equis (x) .

i) Las rectas paralelas se cortan en el infinito .

j) Los ángulos llanos miden 90° .

k) Para expresar segundos en grados se divide un sóla vez por 60 .

2. Escribe la lectura de los siguientes símbolos:

.

.

.

.

.

3. Relacione cada figura con su nombre:

a) Punto geométrico. g) Ángulo llano.

b) Línea recta horizontal. h) Rectas paralelas.

c) Ángulo nulo. i) Línea cerrada mixta.

d) Ángulo agudo. j) Ángulo recto.

e) Línea curva. k) Rectas perpendiculares.

f) Segmento. l) Semirrecta.

AB

NM

BA KS //

PQ

DSK //

AB PQRABC

Qm BA

Q

K

P

M

B

R


mapb

38

38

4.

a) Exprese en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos:

b) Halle y gráfique el ángulo que representa las partes de una rotación total en

ambos sentidos.

c) Exprese los siguientes ángulos en grados:

d) Exprese los siguientes ángulos en radianes: 80° y 105°.

e) Halle el valor de dos ángulos complemetarios que están en relación de 5 a 10.

f) Halle el ángulo que es igual a las 2/3 partes de su suplemento.

g) Dados:

5. Demuestre los siguientes teoremas:

T1: La suma de cinco ángulos consecutivos alrededor de un punto, vale 360°.

T2: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

6. Dada la siguiente figura:

a) Identifique la relación entre: MKQ y PKR .

RKM y NKQ .

MKQ y PKR .

NKQ y QKM .

PKR, RKN y NKQ .

b) Identifique los siguientes ángulos según su medida:

Ángulos agudos.

Ángulos llanos.

Ángulos complementarios.

Ángulos suplementarios.

Ángulos rectos.

.180.4016794.5634000.90.09,35 |||

103

.9,25

2 rady

)54(.)(.43..

:

3260.234746.90 ||||

DADADBDBBDBA

Halle

DBA

P Q

R

K

N

M

70°

20°


mapb

39

39

7. Para cada figura, realice el cálculo exigido:

P M R T S Q

0 32

32

31

31

35

Si K y N son los puntos medios de MR y de PQ

respectivamente, halle la longitud de AB.

433 8,2

?QR

Q R K P

12

Demuestre que: PQ + KR MP + MR + QD + DK M

D

Q

P

R

K

MKR = ?

NKR = ?

5x + 10°

3

2 x

R K

M N

Q

P

R

K

M

4x + 10°

x2

PKQ = ?

PKM = ?


mapb

40

40

TEOREMA 6

Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz.

Demostración:

Tracemos DK que pase por M y N e intercepte a QP y QR en los puntos D y K. De tal forma que

QD = QK

Supongamos que el PQR tiene dos bisectrices QM y QN, entonces:

QD = QK …..(1)….por construcción

PQM = MQR…..(2)….por ser QM bisectriz de PQR

PQN = NQR…..3)….por ser QN bisectriz de PQR

Ahora:

PQR = PQM + MQR…(4)….suma de ángulos.

PQR = PQN + NQR…(5)….suma de ángulos.

Comparando (4) y (5):

PQM + MQR = PQN + NQR….(6)

Pero:

PQN = PQM + MQN….(7)

PQM = MQR…..(2)

Sustituyendo (7) y (2) en (6):

PQM + PQM = PQM + MQN + NQR

PQM = MQN + NQR……simplificando…demostrado.

Esto muestra que las bisectrices QM y QN son las mismas, por ende, QM es única.

P

D

Q

M

N

K

R

Hipótesis:

Sea el PQR y QM su bisectriz

Tesis:

QM es única


mapb

41

41

PERPENDICULARIDAD

Recordemos que dos rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse forman ángulos

rectos(90°).

POSTULADO: Por un punto fuera de una recta, en un plano, pasa una perpendicular a dicha

recta y sólo una.

TEOREMA 7

Si por un punto exterior a una recta trazamos una perpendicular y varias oblicuas, se verifica

que:

1. El segmento perpendicular comprendido entre el punto y la recta, es menor que cualquier

segmento de oblicua.

2. Los segmentos de oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular, son iguales

3. De dos segmentos de oblicuas cuyos pies no equidistan del pie de la perpendicular, es

mayor el que dista más…

90°

Las rectas M y N no son perpendiculares

y también pasan por el punto P.

En cambio, la recta PR pasa por el punto P y

es perpendicular a Q. Esto es: PR Q

R

P

Q

N M

1 = 2 =3 = 4 = 90°

P Q

Las rectas de la figura no tiene las flechitas, para abreviar

el trabajo se ha obviado y se obviará la flechita() en la

gráfica como en la notación simbólica, por eso las letras P

y Q carecen de ellas…

1 2

4 3

P

Q

M

P

A S F

B

R Q

Hipótesis:

PQ AB

PF, PR y PS son oblicuas FQ = QR y QS QR

Tesis:

1. PQ PR

2. PF = PR

3. PS PR


mapb

42

42

Demostración:

Doblemos la figura por AB, esto nos muestra la imagen discontinua, a demás: PQ = QM

PR = RM

PS = SM

PF = FM

Demostración 1:

PQM es envuelta para PRM, entonces:

PQ + QM PR + RM…..por el T1. Pero: PQ = QM y PR = RM. Luego:

PQ + PQ PR + PR……………………sustituyendo QM y RM

2 PQ 2PR….sumando…. PQ PR….simplificando……...demostrado.

Demostración 2:

Doblemos la figura por PM, esto muestra que el punto F coincide con el punto R, por ser

FQ = QR. Luego: PR = PF.

Demostración 3:

PSM es envolvente para PRM, entonces:

PS + SM PR + RM…..por el T1. Pero: PS = SM y PR = RM. Luego:

PS + PS PR + PR …………………….Sustituyendo SM y RM

2 PS 2PR ….sumando……. PS PR…..simplificando………..demostrado.

Comparando las demostraciones 1 y 3: PQ PR PS

OBSERVACIÓN: La distancia más corta de un punto a una recta es la perpendicular que se

traza del punto a la recta.

PARALELISMO

Recordemos que las rectas paralelas nunca se cortan.

D

K

D // K


mapb

43

43

TEOREMA 8

Dos rectas de un plano, perpendiculares a una tercera, son paralelas entre sí.

Demostración:

Supongamos que A y B no son paralelas, entonces se cortarían en un punto determinado,

digamos P. Si esto es a si, por P pasarían dos rectas perpendiculares a R; esto contradice el

postulado anterior (Por un punto fuera de una recta, en un plano, pasa una perpendicular a dicha

recta y sólo una). Luego, A y B son paralelas. A//B….demostrado.

COROLARIO 1: Por un punto exterior a una recta pasa una paralela a dicha recta

POSTULADO DE EUCLIDES

Por un punto exterior a una recta, pasa una y sola paralela a dicha recta.

COROLARIO 2

Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí.

Consideremos la recta A y el punto P

exterior a A.

Por P tracemos R perpendicular a A.

Ahora, por P tracemos B perpendicular a

R. Entonces:

AR y BR, por el teorema anterior(7):

A//B…..demostrado. R

B

A

P

M//N…..demostrado por el corolario 1.

N

M

P

Hipótesis: Tesis:

M//Q M//N

N//Q

N

M

Q

P

Demostración: Supongamos que M y N no son paralelas,

entonces, se cortarían en un punto P.

Entonces por P pasarían dos rectas paralelas

a Q. Esto contradice el postulado de

EUCLIDES, por ende: M//N…demostrado

B A

R

P

Hipótesis:

B R

A R

Tesis:

A // B

Todos los teoremas sobre paralelismo

y perpendicularidad, se demuestran

por el MÉTODO DE REDUCCIÓN AL

ABSURDO: Se niega la tesis, se

busca una contradicción, y luego, se

concluye la misma tesis.


mapb

44

44

COROLARIO 3

Si una recta corta a otra, corta también a las paralelas a ésta.

COROLARIO 4

Si una recta es perpendicular a otra, es también perpendicular a toda paralela a esta otra.

CARACTERÍSTICAS DEL PARALELISMO

IDENTICO: Toda recta es paralela a si misma Q//Q.

RECÍPROCO: A//B B//A. Si una recta es paralela con otra, ésta es paralela con la

primera.

TRANSITIVO: A//B y B//Q A//Q. Si una recta es paralela con una segunda recta y la

segunda es paralela con una tercera recta, entonces, la primera recta y la tercera son

paralelas.

Hipótesis: Tesis:

K//D R corta a D

R corta a K en P

D

K

R

P

Demostración: Si R no corta a D, entonces, R y D serían

paralelas(R//D). Esto muestra que por el

punto P pasarían dos paralelas a D, las rectas

K y R, esto contradice el postulado de

EUCLIDES, por ende R corta a

D…demostrado.

Hipótesis: Tesis:

M//N KM

KN

Demostración:

Si K corta a N, también corta a M…corolario 3.

Supongamos que K no es perpendicular a M

y que se cortan en el punto P. Entonces, es

posible trazar por P la recta Q perpendicular

a K, luego, por P pasarían dos paralelas a N;

las rectas Q y M, esto es imposible.

Entonces: KM

M

K

N

P

Q


mapb

45

45

TEOREMA 9

Si dos rectas distintas se intersecan, entonces, su intersección es un único punto.

Demostración:

Supongamos que Q y K se intersecan en dos puntos distintos, digamos X, Y. Si esto es a si,

entonces: (X, Y) Q y (X, Y) K, esto no es posible. Por ende: X = Y. Luego: X es único ÁNGULOS QUE SE FORMAN CUANDO DOS RECTAS SON CORTADAS POR UNA SECANTE

ANGULOS COLATERALES ANGULOS COLATERALES

INTERNOS O CONJUGADOS. EXTERNOS O CONJUGADOS.

4 y 6 1 y 7

3 y 5 2 y 8

PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

POSTULADO: Toda secante forma con dos paralelas ángulos correspondientes iguales

S

M

K

1 2

3 4

7

5 6

8

S y K rectas, M recta secante

ÁNGULOS OPUESTOS

POR EL VÉRTICE.

Son:

1 y 3.

2 y 4.

5 y 7.

6 y 8.

ÁNGULOS ALTERNOS

INTERNO.

Son:

3 y 6 , 4 y 5.

ÁNGULOS ALTERNOS

EXTERNOS.

Son: 2 y 7 , 1 y 8.

ÁNGULOS

CORRESPONDIENTES.

Son:

2 y 5.

3 y 8.

1 y 6.

4 y 7.

4

S//K y M recta secante

Entonces:

2 = 5. 3 = 8.

1 = 6. 4 = 7.

S

M

K

1 2

3

7

5 6

8

X

Q

K

Hipótesis:

Q y K son rectas distintas y se intersecan en el

punto X

Tesis:

X es único


mapb

46

46

TEOREMA 10

Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.

Demostración:

1 = 3….(1)….opuestos por el vértice.

1 = 6….(2)….correspondientes.

Comparando (1) y (2): 3 = 6…..por transitividad..…demostrado.

De igual forma: 4 = 5…demuéstrelo…

TEOREMA 11

Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales

Demostración:

1 = 3….(1)….opuestos por el vértice.

3 = 8….(2)….correspondientes.

Comparando (1) y (2): 1 = 8…por transitividad…demostrado.

De igual forma: 2 = 7….demuéstrelo…

Hipótesis:


3 y 6 ….alternos internos

4 y 5…..alternos internos

Tesis:

3 = 6

4 = 5

1 2

3 4

7

5 6

8

S

M

K

Hipótesis:


1 y 8 ….alternos externos

2 y 7…..alternos externos

Tesis:

1 = 8

2 = 7

3

7

5 6 8

1 2

4 S

M

K


mapb

47

47

TEOREMA 12

Dos ángulos conjugados o colaterales internos, entre paralelas, son suplementarios.

Demostración:

3 + 4 = 180°….(1)….por ser adyacentes .

4 = 5….(2)….alternos internos.

Sustituyendo (2) en (1): 3 + 5 = 180°…demostrado.

De igual forma: 4 + 6 = 180°….demuéstrelo…

TEOREMA 13.

Los ángulos conjugados o colaterales externos, entre paralelas, son suplementarios.

Demuéstrelo….

EJEMPLO

Dada la siguiente figura, realicemos los cálculos exigidos:

Solución:

a) Como R // K // M // N son rectas paralelas, entonces, P y Q son secantes.

Luego: 1 = 4 = 5 = 14 = 17 = 18 = x2 …En su orden: opuestos por el vértice,

alternos internos, correspondientes, alternos internos y opuestos por el vértice.

De igual forma: 2 = 3 = 6 = 15 = 16 = 19 = x …Por: opuestos por el vértice, alternos

internos, correspondientes, alternos internos y opuestos por el vértice.

Pero: 18021 ….Por suplementarios. Entonces: 1802 xx .

S

M

K

1 2

3 4

7

5 6

8

Hipótesis:


3 y 5 …conjugados o colaterales internos

4 y 6…conjugados o colaterales internos

Tesis:

3 + 5 = 180° = 2R R = 90°

4 + 6 = 180° = 2R

P

Q

R

K

M

N

1 2

3

5

4

6

17

8 7

9

16

10

18

15

13

11

14

12

19

P // Q, R // K // M // N.

1 = x2 y 19 = x .

a). Hallemos la amplitud de los

ángulos comprendidos entre

las rectas M y R.

b). Demostremos que:

180131211

T


mapb

48

48

Resolviendo la ecuación:

603

1801803 xx . De donde: 120)60(22x .

Luego: 1 = 4 = 5 = 14 = 17 = 18 = 120° y 2 = 3 = 6 = 15 = 16 = 19 = 60°.

b) )1....(18011109 …Ángulos consecutivos formados a un mismo lado de una recta.

Pero: P // Q , M, T y N son secantes.

).....2....(129 Por correspondientes.

).....3....(1310 por alternos internos.

Reemplazando (2) y (3) en (1): 180131211 ……demostrado

EJERCICIO

Para cada figura, halle el valor de los ángulos indicados:

Q //R. Demuestre que:

1 + 2 + 3 = 180°

1

2 3 4

5

R

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

M

Q

H

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

P

Q R

K S

2x 6x

PK //RQ y PR//QK

RPK = 2x y PKQ = 6x

Halle:

PKQ, KQR, QRP, QKS y RPK

Q K

M

N

E

La recta EM es la bisectriz

del QEN y K = Q

Demuestre que: EM //KQ

AB//MN. MRK = 120°

Halle: BAK y KRN

A B

M N

K

120°

R

R

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

<

M

Q 1

2

3 4

7 5

6

8 Q //M y R secante.

3 = 30° , halle los demás

K // R, M // N // Q // P.

15 = 2x y 19 = x4 .

a). Halle la amplitud de los

ángulos comprendidos entre

las rectas P y N.

b). Demuestre que:

180321

6

7

1 2

3 5

4 17

8 9

16

10

18

15 13

11 14

12

19 P

Q

R

K

M

N


mapb

49

49

ÁNGULOS CON LADOS PARALELOS O PERPENDICULARES

TEOREMA 14

Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido

son iguales.

Demostración:

Prolonguemos PQ hasta que corte a AC, formándose el K.

Como AB//PQ, entonces: BAC = K…(1)….por ser correspondientes

Como AC//QR, entonces: K = PQR…(2)….por ser correspondientes


BAC = PQR….por transitividad…..demostrado.

TEOREMA 15

Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario

son iguales.

Hipótesis:

AC//QR y AB//PQ

BAC y PQR tienen sus lados

paralelos y dirigidos en el mismo

sentido

Tesis:

BAC = PQR

K

A C

B

Q

P

R

P

Q

K

P // Q y K secante.

Identifique las clases de ángulos que se

forman según los colores.

Ejemplo:

El color rojo al interior de las paralelas,

muestra que los ángulos son alternos internos

Hipótesis:

M//Q y N//P

y tienen sus lados paralelos y

dirigidos en sentido contrario

Tesis:

=

N

M

Q

P


mapb

50

50

Demostración:

Prolonguemos los lados P y Q hasta formar el ángulo .

= …(1)…opuestos por el vértice.

= …(2)….por el teorema 14 (tener sus lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido)


= ….por transitividad…..demostrado.

TEOREMA 16

Si dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, dos ellos dirigidos en el mismo

sentido y los otros dos en sentido contrario, dichos ángulos son suplementarios.

Demostración:

Prolonguemos QR hasta formar el

= …(1)… por el teorema 14 (tener sus lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido)

+ = 180°……(2)….por ser adyacentes.

Reemplazando (2) y (1):

+ = 180°….…..demostrado. Por ende, y son suplementarios…

TEOREMA 17

Dos ángulos agudos cuyos lados son respectivamente perpendiculares son iguales.

Demostración:

Traslademos los lados del hasta el vértice del . Al trasladar la figura, se evidencia que:

SQQR y DQQP.

Entonces:

Hipótesis:

QPKM 90°

QRMN 90

Tesis:

=

M

N

K

P

R Q

S

D

Hipótesis:

PM//RS, y dirigidos en el mismo

sentido

PN//QR, y dirigidos en sentido

contrario

Tesis:

+ = 180°

P N

M

Q

S


mapb

51

51

+ = 90°…..(1)….por se complementarios

+ = 90°……(2)…por ser complementarios


+ = + ……dos cosas iguales a una tercera, son iguales entre sí

= …..simplificando……demostrado.

TEOREMA 18

Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son

suplementarios.

Demostración:

Prolonguemos TK hasta formar el

+ = 180°…..(1)….por ser adyacentes.

= ……(2)…teorema 17 (por tener sus lados perpendiculares)

Sustituyendo (2) y (1):

+ = 180°……demostrado…por ende, y son suplementarios.

TEOREMA 19

Dos ángulos obtusos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son iguales.

Demostración:

Prolonguemos MN hasta formar el

K = …(1)……..teorema 17(por ser agudos y tener sus lados perpendiculares) + K = 2R…..(2)…. Por ser adyacentes

+ = 2R ……(3)… Por ser adyacentes

Hipótesis:

QPTS 90°

QRTK > 90

Tesis:

+ = 180°

P

R Q

T

K

S

Hipótesis:

QPTN > 90°

QRMN > 90

Tesis:

=

Q

P

R

T

M

N


mapb

52

52


+ K = + ….(4)


+ K = + K. Entonces: = …simplificando….demostrado.

EJEMPLO

EJERCICIO

Para cada figura, halle los ángulos indicados:

GD//K y GR//QM//DN

.?3.?2

.?1.?4

45°

3 2 1

G Q

K

R M

N

D

4

Solución:

4 = Q = 45°. Por tener sus lados paralelos y dirigidos

en el mismo sentido o correspondientes.

Q = 2 = 45°. Por ser correspondientes. GD//K

1 + 2 = 180°. Por ser suplementarios

1 = 180° 2 = 180° 45° = 135°. 1 = 135°.

2 + 3 = 180°. Por ser colaterales externos 3 = 180° 2 = 180° 45° = 135°. 3 = 135°.

De donde:

2 =4 = 45° y 1 = 3 = 135°.

Léase: De donde

45° Q

K

M

N

N//K y M//Q

= ?. = ?

=? M

Q

N D

K

P

32° =?

M//K y P//Q

DM y QN

= ?. = ?

PQ//PR, PK//QR, N//QR y M//PQ

= ?. = ?. =?

P Q

K R

M

N

50°

P//R//N. MD, KP, QN y FE

= ?. =?

3x

P

Q

K

R

M

N

F

D

x

E


mapb

53

53

K

125°

Q

M

N

NK y MQ

= ? P//N y K//M. RN y QM

= ?. =?

55°

P

Q

K

R

M

N

R // N y M // K. = ?. = ?

K

50°

R M N

60° 70°

M // N y K // R. = ?. = ?

K R

M N

x

252 x 5x

Q

P

R = ?

x

x3

= ?

P // Q, M // N, G M, F P, K Q y T N.

= ?. = ?

K

P

M N

140° T

G

F

Q

P // Q // K // G, M Q y N R.

R es la bisectriz D. = ?. = ?

K

P

M N

403

20x

102x

G

R

Q

D


mapb

54

54



a) Por un punto exterior a una recta se pueden trazar dos paralelas a dicha recta .

b) Los ángulos cuyos lados son paralelos y dirigidos en cualquier sentido son

iguales .

c) La distancia más corta de un punto a una recta, es la oblicua trazada desde el

punto a la recta .

d) Los ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares no son iguales .

e) Por un punto exterior a una recta se pueden trazar varias perpendiculares a

dicha recta .

f) Los ángulos correspondientes entre paralelas no son iguales .

g) Los ángulos alternos internos entre paralelas no son congruentes .

2. Para cada figura, halle los ángulos indicados:

P//R//N. MD, KP, QN y FE

= ?. =?

3

2 x

P

Q

K

R

M

N

F

D

x2

E

P//Q y K//M, DM y QN

= ?. = ?

= ?

M

Q

N

D

K

P

= ?

110°


mapb

55

55

TRIÁNGULO

Polígono que tiene tres ángulos, tres lados y tres vértices.

PQR, léase: triángulo PQR

CLASES DE TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS

TRIÁNGULO ISÓSCELES

Tiene dos lados iguales.

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

Tiene sus tres lados iguales.

TRIÁNGULO ESCALENO

Tiene sus tres lados desiguales.

P Q

R Ángulo

Vértice

Lado

R Q

K

KR = KQ = RQ.

También: RQK = KRQ = RKQ

RQK

PR = QR. También: QPR = PQR

PQR es isósceles. Los QPR y PQR, reciben el nombre de ángulos de la base.

, indica igualdad

P Q

R

PR QR PQ. También: P Q R

PQR es escaleno

R

Q P


mapb

56

56

CLASES DE TRIÁNGULOS SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

Tiene sus ángulos agudos, o sea, que miden menos de 90°.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Tiene un ángulo recto, o sea, que mide 90°.

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

Tiene un ángulo obtuso, o sea, que mide más de 90°.

TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Son aquellos que no tienen ningún ángulo recto.

P Q

R

P 90°. Q 90°. R 90°

PRQ es acutángulo

P Q

R

Q > 90°. PRQ es obtusángulo

P K

M

R = 90°. PRQ es rectángulo

, muestra la ubicación del ángulo recto.

Hipotenusa

Cateto

Cateto

P

Q R

90°


mapb

57

57

RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO

MEDIANA: Segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.

ALTURA: Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación.

BISECTRIZ: Segmento que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

MEDIATRIZ: Es la perpendicular en el punto medio de cada lado.

INCENTRO: Punto donde se cortan o

intersectan las bisectrices

B Q

R

M

K N

1 2

3 4

5 6 1 = 2

3 = 4

5 = 6

QK

BN

MR Son bisectrices

CIRCUNCENTRO: Punto donde se cortan las

mediatrices

P Q

D

H

R K PR = RD

DK = KQ

PH = HQ

R

K

H Son mediatrices

BK = KR QK

BM = MQ BN

RN = NQ RM

Son medianas

BARICENTRO: Punto donde se cortan o

intersectan las medianas

B Q

R

M

K N

h1

h2

h3

h1 h2

h3

h1, h2 y h3…son las alturas

ORTOCENTRO: Punto donde

se cortan las alturas

P Q

R

h1

h2

h3


mapb

58

58

EJERCICIO

Dada la figura:

TEOREMA 20

La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180° (dos ángulos rectos)

Demostración:

Por M tracemos K //PQ, formándose los ángulos 1 y 2.

1 + 2 + M = 180°…(1)…ángulos consecutivos a un mismo lado de una recta.

Pero:

K//PQ , PM y QM son secantes, entonces:

1 = P…(2)….ángulos alternos internos

2 = Q…(3)….ángulos alternos internos


P + Q + M = 180° = 2R…..demostrado.

Hipótesis: P, Q y M son interiores del PQM

Tesis:

P + Q + M = 180° = 2R

2

P Q

M

1

K

ES = Mediatriz

N = Mediana de TD

KR = Bisectriz del PKD

TQ = Altura sobre PD

KD = PK

ND = MN = DM

Identifique:

a). Los ángulos y las líneas congruentes.

b). Los triángulos según la medida de sus lados y

sus ángulos.

P Q

R

K

N

D

T

S

M

E

Identifique: El número de triángulos

formados.

P

Q

R K

D

N M

S T E


mapb

59

59

COROLARIO 4: La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un

Recto (90°).

Demostración:

P + Q + K = 180° …(1)…..teorema 20.

Pero: K = 90°…(2) por se PQK rectángulo en K.

Reemplazando (2) en (1):

P + Q + 90° = 180°

P + Q = 90° = R……demostrado…...transponiendo y simplificando.

ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO

TEOREMA 21.

La suma de los ángulos exteriores de un triángulo vale cuatro rectos(360°).

Demostración:

1 + K = 2R…..adyacentes

2 + P = 2R……?

3 + Q = 2R…..?


1 + 2 + 3 + K + P + Q = 6R…(1)

1, 2 y 3 son exteriores

al PQK

P

Q K

1

2

3

Hipótesis:

Los 1, 2 y 3 son

exteriores al PQK

Tesis:

1 + 2 + 3 = 4R(360°)

P

Q K

1

2

3

Hipótesis:

PQK es rectángulo

P y Q son agudos

Tesis:

P + Q = R = 90° 90°

P

Q K

R = Ángulo recto


mapb

60

60

Pero:

K + P + Q = 2R….(2)…..?


1 + 2 + 3 + 2R = 6R

1 + 2 + 3 = 6R 2R…..?

1 + 2 + 3 = 4R……?.........demostrado.

TEOREMA 22

Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

Demostración:

K + P + Q = 2R….(1)…..?

+ Q = 2R….(2)…..?


+ Q = K + P + Q

= K + P ……?.......demostrado.

TRIÁNGULOS CONGRUENTES O IGUALES

Dos triángulos son congruentes o iguales si al superponerlos, todos sus puntos coinciden.

Hipótesis:

En el PQK , el es exterior,

P y K son no adyacentes al

Tesis:

= P + K

P

Q K

P

Q K

P|

Q|

K|

P

Q K

P|

Q|

K|

Superponiendo el PQK sobre el p|Q

|K

|:

K = K|, P = P

| y Q = Q

|.

KP = K|P

|, KQ = K

|Q

| y PQ = P

|Q

|

PQK = P|Q

|K

|, léase: triángulo PQK es igual al triángulo P

|Q

|K

|

PQK P|Q

|K

|, léase: triángulo PQK es congruente con el triángulo P

|Q

|K

|


mapb

61

61

CASOS DE IGUALDAD O CONGURENCIA DE TRIÁNGULOS

CASO 1. ALA(Ángulo, Lado, Ángulo): Dos ángulos iguales y el lado adyacente a estos

iguales.

CASO 2. LAL (Lado, Ángulo, Lado): Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales.

CASO 3. LLL(Lado, Lado, Lado): Los tres lado iguales.

K = K| y Q = Q

|

KQ = K|Q

| PQK = P

|Q

|K

| . PQK P

|Q

|K

|

P|

Q|

K|

P

Q K

K = K|

KQ = K|Q

| y KP = K

|P

| PQK = P

|Q

|K

| . PQK P

|Q

|K

|

P

Q K

P|

Q|

K|

P

Q K

QP = Q|P

| , KQ = K

|Q

| y KP = K

|P

|

PQK = P|Q

|K

| . PQK P

|Q

|K

|

P|

Q|

K|


mapb

62

62

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD O CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1. En dos triángulos iguales, a ángulos iguales se oponen lados iguales.

Q = Q| PK = P

|K

|

2. En todo triángulo, un lado es menor que las suma de los otros dos.

En el PQK:

PQ PK + KQ…..T1(envolvente y envuelta). Si al escoger una terna de números que represente

los lados de un triángulo, no se cumple está propiedad, este triángulo sería imposible de construir;

debido, a que nunca se cerraría. Es el caso del triángulo cuyos lados miden: 1, 2 y 3. Encuentre 4

ternas de números asociados a los lados de un triángulo, que imposibiliten la construcción.

Realice las gráficas.

4. En un triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa

En el PQK:

PK KQ Q P

5. La altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también mediana y

bisectriz.

6. En todo triángulo equilátero, la altura correspondiente a cada lado, es mediana,

bisectriz y mediatriz.

DB = BK. D = K

DBE KBE. h = altura

BE = mediana y bisectriz

B

D K

h

E

En el PQK, rectángulo:

PQ = PK = QK.

h es la altura correspondiente al lado PQ, además

divide a PQ en dos partes iguales PD = QD

h divide el PKQ en dos ángulos congruentes:

PKD QKD

D P Q

K

h

Q = Q| , K = K

| y P = P

|

QK = Q|K

|, QP = Q

|P

| y PK = P

|K

|,

PQK = P|Q

|K

| . PQK P

|Q

|K

|

P Q

K

P|

Q|

K|


mapb

63

63

IGUALDAD DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

CASO 1: La hipotenusa y un ángulo agudo igual.

CASO 2: Un cateto y el ángulo adyacente iguales.

CASO 3: Un cateto y el ángulo opuesto.

CASO 4: Los dos catetos iguales.

CASO 5: La hipotenusa y un cateto.

B| K

|

E|

BK = B|K

|. K = K

| . B = B

|

BEK = B|E

|K

| . BEK B

|E

|K

|

B K

E

B K

E

B| K

|

E|

EK = E

|K

|. K = K

| B = B

|

BEK = B|E

|K

| . BEK B

|E

|K

|

BE = B|E

|. K = K

| . B = B

|

BEK = B|E

|K

| . BEK B

|E

|K

|

B K

E

B| K

|

E|

BE = B|E

|. BK = BK

| . B = B

|

BEK = B|E

|K

| . BEK B

|E

|K

|

B K

E

B| K

|

E|

BE = B|E

|. EK = E

|K

| . B = B

|

BEK = B|E

|K

| . BEK B

|E

|K

|

B K

E

B| K

|

E|


mapb

64

64

TEOREMA 23

En todo triángulo rectángulo 30°, 60° y 90°, la medida del lado opuesto al ángulo de 30° es la

mitad de la hipotenusa.

Demostración:

Por P tracemos la mediana PK correspondiente a la hipotenusa y completemos el rectángulo.

En el rectángulo PQDR:

PD = QR: En todo rectángulo, las diagonales son iguales

K es el punto medio donde las diagonales PD y QR se bisecan (se dividen en dos partes iguales)

Entonces:

KR = QK = PK = KD…..(1)

El PKR es isósceles, por ser: PK = KR.

Luego:

RPK = PRK = 60°….(2)

Pero:

RPK + PRK + PKR = 180°….(3)….Suma ángulos interiores triángulo.


60°+ 60° + PKR = 180° PKR = 60°

PKR es equilátero

Luego:

PR = PK = KQ…(4) ….Por se lados de triángulos equiláteros.

Pero:

RK + KQ = QR….(5)….Suma de segmentos.

demostradoQR

PRQRPRQRPRPR

endoSustituyen

....2

2

:)5()4(

Hipótesis:

El PQR rectángulo es 30°, 60 y 90°:

QR es la hipotenusa

Q = 30°, es agudo y PR es su lado

opuesto

Tesis:

2

QRPR

P Q

R D

K

30°

60°

60°

60°


mapb

65

65

EJEMPLO 1.

Dada la figura, realicemos el cálculo indicado.

Debido a que el triángulo XYR es 30°, 60° y 90°, por el teorema 23( el lado opuesto al ángulo de

30° es la mitad de la hipotenusa), entonces:

EJEMPLO 2.

EJEMPLO 3.

Como el PKD DQR y el PKN QRM. O sea: PKD = DQR y el PKN = QRM

Pero:

PND = PNK + PKD PND = PNK + DQR…..(1)

QDM = DQR + QMR QDM = PKN + DQR ….(2)

Comparando (1) y (2) se tiene que:

PND = QDM.

Esto implica que: ND = DM, por ende PQ biseca a MN, porque la divide en dos partes iguales

exigidocálculoelesestery

aopuestocatetoyhipotenusar

16,9232,18

2

30.32,18

30°

r = 18,32

y = ?

X

Y R

Solución

En el triángulo XYR:

Y = 30° y R = 90° .

Como X + Y = 90°…complementarios

Entonces: X = 90° Y = 90° 30° = 60°

Luego: XYR es 30°, 60° y 90°

Solución

En el triángulo:

115° es exterior y los 80° y son no adyacentes,

entonces:

115° = 80° + = 115° 80° = 35° = 35°

Pero:

115° + = 180° = 180° 115° = 65° = 65°

= ?. = ?

80°

115°

Solución:

En los PKD y DQR:

PD = DQ y KD = DR….dados.

1= 2 …opuestos por el vértice

PKD DQR…..caso LAL.

Luego:

PK = QR y 3 = 4. Además los PKN y QRM

son rectángulo, entonces: PKN QRM

PNMN, QMMN , KD = DR,

PD = DQ y MN PQ

Demostremos que:

PKD DQR

PQ biseca MN

P

Q

R D K N

M 1

2 3

4


mapb

66

66

EJEMPLO 4.

Solución:

PQR es equilátero, entonces, todos sus ángulos interiores miden 60° cada uno, la gráfica

muestra que

2 = 4. Si esto es a si, PK es la bisectriz del ángulo P. O sea: 2 = 4 = 30°. Como el

Q = 60°, luego, = 90°, porque la suma de los ángulos internos del triángulo PQD

suman 180°. Esto nos muestra que el triángulo PQD es rectángulo y además, es 30°, 60° y

90°.

Pero en un triángulo equilátero, la bisectriz también es mediana, esto muestra que el lado

2

PQDRQD .

En el punto R:

602

120120218060 .

Pero = = 90°….opuestos por el vértice, de donde el triángulo DKR es 30°,60° y 90°,

siendo el valor de y (hipotenusa) igual al doble del cateto que se opone al ángulo de 30°,

entonces: PQPQ

DRy 2

22

El lado y es igual a uno de los lados del triángulo.

EJERCICIOS

1. Construye:

a Un triángulo equilátero de 7cm de lado y determine la amplitud de sus

ángulos.

b Un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 10m y determine la

amplitud de los ángulos de la base.

c Un triángulo obtusángulo de 13cm, 7,5cm y 8cm de lado y determine la

amplitud de sus ángulos.

d Un triángulo cuyos catetos midan 7m y 4m y determine la amplitud de sus

ángulos e hipotenusa.

P

Q

R

K

D

60°

30°

30° 2 4 60°

30°

y30°

El PQR es equilátero.

Hallemos los valores de y de y


mapb

67

67

2. Para cada figura, halle la información solicitada:

NDPQ, KRPQ , MK = MD

NQ = PR y RN PQ

Demuestre que:

PQ biseca NR

DNM MKR y QNM MPR

P

Q

R

D

K

N

M

329

y = ?

60°

65° 30°

= ?. = ?

P Q

R

D

1

2

3

4

QR = QD y PR = PD.

Demuestre que: QRP QPD

4x

23x

3x

P Q

R

R =?. Q =?. P =?

8,32cm r = ?

30°

DRPD, DRRQ ,

1 = 2 = x/2 y P = x

Demuestre que: DRP QRD

3 =? y 4 =?

3 4

P Q

R D 1 2

K

DQ//RK, DK//RQ, QD = RK

Demuestre que: QDK QRK

Q

R

D

K

1 2

3 4

El PQD es isósceles R y K son

los puntos medios de PQ y QD:

Demuestre que: PE = ED, RE =

EK y 3 = 4

P

Q

R

D

E

K

3 4

Identifique: Los triángulos

semejantes.

P

Q

R K

D

N M

S T E

El MQR es equilátero.

Hallemos los valores de y de k

M Q

R

60°

k30°


mapb

68

68

POLÍGONO

Figura geométrica que tiene varios lados.

ELEMENTOS DE UN POLÍGONO

Un polígono es regular, si y sólo si todos sus lados son iguales (tienen la misma longitud)

K

K

K

K

K

K

En este polígono todos

los lados valen K

Ángulo exterior: 2, 4, 6 y 8

Ángulo interior: 1, 3, 5 y 7

Vértices, los puntos: P, K, M y Q

Lados, los segmentos: PK, KM, MQ y QP

Ángulo interior

Vértice Lado

Ángulo exterior

P

Q

3 K

1 2

4

M 6

7

8

5

El polígono PQRKMNDE es convexo, porque

está formado por líneas poligonales convexas.

Al unir cualesquiera de sus puntos, el

segmento de recta queda totalmente contenido

en la figura Como se puede observar, los segmentos de rectas

discontinuos, están totalmente en el interior del

polígono

P Q

R

K

E

D

N M

P

Q

R

K

D

N

M

El polígono PKRQMDN es cóncavo, porque está formado por líneas poligonales

cóncavas. Al unir cualesquiera de sus

puntos, el segmento de recta no queda

totalmente contenido en la figura Como se puede observar, los segmentos de

rectas discontinuos, no están totalmente en el

interior del polígono


mapb

69

69

PRINCIPALES CLASES DE POLÍGONOS REGULARES

Figura

Lados

Nombre

Diagonales

desde un

vértice

Total de

diagonales

Suma

ángulos

interiores

Valor de

un ángulo

interior

Valor de

un ángulo

exterior

3

Triángulo

equilátero

0

0

180°

60°

120°

4

Cuadrado

1

2

360°

90°

90°

5

Petntágono

2

5

540°

108°

72°

6

Hexágono

3

9

720°

120°

60°

7

Heptágono

4

14

900°

128,57°

51,42°

8

Octágono

5

20

1080°

135°

45°

9

Eneágono

6

27

1260°

140°

40°

10

Decágono

7

35

1440°

144°

36°

11

Undecágono

8

44

1620°

147,270°

32,72°

12

Dodecágono

9

54

1800°

150°

30°

15

Pentedecágono

12

90

2340°

156°

24°

20

Icoságono

17

170

3240°

162°

18°

Los demás polígonos reciben el nombre según el número de lados que poseen.

Ejemplo: Polígono de 23 lados, polígono de 50 lados, polígono de 100 lados, etc.


mapb

70

70

DIAGONAL DE UN POLÍGONO

Es el segmento que une dos vértices no consecutivos.

Este polígono tiene 6 lados y como se puede observar desde el vértice P solo se puede trazar

3 diagonales. Si hace lo mismo desde cada vértice, se puede comprobar que solo es posible

trazar 3 diagonales.

Permite determinar el número de diagonales que se pueden trazar

desde un vértice.

. Total de diagonales que se pueden trazar en un polígono.

. Suma de los ángulos interiores de un polígono.

. Valor de un ángulo interior.

. Suma de los ángulos exteriores de un polígono.

. Valor de un ángulo exterior.

Estas expresiones son válidas únicamente para los polígonos regulares EJEMPLO

Hallemos el polígono cuya suma de los ángulos interiores vale 3240°. Además,

determinemos: Las diagonales que se pueden trazar desde un vértice, el valor de un ángulo

exterior, el valor de un ángulo interior y el número total de diagonales.

Solución:

El icoságono es el polígono de 20 lados

Diagonales desde un vértice:

Total de diagonales:

3.nd :exp resiónLa

polígonodelladosdeNúmerovérticeundesdeDiagonales nd .

2

3)n(nD

2)(n1802)2R(nSi

n

2)(n180

n

2)2R(ni

90. R4RSe

n

4Re

lados20180

3603240n360n18032402)(n1803240

:entonces2),(n1802)2R(n:Pero.3240 SS ii

173203 nd

1702

340

2

)17(20

2

)320(20

2

)3(

nnD

P Q

K

R N

M

En el polígono PQRKMN:

P, Q, R, K, M y N son vértices

P y R , P y K, P y M son vértices no

consecutivos

PR, PK y PM son diagonales, Para trazarlas

se puede tomar cualquier vértice como punto

de partida.


mapb

71

71

Valor de un ángulo interior:

Valor de un ángulo exterior:

EJERCICIO

Complete el siguiente cuadro, haciendo uso de la información suministrada.

Polígono

Diagonales

desde un

vértice

Total de

diagonales

Suma

ángulos

interiores

Valor de

un ángulo

exterior

Valor de

un

ángulo

interior

1800°

50°

30

9

44

100°

CUADRILÁTEROS

Los siguientes polígonos son cuadriláteros:

¿Cuántos lados tiene cada polígono?. La respuesta define cuadriláteros…

16220

3240

20

)18(180

20

)220(180)2(180

n

ni

1820

360360

ne


mapb

72

72

CLASES DE CUADRILÁTEROS

FIGURA

NOMBRE

CARACTERÍSTICAS

Paralelogramo

Sus lados opuestos son paralelos

K//R y P//Q

Rectángulo

Paralelogramo que tiene sus lados

opuestos paralelos e iguales dos a dos.

Además, sus ángulos interiores son

iguales y cada una vale 90°

P = Q =K = R = 90°

Cuadrado

Paralelogramo que tiene sus cuatro

lados y sus cuatro ángulos iguales.

Además, cada una vale 90°

Rombo

Tiene sus cuatro lados iguales y los

ángulos contiguos desiguales

PK = KR = RQ = QP

P K. Además, son consecutivos

Romboide

Tiene los lados y los ángulos

contiguos desiguales

PQ QR y P Q

Trapecio

Solo tiene un par de lados paralelos

P//Q y R no es paralelo K

Trapecio Rectángulo

Tiene dos ángulos rectos

PR//QK

P = Q = 90°

Trapecio Isósceles

Tiene los lados no paralelos iguales

K = R

Trapecio Escaleno

No es rectángulo ni isósceles

Trapezoide

No hay paralelismo de ninguna forma

P

Q

R K

P

Q

R K

P Q

R K

P

Q

R

K

P

Q

R

K

P

Q

R

K

P

Q

R K


mapb

73

73

ELEMENTOS DE UN TRAPECIO

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS

1. Todo paralelogramo tiene sus lados opuestos paralelos

PQ//MR PQ = MR

PM//QR PM = QR.

2. Todo paralelogramo tiene sus ángulos opuestos iguales

MPQ es opuesto al QRM MPQ = QRM

PMR es opuesto al PQR PMR = PQR

Además, la suma de ellos es 360°

MPQ + QRM + PMR + PQR = 360°.

3. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios

MPQ y PQR son consecutivos: MPQ + PQR = 180°.

4. Las diagonales se dividen mutuamente en partes iguales(bisecan)

PR y QM son las diagonales:

MK = KQ MK + KQ = QM

PK = KR PK + KR = QR.

5. Los triángulos que forman las diagonales son congruentes dos a dos

PKM QKR y PKQ MKR.

En el trapecio PQRK:

PQ = base mayor. KR = base menor

KD = altura

PK = diagonal

P Q

R K

D

Altura

Base mayor

Base menor

P Q

R

K

M


mapb

74

74



a) Los triángulos que tienen dos lados iguales son equiláteros .

b) Los triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo igual son conggruentes

.

c) El punto donde se cortan las alturas de un triángulo se llama ortocentro .

d) Los triángulos que tienen sus tres lados iguales no son congruentes .

e) Los triángulos rectángulos tienen un ángulo obtuso .

f) Las diagonales de todo paralelogramo se bisecan(se dividen mutuamente en

partes iguales) .

g) El triángulo equilátero es aquel que tiene sus lados desiguales .

h) El lado más largo de un triángulo rectángulo se llama cateto .

i) En triángulo se pueden trazar cuatro bisectrices .

j) En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores vale 170° .

k) Los polígonos regulares tienen sus lados iguales .

l) En todo triángulo equilátero, la altura correpondiente a cada lado es mediana,

bisectriz y mediatriz .

m) El polígono que desde un vértice se pueden trazar 7 diagonales sellama

dodecágono .


.

.

.

.

.

.

3. Dada la siguiente figura.

MN

HTDE

KS //

PQ

DSK //

AB FEORQK

Qm BA

PIOPQR CATONU

NE = Mediatriz

R = Mediana de MS

QT = Bisectriz del MQP

DS = Altura sobre MP

MQ = PQ

KR = MR = KM

P

Q

R

K

N

D

T

S

M

E

Identifique:

a) Los ángulos y las líneas congruentes.

b) Los triángulos según las medidas de su ángulos y sus lados.


mapb

75

75

4.

a) Halle el polígono cuya suma de diagonales es 90.

b) Halle el valor del ángulo exterior e interior de un icoságono.

c) Halle el polígono que desde un vértice se pueden trazar nueve diagonales.

5. Para cada figura, halle la información exigida:

60°

30°

234

43,8

y = ? r = ?

P = ? Q = R = ?

P

2x

43x

3x

Q

R

= ? = ?

110°

50°

El triángulo PQR es equilátero.

Demuestre que al trazar las alturas correspondientes

a cada lado, se forman tres triángulos isósceles.

P Q

R RKPN, MQPN

PNQR.

PR = QN y KE = ME

Demuestre que:

PRENQE

PN biseca a QR

P

Q

R

M

K

N

E


mapb

76

76

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UN NÚMERO DE PARTES IGUALES

Dividamos el segmento PQ en 9 partes iguales.

EJERCICIO

Divida cada segmento en el número de partes indicadas:

RAZÓN DE SEGMENTOS

Consideremos los siguientes segmentos:

La razón entre dos segmentos, se expresa por medio(a través) de una división indicada

9.....9

....9

sobrePQdecocientealequivaledivisiónCadaXdespejandoPQ

X

segmentodesumaXPQ

inversaRazónPQ

KDesPQyKDentrerazónLa

KD

PQ

u

u

KD

PQ

esKDyPQentreLarazón

uKDyuPQ

......4

7:.

7

4

7

4

:

74

KDaesPQLéase

uenteConKD

eAntecedentPQrazóntodayestadeElementos

KD

PQ

:

...sec

...)(.

Tracemos el segmento PQ

A partir de uno de los extremos de PQ,

tracemos un segmento oblicuo(PD)

Sobre PD, tomemos 9 divisiones de K

longitud

Unamos la última medida con el otro

extremo de PQ. Luego, tracemos

segmentos paralelos al primero y que

corten cada división

Denominemos X cada división que se

forma en PQ

P Q 1

2 3

4 5

6 7

8 9

K K

K K

K K

K K

K

X X X X X X X X X

D

P Q Dividir en 12 partes iguales

R S

RS = 20m. Dividir en 7 partes iguales

M

P

Dividir en 5

partes iguales

P Q

u u u u

K D

u u u u u u u

Las expresiones:

Indican lo mismo: La razón entre dos segmentos o elementos

KD

PQyPQPQKDPQ aes :,


mapb

77

77

SEGMENTOS PROPORCIONALES

Dos o más segmentos son proporcionales si y solo si sus razones son iguales.


. Esta es una proporción o iguladad entre dos razones.

. Los elementos de esta (y toda) proporción son:

. Lésae: PQ es QR como MN es NK.

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

PROPIEDADA FUNDAMENTAL: En toda proporción, el producto de extremos es igual al producto

de medios.

…..Multiplicando en cruz.

OTRAS PROPIEDADES:

. Enúnciela…

. Enúnciela…

)2.....(2

1

2

1

16

8).1.....(

2

1

2

1

8

4

NK

MN

NK

MN

QR

PQ

QR

PQ

NK

MN

QR

PQ

NK

MN

QR

PQ

Medios

Extremos

uentesCon

esAntecedent

MNyQR

NKyPQ

NKyQR

MNyPQ

sec

NK

MN

QR

PQ

MNQRNKPQNK

MN

QR

PQ

NK

MN

QR

PQ

NKQR

MNPQ

NK

MN

QR

PQSí

NK

MN

QR

PQ

NKQR

MNPQ

NK

MN

QR

PQSí

NK

NKMN

QR

QRPQ

NK

MN

QR

PQSí

NK

NKMN

QR

QRPQ

NK

MN

QR

PQSí

P Q

4

R

8

K M N

16 8

Las expresiones:

Indican lo mismo: La proporción entre dos razones.

NK

MN

KR

PQyNKNKaesaes MNKRPQMNcomoKRPQ ::::,

Suma de antecedentes y consecuentes es

igual a cada antecedente y consecuente.

Resta de antecedentes y consecuentes es

igual a cada antecedente y consecuente.


mapb

78

78

EJEMPLO 1.

Dada la proporción , hallemos los valores de

Solución:

87

56

7

414

4

714

4

43

4

3

14

yyy

yx

y

x

yx

.681414 yx

EJEMPLO 2.

En la proporción , determinemos los valores de

Solución:

123

36

7

49

4

39

4

47

4

7

9

yyy

yx

y

x

yx

.211299 yx

EJEMPLO 3.

Dada la proporción , hallemos los valores de

EJEMPLO 4.

4

3

y

x14., yxSiyx

4

7

y

x9., yxSiyx

115

kt 8., ktSikt

21

21

21

21

5

22

5

:Re.588

22

5

16

58

11516

8

115115115

8

:

211

211

2

5

k

tspuestatk

tktktktkt

kt

Solución

kynHallemm

dondeDeknmknmknmknm

knm

Solución

kynmdevaloresloshallemosknmSi

:23

96

23

424

423

24

:127423

24

127412741274

1274

.

23

44

:

,,24.

Para cada ejemplo, identifique la

propiedad aplicada.

Para cada ejemplo, identifique la

propiedad aplicada.


mapb

79

79

EJEMPLO 5.

Andres Felipe reparte 200 marañones entre sus padres, en la proporción de 2 a 6.

¿Cuántos marañones le corresponde a cada uno?

Solución:

x Marañones para la madre. y Marañones para el padre

200yx Marañones a repartir.

Como la proporción es de 2 a 6, entonces:

150

8

1200

8

)6(200

6

8200

6

62

6

2y

yy

yx

y

x

50 150200200 yx . Respuestas:

padreelparamarañones

madrelaparamarañones

150

50 .

EJERCICIOS

1. Identifique las parejas de razones que forman proporción.

2. Para cada proporción, halle el valor de las variables(letras) según la información

suministrada.

3. En un almacén los artículos de tipo A y los de tipo B están en relación de 4:3. Si hay

448 artículos, ¿cuántos son de cada tipo?

4. Las edades de dos hermanos están en relación de 7 a 4. Si las edades suman 44años,

¿cuántos años tiene cada uno?

5. El dinero que poseen dos amigos están en relación de 3 a 2. Si uno de los amigos tiene

$400 más que el otro, ¿cuánto dinero posee cada uno?

CUARTA PROPORCIONAL

La cuarta proporcional de tres segmentos RyQP, es el segmento X , que hace que se cumpla la

propiedad fundamental de la proporciones. Esto es: X

R

Q

P

EJEMPLO

Hallemos la cuarta proporcional de los segmentos cuya longitudes miden: 10, 12 y 8.

Solución:

Sea X la cuarta proporcional de los segmentos 10, 12 y 8, entonces:

539

5

48

10

96

10

)8(128

12

10X

X

.8,12

8,0,

8

5,0.

5

3

20

,3

4.

5

25,

2

4.

2

1,

8

4.

20

16,

5

4.

5

4,

2

3

.40.5810

.10.43

.1.128

.14.2

7

myxSimyx

dnmSinm

c

kmSikm

byxSiy

xa


mapb

80

80

TERCERA PROPORCIONAL La tercera proporcional de dos segmentos QyP es el segmento X , que hace que se cumpla la

propiedad fundamental de la proporciones. Esto es: X

Q

Q

P

EJEMPLO

Hallemos la tercera proporcional de los segmentos cuya longitudes miden: 4 y 8.

Solución:

Sea X la tercera proporcional de los segmentos 4 y 8, entonces:

164

64

4

)8(88

8

4X

X

MEDIA PROPORCIONAL

La media proporcional de dos segmentos QyP es el segmento X , que hace que se cumpla la

propiedad fundamental de la proporciones. Esto es: QPXQPXQ

X

X

P

2

EJEMPLO

Hallemos la media proporcional de los segmentos cuya longitudes miden: 5 y 9.

Solución:

Sea X la media proporcional de los segmentos 5 y 9, entonces:

53 45959

5 2XX

X

X

164

64

4

)8(8

9

5X

X

X

SERIE DE RAZONES IGUALES

Si Y

X

K

R

Q

P . Entonces:

Y

X

K

R

Q

P

YKQ

XRP

…La suma de los antecedentes y todos los

consecuentes, es igual a cada antecedente y consecuente.

EJEMPLO

Si 12

9

8

6

4

3 es una serie de razones iguales, entonces:

12

9

8

6

4

3

24

18

12

9

8

6

4

3

1284

963

Si combinamos cada razón con la suma de antecedentes y consecuentes, en todos los casos se

cumple la propiedad fundamental de la proporciones. Compruébelo…


mapb

81

81

EJERCICIOS

1. Para cada terna de segmentos, halle la cuarta proporcional:

.1616,4.6,7.7,05,0;86,0.14,33;42,1.95,234

52 yyyyy

2. Para cada par de segmentos, halle la tercera proporcional:

.1664.5.5,086,0.14,32,4.9575

31 yyyyy

3. Para cada par de segmentos, halle la media proporcional:

.323.,4.7,086,0.14,32,4.10875

31 yyyyy

TEOREMA 24

Si varias paralelas determinan segmentos iguales en una de dos transversales, determinarán

segmentos iguales en la otra transversal.

Demostración:

Por los puntos A, B y C tracemos segmentos paralelos a S| y que corten la paralela siguiente:

AM , BN y CK son paralelas a S|

En los ABM, BCN y CKD:

AB = BC = CD…..por hipótesis

B = C = D….Por ser ángulos correspondientes.

A = CBN = DCK…

ABM = BCN = CKD….caso ALA

AM = BN = CK…(1)…Por ser lados homólogos de triángulos iguales.

Pero:

AM = A|B

|….Por ser lados opuestos de paralelogramos.

BN = B|C

|….

CK = C|D

|….

Sustituyendo estos valores en (1): A

|B

| = B

|C

| = C

|D

|…..demostrado.

A| , léase: A prima

Hipótesis:

AA|// BB|// CC|//DD|

S y S| son transversales

AB = BC = CD

Tesis: A|B| = B|C| = C|D|

M

N

K

S S|

A

C

D

A|

B|

C|

D|

B


mapb

82

82

TEOREMA 25. TEOREMA DE TALES

Si varias paralelas cortan a dos transversales, determinan en ellas segmentos correspondientes

proporcionales.

Demostración:

Dividamos los segmentos AB y BD en una unidad cualesquiera, digamos u.

Supongamos que AB contiene a u m veces, entonces:

umAB …(1)…Por construcción (división de un segmento en partes iguales).

Supongamos que BD contiene a u n veces, entonces:

unBD …(2)…Por construcción (división de un segmento en partes iguales).

Estableciendo la razón entre (1) y (2):

).3....(n

m

BD

AB

un

um

BD

AB

De igual forma: ||| umBA …(4)…Por construcción (división de un segmento en partes iguales).

||| unDB …(5)…Por construcción (división de un segmento en partes iguales).

Estableciendo la razón entre (4) y (5):

).6....(||

||

|

|

||

||

n

m

DB

BA

un

um

DB

BA


......||

||

demostradoDB

BA

BD

AB

u|

Hipótesis:

AA|// BB

|// DD

|

S y S| son transversales

AB y BD segmentos correspondientes de S

A|B

| y B

|D

| segmentos correspondientes de S

|

Tesis:

||

||

DB

BA

BD

AB

u u|

A

B

D

A|

B|

D|

S S|

u|

u|

u|

u|

u

u

u

u

u

u

u|


mapb

83

83

OBSERVACIÓN: El teorema de Tales se cumple o verifica para cualquier número de

paralelas y para cualquier posición de las transversales.

EJEMPLO

Dada la siguiente figura, hallemos el valor de los lados desconocidos:

TEOREMA 26

Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados, en segmentos

proporcionales.

||||||

||||

||

MD

DM

DB

BD

BA

AB

ó

MD

DM

DB

BA

BD

AB

A

B

D

A|

B|

D|

M M|

4 1,9

4,8

X = ?

L1//L2//L3//L4. S y T transversales

S

L1

T

L2 L3 L4

2,4

Y = ?

28,4

)4,2(44,2

4

8,4

28,24

)9,1(8.4

9,14

8,4

:4,2

9,14

8,4

:

YY

XX

dondeDeY

X

gráficalaDe

P Q

R

K M

D F

Hipótesis:

En el PQR, KM//PQ

Tesis:

MQ

RM

PK

RK


mapb

84

84

Demostración:

Por R tracemos DF//KM, entonces:

KM//PQ…(1)…por hipótesis

DF//KM…(2)…por construcción


PQ//KM//DF:

….Teorema de tales

COROLARIO

El segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralelo al tercer lado

e igual a su mitad.

Demostración:

Por K tracemos KD//PR, formándose el DKQ.

En los MKR y DKQ:

Q = 2…..por correspondientes

R = 3…..por correspondientes

RK = KQ…..por ser K punto medio de QR

Entonces:

MKR = DKQ….por el caso ALA (ángulo lado ángulo)

Pero:

MK = DQ…(1)….Lados correspondientes de triángulos iguales.

MK = PD…(2)…. Lados opuestos de paralelogramos.

MQ

RM

PK

RK

KQRKRQdemediopuntoKserporKQ

RK

MPRMPRdemediopuntoMserporMP

RM

:)..2...(1

:)..1...(1

demostradoPQMK

dadtransitiviporKQ

RK

MP

RM

yComparando

.....//

....

:)2()1(

Hipótesis:

En el PQR, M y K son los

puntos medios de PR y QR

Tesis:

MK//PQ

2

PQMK

P Q

R

M K

D

2

3


mapb

85

85

Sumando miembro a miembro (1) y (2):

MK +MK = PD + DQ

2MK = PD + DQ

TEOREMA 27

PROPIEDAD DE LA BISECTTRIZ DE UN TRIÁNGULO: La bisectriz de un ángulo interior de un

triángulo divide el lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.

Demostración:

Por Q tracemos QD//RK y prolonguemos PR hasta que corte QD en D, formándose el

QRD.

demostradoPQ

MK

endosustituyen

segmentosdesumaPQDQPDPero

DQPDMK

......2

:)3()4(

)...4...(:

)3....(2

1 2

3

P Q

R

K

D Hipótesis:

En el PQR:

RK es la bisectriz del R

PK y KQ son los segmentos

determinados por RK sobre PQ

Tesis:

RQ

PR

KQ

PK


mapb

86

86

En el PQD:

EJEMPLO

Los lados de un triángulo miden: 5, 10 y 15. Hallemos la longitud de los segmentos

determinados por la bisectriz sobre el lado mayor.

Solución:

Consideremos el PQR y la bisectriz sobre el lado(mayor) que mide 15.

RQ

PR

KQ

PK

enemplazando

RQRD

entoncesisóscelesesQRD

D

yComparando

ernosAlternos

Pero

D

yComparando

PRQdeltrizbiRKserpor

ientescorrespondporD

Pero

TalesTQDRKserporRD

PR

KQ

PK

:)1()6(Re

)6....(

:,

3

:)5()4(

int)....5.....(32

:

)4.....(2

:)3()2(

sec)....3......(21

)....2......(1

:

).(//)...1.......(

10515

::

:

.515

155

5

1515

5

51015

.....

:

KQPQPKPQKQPK

doSustituyenRQ

RQPR

KQ

PQPQKQPKPero

RQ

RQPR

KQ

KQPK

RQ

PR

KQ

PK

Pero

KQKQKQ

esproporcionlasdepropiedad

anteriorteoremaelPor

5

P Q

R

K

10

15

De la figura:

PR = 10

PQ = 15

QR = 5


mapb

87

87

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados

proporcionales.

LADOS HOMÓLOGOS: Son los lados que se oponen a ángulos iguales.

RAZÓN DE SEMEJANZA: Es la razón de los lados homólogos.

CARACTERES DE LA SEMEJANZA

TEOREMA 28

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA EXISTENCIA DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES(T.F.E..S): Toda paralela

a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.

||||||

||||||

||||||

:

27

14

4

8

5

10

,:

RQPtriánguloelconsemejantePQRTriánguloLéaseRQPPQR

QP

PQ

RQ

QR

RP

PR

RRyQQPPRQPyPQRlosEn

osósonQPyPQRR

osósonRPyPRQQ

osósonRQyQRPP

loghom

loghom

loghom

|||

|||

|||

|||||| QP

PQ

RQ

QR

RP

PR

?...:2

?...:2

...:1

||||||

||||||

ABCPQRABCRQPyRQPPQRTRANSITIVO

PQRRQPRQPPQRRECÍPROCO

mismoconsigosemejanteestriánguloTodoPQRPQRIDÉNTICO

P Q

R

8

14

10

P|

Q|

R|

4

7

5

Hipótesis:

En el PQR: MK //PQ

Tesis:

PQR MKR P

Q

R

M K

D


mapb

88

88

Demostración:

Por K tracemos KD//PR, formándose el triángulo KQD.

En los PQR y MKR:

R = R…..común

P = M….correspondientes

Q = K….correspondientes

Pero:

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

CASO 1. AA: Dos ángulos respectivamente iguales.

RQ

RK

PQ

MK

PR

RM

enemplazando

ramosparaledeopuestosladosPDMK

Pero

dadtransitiviRQ

RK

PQ

PD

PR

RM

yComparando

PRDKserporRQ

RK

PQ

PD

También

PQMKserporRQ

RK

PR

RM

:)3()4(Re

log)....4....(

:

)....3....(

:)2()1(

//)....2.......(

:

//)....1.......(

||||||

|||

|||||

:

:

QP

PQ

RQ

QR

RP

PRRQPPQRLuego

RRyPPRQPyPQRlosEn

Se ha demostrado que:

R = R

P = M

Q = K

PQR MKR

P Q

R

P|

Q|

R|


mapb

89

89

CASO 2: Si tienen un ángulo igual y los lados adyacentes al ángulo proporcionales.

En los

. Son lados adyacentes respectivamente

. Entiéndase PR proporcional a P|R

|

CASO 3: Si tienen sus tres lados proporcionales.

En los

TEOREMA 29. CASO 1

Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente iguales.

:||| RQPyPQR ||||,. QRyRPRQyPRRR

|||| QRRQyRPPR

||||||

||| :QP

PQ

RQ

QR

RP

PRRQPPQRLuego

:||| RQPyPQR |||||| , QRRQyQPPQRPPR

||||||

||| :QP

PQ

RQ

QR

RP

PRRQPPQRLuego

P Q

R

P|

Q|

R|

P Q

R

P|

Q|

R|

P|

Q|

R|

P Q

R

M K

Hipótesis: Tesis:

R = R| PQR P

|Q

|R

|

P = P|


mapb

90

90

Demostración:

En el PQR tracemos MR = P|R

| y MK//PQ, formándose el MKR.

En los MKR y P|Q

|R

|:

R = R|…..por hipótesis

MR = P|R

|…por construcción

P = M……(1)….por correspondientes

P = P|…….(2)….por hipótesis


M = P|, entonces:

MKR = P|Q

|R

|….(3)….caso ALA(ángulo lado ángulo)

Pero:

PQR MKR…..(4)…..T.F.E..S.

Sustituyendo (3) en (4): PQR P|Q

|R

|…..demostrado

TEOREMA 30. CASO 2

Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo

comprendido.

Demostración:

En el PQR tracemos MR = P|R


En los MKR y P|Q

|R

|:

R = R|…..por hipótesis

MR = P|R

|…(1)….por construcción

En los PQR y MKR:

)3....(

:)2()1(Re

//)...2....(

|| RK

RQ

RP

PR

enemplazando

PQMKserporRK

RQ

MR

PR

Hipótesis: Tesis:

R = R| PQR P

|Q

|R

|

||||

RQ

QR

RP

PR

P Q

R

M K P

| Q

|

R|


mapb

91

91

TEOREMA 31. CASO 3

Dos triángulos son semejantes cuando tienen proporcionales sus tres lados.

Demostración:

En el PQR, tracemos MR = P|R


PQR MKR….(1)…T.F.E. .S.

demostradoRQPPQR

endoSustituyen

SEFTMKRPQR

Pero

LALcasoRQPMKR

QRRKQRRQ

RQQRRK

QR

RQ

RK

RQ

yComparando

hipótesisporQR

RQ

RP

PR

Pero

.....

:)6()5(

.....).....6.....(

:

).....5.....(

:)4()3(

)....4.....(

:

|||

|||

||||||

||

||||

hipótesisporQP

PQ

RQ

QR

RP

PR

Pero

MK

PQ

RK

RQ

RP

PR

endoSustituyen

ónconstrucciporRPMR

Pero

porMK

PQ

RK

RQ

MR

PR

)...5...(

:

)4...(

:)2()3(

)...3....(

:

)1()....2....(

||||||

||

||

Hipótesis Tesis:

PQR P|Q

|R

|

||||||

QP

PQ

RQ

QR

RP

PR

P Q

R

M K

P|

Q|

R|


mapb

92

92

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

CASO 1: CUANDO TIENEN UN ÁNGULO AGUDO IGUAL

EJEMPLO

Dada la siguiente figura, demostremos que los triángulos rectángulos que se forman son

semejantes y realicemos el cálculo exigido:

demostradoRQPPQR

endoSustituyen

LLLcasoRQPMKR

Luego

MKQPcruzenandomultipplicMKPQQPPQQP

PQ

MK

PQ

razóncuartalaysegundalaTomando

RKRQcruzenandomultipplicRKQRRQQRRQ

QR

RK

QR

razónterceralayprimeralaTomando

QP

PQ

RQ

QR

MK

PQ

RK

QR

yComparando

.....

:)1()6(

)...6....(

:

....

:

....

:

:)5()4(

|||

|||

||||

||

||||

||

||||

||||||

|||

|

|

:loghom

QR

RQ

RP

PR

QP

PQ

osóladoslosentrealidadproporcionlandoEstablecie

RQPPQRRR

PP

P Q

R

P| Q

|

R|

10m

P

Q

R

M

K

5m 7m

PM PR y QR PR

QK = ?


mapb

93

93

Solución:

En la figura:

P = 90°, por ser PM PR. R = 90°, por ser QR PR. Pero: PKM = QKR , por

opuestos por el vértice. Luego: PKM QKR

Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos:

mm

mmKQ

KQ

m

KR

PK

m

m

KQ

MK

KR

PK

QR

PM14

5

7107

10

5

CASO 2: LOS CATETOS PROPORCIONALES

EJEMPLO

Dada la siguiente figura, demostremos que los triángulos rectángulos encuestión son

semejantes y establezcamos la proporcionalidad entre los lados homólogos.

Solución:

En la figura:

Q = Q = 90°….común para los PQR y MQK.

PQ es proporcional a MQ, por estar contenido en PQ. De igual forma: QR es proporcional

a QK

Luego: PQR MQK


QK

QR

MK

PR

MQ

PQ

||||||

|||

||||

|

:loghom

90

QR

RQ

RP

PR

QP

PQ


RQPPQRRPRyQPPQ

PP

P

P Q

R

P| Q

|

R|

P Q

R

M

K


mapb

94

94

CASO 3: LA HIPOTENUSA Y UN CATETO PROPORCIONALES

EJEMPLO

Dada la siguiente figura, demostremos que los triángulos rectángulos son semejantes y

establezcamos la proporcionalidad entre los lados homólogos.

Solución:

En la figura:

P = P = 90°….común para los QPR y MQK.

PQ es proporcional a MQ, por estar contenido en PQ. De igual forma: QR es proporcional

a QK

Luego: QPR MQK


QK

QR

MQ

PQ

MK

PR

||||||

|||

||||||||

|

:loghom

90

RP

PR

QP

PQ

RQ

QR


RQPPQRRPPRyRQQRóQPPQyRQQR

PP

P Q

R

P| Q

|

R|

P

R

Q M

K


mapb

95

95

PROPORCIONALIDAD DE LAS ALTURAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES

Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes son proporcionales a sus lados

Consideremos los siguientes triángulos:

.

1h Altura correspondiente al . 2h Altura correspondiente al .

Las alturas 21 hyh , dividen cada triángulo en dos triángulos rectángulo semejantes entre sí, y

semejantes a los triángulos rectángulos del otro triángulo. Estableciendo la proporcionalidad

entre los lados homólogos:

2

1

|||||| h

h

QP

PQ

RQ

QR

RP

PR

EJEMPLO 1.

Dados los siguientes triángulos semejantes y sus respectivas alturas, hallemos el valor del

dato pedido:

La semejanza de triángulos, es muy útil para determinar las dimensiones de un elemento grande a

partir de otro más pequeño, siempre y cuando, al unir los vértices del elemento pequeño(triángulo)

con los puntos extremos (muestran lo que se quiere medir) del elemento grande, se formen dos

triángulos semejantes entre sí.

cmcm

cmcmh

h

cm

cm

cm

gráficalaDe

Solución

36,310

6,566,5

6

10

:

2

2

h1

P Q

R

h2

P|

Q|

R|

10cm

5,6 h2 = ?

6cm


mapb

96

96

EJEMPLO 2. APLICACIÓN

Un vagabundo que desea medir la distancia de una estrella a la tierra, se ubica en un punto extremo

del planeta. Hace coincidir un triángulo rectángulo de dimensiones 5cm, 12cm y 13cm con la estrella

y el centro de la tierra. Grafique la situación presentada.

Halle la distancia aproximada de la estrella a la tierra.

Ayuda: Diámetro de la tierra = 12756Km.

SOLUCIÓN

15307,2km

00005,0

76535,0

00005,0

00012,0637800012,0

6378

00005,0

63782

12756.00012,012.00005,05:.

125

km

km

kmkmh

h

km

km

km

kmkm

rkmcmkmcmPeroh

cm

r

cm

La estrella se encuentra aproximadamente a 15307,2km del centro de la tierra.

Observando el triángulo rectángulo que se

forma al unir la estrella con el centro de la

tierra y el punto donde está ubicado el

vagabundo, y el triángulo rectángulo utilizado

por éste para mirar la estrella, notamos que

tienen dos ángulos iguales, siendo los mismos

semejantes, entonces estableciendo la

proporcionalidad entre los lados homólogos:

h

13cm

Diámetro =

12756Km

12cm

5cm

Gráfic

a

Posición del

vagabundo

r


mapb

97

97

EJERCICIO

Para cada figura, realice la demostración y el cálculo exigido:

PROBLEMAS

1. Para determinar la altura de un árbol, un hombre de 1,9m utiliza un triángulo rectángulo

cuyos catetos miden 30cm y 21cm. El hombre se ubica a 40m del pie del árbol, y hace

coincidir la hipotenusa y un cateto con la copa y el tronco del árbol.

Grafique la situación presentada y halle la altura aproximada del árbol.

2. Para determinar la profundidad de un lago, un hombre hace uso de un triángulo rectángulo de

dimensiones 37cm, 30cm y 21cm. El hombre se ubica a 70m de la orilla del lago en el punto

más profundo, y hace coincidir un cateto con la superficie y el fondo del lago.

Grafique la situación presentada y halle la profundidad del lago.

P Q

K

R

M

D

PQ // DK y MD // QR.

Demuestre que PMD DKR y

establezca la proporcionalidad entre

los lado homólogos

QR // KM.

Demuestre que PQR KPM

y esablezca la proporcionalidad

entre los lados homólogos

P

K

Q

R

M

PR // MK. MQ = 50cm. KQ = 21cm

MP = 23cm. KR = ?

P Q

R

M

K

QR // NK. PN = ?

P Q

R

N

K

4cm

20cm

16cm

P

Q

K

N

PR // QN. QN = 12cm. PR = 5cm

PK = 7cm.

Demuestre que KQN PKR

Halle el valor de KN

R

KQ // NR. KR = 30cm. RP = 23cm

NR = 10cm. KQ = ?

P

Q

N

K R

QR PR y PK PR

QR = 30cm. KP = 11cm. NP = 14cm.

RN = ?

P

Q

N

R

K


mapb

98

98

AUTOEVALUACIÓN NRO 4


.

.

.

.

.

2. Relacione cada figura con su nombre:

a) Punto geométrico. i) Ángulo llano.

b) Triángulo escaleno. j) Rectas paralelas.

c) Ángulo nulo. k) Triángulo equilátero.

d) Ángulo agudo. l) Ángulo recto.

e) Línea curva. m) Rectas perpendiculares.

f) Segmento. n) Semirrecta.

g) Triángulo rectángulo. o) Triángulo isóscele.

h) Línea cerrada mixta. p) Línea recta horizontal.

PQ MKRPQR

BA KS //

DKRMKN

QSM //

PQRABC

Qm

Q

K

P

M

B

R


mapb

99

99

3.

a) Halle la cuarta proporcional de los números:

b) Halle la tercera proporcional de los números:

c) Halle la media prporcional de los números:

d) Verifique si la siguiente pareja de razones forman una proprción:

e) Los lados de un triángulo miden: 8m, 14m y 20m. Halle los segmentos

determinados por la bisectriz de cada ángulo sobre su lado opuesto

f) Los lados de un triángulo miden: 10cm, 7cm y 12cm. Halle la altura

correspondiente a cada lado.


PROBLEMA

Desde un punto situado a 50m del pie de una montaña, un observador a línea los bordes de

una escuadra de dimensiones 30cm, 17cm y 35cm, con la cima de la montaña. Halle la

altura aproximada de la montaña.

71,214,3;7,0 y

9421 y

.2866,0.41,173,1.222 yyy

21

31

1

5,

4

3

L1

L4

L2

L3

5

4,6

9,2

4

X = ?

Y = ?

L1//L2//L3//L4

L1

L4

L2

L3

6,5 7

7

7

X = ?

Y = ?

L1//L2//L3//L4

P Q

K S

R

8,76

RK = PK. RS = SQ

PQ = ?

M

K

R

E

N

KM//RN. Demuestre que: KMEREN

D

P Q 30,8cm K

N

12,6cm

19,9m

PKNPQD. QD = ?

P

Q

K

R

N

PQ//NR

PK = 20cm. KN = 5cm.

QK = 10cm. KR = ?


mapb

100

100

PROYECCIÓN DE UNA FIGURA SOBRE UNA LÍNEA DE REFERENCIA

CLAVE: Se trazan perpendiculares desde los puntos o vértices de la figura a la recta de

referencia, finalmente, se unen los puntos proyectados.

Para cada triángulo, proyectemos dos de sus lados sobre el tercero. En este caso, sobre los

lados PQ y MN, respectivamente.

Para cada triángulo, realice la proyección sobre el lado indicado.

.?.Pr.?.Pr.?.Pr.?.Pr

:......Pr

.

||

|

ABoyecNGoyecRQoyecDMoyec

KaigualesKdeTFsobreproyecciónléaseKKoyec

TFsobreKdeproyecciónK

TFTFTFTF

TF

..Pr..Pr

..Pr..Pr

||

||

NKKNoyecPRPRoyec

MKMKoyecQRQRoyec

MNPQ

MNPQ

K

G|

D

M

R

Q N

A

G

B

D| K| M|

R| Q| N| A|, B|

Línea proyectante

T F

K

M N K| P

R

Q R|

G

M Q

B

Sobre MQ

Sobre FG R

F K

D

Sobre KD

N


mapb

101

101

TEOREMA 32

Si en un triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenussa, se verifica

que:

1. Los triángulos rectángulos resultantes son semejantes entre sí y semejantes al triángulo

dado.

2. La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos en

que se divide ésta.

3. La altura correspondiente a la hipotenusa es cuarta proporcional entre la hipotenusa y los

catetos.

4. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella

5. La razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de los segmentos que la altura

determina en la hipotenusa.

Tesis:

1. . 4. KQ

PQ

PQ

QRy

KR

PR

PR

QR

2. KQ

PK

PK

RK . 5.

KQ

KR

PQ

PR

2

2

)(

)(

3. PK

PQ

PR

RQ .

DEMOSTRACIONES:

1. En los .

. Entonces: ….(1)…tener un ángulo agudo igual.

En los .

. Entoces: ….(2)…tener un ángulo agudo igual.

Comparando (1) y (2): ….demostrado….transitividad.

2. Estableciendo la proporcionalidad entre los lados homólogos de los triángulos

:

KQ

PK

PK

RK ….demostrado.

Hipótesis

En el PQR, PK es la altura correspondiente

a la hipotenusa

K

R

Q P


mapb

102

102


:

PK

PQ

PR

QR ….demostrado.


:

KQ

PQ

PQ

QRy

KR

PR

PR

QR ….demostrado.

5. De la demostración 4:

)....(2

aKRQRPRKR

PR

PR

QR . Multiplicando en cruz:

)....(2

bKQQRPQKQ

PQ

PQ

QR . Multiplicando en cruz:

Dividiendo miembro a miembro (a) y (b):

KQ

KR

PQ

PR

KQQR

KRQR

PQ

PR

2

2

2

2

…..demostrado….Simplificando.

TEOREMA 33. TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma

de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Demostración:

En el triángulo rectángulo, tracemos la altura correspondiente a la hipotenusa,

formándose los triángulos rectángulos . Como cada cateto es media

proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella, por el teorema anterior:

)2.....().1.....(22

HKHK

QKQK

rqq

q

rrh

h

h

r


HKQK rrqh 22

.).....3....(22 rdofactorizanHKQKrqh

Pero: )4....(HKQKr

Hipótesis:

El HQR es rectángulo en R,

HQ = r

HR = q

QR = h

Tesis:

222 hqr

K

Q

R

h

q H

r


mapb

103

103


demostradoqhrrrqh .....22222 . De donde: 22 qhr

Despejando los catetos:

222 qrh . De donde: 22 qrh .

222 hrq . De donde: 22 hrq .

EJEMPLO 1.

Dado el siguiente triángulo, hallemos el valor del lado desconocido:

Entonces, aplicando Pitágoras: 222 )20()40( x

222 )20()40( x ….Despejando 2x . De donde: 22 )20()40( x ….Despejando x .

64,3412004001600 x ….Desarrollando potencias, restando y extrayendo raíz.

EJEMPLO 2.

Hallemos la llongitud de los lados del siguiente triángulo:

Entonces, aplicando Pitágoras: 222 )3()1()2( xxx

96124 222 xxxxx …..Desarrollando potencias.

096124 222 xxxxx …..Transponiendo términos e igualando a cero, ha nos

resultado una ecuación de segundo grado.

01082 2 xx …..Reduciendo términos semejantes.

0542 xx ….Dividiendo toda la expresión por 2, porque es posible.

0)1)(5( xx ….Resolviendo la ecuación por factorización.

101505 2211 xxyxx . Por ser una ecuación de segundo

grado, obtienen dos valores. Como ninguna longitud puede ser negativa, el valor de x que

nos sirve es el positivo, o sea, 5.

Entonces: .353.151.)5(22 8610 xxx

Los lados de este triángulo rectángulo miden: 6, 8 y 10.

Solución:

El triángulo que muestra la figura es rectángulo, y

en este caso se desconoce el valor de un cateto. 20 40

?x

Ojooo

Siempre se parte de

la hipotenusa

Solución:

Como se puede observar, las longitudes de

los lados de este triángulo vienen expresadas

por la variable x .

3x

1x

x2


mapb

104

104

EJEMPLO 3.

Demostremos que la diagonal de un ortoedro de dimensiones hba , viene dada por la

expresión: 2222 hbad .

Demostración:

En el triángulo rectángulo :

r Hipotenusa. bya Catetos. Aplicando Pitágoras:

22222 barbar

Ahora, en el triángulo rectángulo :

d Hipotenusa. hyr Catetos. Aplicando Pitágoras:

222 hrd . Sustituyendo 2r en esta ecuación:

222 hbad 2222 hbad …..demostrado

EJECICIO

Para cada figura, halle el valor de los lados desconocido.

r

a

b

h

22 bar

222 hbad

d

Arista

h

b

Q

P R

K

En el ortoedro de la figura, al trazar la

diagonal d , se debe trazar la diagonal r

de la base, porque para determinar la

longitud diagonal, primero hay que

calcular la diagonal de la base.

Las caras de un ortoedro son rectángulos

5cm

60°

n = ? 25m

k = ?

8x 1

4x

2x

Halle el valor de cada lado

8cm

r = ?

r = ?

30° n = ?

17

m

d = ? 10cm

30cm

40cm

d =?

En todo ortoedro o en un cubo, la diagonal es igual a la raíz cuadrada de la suma de los

cuadrados de las aristas


mapb

105

105

TEOREMA 34. GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los

cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de uno de estos lados por la

proyección del otro sobre él.

En el triángulo rectángulo: En el triángulo rectángulo:

.)...1.....(222 Pitágorasporhxb .)...2.....(222 Pitágorasporyqh

Pero: )3....(yrxryx ….Suma y sustracción de segmentos.

Sustituyendo (2) y (3) en (1): 2222 )( yqyrb .

22222 2 yqyryrb ….Desarrollando potencias.

ry2qrb 222 ….demostrado….reducciendo términos semejantes.

Este teorema es clave, para deducir el teorema o ley del COSENO

Hipótesis:

En el BQR, B es agudo

Proyec.BQ BR = BK = y

Tesis:

ryrqb 2222

q

B Q

h

K

b

x

R

y

r

4cm

r = ?

d = ?

8cm 6cm

10m

d = ?

De la figura:

x = 11, y = 6. h = ?

r = 10, p = 6. x = ?

r = 15, q = 10. y = ?

p = 4, q = 6, x = 4,5. y = ?

q

p h

Q

P R

r

x

y


mapb

106

106

TEOREMA 35. CUADRADO DEL LADO OPUESTO A UN ÁNGULO OBTUSO EN UN TRIÁNGULO

En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la

suma de los cuadrados de los otros dos lados, más el doble producto de uno de estos por la

proyección del otro sobre él.

En el rectángulo: En el rectángulo: 222 )( hxrq ….(1)….Pitágoras. 222 xbh ….(2)….Pitágoras.

Sustituyendo (2) en (1): 2222 )( xbxrq

22222 2 xbxrxrq …..Desarrollando potencias.

rxbrq 2222 …..demostrado.

CÁLCULO DE LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS

En el :

r

brqyryrqb

22

222222

…..(1)…..Despejando y .

En el rectángulo: 222 yqh …..(2)…..Pitágoras.


r

brqq

r

brqq

r

brqqh

222

2222222

22222 ….Factorizando.

r

brqqr

r

brqqrh

2

2

2

2 2222222

…..Sumando racionales.

r

rqrqb

r

brqrqh

2

)2(

2

)2( 2222222

…Agrupando los trinomios cuadrados

perfectos.

Hipótesis:

En el BQR, BQR es obtuso

Proyec.BQ b = x

Tesis:

rxrbq 2222 Q

B

h

K

b

x

R

q

r

En el BQR, h es la altura

correspondiente al lado r. La altura

h divide al BQR en dos

triángulos rectángulos: BKR

y QKR

q

B Q

h

K

b

x

R

y

r


mapb

107

107

r

rqb

r

brqh

2

)(

2

)( 22222

……Factorizando los trinomios.

2

2

4

))()()((

r

rqbrqbbrqbrqh

…….(3)……..Factorizando la diferencia de

cuadrados perfectos.

Pero:

prqb 2 ….(4)…..Semiperímetro. bprq 2 ….(5). rpqb 2 ….(6)

qprb 2 ….(7)

Sustituyendo (4), (5), (6) y (7) en (3):

22

2

4

)22)(22)(22(2

4

)2)(2)(2(2

r

qprpbpp

r

qqprrpbbpph

2

2

4

)(2)(2)(22

r

qprpbpph

….Factorizando por 2.

22

2 ))()((4

4

))()((16

r

qprpbpp

r

qprpbpph

…Multiplicando y simplificando.

))()((2

qprpbppr

h …..Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros.

q)r)(pb)(pp(pr

2h . Con esta expresión se cálcula la altura con respecto al lado r .

Para los lados qyb :

))()((2

qprpbppb

h . ))()((2

qprpbppq

h

EJEMPLO Dado el siguiente triángulo, hallemos la altura con respecto al lado mayor:

Solución:

drkcmkcmrcmd .14.12.5

.5,152

31

2

12514

22 cm

rdkpprdk

.....14

46,58

14

)23,29(243,854

14

2)5,10)(5,3)(5,1(5,15

14

2

)55,15)(125,15)(145,15(5,1514

2))()((

2

alturacmh

dprpkppk

h

4,17

h

r = 12cm

5cm = d

k = 14cm

K D

R

r

Altura con respecto a k


mapb

108

108

EJERCICIO

Para cada triángulo, halle la altura correspondiente a cada lado.

7cm

17cm

13cm

15m

12m

9m

8m

18m

14m


mapb

109

109

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Las siguientes figuras son circunferencia:

DEFINICIÓN

La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan(están a l misma

distancia) todos de otro punto llamado centro.

PUNTOS INTERIORES Y EXTERIORES DE UNA CIRCUNFERENCIA

Casi siempre, la circunferencia toma el nombre del

punto que ocupa la posición central y el radio. En

nuestro caso, hablamos de la circunferencia “O” y de

radio r.

En esta circunferencia:

OP = OQ = OR = r. Esto muestra, que los puntos

P, Q y R pertenecen a la circunferencia y están a la

misma distancia del centro R

P Q

r r

Centro O

r

El punto K es interior(está dentro) de la

circunferencia O. OK < r

El punto P es exterior(está fuera) de la

circunferencia O. OP > r

El punto Q pertenece(está) en la

circunferencia O. OQ = r

Exterior

Q

O

K

P

Interior

r


mapb

110

110

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

SEMICIRCUNFERENCIA: Cada una de las dos partes en que se divide una circunferencia.

En la circunferencia de la derecha:

RET ARCO: Porción(parte) de la circunferencia.

RT CUERDA: Segmento que une dos puntos de la…

OT RADIO: Segmento que une el centro de la circunferencia y un punto de la misma.

PQ DIÁMETRO: Cuerda que divide la circunferencia en dos partes iguales Cada parte se llama semicircunferencia

El diámetro es igual a dos radios: PQ = r + r = 2r

DN SECANTE: Recta que toca la circunferencia en dos puntos.

S TANGENTE: Recta que toca la circunferencia en un solo punto.

PQ Diámetro: Divide a O en dos

partes iguales

OPKQ Semicircunferencia

OPDQ Semicircunferencia

OPKQ + OPDQ = O

P

Q

O K D

P Q

T

N

R

D

O

S

E

r

r

r

Arco

D i á m e t r o

Secante

Cuerda

O

Tangente

Radio

r|

O| O

r

En las circunferencias O y O|:

r = r|. Esto muestra, que las

circunferencias en cuestión son

iguales.


mapb

111

111

CÁLCULOS IMPORTANTES SOBRE UNA CIRCUNFERENCIA

El número irracional (lésae: pí. = 3,141592654…) es una constante que se obtiene al

dividir la longitud(L) de la circunferencia entre el diámetro(d).

EJEMPLO

Calculemos el radio, el ángulo central y el perímetro de la siguiente circunferencia:

EJERCICIO

Para cada circunferencia, calcule el valor de los elementos desconocidos:

.d

L

500cm

9

5

5cm

2

3

2

25.9m

Solución:

d = 80m. S = 50m. r = ?. = ?

P = L?.

mmdrLP

rad

radm

m

r

SrS

mmd

r

328.251)80(1416.32

61,711416.3

18025,1

.25,140

50

.402

80

2

50m r

80m

d = Diámetro. r = Radio. S = Arco.

= Ángulo central (en radianes).

P = L = Perímetro o longitud de la circunferencia.

d = 2 r .

= 3,141592654…

drLPrSd

r 2..2

S r

d

ACTIVIDADES:

Identifica en tú entorno objetos que contengan circunferencias.

Describe el objeto

Mide la longitud y el diámetro y comprueba el valor de


mapb

112

112

CÍRCULO

Las siguientes figuras son círculos:

DEFINICIÓN

Un círculo es el conjunto formado por todos los puntos de la circunferencia que lo

circunda(rodea) y por los puntos interiores a los mismos.

En nuestras figuras anteriores, la línea curva cerrada(circunferencia) y la parte

sombreada(pintada) forman un círculo.

Los elementos de un círculo, básicamente, son los mismos elementos de la circunferencia.

FIGURAS EN EL CÍRCULO

SECTOR CIRCULAR: Parte de un círculo limitada por dos radios y el arco que forman.

SEGMENTO CIRCULAR: Porción de círculo limitado por una cuerda y su arco.

CORONA CIRCULAR: Porción de círculo limitada por dos circunferencias concéntricas.

TRAPECIO CIRCULAR: Porción de círculo limitada por dos circunferencias concéntricas y dos.

radios

SEMICIRCULO: Cada una de las dos partes en que se divide un círculo.

Sector circular

Corona circular

Trapecio circular

Segmento

circular


mapb

113

113

ÁNGULO CENTRAL Y ARCO CORRESPONDIENTE

En la circunferencia “O” el vértice del POR está en

el centro de la circunferencia. Cuando esto sucede, se

dice que el ángulo es central.

POR, es central. El arco correspondiente a éste

ángulo es el limitado por sus lados: OP y OR

El arco OPR ó ORP es correspondiente al POR

R

P

O

Q

P

O

N

M

O|

En las circunferencias O y O|: POQ = MO

|N, entonces: OPQ = O

|MN

Dos arcos son iguales, si y sólo si los ángulos centrales que los determinan

son iguales. De igual forma, a ángulos centrales desiguales se oponen arcos

desiguales. Como las circunferencias O y O||

T

H

O

N

O||

D

En O y O||:

HOT > DO||N, entonces: OHT > O

||DN


mapb

114

114

TEOREMA 36

El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia.

Demostración:

Unamos M, K y O, formándose el MKO.

En el MKO:

MO + KO > MK……(1)….teorema de la envolvente y la envuelta

Pero:

MO = KO…..(2)…..por ser radios de O

MO = PO y KO = QO…..(3)…..por ser radios


PO + QO > MK…..(4)

Pero:

PO + QO = PQ….(5)….suma de segmentos


PQ > MK…..demostrado.

TEOREMA 37

Todo diámetro perpendicular a una cuerda, divide a ésta y a los arcos subtendidos en partes

iguales.

Hipótesis:

En la circunferencia O:

PQ = diámetro

MN = cuerda

PQ MN

Tesis:

MK = KN

ONQ = OMQ y ONP = OMP

N

P

Q

O

K M

2 1

Hipótesis:


PQ = cuerda, que es el diámetro

MK = cuerda, que noes el diámetro

Tesis:

PQ > MK

K

P Q

O

M


mapb

115

115

Demostración:

Unamos M, N y O, formándose el MON

En los MOK y NOK:

OM = ON…..radios

OK = OK…..común

Además, PQ MN….por hipótesis

De donde: MOK y NOK….son rectángulos que tienen iguales la hipotenusa y un cateto

Luego: MOK = NOK

MK = NK…….demostrado……….lados homólogos de triángulos iguales

1 = 2…..por oponerse a lados iguales de triángulos iguales

Por ende: OMQ = ONQ…..demostrado…..arcos correpondientes a ángulos centrales iguales.

De igual forma:

OPNQ = OPMQ…..(1)….por ser PQ diámetro

OPM + OMQ = OPN + ONQ….(2)…..suma de arcos y PQ diámetros

Pero: OMQ = ONQ…(3)…demostrado.


OPM + ONQ = OPN + ONQ

OPM = OPN…..demostrado…..simplificando.

TEOREMA 38

RELACIONES ENTRE LAS CUERDAS Y LOS ARCOS CORRESPONDIENTES.

En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, a arcos iguales correponden

cuerdas iguales y a arcos desiguales corresponden cuerdas desiguales.

Demostración:

En la circunferencia O, unamos M, K, P y Q con O, formándose los MOK y POQ

En los MOK y POQ:

OP = OQ = OM = OK …..radios.

Hipótesis:


OMK = OPQ

MK y PQ , son cuerdas correspondientes

Tesis:

MK = PQ P

Q

K

M

O

2

1


mapb

116

116

Pero:

OMK = OPQ …..por hipótesis, entonces:

1 = 2….por ser centrales y oponerse a arcos iguales

MOK = POQ ….caso LAL

Por ende:

MK = PQ ….demostrado…lados homólogos de triángulos iguales.

SEGUNDA PARTE: ARCOS DESIGUALES

Demostración:

En la circunferencia O, unamos M, K, P y Q con O, formándose los POQ y MOK

En los POQ y MOK:

OP = OQ = OM = OK …..radios

Pero:

OPQ > OMK….por hipótesis

POQ > MOK

Por ende:

PQ > MK….demostrado.

TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA

Hipótesis:


OPQ > OMK y ambos menores que una

circunferencia

MK y PQ , son cuerdas correspondientes

Tesis:

PQ > MK

P

Q

K

M

O

En la circunferencia O, la recta QK es tangente

en el punto P.

La tangente de una circunferencia es

perpendicular al radio en el punto de contacto

Por cada punto de una circunferencia pasa una

sola recta tangente

P

Q

K

r


mapb

117

117

NORMAL A UNA CIRCUNFERENCIA

DISTANCIA DE UN PUNNTO A UNA CIRCUNFERENCIA

EJEMPLO

Dos puntos distan 4cm y 8cm del centro de una circunferencia de 10cm de diámetro.

Hallemos la distancia de cada punto a la circunferencia.

En la circunferencia O, la recta MN es normal a la

circunferencia, porque es perpendicular a la

tangente. QK MN

“En toda circunferencia, la perpendicular a la

tangente se llama normal”

Q

K

N

O

M

En la circunferencia O, el punto K es interior.

MK es la distancia del punto K a la

circunferencia y KO es la distancia del punto

al centro, entonces:

OK + KM = r KM = r OK

El punto P es exterior, PQ es la distancia del

punto P a la circunferencia, entonces:

PQ + r = PO PQ = PO r

M

Q

K

P

O

r

Para el punto Q:

OQ = 4cm. OK = r = 5cm. QK = ? distancia de Q a O

QK = r OQ = 5cm 4cm = 1cm

Para el punto P:

PO = 8cm. NO = r = 5cm. PN = ? distancia de P a O

PN = PO r = 8cm 5cm = 3cm

N

Q

K

4cm

O 5cm 5cm

P


mapb

118

118

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES: Los puntos de cada una son exteriores a la otra.

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORMENTE: Se cortan en un sólo punto.

O y O| son tangentes

exteriormente

O

| r

R

O

d

R

r

O|

O

OO| = d = R + r d = R + r

Esto muestra, que si la distancia que

separa los centros de dos

circunferencias es igual a la suma de

sus radios, las mismas son tangentes

exteriormente

O y O| son exteriores

O

|

R

O

K

d

M

r

O| R O

OO| = d = R + r + MK d > R + r

Esto muestra, que si la distancia que separa los centros de dos

circunferencias es mayor que la suma de sus radios, las mismas

son exteriores.

d = Distancia que

separa los centros


mapb

119

119

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORMENTE: Tienen un punto común y todos de una de

ella son interiores a la otra

CIRCUNFERENCIAS SECANTES: Se cortan en dos puntos.

d + r = R d = R r Si dos circunferencias se cortan y además, la distancia que

separan sus centros, se halla estableciendo una diferencia entre

sus radios, las misma son tangentes interiormente.

O|

O

O y O| son secantes

M

K

O|

O

d

R r

OO| = d < R + r

Si la suma de los radios de dos circunferencias es

mayor que la distancia que separa sus centros, las

circunferencias son secantes

O y O| Se tocan en un sólo punto, y además, todos los puntos de O

| son puntos

interiores de O, por eso, son tangentes interiormente:

R

O

| r

O

O

O|

r

R

d


mapb

120

120

CIRCUNFERECIAS INTERIORES: Todos los puntos de una de ella, son interiores de la otra.

CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Tienen el mismo centro.

CIRCUNFERENCIAS EX CÉNTRICAS: no tienen el mismo centro.

O y O| son interiores: Todos los puntos de O

| son puntos interiores de O

R = x + r + r + y. Pero: d = x + r R = d + r +y

Luego: d = R r y d < R r

Si en dos circunferencias la distancia que une sus centros es

menor que la diferencia de sus radios, las mismas son interiores

R

O

O

| r

r

R

y x O|

O

d

O y O| tienen como centro un mismo punto, por eso,

son concéntricas.

OO| = d = 0

Si la distancia que separa los centros de dos

circunferecias es cero, las mismas son concéntricas

O

O

|

Las circunferencias O y O|| son excéntricas

O

O||


mapb

121

121

LÚNULA (DE LUNA) O HUSO

Las siguientes figuras son lúnulas o husos geométricos:

Como se puede observar, una lúnula se forma por la intersección de dos círculos (la región

sombreada 0 coloreada) y su nombre se debe a que parece una luna en su fase creciente.

Formalmente, una lúnula es el complemento de un círculo en otro, situados de forma que

ambos se intersecan, pero ninguno es un subconjunto del otro. Esto es, si A y B son dos

círculos, entonces (ver figura 1):

BAAL . De donde: L = lúnula. A = Segundo círculo. B = Primer

círculo.

En la figura 2: La lúnula esférica o huso esférico es la región demarcada con las líneas

gruesas y

las líneas negras finas, muestran los dos círculos. Además, estas circunferencias máximas

definen otros tres husos, y se intersecan en dos puntos polares opuestos, como en el caso de

los polos Norte y Sur geométricos.

HUSO ESFÉRICO: Parte de la superficie de una esfera comprendida entre dos planos que se

cortan en el diámetro de la misma.

A

B

A

B

L = A

AB

1

Lúnula

Lúnula esférica o huso

esférico.

2

http://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Luno_ebena_geom_4.png


mapb

122

122

TEOREMA 39

Los arcos de una circunferencia conprendidos entre paralelas , son iguales.

Demostración:

En O, tracemos el diámetro MD. Entonces:

MD PQ y MD KN…..todo diámetro es perpendicular a una cuerda.

OKD = OND….(1)…Teorema 37: todo diámetro perpendicular a una cuerda, divide

OPD = OQD…..(2)…a ésta y al arco subtendido, en partes iguales

Restando miembro a miembro (1) y (2):

OKD OPD = OND OQD….(3)

Pero:

OKP + OPD = OKD OKP = OKD OPD…(4)

OQN + OQD = OND OQN = OND OQD…(5)


OKP = ONQ….demmostrado.

EJERCICIOS

1.

D

M

Hipótesis:

En O:

PQ // KN

Tesis:

OKP = ONQ

N

Q

K

P

O

Si PQ = QK = KN

Demuestre que:

POK = QON

N

Q

K

P

O


mapb

123

123

2. Dadas la siguientes circunferencias, clasifíquelas en: concéntricas, tangentes interior y

exteriormente, secantes, interiores y exteriores y además, halle las distancias entre

sus centros.

3. Dada la siguente circunferencia, identifique sus partes o elementos.

4. Si PK // MQ y O es el punto medio de

PQ

Demuestre que PK = MQ

K

Q

M

P

O

12

14

8

O3

O4

10 20

O1

2O

O5

17

O6

NOTA: Si no es posible hallar la

distancia entre los centros,

exprese la misma en función de

una variable


mapb

124

124

5.

6.

7. Un punto dista 14m del centro de una circunferencia de 820cm de diámetro.

Halle la distancia del punto a la circunferencia.

8. Exprese la menor distancia(x) de un punto a una circunferencia, en función de la

distancia(d) del punto al centro y del radio(r) de la circunferencia si:

a). d < r. b) d > r.

9. Identifica en tú casa o entorno elementos u objetos que tengan forma circular:

Descríbelos y haz una representación gráfica

Ubica en él, los elementos de una circunferencia

Mide la longitud del diámetro y determine la longitud de la circunferencia.

DQ = DP

Demuestre que:

OQN = OPN

N

Q

K

P

O

D

PQ = QK

1 = 2.

Demuestre que:

PQK = PKO

Q

K P

O

1 2


mapb

125

125

ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULO CENTRAL: Tiene su vértice en el centro de la circunferencia.

PROPORCIONALIDAD ENTRE LOS ARCOS Y LOS ÁNGULOS CENTRALES

En una misma circunferencia o en circunferencias iguales, los ángulos centrales son

proporcionales a sus arcos correspondientes.

Q P

O

5 r

En las circunferencias O y O1 los POQ y MO1N son centrales

M

N

r

r

O1

En las circunferencias O y O1 :

El POM es central y OPM su arco correspondiente.

El QOM es central y OQM su arco correspondiente

El MO1N es central y O1MN su arco correspondiente

MNO

OQM

NMO

QOMOyOEn

OPM

OQM

POM

QOMOEn

11

1 :.:

M

N

O1

Q

P

O M

O y O1 son iguales


mapb

126

126

MEDIDAD DEL ÁNGULO CENTRAL

ÁNGULO INSCRITO: Tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes.

EJEMPLO

En la circunferencia O1, el arco O1MN mide 100°, hallemos la medida del ángulo inscrito.

Tomando como unidad de ángulos el ángulo central

correspondiente a la unidad, la medida del ángulo

central es igual a la de su arco correspondiente,

entonces: POQ = OPQ

P

Q

O

K

M

O1

120°

En la circunferencia O1: MO1K es central

MO1K = 120°, entonces: O1KM = 120°

Esto muestra que el ángulo central y su

arco correspondiente tiernen el mismo

valor

PQK es inscrito

En toda circunferencia, la medida del ángulo

inscrito es igual a la mitad del arco comprendido

entre sus lados.

PQKOPKformaigualDeOPK

PQK 2:.2

P

O

K Q

502

100

2

100

1

1

:

MNMKN

MN

O

O

Solución

K

O1

N

M

50°

100°


mapb

127

127

Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales.

Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos, o sea que

miden 90°.

ÁNGULO SEMI – INSCRITO: Tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es una

tangente y el otro una secante.

En la semicircunferencia OKMQP:

El arco OPK es común para los ángulos

PQK y PMK, que son inscritos…

Pero: OPK = 180° por ser OKMPQ

semicircunferencia, entonces:

rectossonPMKPQK

OPKPMK

OPKPQK

,90

)2....(902

180

2

)1....(902

180

2

P

M Q

O

K


PQ es secante y QK es tangente, y además son los

lados del ángulo PQK , luego el PQK es semi-

inscrito

La medida del ángulo sem-inscrito es igual a la

mitad del arco comprendido entre sus lados.

PQKOPQformaigualDeOPQ

PQK 2:.2

P

O

K Q


PQK y PMK son inscritos

El arco OPK es común para

ambos, entonces:

PMKPQK

yComparando

OPKPMK

OPKPQK

:)2()1(

)2....(2

)1....(2

K O

M

P

Q

ARCO CAPAZ: Es el arco opuesto

a varios ángulos inscritos.

PMKyPQKánguloslos

paracapazarcounesOPK

,

,


mapb

128

128

EJEMPLO

En la circunferencia O, el PQK es semi-inscrito, hallemos la medida de éste ángulo.

ÁNGULO EX - INSCRITO: Es adyacente a un ángulo inscrito.

ÁNGULO INTERIOR: Es el ángulo cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia.

Q

K

O P


PQ es secante y diámetro. QK es tangente.

PQK es semi-inscrito, entonces:

esto muestra, que toda

tangente es perpendicular al diámetro

902

180

2

OPQPQK

El PQM es inscrito

El MQK es adyacente al PQM

Entonces:

MQK es ex - inscrito

La medida de un ángulo ex – inscrito es igual a la

semisuma de los arcos que tienen su origen en el

vértice y sus extremos en uno de los lados y en la

prolongación del otro

2

OQPOQMMQK

M

P

O

K

Q

K

N

M

P

O

Q

PKM

PKQ

MKN

QKN

La medida de un ángulo interior es igual a la

semisuma de los arcos de sus lados y la

prolongación de los mismos

QKNPKM

OMNOPQMKNPKQ

2

Son interiores


mapb

129

129

ÁNGULO EXTERIOR: Su vértice es un punto exterior de la circunferencia.

EJEMPLO

En la circunferencia O, PKQ = 30° y OMN = 50°. Hallemos la mediada de OPQ.

EJERCICIOS

1. Dada la siguiente figura, clasisfique los ángulos en: central, inscrito, semi-inscrito,

interior, exterior, exinscrito, y además idetifique sus arcos.

QPK es exterior

La medida de un ángulo exterior es igual a

la semi-diferencia de las medidas de los

arcos comprendidos por sus lados

2

OMNOKQQPK

K

N

M

P

Q

O

11050602

5030

2

:

,.....

:

OPQOPQ

OMNOPQPKQ

entonces

OnciacircunferelaaexterioresPKQ

Solución

K

N

M

P

Q

O 30° 50°

M

P

Q

N

D

O

K


mapb

130

130


K

O

P

Q

OPK = 120°

PQK = ?

R M

N

P

Q

O

40°

MQR 40° y OPN = 135°

OMR = ?

O

K

N

M

P

Q

OMN = 35° y OPQ = 80°

PKQ = ? y PKN = ?

O

39°

K

P

Q

PKQ = 39°

OPQ = ?

QOM = 120°

POM = ? OQM = ?

OMQ = ? OPM = ?

OMQ = ?

M

P Q

O

120°

P

O

K N

M

Q

36°

QNM = 36° y ONP = 32°

PKN = ? y NQP = ?

OPQ = 110° MKQ =47°

POQ = ? PMQ = ?

OPM = ?

P

O M

Q

K


mapb

131

131

RELACIONES MÉTRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Muestra la relación de mediadas entre las cuerdas, secantes y tangentes.

TEOREMA 40. RELACIONES ENTRE LAS CUERDAS

Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan, el producto de dos segmentos determinados

en una cuerda es igual al producto de los dos segmentos determinados en la otra.

Demostración:

Unamos M con R y Pcon Q, formándose los triángulos PKQ y MKR

En los PKQ y MKR:

P = M ….son inscritos en el mismo arco

Q = R ….son inscritos en el mismo arco

PKQ = MKR ….opuestos por el vértice

Luego: PKQ MKR

Estableciendo la proporcionalidad enttre los lados homólogos:

EJEMPLO 1.

Dada la siguiente figura, hallemos el valor del dato desconocido:

demostradoKRPKKQMKKQ

KR

PK

MK......

Hipótesis:

PR y QM soncuerdas que se se cortan en K

MK y KQ segmentos correspondientes de MQ

PK y KR segmentos correspondientes de PR

Tesis:

KQMKKRPK

O

K

R

M

P

Q

204

810

:40

KR

KPMKQK

KPMKKRQK

teoremaelPor

O

4

10

8

P

Q

K

R

M

QK = ?


mapb

132

132

EJEMPLO 2.

Dada la siguiente figura, hallemos el valor de los datos desconocidos:

Aunque PK puede tomar dos valores positivos: 12 y 2; si analizamos la figura, sólo para PK = 12,

hay una correspondencia entre la longitud del tramo y el número asignado.

Cuando los valores tienen diferente signo, se toma el valor positivo.

TEOREMA 41. RELACIONES ENTRE SECANTES

Si por un punto exterior de una circunferencia, se trazan dos secantes, el producto de una

secante por su segmento exterior, es igual al producto de la otra por su segmento exterior.

2121414

:)2(

12:

0)2)(12(02414)(2

:Re

PKKQ

enPKdoSustituyen

PKLuego

PKPKPKPK

gradosegundodeecuaciónestasolviendo

02414)(

24)(1424)14(

:)1()2(

)2...(1414:

)1....(24

46

2

2

:40

PKPK

PKPKPKPK

endoSustituyen

PKKQPQKQPKPero

KQPK

KQPKKRMKKQPK

teoremaelPor

O

P

Q

K

R

M

MK = 4 , KR = 6 y PQ = 14

PK = ? y KQ = ?

Hipótesis:

En O:

Q es exterior

QR y PQ secantes que pasan por Q

MQ y QK segmentos exteriores de QR y PQ

respectivamente

Tesis:

KQPQMQQR

P

R

K

M

Q

O


mapb

133

133

Demostración:

Unamos P y M y R y K , formándose los triángulos PMQ y QKR.

En los PmQ y PKR:

Q = Q….común

P = R ….son inscritos en el mismo arco

K = M ….son inscritos en el mismo arco

Luego: PMQ PKR

Estableciendo la proporcionalidad enttre los lados homólogos:

EJEMPLO 1.


EJEMPLO 2.


demostradoMQQRKQPQPQ

QR

MQ

KQ......

Solución:

PK55QK

(1)

(1)

125

1252

250)()2()10(25

:Re

2

1025.:

.....

:41

251510

2QKQKQK

envaloresestosemplazando

QKQKQKKPQKPQ

MQyQRKPQKPero

QPQKMQQR

teoremaelPor

MRMQQR

P

R

K

M

Q

10

15

KQ = KP. MQ = 10. MR = 15

QR= ?. PK = ?

Solución:

PQ = PK + KQ = 6 + 5 = 11

Por el teorema 41:

75,94

39

4

16554

4

55

:

4

555114

:Re

4

39

MR

MQQRMRMQMRQR

Pero

QRQR

emplazando

KQPQMQQR

KQ = 5. MQ = 4. PK = 6

PQ = ?. MR = ?

P

R

K

M

Q

6

4

5


mapb

134

134

TEOREMA 42. PROPIEDAD DE LA TANGENTE Y LA SECANTE TRAZADAS DESDE UN PUNTO

EXTERIOR. Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la

tangente es media proporcional entre la secante y su tangente exterior.

Demostración:

Unamos K con P y con M, formándose los triángulos PKQ y QMK

En los PKQ y QMK:

Q = Q……común

P = QKM…inscrito y semi-inscrito en el mismo arco

PKQ QMK…..además son rectángulos

Un ángulo inscrito y otro semi-inscrito en el mismo arco, son iguales.

EJEMPLO


demostrado

osóladossusentrealidadproporcionlandoEstablecie

QM

QK

QK

Qp.....

:loghom

Hipótesis:


QP es secante

QK es tangente

Tesis:

QMQK

QKQP

P

K

M Q

O

83,14220220)(

10

22

221012

2

:42

:

QKQK

QK

QKQM

QK

QK

QP

MQPMPQ

teoremaelPor

Solución

M P

K

Q

10

12

QK y PQ tangente y secante

PM = 12 y MQ = 10

QK = ?


mapb

135

135

DIVISIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO

Consideremos el segmento PQ y la división proporcional en el punto K.

Decimos que el segmento PQ está dividido aureamente, si se cumple que:

O sea: El tramo de la división mayor es media proporcional entre la longitud del segmento y

la división menor.

PK es el segmento áureo de PQ, porque lo divide en extrema y media razón.

La división áurea es considerada, como la más precisa división proporcional que se puede hacer

de un segmento.

CÁLCULO ANALÍTICO DEL SEGMENTO ÁUREO

EJEMPLO 1.

Hallemos la división áurea de un segmento de 10m y el porcentaje que representa.

KQPK

PKPQ

618,02

15618,0

:,

.........0

mintan......

:,

2

15

22

22

llx

quetienesegradosegundodeecuaciónladesoluciónconjuntoelHallando

gradosegundodeecuaciónordenandoyndotransponiellxx

adoresdenodoquilxlx

xl

x

x

l

KQyPKPQdoSustituyen

KQ

PK

PK

PQ

%8,6110

%10018,6

18,6

%10010

:

18,6)10(618,0618,0

?%?.10

:

m

mj

jm

m

representaquePorcentaje

mmlx

representaquexml

Solución

P K Q

xlKQ

xPK

lPQ

l

xl x

P K Q

a

acbbx

soluciónraiceslashallarparaFórmula

cbxax

2

4

:)(

0:

2

2

gradosegundodeEcuación


mapb

136

136

EJEMPLO 2.

Hallemos el segmento cuyo segmento áureo vale 9cm.

EJEMPLO 3.

Dada la siguente figura, hallemos el segmento áureo del segmento tangente

EJERCICIO

Para cada figura, halle el valor de los datos desconocidos:

cmcmx

llx

lcmx

Solución

56,14618,0

9

618,0618,0

?9

:

57,9)49,15(618,0618,0

49,152402401024)( 2

PQx

PQPQPQPQPMPR

PQ

PR

PQ

deáureadivisiónx

PQ

ante

gente

?

?

sec

tan

P

R

M

Q

10

14

PK = 20. KQ = 6. NK = 14

KM = ?.

P

M

Q

N

K

KN = 6. QK = 9. PM = 12

PK = ?. KM = ?

P

M

Q

N

K


mapb

137

137

PK = ?

P

M

15

Q

13

K

PN = 14

PK = 18

MN = ? Además, halle el

segmento áureo de la

tangente.

P

N

M

K

PN = ?

N

4 P

M

7

Q

9

K

PN = QN

PN = ?

N

P

M

Q

15

K

6,5

MK = x = 0,618, división áurea.

MN = ?

N M

0,618

K

16cm

P Q

Halle el segmento áureo y el

porcentaje que representa.

KQ = x = 20cm, división áurea.

PQ = ?

P Q

20cm

K

PN = ?

NQ = ?

MK = ?

KQ= ?

x + 6

N

P

M

Q

x + 2

K

x

x + 4


mapb

138

138

SUPERFICIE, PERÍMETRO Y ÁREA DE LAS PRINCIPALES FIGURAS

GEOMÉTRICAS PLANAS

SUPERFICIE

Se entiende por superficie, la parte exterior de un cuerpo o figura geométrica. También suele

considerarse como el contorno que delimita el espacio interior del exterior de un cuerpo o

figura geométrica. Hay superficies: Cuadradas, rectangulares, circulares, triangulares, etc.

CONTORNO: conjunto de líneas que delimitan una figura geométrica.

Veamos:

PERÍMETRO

El perímetro es la medida (longitud) del contorno de una figura o cuerpo geométrico.

El perímetro se halla, sumando todos los lados que posee una figura geométrica.

EJEMPLO

Para cada figura, hallemmos el perímetro.

Solución:

Para la figura Sea P = perímetro, entonces:

73,18cm cmcmcmcmcmcmP 14918,1119155

Para la figura

Sea P = perímetro, entonces:

111x 224514 xxxP

:a

:b

x

y

z

k P = k x y z

P perímetro

5cm

11,18cm

9cm

14cm

19cm

15m

Fig. a

2x 2

5x 4

4x 1

Fig. b

Suma vertical

111x

22

14

45

x

x

x


mapb

139

139

EJERCICIO

Para cada figura, halle el perímetro:

ÁREA

El área es la medida de la superficie de una figura geométrica. También puede considerarse el

área, como la región delimitada (comprendida) por líneas poligonales.

El área se refiere al tamaño de la figura

SUMA Y RESTA DE ÁREAS

Consideremos la siguiente figura:

A T = A 1 A 2. Suma de todas las áreas

A 1 = A T A 2. Área total menos área dos

A 2 = A T A 1. Área total menos área un

A T Área total

A 1 A 2

5m

11,18m

10m

5m

11m

10, 64m

5, 56m

3,45cm

3,98cm

6,956cm

8,705cm

11,25cm

2x 2

3x 4

x 1

A

A

A A

El área siempre involucra dos

dimensiones, por eso, se expresa en

unidades al cuadrado u2.

u = unidad


mapb

140

140

EJEMPLO

Para cada figura, realicemos el cálculo exigido.

Solución:

Para la figura

Para la figura

EJERCICIO

Para cada figura, halle el área exigida:

:a

233,24m

22

21

2

2

2

1

24,1518

24,1518

mmAAA

mAymA

T

:b

3x2

1131432

)113(1432

1131432

22

1

22

2121

2

2

2

xxxxA

xxxxAAAAAA

xxAyxxA

TT

T

Fig. a

18m 2

AT =?

15,24m 2

1432 2 xxAT

?1 A 1132 xx

Fig. b

Sustracción vertical

3x2

13

14322

2

xx

xx

A cada término del sustraendo

se le cambia el signo y se suma

común y corriente.

15m 2

8m 2

AT = ?

44 cm 2

35 cm 2

38,4 cm 2

AT = ?

54 cm 2

AT =135cm 2

A2 = ?

AT =79,56m 2

43,88m 2

A1 =?

AT =43,4 m 2

25,8m 2

A1 =?

xx 32 2

?TA

42 x

43 2 xx

242 xyxAT

12 xyx ?2 A


mapb

141

141

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN RECTÁNGULO

EJEMPLO 1.

Hallemos el área y el perímetro de un rectángulo que tiene 5,64cm y 8cm de lado.

Solución:

EJEMPLO 2.

La siguiente figura muestra las dimensiones de un salón múltiple de un colegio.

Solución:

a) Como el salón tiene forma rectangular, el área se calcula multiplicando la base (15m) por

la altura (6m)

b) Las dimensiones de las baldosas indica que tienen forma cuadrada.

cmcmcmcmcmhbP

cmcmcmbhA

cmhcmb

PA

28,271628,118264,5222

.12,45864,5

8.64,5

?.?

2

salóndeláreaelesestecmmmmbhA 22

1 90000090)6(15

b

h

b Base

h Altura

A = bh. Base por altura

El área de un rectángulo se halla

multiplicando la base por la altura.

Base: Área sobre la cual descansa un

cuerpo o figura.

Altura: Es la distancia perpendicular

que hay desde la base hasta el punto

más alto que alcanza un cuerpo.

Como el perímetro es la suma de

todos los lados, entonces:

P = b b h h = 2b 2h

P = 2b 2h

Hallemos:

a) El área de la salón múltiple

b) Si se desea embaldosar el salón con baldosas de dimensiones:

51,5cm x 51,5cm, ¿cuántas bladosas aproximadamente se

necesitan?

c) Si cada baldosa tiene un costo de $120,86. ¿Cuánto dinero se

necesita par embaldosar el salón?

d) Un vagabundo que desee dar cuatro vueltas y media al salón,

¿cuántos metros recorre?

15m

6m

51,5cm

51,5cm baldosacadadeáreacmcmcmA 2

2 25,2652)5,51(5,51


mapb

142

142

Para hallar la cantidad de baldosas que se necesitan para embaldosar el salón, aplpicamos una

regla de tres simple directa entre el área A1 (salón) y A2 (una sóla baldosa)

c) Como cada baldosa cuesta $120,86. Para comprar las 340 baldosas se necesita:

d) Para determinar los metros que recorre el vagabundo al dar 4 vueltas y ½ al ssalón,

primero calculamos el perímetro del salón:

EJERCICIOS

1. Halle el área y el perímetro de un rectángulo que tiene 5m y 3m de lado.

2. El lado mayor de un rectángulo mide 14,68cm. Si el lado menor mide la mitad del mayor,

halle el área y el perímetro.

3. El lado mayor de un rectángulo excede al menor en 5m. Si el menor mide 8m, halle el

área y el perímetro.

4. El lado menor de un rectángulo mide 2,04cm. Si el mayor es tres veces el menor, halle el

área y el perímetro.

5. Identifica los escenarios deportivos de tú ciudad que tienen forma rectángular, mide las

dimensiones, calcule el área y el perímetro.

6. Las dimensiones del piso de un coliseo miden 30,5m y 18,5m.

a) Halle el área del piso del coliseo.

b) ¿Cuántas baldosas de dimensión 49,35cm x 49,35cm se necesitan para cubrirlo?

c) Si un metro de baldosa trae 5 baldosas, ¿cuántos metros se necesitan?

d) Si cada metro de baldosa cuesta $30000, ¿cuánto dinero se necesita?

e) Una persona que desee recorrer 4Km alrededor de la pista del coliseo, ¿cuántas

vueltas debe dar?

7. Halle el área total de la parte sombreada(pintada):

tan34033,33925,2652

9000001:

900000

25,26521

10000190000090

2

2222

1

necesisequebaldosasxdondeDe

x

cmBaldosa

cmmcmmA

42000$4,41092$)86,120(340

mmm

recorreyvueltaslasEn

mrecorrevueltamediaEn

vueltasolaunaenrecorrequeciadismmmmmP

18921)42(4

:2/14

21:

tan42615615

7, 4m

4m


mapb

143

143

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO

EJEMPLO

El área de un paralelogramo mide 100m 2

. Si la altura mide 12m, halle la base.

Solución:

EJERCCIOS

1. Halle el área de un paralelogramo que tiene 6m de base y 2m de altura.

2. El área de un paralelogramo mide 80m 2

. Si la altura mide 13m, halle la base.

3. El área de un paralelogramo mide 54,88cm 2

. Si la base mide 9m, halle la altura.

4. Un paralelogramo tiene una base 123,48cm. Si su altura es 2/5 de la base, halle el

área.

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Consideremos el siguiente rectángulo:

El área de todo triángulo es la mitad del área del rectángulo que lo contiene.

mmidebaseLamm

m

h

Ab

b

mhmA

33,8.33,812

100

?

12.100

2

2

H

B

b R

r h bh2

1

bh2

1

H

B

b R

r h bh2

1

22

1 bhbhA

La diagonal BH divide el rectángulo en dos triángulos

iguales, por eso, el área de un triángulo es la mitad del

área de un rectángulo.

b

h

El área de un paralelogramo es

igual al producto de la base por

la altura.

b

Ah

h

Ab

bhA


mapb

144

144

ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA

ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS

Consideremos el triángulo (1), la siguiente expresión permite calcular el área en función de

los lados a, b y c: . Donde P es el semiperímetro del

triángulo.

ALTURA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE SUS LADOS

. Altura con respecto al lado b. El denominador es c, para el

lado c y a, para el lado a. Donde P es el semiperímetro del triángulo.

EJEMPLO

Para cada triángulo, hallemos el área.

))()(( cPbPaPPA

))()((2 cPbPaPPhb

Cateto

Cateto

Hipotenusa

Hipotenusa: Lado más largo.

El área de un triángulo rectángulo es igual al

semiproducto de los catetos.

Semiproducto: Es la mitad del producto.

C

c

b A

B

a

h

22

1 bhbhA El área de cualquier triángulo

se halla multiplicando la base

por la altura y dividiendo este

producto por dos

P = a b c

B

h

C A

b

1

16m

8m

20m

Fig. b Fig. a

12,4cm

5,4cm


mapb

145

145

Solución:

Para el triángula , conocemos la base y la altura.

Para el triángulo , conocemos los tres lados.

EJERCICIOS

1. Halle el área y el perímetro de cada triángulo:

Base 9cm, altura 10cm.

Base 6,23m, altura 5,45m.

Catetos: 7cm y 4cm.

Lados 9m.

Lados 16cm.

2. Utilice los datos presentados y calcule el dato desconocido:

A = 8m 2

, b = 3m, h = ?.

A = 9,4m 2

, b = ? , h = 2m.

A = 25m 2

, b = 4m, h = ?.

A = 36cm 2

, b = ?, h = 6cm.

3. Para los lados de cada triángulo, halle el área y la altura con respecto a un lado

Lados: 5cm, 16cm y 25cm

Lados: 10m, 8m y 7m

Lados: 10,5m; 7,8m y 17,86m

4. Halle el área total de la región sombreada (pintada):

a

2cm33,48

296,66

2)4,5)(4,12(

2

2

:.4,54,12

cmcmcmbhA

EntoncescmhycmbSea

b

260,79m

m22

3696)14)(6)(2(22

))()((

:.

:.816,26

)822)(1622)(2022(22

281620

2 244

A

cPbPaPPA

LuegoP

EntoncesmcymbmaSea

cba

cmycmcmLados425

419,

512:

Altura de un triángulo equilátero

Área:

73,132

3

lh

4

3 2lA

b

Ah

h

Ab

2.

2

5m

10m

8m

5m

14m 10m


mapb

146

146

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CUADRADO

EJEMPLO 1.

Hallemos el área de un cuadrado de 4,68cm de lado

Consideremos la siguiente figura.

EJEMPLO 2.

Calculemos el lado del siguiente cuadrado.

EJERCICIOS

1. Para cada cuadrado, halle el área y el perímetro:

a) Lado: 4cm. b) Lado: 3,64m. c) Lado: 9,642m.

2. Las áreas que se relacionan a continuación pertenecen a cuadrados, para cada una ,

halle el lado y el perímetro:

a) A = 25cm 2

. b) A = 64 m 2

. c) A = 90m 2

.

4. Calcule el área de la región sombreada.

4,8m

9,6m

Solución:

2

21,90cm

)68,4)(68,4()68,4(

68,4

22 cmcmcmkA

cmk

4,68cm

cuadradoundeladoelcalcularparaExpresiónAk .

A

k

k k

k El área de un cuadrado

es igual al cuadrado de

la medida de su lado

A = k k = k 2

P = k k k k = 4k

A = k 2

P = 4k

Solución:

9m

22

2

81

?.81

mAkkA

kmA

281m

?k


mapb

147

147

ÁREA DE UN ROMBO

EJEMPLO

La diagonal mayor de un rombo excede a la menor en 4,25cm. Si la diagonal menor mide

5cm, hallemos el área del rombo.

EJERCICIOS

1. Las diagonales de un rombo miden 9m y 4m. Halle el área.

2. La diagonal mayor de un rombo excede en 9cm a la menor. Si la diagonal mayor

mide 15cm, halle el área del rombo.

3. La diagonal mayor de un rombo mide 18m. si diagonal menor equivale a las dos

terceras partes de la mayor, calcule el área del rombo.

4. El área de un rombo mide 400m 2

. Si la diagonal menor mide 20m, halle la diagonal

mayor.

5. El área de un rombo mide 36,64cm 2

. Si la diagonal mayor mide 14cm, calcule la

diagonal menor.

ÁREA DE UN TRAPECIO

B

b

h

menorBaseb

mayorBaseB

hbBA

.

2

El área de un trapecio es igual

al producto de la semisuma de

las bases por la altura

D

Ad

menorDiagonaldd

AD

mayorDiagonalDDd

A

2

2

2

El área de un rombo es igual al

semiproducto de las diagonales

d

D

cm5

cm25,9

Solución:

. Como la diagonal mayor excede a la menor en

4,25cm, entonces:

Aplicando la fórmula:

cmd 5

cmcmcmD 25,925,45

223,12cm

2

25,46

2

)5)(25,9(

2

2cmcmcmDdA


mapb

148

148

EJEMPLO

Calculemos el área de un trapecio cuyas bases miden 4m y 10m , y tiene 5m de altura

Solución:

EJERCICIOS

1. Las bases de un trapecio miden 8m y 12m, si la altura mide 4m, halle el área.

2. Si las bases de un trapecio miden 4,64cm y 8,04cm y su altura es de3,62cm, ¿cuál es

la medida del área?.

3. La base mayor de un trapecio excede a la menor en 4. Si la base mayor mide 20cm y

el trapecio tiene una altura de 8cm, halle el área.

4. El área de un trapecio mide 27cm2. Si la base mayor y la altura miden 12cm y 3cm,

respectivamente, determine el valor de la base menor.

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN POLÍGONO REGULAR

Apotema: Segmento perpendicular trazado desde el centro del polígono a uno de sus lados.

. Expresión que permite calcular la apotema de un hexágono regular.

EJEMPLO

Determinemos el área de un pentágono regular de 15m de lado y 6m apotema.

Solución:

22

352

70

2

514

2

5410

2

5.10.4.?

mmmmmmmhbB

A

mhmBmbA

23 La

ladosdeNúmeronLadoL

nLP

ApotemaanLapa

A

.

.

.22

El área de un polígono regular es

igual al semiproducto del perímetro

por la apotema

L a

L

L

L

L

L

15m

15m

6m

2225mA

2

450

2

)6)(15(5

2

6

15

,5

2mmmnla

ma

ml

pentágonounserporn


mapb

149

149

EJERCICIOS

1. Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de14m de lado y 12m de

apotema.

2. Halla el área y el perímetro de un hexágono regular de 20cm de lado.

3. Halla el área y el perímetro de un heptágono de 18m de lado y 18,72m de apotema.

4. Halla el área y el perímetro de un pentágono de 13,8cm de apotema y 20cm de lado.

6. Encuentra la medida del lado de un polígono de 12 lados, si se sabe que la apotema

mide 7cm y el área es de 168cm 2

.

ÁREA Y PERÍMETRO DE UN CÍRCULO

EJEMPLO

Calculemos el área y el perímetro de un círculo de 4,7m de radio.

Solución:

EJERCICIOS

1. Calcule el área y el perímetro de un círculo si se sabe que el radio mide 5m.

2. El diámetro de un círculo mide 7cm, halle el área y el perímetro.

3. Halle el área de un semicírculo de 9m de diámetro.

4. El área de un círculo mide 50,24m 2

. Halle: El radio, el diámetro y el perímetro.

5. Si el radio de una circunferencia se duplica, ¿qué sucede con el área del círculo

Correspondiente?.

mmrP

mmmrA

mrPA

516,297,414,322

362,6909,2214,37,414,3

7,4.?.?

2222

El área de un círculo es igual al producto del número por el radio al cuadrado.

Ar

culosemicircírÁrear

A

DiámetroDD

rrD

perímetroonciacircunfereladeLongitudL

rLP

DrA

S .2

.

2

2

.

.2

14,34

1

2

22

r

Diámetro


mapb

150

150

ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR

EJEMPLO

Hallemos el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas cuyos

radios miden 3cm y 5cm.

Solución:

EJERCICIOS

1. Los radios de dos circunferencias concéntricas miden 2m y 6m. Calcule el área de la

corona circular que forman.

2. Los diámetros de dos circunferencias concéntricas miden 4m y 7m. Halle el área de la

corona circular que forman.

3. Halla el área de una corona circular limitada por dos circunferencias concéntricas de

7cm y 14cm de diámetros, respectivamente.

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR

.16925

35

.3.5.?

222

2222

cmcmcmA

cmcmrRA

cmrcmRA

31

El área de un sector circular es igual al

semiproducto del cuadrado del radio por el ángulo

central

ángulo central

r º

B

A

S

ByApuntoslosentreocomprendidArcoS

radianesEnrS

radianesEnr

gradosEnr

2

3602

2

A

A

El área de una corona circular es

igual al producto del número por

la diferencia de los cuadrados de los

radios

)( 22 rRA

R

R r r


mapb

151

151

EJEMPLO 1.

Calculemos el área del siguiente sector circular.

EJEMPLO 2.

Hallemos el área del siguiente sector circular.

EJERCICIOS

1. El ángulo central de un círculo de 4cm de diámetro mide 60º. Halle el área y la

longitud del arco que forma.

2. El radio de un sector circula mide 10m. Si el ángulo central mide rad.,calcule el

área y la longitud del arco.

3. Calcule la longitud del arco y el área de un sector circular, si el radio mide 3m y el

ángulo central

4. La longitud del arco de un sector circular mide 20m. Si el ángulo central mide

, halle el radio y el área.

ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR

.4

rad

rad6

Solución: Como el ángulo central está expresado en grados, hacemos uso de

la fórmula: , donde:

360

2rA mry 570

215,26mA

A

360

5495

360

)25)(14,3(70

360

)25)(14,3(70

360

)5)(14,3(70

36022

222

mm

mmr

5m 70 º

3

2

cm12

Solución: Como el ángulo central está expresado en radianes, hacemos uso de

la fórmula: , donde:

2

2r

A cmry 123

2

2m8,33πA

A

6

50

2

22

)25(

2

)5(

2

22

2222

350

350

32

32

m

mmr

m

m

Rr

R

r º

El área de un trapecio circular es igual al

semiproducto del ángulo central por la diferencia

de los cuadrados de los radios

ángulo central

radianesEnrR

gradosEnrR

2

)(

360

)(

22

22

A

A


mapb

152

152

EJERCICIOS

1. Los radios de dos circunferencias concéntricas miden 8m y 16m. Si el ángulo central

que forman los radios mide 80º, halle el área del trapecio circular que forman.

2. Halle el área de un trapecio circular limitado por dos circunferencias concéntricas de

4m y 10m de radios, si el ángulo central que forman mide 120º.

3. Los diámetros de dos circunferencias concéntricas miden 4cm y 16cm. Halle el área

del trapecio circular que forman los radios, si el ángulo central mide .

ÁREA DE UNA LÚNULA

Cuando = 2, es decir, si la segunda circunferencia se ha movido una circunferencia entera,

el área es: 24 RA , o sea, la de una esfera.

ÁNGULO DIEDRO: Ángulo formado por dos semiplanos.

EJERCICIOS

1. Dos círculos de 7cm de diámetros se intersecan formando un ángulo de 90°. Grafique la

situación y halle el área de la lúnula formada.

2. Dos círculos de 9,25m de radios se intersecan formando un ángulo de 2/3. Grafique la

situación y halle el área de la lúnula formada.

3. Halle el área de la lúnula mostrada en la figura:

3

2

70° 17,5cm

El área de un huso esférico se calcula mediante la fórmula: 22 RA . De donde (en radián) es el ángulo diedro formado por

las dos medias circunferencias máximas, y R es el radio.

Para en grados:

90

2RA

.

R


mapb

153

153

ÁREA Y PERÍMETRO DE UNA EMBECADURA

ÁREA DE UNA ELIPSE

EJERCICIOS

1. Los diámetros de una elipse miden 7cm y 14cm. Halle el área y el perímetro

2. Calcule el área y el perímetro de una elipse cuyos radios miden 3,6m y 4,9m.

3. El diámetro mayor de una elipse excede en 3m al menor. Si el diámetro mayor mide

8,54m, halle el área y el perímetro de la elipse.

perímetrodD

menorDiámetrod

mayorDiámetroD

P

DdA

....2

22

2

D

d

rrP

rrA

22

1

4

22

r

r

EJERCICIOS

El radio de una embecadura mide

4cm. Halle el área y el perímetro.

Halle el área y el perímetro de una

embecadura de 5m de radio

Un visitante se

encuentra en el

punto A, y desea

desplazarse al

puntoB. Pero, quiere

escoger la distancia

más corta. ¿Qué ruta le

recomendarías al

visitante? 5m

La figura, representa un plano de uncentro recreacional. Halle el área total construida.

B

Ruta 1

R

u

t

a

2

12m

31,10m

5,40m

10,50m

3m

4,20m

3,80m

5,60m

56,80m

3,5m

11,30m

6,80m

7,20m

4m

1,8m 2m

2,60m

8,50m

3,90m 4,20m

10,70m

9,80m

3,20m

A


mapb

154

154

ÁREA LIMITADA POR DOS O MÁS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

memaS AAA . SA Área de la región sombreada.

maA Área de la figura mayor. meA Área figura menor

PROCEDIMIENTO:

Calcule el área de la figura mayor, y el área de la menor.

Establezca la diferencia (resta) entre las áreas.

Para cada figura, halle el área de la región sombreada.

16m

8m

20m

8m

15m

5m

9m

15m

20m

7m

7m

106º

5m

3 m 4m

18 cm

7,2 m

7m

5m

6m

10m

5m

ar

3m

3 m

10m

7m 6m

12m


mapb

155

155

ALGEBRA Y GEOMETRÍA -- ÁREA

En este capítulo estableceremos una relación entre la aritmética, el álgebra y la geometría.

Expresaremos algebraicamente los cálculos que sobre las principales figuras geométricas

planas realizamos aritméticamente. Es importante recalcar, que la conexión se establece con

los mismos conceptos que sobre áreas y perímetros conocemos de cada figura.

PERÍMETRO

El perímetro de una figura se halla sumando todos los lados.

EJERCICIO

Escribamos la expresión algebraica que representa el perímetro de cada figura y calculemos

el valor numérico del mismo para los valores asignados:

x

3

x 2

3x

x

2x 1 2 4

x

2x

x 1

2x 4

25x 5 5

x y z

Solución:

P = 2x 2x + 8 x 1 4x 7 = 9x + 2. Expresión algebraica

P = 9x + 2 = 9(3) + 2 = 27 + 2 = 29m

x = 3m, y = 2m, z = 1m

Solución:

P = x y z. Expresión algebraica del perímetro de la figura.

P = x y z = 3m 2m 1m = 6m. m = Metro

1

2x

2x 8

x 1 4x 7 2


mapb

156

156

x 2

5y 2

8z 1 6

x 1

x 4

4x 12

4x 4 7

2x 3

8

5

2x 3

4x 2

9

x 1

10

x 3

5

4y 4

11

2x 2

12

4y 3

13

3z 11

14


mapb

157

157

ÁREA TOTAL

El área total de una figura geométrica es igual a la suma de las áreas de las regiones en que

esta se ha subdividido(suma de todas las áreas).

AT = A1 A2 ... De donde: A1 = AT A2. A2 = AT A1

EJERCICIO

Para cada figura, hallemos el área indicada:

4x2 2xy 4

x2 4xy

AT = ?

1

7y2 3xy 9

A2 = ?

AT = 11y2 2xy 9

4

8x2 2xy 1

A1 = ?

AT = 10x2 2xy 2

3

x2

x2 8

AT = ?

2

3x2 2xy 1 2x

2 1 5x

2 xy 2

AT = ?

5


mapb

158

158

ÁREA

Aplicando el concepto y la fórmula de área para cada figura, hallemos la expresión algebraica

que representa el área y calculemos la misma para los valores asignados.

Recordemos que:

El área se expresa en unidades cuadradas. u2 = Unidad cuadrada.

Después de reemplazar las letras por su valor numérico y realizadas las operaciones indicadas, al

número que resulta se le agrega u2.

EJEMPLO

Hallemos la expresión algebraica que representa el área de cada figura, y además el valor de las

misma para los valores indicados.

La figura 3 es un cuadrado:

EJERCICIO

Para cada figura, halle la expresión algebraica que representa el área y el perímetro si es

posible. Además, determine el valor numérico para los valores indicados.

2

2

9uA

14y4yA

22

222

914414)1(41)1(4)1(4

:1

exp....144)12(

12

uA

yPara

resiónyyyAkA

yk

Solución:

La figura 1 es un rectángulo:

2

2

12uA

A

2x2xA

4842(4)

2(2)2(2)2x2x

:2

...

22))(22(

:.

22

22

2

exp

xPara

xxxxbhA

EntoncesbhA

xhyxb

áreaelrepresentaqueresión

La figura 2 es un círculo:

2

2

u25πA

πA

9πx24πx16πA

2

2

222

2

259π48π64π

:2

exp...

.92416

)92416()(

:.

3468

34

268

2

u

xPara

resión

xxA

xxrA

EntoncesrA

xrxd

x

xd

VALORES

x = 2

y = 1 2x 2

x 1

2

8x 6

2y 1

3

VALORES: x = 2, y = 1

y 2 3x 1

1 2

x

y

10x 3

x 6

3

4

6x

4x 1

3x 5

4x 1 5

y 1

6


mapb

159

159

2y 3

9

y

8

2x 1

3y 1 7

x 2

2x 5

21

17

x 7 8

x 1

19

5x 3

3x 2

5 14 8x 6

20 2x

4x 3

18

x

x 4

22

2x 9

24

x 1

2/3

23

8x 1

2x 3

10

y 6

x 2 11

x 2

2x 3

x 7

15 x

4x 2

2x 16

x 7

x 1

13

RECUERDE PRODUCTOS NOTABLES

abxabxabaxbxxbxax

babbaabababbaaba

babababababa

)(.3

.33.33.2

.2.2.1

22

3223332233

222222


mapb

160

160

ÁREA LIMITADA POR DOS O MÁS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Área limitada por dos figuras geométricas = Área figura mayor área figura menor

EJERCICIO

Para cada figura, halle el área de la región sombreada:

ÁREA DE FIGURAS IRREGULARES

Llamaremos figuras irregulares a aquellas formas geométricas que carecen de un patrón

definido, y por ende, no tienen una expresión(fórmula) que permita calcular su área.

Veamos:

Para estas figuras geométricas, no existen fórmulas que permitan hallar el área.

...

.

menorfiguraáreamayorfiguraáreasombreadaregiónárea memaS

memaS

AAA

AAA

2x +1

1 3x 2

x

4x 6

2

3

x + 3

x 1

x 5

x 12

5

4

2x 2

3x +2

r = a

x +1

x

x 1

6

7

3x + 2

8

x + 3

x + 1

4x 3

9


mapb

161

161

CÁLCULO APROXIMADO DEL ÁREA DE UNA FIGURA IRREGULAR

No exite un fórmua mágica que permita determinar o calcular el área de una figuar irregular,

la destreza del interesado juega un papel muy importante en esta tarea. No obstante, la

comprensión del procedimiento que acontinnuación se describe facilita el trabajo.

En el interior de la figura irregular, se trazan figuras regulares(rectángulos, cuadrados,

triángulos, rombos, trapecios y semicírculos principalmente).

Se miden las dimensiones necesarias para hallar el área de las figuras regulares trazadas.

Se calcula el área de cada figura regular construida, y se hace una suma.

EJEMPLO

Hallemos el área aproximada de la siguiente figura.

Como se puede observar, la figura irregular se ha dividido en 1 trapecio y 12 triángulos. Calculando

las áreas:

Trapecio:

Para los triángulos:

Sumando las área se tiene que: . Esta es el área aproximada de la figura

Halle el área aproximada de las figuras irregulares anteriores

222

222

222

222

59.02

)4,0)(98,2(23.0

2

)32,2)(2,0(.15.0

2

)25,0)(2,1(

.56.12

)5,0)(25,6(.09.0

2

)2,0)(91,0(.09.0

2

)2,0)(9,0(

.15.12

)7,0)(3,3(.27.0

2

)18,0)(3(.7.0

2

)37,0)(8,3(

.72.02

)38,0)(5,3(.71.1

2

)56,0)(13,6(.67.0

2

)41,0)(4,3(

2

mmm

mmm

mmm

mmmbh

2m,3 075

214,272

)1,3)(51,17(

2

)1,3)(39,813,9(

2

)(m

hbBA

Orden seguido para calcular las áreas, y de adentro hacia afuera

1,2m

9,13m

8,39m 0,18m

0,37m 3,8m 3m

0,56m

0,2m

0,9m

3,3m

0,7m

0,91m

0,2m

0,25m

6,25m

2,98m 0,4m

3,4m

0,41m 6,13m

3,5m

0,38m

3,1m

0,5m

Minimizando y

seprando las figuras

0,2m 2,32m


mapb

162

162

COMPROBACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS DESDE EL CONCEPTO DE ÁREA

Consideremos los siguientes cuadrados:

En la figura 1:

Dentro del cuadrado mayor se ha construido otro más pequeño de lado r, que es la hipotenusa de cada

uno de los triángulos rectángulos formados por los lados de los dos cuadrados.

El lado del cuadrado mayor es la suma de los segmentos b y q, o sea:

Área del cuadrado mayor:

Área del cuadrado menor:

Área de cada uno de los triángulos: . Área total de los 4 triángulos:

Como el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas en que éste ha sido dividido,

entonces:

Realice la comprobación con la figura 2

OTRA FORMA

Consideremos el triángulo rectángulo cuyos lados son la terna de números pitagóricos 3, 4 y 5

qb 2)( qb

2r

2

bqbq

bq2

2

4

semejantesostérreduciendocomprobadorqb

binomioelndodesarrollarbqqbqb

rbqqb

min.........

...22

2)(

222

222

22

q b

r r

r r

q

b

q

b

q b

1

q

b

q

b

r

r

2

En cada lado del triángulo, se trazan

cuadrados de igual longitud del lado

Cada lado de cada cuadrado, se divide en

partes iguales según indiquen los números

pitagóricos.

Cada lado del cuadrado b se ha dividido en

tres partes iguales, el cuadrado q en 4, y el

cuadrado r en 5.

El cuadrado de la hipotenusa tiene 25 cuadritos

El cuadrado del cateto mayor tiene 16 cuadritos

El cuadrado del cateto menor tiene 9 cuadritos

comprobadobqr

potenciadeformaenresando

Comparando

....

exp...345

91625

222

222

:

4

5

3 b

q

r

Compruébelo para

la terna: 5, 12 y 13


mapb

163

163

VOLÚMENES Y ÁREAS DE LOS PRINCIPALES POLIEDROS

VOLUMEN Y ÁREA DE UN ORTOEDRO

Consideremos el siguiente ortoedro:

Arista: Línea formada por la unión de dos caras.

Cara: Cada uno de los rectángulos que forman el ortoedro.

DESARMANDO LA FIGURA:

………………Expresión que permite calcular el volumen de un ortoedro.

VOLUMEN: Espacio que ocupa un cuerpo.

ÁREA LATERAL: Es el área de las caras laterales de un poliedro.

ÁREA DE LA BASE: Es el área sobre la cual descansa la figura.

ÁREA TOTAL: Es la suma del área lateral más el área de las bases.

hbaV

totaláreaelcalcularpermitequeExpresiónabbahBAA

abBentoncesbasesdostieneComo

baseladeÁreaabB

lateraláreaelcalcularpermitequeExpresiónbahbhahA

bahbhahbhbhahahA

LT

L

L

.........2)(22

22:,

....

.).........(222

)(222

Todas las caras son rectángulos

Hay 2 caras que sirven de base, y 4

que son caras laterales

a

b

h

h h a

b Base Base

El volumen de un ortoedro es igual

al producto de sus tres dimensiones:

Largo x ancho x alto )( hba

baseladeáreaB

atotaláreA

lateraláreaA

volumenV

T

L

Diagonalhbad .222

a

b

h

Cara

Arista

22 ba


mapb

164

164

EJEMPLO 1.

Hallemos el volumen, el área lateral, área total y la diagonal de un ortoedro cuyas

dimensiones son: 8cm, 5cm y 2cm.

Solución:

EJEMPLO 2.

La siguiente figura representa un depósito de agua construido en una cominidad

Solución:

a) El volumen del deposito se halla multiplicando las tres dimensiones:

b) Aplicando una regla de tres simple directa, calculamos los litros que puede contener:

cmcmd

cmcmcmcmcmcmhbad

cmA

cmcmcmcmBbahBAA

cmcmcmabB

T

LT

64,993

42564)2()5()8(

132

8052)40(2522)(22

.40)5)(8(

2

222222222

2

2222

2

33 000.400.102´104,10102)16)(5,20)(8,30( cmmmmmV

litrosxdondeDe

x

cmLitros

400.102.101000

000.400.102´101:

000.400.102´10

10001

3

8cm 5cm

2cm

.52)13(4

)58)(2(2)(2

80)2)(5)(8(

.2.5.8

2

3

cmcmcmA

cmcmcmbahA

cmcmcmcmabhV

cmhcmbcma

L

L

30,8m

20,5m 16m

a) Hallemos el volumen apróximado del depósito

b) ¿Cuántos litros de agua puede contener

c) Si un litro de agua se vende a $14,5. ¿Cuánto dinero

se recauda?

d) Si en la comunidad hay 135 casas y cada una

consume en promedio 99,5 litros de agua cada día,

¿para cuántos días alcanza el agua?

e) Si una familia de 15 miembros puede consumir el

depósito en 30 días, ¿en cuántos días lo consumirá

otra familia que tiene 5 miembros más…?

33

3

1000000

1000

1

1

:Re

cmm

cmlitro

quecuerde


mapb

165

165

c) Vendiendo los 10´102.400 litros de agua a $14.5, se recauda:

d) Como cada casa consume en promedio 99,5 litros de agua por día, las 135 casas

consumen en un día:

Aplicando una regla de tres simple directa . Entonces:

e) Como a más personas consumiendo agua, la misma alcanza para menos días, en este

caso, aplicamos una regla de tres simple inversa. La primera familia tiene 15 miembros

y la segunda 20 miembros, porque según el enunciado, tiene 5 más. Entonces:

EJERCICIOS

1. Halle el volumen, el área total y la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones miden 6m,

12m y 8m.

2. Las dimensiones de un ortoedro son: 5m, 9m y 12m. Calcule el volumen, el área total y la

diagonal.

3. El volumen de un ortoedro es de 192cm3 y dos de sus dimensiones son 8cm y 6cm. Halle

la otra dimensión, el área lateral y la diagonal.

4. ¿Cuánto cartón se necesita para hacer una caja sin tapa, que tenga forma de ortoedro rectangular cuyas dimensiones sean: 4cm, 3.5cm y 2cm. Sugerencia: Halle el área de las caras.

5. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular miden: 6m, 8m y 3m.

a) ¿Cuánto cartón se debe comprar para construir el paralelepípedo sin tapa y cuánto, con tapa?

b) Si el m2 de cartón cuesta $ 46.89, ¿con cuánto dinero se pueden construir los

paralelepípedos?.

6. Se van aguardar libros en una bodega de dimensiones 4m, 7m y 3m. Si la dimensión de

cada libro es 20cm, 10cm y 4cm, calcule el número de libros que se puede guardar en esa

bodega.

7. Las dimensiones de una piscina que tiene forma de ortoedro miden 30m x 10m x 3m.

a) Halle el volumen de la piscina

b) Si se estima que una persona tiene un volumen de 51000cm3, ¿cuántas personas

caben en la piscina?

c) Si el litro de agua cuesta $25.56, ¿cuánto cuesta llenar la piscina?

d) Si una llave que vierte 20 litros por segundos, llena la tina en 12 horas, ¿en cuántas

horas la llenará otra llave que vierte las 2/5 de la primera en el mismo tiempo?

Nota: Para cada ejercicio, construya una gráfica que represente la situación.

800.484´146$)400.102´10(5,14Re caudo

litros5,13432)5,99(135

díasxdondeDe

x

díasLitros

08,7525,13432

400.102´10:

400.102´10

15,13432

díasxx

dondeDe

x

díasPersonas

5,2220

1530

15

2030:

20

3015


mapb

166

166

VOLUMEN Y ÁREA DE UN CUBO O HEXAEDRO

Fórmula para calcular la arista.

El volumen de un cubo es igual a la arista al cubo, o sea, elevada a la 3.


EJEMPLO 1.

Calculemos el volumen, el área total y la diagonal de un cubo de 4,25m de arista.

Solución:

3Vk

K

K

K

Arista

kd 3

.6

6242

.22.

.4

4

.

2

222

22

2

22222

33

kA

kkkBAA

kBkB

kA

kkkkkA

kVkkkkV

T

LT

L

L

73,13

4,25m

mmkd

mmmkA

mmkVmk

T

35,7)25,4(73,13

.37,108)062,18(6)25,4(66

76,76)25,4(.25,4

2222

333

K

K K

Todas las caras son cuadrados.

Hay 2 caras que sirven de base, y 4 que

son caras laterales


mapb

167

167

EJEMPLO 2.

Si la arista de un cubo se duplica, ¿en cuánto crece el nuevo volumen?

El nuevo volumen(2) es 8 veces el volumen inicial (1) ó el volumen inicial (1) es la octava

parte del volumen final (2). Lo que indica, que por cada unidad del volumen (1), hay ocho

unidades del volumen (2). O sea, están en una proporción de 1:8 ó de 8:1

Haciendo uso de la ecuación anterior( ), complete la siguiente tabla para los valores

indicados e indique la proporción

Proporción

8

3

30 1:8

15

5

¿Qué puedes opinar acerca de las proporciones?

EJERCICIOS

1. La arista de un hexaedro mide 4m. Calcule el volumen, el área total y la diagonal.

2. Halle el volumen, el área lateral y la diagonal de un cubo de 5,8cm de arista.

3. Halle la arista y la diagonal de un cubo cuyo volumen es de 512m3.

4. El volumen de un cubo es de 125cm3. Halle: La arista, el área total y la diagonal.

5. La diagonal de un cubo mide 10,38cm. Halle: La arista, el área total y el volumen.

6. ¿Cuánto cartón se necesita para construir un caja de forma cúbica de 9,5 cm de arista

8. Si el m2 del numeral 6 cuesta $ 250,25. ¿Cuánto dinero se necesita?.

9. Si la arista de un cubo se triplica, ¿en cuánto crece el nuevo voumen y la nueva área

total?

10. Si la arista de un cubo se reduce a la mitad, ¿en cuánto decrece el nuevo volumen y la

nueva área total?

12

2

1

3

3

2

1

33

2

33

1

8:,8

1

8

:)2()1(

)2.....(8)2()1.....()(

:

VVdondedeV

V

k

k

V

V

yvolúmeneslosentreproporciónlandoEstablecie

kkVkkV

volúmeneslosHallemos

12 8VV

1V 2V

Como se puede observar, la

arista del cubo de la derecha es

el doble de la del cubo de la

izquierda k

1V

2k

2V


mapb

168

168

VOLUMEN Y ÁREA DE UN PRISMA

n = Número de lados. L = longitud de los lados. h = altura.

B = área de la base. a = apotema. P = perímetro.

BhV . Pero: 22

PanLaB . Entonces:

2

ahnBhV

L .

nLhAL

h)nL(aAT

)(222

hanLnLhnLanLhnLhBAnLa

T

El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.

El área lateral de un prisma es igual al producto de la altura(h) por el perímetro de la sección

recta.

EJEMPLO

Un prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero de 8m de lado. Si la altura

del prima es de 10m, calculemos el volumen y el área total.

Solución:

8m

10m

2

2

68,272

36,55

2

)92,6(8

2

.92,62

84,13

2

)8(73,1

2

3

10.8..2

.2

3

mmmmhb

B

mmmL

h

mhmLtriánguloÁreahb

A

equiláterotriánguloalturaFórmulaL

h

a

L

L

h

En este caso, el prisma es pentagonal,

porque su base es un pentágono.

Cualquier polígono puede servir de base.

Todas las caras son crectángulos.

L

L

h

L

L



mapb

169

169

EJERCICIOS

1. Un prisma recto tiene como base un cuadrilátero cuyos lados miden 8cm y 12cm. Halle el

área total y el volumen, si la altura mide 15cm.

2. Un prisma triangular recto tiene por base un triángulo equilátero de 4cm de lado. Si la

altura del prima es de 7cm, calculemos el volumen y el área total.

3. Un prisma hexagonal recto tiene por base un hexagono de 2m de lado. Si la altura mide

90cm, halle el volumen y el área lateral.

Ayuda: . Apotema de un hexagono.

4. Un poste de alumbrado tiene 6m de altura y base hexagonal regular de 18cm de lado.

Calcule el volumen y el área total del poste.

5. Un prisma tiene por base un cuadrado de 10m de lado. Si alcanza una altura de 5m, halle

el volumen y el área total.

6. Un prisma tiene por base un rombo cuyas diagonales miden 9m y 14m. Si el prisma

alcanza una altura de 3m, halle el área total y el volumen.

7. Para almacenar agua, una comunidad construye un lago en un terreno. Dos de las caras

laterales son trapecios isósceles cuyas bases miden 9m y 12m, el fondo y las otras paredes

son rectángulos. Las caras trapezoidal están separadas por una distancia de 100m. Si

máxima altura que alcanza el agua almacenada es de 5m, determine:

a) La capacidad(volumen) del lago. Exprese el volumen en litros

b) Si cada litro de agua tiene un valor de $245,86 ¿cuánto dinero recaudará la

cominudad?

totaláreaelesestammBAA

baseslasdeáreaelesestamB

lateraláreaelesestammnlhA

n

volumenelesestemmBhV

LT

L

2

2

2

3

295,36m

55,36m

240m

276,8m

22

2

2

36,552402

.)68,27(22

.)10)(8(3

.3

)10(68,27

2

3 La


mapb

170

170

VOLUMEN Y ÁREA DE UNA PIRÁMIDE

EJEMPLO

Hallemos el volumen de una pirámide que tiene una altura de 11m y su base es un rectángulo

de 7m y 4m de lado

Solución:

EJERCICIOS

1. Halle el volumen de una pirámide que tiene 5cm de altura y su base es un cuadrado de 8cm de

lado.

2. Halle el volumen de una pirámide que tiene 15m de altura y su base es un rectángulo de 500cm y

300cm.

3. Halle el volumen y el área total de un tetraedro regular si la arista mide 8cm.

Tetraedro regular: Pirámide cuya base y caras laterales son triángulos equiláteros

4. Una de las pirámides de Egipto tiene como base un cuadrado de 9m de lado y alcanza una

altura de 4m. Halle el volumen de la pirámide. 5. Una de las pirámides de Egipto tiene como base un cuadrado cuyo lado mide 232m y la arista de

las caras laterales tiene igual medida que el lado de la base. Calcule el volumen y el área total.

caraunadeáreal

Atetraedrovolumenl

V ....4

3....

12

2 23

32

2

66,1023

)11(28

3:

28)4(7:

.33

1

mmmBh

V

mmmB

BAABh

BhV

pirámideVolumen

baseladeÁrea

LT

11m

7m

4m

BAABh

BhLT

V .33

1

El volumen de una pirámide es igual a 1/3 del producto del área de la base por la altura.

El área lateral se halla sumando las áreas de los triángulos (caras laterales).

En una pirámide regular, la apotema es la altura de los triángulos isósceles de las caras laterales

Cara lateral

Altura

Arista

Base

h


mapb

171

171

VOLUMEN Y ÁREA DE UN CILINDRO CIRCULAR RECTO

EJEMPLO1.

Hallemos el volumen y el área lateral de un cilindro que tiene un diámetro de 9cm y una

altura de 14cm.

Solución:

)(2)(222

2.2..

.1416,3.2

.2

....

2

22

rhrArhrrrhA

BAArhArBhrV

drrd

GeneratrizgAlturahRadiorDiámetrod

TT

LTL

12cm

9cm

.29,339)12)(5,4)(1416,3(22

4,763)12)(25,20)(1416,3(

).12()5,4)(1416,3(

.1416,3.12.5,42

9

2.9

2

22

22

cmcmcmrhA

cmcmcmV

cmcmhrV

cmhcmcmd

rcmd

L

El volumen de un cilindro se

halla multiplicando el número

por el radio al cuadrado y

por la altura

h

r

d

h

r

r2

r


mapb

172

172

EJEMPLO 2.

¿Cuál debe ser el radio de un cilindro para que el área lateral sea el triplo del área de la base?.

Solución:

El ejemplo nos muestra, que el área lateral equivale tres veces el área de la base, entonces:

El radio debe ser las dos terceras partes de la altura.

Halle el valor del radio para las siguientes alturas: 10m, 15cm, 25m y 36cm.

EJERCICIOS

1. Un tanque cilíndrico tiene 5m de radio y 10m de altura. Halle el volumen y el área total.

2. La base de un cilindro tiene un diámetro de 16cm. Calcule el volumen y el área total, si la

altura es de 2cm.

3. ¿Cuál es la altura de un tanque cilíndrico que tienen una capacidad de 400litros, si su

diámetro es de 75cm. Ayuda: Litro = 1000cm3.

4. Un tanque cilíndrico tiene 1000cm de diámetro y 12cm de altura. ¿Cuántos galones de

gasolina puede contener?. Ayuda: Galón = 3,78 litros.

5. Un tanque cilíndrico tiene 500cm de diámetro y 2,5m de altura. Calcule el área total y el

volumen.

6. ¿Cuál es el radio de un cilindro, si el área lateral es el doble del área de la base?.

VOLUMEN Y ÁREA DE UN CONO

.3

2

3

232

:),1()3()2(Re).3().2(2

)1(3

3

22

2

2

hh

rh

r

rrrh

tieneseenyemplazandorBrhA

BA

L

L

)()(

..3

1..

2

2222

rgrArgrrgrBAA

rBrgAhrVrghGeneratrizg

TLT

L

h g

r

r

g

r2


mapb

173

173

EJEMPLO

Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 1,12m y 2,4m. ¿En qué

proporción están sus volúmenes?.

Solución:

Los volúmenes están en una proporción de 1 a 5, o sea, que V1 es la quinta parte de V2 o en

su efecto, V2 es 5 veces V1.

EJECICIOS

1. El radio de la base de un cono recto mide 4m. Si la altura y la generatriz miden 5m y 8m,

respectivamente. Halle el volumen y el área total.

2. Halle el área total y el volumen de un cono sabiendo que el radio de la base mide 3cm, la

altura 5cm y la generatriz 6cm.

3. Halle el volumen y el área total de un cono sabiendo que el diámetro de la base mide12m,

la altura 6m y la generatriz 9m.

4. Dos conos tienen la misma altura y los diámetros de sus bases miden 8cm y 4cm. ¿En qué

proporción están sus volúmenes?.

5. Dos conos tienen el mismo diámetro y sus alturas miden 6cm y 4cm. ¿En qué proporción

están sus volúmenes, áreas laterales y áreas totales?.

6. La generatriz de un cono mide 12m y el área lateral de la superficie desarrollada forman

un sector circular de 60º. Calcule el volumen y el área total.

7. Si el área total de un cono es 75,24cm2 y la generatriz es el doble del radio de la base,

determine el volumen.

8. La capota de una lámpara es de forma cónica. Su diámetro es de 6,5cm y su altura es de

14cm. ¿Cuál es el volumen?.

VVV

V

h

h

V

V

proporciónlandoEstablecie

hhhrVhhhrV

volúmeneslosCalculando

122

1

2

1 55

1

5

1

10

22,0

48,0

10,0

:

.48,0)2,1(3

1

3

1.10,0)56,0(

3

1

3

1

:

22

22

22

11

h

g

d2

h g

d1

mmd

r

mmd

r

mdmdhh

2,12

4,2

2

56,02

12,1

2

.4,2.12,1.

22

11

21


mapb

174

174

VOLUMEN Y ÁREA DE UNA ESFERA

Semiesfera: Mitad de una esfera.

EJEMPLO

Si el diámetro de una esfera es tres veces el radio de otra esfera, determine:

a). La razón entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas.

c). La razón entre los dos volúmenes.

Solución:

.

2

9

24

108

3

8

274

3

2

34

3

4:1

.4

9:.

4

9

4

9

4

9

:

.4.94

94

2

344:1

.3

2

2

3

.2

332

33

33

3

1

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

21

2

1

1

22

22

1

2

11

2

1

2

1

11

12

2:exp.

2

3

rr

rr

r

VesvolumenEl

A

A

r

r

A

A

áreaslasentreproporciónlandoEstablecie

rAr

rrrAesáreaEl

rry

rr

r

r

rr

esáreaslasderazónLa

quetieneseresiónanteriorlaDeesradioslosderazónLa

Esfera 1 Esfera 2

D1 = 3r2

2r1 = 3r2

33

2

13

4

3.

4

4.6

1

3

4

82.

2

2233

33

3

VVr

Ar

drAdrV

ddr

dr

r


mapb

175

175

EJERCICIOS

1. Calcule el volumen y el área de una esfera de 1,5cm de radio.

2. Halle el volumen y el área de una esfera de 5m de diámetro.

3. Los radios de dos esferas miden 4m y 6m. Halle los volúmenes y las áreas

4. 8cm y 7cm son los diámetros de dos esferas. ¿En qué proporción están los volúmenes y

las áreas?.

5. Halle el volumen y el área de una semiesfera de 9m de diámetro.

6. Encuentre el espesor de una esfera hueca, si la superficie exterior mide 4m2 y la

interior 3,8m2. Ayuda: Calcule los dos radios y establezca la diferencia.

7. El área de una esfera mide 40cm2. Halle el radio y el volumen de la esfera.

8. El volumen de una esfera es de 27m3. Halle el radio y el área.

9. ¿Porqué número debe multiplicarse el diámetro de una esfera para que: a). Su área se

duplique? b). Su volumen se triplique?.

10. Si el diámetro de una esfera es el doble del radio de otra esfera, determine: a). La razón

entre los dos radios. b). La razón entre las dos áreas. c). La razón entre los dos

volúmenes.

RELACIÓN ENTRE EL VOLUMEN DE UN CILINDRO CIRCULAR CIRCUNSCRITO A UNA

ESFERA (LA ESFERA DENTRO DEL CILINDRO)

.8

27:.

8

27

8

27

8

327

3

4

2

9

.3

4:2

2

1

22

2

2

1

2

3

2

3

3

3

2:

esvolúmeneslosderazónLa

volúmeneslosentreproporciónlandoEstablecie

V

V

r

r

r

r

V

V

r

VesvolumenEl

Lo anterior se interprreta a sí: El volumen del cilindro es 3/2 del volumen de la esfera o el volumen de

la esfera es 2/3 del volumen del cilindro

V cV eoV eV cV e

V c

V e

V c

x

x

x

x

yvolúmenesdoslosentrerelaciónlandoEstablecie

3

2

2

3

2

3

2

3

4

6

4

6

:)2()1(

3

3

3

3

6

4

x

x

Como se puede observar, dentro del cilindro hay una esfera

cuyo diámetro es igual a la altura y al diámetro del cilindro

Hallemos los volúmenes y establezcamos la relación:

)2.....(6

3

3

3

24

3

34.

2

)1.....(4

)()2

.2

)(

(.3222

xrr

Esfera

xhrhrrxh

Cilindro

x

V ex

xxV c

x


mapb

176

176

VOLÚMENES DE SÓLIDOS TRUNCADOS, SECCIONADOS Y EN DIFERENTES POSICIONES

VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE

EJERCICIOS

1. El área de las bases de un tronco de pirámide miden 16cm2 y 8cm

2. Si la altura que las separa es

de 7cm, halle el volumen del tronco de pirámide que forman.

2. Las bases de un tronco de pirámide son dos cuadrados de 10m y 6m de lado. Calcule el volumen,

si altura que las separa es de 8m.

3. Las bases de un tronco de pirámide son dos triángulos equiláteros de 5cm y 0,15m de lado. Si la

altura que separa las dos bases es de 15cm, halle el volumen.

4. Dos rectángulos uno de 4cm y 7cm de lado y el otro de 3,6cm y 4,9cm de lado, son las bases de

un tronco de pirámide. Halle el volumen.

5. Los volúmenes de un tronco de pirámide y una pirámide miden 36m3 y 20m

3. Si el tronco

sostiene la pirámide y las dos bases están separadas por una distancia de 10m, halle la altura de la

pirámide y la altura que alcanzan las dos figuras.

VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO

EJERCICIOS

1. Un tronco de cono tiene como bases dos círculos de 18cm y 9cm de diámetros. Si la altura que las

separa es de 5cm y su generatriz mide 8cn, halle el volumen y el área total

2. 8,5m y 4,5m son los radios de un tronco de cono. Si la altura que separa los dos círculos mide 3m

y la generatriz vale 7m, halle el volumen y el área lateral.

3. 14cm y 8cm son los radios de un tronco de cono. Si la altura del tronco mide 9cm, halle: a). El

volumen. b). El volumen del cono restante. c). l volumen de todo el cono.

.

33

1

.2.1

3

31

2

1

22121

22121

21

2

1

21

2

.

2

h

h

V

V

hBBBBhBBBBV

hhhh

h

h

baseladeÁreaBbaseladeÁreaB

pírámideladeAltura

basesdoslasseparaqueAltura

pirámideladevérticeelhastabaseladesdevaqueAltura

h B2

h1

h2

B1

B2

B1

h

)(

)(

33

1

..

.2.2.

22

22

222

2

1

2

21

..

rRAA

rRgA

RrrRhRrrRhV

r

R

h

h

r

R

d

D

rdRDhhh

R

LT

L

menorcírculoRadiormayorcírculoRadio

h

h2

h1

R

r


mapb

177

177

R

h

CILINDRO OBLICUO

hRV 2

1

h

2

h

R

CILINDRO TRUNCADO

)( 21

2 hhRV

R r

h

CILINDRO HUECO

)( 22 rRhV

R

h

CONO OBLICUO

3

2hRV

h

R

SECTOR ESFÉRICO

3

2 2hRV

d

D

k

ELIPSOIDE

3

4 DdkV

h

b

B

SEGMENTO ESFÉRICO

áreassonbyB

hhbBV

,

62

3

n

R

CUÑA

gradosenÁngulon

nRV

3603

4 3


mapb

178

178

PRINCIPALES POLÍGONOS

Polígono: Figura cerrada que tiene varios lados.

Polígono regalar: Es aquel que tiene sus lados iguales (la misma medida)

Figura

Nombre

Características

Área

Triángulo

Tiene tres lados, tres ángulo y

tres vértices

Triángulo

rectángulo

Tiene un ángulo recto(90º)

Triángulo

isósceles

Tiene dos lados iguales

Triángulo

equilátero

Tiene tres lados iguales

Cuadrilátero

Tiene cuatro lado

Rectángulo

Cuadrilátero que tiene los

cuatro ángulos iguales y los

lados paralelos iguales dos a

dos

Paralelogramo

Tiene sus lados paralelos e

iguales dos a dos

Trapecio

Tiene un par de lados

opuestos paralelos

Cuadrado

Tiene 4 lados y 4 ángulos

iguales

Rombo

Tiene 4 lados iguales y los

ángulos contiguos desiguales

Pentágono regular

Tiene 5 lados iguales

Hexágono regular

Tiene 6 lados iguales

2

bh

2

bh

2

bh

2

bh

bh

bh

2

hbB

2k

2

Dd

2

nla

2

nla

h

b

h

b

B

h

b

b

h

k

l a

D d


mapb

179

179

PRINCIPALES POLIEDROS

Poliedro: Sólido que tiene varias caras.

Poliedro regular: Cuando las caras son polígonos regulares iguales.

Figura

Nombre

Características

Tetraedro regular

Tiene 4 caras iguales. Las caras son triángulos

equiláteros

Cubo o hexaedro

Tiene 6 caras iguales. Las caras son cuadrados

Prisma recto

Poliedro limitado por varios paralelogramos y

dos polígonos iguales cuyos planos son

paralelos(bases)

Paralelepípedo

Prisma cuyas bases so paralelogramos

Pirámide

Poliedro que tiene una cara llamada base, que

es un polígono cualquiera y las otras , llamadas

caras laterales son triángulos que tienen un

vértice común.

Cilindro

Sólido formado por dos curvas cerradas

paralelas.

Cilindro

Sólido formado por dos curvas cerradas

paralelas.

Esfera

Sólido o espacio limitado por una superficie

curva cuyos puntos equidistan todos de otro

interior llamado centro.


mapb

180

180

VOLUMEN TOTAL

El volumen total de un cuerpo sólido que está formado por varios poliedros regulares, se

halla sumando los volúmenes.

321 VVVVT TV Volumen total. 1V Volumen primer sólido.

2V Volumen segundo sólido. 3V Volumen tercer sólido.

Volumen sólido cuatro, cinco, seis, siete, ocho, …

EJERCICIO

Para cada figura, halle el volumen total:

3

4..

3

32.

2

..

32

2

3

rhr

hr

BhPahnlah

BhabhK

5cm

3cm 3cm

11cm

8cm

4cm

1

10m

10m 10m

12m

9m

2

14,78m 8m

9,8m

7,96m

11,6m

5m

16m

10m

3

Halle el área total de las figuras 2 y 3

Análisis:

Halle por separado el volumen de cada

uno de los sólidos involucrados en la

figura, luego, sume los volúmenes


mapb

181

181

VOLUMEN LIMITADO POR DOS SÓLIDOS

El volumen limitado por dos sólidos, se halla estableciendo la diferencia (resta) entre el

volumen del sólido mayor y el sólido menor.

memaL VVV . LV Volumen limitado por los dos sólidos.

maV Volumen sólido mayor. meV Volumen sólido menor.

EJERCICIO

Para cada figura, halle el volumen limitado:

14,6m

8m

3

14m

17m

5

7 8

8

1

7cm

9cm

19cm

15,79cm

6

19m

10,5m 8,2m

4

18cm

18cm

6cm

2

Análisis:

Calcule el volumen del sólido mayor.

Calcule el volumen del sólido menor.

Halle la diferencia (resta) entre los dos volúmenes


mapb

182

182

ALGEBRA Y GEOMETRÍA -- VOLUMEN

En este capítulo estableceremos una relación entre la aritmética, el algebra y la geometría.

Expresaremos algebraicamente los cálculos que sobre los principales poliedros (sólidos)

realizamos aritméticamente. Es importante recalcar, que la conexión se establece con los

mismos conceptos que sobre volumen y áreas conocemos de cada poliedro.

EJEMPLO

Dada la siguiente figura, hallemos la expresión algebraica que representa el volumen y el

área de la región sombreada. Además, el valor numérico para x = 2.

, valor numérico

Para la región sombreada:

La misma es un rectángulo cuyos lados miden . Pero es la diagonal de la cara

frontal del poliedro, aplicando el teorema de Pitágoras para esta diagonal:

5221244)1()2( 22222 xxxxxxxxd , este es el valor del

lado del rectángulo, calculando el área del rectángulo ( región sombreada):

5121162522)1()1( 2342 xxxxxxxxdA

212,36u 1535244448325)2(12)2(11)2(6)2(2 234A

EJERCICIOS

1. Aplicando el concepto y la fórmula para cada sólido, halle la expresión algebraica que

representa el volumen y el área total de cada figura. Si en alguna figura hace falta

informción, no realice el cálculo exigido

Solución: El poliedro involucrado es un ortoedro de

dimensiones . Entonces:

,

esta es la expresión algebarica que representa el

volumen

d


mapb

183

183

RECUERDE:

El volumen se expresa en unidades cúbicas…………….u3 = unidad cúbica.

Después de reemplazar las letras por su valor numérico, y realizadas la operaciones

indicadas, al número que resulta se agrega u3.

2. Para cada figura, halle el volumen limitado.

6

2y +4 2z + 2

z + 1

4 5

2x 1

x = 2, y = 3, z =

4

Halle el área

lateral y total

de las figuras:

1, 3, 4 y 8

3

x 1

3x

3x + 2

6x 2

2 3y + 1

5y 2

x

2x + 1

2x + 3

7 8 x + 4

2x + 1

y + 4

2y + 3

y

9

2x + 2

5x

4x + 3

1

2

2y + 1

2y + 6

2y

3

3z + 1

z + 4 z

3x + 2

5

5x 4

5z 3

z 4


mapb

184

184

3. Para cada figura, halle la expresión que representa el volumen y el área de la región

sombreada y además, halle el valor numérico para: 1x

x

2x + 2

2x

x

3x

4x

6x

2x

x+ 1

4x 3 2x + 1

x

x +3

x+ 1

x

A B

E C

D

El perímetro de la figura ABCDE mide

160m. El triángulo CDE es equilátero. Si el

lado AB es el doble del lado BC, halle el

perímetro del triángulo y el área total de

la figura

M N

P Q

El perímetro del cuadrado MNPQ mide

480m. El cuadrado mayor se ha dividido

en 4 cuadrados, el cuadrado de la parte

inferior izquierda se ha dividido en 6

rectángulos, halle el perímetro del

rectángulo rayado(tramado)


mapb

185

185

CÁLCULO DE LA ALTURA, VOLUMEN, ÁREA LATERAL Y ÁREA TOTAL DE UN

TETRAEDRO REGULAR

Para hallar la altura h del tetraedro, primero debemos determinar los valores del cateto K y de

la hipotenusa r del BQF, para luego, calcular la altura FR = h del triángulo QRF que es la

misma altura del tetraedro.

Calculando :

Calculando en el QRF la altura :

….esta es la altura del tetraedro

Calculando el área de la base:

El volumen del tetraedro es:

ryK

6L3

K

63

33

230tan

22

30tan LLgLKLKg

3

rL3

3

2

4

2

22 363

63 22

2222 LLLLK LLr

h

Lh3

2

3

223

22222 LLLrLh

4

L3 2

2

2

3

2

)(

)(.....23

LL

QMLB

equiláteroPQDdelalturaL

QM

12

L3V

3

12

L2

3

L3

2

4

2L3

3

3BhV

TETREADRO REGULAR: Poliedro que

tiene 4 caras iguales, las mismas son

triángulos equiláteros. Esto muestra,

que las aristas tienen la misma medida.

En nuestro caso, la figura PQRD es un

tetreadro regular de arista L.

El triángulo PQD es la base del

tetreadro y además es equilátero. Cada

uno de los ángulos interiores de estos

triángulos mide 60°.

Las alturas que se trazan en un

triángulo equilátero son bisectrices,

medianas y mediatrices.

Todos los triángulos que forman las

alturas y las intersecciones de las

mismas son rectángulos, y además son

30°, 60° y 90°.

M

30°

L L

P Q

R

D

F

h

2LB

r

L

K

Calcule usted el área

lateral y el área total


mapb

186

186

AUTO EVALUACIÓN NRO 5

1. Relacione cada figura con la fórmula para calcular su área:

a Triángulo. e Corona circular. i Círculo

b Cuadrado. f Embecadura. j Polígono regular.

c Rombo. g Sector circular. k Elipse.

d Trapecio. h Trapecio circular.

.2

)(.

2.

360.

2.

22.

2

22hbBrrDdpanlabh

.

360.

2.

4

4..

222222222

rRrRrrkrR

2. Relacione cada figura con la expresión que permite determinar su volumen:

a Esfera. e Cubo.

b Tronco de cono. f Cilindro.

c Prisma. g Tronco de pirámide.

d Ortoedro. h Pirámide.

).(2.22

.2)(2..6. 2 rhrpahnlah

abbahBhkabh

)(.3

...4. 3222 rgrBh

BAkrrR L

.3

.3

)(.

3

4.

3

21212232 hBBBBRrrRhrhr


5,85cm

2,85cm

15,54cm

3cm

9cm

7cm

4cm

7,56cm

16,5cm

4,1cm

AT = ?


mapb

187

187

4. Dada la siguiente figura, halle la expresión algebraica que representa el área:

x

x 1

3x + 3

x + 1

4x 3

2x + 6

x + 2

3x 1

5x + 1

2x 1

AT = ?

8m

8 m

30m

8 cm

9m

6m

12,68m

3cm

4,5cm

r = a 6m

5m

4m

Halle el área de la región sombreada (pintada)


mapb

188

188

5.

a) Los lados de un rectángulo están en relación de 5 a 2. Si su perímetro es de

20m, halle el área.

b) Las bases de un trapecio miden 40cm y 20cm. Si la altura es las 2/5 partes de

la base mayor, halle el área.

c) Los lados de un triángulo miden: 8cm, 14cm y 20cm. Halle el área.

d) Los diámetros de dos círculos miden 8m y 4m, ¿en qué proporción están sus

áreas y sus perímetros.

e) El área de un triángulo mide 255cm2. Si la base mide 20cm, halle la altura

f) Halle el área de un hexagono regular de 30cm de lado.

g) Un cuerpo celeste que gira alrededor de la tierra describe una elipse cuyos

diámetros mayor y menor miden 800000km y 500000km. Halle el área de la

región delimitada por la órbita del cuerpo celeste y la distancia que recorre en

dos vueltas y media.

6. Para cada figura, realice el cálculo indicado:

3cm

1cm 1cm

9cm

6cm

2cm

VT = ?

12m

12m 12m

14m

11m

VT = ?

11,78m 5m

6,8m

4,96m

8,6m

2m

13m

7m

VT = ?


mapb

189

189

7. Para cada figura, halle la expresión algebraica que representa el volumen:

8.

a) ¿Cuánto cartón se necesita para hacer una caja sin tapa cuyas dimensiones

sean 18cm x 25cm x 40cm.

b) Una tina de forma cúbica tiene 5,64m de arista.

¿Cuántas baldosas de dimensiones 50cm x 51cm se necesitan para

cubrirla?

¿Cuál es la capacidad de la tina?

Si el litro de agua cuesta $20,25. ¿Cuánto dinero se debe invertir para

llenarla?

c) Las dimensiones de una sala de un primer piso son 8m x 10m x 4m.

¿Cuántas baldosas de dimensiones 30cm x 30cm se necesitan para

embaldosarla?

Si se decidde convertir la sala en una bodega, ¿cuántos libros de

dimensiones 20cm x 30cm x 4,5cm caben en la sala?

d) Si la arista de un cubo se duplica, ¿cuánto crece el volumen y el área?

e) Los diámetros de una esfera hueca miden 20cm y 18,34cm. Halle el volumen

del metal limitado por los dos diámetros.

f) Si el diámetro de un cono es la mitad del diámetro de otro cono, y si ambos

tienen la misma altura, halle la razón entre los volúmnes y las área de las

bases.

x+ 1

x 1 x 1

4x + 2

3x + 2

x

VT = ?

x + 1

x + 1

x + 1

3x + 1

4x + 2

VT = ?

5x + 2 7x 3

3x +1

3x + 2

2x + 3

x

5x 2

9x

VT = ?


mapb

190

190

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Geometría analítica = Geometría plana y del Espacio + Álgebra. Establece la relación entre

las diferentes figuras geométricas y su representación algebraica, y además analiza el

comportamiento… Hoy, es el componente clave de la Física y la Astronomía,

principalmente; pero, interviene en la comprensión de las demás ciencias y en la aplicación

de todas ellas…

PLANO CARTESIANO

La siguiente figura es un plano cartesiano.

En el plano cartesiano se representan puntos de la forma . son las coordenadas

del punto .

Ejemplos de puntos de la forma :

Escribe 5 puntos más…

yxP , yx,

P

yxP ,

5,50,5,6,4,0,7,6,0,4,3,3,2 SyKRPDBA

ordenadaslasdeEjey

abscisaslasdeEjex

Ejesyx

,

En el eje horizontal, de cero hacia la derecha

se ubican los positivos y hacia la izquierda, los

negativos.

En el eje vertical, de cero hacia arriba se

ubican los positivos y hacia abajo, los

negativos.

ABSCISA: Es la distancia de un

punto al eje de las ordenadas(y)

ORDENADA: Es la distancia de un

punto al eje de las abscisas(x)

Ordenadas

Abscisas x

y

1 2 3 1 2 3

1

2

2

3

3

4

4

1

Abscisa

Ordenada

0


mapb

191

191

EJERCICIO Para cada uno de los puntos anteriores, identifique la abscisa, la ordenada y las coordenadas

Solución:

GRÁFICA DE UN PUNTO EN EL PLANO CARTESIANO PROCEDIMIENTO Se identifican las abscisas y las ordenadas de cada punto.

Se traza un plano cartesiano que incluya las coordenadas de cada punto, para ello, se

identifica el mayor y el menor valor de la abscisa y de la ordenada, estos valores indican

el tamaño del plano. El plano se extiende un punto más allá de los valores máximos. La graduación(escala) de cada eje, puede hacerse de acuerdo a la conveniencia del interesado.

Para graficar un punto: En el eje se identifica el valor de la abscisa y se traza una

perpendicular discontinua que pase por la misma, luego, en el eje , la ordenada y se

traza una perpendicular discontinua que pase por ella. Donde se cortan las dos

perpendiculares, se ubica el punto.

NOTA Cuando una de las coordenadas del punto es cero, el punto queda ubicado sobre uno de los ejes

EJEMPLO

Grafiquemos los siguientes puntos:

Solución:

Máximo valor de 4, mínimo valor de 2. Máximo valor de 3,

mínimo valor de 4

Construyamos el plano con estas especificaciones.

sCoordenada

Ordenaday

Abscisax

A

3,2

3

2

3,2

xy

0,4,4,2,3,0 DBA

x x yy

4,23,0 BA

x y x y

3

1

0 4

0,4D

x

y

1 1 2 2 3 3

1

2

2

3

4

4

5

5

4,2 B

3,0A

EJERCICIO

Gráfica en un mismo plano los

puntos del ejercicio anterior y

los tú que inventaste

x y

Analice los demás puntos


mapb

192

192

GRÁFICA DE UN NÚMERO DECIMAL

Consideremos el borde graduado de una regla.

Debido a que nuestro sistema de numeración es decimal (en base 10), el espacio que

existe entre dos números enteros consecutivos, se considera dividido en 10 partes

iguales.

El espacio comprendido entre 0 y 1 es dominado por el 0, allí se ubican los decimales que

empiezan por 0; el espacio comprendido entre 1 y 2 es dominado por el 1, allí se ubican los

decimales que empiezan por 1; el espacio comprendido entre 2 y 3 es dominado por el 2, allí

se ubican los decimales que empiezan por 2; y a si sucesivamente.

¿Quién domina el espacio comprendido entre: 3 y 4, 4 y 5, 50 y 60, 90 y 100, 200 y 300?.

EJEMPLO

Grafiquemos los siguientes números decimales: 0,5; 0,8; 1,3; 2,3 y 3,5.

Solución:

Como el mayor decimal es 3,5; la recta numérica se gradúa hasta 4, por ser el número entero

más próximo.

EJERCICIO

Grafique los siguientes decimales: 2,4; 0,5; 1,5; 3,1; 4,5; 0,75; 0,25; 0,86; 1,9; 2,6 y 4,2.

GRÁFICA DE UN NÚMERO RACIONAL E IRRACIONAL PROCEDIMIENTO

a) Se divide el número racional(numerador denominador) hasta obtener una o dos cifras

decimales.

b) En la recta numérica se identifica la posición del decimal(cociente), y en ese lugar se

ubica el número racional.

c) Si el número es irracional, se le extrae raíz y se aplica el paso b.

0,2

0,1

0

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

0 1 2 3 4

0,5

0,8

1,3

2,3

3,5


mapb

193

193

EJERCICIOS

1. Grafiquemos los siguientes números racionales:

Los puntos indican la ubicación aproximada de cada racional.

..............................................................................................Grafique los demás racionales e irracionales.

2. Grafique en un mismo plano cartesiano los siguientes puntos:

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 1. PUNTOS SOBRE UNA RECTA PARALELA AL EJE X

5,4292

9.33,3310

3

10.5,021

2

1

:

33 25,2,5

4,

2

9,

4

3,

2

1,

3

10,

2

9,

2

3,

2

1,

3

4,

4

5,

2

3,

2

1

Sol

y

4 25,3 910,2,2

3,5,

2

3,0,

2

3,0

,4

3,

3

16,

2

11,5,

2

7,

2

9,6,

3

4,0,

3

7,

2

9,0

DyGTRR

QPEDBA

5 0 1 2 3 4 2 3 4 1

310

21

29

NOTA: La distancia siempre es positiva. Si el resultado es negativo, debe escribirse con signo positivo

Como la recta es paralela

al eje X, en ambos puntos

la segunda componente

tiene el mismo valor,

entonces:

Luego:

011 yy

12 xxd

y

),( 122 yxP

x

d

2x0

),( 111 yxP

1x

1y


mapb

194

194

EJEMPLOS

a) Hallemos la distancia que recorre un móvil entre los puntos P1( 4, 5 ) y P2( 5, 5 ).

Solución:

Como en ambos puntos la ordenada tiene el mismo valor, esto indica que el móvil se

mueve paralelo al eje , entonces:

. La distancia es 9.

b) Calculemos la distancia que recorre un persona al moverse de P1( 9, 2 ) y P2( 4, 2 ).

Solución:

. Luego: d = 5.

c) Encontremos la distancia entre los puntos P1 = 6 y P2 = 9.

Solución:

EJERCICIO

Para cada par de puntos, halle la distancia:

a) P1( 0,7 ) y P2( 8,7 ). b) P1(4 ,6 ) y P2(7 , 6 ). c) P1(8 , 8 ) y P2( 9, 8 ).

d) P1 = 4 y P2 = 10. e) P1 = 8 y P2 = 7 . c) P1 = 2 y P2 = 10.

2. PUNTOS SOBRE UNA RECTA PARALELA AL EJE Y

9 45)4(512 xxd

559412 xxd

3:tan.69

.9,6

12

2211

esciadisLaxxd

xPxP

3

9

x2 x1

6

d

Como la recta es paralela al eje Y,

en ambos puntos la primera

componente tiene el mismo valor,

entonces:

Luego:

011 xx

12 yyd 0

y

x d

1y

2y

1x

),( 111 yxP

),( 212 yxP


mapb

195

195

EJEMPLOS

a) Hallemos la distancia que recorre un móvil entre los puntos P1( 4, 8 ) y P2( 4, 3 ).

Solución:

En ambos puntos, la abscisa tiene el mismo valor:

b) Un cuerpo que es lanzado verticalmente pasa por P1( 1, 6 ) después de cierto tiempo

pasa por P2( 1, 9 ). Calculemos la distancia que separa los dos puntos.

Solución:

c) Un cuerpo que cae libremente pasa por P1 = 14m y P2 = 2m de altura.

¿Qué distancia recorrió el cuerpo entre P1 y P2?.

Solución:

EJERCICIOS

a) Para cada par de puntos, halle la distancia que los separa.

P1( 4, 10) y P2( 4, 8 ). P1(o,5 ) y P2(0 , 9 ). P1(2 , 6 ) y P2(2, 1 ).

b) Una ventana de un edificio está ubicada en P1( 2, 9) y otra ventana se encuentra en

P2( 2, 6). ¿Qué distancia las separa?.

d) Un cuerpo al caer pasa por P1 = 190cm y P2 = 60cm. ¿Qué distancia recorre el cuerpo

al pasar por dichos puntos?.

3. PUNTOS SOBRE UNA RECTA QUE NO ES PARALELA A NINGUNO DE LOS DOS EJES

11 118512 yyd

569)6(912 1 yyd

mesciadisLammmmyyd

myPmyP

10:tan.1010142

.2,14

12

2211

La distancia entre P1 y P2 , es

la hipotenusa del triángulo

rectángulo que se ha

formado al trazar las

perpendiculares discontinuas

respecto a los ejes

2

12

2

12

2

12

2

12

2

yyxxd

yyxxd

Con esta expresión se calcula

la distancia entre P1 y P2

d

12 xx

12 yy

1x

),( 222 yxP

y

),( 111 yxP

x

1y

2y

0 2x


mapb

196

196

EJEMPLOS

a) Hallemos la gráfica y distancia entre los puntos (4 , 5 ) y (3, 4 ).

Solución:

b) Calculemos la distancia entre los puntos

Solución:

EJERCICIOS

a) Para cada par de pareja de puntos, halle la distancia que los separa:

( 5, 1) y ( 4, 3 ). (1,1 ) y (1 ,1 ). P1(6 , 1/2 ) y P2(6, 1/3 ).

( 4, 4) y ( 8, 8 ). ( 0, 7) y ( 3, 0 ).

b) Grafique en el plano cartesiano los puntos: P1(6 , 4 ), P2( 2, 4 ), P3( 2,4 ) y calcule

la distancia entre ellos.

c) Compruebe que los puntos A( 2,2 ), B( 6,2 ) y D( 4,4 ) son los vértices de un

triángulo isósceles.

6,27,4 21 PyP

51412

7642

22

22221212

d

yyxxd

22

22

5443

1212

d

yyxxd

x

y

0 1 1 2 2 3 3

1

2

2

3

3

4

4

1

5

4 4

d

40,111308149

97

547

22

22

d

d

d


mapb

197

197

PLANO TRIDIMENSIONAL

Las siguientes figuras son planos tridimensionales:

En el puntos de este plano son de la forma

EJEMPLOS de puntos tridimensionales:

EJRCICIO

a) Para cada uno de los puntos anteriores, identifique: La abscisa, la ordenada, la cota y las

coordenadas.

b) Grafique los anteriores puntos.

Solución b):

),,( zyxP

),5,7,4()5,0,0(),0,4,0(),2,5,4(

),3,3,3(),2,2,0(),6,5,4(),0,0,3(),0,4,3(),3,0,2(

KyTSR

QPEDBA

5,7,4)5,7,4( zyxK

Plano inverso Plano directo, el

que se va a utilizar

x

y

z

0

x

y

z

0

x Abscisa

y Ordenada

z cota

x

y

z

0

4

7

5

k( 4 , 7, 5 )

Grafique los demás...


mapb

198

198

DIVISIÓN PROPORCIONAL DE UN SEGMENTO

óndemostraciotralaalice

xdespejandoydofactorizanndotransponierr

rxrxx

cruzenndomultiplicarxrxrxrx

r

r

xx

xx

enemplazando

yyRP

yyTP

xxRP

xxTP

Pero

r

r

RP

TP

r

r

RP

TP

entoncesRPPTPPqueobservasegráficalaDe

ónDemostraci

Re

,........................

..................................

:)1()3(Re

).4().3(

:

).2().1(

:,:

:

0

21

21120

10122120

2

1

02

10

022

100

020

101

2

1

2

0

2

1

0

1

2001

Como y son

proporcionales, entonces:

Proporción o razón,

resulta de dividir:

01PP

20PP

2

1

20

01

r

r

PP

PP

2

1

r

r

20

01

PP

PP

0

P1

x1

Y

X

y1

y2

x2

P2

P0

R

Q

x0

T

y0

r2

r1

Las coordenadas del punto de división son:

0P

21

1221

21

12210000

21

12210

21

12210

,,rr

ryry

rr

rxrxPyxP

rr

ryryyy

rr

rxrxx


mapb

199

199

EJEMPLOS

a) Hallemos las coordenadas del punto que está a dos terceras partes de la distancia de

los puntos (4,6 ) y (8 ,2 )

Solución:

Dos tercios de la distancia entre

Un tercio de la distancia entre

estas son las corrdenadas del punto pedido.

b) Hallemos las coordenadas del punto situado a 3/2 de la distancia entre los puntos (7, 3

) y (6 ,8 )

Solución:

c) Calculemos las coordenadas del punto que divide el segmento que va del punto

( 5, 8 ) al punto (2 ,6 ) en la relación 5: 3

Solución:

21 r 21 PyP

12 r 21 PyP

1

2

2

1

20

01 r

r

PP

PP

43

12

3

164

12

)2(8)1(4

21

12210

rr

rxrxx

3

2

3

46

12

)2)(2()1(6

21

12210

rr

ryryy

32,4, 0000 PyxP

23 21 ryr

2

3

2

1

20

01 r

r

PP

PP

5

32

5

1814

23

)3)(6()2(7

21

12210

rr

rxrxx

5

18,

535

0

21

12210 :.

5

18

5

246

23

)3(8)2(3

PEntonces

rr

ryryy

35 21 ryr

8

5

8

1015

35

)5)(2()3(5

21

12210

rr

rxrxx

4

27,

85

0

21

12210 :.

4

27

8

54

8

3024

35

)5(6)3(8PEntonces

rr

ryryy

32

31

1r 2r


mapb

200

200

EJERCICIOS

a) Halle las coordenadas del punto situado a dos quintas partes de la distancia que hay

entre los puntos (3, 5 ) y (4 ,9 )

b) Calcule las coordenadas del punto que divide el segmento que va del punto

(8, 8 ) a ( 6 ,6 ) en la relación 1/3.

c) Halle las coordenadas del punto que divide el segmento que va del punto

( 2, 5 ) a (7 , 11 ) en la proporción 5: 4

d) Halle las coordenadas del punto situado a cinco terceras partes de la distancia que hay

entre los puntos ( 0, 4 ) y (10 ,0 )

e) Los extremos de un segmento son los puntos P1( 7 , 4 ) y P2( 1, 4 ). Halle la razón

en la que P0( 1 , 2 ) divide el segmento. Sugerencia: Calcule las distancias: P1 P0 y P0

P2.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Las siguientes expresiones permiten calaular las coordenadas del punto medio:

En la división de un segmento en partes proporcionales, demostramos que:

. Siendo el punto donde el

segmento es dividido en partes proporcionales. Si es el punto medio del segmento ,

entonces: . Sustituyendo (3) en (1) y (2), se tiene que:

2,

2.

2.

2

21210

210

210

yyxxP

yyy

xxx

)2().1(21

12210

21

12210

rr

ryryy

rr

rxrxx 000 , yxP

0P 21PP

)3(21 rr

P1 ( x1 , y1)

P2( x2 , y2)

0 x1

Y

X

y1

y2

x2 x0

y0

P0( x0 , y0)

Sea P0 el

punto medio

del segmento

P1 P2. Las

coordenadas

de P0 son

x0 , y0.


mapb

201

201

EJEMPLOS

Hallemos las cooordenadas del punto mediodel segmento determinado por los puntos

P1(4 , 8 ) y P2(6, 4 ).

Solución:

Calculemos las cooordenadas del punto mediodel segmento quetiene por extremos los

puntos P1( 5 , 9 ) y P2( 6, 4 ).

Solución:

EJERCICIO

Para cada pareja de punto, halle las coordenadas del punto medio:

a) P1( 0 , 6 ) y P2( 6, 9 ). b) P1( 3 , 3 ) y P2( 6, 6 ).

c) P1(9 , 0 ) y P2( 0, 7 ). d) P1( 1/2 , 3/4 ) y P2( 8, 9 ).

22

22

22

2121 ,),(

)(

)(

000

21

1

211

11

1211

21

12210

21

1

211

11

1211

21

12210

yyxxyxP

yy

r

yyr

rr

ryry

rr

ryryy

xx

r

xxr

rr

rxrx

rr

rxrxx

6,1:.62

12

2

48

.12

2

2

64

00

0

PLuegoy

x

2

5,

2

11:.

2

5

2

49

.2

11

2

65

00

0

PLuegoy

x

Para hallar el punto medio de un segmento, se suman algebraicamente los extremos y la suma se divide por dos


mapb

202

202

FUNCIÓN CONSTANTE

Una función constante es de la forma:

Gráfica:

Grafiquemos la función: .

Solución:

Elaboremos la siguiente tabla:

Construyamos una tabla con los valores de :

cambianoteconskRkkxfy tan..

3xf

.33.32

.31.30.31.32.33

,

,

ff

fffff

xdedependetomaquevaloreledependientVariablexfy

valorcualquierasignarpuedelesenteindependieVariablex

)(x xfdey

3 2 1 0 1 3 3

3 3 3 3 3 3 3

Gráfica:

x

xf

EJEMPLOS de

funciones constantes:

etcxf

xf

xf

,3

2

4

3

x

kf(x)

k

y

0

Escriba 4 funciones constantes

Grafique las demás funciones del ejemplo anterior

3)( xf

y

x 0

1

2

3

4

1 2 3 4 1 2 3 4


mapb

203

203

FUNCIÓN LÍNEAL

Una función líneal es de la forma:

Gráfica:

PENDIENTE: Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta.

ÁNGULO DE INCLINACIÓN: Es el ángulo medido en sentido contrario al movimiento de las

manecillas del reloj, formado por una recta y el eje positivo .

Punto de intersección de la recta con el eje .

EJEMPLOS de funciones líneales:

Para cada una de las funciones anteriores, identifique la pendiente, la inclinación y el

intercepto con el eje y.

Solución:

La pendiente es: . El intercepto con el eje es .

El ángulo de inclinación es:

.,. Rbmbxmxfy

m

x

b y

etcxyxxfxyxyxyxxfy ,1,12)(,2,,,1)(32

bxmy

xy

12

2 y 1|||5533116

Y

bxmxf

0 X

b tangm

Una función es lineal, si y sólo si su gráfica es

una línea recta

Comparando la forma particular con la general:

Como la pendiente es negativa, el ángulo de inclinación real se calcula con

la expresión:

|||11

1

052663)2(tan)(tan

)(tantan:.12

gmg

mggmdondeDebym

|||||| 5533116052663180180


mapb

204

204

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LÍNEAL

EJEMPLO 1.

Gráfiquemos la siguiente función:

Solución:

Consideremos la siguiente tabla:

2

1

0

1

2

3

5

3

1

1

3

5

Variable independiente: Toma valores arbitrarios.

Variable dependiente: Los valores que toma dependen de los valores de x .

NOTA:

Se escogen mínimo seis(6) valores para hacer una gráfica o en su efecto dos; cuando se escogen dos valores, los mismos son: 0 y 0, uno para cada variable. En este caso, se hace una variable igual a cero (0) y se halla el valor de la otra y viceversa.

12 xy

x

y

xy

5

3

1

1

3

5

161)3(2

141)2(2

121)1(2

101)0(2

121)1(2

141)2(2

,3

,2

,1

,0

,1

,2

12

y

y

y

y

y

y

xPara

xPara

xPara

xPara

xPara

xPara

xy

1

12 xy

2 2 3

3

1

2

5

4

1

5

6

0 1 x

y

Variable independiente

Variable dependiente


mapb

205

205

EJEMPLO 2.

Gráfiquemos la función 01243 yx , haciendo uso de dos puntos:

Solución:

Consideremos la siguiente tabla:

0

4

3

0

Esto es:

Para 3 412124012400124)0(3:0 yyyyx

Para 4

31212301203012)0(43:0 xxxxy

Gráfica:

GRÁFICA DE LAS PRINCIPALES FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO 1. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función cuadrática es de la forma: Rcybacbxaxf x ,.2

)( .

Gráfica:

x

y

0

2

)(

aPara

cbxaxf x

Parábola c

0

y

x

0

2

)(

aPara

cbxaxf x

Parábola

c

0

y

x

Como únicamente debemos obtener dos puntos;

primero hacemos , determinamos el valor de .

Luego, , determinamos el valor de .

3

4

01243 yx

x

y

0

EJERCICIOS

Escribe 3 funciones líneales, diferente a las

que aparecen en este libro.

Gráfique las siguientes funciones, primero

haciendo uso 6 puntos, y luego, de dos

puntos

.01052.1

..1

..

..3

)(

)()(

)(

3155

12

32

yxhxfd

ygxyc

ffxfb

fexya

x

xx

x

x

x

x


mapb

206

206

EJEMPLOS de funciones cuadráticas:

.,,3,2,12

,32,534,1,2

2222

2222

21

)(

)()(

etcxyxyxyxxf

xxyxxfxxyxxf

x

xx

Para cada una de las funciones anterior, determinemos los valores de

Solución:

cxbxaf

xxf

x

x

2

2

)(

)(02

Analice las demás.. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Gráfiquemos: .122

)( xxf x

Solución:

x

4

3

2

1

0

1

2

f x)(

7

2

1

2

1

2

7

., cyba

.212111211

72.114412222

21.216913233

10.7181614244

2

2

2

2

f

ff

ff

ff

0

2

3 2

1

1

3

4

5

6

7

1

1

2

2

3

3 4 5

y

x

122 xxxfy

Comparando la ecuación particular dada, con la forma

general. Si en la particular hace falta un término, el

mismo se reemplaza por cero (0). Entonces:

.01,2 cyba


mapb

207

207

EJERCICIOS

Escribe 3 funciones cuadráticas.

Gráfica las siguientes funciones:

2. GRÁFICA DE UNA CIRCUNFERENCIA

. Ecuación de una circunferencia cuyo centro se encuentra en el origen del

sistema de coordenadas rectangulares.

Despejando y:

. Esta es la forma de las funciones cuya gráfica es una

circunferencia.

EJEMPLOS:

Grafiquemos La raíz cuadrada del radio indica el recorrido

del dominio. Como en nuestro ejemplo el radio es 4 y la raíz cuadrada de 4 es 2, por

eso, el dominio empieza en 2 y termina en 2.

x 2 1 0 1 2

)(xf 0 1,73 2 1,73 0

102,532,,2

,42,1,,

2222

2222

xyxxxfxxfxxy

xxyxxyxxfxy

222 ryx

22 xryf x

etcxyxyxy

xyxyxf x

,36,25,16

9,1,4

222

222

2,2.4 2 xxf

0)2(

73,1)1(

2404)0(4)0(

73,1314)1(4)1(

044)2(4)2(

4)(

2

2

2

2

f

f

f

f

f

xxf

Grafique las demás funciones

del ejemplo anterior

1,73

0

2

2

1

1

1

1

2

2

y

x

1,73


mapb

208

208

3. GRÁFICA DE UNA ELIPSE

. Ecuación de una Elipse con centro en el punto P ( 0 , 0 ).

Despejando y:

. Esta es la forma de las funciones cuya gráfica es una Elipse.

EJEMPLOS:

Grafiquemos: . La raíz cuadrada del denominador muestra el

recorrido del dominio.

12

2

2

2

b

y

a

x

2

222

a

xbbyxf

16

99

25

99,

41,

25

44

2

22 2

xy

xy

xy

xxf

4,4.16

99

2

x

y

repitensevaloreslosporquefffff

f

f

f

f

f

.0)4(.98,1)3(.59,2)2(.98,1)1()1(

3999)0(

9,243,8999)1(

59,275,6999)2(

98,193,3999)3(

09999)4(

909160

1616

2)0(9

16135

169144

169

1619

16

2)1(9

427

4936

49

1649

16

2)2(9

1663

1681144

1681

1699

16

2)3(9

16169

16

2)4(9

09

:formaigualDe

4 3 2 1 0 1 2 3 4

0 1, 98 2, 59 2, 9 3 2, 9 2, 59 1, 98 0

x xf

Grafique las demás funciones del

ejemplo anterior

Elipse

y

x

2,9

2,9

2,59

1,98

2

1

3

0

1

4 3

1,98

2,59

2 1 2 4

3

3

1

2


mapb

209

209

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

Las funciones racionales son aquellas que poseen variable independiente en el denominador.

Algunas de estas funciones tienen variable en el numerador y en el denominaador.

EJEMPLOS:

Escribe 4 funciones racionales

Grafiquemos la función:

3/2 = 1,5

, léase: Infinito. Indica que la curva se apróxima al eje y, pero nunca lo toca; es como

si en ese punto existiera un agujero o un hueco.

.,2

5,

2

32,

1,

2,

4,

1etc

xy

x

xy

x

xy

xy

xy

xy

xy

3

0

3.3

1

3.

2

3

2

3.1

3

3yyyy

3 2 1 0 1 2 3

1 3/2 3 3 3/2 1

xy

Grafique las demás funciones del ejemplo anterior

Gráfica de la función:

xy 3

y

x

1

23

2

3

0 2 1

1

1

2

2 4 3 3 4

3

23


mapb

210

210

GRÁFICA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES

Las funciones Logarítmicas y exponenciales reciben el nombre de trascendentales. Estas

funciones son de la forma:

EJEMPLOS de funciones exponenciales:

EJEMPLOS de funciones logarímicas:

log logaritmo en base 10 o de Briggs

ln logaritmo natural, la base es en número irracional

En estas funciones logarítmicas, siempre toma valores positivos

EJERCICIOS

Gráfica:

Grafique en un mismo plano:

Solución:

Grafiquemos en un plano la siguiente funcion:

.exp...718281828,2.

tan..

onencialessonfuncionesAmbasexey

teConsRConxy aaa

.,2

,2

,,,,,

.,2,,3,4,2

121

211

etcyyyyyyy

etcyyyyy

xxxxxxx

xxxxx

eeeeeee

.log xy

.ln xy e

x

.log,ln,,4,2,2 xyxyxeyxyxyxy xyxy 3,3

xy 2

82

.42

.22

12

.2

1

2

12

.4

1

2

12

3

2

1

0

1

1

2

2

y

y

y

y

y

y

2 1 0 1 2 3

1/4 1/2 1 2 4 8

xy

Grafique las demás funciones del

ejemplo anterior

xy 2

y

x

41

21

5

4

6

2

1

3

8

7

1 0

2 1

1

2 3 3


mapb

211

211

FORMA DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTALES

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Son de la forma:

bxyxf )(

Lnxy

Lnxy

Creciente

Decreciente

0

Logxy

Logxy

Creciente

Decreciente

0

xey

xey

Creciente

Decreciente

0

0

xey

xx

eey

1

Creciente

Decreciente

bxy , decrece desde hasta bx y crece desde b hasta +

kxy , decrece desde hasta 0x y crece desde 0 hasta +

.12)(

.4)(.3)(

.2)(.2)(

:

xxfe

xxfdxxfc

xxfbxxfa

funcionessiguienteslasGrafique

EJERCICIO

xy

bxy Decreciente

Creciente

b

0


mapb

212

212

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Son de la forma:

FUNCIÓN CÚBICA

Son de la forma:

0:.,.)( kaxqueSiempreRkakaxyxf

.1.32)(.1.)(

:

xydxxfcxybxxfa


EJERCICIO

Rckbackxbxaxyxf ,,,.)( 23

1.432)(.2

12)(.)(.

:

3233

23233

xyfxxxfdxyb

xxxxfexxxxfcxya


EJERCICIO

ckxbxaxy 23

kxbxaxy 23

0

c

Al escoger el dominio (los valores de x), estos

deben asegurar que : ,debido, a que las

raíces cuadradas negativas no existen. Para ello,

hacemos , este cociente

indica el inicio del dominio

0 kax

akxkax 0

xy

bxy

kxparakxy .

kxparakxy .

b

k 0

k


mapb

213

213

TALLER DE CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS

OBSERVACIONES:

El mismo será desarrollado por cada estudiante durante el semestre o año.

Matodología: Extraclase.

Representará el 10% del 100% del: primer parcial, segundo parcial y del

examen final o 10% de todas las actividades del año lectivo.

Cada conjunto de gráfica se representará en el mismo plano. Primero, elabore

las tablas de cada conjunto de gráficas, para identificar el tamaño del plano.

Primero se grafican en el cuaderno, y se presenta en papel milimetrado PRIMER PARCIAL O PERIODO:

SEGUNDO PARCIAL O PERIODO:

EXAMEN FINAL O TERCER PERIODO:

CUARTO PERIODO:

.

22

12

4.

43

12

3.012

01543

2.5

41

2

2

2

)(

)(

)(

)(

)(

secint

xxf

xf

xxf

xy

xy

xyyx

yx

f

f

x

x

x

x

x

ciónerde

puntoeleIdentifiqu

.8.

3

3

3

7.6.

16

15

5,5:min

1

1

22

22

1625

x

x

x

x

x

x

ioDo

x

x

e

e

e

y

y

y

y

y

y

y

y

yx

yx

.

2

212.

4

211.log

log10.

2

2

2

9

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

xy

y

y

y

x

x

x

e

e

e

.

4

14.13 3

2

3

3

xy

xy

xxy

xy

xy


mapb

214

214

ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL

Anallizar la gráfica de una función es establecer una correlación entre las magnitudes que la

determinan. Las magnitudes que intervienen en una gráfica se denominan variables.

Las variables pueden ser: Independientes y Dependientes

VARIABLE INDEPENDIENTE: Toma valores arbitrarios, generalmente se ubica en el eje

horizontal .

VARIABLE DEPENDIENTE: Los valores que se le asigna dependen de los valores tome la

variable independiente, generalmente se ubica en el eje vertical .

EJEMPLO:

En la función:

x Variable independiente

y Variable dependiente.

Al analizar las dos magnitudes que generan una gráfica se pueden presentar las siguientes

consideraciones:

1. Que las dos magnitudes aumenten o disminuyan al mismo tiempo y en la misma

proporción, indicando que son directamente proporcionales.

2. Que la una aumente y la otra disminuya en la misma proporción, indicando que son

inversamente proporcionales.

3. Que la una aumente y la otra permanezca invariable ( constante ).

4. Que las dos magnitudes aumenten pero no en las mismas proporciones, mostrando que

son directamente correlacionadas.

5. Que una magnitud aumente y la otra disminuya pero no en las mismas

proporciones, mostrando que son inversamente correlacionadas.

Las anteriores consideraciones, determinan el comportamiento de una función.

Es muy dificil definnir un procedimiento para analizar las gráficas de las situaciones 4 y 5,

debido, a que no presentan un comportamiento secuencial que permita predecir los cambios

que pueden presentar. De ahí, que la habilidad y capacidad del interesado es vital para

construir una función que permita conjeturar sobre estos tipos de gráficas.

)(x

)(y

xy 2

Magnitudes directamente

proporcionales

La gráfica es una recta que pasa por el origen

del sistema de coordenadas cartesianas

d

t 0

Magnitudes directamente

correlacionadas

La gráfica es una recta que no pasa por el

origen del sistema de coordenadas cartesianas


mapb

215

215

Caso contrario sucede con los numerales 1, 2 y 3; por eso, se hace mucho más énfasis en

ellos.

EJEMPLO 1.

Analicemos la siguiente gráfica.

De la gráfica se puede observar que: Cuando x = 1, y = 1. Cuando x = 3, y = 3.

Si x aumenta, y también lo hace en la misma proporción. Si x disminuye, y también lo

hace en la misma proporción, luego, x , y son dos magnitudes directamente proporcionales.

¿Qué valor toma x , cuando y = 20?.

Solución:

Consideremos la siguiente tabla con algunos valores de x , y.

EJEMPLO 2.

Analicemos el siguiente gráfico.

0

2

3 2

1

1

3

1 1

2

2

3

3

y

x

x, variable independiente

y, variable dependiente

x y

1 1

k 20

k, valor que toma x cuando y = 20.

De la tabla se obtiene:

Luego: para y = 20, x = 20

20

1

201

20

11

k

k

v

t

2

1

3

0 2 1 4 3

3/2

v, variable dependiente

t, variable independiente


mapb

216

216

Para: t = 1, v = 3. Para: t = 2, v = 3/2. Para: t = 3, v = 1.

De la gráfica se puede observar que: cuando t aumenta, v disminuye en la misma

proporción y viceversa. Luego, t y v son dos magnitudes inversamente proporcionales.

¿Qué valor toma v , cuando t = 9 ?.

Solución:

Consideremos la siguiente tabla con algunos valores de t y v.

EJEMPLO 3.

Analicemos la siguiente figura:

Para: t = 3s, v = 30m/s. Para: t = 5s, v = 30m/s. Para: t = 7s, v = 30m/s.

Para: t = 9s, v = 30m/s.

Como se puede observar para cualquier valor de t , v permanece inmodificable o constante.

¿Qué valor toma v , cuando t = 15s ?.

Solución:

Para t = 15s , v = 30m/s. Esto, porque v es constante .

t v

1 3

9 k

k, valor que toma v cuando t = 9.

De la tabla se obtiene:

Como las magnitudes son inversamente proporcionales, la magnitud que

contiene la incógnita se escribe tal cual como está y la que no la contiene,

se invierte. Luego: para t = 9, v = 1/3.

3

1

9

3

9

31

1

93

k

k

v, variable dependiente

t, variable independiente

v, velocidad

t, tiempo

V(m/s)

t(s)

20

10

30

0 3 7 5 9


mapb

217

217

EJEMPLO 4.

Analicemos la siguiente gráfica.

De la gráfica y de la tabla se puede observar que:

Las magnitudes son directamente correlacionadas.

En x, cada tértmino es 1 más que el anterior.

En y, cada término es 2 más que el anterior.

El cociente entre las variables y , x no es el mismo en todos los casos, por eso, no

podemos aplicar una regla de tres simple directa.

Conservando el comportamiento de cada variable, estirremos la tabla hasta los valores

exigidos

x 0 1 2 3 4 5 5.5 6 7

y 1 3 5 7 9 11 12 13 15

De la tabla se puede observar que:

Para x = 5.5, y = 12

Para y = 15, x = 7

Este método es muy útil para valores muy pequeños de las variables.

OTRA FORMA:

Consiste en construir una función lineal para la gráfica y a partir de ahí, sustituir los valores

dados, para los pedidos. Una vez detrminada la función, se podrá asignar a una variable

cualquier valor, para hallar el valor de la otra…

Esto se podrá comprender mejor, cuando aprendamos a determmminar la ecuación de la recta

que pasa por dos puntos.

¿Qué valor toma x, cuando y = 15?

¿Qué valor toma y, cuando x = 5.5?

Elaboremos una tabla con los datos de

la figura:

x 0 1 2 3

y 1 3 5 7

0

7

3 2

1

1

3

5

x

y


mapb

218

218

EJERCICIO

Analice cada gráfica y responda los interrogantes planteados:

¿Qué valor toma x , cuando y = 15 ?

¿Qué valor toma y , cuando x = 12,9 ?

2

0 3 2 1 1 2 3 x

2

1

3

1

3

y

4

5

v

t

20

10

30

0 2 1 4 3

15

¿Qué valor toma v , cuando t = 10 ?

¿Qué valor toma t , cuando v = 100 ?

y

5

20

12 8

10

4

30

10 4

20

8

30

12

¿Qué valor toma x , cuando y = 150 ?

¿Qué valor toma y , cuando x = 17 ?


mapb

219

219

¿Qué valor toma p , cuando v = 13,5 ?

¿Qué valor toma v , cuando p = 95 ?

¿Para qué valor de p, v = p?.

P(atm.)

60

20

80

40

V(m3) 0 2 1 4 3

¿Qué valor toma v , cuando t = 13,5 ?

¿Qué valor toma t , cuando v = 27 ?

V(m/s)

t(s)

18

9

27

0 2 6 4 8

y

30

x 0 2 6 4 2

60

30



¿Qué valor toma x , cuando v = 27 ?


mapb

220

220

SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Consiste en hallar el punto de intersección de las rectas determinadas por cada ecuación.

PROCEDIMIENTO:

Se grafican las dos ecuaciones en un mismo plano catesiano. Normalmente, se hallan dos

puntos para cada recta. Haciendo primero , se determina el valor de , después, se

hace , se determina el valor de

Se identifica el punto de intersección de las rectas, y desde dicho punto, se trazan

perpendiculares a cada eje. Los números a donde llegan las perpendiculares, forman el

conjunto solución de las ecuaciones. Esto quiere decir, que las coordenadas del punto de

intersección satisfacen(hacen verdadera) cada ecuación.

Si las ecuaciones no tienen un punto de intersección, significa que las rectas son

paralelas, por ende, el sistema de ecuaciones no tiene solución. Cuando esto ocurre, se

dice que son “INCOMPATIBLES”

Si las rectas de ambas ecuaciones coinciden(se superponen), el sistema tiene

infinnitos puntos comunes(conjunto solución infinito), esto muestra, que las

ecuaciones son “EQUIVALENTES”

EJEMPLO 1.

Hallemos gráficamente el conjunto solución de

Solución:

Para cada ecuación, encontremos dos puntos para trazar su gráfica.

Para la ecuación :

.

Esto se resume en la siguiente tabla:

Gráfica

0 6

4 0

0 1

-1 0

Para la ecuación

La tabla es:

0

3

2

Punto de intersección

de las rectas Como se puede observar, en el punto es

donde se cortan las dos rectas que

representan cada ecuación. Al trazar

perpendiculares(discontinuas) hacia cada eje,

las mismas caen en las coordenadas (3,2).

O sea:

Luego, la solución del sistema es:


mapb

221

221

EJEMPLO 2.

Resolvamos graficamente:

Solución:

EJEMPLO 3.

Hallemos el conjunto solución de:

Solución:

0 4

0

0 1

0

Como las rectas son paralelas, el

sistema no tiene solución. Las

ecuaciones son incompatibles

0

0 5

0

0 5

0

Como se puede observar, las rectas

coinciden, esto muestra, que todos los puntos

que satifacen una ecuación, también satifacen

la otra, y como una recta tiene infinitos

puntos, el conjunto solución es infinito;

mostrando que las ecuaciones son

equivalentes, o sea, la una es la

ampliación(multiplicación) de la otra por un

número o escalar

0

3


mapb

222

222

EJERCICIO

Halle gráficamente el conjunto solución de los siguientes sistemas:

LA LÍNEA RECTA

ECUACIÓN GENERAL DE UNA LÍNEA RECTA

La ecuación general de una línea recta es de la forma:

Gráfica

PENDIENTE DE UNA RECTA

1262

63

13

3

84

622

2342

52

102

103

63

1

7

4

1023

yx

yxf

yx

yx

yx

c

yx

yxe

yx

yxb

yx

yxg

yx

yxd

yx

yxa

0 CByAx

0

y

x

0 CByAx

...4

.,753

6,03

1

2

3

2

1

2,0523

:

másEscribe

etcyx

yxyx

yxyx

Ejemplos

0

y

x

0 CByAx

ángulo de inclinación

La pendiente de una línea

recta es la tangente del ángulo

de inclinación

ángulo de inclinación


mapb

223

223

La pendiente se denota con la letra . pendiente

INCLINACIÓN: Es el ángulo medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del

reloj, formado por una recta y el eje positivo de las . En nuestra gráfica el ángulo de

inclinación es .

Analizando lo anterior tenemos:

Si de la ecuación general despejamos y, se obtiene:

EJEMPLO 1.

Hallemos la pendiente e inclinación de la siguiente recta

Solución:

Despejando . De donde: , est es el valor de la pendiente.

La inclinación es:

El ángulo real de inclinación se calcula con la expresión: .

Entonces:

La expresión 180° + se utiliza sólo cuando la pendiente es negativa

EJEMPLO 2.

Hallemos la pendiente e inclinación de la siguiente recta

Solución:

EJEMPLO 3.

Encontremos la pendiente e inclinación de la siguiente recta

Despejando y :

. De donde:

este es el valor de la pendiente

De los ejemplos anteriores se puede inferir lo siguiente:

Si la pendiente es negativa (), el ángulo de inclinación es obtuso, o sea, que mide más de

90° grados; indicando que la recta desciende (decrece - baja)

Si la pendiente es positiva (+), el ángulo de inclinación agudo, o sea, que mide menos de

90° grados; indicando que la recta asciende (crece - sube)

EJERCICIO

Para cada recta, halle la pendiente inclinación:

m m

x

)(tantan 1 mggm

B

Cx

B

Ay

0423 yx

2:23 xyy

23m

|||1

231 351856)5,1(tan)(tan gg

180|||

2441123 |||351856180180

1244 yx

pendienteladevalorelesestemdondeDexyyDespejando 1 :.3:

45)1(tan: 1gesninclinacióLa

025 yx

|||1541168)

25(tan:

gesninclinacióLa

.0946.64.52.1052.0423 yxyxxyyxyx

Pendiente

Debido a que toda ecuación de una línea recta es

una función lineal, después de despejar y, el

coeficiente de es la pendiente de la recta

que representa la función. Entonces:

B

Ax

gmB

Atan


mapb

224

224

PENDIENTE DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

EJEMPPLO 1.

Hallemos la gráfica, pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos.

P1(1,2) y P2(3,5)

|||11

12

12

2211

21

3518562

3tantan

2

3

13

25

)5,3()2,1(

gmg

xx

yym

yxyx

PP

1P

2P

0

y

x 1 3

2

5

Consideremos la recta que pasa por los

puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Con esta expresión se calcula la pendiente

de una recta que pasa por dos puntos.

12

12

12

12tan

tan

xx

yym

xx

yyg

gm

0

y

x

1x

12 xx

1y

2y

12 yy

2x

P1

P2


mapb

225

225

EJEMPLO 2.

Hallemos la gráfica, pendiente e inclinación de la recta que pasa por los puntos.

P1(3,5) y P2(1,3)

EJERCICIOS

1. Para cada par de puntos, halle la gráfica, la pendiente e inclinación de la recta que

Pasa por ellos:

2. Los vértices de un triángulo son los puntos:

Halle la pendiente e inclinación de cada lado.

CONSTRUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE UNA LÍNEA RECTA

ECUACIÓN DE LA RECTA PUNTO PENDIENTE

Es la ecuación de una recta que pasa por un punto y que tiene una pendiente

Consideremos la recta L que pasa por los puntos

).6,5()1,2().8,8()5,4(

).0,5()4,0().3,2()5,3(

2121

2121

PyPPyP

PyPPyP

)3,1().2,3(),3,2( DBA

).,(),( 11 yxPyyxQ

||||||

|||11

12

12

2211

21

526153543326180180

180

5433262

1tantan

2

1

31

2

)3(1

53

)3,1()5,3(

:exp

,

resiónsiguienteladeuso

hacemosverdaderoánguloelhallarPara

gmg

xx

yym

yxyx

PP

1P

2P 3

5

0

y

x 1 3

De la gráfica se obtiene que:

pendientepunto

rectaladeEcuaciónxxmyy

dondedexx

yymEntonces

gmperoxx

yyg

)(

::

tan:tan

11

1

1

1

1

0

y

x

1x

1xx 1y

y

1yy

x

Q

P(x,y)

L


mapb

226

226

EJEMPLO 1.

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,4) y que tiene 2 de pendiente.

EJEMPLO 2.

Determinemos la ecuación de la recta que tiene de pendiente y que pasa por el punto

A(4,1).

Solución:

EJERCICIO

Para cada punto y pendiente, halle la ecuación de la recta que pasa por él…

ECUACIÓN DE UNA RECTA CUANDDO LA ORDENADA ESTÁ EN EL ORIGEN Y

DADA LA PENDIENTE O ECUACIÓN PUNTO INTERSECTO

Es la ecuación de la recta que se intersecta en un punto ubicado sobre el eje y.

pedidaecuaciónlaesesta

semejantesostérreduciendoxy

ostérndotransponiexy

vadistributipropiedadlaaplicandoxy

yxmdoreemplazanxy

xxmyy

yxdondeDePm

Solución

xy ....................

min.....................022

min................0624

.....................624

,,..........).........3(24

)(

43:).4,3(.2

:

022

11

11

11

3

2

ecuaciónyxxy

xyx

yxyxxmyy

Am

........0113208233

82333

821)4(1)(

)1,4(.

32

11

32

.),2,3(.1),6,4(.5),3,5(.),3,4(21

32 mDmRmQmP

De la gráfica se puede observar, que la

abscisa del punto Q es cero(0), o sea: x1 = 0.

Utilizando la ecuación de recta punto

pendiente, se tiene que:

ecuaciónlaesEstamxyy

xmyy

xxmyy

1

1

11

)0(

)(

1y

y

x x

y

0

),0( 1yQ

),( yxP


mapb

227

227

EJEMPLO

Hallemos la ecuación de la recta cuya pendiente es 3 y la intersección con eje y es 2

Solución:

EJERCICIO

Para cada punto de intersección con el eje y, halle la ecuación de la recta según la pendiente

dada:

ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Consideremos la recta L que pasa por los puntos

EJEMPLO

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos

Solución:

ecuaciónyxxy

xyxxmyy

xym

.....02332

)0(3)2()(

0.2.3

11

11

.7,4.,.,2 125

34

132

1 mymymy

),(),( 2211 yxPyyxQ

)4,3()2,4( PyQ

Ecuaciónyxxy

xyxyxy

xyxyxxxx

yyyy

yxyx

PQ

.......01076246147

)4(6)2(7)4(7

62)4(

7

62

)4(7

242)4(

43

)2(4)2()(

)4,3()2,4(

1

12

121

2211

De la gráfica:

Ambas expresiones representan la ecuación

de una recta que pasa por dos puntos

12

1

12

11

12

121

12

12

12

12

)(

:

:,tan:.tan

xx

xx

yy

yyóxx

xx

yyyy

dondedexx

yym

entoncesgmPeroxx

yyg

),( 22 yxP

),( 11 yxQ

0

y

x

1x

12 xx 1y

2y

12 yy

2xL


mapb

228

228

EJERCICIO

Para cada para de puntos, halle la ecuación de la recta que pasa por ellos:

1.

2. Encuentre la ecuación de cada uno de los lados de un triángulo cuyos vértices son

los puntos

LÍNEAS RECTAS PARALELAS

Consideremos la siguiente gráfica:

EJEMPLO 1.

Determinemos si las rectas que pasan por los puntos indicados son paralelas:

).9,4()5,0(:).6,5()4,2(: 432211 PyPLPyPL

Solución:

Para responder a esta situación, solo debemos probar que las pendientes de las rectas 21 LyL son

iguales. Entonces: Sea 1m la pendiente de )6,5()4,2(: 211 PyPL y 2m , la pendiente de

)9,4()5,0(: 432 PyPL . Luego:

7

10

7

10

25

46

12

121

xx

yym . 1

4

4

04

59

12

122

xx

yym . Como se puede

observar: 17

1021 mm , por ende, 1L no es paralela a 2L . Trace usted la gráfica.

EJEMPLO 2.

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4, 5) y que es paralela a la recta

0532 yx .

Solución:

Sea 1L la recta 0532 yx , y 2L la recta que pasa por el punto P(4, 5), y que es paralela a 1L

O sea: 21 // LL .

De 0532:1 yxL , despejemos y para determinar el valor de la pendiente 1m de 1L . Esto es:

3

5

3

2 xy . De donde:

32

1m . Como 21 // LL , entonces: 32mm1 2 .

2m pendiente de 2L .

).5,3()5,4().6,6()2,5().0,4()4,0().2,1()2,3( QyPQyPQyPQyP

).6,5()5,2(),4,3( QyRP

De la gráfica se puede observar que las

rectas L1 y L2 son paralelas. L1 L2.

Lo anterior indica que las rectas tienen la

misma inclinación, entonces: 1 = 2

De igual forma: tang1 = tang2.

Pero: 11tan mg y 22tan mg

De donde: 21 mm , indicando que

tienen la misma pendiente.

Dos o más rectas son paralelas si y sólo

si tienen la misma pendiente

0

y

x

2

L1

1

L2


mapb

229

229

Haciendo uso de la ecuación punto pendiente, para 2L . Esto es: )( 121 xxmyy .

32

2 m y P(4, 5):

073y2x 82153)4(532 xyxy …esta es la ecuación de la recta

2L que es paralela a 1L . Trace usted la gráfica.

EJERCICIOS

1. Determine si las rectas que pasan por los puntos indicados son paralelas:

).7,2()2,1(:);2,0()8,2(: 432211 PyPLPyPLa

).5,2()4,2(:);1,3()4,1(: 432211 PyPLPyPLb

).13,6()11,2(:);0,6()2,2(: 432211 PyPLPyPLc

2. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto indicado y que es paralela a la

recta dada:

LÍNEAS RECTAS PERPENDICULARES

Sean L1 y L2 dos rectas perpendiculares. Esto significa que se cortan formando un ángulo

recto. O sea, de 90°.

De igual forma:

.42),1,2(

.054),6,4(

.0532),5,4(

yxRc

yxQb

yxPa

1:.1tantan:

tan

1tan:.

)90(cot

1tan

1212

1

2

1

2

mmteconsiguienPorggEntonces

ggdondeDe

gg

Ayuda: Halle la pendiente de la ecuación despejando

y. Como las rectas tienen la misma pendiente, haga

uso de la ecuación de la recta punto pendiente

L1 L2 son perpendiculares.

1 inclinación de L1 m1 = tang1

2 inclinación de L2 m2 = tang2

Por geometría: 2 = 90° + 1.

tang2 = tang(90° + 1)

Pero:

gg

cot

1tan

y

x

2 1

L1

0

L2

90°

Dos rectas son

perpendiculares si

y sólo si el producto

de sus pendientes es

igual a menos uno


mapb

230

230

EJEMPLO 1.

Determinemos si las rectas que pasan por los puntos indicados son perpendiculares:

Solución:

Sea la pendiente de y la pendiente de . Entonces:

, las rectas y no son perpendiculares, porque el producto de

sus pendientes no es igual a

EJEMPLO 2.

Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,5) y que es perpendicular a la

recta 3x +2y = 4.

Solución:

De la ecuación , despejemos . Esto es: .

Sea la pendiente dde la recta dada y la pendiente de la recta que pasa por el

punto P(4, 5). Como las rectas son perpendiculares, entonces:

De donde: . Haciendo uso de la ecuación .

Entonces:

Trace usted la gráfica.

EJERCICIOS

1. Determine si las parejas de rectas que pasan por los puntos indicados son

perpendiculares

2. Para cada recta, halle otra que sea perpendicular y que pase por el punto indicado:

3. Identifique los pares de rectas paralelas y perpendiculares:

.082:.022:.42: 321 yxLyxLyxL

).1,4()2,2(:).1,2()3,0(: 432211 PyPLPyPL

1m 1L 2m 2L

.22

31

02

)3(1

12

121

xx

yym

6

1

6

1

24

212

m

3

1

6

2

6

1221 mm 1L 2L

1

423 yx y 223 xy

23

1 m 2m

121 mm

3

211

23

1

2

m

m )( 121 xxmyy

072x3y 82153)4(532 xyxy

).2,4()34,7(:);5/17,3()5,5(:

).7,4()1,2(:);2,5()4,3(:

).11,4()2,2(:);2,3()0,0(:

432211

432211

432211

PyPLPyPLc

PyPLPyPLb

PyPLPyPLa

0.2048),1,2(

.0843),6,4(

.464),4,0(

yxRc

yxQb

yxPa


mapb

231

231

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Consideremos la siguiente gráfica

Por consiguiente: con esta expresión se halla el ángulo

entre dos rectas.

EJEMPLO 1.

Hallemos el ángulo formado por las rectas cuyas pendientes son 4 y 8.

Solución:

Denotemos como 21 mym las pendientes en cuestión, esto es: 84 21 mym , y sea el

ángulo entre las dos rectas, entonces:

121,033

4

321

4

841

48

1tan

21

12

mm

mmg .

De donde: |||40546 )121,0(tan 1g , este es el ángulo pedido.

EJEMPLO 2.

Determinemos el ángulo formado por las rectas 1243,0842 yxyx .

Solución:

Sea 1m la pendiente de 0842 yx y 2m , la pendiente de 1243 yx .

En ambas ecuaciones, despejemos y :

Para 0842 yx : 2

1

2

1

12

4

8

4

2mx

xy .

Para 1243 yx : 4

33

4

3

4

12

4

32 mx

xy .

Sea el ángulo entre las rectas en cuestión, entonces:

.2

20

40

111tan

8545

83

45

43

21

21

43

21

12

mm

mmg De donde:

|||052663 )2(tan 1g , este es el ángulo pedido. Trace usted la gráfica.

12

1212

1)(tantan

mm

mmgg

Sea el ángulo que forman

L1 y L2 al intersectarse. Por geometría: 2 = + 1

De donde: = 2 1

Por trigonometría:

2211

12

1212

tantan

:

tantan1

tantan)(tantan

gmygm

Pero

gg

gggg

180°

y

x

2 1

L1

0

L2


mapb

232

232

EJERCICIOS

1. Para cada par de pendientes que se presentan a continuación, halle el ángulo que

forman las rectas al cortarse: 4 y 8; 5 y 3; 1 y 1; 4 y 2.

2. Para cada par de rectas, halle el ángulo que forman:

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Consideremos la siguiente figura.

En el análisis que hicimos en geometría plana, mostramos que la distancia más corta entre

un punto y una recta, es la perpendicular trazada desde la recta al punto. En nuestro caso, el

segmento PQ que es igual a la distancia d(d = PQ) es perpendicular a la recta L.

La distancia d del punto P a la recta L, se calcula con la siguiente expresión:

. El signo del radical es el mismo de B, si B ≠ 0, o el mismo signo de

A, si B = 0.

Demostración

Pasos:

1. Determinamos la ecuación de la recta L1 que es perpendicular a L.

2. Como el punto Q es común para las dos rectas, hallamos las coordenadas

resolviendo el sistema de ecuaciones que se forma.

4. Calculamos la distancia entre los puntos P y Q que es la distancia del punto a la

recta

0.1025,036

.093,1844

.1765,0842

yxyxc

yxyxb

yxyxa

22

11

BA

CByAxd

L = línea recta.

d = distancia entre la línea L y elm punto P

Ax + By + C = 0…..Ecuación general de la

recta L.

L1

y

x

d

0

L

Q(x,y)

P(x1,y1)

Ax + By + C = 0

Ayuda: Para el ejercicio 2, despeje en ambas

ecuaciones e identifique las pendientes con m1

y m2 , luego, reemplace los valores en la

fórmula anterior. Como en el ejercicio 1 ya

están identificadas la pendientes, denótelas y …


mapb

233

233

Determinando la ecuación de L1:

B

Am

B

Cx

B

AyCByAx )1....(0 Pendiente de L .

Sea 1m la pendiente de 1L . Como A

B

mmmmLL

BA

111 111

.

Hallemos la ecuación de 1L que pasa por el punto :),( 11 yxP

1111111 )()( BxBxAyAyxxyyxxmyyAB .

De donde: )2....(011 AyBxAyBx …ecuación de 1L .

Hallando las coordenadas del punto Q:

Reuniendo las ecuaciones (1) y (2), y resolviendo el sistema por el método de reducción o

suma:

)0(0

)0(0

1111

AyBxAyBxAAyBxAyBx

CByAxBCByAx

Multiplicando, sumando, factorizando y despejando y :

22

1

2

1

1

2

1

22

1

2

1

2

2

0)(

0

0

BA

BCyAABxy

BCyAABxyBA

yAABxyAABx

BCyBABx

.

De igual forma: 22

11

2

BA

ACAByxBx

. Entonces, las coordenadas del punto Q son:

22

1

2

1

22

11

2

,),(BA

BCyAABx

BA

ACAByxBQyxQ , con estas coordenadas y las del

punto ),( 11 yxP , hallemos la distancia entre los puntos P y Q. Esto es: 2

22

1

2

11

2

22

11

2

1

2

BA

BCyAABxy

BA

ACAByxBxd

2

22

1

2

11

2

1

22

22

11

2

1

2

1

2

2

BA

BCyAABxyByA

BA

ACAByxBxBxAd ...Sumando fracciones.

2

22

11

22

22

11

22

BA

BCABxyB

BA

ACAByxAd ….Reduciendo términos semejantes.

2

22

11

2

22

112

BA

CByAxB

BA

CByAxAd …Ordenando y factorizando.

222

2

11

2

222

2

11

22

BA

CByAxB

BA

CByAxAd

…Desarrollando potencias.

22

2

11

222

2

11

222

BA

CByAx

BA

CByAxBAd

….Sumando fracciones, factorizando y

simplificando.

22

11

22

2

11

BA

CByAx

BA

CByAxd

…Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros

22

11

BA

CByAxd

…Esta es la fórmula para hallar la distancia entre una recta y un punto.


mapb

234

234

EJEMPLO 1.

Hallemos la distancia que separa a la recta 2x +3y 6 =0 y el punto P(2, 4)

Gráfica

El signo menos de la distancia, muestra que el punto está por debajo de la recta, pero,

sabemos que la distancia nunca es negativa, por eso, en este caso se halla el valor absoluto

de la misma.

Si la distancia es positiva, el punto se encuentra por encima de la recta o a la derecha

EJEMPLO 2.

Los puntos )4,1()2,4(),3,4( KyQP son los vértices de un triángulo, hallemos la altura

correspondiente a cada lado.

Solución:

Para el lado )2,4(,)3,4(: QPPQ y el vértice opuesto K(1, 4):

)4(8

53)4(

44

323)( 1

12

121

xyxyxx

xx

yyyy .

0485205248 yxxy , esta es la ecuación del lado PQ.

Hallando la altura (distancia) de 0485 yx al punto K(1, 4):

0

y

x d

P(2, 4)

2x + 3y 6 = 0

ciadisd

d

BA

CByAxd

yxCBA

Pyx

tan...13

22

13

22

13

22

94

6124

32

)6()4(3)2(2

)4,2(0632

2222

11

11

PASOS A SEGUIR:

Determinemos la ecuación de la recta que

Contiene cada lado, haciendo uso de la

ecuación : )( 1

12

121 xx

xx

yyyy

.

Luego, calculemos la distancia de cada

Punto (vértice) a cada lado.

y

x

P(4, 3)

0

Q(4, 2)

K(1, 4)

Altura con respecto

al lado PQ


mapb

235

235

34,489

8941

6425

4325

8)5(

4)4(8)1(5

2222

11

BA

CByAxd

Halle usted la altura para los demás lados…

EJEMPLO 3.

Dadas las rectas 01234:0632: 21 yxLyyxL , hallemos la distancia que

las separa en un determinado punto.

Tomemos la recta 01234:2 yxL , determinemos las coordenadas de un punto sobre la

misma, digamos para 2x : 0123)2(401234 yyx

3404301238 yyy . Nuestro punto a utilizar es

34,2 .

Ahora, tomando 0632:1 yxL y el punto 34,2 , determinemos la distancia entre

21 LyL . Esto es: 34

11 2,6,3,2 yyxCBA

88,313

14

94

644

3)2(

)6()(3)2(2

22

34

22

11

13

1314

BA

CByAxd

EJERCICIOS

1. Para cada recta, halle la distancia al punto o a los puntos dados:

)6,3(,042 Pyxa .

)5,5()6,3(,5 QyPyxb .

)4,7()4,3(,01243 QyPyxc .

2. Los puntos )5,2()3,3(),4,5( KyRP son los vértices de un triángulo, hallemos la

altura correpondiente a cada lado.

3. Dadas 063:042:,4054: 321 yxLyyxLyxL , halle las

distancias entre 233121 , LyLyLyLLyL .

Importante:

Debido al carácter infinito de las rectas, es

imposible calcular la distancia que las separa

en todo el recorrido, pero, si podemos estimar

la distancia que las aparta en determinados

puntos del trayecto

y

x

1L

3

0

d

4

34

2

2

3

34,2

0632 yx

01234 yx

2L


mapb

236

236

CONSTRUCCIÓN DE LA FUNCIÓN DE ALGUNOS FENÓMENOS

En muchas situaciones de la realidad, encontramos relaciones complejas que se pueden

dilucidar (analizar) fácilmente, pero, la representación de esas relaciones complejas a través

de una función (fórmula o expresión algebraica), permiten comprenderlas más claramente,

conjeturar a cerca de su comportamiento y hacer predicciones sobre las mismas

No existe una fórmula mágica que permita construir la función (fórmula expresión

algebraica) que represente las características de un fenómeno natural, esto se debe a que los

fenómenos naturales son heterogéneos (distintos) y por ende, nos es posible establecer unas

reglas (condiciones) que los represente a todos. Por eso, la capacidad e inventiva del

interesado es muy importante para llevar a cabo tal construcción.

No obstante, la interiorización (comprensión) de las pautas que se presentan a continuación,

facilitan la construcción de la función de una situación natural:

1. Se identifica la variable dependiente, que normalmente se escribe en el primer miembro

de la ecuación o se despeja (aísla) después de construida la función.

2. Se identifica la variable independiente, que suele escribirse en el segundo miembro de

la ecuación.

3. Se identifica el factor constante, que permite sumar la variable independiente el número

de veces que indique él, que se convierte en el producto de la variable independiente

por el factor constante.

4. Se identifica el término constante, O sea, el término que permanece inmodificable e

indiferente a la variable independiente. El mismo se suma en el segundo miembro a la

función (ecuación).

EL SIGUIENTE ESQUEMA ILUSTRA LAS CONSIDERACIONES ANTERIORES:

Este esquema, se puede expresar así: ….Función

Casi siempre, la variable independiente se denomina y la dependiente,

kmxxfy )(

x y

Variable

Dependiente

eDependient

Variable

Variable Dependiente

nteIndependie

Variable

teCons

Factor

tan

Variable

Dependiente

teCons

oTér

tan

min

fy 0 m x k

Es muy importante anotar, que casi siempre las relaciones involucran dos variables

teconsonteindependieoTér

pendienteoteconsFactor

sarbitrariovaloresToma

dedependenqueSignifica

k

m

x

xfyxfy

tanmin

tan.,)(


mapb

237

237

Gráfica

EJEMPLO 1.

Durante una reunión familiar, el padre se compromete a darle a un hijo $500 más diario para sus

gastos, siempre y cuando, éste asista todos los días de la semana al colegio.

a) Hallemos una función para el ingreso adicional del hijo en función de los días asistidos al colegio

b) Determinemos, ¿cuánto acumulará en 46 días?

Solución: En un día recibe: 500. Que equivale a multiplicar 500(1)

En dos días recibirá: 500 + 500 = 1000. Que equivale a multiplicar 500(2)

En tres días recibirá: 500 + 500 + 500 = 1500. Que equivale a multiplicar 500(3)

En cuatro días recibirá: 500 + 500 + 500 + 500 = 2000. Que equivale a multiplicar 500(4)

El en cinco días recibirá: 500(5), y a si sucesivamente.

El anterior análisis muestra, que para determinar el ingreso del hijo en un determinado

número de días, solo hay que multiplicar lo que se gana el primer día ($500) por el número

de días transcurrido

Como ya interpretamos el comportamiento de la situación, planteemos la función:

Sea = Ingreso del hijo Variable dependiente

= Días transcurridos Variable independiente

$500 = Recursos que el hijo recibe el primer día Factor constante

Debido a que el ingreso ( ) depende de los días transcurridos ( ), se puede expresar en

función de los días. Esto es: . Multiplicando el factor constante por la variable, se obtiene

: . Finalmente, la función queda expresada así:

Función

b) Al transcurrir 46 días, o sea, para el hijo recibirá:

Gráfica:

0 1 2 3 4

0 500 1000 1500 2000

I

x

I x

I x)(

x500

xI x500

)(

46x

000.23$)46(500)46(

I

xy

kmxxfy )(

De la gráfica se puede observar que:

Cuando , el valor de es igual a

. Donde es el intercepto con el eje

0x )(xfy k

kxfy )( k y

k

y

x 0

xI x500

)(

Días 0

500

1000

1500

2000

1 2 3 4

Ingreso


mapb

238

238

EJEMPLO 2.

Un comerciante le paga a un empleado $10850 diario por la jornada ordinaria de trabajo. Con

el objetivo de aumentar la producción, el patrón acuerda con el empleado el pago de $2500

por cada hora extra (hora adicional a la jornada ordinaria) labrada Determinemos la función para el sueldo diario en función de las horas extras laboradas

Solución:

Debido a que las horas extras se contabilizan después de la jornada ordinaria de trabajo, y

además, el trabajador primero asegura el sueldo de la jornada ordinaria ($10850), entonces:

Para una hora extra: 10850 + 2500. Que equivale a: 10850 + 2500(1)

Para dos horas extras: 10850 + 2500 + 2500. Que equivale a: 10850 + 2500(2)

Para tres horas extras: 10850 + 2500 + 2500 + 2500. Que equivale a: 10850 + 2500(3)

Para una hora extra: 10850 + 2500(4), y a si sucesivamente

Como se puede observar, el sueldo correspondiente a la jornada ordinaria ($10850)

permanece inmodificable (constante), en cambio, el relacionado con las horas extras, depende

del número de horas laboradas, luego:

= Sueldo diario en función de las horas extras

= Horas extras laboradas

$10850 = Sueldo jornada ordinaria

$2500 = Sueldo hora extra laborada

El sueldo percibido por las horas extras laboradas, resulta de multiplicar el valor de la hora

extra por el número de horas extras transcurridas. O sea: . Pero, para tener derecho al

pago de horas extras, el trabajador primero asegura el sueldo de la jornada ordinaria

($10850), que lo suma al sueldo de las horas extras, entonces la función es:

Función

Gráfica:

0 1 2 3 4

10850 13350 15850 18350 20850

EJEMPLO 3.

Una fábrica paga a un empleado $200 por cada día laborado. Pero, debido a un préstamo que

la cooperativa de la fábrica le hizo al trabajador, cada vez que le pagan le hacen un descuento

de $80 para amortizar la deuda.

a) Construyamos una función para el ingreso del empleado en función de los días pagados.

b) Determinemos los días que debe trabajar para obtener un sueldo de $1000.

S

x

x2500

108502500250010850)()(

xSoxS xx

xy

¿Cuánto recibirá si trabaja 6 horas

extras?

¿Cuánto recibirá si no trabaja

ninguna hora extra?

Sueldo

xS x50010850

)(

13350

15850

18350

20850

10850

1 2 3 4 Horas 0


mapb

239

239

Solución:

= Sueldo en función de los días trabajados

= Días laborados

$200 = Sueldo devengado en un día

$80 = Descuento que le hacen al trabajador cada vez que pagan

Como en un día gana $200, en días ganará: . Pero, para amortizar la deuda, cada vez

que pagan le hacen un descuento de $80, entonces, en días pagados, recibirá: .

De donde:

Función

b) Para un sueldo de $1000, o sea, , deberá laborar:

Gráfica:

0 1 2 3

80 120 320 520

EJEMPLO 4.

Para construir una casa comunal, los habitantes de un barrio de Quibdó compran un terreno

rectangular de 240m2 de área. Pero debido a la falta de presupuesto, la obra no podrá ser

construida inmediatamente, y la comunidad decide cercarlo con alambre.

Expresemos la longitud (perímetro) del lote como una función de uno de sus lados.

Solución:

S

x

x x200

x 80200 x

80200)(

xS x

1000)(S x

díasxxxS x4,5

200

1080

200

80100080200100080200

)(

xy

¿Cuál será la ganancia cuando el

trabajador no trabaja?

¿Cuánto recibirá si trabaja todo

el mes?

80200)(

xS x

520

160 120

320

240

1 2 3 4

80

80

400

480

560

Sueldo

Días 0

Expresemos la longitud en función del largo:

Sean los lados del terreno. Como es

rectangular el área es . Entonces:

….(1)

Pero:

….(2).


Exprese usted, la longitud en función del ancho

yx,

xyA

xydondeDexy 240:240

yxL 22

Función.......480

480240

2

222

)

)

(

(

x

xx

xL

xxL

x

x

x

y 2240mA

perímetrooLongutudL

AnchoyoLx

.arg


mapb

240

240

EJEMPLO 5.

Una tienda de video juego, presenta a sus clientes las siguientes opciones para la adquisición

de películas: Si comparan 4 películas a $160 cada una, entonces pueden comprar películas

adicionales a mitad de precio. Pero, debido a la poca oferta, a cada cliente solo se puede

vender un máximo de 10 películas

Hallemos la función del costo de la compra en función del número de películas compradas.

Solución:

= Costo de la compra

= Número de películas compradas

$160 = Precio de cada película

Como nunca es posible comprar cero películas, toma valores mayores a cero.

Si un cliente compra de 1 a 4 películas. El costo de la compra es: , entonces:

Pero después de comprar 4 películas, las demás se pueden pagar a mitad de precio, o sea a:

cada una. Esto muestra, que para la adquisición de películas, el cliente

paga cada una a . Pero como ya pagó las 4 primeras a , el costo de

comprar más de 4 películas, viene dado por la suma de las 4 que paga a $160 más las que

paga a mitad de precio. Luego:

Reuniendo (1) y (2):

. Se ha obtenido una función por tramo

¿Cuánto debe pagar un cliente que compre 3, 6, 7 o 9 películas?

EJEMPLO 6.

Carmen Bonilla hace helados a un costo de $8 cada uno. Si los vende a pesos, podrá

vender helados al día.

a). Hallemos una función que represente la utilidad (ganancia) en función del precio

b). Calculemos la utilidad si los helados se venden a $10.

Solución:

= Utilidad o ganancia

= Precio de cada helado

$8 = Costo de cada helado

= Número de helados vendidos

Pero:

Haciendo uso de la expresión: se tiene que:

C

x

x

)41( x x160

)1........(41.160)( xparaxC x

80$2

160$ 44 x

x80 640$)4(160160 x

)2.......(104.80640)( xparaxC x

104.80640

41160)( xparax

xparaxC x

x

x18

G

x

x18

)8)(18())(cos(

))(18())((

xCostoheladoportoheladosdenúmeroCosto

xxIngresoheladoporprecioheladosdenúmeroIngreso

toIngresoUtilidad cos

Función.......14426

14426)8)(18()8)(18())(18(

2

2

)(

)(

xxG

xxxxxxxG

x

x

En las operaciones comerciales, la Utilidad o

Ganancia, el Ingreso o Venta, el Costo y la Perdida,

están relacionadas a través de las siguientes

expresiones:

toIngresooventa cosUtilidadoGanancia

ventatoPerdida cos


mapb

241

241

b) Si vende los helados a $10, o sea: , obtiene una utilidad de:

Trace la gráfica de la función

EJEMPLO 7.

Una persona compra una motocicleta por $200.000. Después de 10 años de uso la

motocicleta está obsoleta y sin ningún valor.

a). Hallemos una función para el valor de la depreciación de la motocicleta durante

los 10 años de uso.

b). Transcurrido 7 años, ¿en cuánto se puede vender la motocicleta?

Solución:

= Valor de la depreciación de la motocicleta

10 = Tiempo de vida útil

= Tiempo que debe transcurrir para que la motocicleta quede obsoleta

$200.000 = Valor compra de la motocicleta

Como la motocicleta tiene una vida útil de 10 años, y queda obsoleta en años, cada año se

deteriora , pero a medida que pasan los años, el precio de la motocicleta se deteriora

proporcionalmente al tiempo transcurrido, entonces, la misma se deprecia en:

.

El valor de depreciación se calcula estableciendo la diferencia entre el costo inicial o

valor compra($200.000) y la depreciación del precio en años ( ). Luego:

……Función

b). Transcurrido 7 años, o sea:

Después de 7 años, la motocicleta se puede vender en $60.000

EJEMPLO 8.

Para estimular el consumo de un producto que tiene un precio de $200, el gerente de un

supermercado decide hacerle un descuento continuo diario del 10% sobre el costo,

disminuyendo constantemente su precio.

a). Hallemos una función para el costo del producto en función de los días que

permanece disponible al público.

b). Determinemos el costo del producto los 10 días de promoción

Solución:

10x

16$144260100144)10(26)10( 2

)10(G

V

t

t

10t

tt20000

10200000

V

t t20000

tVt

20000200000)(

7t

60000140000200000)7(20000200000)7(

V

Recordemos:

Para hallar el porcentaje de un número, multiplicamos la expresión racional( )

del porcentaje por el número. Esto es: El k% de Q

Hallemos el 40% de 500. Entonces:

.10085.

10010.

1005,2

5,2.1003030.

100%85%10%%% kk

100k

100100kQ

Qk

200100

20000)500(10040


mapb

242

242

Ahora si podemos analizar nuestro ejemplo.

$200 = Precio inicial del producto

= Descuento

El primer día, el producto se reduce en un 10% del precio inicial, esto es:

. Nuevo costo del artículo.

El segundo día, se descuenta nuevamente el 10% del nuevo precio, esto es:

. Luego:

El tercer día, se descuenta el 10% del precio del día anterior, esto es:

. De donde:

Si observamos bien la secuencia, para el cuarto día el costo es:

Para el quinto día es: , y a si sucesivamente

¿Cuál será el costo para el día 10?

Reuniendo todos precios:

…..Primer día

…..Segundo día

…..Tercer día

…..Cuarto día

…..Quinto día

b). El costo del artículo a los 10 días, o sea, para es:

El precio del artículo a los 10 días de permanecer a la venta es de $69,73

En general:

= Costo del artículo al aplicarle el descuento continuo

= Precio inicial

= Porcentaje de descuento

= Tiempo

Luego:

….Esta es la fórmula para calcular el interés compuesto

101

10010%10

200%10 de

dofactorizan....1200200101200

101

1011200%10 de 2

101

101

101

101

101

101 12001120012001200

21011200%10 de

3222

101

101

101

101

101

101 12001120012001200

41011200

51011200

11011200

21011200

31011200

41011200

51011200

10t

73,699,020020020012001010

10910

1011010

101

)10( G

tt

tG 9,02001200

101

)(

G

Q

100% rr

t

tt

rQG100)(

1

Como se puede observar, el exponente de cada

paréntesis corresponde al número de días. Entonces:

= Costo del producto al aplicarle el descuento

= Días durante los cuales permanece disponible

el producto

De donde:

…..Función

G

t

tt

G101

)(1200


mapb

243

243

EJEMPLO 9.

Comparando las escalas de temperaturas Celsius o Centígrada y la Fahrenheit, se observa que para 0°

Celsius (punto de congelación del agua), la escala Fahrenheit marca 32° y para 100° Celsius (punto de

ebullición del agua), la escala Fahrenheit marca 212°. Si las dos escalas se relacionan linealmente:

a) Hallemos la función o fórmula que relaciona las dos escalas

b) Para una temperatura de 60° en la escala Celsius, ¿cuántos grados marca la escala Fahrenheit

Solución:

El enunciado muestra que las dos escalas coinciden en dos puntos distintos, esto nos lleva a utilizar la

eceuación de la recta que pasa por dos puntos.

Los puntos son:

Haciendo uso de las variables seleccionadas para nuestra solución, la ecuación es:

. Sustituyendo los valores de los puntos en esta ecuación, se

tiene que:

Como se puede observar la escala Fahrenheit está en función de la escala Celsius.

b) Para °C = 60°:

Entonces: Para °C = 60°, °F = 140°

EJERCICIOS

1. La siguiente tabla muestra el plan que una empresa telefónica ofrece a sus

usuarios

Precio minuto = $250 Cargo fijo por minuto = $12

a). Halle una función para el costo del plan en función de los minutos

consumidos

b). Si un usuario consume 680 minutos, ¿cuánto debe pagar?

c). Con $40000, ¿cuántos minutos puede comprar?

d). Trace la gráfica

FahrenheitFC yCelsius 00

2

0

2

0

1

0

1

0

212,10032,0

FCFC

)( 1

12

1

12

CCCC

FFFF

funciónlaesEstaLuego

CFCFCF

32C5

9F:

32180

32212

325

9

100)0(

0100

32

140321083232)32C5

540(60

5

9

5

9F

Ecuación de la recta que

pasa por dos puntos

)( 1

12

121 xx

xx

yyyy

(100°,212°)

°C

°F

100°

32°

212°

0°

(0°,32°)

Gráfica


mapb

244

244

2. Un rectángulo tiene un perímetro de 200m y sus lados están denotados con las

letras .

a). Exprese el área del rectángulo en función de

b). Para un área de , ¿cuál es el valor de

c). Para , ¿cuánto vale el área?


3. Una empresa paga a sus empleados $400 por cada día laborado. Para evitar que

los trabajadores lleguen tarde , establece recortar $80 por cada hora de retraso

a). Halle una función para el sueldo de un trabajador en función de las horas de

retraso.

b). Para que un empleado reciba $100, ¿cuántas horas debe retrasarse?

c). ¿Cuál es el sueldo de un trabajador que se retrasa 5 horas?

d). Trace la gráfica.

4. Una empresa abona a sus agentes de ventas $3000 por alojamiento y alimentación

más $20 por cada km de viaje en coche

a). Escribe una función para el abono de un agente en función de los km recorridos

b). ¿Cuántos km debe recorrer un agente para obtener un abono de $36000?

c). Para un recorrido de cero km, ¿cuál será el abono que recibe un agente?

5. Una universidad compra un automóvil por $10.000.000. El vehículo tiene una

garantía de 20 años.

a). Halle una función para el valor del automóvil durante los 20 años

b). Si se quiere vender el automóvil en $8.000.000, ¿después de cuántos años se

debe realizar la venta?

6. Un cilindro recto tiene una superficie total de 80m2 y su radio y altura están

denotadas por las letras .

a). Exprese el volumen en función de

b). Para que valor de el volumen será de

7. En un supermercado por la compra de 7 artículos de tipo A se debe pagar $100 por

cada uno, pero, una vez se superen los 7 artículos comprados, se pueden comprar

artículos adicionales a las dos quintas partes del precio inicial. Debido a la

cantidad de clientes, cada uno puede comprar máximo 12 artículos.

a). Halle una función para el costo de los artículos en función del número comprado

yx,

x2200cm x

cmx 56,8

yx,

x

x 340m

)(52

y

x

yxPPerímetro

xyArectánguloÁrea

Ayuda

22:

:

:

)(2:

:

:

2

rhrAtotalÁrea

hrVcilindroVolumen

Ayuda

T

x

y


mapb

245

245

b). Un cliente que tenga $800, ¿cuántos artículos puede comprar?

8. Felipe compra celulares a $40 cada uno. Debido a la crisis económica del país, para

evitar la quiebra del negocio, tuvo que vender los celulares en $5 menos del precio

inicial. Él decide vender celulares diario.

a). Escribe una función de la perdida en función del número de celulares vendidos

b). ¿Cuántos celulares debe vender diariamente para que la perdida sea mínima?

9. Se va a construir una caja abierta de una pieza cuadrada de material de 30cm de lado,

cortando cuadrados iguales de sus esquinas y doblando por las líneas de puntos.

a). Exprese el volumen de la caja en función de

b). Para obtener un volumen de , ¿cuál debe ser el valor de ?.

10. Un padre le asigna a su hijo un estímulo económico de $500 diarios por asistir al

colegio , y adicionalmente le promete $700 por cada examen aprobado.

a). Escribe una función para el dinero percibido por el hijo en función de los

exámenes aprobados.

b). ¿Cuántos exámenes debe aprobar para obtener $6800?

c). ¿Cuánto recibirá si reprueba(pierde) todos los exámenes?


11. CODECHOCÓ decide reforestar unas hectáreas de bosques que fueron taladas por

unos leñadores. Cuando los funcionarios inspecciones el área, contabilizan un

total de de 500 árboles. Después de hacer un análisis, estiman(deciden) sembrar

cada mes el 20% de los árboles existentes.

a). Halle una función para la cantidad de árboles que contiene el bosque en

función de los meses sembrados

b). ¿Cuántos árboles tendrá el bosque en un semestre?

12. La distancia que separa las ciudades de Quibdó y Medellín es de 200km

aproximadamente. Un atleta decide desplazarse de Medellín a Quibdó, cada día

recorre el 10% de la distancia entre las dos ciudades.

a). Halle una función para la distancia que le falta recorrer al atleta en función

de los días caminados

b). Después de 8 días de camino, ¿cuántos km le falta atleta por recorrer?

13. Un banco ofrece el 8% de utilidad diaria sobre el saldo, y cada día la ganancia se

acumula al capital. Un comerciante atraído por la oferta del banco deposita

$2000

a). Halle la función que le permite al comerciante estimar la ganancia en función

x20

CostoVentaPerdidaAyuda :

x31200cm x

Caja

construida

x

x

x230

x230

x

x

cm30

x230 Pieza

cuadrada abhV

Ayuda


mapb

246

246

de los días b). A los 10 días de tener el dinero en el banco, ¿cuánto recibe?

14. Un estudio sobre la producción de oro en el departamento del Chocó mostró que en

el mes de enero se extrajeron 10 castellanos por cada 4m3 de tierra dragada y en el

mes de junio de 80 castellanos por cada 20m3 de tierra dragada. Si las dos variables

tienen un comportamiento líneal:

a) Halle una función para la producción de oro en el Chocó

b) Para una producción de 50 castellanos, ¿cuántos m3 se deben dragar?

c) Para un dragado de 80m3, ¿cuántos castellanos se producen?

15. Las ventas del comercio de Quibdó en los dos primeros meses de 2009 fue de 400 y

600 millones de pesos, respectivamente. Si el crecimiento de las ventas tienen un

comportamiento lineal:

a) Halle una función para las ventas

b) En el 10 mes, ¿a cuánto hacienden las ventas)

c) ¿Cuántos meses deben transcurrir para obtener unas ventas de 2000 millones

de pesos?


mapb

247

247

SECCIONES CÓNICAS

Las secciones cónicas son curvas que se forman por la reflexión e intersección de una

superficie cónica de revolución con un plano.

LA CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias equidistan

todas (misma separación) de un punto llamado centro. La distancia a la que equidistan se

llama el radio de la circunferencia.

e

Generatriz(g)

Vértice

Eje

Las secciones cónicas son:

LA CIRCUNFERENCIA: El plano que corta el

cono es perpendicular al eje.

LA PARÁBOLA: El plano es paralelo a la

generatriz y oblicuo al eje.

LA ELIPSE: El plano es oblicuo al eje y corta las

dos generatrices.

LA HIPÉRBOLA: El plano es paralelo a las dos

generatrices.

Centro

Radio

C

r

y

x 0

r

y

x 0

r


mapb

248

248

ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA

Consideremos la siguiente figura:

De donde: .

Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia, tenemos: 222 )()( rkyhx

22222 22 rkkyyhhxx …………….Desarrollando los binomios (potencias).

022 22222 rkhkyhxyx ………(1)………….Ordenando e igualando a cero.

Haciendo: 222.2.2 rkhFkEhD .

Reemplazando estos valores en la ecuación anterior (1), se tiene:

0FEyDxyx 22 ……………..Esta es la ecuación general de una circunferencia.

Para que una ecuación como esta represente una circunferencia, los coeficientes de

deben ser iguales.

ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO r

22kh yxr

22 , yx

y

0

r

P( x, y )

x

Como el centro está en origen del

sistema de coordenadas rectangulares,

C(h,k) = C(0,0); esto significa que:

h = 0 y k = 0. Reemplazando en la

ecuación ordinaria:

.00 222

222

ryx

ryx kh

222 ryx Ecuación…

h

k C( h, k )

r

P( x, y )

y

x 0

CANÓNICA: Forma simple o normal de

una ecuación que representa un fenómeno,

posición general o común de una figura

geométrica

La distancia entre los puntos P y C es el

radio de la circunferencia(r).

Aplicando la fórmula para hallar la distancia entre

los puntos, se tiene que:

222 )()( rkyhx ….Esta es la ecuación

ordinaria o canónica de una circunferencia.


mapb

249

249

EJEMPLO 1.

La expresión es la ecuación de una circunferencia. Hallemos los

valores de D, E, F, el centro y el radio.

Solución:

La ecuación particular se comprara con la general

Comparando:

De la comparación se obtiene que:

35.4.2 FED

Pero: 22

4

22.1

2

2

22

EkkE

DhhD .

El centro es: 2)C(1, .

RadiorrdondeDe

rrrrkhF

.........1024040:

5354135)2()1(35

2

22222222

Gráfica:

0354222 yxyx

0354222 yxyx

022 FEyDxyx

0

03542

22

22

FyExDyx

yxyx

y

x 40 0

r

)2,1( C


mapb

250

250

EJEMPLO 2.

La ecuación de una circunferencia es . Hallemos el centro

y el radio.

.054304

20

4

16

4

12

4

4

4

4 2222

yxyxyxyx

Solución:

Primero eliminamos los coeficientes de dividiendo toda la ecuación por el coeficiente

de , o sea, por 4, luego, se compara con la general. Esto es:

Comparando:

EJEMPLO 3.

La ecuación de una circunferencia es . Hallemos el centro y el radio.

Solución:

EJEMPLO 4.

Hallemos la ecuación ordinaria y general de la siguiente circunferencia.

020164 124 22 yxyx

22 , yx2x

0

0543

22

22

FEyDxyx

yxyx

2.:.22

)4(

24.

2

3

23

23

CescentroEl

EkE

DhD

radiorrkhFF 2

55 222

01224 yxx

0

0104

22

22

FEyDxyx

xyx

0,2:.02

0

20.2

2

)4(

24 CescentroEl

EkE

DhD

radiorrkhFF 31 222

Trace la gráfica….

NOTA: El elemento que no existe,

se reemplaza con cero(0)

y

0 x

10 )3,2(C

kh

rkhdondedeC

10,3,2:),3,2(

Reemplazando rykh, en la ecuación canónica: 222 )()( rkyhx

222 )10()3()]2([ yx . 222 )10()3()2( yx ……….Ecuación ordinaria.

1009644 22 yyxx .

0876y4xyx 22 ……. Ecuación general.


Ojoo: 22 , yx siempre son positivos


mapb

251

251

EJEMPLO 5.

Determinemos la ecuación general de una circunferencia cuyo diámetro tiene por extremo los

puntos ( 2, 6) y (2, 4).

Con el centro y el radio, determinemos la ecuación:

EJEMPLO 6.

Determinemos la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C( 2, 2) y pasa por

el punto (2,3).

...0201052510)(50 2222222 5 Ecuaciónyyxyyxyx

( 2, 6)

(2, 4)

0

y

x

C(0, 5)

Hallemos las coordenadas del punto medio, o sea, el

centro de la circunferencia.

52

64

2.0

2

22

2

2121

yy

kxx

h .

)5,0(),( CkhC

Ahora, calculemos el radio de la cirucnferencia, utilizando

el centro y uno de los extremos:

514)1()2()54()02( 2222 r .

(2,3)

y

x

C(2, 2)

r

Hallemos el radio, determinando la distancia entre

los dos puntos:

.412516

)5()4()32()22( 2222

r

r

22241)2()2( yx

412222 yx

414444 22 yyxx

0334422 yxyx ….Ecuación …


mapb

252

252

EJEMPLO 7.

La ecuación de una circunferencia es . Demostremos que el punto

P(3,5) está en el interior de la circunferencia y que el punto Q(4,8) está en el exterior. 222 )()( rkyhx .

Si rkyhx 22 )()( , el punto está en el interior de la circunferencia.

Si rkyhx 22 )()( , el punto nestá en el exterior de la circunferencia.

74949)6()4( 22 ryx .

Para )5,3(P : 72 7)65()43( 22 …Si se cumple, entonces, P(3,5) está en

el interior de la circunferencia.

Para )8,4( Q : 714 71967)68()44( 22 …Si se cumple,

entonces, Q(4,8) está en el exterior de la circunferencia.

EJEMPLO 8.

Hallemos la ecuación de la circunferencia de radio 10 y cuyo centro es el punto de

intersección de las rectas

Solución:

El centro de la circunferencia es el punto de intersección de las dos rectas involucradas; para

hallar las coordenadas del punto de intersección que para nuestra circunferencia es el centro,

se resuelve el sistema por cualquiera de los métodos analizados en los años anteriores.

Resolviendo el sistema se tiene que C(2,1), entonces:

EJEMPLO 9.

Observe la siguiente circunferencia. Si la circunferencia se traslada 8 unidades hacia la

derecha, o sea, en la dirección )0,8(

V , ¿cuál es la ecuación de la circunferencia en la nueva

posición?.

492264 yx

0243732 yxyx y

....09524

100124)10(12

22

22222 4

generalEcuaciónyxyx

yyxxyx

Si trasladamos la circunferencia 8 unidades hacia la derecha, el

desplazamiento es paralelo al eje x; esto significa, que a la coordenada

del eje x se le suma 8, luego: 2 + 8 = 6. Como la coordenada del eje

y permanece constante el nuevo centro de la circunferencia es C(6,3);

con este centro y el radio determinaremos la ecuación en la nueva

posición. Esto es:

....020612

25963612)5(36

22

22222

generalEcuaciónyxyx

yyxxyx

0

y

x

5

Grafique la circunferencia en la nueva posición


mapb

253

253

EJERCICIOS

1. Para cada centro y punto, halle la ecuación de circunferencia y la gráfica.

a). C(0,0) y pasa por (4,8). b). C(2, 5) y pasa por (0,1).

c) C(5, 4) y pasa por(4,4)

2. Halle la ecuación general de las siguientes circunferencias

3. Para cada par de puntos que determina el diámetro de cada circunferencia, halle la

ecuación general

a). A(2, 2) y Q(2,2). b). A(0, 0) y Q(8,10). c). R(4, 5) y Q(4, 2).

4. Halle la ecuación de la circunferencia de centro C(4,5) y radio

5. Halle la ecuación de la circunferencia de centro C0,5) y radio 9.

6. La ecuación de una circunferencia es . Demuestre que el punto

P(0,1) está en el interior de la circunferencia y que el punto Q(2,5) está en el exterior

7. Halle la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección

de las rectas

8. Para cada circunferencia, halle la ecuación según la traslación indicada.

7

492264 yx

053201 yxyx y

7

0

y

x

11

0

y

x

11

0

y

x

Se traslada 5unidades

hacia la derecha y 4

hacia arriba, o sea, en

la dirección )4,5(

V

7

0

y

x

Se traslada 4unidades hacia la

izquierda y 3 hacia abajo, o sea,

en la dirección )3,4(

V


mapb

254

254

NOTA COMO COMPLETAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Las expresiones hacen parte de un trinomio cuadrado perfecto, pero

como se puede observar, a ambas expresiones le hace falta un término. Para hallar el término

que falta, se aplica el siguiente procedimiento:

Se ordena la expresión en forma descendente (de mayor a menor)

Se factoriza toda la expresión por el coeficiente del término de mayor grado

Cuando el trinomio hace parte de una ecuación o identidad, toda la expresión se divide

por el coeficiente del término de mayor grado

El coeficiente del segundo término se divide por 2 y el cociente se eleva al cuadrado

A la expresión inicial se suma y resta la potencia obtenida.

Finalmente, si es necesario se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.

Completemos los siguientes trinomios:

a …factorizando.

….elevando el cociente al cuadrado. …sumando y restando

….factorizando. Entonces: , sí esta expresión se desarrolla,

reproduce la inicial.

b …dividiendo por 3.

…elevando el cociente al cuadrado.

COMPLETE LOS SIGUIENTES TRINOMIOS:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE

Al inicio de la guía se mostró que la ecuación ordinaria de una circunferencia se puede

escribir de la siguiente forma:

xxxx bayba 22

)(222122 xxxx 2...

412

21 pordividiendo

16

12

4

1

161

161

2122 xx

16

1

161

41 2

2 x 162

41 2

2 x

03093 22 xxxx 2...2323 pordividiendo

4

92

2

3

0

49

23

49

49 22 03 xxx

05.062.2.3.4 22222 xxxxxxxxxx

022 FEYDXYX

:

...4422

...tan4444

.0

2222

222

222

22

22

queobtieneseecuaciónestaDe

trinomioslosaislandoydoFactorizanF

trinomioslosdoCompleF

FandotransponieyOrdenandoF

nciacircunfereunadegeneralEcuaciónF

EDED

EEE

DDD

ED

ED

yx

yyxx

yyxx

yxyx

2,

2:

42

1

44.

2.

2

2222

2

ED

EDED

CescentroEl

FEDFkh rr


mapb

255

255

Gráfica:

EJEMPLO

Grafiquemos la circunferencia

Solución:

Comparando:

092222 yxyx

0

0922

22

22

FEyDxyx

yxyx

1,1:

.12

2

22.1

2

)2(

22

CescentroEl

EkE

DhD

1144)9(4)2()2(4:92122

2122

21 FEDrperoF

0

y

x

22

, EDC

FEDr 422

21

CONSIDERACIONES IMPORTANTES

SOBRE

Si 0, la circunferencia

es real

Si = 0, la circunferencia

se reduce a un punto

Si 0, la circunferencia

es imaginaria

FED 422

FED 422

FED 422

FED 422

0

y

x

)1,1( C

11


mapb

256

256

EJERCICIO

Grafique las siguientes circunferencias:

DETERMINACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN SUJETA A TRES

CONDICIONES

Las formas de la ecuación de una circunferencia son:

EJEMPLO 1.

Determinemos la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,2) , B(6,6) y

Q(6, 2).

Solución:

En este caso utilizamos la ecuación . Reemplazando las

coordenadas de cada punto en la ecuación anterior, formamos un sistema de tres ecuaciones

con tres incógnitas(D,E,F). El objetivo es hallar el valor de cada incógnita, para luego,

reemplazarlos en la ecuación general…

Para:

Para:

Para:

Reuniendo (1), (2) y (3):

Reemplazando los valores de D, E y F en la ecuación :

.02124.015

.044.052

842

62

2222

2222

yxyxyxyx

yxyxyxyx

.022

222

nciacircunfereunadegeneralEcuaciónFED

canónicaoordinariaEcuaciónkh

yxyx

ryx

022 FED yxyx

2,2)2,2( yxA

)...(822022440)2()2()2()2( 221 FEDFEDFED

6,6)6,6( yxB

)...(726606636360)6()6()6()6( 222 FEDFEDFED

2,6)2,6( yxQ

)...(40260264360)2()6()2()6( 223 FEDFEDFED

24.4.12)...(4026

:,)...(7266

Re)...(822

FEDFED

quetienesemétodocualquierporincógnitasFED

tresconecuacionestresdesistemaestesolviendoFED

3

2

1

022 FED yxyx

ecuaciónyxyx ...0)24()4()12(22 0244y12xyx 22


mapb

257

257

EJEMPLO 2.

Determinemos la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(6,2), Q(8,0) y

cuyo centro está sobre la recta

EJERCICIOS

1. Para cada terna de puntos, halle la ecuación de la circunferencia que pasa por ellos:

a). P(1,0), Q(3,2) y R(1, 4). b). A(2, 2), B(1,4) y H(4, 6)

2. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 4), (2, 1) y

cuyo centro está sobre la recta 4x + 7y +5 = 0.

3. Una circunferencia de centro (3, 2), es tangente a la recta 3x + 4y + 2 = 0. Determine la

ecuación de la circunferencia y la gráfica de la misma.

4. Sea la circunferencia . Halle la ecuación de la

circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5x 12y = 1.

0273 yx

...4802020482044168

20)24)20()2(4

:Re

20,2,4:Re......(0273

.......(6416

......(40412

:tan

.....(0273:

...),(,,0273),(

222222

22222

222

222

222

).3

)2

)1

)3

Ecuaciónyxyxyxyxyyxx

khenvaloresestosemplazando

rkhquetienesesistemaelsolviendo

hkh

khkh

ecuacioneslasdoJun

Luego

ecuaciónlasatisfacekhCentoncessobreestákhCComo

yxyx

ryx

kh

r

r

kh

yx

01220164 224 yxyx

En este caso utilizaremos la ecuación

)2

08

)1

26

.......(6416

:)0,8(

......(40412

:)2,6(

222

222

222

222

222

r

r

r

r

ryx

hkh

kh

QPara

khkh

kh

APara

kh

0

y

x

A( 6,2 )

Q( 8,0 )

C(h,k)

0273 yx

Circunferencias concéntricas: Tienen el mismo centro


mapb

258

258

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Determinemos la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y tangente a la

circunferencia

Conociendo el centro y el radio de C2 , hallemos la ecuación:

2. Determinemos las ecuaciones de tres circunferencias, tangentes dos a dos, con centro en

los puntos A(0,0), B(12,5) y Q129).

0168422 yxyx

...020424420420)220(00 2222222

2

2

22

Ecuayxyx

rkh

yx

yx

Hallemos el centro y el radio de

2)16(4)8()4(4

)4,2(

42

8

2.2

2

4

2

01684

22

2122

21

1

22

FEDr

C

Ek

Dh

yxyx

r : Distancia que separa los dos centros

220

:.20)04()02(

12

22

1221

rrr

Entoncesr

rrrrrr r

y

x 2

4

1r

2r

C(2,4)

168422

1 yxyxC

2C

1C

2Cy

x

12

5

9

0

Q(12,9)

B(12,5)

A

3C

1r

2r

2r

3r

3r

1r

Hallemos las distancias que separan los

centros, que es la suma de los radios:

14))9(5()1212(

15)09()012(

13)05()012(

:

...

22

22

22

323121

BQ

AQ

AB

Pero

BQrrAQrrABrr


mapb

259

259

Reemplazando las distancias en las siguientes ecuaciones, se tiene:

3. Un canal, cuya sección es una semicircunferencia, tiene 20m de profundidad en el centro.

Determinemos una ecuación para la semicircunferencia y hallemos la profundidad a 6m

del borde.

4. Un atleta recorre una pista circular tal que la ecuación es . Si la partida

se halla en el Este del centro, determinemos el número de vueltas que debe recorrer para

cubrir 4000m y la posición del atleta, en el momento de la llegada.

01611824)8()9()12()()(

:.8)9,12(:

01331024)6()5()12()()(

:.6)5,12(:

049)7()0()0()()(

:.7)0,0(:

:mindet,14

15

8,6,7:Re13

222222

3

22

33

222222

2

22

22

222222

1

22

11

32

31

32121

yxyxyxyx

yxyxyxyx

yxyxyx

rkh

EntoncesryCCPara

rkh

EntoncesryCCPara

rkh

EntoncesryCCPara

ecuacioneslasaremoserradioslosycentroslosConrr

rr

rrrquetienesesistemaelsolviendorr

090022 yx

y

x

6m

20m

Ubicando el sistema de coordenadas en el centro del

canal o semicircunferencia, tenemos:

dprofundidalaesestamy

y

xy

y

yx

yxryx

xentoncescentrodelmadprofundidalaes

bordedelmadprofundidaLaofundidad

Ecuación

kh

EntoncesCyr

....28,14204

)20(

204196400)14(400

400

14:,14

,6.Pr

...400

)0()0()()(

:).0,0(20

22

22

22

222222

Con el radio, calculamos los metros que recorre en una vuelta:

P = 2r = 2(3,1416)(30) = 188,495m

En una sola vuelta recorre 188,495m.

Para cubrir los 4000m, necesita:

En 21 vuelta recorre: 21188,495m = 3958,395m. Para completar

los 4000m, faltan 41,605m; esto significa que el recorrido finaliza

a 41,605m del punto de partida. Con el arco(41,605m) y el radio,

hallemos el valor del ángulo central ( ).

.3090090022 mryx

vueltasm

22,21495,188

4000

.386,130

605,41rad

m

m

r

SrS

Llegada

41,605m

Partida

y

x 0

r y

x

P(x, y)


mapb

260

260

. La posición del atleta son las coordenadas del

punto P(x,y). Haciendo uso del triángulo rectángulo de la figura, se tiene que:

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Determine la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y tangente a la

circunferencia

2. Halle la ecuación de la circunferencia con centro en el punto (4, 6) y que es tangente a la

circunferencia

3. Determine la ecuación de tres circunferencias, tangentes dos a dos, con centros en los

puntos A(0,0), B(0,9) y Q(3, 5).

4. Para ir de una ciudad a otra, un vehículo debe atravesar una carretera en forma de

semicircunferencia que tiene 40m de altura en el centro. Determine una ecuación para la

semicircunferencia(carretera) y halle la distancia horizontal de un vehículo estacionado a

25m de altura.

5. Un lago que tiene forma de semicircunferencia, tiene 200m de profundidad en el centro.

Halle una ecuación para la semicircunferencia y determine la profundidad de un barco

que se hundió a 150m de la orilla.

6. Un atleta recorre una pista circular tal que la ecuación es . Si la

partida se halla al este del centro, halle el número de vueltas que debe recorrer para cubrir

10000m y la posición del atleta al momento de la llegada.

7. Un ciclista recorre una pista circular tal que la ecuación es . Si la

partida se halla al oeste del centro, determine el número de vueltas que debe dar para

cubrir 2000m y la posición del ciclista al momento de la llegada.

41,79.

180.386,1:.386,1

radradhayradEn

)48.29,51.5(

.48,2941,7130.51,541,79cos30cos

PpuntoelendasellegadaLa

msenmsenrymmrx

044222 yxyx

064322 yxyx

0160022 yx

040022 yx


mapb

261

261

SECCIONES CÓNICAS

LA PARÁBOLA

Las siguientes figuras geométricas son parábolas:

Los fenómenos que a continuación se enuncian generan un movimiento parabólico:

La trayectoria que sigue un proyectil y el salto de un delfín.

El decolaje y aterrizaje de un avión y el salto de un atleta con o sin garrocha.

La trayectoria de un cometa y de los planetas, alrededor del sol, en este caso, el astro

luminoso es el foco.

El cable de suspensión de un puente colgante, adopta forma parabólica, la cúpula de una

iglesia, los arcos de las puertas y puentes.

El arco iris, entre otros…

La rotación de la parábola sobre su eje y, genera infinidades de paraboloides, que tienen

muchos usos en nuestra vida diaria: Los faros de los automóviles, de las linternas, los

telescopios, receptores y reflectores de radar, entre otros…

DEFINICIÓN

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo

llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Directriz

Foco

Lado recto

Vértice

Eje de simetría

Lado cóncavo

Lado convexo

Lado cóncavo: Es la curva hacia

dentro (interior) de la parábola.

Lado convexo: Es la curva hacia

a fuera (exterior) de la parábola


mapb

262

262

ELEMENTOS DE UNA PARÁBOLA

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EN EL DE LAS

ABSCISA (x)

P

P

d

F L

V

E

R

F Foco: Punto ubicado sobre el eje de simetría que

se encuentra a la misma distancia del vértice que la

directriz.

V Vértice: Punto de la curva que se interfecta con

el eje de simetría.

d Directriz: Recta perpendicular al eje de simetría

que se encuentra a la misma distancia del vértice que

el foco.

E Eje de Simetría o eje Focal: Recta que contiene

al vértice y al foco; además, permite reflejar una rama

de la parábola sobre la otra.

LR Lado Recto: Es la cuerda focal perpendicular

al eje de simetría. Su longitud es 4 veces la distancia

del vértice al foco, esto es: LR = 4P.

P Distancia que separa al foco del vértice y al

vértice de la directriz

Dado: V(0,0), F(p,0) y d = P

...min,4

.........)()0()(

132Re.........)0()(

)(tan)........3(

.)...2()0()(.)....1(

:/

0

...4

....2

222

22

22

2

despejandoysemejantesostérreduciendopotenciaslasndoDesarrollaP

cuadradoalmiembrosambosElevandopxypx

enyemplazandopxypx

directrizrectalaapuntodelciaDispxPQ

puntosdosDistypxPFparáboladeDefiniciónPQPF

D

Con

parábolaladeEcuaciónP

xy

P

xy

x = p

F(p, 0)

p p

y

x

0

Q

P(x, y)

d

La ecuación de la parábola

tiene una sola variable

elevada al cuadrado

óndemostraciD :/


mapb

263

263

Si P 0, entonces: x = (P) = P. La gráfica es:

Resumiendo:

EJEMPLO 1.

Hallemos el foco, el vértice, la directriz, la longitud del lado recto y tracemos la gráfica de la

siguiente parábola: .

Solución:

xy 42

4)1(44.1:).0,0(4

).0,1()0,(.14

444

:4

.

.

2

2

PLRPDirectrizVP

FPFPP

quetienesegenerallaconparticularecuaciónestaComparando

xxy

xy

x = p

F(p, 0)

p p

y

x

0

Q

P(x, y)

d

PDirectriz

VVértice

PLRctoLado

PFFoco

Con

parábolaladeEcuaciónP

x

P

xy

:

)0,0(:

4:Re

).0,(:

0

...42

F(P,0)

F(P,0)

x

y

P

PConp

x

xy

0.42

P

PConp

x

xy

0.42


mapb

264

264

Gráfica:

Primero hallamos los puntos guías. Para ello, se tiene en cuenta el Vértice, el Foco y dos

puntos que se obtienen al reemplazar x por la primera componente del foco, esto para facilitar

el trabajo… Entonces:

EJEMPLO 2.

Hallemos el foco, el vértice, la directriz, la longitud del lado recto y tracemos la gráfica de la

siguiente parábola: .

Solución:

)2,1(),0,1(),0,0(:

244)1(4.1)0,1(4 222 .

DFVsonguíaspuntosLos

F yyyyxxy

052 2 xy

4

5,

8

5),0,0(,0,

8

5:

.4

5

16

25

16

25

8

5

2

52

2

2

.2

5

8

544

8

5

8

5:).0,0(.0,

8

5.

8

5

2

54:

2

5

052

...minexp

DVFguíasPuntos

yy

x

xy

xy

PLR

DirectrizVFPPdondeDe

ndotransponieygradomayordeotérdelecoeficientelporresiónlatodaDividiendo

x = 1 F(1, 0)

1

2

y

x 0

2

1

x = 85

y

x

1

85 0

45

)0,(85F

Gráfica


mapb

265

265

EJEMPLO 3.

Hallemos la ecuación de la parábola con foco en (5,0) y directriz la recta x = 5.

Solución:

La gráfica de la parábola es:

EJEMPLO 4.

El lado recto de una parábola tiene una longitud de 16cm. Hallemos el foco, el vértice y la

ecuación.

Solución:


EJEMPLO 5.

Hallemos la ecuación de la parábola cuyo vértice está en el origen y que pasa por el punto

A(3,6).

Solución:

Trace la gráfica…

...1616)4(4

4:

)0,0(:.4:).0,4()0;(:

.4164:,4:.16

22

2

parábolaladeecuaciónlaesEstaxxxy

xy

x

y

PesecuaciónLa

VesvérticeElesdirectrizLaFpFesfocoEl

cmPcmPentoncesPLRComocmLR

párábolaladeEcuación

esestoecuaciónlaenAdescoordenadalasosreemplazamPdevalorelhallarPara

xyxy

PPP

PxyesparábolaladegeneralecuaciónLa

12)3(4

31236)3(4)6(

4:

22

12362

2

:,)6,3(,

Ecuaciónxyxxy

xy

tenemosPemplazando

PdondeDeFPero

P

esparábolaestadegeneralecuaciónLa

2020)5(4

:,Re

5:).0,5(:

.4

:

22

2

0

x = 5 F(5, 0)

5

y

x


mapb

266

266

EJERCICIOS

1. Para cada parábola, halle el foco, el vértice, la directriz, el lado recto y trace la gráfica:

2. Dado el foco y la directriz, halle la ecuación de cada parábola:

3. Para cada lado recto, halle la ecuación y la gráfica de la parábola que lo contiene:

4. Para cada punto, halle la ecuación de la parábola que pasa por el

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EN EL EJE DE LAS

ORDENADAS(Y)

.0.03.082.9. 22222 xyxyxyxyxy edcba

.2

3:,0,

2

3.10:),0,10(.2:),0,2(

xdirectrizFcxdirectrizFbxdirectrizFa

.6.20.8 cmLRcmLRbcmLRa

).6,4().2,2().4,5().6,3( PDBA

y

0

y = p

F(0, p)

x

Q

P(x, y)

p

0

y = p

F(0, p)

p

p

y

x

Q

P(x, y)

“La ecuación de la parábola tiene una

sola variable elevada al cuadrado”

0

...4

:).0,0().,0(

2

PCon

EcuaciónP

PDirectrizVPF

yx

y

“una sola variable al cuadrado”

0

...4

:).0,0().,0(

2

PCon

EcuaciónP

PDirectrizVPF

yx

y


mapb

267

267

Resumiendo:

EJEMPLO

Determinemos el foco, la directriz, el lado recto y tracemos la gráfica de la siguiente

parábola:

Solución:

Gráfica:

Para hallar los puntos guías, se remplaza y por la segunda componente del foco:

EJERCICIOS

1. Para cada parábola, halle el vértice, el lado recto, la directriz y trace la gráfica:

2. Dado el vértice y el foco, halle la ecuación y trace la gráfica de la parábola que los

contiene:

F(0,5) y V(0,0). F(0,4) y V(0,0). F(0,1) y V(0,0).

yx 82

8244.2:).0,0().2,0(4

848

.

.

2

2.2

48

PLRyDirectrizVFP

PP

yx

yx

).2,4()0,0(),2,0(:

.41616282

DyVFsonguíaspuntosLos

xx

.044.162.9. 2222 ydycyba xxxyx

P

PConpy

x

x

0.42

P

PConpy

x

x

0.42

F(0, P)

F(0, P)

x

y

0

y = 2

F(0, 2)

4

y

x 4

yx 82

2


mapb

268

268

APLICACIÓN EJEMPLO 1.

La farola de una linterna tiene una longitud de 30cm y un diámetro de 16cm.

¿A qué distancia de la base de la farola se debe ubicar el bombillo?

Solución:

Tracemos un plano cartesiano por la base de la farola, de tal forma que la divida en dos partes

iguales.

La ecuación de la parábola es: . Para hallar el valor de P, remplazamos x, y por las

coordenadas del punto (30,8):

El bombillo debe ubicarse a 0,53cm de la base de la farola…

EJEMPLO 2.

La cúpula de una iglesia tiene una superficie parabólica. Si la cúpula tiene una longitud de

12m y un diámetro de 17m, ¿cuál será la mejor ubicación de una fuente de luz, para obtener

la mayor iluminación?

Para hallar el valor de P, remplazamos x, y por las coordenadas de uno de los puntos:

La fuente debe ubicarse a 1,5m por debajo de la parte superior de la cúpula

xy P42

...12.2

)0;53,0()0,(.53,0120

6412064)30(4)8(

2

2

Ecuaciónxy

FPFPPP

...6

)5,1;0(),0(.5,148

25,724825,72)12(4)5,8(

2

2

Ecuaciónyx

FpFPPP

Para obtener la mayor

iluminación, la fuente debe

ubicarse en el foco de la

parábola.

La ecuación de la parábola

es: pyx 42

La distancia a la cual debe

ubicarse el bombillo es el foco

de la parábola que forma la

parábola

(30,8)

16cm

30cm y

x

(30,8)

F

0

y

x

12m

17m (8,5; 12) (8,5; 12)

F


mapb

269

269

EJEMPLO 3.

Una antena parabólica tiene un diámetro de 80m y una longitud de 60m.

¿A qué distancia de la base debe colocarse un relector, para que recepcione la mayor cantidad

de señal posible?


La el receptor debe ubicarse a 6,66m de la base de la parábola.

EJEMPLO 4.

Un edificio moderno tiene una puerta en forma de arco parabólico, la cual mide 10m de alto y

6m de ancho. Hallemos una ecuación para la parábola y determinemos la altura de un punto

situado a 2m del centro.


Como la coordenada de y es 4,44m de la parte superior de la puerta, el punto se encuentra

a una altura de: 10m 4,44m = 5,56m del piso

...64,26

)66,6;0(),0(.66,6240

16002401600)60(4)40(

2

2

Ecuaciónyx

FpFPPP

myyy

yx

centrodelmasituadopuntodelycoordenadalaaremosermxPara

parábolaladeEcuación

FpFPPP

44,49,0

44)2( 9,09,0

9,0

)225,0;0(),0(.225,040

9409)10(4)3(

2

2

2

:2)(mindet,2

2m

0

y

x

10m

6m (3, 10) (3, 10)

La ecuación general de la

parábola es: . con P 0

yx P42

Para una mayor recepción,

el receptor debe ubicarse

en el foco de la parábola

La ecuación es: yx P42

0

60m

y

x

(40, 60) 80m (40, 60)

F


mapb

270

270

EJEMPLO 5.

Los bordes de una laguna que tiene forma parabólica están separados por una distsncia de

1200. Si la profundidad en su punto central es de 500m, hallemos la ecuación para la forma

de la laguna y determinemos la profundidad para una embarcación ubicada a 200m de uno de

los bordes.

Cuando la embarcación se encuentra a 200m del borde, la misma está a:

del centro. Luego:

altura desde el centro de la laguna para la

embarcación ubicada a 200m del borde, pero, como la profundidad se mide desde la

superficie y la laguna tiene una profundidad de 500m en su ccentro, la profundidad para la

embarcación a 200m de un extremos, se calcula estableciendo la diferencia entre la

profundidad en el centro y la altura a 400m del centro.

Luego:

EJERCICIOS

1. La cúpula de una catedral tiene una longitud de 20m y un diámetro de 40m.

¿A qué distancia de la parte superior de la cúpula se debe ubicar una lámpara para que la

iluminación sea máxima?

2. Un radiotelescopio de forma parabólico, tiene una profundidad de 9,4m y un ancho de

18,6m. ¿A qué distancia de la base de la parábola se debe ubicar un receptor para obtener

mayor eficiencia?

3. La farola de una lámpara tiene forma parabólica. Si la misma tiene una longitud de 12cm

y un diámetro de 10cm, ¿a qué distancia de la base de la farola debe colocarse un

bombillo, para que la iluminación sea máxima?

4. Un lago que tiene forma parabólica, tiene un ancho de 900m y una profundidad de 300m.

Encuentra una ecuación para la parábola que describe el lago y la profundidad para un

punto situado a 100m de uno de los bordes.

5. La puerta de un edificio tiene un arco parabólico, el cual mide 14m de alto y 7m de

ancho. Halle una ecuación para la parábola y determine la altura para un punto situado a

1,5m de uno de los bordes.

A(600,500)

600 400

200

Borde

Posición de la

embarcación

0

500

Como la parábola abre hacia arriba, su

ecuación es de la forma: .

Utilizando las coordenadas del punto A,

determinemos el valor de P

. Sustituyendo P en la

ecuación general:

. Ecuación de la forma de

la laguna


mapb

271

271

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LA PARÁBOLA

La propiedad muestra que = . Esta propiedad es la base del reflector parabólico: Si se

coloca una fuente de luz en el foco de un reflector parabólico, cada rayo de luz se refleja

paralelamente al eje focal, produciendo así un haz paralelo de luz.

De igual forma, los haces de luz o señal que llegan a la parábola paralelamente al eje focal, se

concentran en el foco. Como se puede evidenciar en las linternas, lámparas, antenas

parabólicas, espejos parabólicos y cualquier otro elemento que tenga forma parabólica y que

sirva para emitir y recibir señal.

Ver

gráfica

Recta L tangente a la parábola en P.

Ángulo entre la tangente en P y la recta que pasa por P y es paralela

al eje focal(L1//X)

Ángulo entre la tangente en P y la recta que pasa por P y el foco(FP)

0

L

L1

y

x F Haces de luz

P

Haces de luz

o señal 0

y

x F


mapb

272

272

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE(h,k) Y EJE PARALELO AL EJE DE LAS

ABSCISAS(X)

Si P 0:

0

),().....(4)(

)....(4)(

....)()()(

)()(

:)1(Re

2

2

222

22

min,

PCon

khVvérticeconparábolaladeEcuaciónhxPky

hxPky

phxkyphx

phxkyphx

enPQyPFemplazando

dofactorizanysemejantesostérreduciendopotenciaslasndoDesarrolla

cuadradoalmiembrosambosElevando

Por definición de parábola:

PF = PQ (1)

Distancia entre dos puntos

phxPQ

kyphxPF

22 )()(

PLR

rectoLado

ph

Directriz

x

4

:

:

F(h + p, k)

P(x, y)

y

x

0

Q

p p

h

k

h p

Directriz

),( khV


.

Con P 0

Directirz:

Lado recto:

h + p

Directriz

F(h p, k)

h

k

P(x, y) Q

p p

),( khV

y

x

0

x


mapb

273

273

EJEMPLO 1.

Determinemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola cuyo foco es el punto

F(6,4) y vértice en el punto V(2,4)

EJEMPLO 2.

Hallemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola de vértice V(4, 3) y foco

F(1,3).

Solución:

Trace la gráfica…

EJEMPLO 3.

Hallemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola de V(2,2) y F(4,2)

El valor de P, se halla estableciendo la diferencia entre el foco y el vértice:

12244134:

)..4(12)4()4)(3(4)3(341)4(1

:

).4(4)3())4((4)3(.)..(4)(

)3,1()3,4(

22

222.

PLRphDirectriz

xyxyP

focoelyelvérticeentrehorizontaldiferencialadevalorEl

xPyxPyhxPky

FyV

x

pedidaEcuación

generalEcuación

ndoestableciehallaseP

x = 2

y

x 0

F(6,4)

p

V(2, 4)

2 4

4

x = 8

8

y

x 0

F(4,2) V(2, 2)

2 4

2

p

16444

:

242:

)..2(16)4(

)2)(4(4)4(

426:

).2(4)4().4,2(

).....(4)(

2

2

2

2

PLR

rectoLado

phDirectriz

pedidaEcuaciónxy

xy

Pelfocoyvértice

elentrehorizontaldiferencialakh

devalorEl

xPyV

hxPky

x


generalEcuación


mapb

274

274

Directriz:

Lado recto:

EJEMPLO 4.

Si la parábola de la figura se desplaza 3 unidades hacia la derecha, hallemos la ecuación de la

nueva posición.

EJEMPLO 5.

Si la parábola de la figura se desplaza 5 unidades hacia la izquierda, hallemos la ecuación de

la nueva posición.

posiciónnuevaladeEcuaciónxyxy

generalEcuaciónhxPky

P

focoelyvérticeelentrehorizontaldiferencialandoestableciehallasePdevalorEl

posiciónnuevalade

directrizlayvérticeelfocoElSonxyVF

).....5(16)4()5)(4(4)4(

).......(4)(

459

:,

.

,:.1)4,5(),4,9(

22

2

222

p

F1(6,4)

x1 = 2

y

x 0

V1(2, 4)

2 6

4

F2(9,4)

9

x2 = 1

V2(5, 4)

p

Nueva posición

Como el desplazamiento es paralelo

al eje X, para las coordenadas de la

nueva posición, a cada abscisa

(primera componente) se le suma la

unidad de desplazamiento.

En este caso: 3

Como la traslación es paralela al

eje X y hacia la izquierda, a cada

abscisa(primera componente)

se le resta la unidad de

desplazamiento, en este caso: 5

0

V1(2, 2)

5 7

2

y

x

F1(5,2)

2

F2(10,2)

10

V2(7, 2)

Nueva posición


mapb

275

275

EJEMPLO 6.

La parábola de la gráfica se ha desplazado 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia

arriba. Hallemos la ecuación de la nueva posición

NOTA:

Hacia la derecha y hacia arriba: Suma

Hacia la derecha y hacia abajo: Suma y resta

Hacia la izquierda y hacia abajo: Resta

Hacia la izquierda y hacia arriba: Resta y suma

EJEMPLO 7.

Hallemos la ecuación de la parábola de foco F(5,5) y directriz que pasa por el punto P(1,0)

posiciónnuevaladeEcuación

generalEcuación

posiciónnuevaladevérticeelyfocoelSon

xy

xyhxPky

P


VF


)....7(12)2(

))7()(3(4)2(.)..(4)(

3710)7(10

:

.,

2

22.

:)2,7)2,10( 22


generalEcuación


xy

xyhxPky

P


VF


)....5(12)2(

)5)(3(4)1(.)..(4)(

314

:

.,

2

22.

:)1,5)1,8( 22

5

Para hallar las coordenadas de la

nueva posición, a cada componente

se le suma su respectiva unidad de

traslación:

Para las abscisas: 4

Para las ordenadas: 3

Nueva posición

F2(8,1)

F1(4,2)

V1(1, 2)

V2(5, 1)

1

8 4

y

x 0

2

1

Para hallar las coordenadas del vértice,

determinamos el punto medio entre el foco y

la directriz. Esto es:

)5,3(),(3

3

6

2

15

5

VkhVh

k

F(5,5)

x = 1

P(1,0)

5

5

y

x 0 1

)5,3(V


mapb

276

276

EJEMPLO 8.

Hallemos la ecuación de la parábola de vértice V(2,2) y que pasa por el punto P(4,6)

Solución:

Como los punto P y V(vértice) hacen parte de la parábola, las coordenadas de ambos

satisfacen la ecuación:

EJERCICIOS

1. Para cada vértice y foco, halle la ecuación, la directriz, el lado recto y trace la gráfica de

la parábola que los incluye:

V(1,4) y F(5,4). V(2,5) y F(5,5). V(4, 4) y F(2, 4). V(6,2) y F(3,2).

2. Dado el foco y el punto por donde pasa la directriz, halle la ecuación y la gráfica de cada

parábola:

Directriz: P(2,0) y F(4,6). Directriz: P(0,0) y F(4,2).

Directriz: x + 2 = 0 y F(2,). Directriz: P(1,0) y F(3,5).

3. Para cada vértice y punto, halle la ecuación de la parábola que los incluye:

V(2,4) y P(6, 1). V(1,1) y P(4, 3). V(3, 2) y P(6, 7).

4. Para cada gráfica, halle la ecuación de la parábola según el movimiento indicado:


generalEcuación


xy

xyhxPky

P


VF


)....3(8)5(

)3(24)5(.)..(4)(

235

:

.,

2

22.

:)5,3)5,5(

...

8

16

.

)....2(8)2()2(24)2(

2816

)2(4)4()24(4)26(

.)..(4)(

22

22

2

)6,4)2,2(

exigidaEcuación

generalEcuación

xyxy

PP

PPyxkh

PV

hxPky

F

4 unidades

hacia la derecha

F

3 unidades

hacia la izquierda

F

4 derecha y 5

hacia arriba

F

6 izquierda

y 5 hacia abajo

F

5 hacia arriba

F

3 derecha y 5

hacia abajo


mapb

277

277

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE(h,k) Y EJE PARALELO AL EJE DE LAS

ORDENADAS(Y)

Si P 0

0

)(4)(

)()(

:)1(Re

.

),(.....

:min

,

2

22

,

PCon

kyPhx

pkypkyhx

enPQyPFemplazando

ordenadas

lasaparaleloejeykhVvérticeconparábolaladeEcuación

dofactorizanysemejantesostérreduciendo

potenciaslasdoesarrollandcuadradoalmiembrosambosElevando


PF = PQ (1)


pkyPQ

pkyhxPF

22 )()(

PLR

rectoLado

pk

Directriz

y

4

:

:

F(h ,k p)

P(x, y)

p

p

k p

),( khV

Q

h

k

Directriz

y

x 0

k p

PLR

rectoLado

pk

Directriz

y

4

:

:


PF = PQ (1)


pkyPQ

pkyhxPF

22 )()(

Q

F(h ,k + p)

P(x, y)

y

p

p

h

k

k p

Directriz

),( khV

x 0


mapb

278

278

EJEMPLO 1.

Hallemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola cuyo foco es el punto (2,2) y

vértice el punto (2,7).

EJEMPLO 2.

Determinemos la ecuación, la directriz y el lado recto de la parábola cuyo foco es el punto

(3,5) y vértice el punto (3,2).

0

)(4)(

)()(

:)1(Re

),(.....

:min

,

2

22

,

PCon

kyPhx

pkypkyhx

enPQyPFmplazando

ordenadaslasaparaleloejeykhVvérticeconparábolaladeEcuación

dofactorizanysemejantesostérreduciendo

potenciaslasdoesarrollandcuadradoalmiembrosambosElevando

20544

1257:

pLR

pkyDirectriz

...

.

...

)....7(20)2(

)7)(5(4)2(

..)..(4)(

572

:

.,

2

2

2

,

)7,2)2,2(

Ecuación

generalEcuación

vérticeelyfocoelSon

yx

yx

kyPhx

P

focoelyvérticeelentreverticaldiferencia

ladevalorEl

VF


F(2,2)

2

)7,2(V7

Directriz

y

x 0

12344

132:

)....2(12)3(

)2)(3(4)3(

..)..(4)(

325

:

.,

2

2

2.

...

,

)2,3)5,3(

pLR

pkyDirectriz

yx

yx

kyPhx

P

focoelyvérticeelentreverticaldiferencia

ladevalorEl

VF


generalEcuación

vérticeelyfocoelSon


3

F(3,5)

)2,3(V

Directriz

5

y

x 0

2


mapb

279

279

EJERCICIOS

1. Para cada vértice y foco, halle la ecuación, la directriz, el lado recto y trace la gráfica de

la parábola que los incluye:

V(1,1) y F(1,4). V(2,4) y F(2,6). V(1, 1) y F(1, 4). V(1,2) y F(1, 5).

2. Dado el foco y el punto por donde pasa la directriz, halle la ecuación y la gráfica de cada

parábola:

Directriz: P(0, 2) y F(6,4). Directriz: P(0,0) y F(4,2).

Directriz: y + 2 = 0 y F(2,3). Directriz: P(0,8) y F(3,4).

3. Para cada vértice y punto, halle la ecuación de la parábola que los incluye:

V(2,2) y P(4, 4). V(3,2) y P(2, 3). V(1,1) y P(5, 4).

4. Para cada gráfica, halle la ecuación de la parábola según el movimiento indicado:

4 unidades

hacia la derecha

F

4 derecha y 5

hacia arriba

F

F

4 derecha

6 izquierda

y 5 hacia abajo

F

5 hacia arriba

F


mapb

280

280

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA

Consideremos la siguiente parábola con el eje focal paralelo al eje x.

CANÓNICA: Forma simple o normal de una ecuación que representa un fenómeno, posición

general o común de una figura geométrica

EJEMPLO 1.

Hallemos la ecuación general de la parábola de V(2,3) con P = ½ y abre hacia el eje negativo

de las x.

Solución:

La ecuación canónica de esta parábola es

. Sustituyendo h, k y P en la ecuación canónica:

.4

4.

2.

41

,0,0

:

.0

..........0

,Re..................................0

4.4.2

...................0442

........................442

)(4)(

2

2

2

2

2

2

22

22

2

:

:,

:

min

Ppkh

cPhb

Pa

abajohaciasiyarribahaciaabre

bformasiguienteladeescribirsesueleecuaciónEsta

FDx

parábolaladegeneralEcuaciónFD

FyEDoempalazandFD

PhkFPEkD

TPhkPk

PhPkk

hPk

dondeDe

aaSi

cxaxy

Eyx

Exyy

Exyy

xyy

xyy

xy

ecuacióneslaordenadaslasdeejealparaleloesfocalejeelSi

Haciendo

ordenendoyostérdoransponien

indicadassoperacionelasndoDesarrolla

)(4)( 2 hxPky

213,2)3,2( pykhV

ecuaciónlaesesta

ndotransponiexyy

xyy

xdeecoeficienteloperandoxyxy

semejantesostérreduciendoy

indicadassoperacionelasybinomioelndodesarrolla

....

...0526

...4296

)2()....2(2)3()2)((4)3(

min2

2

2

212

052x6yy2

La ecuación canónica de esta

parábola es:

Ph

PConhPk

xDirectriz

xy

:

0).(4)( 2

Q

F(h + p, k)

P(x, y)

y

x 0

p p

h

k

hp

Directriz

),( khV


mapb

281

281

EJEMPLO 2.

Hallemos la ecuación general de la parábola de V(1,1) con P = 1 y abre hacia el eje

positivo de las y.

Solución:

La ecuación canónica de esta parábola es:

. Sustituyendo en la ecuación canónica:

EJEMPLO 3.

Hallemos la ecuación general de la parábola de vértice V(2,5) y que pasa por el punto P(4,6)

y abre hacia el eje negativo de las y.

Solución:

La ecuación canónica de esta parábola es:

Como pasa por el punto , entonces, las coordenadas de satisfacen la ecuación

anterior:

EJEMPLO 4.

Hallemos el foco, el vértice y el lado recto de la siguiente parábola:

Solución:

…..Aislando la variable de mayor grado

….Completando el trinimio cuadrado perfecto

….Transponiendo y factorizando el primer miembro

….Reduciendo términos semejantes en el segundo miembro y

factorizando

Comparando con la canónica: se tiene que:

)(4)( 2 kyPhx

11,1)1,1( PyhkV Pyhk,

generalEcuación

yxx

yxx

yxyx

......

04142

?.......4412

)1(4)1())1()(1(4))1((

2

2

22

034y2xx2

6,,5,5)6,4().5,2( yxxkhPV

)(4)( 2 kyPhx

)6,4( P P

111

444444)11(4)2()56(4)24( 22

PPPP

generalEcuación

yxx

xxyxyxy

......

204444411

44)5()2()5(4)2(

2

222

11204

114

111

0244y44x11x2

01642 yxy

01642 yxy

1462 xyy

149962 xyy

914)3( 2 xy

)2(4)3( 2 xy

)(4)( 2 hxPky

144.22.3344 PPhhkk

4)1(4).3,1(),().3,2(),( LRFkphFVkhV


mapb

282

282

EJERCICIOS

1. Halle la ecuación general de cada parábola, según la información dada:

2. Halle la ecuación de cada parábola, conociendo el vértice, la posición del eje focal y

el punto por donde pasa:

3. El foco de una parábola es F(0,6) y su vértice se halla en el centro de la

4. Para cada parábola, halle el vértice, el foco, el lado recto y la directriz:

5. Calcula la distancia entre los vértices y los focos de la siguientes parábolas:

RESUMIENDO:

.01:),2,2(.01:),1,1(

.2)5,0().6,4()3,4().5,7()5,2(

xDirectrizVeyDiectrizVd

PyVcFyVbFyVa

).4,0(,),4,2(

).6,5(,),4,2(

PpuntoXaparalelofocalejeVb

PpuntoYaparalelofocalejeVa

0922 yx

.121042.943.0432 222 yxxyxxxyy

.422422.4440432 2222 yxxyxxxyyxy yyy

PARÁBOLAS CON VÉRTICE EN EL ORIGEN

V(0,0)

paaxy

ppyx

41.

2

0.42

pa

p

axy

pyx

41.

04

2

2 .

pa

p

ayx

pxy

41.

04

2

2 .

pa

p

ayx

pxy

41.

04

2

2 .

X

Y

0 X

Y

0

X

Y

0

X

Y

0

PARÁBOLAS CON VÉRTICE EN (h,k)

V(h,k)

V(h,k)

X

Y

0

X

Y

0

V(h,k)

V(h,k)

X

Y

0

X

Y

0

V(h,k)

pacbxay

pypkyphx

x41.

00).(4)(

2

2

pacby

pyphxpk

ayx

y

41.

00).(4)(

2

2


mapb

283

283

DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA SUJETA A TRES CONDICIONES

Las ecuaciones ordinarias o canónicas de una parábola son:

Las ecuaciones generales de la parábola son:

Nuestro trabajo consiste en hallar el valor de las constantes dados tres punto que pertenecen a

la parábola

EJEMPLO

Determinemos la ecuación de la parábola cuyo eje focal sea paralelo al eje x y que pasa por

los puntos (2,2), (6,5) y (6,-2).

Reemplazando cada punto en la ecuación general:

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por cualquier método, se

obtiene que: D = 3, E = 3, F = 8 . Sustituyendo estos valores en la ecuación general:

pkhtesconstreshayecuacionesestasEn

yejealparalelofocalEjekyphx

xejealparalelofocalEjehxpky

,,:tan

)(4)(

)(4)(

2

2

FEDtesconstreshayecuacionesestasEn

yejealparalelofocalEjefEyDxx

xejealparalelofocalEjeFExDyy

,,:tan

0

0

2

2

)3(462

)2(2565

)1(422

:

)3(06240)6()2()2(

)2(065250)6()5()5(

)1(02240)2()2()2(

2

2

2

FED

FED

FED

dondeDe

FEDFED

FEDFED

FEDFED

.....08332 Ecuaciónxyy

La ecuación general de esta

parábola es:

02 FExDyy

(6,5)

(2,2)

)2,6(

y

x 0


mapb

284

284

EJERCICIOS

1. Determine la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje y que pasa por los

puntos (4,5), (2,11) y (2, 11).

2. Halle la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje x que pasa por los

puntos (1,0), (3, 4) y (3, 4).

3. Determine la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje y que pasa por los

puntos (3,2), (1,8) y (2, 8).

4. Una parábola tiene su vértice en el centro de la circunferencia

y pasa por los puntos (0,5) y (6, 7). Determine su

ecuación y represéntela gráficamente.

APLICACIÓN

EJEMPLO 1.

Por el vértice y el lado recto de la parábola pasa una circunferencia.

Determinemos la ecuación de la circunferencia.

Solución:

Hallemos el foco, el vértice el lado recto, la gráfica de la parábola; a demás tracemos la

circunferencia que pasa por los extremos del ledo recto.

05181244 22 yxyx

yx 82

2).2,0(:).0,0(4

84.24

884.8

::

::

2

2

yFFocoVpyx

pLRPpyx

DirectrizVértice

rectoLadoComparando

nciacircunfereladeecuaciónyyx

tieneseFEyDxyxenvaloresestosdoSustituyen

E

D

F

ED

ED

F

FED

FED

F

sistemaelsolviendo

...010

:0:

10

0

0

:.

2024

2024

0

024416

024416

0

22

22

Re

Ahora, hallemos la ecuación de la

circunferencia que pasa por los

puntos (0,0), (4,2) y (4,2). Estos

puntos satisfacen la ecuación:

022 FEyDxyx

4

y

x 0

F(0,2)

4

(4,2) (4,2

)

Directriz

yx 82


mapb

285

285

EJEMPLO 2.

El punto M(2,4) es el punto medio de una cuerda de la parábola . Prolongando

dicha cuerda, intersecta al eje focal en el punto P. Determinemos las coordenadas de P.

Solución:

Hallemos el foco, el vértice el lado recto y la gráfica de esta parábola:

S i m es la pendiente de la recta que pasa por M(2,4), la ecuación es:

Con la ecuación de la parábola, formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Por propiedades de las raíces de las ecuaciones de segundo grado:

Para hallar las coordenadas de P, que es el intercepto con el eje y, hacemos x = 0.

0102 yx

25

25

2

22

::

.

10:.2

5

4

10104:

.,0:).0,0(

4

10010

yFFocoV

pyx

yxyx

DirectrizVértice

generalE

LRrectoLadoPpComparando

)2(4 xmy

0402010

4020104)2(10

:21

)2(10

)1(4)2(:)1()2(4

2

22

2

mmxx

mmxxxmx

endoSustituyen

yx

xmydondeDexmy

...)....2(5

24)2(4

.5

2

10

4410

:)4()3(

).4(4:

22

:,)4,2(,

)3(101

10

:),1(Re

21

21

212121

ecuaciónxyxmy

m

mm

yComparando

xxdondeDe

xxquetienesemediopuntoelesMcomoPero

mxxm

xxa

bxx

rectaladeecuaciónlahallamosenemplazando

Primero debemos hallar la

ecuación de la recta que pasa por

P, para luego, determinar las

coordenadas de P, que intersecta

el eje y

0102 yx

P

y

x 0

M(2,4)


mapb

286

286

EJEMPLO 3.

Determinemos la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento que une los puntos

(3,5) y (3,3).

Para determinar las coordenadas de los vértices y las ecuaciones de las directrices, primero

hallamos el valor de P. Para ello, calculamos el valor del lado recto:

.

El foco de la parábola B es de la forma . Pero el foco de la parábola de la gráfica

es F(3,1). Comparando los focos: . Debido a que el eje

focal es paralelo al eje x, la componente k en y no varía, entonces: k = 1. De donde el vértice

de la parábola B es:

Para la parábola A:

La ecuación de la parábola A es:

)5

16,0(:

5

16)20(

5

24)2(

5

24

0

PsonPpuntodelscoordenadaLas

yyxy

x

24:.8)3(5 ppLRPeroLR

),( kphF

12333 phph

01121:

).1,1(),( 1

xphxesdirectrizLa

VkhV

07752:

).1,5(1.5323:

)1,3(:.).,(:

2

xphxDirectriz

VkhphEntonces

FgráficaladePerokphFformaladeesfocoEl

0982)1(4)1(

)(4)(:

03982)5(4)1()(4)(

22

2

222

xyyxpy

hxpkyesBparábolaladeecuaciónLa

xyyxpyhxpky

Como el lado recto es perpendicular al eje focal,

entonces, la ecuación de la parábola tiene la

forma: , esto debido a

que la parábola puede abrir hacia la derecha o

hacia la izquierda del lado recto.

Las coordenadas del foco se halla, calculando el

punto medio del lado recto:

F(3,1) es igual para las dos parábolas

)(4)( 2 hxpky

.12

35

2.3

2

33

2

2121

yyxx

A y

x 0

B

)1,1(1V )1,5(2V

)3,3(

)5,3(

)1,3(F

x 7 = 0

x +1 = 0


mapb

287

287

EJEMPLO 4.

Un cable de suspensión de un puente colgante adopta forma de arco parabólico. Los pilares

que lo soportan tienen una altura de 70m y están separados por una distancia de 600m,

quedando el punto más alto bajo el cable a una altura de 20m sobre la calzada del puente.

Determinemos la ecuación de la parábola y calculemos la altura de un punto situado a 80m del

centro del puente.

La ecuación de la parábola de la figura 2 es de la forma:

. Hallemos el valor de p sustituyendo en esta ecuación las coordenadas

del vértice y de una de los puntos que pertenecen a la parábola:

La altura de un punto situado a 80m del centro del puente es de 23,55m

EJERCICIOS

1. Por el vértice y los extremos del lado recto de la parábola pasa una

circunferencia . Determine la ecuación de la circunferencia.

2. Los extremos de un cable de un puente colgante están a 800m de distancia y a

30m de altura (en los puntos de amarre) con respecto al piso en la vía horizontal.

Encuentre la altura del cable sobre el piso a una distancia de 100m del punto de

amarre

3. Si una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba a una velocidad de 40m/s, la

trayectoria descrita está dada por la ecuación S = 40 t2 donde S es la altura en

metros de la pelota en el instante t.

¿En qué instante golpeará la pelota al piso?

Traza la curva de la trayectoria de la pelota.

Ubique a t sobre el eje x y S sobre el eje y.

4. Determine la ecuación de la parábola cuyo lado recto es el segmento que une los

puntos (3,2) y (3,2).

)(4)( 2 kyphx

55,231800

3760036000180064000360001800)80(

.80.80

.....0360001800

)20(1800)20(4504)0(

)(4)(:Re.450200

90000

20090000)2070(4)0300()(4)(

)70,300().20,0(

2

2

22

2

22

:

yyy

yxmasituadopuntounPara

ecuaciónyx

yxyx

kyphxecuaciónlaenpdevalorelemplazandop

ppkyphx

V

devalorelHallemos

yx 162

Trazando el sistema de coordenadas rectangulares por el centro del puente, la figura 2 nos

ilustra mejor la situación

70m 600m

Figura 1

20m

300m 300m

70m

(0,20)

(300,70) (300,70)

Figura 2

0


mapb

288

288


mapb

289

289

5. Los modelos de tres invernaderos para cultivar tomate que presenta un ingeniero

a un agricultor están representados por la siguientes ecuaciones.

¿Cuál de los modelos producirá más tomates?

LA ELIPSE

Las siguientes figuras geométricas son elipses:

Los fenómenos que a continuación se enuncian generan trayectorias elípticas:

El movimiento de los planetas, generan orbitas….

El desplazamiento de los cometas, asteroides y demás cuerpos del espacio(universo)

Las sondas enviadas por los científicos para explorar el universo

El movimiento de los satélites que el hombre envía al espacio

Y cualquier otro movimiento de un cuerpo o partícula que en su recorrido describa una

figura como las anteriores.

DEFINICIÓN

La elipse es el lugar geométrico de puntos en el plano cuya suma de distancia a dos puntos

fijos llamados focos(F1 y F2), es constante.

)2(10)2(:mod

)2(8)2(:mod).2(2)2(:modPr

2

22

yxeloTercer

yxeloSegundoyxeloimer

Diámetro mayor: Distancia entre vértices

Diámetro menor: Distancia entre los

puntos M y N.

PF1+PF2 = Diámetro mayor

M

N

F1 F2

V1 V2

P

Vértice Vértice

Foco Foco Diámetro mayor

Eje de simetría

Eje de simetría Centro


mapb

290

290

CÁLCULOS IMPORTANTES SOBRE UNA ELIPSE

EJEMPLO

Hallemos el área y el perímetro de la siguiente elipse:

EJERCICIO

Para cada elipse, halle el área y el perímetro:

El diámetro mayor de una elipse excede al menor en 5,45cm. Si el menor mide 19,34cm,

halle el área y el perímetro.

El área de una elipse mide 56,99m2. Si el diámetro menor mide 5,23m, halle el mayor

El diámetro mayor de una elipse mide 80cm. Si el menor es las ¾, partes del mayor, halle

el área y el perímetro.

Los diámetros de dos elipses son 9cm , 5cm y 18cm , 10cm respectivamente. ¿En qué

relación están sus áreas y perímetros?

D Diámetro mayor. A Área

d Diámetro menor. P Perímetro

22

22 dDP

dDA

D

d

10m

6m

D = 10m A = ?

d = 6m P = ?

mP

dDP

mmmdDA

1742

361002

2

)6()10(2

22

60)6()10(

2222

2

2,14m 5,5m 4cm

9cm

20m 30m

x+1

2x+3


mapb

291

291

ELEMENTOS DE UNA ELIPSE

EJES DE SIMETRÍA: Eje focal L1 y eje normal o secundario L2

VÉRTICES: Son los punto V1 y V2 donde el eje focal corta le elipse

EJE MAYOR( ): Es la distancia que hay entre los vértices(diámetro mayor)

SEMIEJE MAYOR( ): Es la mitad del eje mayor

EJE MENOR( ): Es la distancia comprendida entre los puntos en donde el eje normal

o secundario corta la elipse (diámetro menor)

SEMIEJE MENOR( ): Es la mitad del eje menor

FOCOS: Son los puntos fijos F1 y F2 ubicados sobre el eje mayor

LADO RECTO(LR): Es la cuerda perpendicular al eje focal(mayor) que pasa por uno de los

focos

LA EXCENTRICIDAD: Es la razón que se establece entre las distancias que separan al

centro de un foco y al centro de un vértice(

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN(0,0)

21VV

12 CVCV

21BB

21 CBCB

)1

1

CV

CFadExentricid

puntosdosentreciaDisycxPF

ycxPFPero

aPFPF

EntoncesaVVmayorDiámetroPFPF

queanalizamosElipsededefiniciónPor

ecuaciónsuemoserElipseestadenotablesPuntos

CyyxPaVaVcFcFDados

tan

0000

).........3()0()(

)2()0()(:

).1(2

:.2.

:,

.mindet,

)0,0(),(),,(),,(),,(),,(:

22

2

22

1

21

2121

2121

B1

B2

V1 V2

F1 F2 C

L1

L2

L

R

x

y

B1

B2

),( 02 aV

),( 01 cF

),( yxP

),( 01 aV b

0 ),( 02 cF

bBB

cFF

aVV

2

2

2

21

21

21


mapb

292

292

Reemplazando (3) y (2) en (1):

aycxycx 2)()( 2222

Aislando un radical y elevando ambos miembros al cuadrado:

222

222 )(2)( ycxaycx

Desarrollando potencias: 2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

22222 )(44)()( ycxaacxcx …Transponiendo y reduciendo términos semejantes

2222222 )(4422 ycxaaccxxccxx …Desarrollando potencias

222 )(444 ycxaacx …Rediciendo términos semejantes

222 )( ycxaacx …Dividiendo por 4 y transponiendo

22222 )( ycxaacx …Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado

2224222 )(2 ycxaacxaxc … Desarrollando potencias

22224222 22 yccxxaacxaxc ……..? 22222224222 22 yacacxaxaacxaxc ……..?

422222222 acayaxaxc ……..?

22222222 caayacax …Factorizando por 2x , por

2a y ordenando

222

222

222

22

222

222

caa

caa

caa

ya

caa

cax

…Dividiendo por 222 caa

122

2

2

2

ca

y

a

x. Haciendo: 222 cab , se tiene que:

1b

y

a

x2

2

2

2

…Ecuación de la elipse en cuestión. Con 222,0 cbaycaba

Si el eje mayor de la elipse se extiende sobre el eje y, la ecuación es:

a

ba

a

cedadExcentrici

a

bLRrectoLado

ba

a

x

b

xónestaecuaciDemuestre

22

2

22

:

2:

......122

x

y

b B1 B2

),(02 aV

),( yxP

),(01 aV

),(02 cF

0

),(01 cF


mapb

293

293

EJEMPLO 1.

Determinemos la ecuación, el foco, la excentricidad y el lado recto de elipse cuyos semieje

mayor y menor miden 6 y 4 respectivamente

Para hallar los focos, hacemos uso de la siguiente expresión:

EJEMPLO 2.

Hallemos la ecuación, el lado recto, la longitud de los semiejes mayor y menor y los vértices

de la elipse de foco F(0, ± 5) y excentricidad

31

22

12

22

222222222

53

16

6

)4(22:.

3

5

6

52:

)0,52()0,52()0,52()0,(:cos

5220163646

a

bLRrectoLado

a

ceidadExcentriic

FyFFcFFo

c

bacbacacba

8

5e

x

y

6

F2

)0,6(V4

0 F1

La ecuación canónica de esta elipse

es:

pedidaEcuaciónyx

yxbyadoSustituyen

byagráficalaDe

b

y

a

x

.....11636

1)4()6(

:

46:

.1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

39.8

:

4

39

8

392

8

)39(22:

)80()0(:

16439

1)8()39(

1

:.39)5()8(

:

.85

405:

5)5,0()5,0()5,0(.

22

2,12,1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

22

22222

85

2185

bMenoraMayor

Semiejes

a

bLRrectoLado

VaVVértice

yxyx

a

y

b

x

esecuaciónLab

cabcbaAdemás

e

ca

a

cePero

cFyFFe

x

y

F2(0,5)

0

F1(0,5)

V1(0,8)

)0,39(


mapb

294

294

EJEMPLO 3.

Hallemos la ecuación, los focos y la excentricidad de una elipse de centro C(0,0), vértices V(±

6,0) y lado recto LR = 5.

Solución:

El vértice muestra que la elipse tiene su eje focal sobre el eje x.

EJEMPLO 4.

Determinemos la ecuación y la excentricidad de la elipse de centro en el origen, uno de los

vértices en V(0,5) y que pasa por el punto P(4,2).

gráficalaTracea

ce

Fentoncesbac

cvalordeelamoserfolosParalos

yxyx

b

y

a

xesecuaciónLa

b

bb

a

bLRperoLRaV

..................................6

21

)0,21(:.211536

:mindetcos,

11536

115)6(

1:

.15

156

25

2:.5.6)0,6(

2,1

22

222

2

2

2

2

2

2

222

Como la elipse pasa por el punto P(4,2), las coordenadas

De este punto satisface (hace verdadera) la ecuación….

Entonces:

5:1

:

2

2

2

2

aperoa

y

b

x

eselipseestadeecuaciónLa

5

105

5

25

125

:,

21

4001

25

416

1)5(

)2()4(1

.5,2,4

2140022

2

21400

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

:

a

ba

a

ce

yxesecuaciónlaLuego

bb

ba

y

b

x

ayx ecuaciónlaendoSustituyen

x

y

P(4,2

)

0

V(0,5)


mapb

295

295

EJEMPLO 5.

Hallemos la ecuación de la elipse cuyo eje mayor coincide con el eje x, que su centro está en

el origen; sabiendo que pasa por los puntos P(2,3) y Q(4,2).

. Como pasa por los puntos P(2,3) y Q(4,2),

Ambos puntos satisfacen la ecuación…

EJEMPLO 6.

Determinemos la ecuación de la elipse de foco F(0,3) cuyo centro y semieje mayor es igual al

centro y radio de la circunferencia , respectivamente.

Solución:

..Ecuación de la circunferencia que contiene a la elipse. El centro de esta

circunferencia es C(0,0), que es el mismo centro de la elipse. El radio de la circunferencia es:

. Como el semieje mayor de la elipse es igual al radio de la circunferencia,

uno de los vértices de la elipse es el punto V(0,4), porque el foco es F(0,3)

1:2

2

2

2

b

y

a

xeselipseestadeecuaciónLa

........1

:1:

)2(1416

3

32

23

128:)1(1

94

:Re

)2(1416

1)2()4(

:)2,4(

)1(194

1)3()2(

:)3,2(

332

2

23128

2

2

2

2

222

22

22

22

222

2

2

2

222

2

2

2

ecuaciónyx

tieneseb

y

a

xenbyadoSustituyen

ba

byaquetieneSeba

sistemaelsolviendo

baba

QPara

baba

PPara

1622 yx

1622 yx

4162 rr

x

y

P(4,2)

P(2,3)

0


mapb

296

296

Ahora, hallemos la ecuación de la elipse de vértice V(0,4) y foco F(0,3), de donde:

Gráfica

EJEMPLO 7.

Determinemos la ecuación de la siguiente elipse:

De la gráfica se puede observar que:

El centro está en el origen (0,0)

El semieje menor es igual a 2 y el mayor, es igual a 5.

......1167

1:

791634.43

22

2

2

2

2

22222

ecuaciónyx

a

y

b

xeselipseestadecanónicaecuaciónLa

cabayc

......1425

1:

52:

22

2

2

2

2

ecuaciónyx

b

y

a

xformaladeesecuaciónLa

aybEntonces

x

y

V(0,4)

F(0,3)

0

1167

22

yx

1622 x

x

y

(0,2)

0

(0,5)


mapb

297

297

EJEMPLO 8.

Dada la ecuación de la siguiente elipse, determinemos: Los vértices, los focos, el lado recto, la

excentricidad y tracemos su gráfica.

Solución:

….Dividiendo toda la ecuación por 20 para darle la forma.

….Comparando esta ecuación con su canónica:

Pero:

Vértices:

Focos:

Lado recto: Excentricidad:

El centro en el origen es:

Las coordenadas del semieje menor son:

Para trazar la gráfica, hacemos uso de los vértices, los semiejes menor y el centro

EJEMPLO 9.

Dada la ecuación de la siguiente elipse, hallemos: Los vértices, los focos, el lado recto, la

excentricidad y tracemos su gráfica.

Solución:

Dividiendo toda la ecuación por 3: . Esta ecuación se puede

expresar de la siguiente forma: …Comparando esta eecuación con su canónica:

2054 22 yx

20

20

20

5

20

4 22

yx

145

22

yx

12

2

2

2

b

y

a

x244.55 22 bbaa

1145)2(5 22

22222 baccba

)0,5()0,( 2,12,1 VaV

)0,1()0,( 2,12,1 FcF

.5

8

5

422 2

a

bLR

5

1

a

ce

)0,0(C

)2,0(),0( b

32 22 yx

133

2

3

3

33

2 2222

yxyx

13

22

23

yx

x

y

)0,5(

(2,0)

(2,0)

)0,5(

0

2054 22 yx


mapb

298

298

.

Pero:

Vértices:

Focos:

Lado recto: Excentricidad:

Las coordenadas del semieje menor son:

…………………………………………………………………………..Trace la gráfica

EJERCICIOS

1. Para cada par o terna de datos, halle la ecuación de la elipse que los contiene:

a. foco F(±4,0) y excentricidad e = 4/5

b. Lado recto LR = 8 y vértices V(±10,0)

c. Centro C(0,0), semieje menor = 10 y semieje mayor = 14

d. Foco F(0,±,5) y semieje menor = 8

2. Halle la ecuación de la elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje y, su centro está en el

origen y pasa por los puntos P(2,6) y Q(7,1)

3. Determine la ecuación de la elipse de foco en (4,0) cuyo centro y semieje mayor es igual

al centro y al radio de la circunferencia

4. Para cada ecuación de La elipse, halle: el centro, el lado recto, los focos, los vértices, la

excentricidad y trace su gráfica:

5. Para cada gráfica, halle la ecuación de la elipse que representa:

13

22

23

yx

3322.

26

23

23 aabb

12

2

2

2

a

y

b

x

26

23

23

23322222

cbaccba

)3,0(),0( 2,12,1 VaV

),0(),0(26

2,12,1 FcF

.3

3

3

22 232

a

bLR

2

2

32

23

32

18

32

6

3

26

e

)0,()0,(23b

6822 yx

.1238.12516

.

0232..149

..2464.

2222

2222

22

yxeyx

d

yxcyx

byxa

0

0


mapb

299

299

CONSIDERACIONES IMPORTANTES SOBRRE LA ELIPSE

Debido a que la elipse es una circunferencia deformada, es conveniente hacer las

siguientes observaciones.

Si , la elipse se convierte en una circunferencia

Si , la elipse es horizontal

Si , la elipse es vertical

Si el valor de tiende a cero(0), tiende a 1, la elipse tiende a ser alargada

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN

022

a

ba

a

ceba

1a

ceba

1a

ceba

b e

),( kh

xejealparalelofocalEjebaConb

ky

a

hx...........1

)()(2

2

2

2

a b

F

x

y

0

0

h

0

k

B1

B2

),(2 kahV

),(1 kchF

),( yxP

),(1 kahV

),(2 kchF

0

h ),( kh


mapb

300

300

EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y

EJEMPLO 1.

Hallemos la ecuación, los focos y el lado recto de la elipse con eje focal paralelo al eje x que

tiene sus vértices en los puntos (3,4) y (3,4) y excentricidad e = 2/3.

x

y

0

)( 4,31 V )( 4,32V

)( 4,21 F )( 4,22F

(0,4)

yejealparalelofocalEjebaCon

a

ky

b

hx

...

1)()(

2

2

2

2

),(1 akhV

x

y

0

0

h

0

k

),(1 ckhF

),(2 ckhF

),(2 akhV

),( kh

),( yxP


mapb

301

301

La coordenada h del centro(h,k), se halla calculando el punto medio del eje mayor, entonces:

de la gráfica k = 4, el centro es (0,4)

EJEMPLO 2.

Determinemos la ecuación, los vértices, el lado recto y la excentricidad de la elipse de focos

en los puntos (6,3) y (6,9) y semieje mayor igual a 10.

02

33

h

3

10

3

522

:

).4,2(),().4,2(),(

:cos

15

)(

91

5

)4(

3

)0(1

)()(

:

55)2()3(:

.23

23:

303:

2

2211

222

2

2

2

2

2

2

22222222

a

bLR

rectolado

FkchFFkchF

Fo

kyxyx

b

ky

a

hx

esecuaciónLa

menorsemiejebcabcbaPero

eaca

cemenorSemieje

amayorSemieje

5

3

10

6

:

5

64

10

6422

:

)13,6(2)103,6(2),(2

)6,6(1)103,6(1),(1

:

1100

)(

64

)(1

)()(

:

6436100.6.10

:

6)3(333

:),,(1:1

)3,6(),(:.6

.32

93:cos

),,(

2

22

2

2

2

2

222

a

ce

dadExcentrici

a

bLR

rectoLado

VVakhV

VVakhV

vérticesLos

kyhx

a

ky

b

hx

esLaecuación

cabca

bCalculando

kcck

entoncesckhFformaladeesFfocoEl

khcentroeshcoordenadaLa

kfolosdemediopuntodelscoordenada

lashallamoskhcentrodelkcoordenadalahallarpara )6,6(1V

)4,3(2V

0

x

y

(6,3)

)3,6(1F

)9,6(2 F

10


mapb

302

302

EJEMPLO 3.

Hallemos la ecuación, los vértices, los focos, el lado recto y la excentricidad de la elipse de

centro (1,2), eje paralelo al eje x y que pasa por los puntos P(1,1) y Q(3,2).

EJEMPLO 4.

Determinemos la ecuación, los vértices, el lado recto, los focos y la excentricidad de la elipse

de centro (1,3), eje focal paralelo al eje x y semieje mayor y menor 4 y 3, respectivamente

2

3:

12

122:

).2,3(2),(2).2,1(1),(1:

).2,31(2),(2

).2,31(1),(1

2

2222

2

2

2

2

222222

22

2

2

2

22

2

2

2

:cos

14

114

1

:

331:

211

)2,1()2,3(.

1101)2,1()1,1(

)2()1()2()1()()(

4)22()13(

1)21()11(

a

cedadExcentrici

a

bLRrectoLado

VkahVVkahVvérticesLos

FkchFFkchFFo

ba

esecuaciónLa

cbaccbacCalculando

aaba

khyx

yQPara

bbba

yPPara

yxyxkyhx

La ecuación es:

Como la elipse pasa por los puntos P(1,1) y

Q(3,2), ambos puntos satisfacen la ecuación

12

2

2

2)()(

ba

kyhx

x

y

0

(1,2)

)1,1(P

)2,3(Q

7796

.34

31

)3,1(:

222

cbac

bya

kyh

centroenunciadoelygráficalaDe

x

y

0

3

4 (1,3)


mapb

303

303

EJEMPLO 5.

Hallemos la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyos focos son los puntos (4,2) y

(4, 6) y la longitud del lado recto es 6.

4

7:.3

2

322:

).3,3(2),(2).3,5(1),(1:

).3,71(2),(2

).3,71(1),(1

2

22

2

2

2

2

:cos

1916

1

:

)3()1()()(

a

cedadExcentrici

a

bLRrectoLado

VkahVVkahVvérticesLos

FkchFFkchFFo

ba

esecuaciónLa

yxkyhx

2

1

4

2:

24

22

.6)(22

11612

1

3

22

2

2

2

2

2222

2

22222222

22222

2

)4()4()()(

:

12666:4

,1

14:...043

0)2(303622

:.6:

a

cedadExcentrici

bb

a

b

a

ca

a

b

yxkyhx

esecuaciónLa

aPara

cmayorqueesademásypositivossonsemiejeslosporqueasDescartamo

ayaessoluciónLasgradosegundodeecuacióna

aaa

AdemásLRPero

ab

b

a

acaacaca

cab

2)4(222)2,4(1

),(1

),(.2

:

:cos

)4,4(.42

62.4

2

kcckF

ckhF

khformaladeCentroa

bLRrectoLado

Fo

centrokh

)2,4(1 F

)4,4(

x

y

0

)6,4(2 F


mapb

304

304

EJEMPLO 6.

Hallemos la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (5,2) y (3,2) y sus covértices

los puntos (1,5) y (1, 1)

EJEMPLO 7.

Hallemos la ecuación de la elipse cuya suma de distancia de cada punto a los puntos Q(4,2)

y R(5,3) es 6.


6)2()4()3()5( 2222 yxyx

Este desarrollo es parecido al que realizamos para demostrar la ecuación inicial o canónica de

la elipse. Continúe usted el análisis…

1916

1

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

)2()1()()(:

3)1(2.covtan:

4)5(1.tan:

)2,1(.22

15.1

2

35:),(

...

)()(:

yxkyhxesecuaciónLa

bérticeslosdeunoacentrodelciaDismenorSemieje

avérticeslosdeunoacentrodelciaDismayorSemieje

centrokhkhcentroelPara

semiejeslosdelongitudeslasycentrodelscoordenadalashallarDebemos

kyhxeselipseestadeecuaciónLa

ba

ba

)2,3( )2,5(

)1,1(

x

y

0

)5,1(

(1,2)

)2,4( Q

),( yxP

)3,5(R

x

y

0

Consideremos el punto P(x,y) de coordenadas x, y.

Entonces, por comprensión del enunciado, se

tienen que:

)3()2()4(

)2()3()5(

:

)1(6

22

22

yxPQ

yxPR

Pero

PRPQ


mapb

305

305

EJEMPLO 8.

Dada la ecuación de la elipse. Determinemos el centro, los vértices, los

focos, el lado recto, la excentricidad y tracemos su gráfica

Solución:

Para la gráfica, hacemos uso del centro, los vértices y los covértices. Como esta elipse tiene su

eje focal paralelo al eje y, los covértices se calculan con la siguiente expresión:

1169

22)1()2(

yx

4

7.

2

9

4

922

:

)71,2(),()5,2()41,2(),(

)71,2(),()3,2()41,2(),(

77916.416169

:cos

)1,2(),(.11.22

:),(

:,11169

2

22222

11111

22222

2

2

2

222)()()1()2(

a

ce

a

bLR

dadexcentriciyrectoLado

FckhFVVakhV

FckhFVVakhV

cbacaayb

foyVértices

khCentrokkhh

khCentro

tieneseab

kyhxcanónicalaconcomparando

yx

)71,2()71,2().5,2()3,2(

).1,5()1,32(),(:2).1,1()1,32(),(:1

.399

).,(:2).,(:1

2121

2

FyFVyV

kbhCovérticekbhCovértice

bb

kbhCovérticekbhCovértice

)1,5( )1,1(

)3,2(1V

)5,2(2 V

x

y

0

)1,2(

116

)1(

9

)2( 22

yx


mapb

306

306

EJERCICIOS

1. Halle la ecuación, los focos y el lado recto de la elipse con eje focal paralelo al eje y, que

tiene sus vértices en los puntos (2,4) y (2,2) y excentricidad e = 2/5

2. Determine la ecuación, los vértices, la excentricidad y el lado recto de la elipse de focos

F1(2,5) y F2(3,5), y eje mayor igual a 14

3. Halle la ecuación, los focos, los vértices, el lado recto y la excentricidad de la elipse de

centro en (2,2) y que pasa por los puntos P(0,5) y Q(0,2)

4. Halle la ecuación, los focos, los vértices, el lado recto y la excentricidad de la elipse de

centro en (2, 2), eje focal paralelo al eje y, y semiejes mayor y menor de 10 y 6,

respectivamente

5. Determine la ecuación y la excentricidad de la elipse cuyos focos son (5,4) y (1,4), si la

longitud del lado recto es 6

6. Determine la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos (0,2) y (8,2) y covértices

(4,0) y (4,4)

7. Determine la ecuación de la elipse cuya suma de distancia de cada punto a los puntos (2,3)

y (5, 1) es 7.

8. Para cada ecuación de la elipse, halle: los focos, los vértices, el lado recto, la excentricidad

y trace su gráfica

9. Para cada elipse, la ecuación de la posición inicial y final, según la traslación

indicada:

.116

)1(

9

)1(.1

4

)3(

16

)2(

.11625

.110

)5(

6

)2(

2222

2222

yxd

yxb

yxc

yxa

4 unidades izquierda

y 3 hacia abajo

5

6 unida hacia la

derecha

5 unidades izquierda

y 3 hacia arriba

(9,5)

(1,5)

(3,12

)

(3,2)

5 unidades hacia la

derecha 3 hacia arriba


mapb

307

307

APLICACIÓN EJEMPLO 1.

La órbita de la tierra es una elipse, con el sol en uno de sus focos. La distancia máxima del

planeta al sol es de 96,56 millones de millas, y su distancia mínima es de 91,44 millones de

millas. ¿Cuáles son los semiejes mayor y menor de la órbita de la tierra y cuál es su

excentricidad?

Solución:

La siguiente gráfica, ilustra el enunciado

Distancia máxima de la tierra al sol:

Distancia mínima de la tierra al sol:

Respuestas:

Semieje mayor( ) es 93 millones de millas

Semieje menor( ) es de 92,98 millones de millas

La excentricidad es de 0,0167.

La excentricidad es casi igual acero, muestra que la órbita de la tierra es casi circular;

mostrando que los semiejes son casi iguales.

APOGEO: Distancia máxima de la tierra al sol

PERIHELIO: Distancia mínima de la tierra al sol

ca 56,94 ca

ca 44,91 ca

127,836159,8941

:

.1067.10167,093

26,1

98,9256,8646

56,864643,28649)56,1()93(:

56,193:,Re

22

2

22222

yxestierraladeórbitaladeecuaciónLa

a

ce

b

cabdondeDe

cyaquetienesesistemaelsolviendo

93a

98,92b

Apogeo

Perihelio a c ca

ca

Tierra Tierra Sol

b


mapb

308

308

EJEMPLO 2.

Uno de los cometas más famosos es el cometa Halley. El astrónomo Edmund Halley,

discípulo de Newton, mostró que este cometa fue observado por los habitantes de la tierra en

los años 1682, 1607, 1531, 1456, 1066. En 1682, predijo que este cometa regresaría en 1759,

en 1835 y en 1910, lo cual fue correcto. El cometa Halley es observado cada 76 años, esto

muestra que también fue observado en 1986 y se espera que aparezca en el año 2062. La

órbita del cometa Halley es una elipse, con el sol en uno de sus focos, los semiejes mayor y

menor de esta órbita miden 18,09UA y 4,56UA, respectivamente.

¿Cuáles son las distancias máxima y mínima del sol al cometa Halley?.

UA = Unidad astronómica = 1,5108km

Hallemos:

a). La distancia máxima y mínima del cometa al sol.

b). la ecuación de la órbita del cometa

c). La excentricidad del cometa

Distancia máxima del cometa al sol:

Distancia mínima del cometa al sol:

La excentricidad es casi igual a uno(1), muestra que la órbita del cometa es muy alargada

ca UAa 09,18

ca UAb 56,4

1793,20248,3327

:

967,009,18

50,17

:

tan59,0050,1709,18

tan60,35050,1709,18

50,17554,306

454,306793,20248,327)56,4()09,18(:

22

22222

yxescometadelórbitaladeecuaciónLa

a

ce

dadexcentrici

PerheliomínimaciaDisUAUAUAca

ApogeomáximaciaDisUAUAUAca

UAc

bacdondeDe

Apogeo

Perihelio

a c ca

Cometa

Sol b

ca


mapb

309

309

EJEMPLO 3.

PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE UNA ELIPSE

La propiedad de reflexión de la elipse es la base del fenómeno “Galería susurrante”

escuchado en el senado de los estados unidos: Una persona situada en un foco de un

Elipsoide(se forma al girar una elipse en torno a su eje mayor) puede escuchar a otra persona

situada en el otro foco del Elipsoide, separados por una distancia aproximada de 50 pies

(152,4m)

Algunas mesas de billar se fabrican en forma elíptica, los focos de tales mesas están

señalados.

En medicina la propiedad de la reflexión se aplica en la “Litotripsia por ondas de choques”,

para desvanecer cálculos. U reflector elíptico con un transductor(transmisor de energía) se

ubica en uno focos fuera del cuerpo del paciente, el otro foco, se hace coincidir con el cálculo

y éste es bombardeado con ondas electromagnéticas, que pulverizan el cálculo.

Dada la siguiente elipse, hallemos los ángulos de reflexión

elipseladereflexióndepropiedadladeEcuaciónmm

mm

mm

mm

enydoSustituyen

mm

mmgentoncesLyPFrectaslasentreángulo

mm

mmgentoncesPFyLrectaslasentreángulo

taggComo

menterespectivaPFyPFLdependienteslasmymmSea

..................11

:)1()3()2(

)3(1

tan:,

)2(1

tan:,

)1(tan:

.,,,

2

2

1

1

2

22

1

11

2121

=

Se enuncia a si: La recta tangente L en

un punto P de la elipse forma ángulos

iguales con las dos rectas PF1 y PF2 de

los focos a la elipse. O sea: =

P L

Recta tangente

F1 F2

|||1

12

12

21

21

21

351856)5,1(tan

1tan 5,1

2

3

51

15

:

.532

27.1

32

27

:,

g

mm

mmg

PFyPFentreánguloelSea

mm

PFyPFLdependieteslasHallemos

x

y

L

0

)7,2(P

)2,3(2F

)2,3(1F


mapb

310

310

EJERCICIOS

1. La órbita del cometa Kahoutek es una elipse de excentricidad extrema e = 0,999925 con el sol en

uno de sus focos. La distancia mínima entre el sol y el cometa es de 0,13UA. Halle la distancia

máxima al sol y la ecuación de la órbita

2. La órbita de la tierra es una elipse que tiene al sol como uno de sus focos. La longitud del eje

mayor es de 2,99108Km y la excentricidad es de 1,6710

2. Determine las distancias máxima y

mínima de la tierra al sol y la ecuación de su órbita

3. La órbita del planeta mercurio es una elipse de excentricidad e = 0,206. Sus distancias máxima y

mínima al sol son 0,467UA y 0,307UA, respectivamente. Halle la longitudes de los semiejes

mayor y menor y la ecuación de su órbita.

4. Un satélite de comunicación es lanzado al espacio para que orbite alrededor de la tierra. Según los

científicos, el satélite describirá una órbita elíptica de eje mayor 40000Km y de eje menor

38500Km. Halle las distancias máxima y mínima de la tierra al satélite y la ecuación de la

trayectoria.

5. Para cada elipse,halle los ángulos de reflexión y la ecuación de la recta tangente

LrectaladeEcuación

entoncesesecuaciónlaP

xy

xxyy

mmmmmm

mmmmmmmmmmmm

m

m

m

m

mm

mm

mm

mm

pendientesuprimeroadoerLrectaladeecuaciónlahallemosAhora

ademásPero

mm

m

mm

pendientelaypuntoelPara

descienderectalaporqueescogemosecuaciónlaPara

ysoluciónescuya

gradosegundodeEcuación

)...2(7

),(,

.01304120412

055515551

51

5

1

1

11

:mindet,,

4250612

351856180.:.180:

2

133

1

,2

133

.2

133

2

133:

,..

::)7,2(

44

55

122

2

21

222

2222

2

2

1

1

||||||

P

0

F1 F2

0

P

F1

F2


mapb

311

311

ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

EJEMPLO 1.

Determinemos la ecuación de la elipse de focos (3’5), (3,3) y eje focal 12 unidades

signoigualdeperodiferentessonyxdeescoeficientLos

generalEcuaciónFEyDxByAx

bakahbFkaEhbDaBbA

bakahbkyahxbyaxb

bakakyayahbhxbxb

bakyahxb

xejealparalelofocalEjebaConb

ky

a

hx

eselipseestadecanónicaecuaciónLa

Haciendo

Ordenando

potenciasndoDesarrolla

adoresdenoinandoeyfraccionesSumando

22

22

2222222222

222222222222

222222222222

222222

2

2

2

2

,

....0

.2.2..

....022

......22

.....)()(

...........1)()(

:

:

minlim

x

y

0

0

h

0

k

B1

B2

),(2 kahV

),(1 kchF

),( yxP

),(1 kahV

),(2 kchF

0

h ),( kh

generalecuación

Operando

canónicaEcuación

deValor

mayorSemiejeCentro

yxyx

yx

a

ky

b

hx

cabcba

cc

aakhkh

...0376402162036

.136

)1(

20

)3(

...1)()(

201636

.415:

6:)().1,3(),(:),(

22

22

2

2

2

2

222222

:..

.

F1(3,5)

F2(3,3)

0

y

x

(3,1)

6


mapb

312

312

EJEMPLO 2.

Dada la elipse , hallemos el centro, la excentricidad y tracemos su

gráfica

Solución:

Comparando la ecuación particular con la general:

Ahora:

La excentricidad es:

Además:

La ecuación canónica es:

OTRA FORMA: COMPLETANDO TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

Solución:

Trace usted la gráfica…………..

01284 22 yxyx

0

01284

22

22

FEyDxByAx

yxyx

11:,1

24:,4

2

2

BaaBperoB

AbbAperoA

3314222 cbac

31

3

a

ce

1,1),(

12

2

)1(2

2

22:,2

18

8

)2(2

8

22:,8

22

2

22

2

CkhC

a

EkkaEperoE

b

DhhbDperoD

:escentroEl

14

)1(

1

)1(1

)()( 22

2

2

2

2

yx

b

ky

a

hx

ndotransponieypordividiendoy

x

semejantesostérreduciendoydofactorizanyx

trinomiosdocompleyyxx

dofactorizanyyxx

agrupandoyordenandoyyxx

yxyx

4......14

11

min......04114

tan......041112124

......01224

......01284

01284

22

22

22

22

22

22


mapb

313

313

EJERCICIOS

1. Para cada ecuación general de la elipse, halle: El centro, los vértices, los focos, el lado

recto, los semiejes mayor y menor, la excentricidad y trace la gráfica

2. Calcule la distancia del centro de la elipse a la recta

Ayuda: Halle en centro de la elipse y luego, determine la distancia de la recta al centro

3. Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro y centro son el eje mayor y el

centro de la elipse , respectivamente.

Construya ambas curvas en un mismo plano

4. El punto medio de una cuerda de la elipse es el punto (5,2).

Halle la ecuación de la cuerda

Ayuda:

Tome m como pendiente de la cuerda(recta)

Escriba la ecuación de la cuerda de pendiente m y que pasa por el punto(5,2)

Junte las dos ecuaciones y halle el valor de la pendiente, resolviendo el sistema de

ecuaciones.

ECUACIÓN DE UNA ELIPSE SUJETA A CUATRO CONDICIONES

Las ecuaciones ordinarias o canónicas de una elipse son:

Nuestro trabajo consiste en hallar el valor de las constantes dados cuatro puntos que

pertenecen a la elipse

020121032

04312102

02201210925

22

22

22

yxyxc

yxyxb

yxyxa

0144724894 22 yxyx

022 yx

4505018 22 yx

0342 22 yxyx

FEDBtesconscuatrohayecuaciónestaEn

utilizaravamosquelaesEstaFEyDxByx

AHaciendoFEyDxByAx

songeneralesecuacionesLas

bakhtesconscuatrohayecuacionesestasEn

yejealparalelofocalEjea

ky

b

hx

xejealparalelofocalEjeb

ky

a

hx

,,,:tan

......0

1:.0

:

,,,:tan

1)()(

1)()(

22

22

2

2

2

2

2

2

2

2


mapb

314

314

EJEMPLO

Hallemos la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (4,1), (4,1), (2,3) y (2, 1) y cuyo

eje focal es paralelo al eje x.

EJERCICIO

Para cada cuarteto de puntos, halle la ecuación general de la elipse que pasa por ellos:

a. (6,4), (8,1), (2,4) y (8, 3)

b. (2,2), (4,10), (6,9) y (7, 5)

)4(930)1()3()1()3(

:)1,3(

)3(163490)3()4()3()4(

:)3,4(

)2(43290)3()2()3()2(

:)3,2(

)1(1640)1()4()1()4(

:)1,4(

0

22

22

22

22

22

FEDBFEDB

Para

FEDBFEDB

Para

FEDBFEDB

Para

FEDBFEDB

Para

FEyDxByxgeneralecuaciónlaenpuntocadadescoordenadalasdoSustituyen

Ecuaciónyxyxyxyx

FEyDxByxenFyEDBemplazando

FEDB

FEDB

FEDBFEDB

quetienesesistemaelsolviendoFEDB

ecuacioneslasuniendo

...0211241658032

:0,,Re

)4(43

)3(16349

.3.2.)2(4329

:Re)1(164

:Re

22

82112

852

22

8211

85

y

x

(4,1)

(3,1)

(2,3)

(4,3)

0


mapb

315

315

LA HIPÉRBOLA

Las siguientes figuras son hipérbolas:

Los siguientes fenómenos describen movimientos hiperbólicos:

Una partícula que es disparada hacia el núcleo de un átomo y la repulsión de la misma.

El desplazamiento de una nave espacial que utiliza la fuerza de gravedad de un

cuerpo(planeta, sol, galaxia, entre otros) del universo para propulsarse.

El descenso y ascenso de un avión con el objetivo de lanzar algún objeto en un punto

determinado o para enganchar un cuerpo que desea levantar, al ser observado desde abajo.

El desplazamiento de algunos cometas.

El choque con la tierra del cono que produce un JET(avión ultrasónico) cuando rompe la

barrera del sonido, produce una rama de una hipérbola.

En física, principalmente en óptica, La forma de los espejos convexos. De igual forma, la

construcción de muchos telescopios utilizan espejos de forma hiperbólica.

DEFINICIÓN

La hipérbola es el lugar geométrico de puntos en el plano cuya diferencia de distancia a dos

puntos fijos, llamados focos(F1 y F2), es constante.

Foco Foco

Eje focal

Eje normal

Asíntota

Centro Vértice

Lado recto

Rama de la hipérbola

Rectángulo: Facilita la

construcción de la hipérbola


mapb

316

316

ELEMENTOS DE UNA HIPÉRBOLA

ECUACIÓN DE LAHIPÉRBOLA DE CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL

PARALELO AL EJE X

Consideremos la siguiente hipérbola y el punto P(x,y) de una de las ramas de la…

Eje Focal: Es la recta L1 que contiene los focos.

La distancia entre los focos F1 y F2 mide 2c:

Eje Normal: Es la recta L2 perpendicular al eje focal(L1)

Eje Conjugado: Es la distancia entre los puntos B1 y B2. Mide 2b:

Asíntotas: Son las rectas diagonales L1 y L2 del rectángulo que se trazan para

construir la hipérbola

Lado Recto: Es la cuerda LR perpendicular a uno de los focos de la…

cFF 221

bBB 221

Focos: son los puntos fijos F1 y F2

mencionados en la definición

Centro: Es el punto medio de la

distancia entre los focos(F1 y F2).

La distancia del centro a uno de los

focos se denota con la letra c. con

c0.

Vértices: son las intersecciones

V1 y V2 de la curva con el eje

focal. La distancia del vértice al

centro se denota con la letra a

Eje Transverso(V1 y V2): Es la

distancia que separa los vértices.

aVV 221

L

F1(c,0)

L1

X

Y

0 F2(c,0) V1(a,0) V2(a,0)

L2

R

B1

B2

L4 L3

b

)3......()(

)2......()(

:tan

)1.......(2

22

2

22

1

21

:

ycxPF

ycxPF

puntosdosentreciadisPor

aPFPF

hipérboladedefiniciónPor

F1(c,0) X

Y

0 F2(c,0)

V1(a,0) V2(a,0)

),( yxPB1

B2

b


mapb

317

317

Reemplazando (3) y (2) en (1):

aycxycx 2)()( 2222

Aislando un radical y elevando ambos miembros al cuadrado:

222

222 )(2)( ycxaycx

Desarrollando potencias: 2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

22222 )(44)()( ycxaacxcx …Transponiendo y reduciendo términos semejantes

2222222 )(4422 ycxaaccxxccxx …Desarrollando potencias

222 )(444 ycxaacx …Rediciendo términos semejantes

222 )( ycxaacx …Dividiendo por 4 y transponiendo

22222 )( ycxaacx …Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado

2224222 )(2 ycxaacxaxc … Desarrollando potencias

22224222 22 yccxxaacxaxc ……..? 22222224222 22 yacacxaxaacxaxc ……..?

422222222 acayaxaxc ……..?

22222222 acayaacx …Factorizando por 2x , por

2a y ordenando

222

222

222

22

222

222

aca

aca

aca

ya

aca

acx

…Dividiendo por 222 caa

122

2

2

2

ac

y

a

x. Haciendo: 222 acb , se tiene que:

1b

y

a

x2

2

2

2

…Ecuación de la hipérbola en cuestión. Con 222 cbayac

Lado recto: a

bLR

22 . Excentricidad:

a

ba

a

ce

22 .

Los extremos del lado recto son de la forma: abc ,


mapb

318

318

PARA EL EJE FOCAL PARALELO AL EJE Y:

ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA

Consideremos la siguiente hipérbola:

ASÍNTOTA: La asíntota de una curva es una recta cuya distancia a la curva tiende a cero a

medida que la curva se aleja indefinidamente del origen.

Para la asíntota horizontal, la ecuación es: y = k con k R.

Para la asíntota vertical, la ecuación es: x = k con k R.

Y

..

11

:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

21

:

ecuaciónla

ygráficaladeusoHaga

a

y

b

xo

b

x

a

y

eshipérbolaestadeecuaciónLa

aPFPF

demuéstre

hipérboladedefiniciónPor

F1(0, c)

X

F2(0,c)

),( yxP

B1

B2

0

V2(0,a)

b

V1(0, a)

La gráfica muestra que:

Entre más se acerca el valor de x a 2, el

valor de y se hace infinitamente

grande. Entonces, en x = 2 hay una

asíntota vertical.

De igual forma, mientras más se acerca

el valor de y a 1, el valor de x se hace

infinitamente grande.

Entonces, en y = 1 hay una asíntota

horizontal

0

1

2 x

y

Asíntota

horizontal

Asíntota

vertical


mapb

319

319

PARA LA HIPÉRBOLA EN CUESTION, hablamos de asíntotas oblicuas.

ECUACIÓN DE LAS ASÍNTOTAS

Para ello, determinamos la ecuación de la recta que pasa por los vértices del rectángulo

puntos (a,b) y (a,b)) y el centro de la hipérbola, en este caso el origen(0,0).

Se hace uso de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

EJEMPLO 1.

Determinemos la ecuación, los vértices, la excentricidad, el lado recto, el eje transverso, el eje

conjugado y las asíntotas de la hipérbola de centro en el punto (0,0), foco en (6,0) y semieje

transverso igual a 4.

)( 1

12

121 xx

xx

yyyy

0)0(0

00

:),()0,0(:

0)0(0

00

:),()0,0(:

aybxóxyxa

by

baypuntoslosPara

aybxóxyxa

byx

a

by

baypuntoslosPara

ab

ab

1

:

2

2

2

2

b

y

a

x

eshipérbolaladeecuaciónLa

xy

aybx

ab

0

xy

aybx

ab

0

),( ba

X

Y

F1(c,0) 0 F2(c,0)

V1(a,0) V2(a,0)

b

),( ba

Asíntotas oblicuas

1

)0,6(

2

2

2

2

2

:

)0,0(

:

b

y

a

x

ejealparalelofocalEje

F

escanónicaecuaciónSu

X

yC

enunciadoDel

X

Y

F1(6,0)

0 F2(6,0)

V1(4,0) V2(4,0)

0420 yx


mapb

320

320

EJEMPLO 2.

Hallemos la ecuación, los vértices, el lado recto, el eje transverso, el eje conjugado y las

asíntotas de la hipérbola de focos en F1(0,5) y F2(0,5) y excentricidad e = 5/3.

04200

.04200.04200

:

545222:

8422:.2

3

4

6:

104

2022:).0,4(2,1)0,(:

....12016

1

:

5220201636:

tan:,4

.6)0,6()0,(

:exp

2,1

21

21

2

22

2

2

2

2

2222

22

yxaybx

yxaybxyxaybx

asíntotaslasdeEcuaciones

bBBconjugadoEje

aVVtransversoEjea

ceadxcentricid

a

bLRrectoLadoVaVVértices

ecuaciónyx

b

y

a

x

hipérbolaestadecanónicaecuaciónlaenbyadoSustituyen

bbacbPero

vérticeslosentreciaDistransversoejedelmitadlaserpora

cFcF

formasiguienteladeresarpuedenseTambién

3

32

3

1622:).3,0(),0(:

....1169

1

:

4.16925:

35

535

.5)5,0(),0(

2

22

2

2

2

2

2222

35

35

11

2,12,1

a

bLRrectoLadoVaVVértices

ecuaciónxy

b

x

a

y


bbacbPero

e

ca

a

ce

ecFcF

1

)5,0(),5,0(

2

2

2

2

35

21

:

:

b

x

a

y


eyFF


Y

enunciadoDel

X

Y

F2(0,5)

0

F1(0,5)

V1(0,3)

V2(0,3

043 yx


mapb

321

321

EJEMPLO 3.

Determinemos la ecuación, los focos, el lado recto, el eje transverso, el eje conjugado y las

asíntotas de la hipérbola cuyos vértices son los puntos (8,0) y (8,0), y que tiene una

excentricidad de 5/4.

0430

.0430.0430

:

8422:

6322:

:exp

21

21

yxbyax

yxbyaxyxbyax


bBBconjugadoEje

aVVtransversoEje


0860

.0860.0860

:

12622:16822:

98

3622:)0,10()0,(:cos

....13664

1

:

6.3664100:

108

.8)0,8()0,(

:exp

2,12,1

2121

2

22

2

2

2

2

2222

45

45

12

4

40

yxaybx

yxaybxyxaybx


bBBconjugadoEjeaVVtransversoEje

a

bLRrectoLadoFcFFo

ecuaciónyx

b

y

a

x


bbacbPero

eaca

ce

eaVaV


1

)0,8(),0,8(

2

2

2

2

45

21

:

:

b

y

a

x


eyVV


X

enunciadoDel

X

Y

086 yx

F1(10,0) F2(10,0)

V1(8,0) V2(8,0)


mapb

322

322

EJEMPLO 4.

Hallemos la ecuación, la excentricidad, el lado recto, el eje transverso, el eje conjugado y las

asíntotas de la hipérbola cuyos vértices y focos son los puntos (0,3), (0,3) y (0,6), (0,6),

respectivamente.

EJEMPLO 5.

Dada la hipérbola , determinemos: sus focos, sus vértices, el lado recto, las

asíntotas, el eje transverso, el eje conjugado y tracemos la gráfica

Solución:

. Dividiendo toda la expresión por 160:

. La canónica de esta ecuación es

02730

.02730.02730

:

363322:6322:

.323

3322:

....1279

1

:

3327.27936:

.6)6,0(),0(.3)3,0(),0(

:exp

2121

2

22

2

2

2

2

2222

1111

yxyax

yxbyaxyxbyax


bBBconjugadoEjeaVVtransversoEje

a

bLRrectoLado

ecuaciónxy

b

x

a

y


bbacbPero

cFcFaVaV


1601610 22 yx

1601610 22 yx

11016160

160

160

16

160

10 2222

yxyx

12

2

2

2

b

y

a

x

1

)6,0(),6,0()3,0(),3,0(

2

2

2

2

2121

:

:

b

x

a

y


FFyVV


Y

enunciadoDel

X

Y

0333 yx

F2(0,6)

F1(0,6)

V2(0,3)

V1(0,3)


mapb

323

323

GRÁFICA:

Para trazar la gráfica, hacemos uso del centro, los ejes transverso y conjugado, los vértices,

los focos y principalmente: 1028,0,26),0,0( 2,1 yVC

Como las asíntotas pasan por los vértices del rectángulo que forman los ejes, los siguientes

pasos son de gran ayuda:

Ubicamos el centro y trazamos el eje focal (identificando la orientación de la hipérbola)

A partir del centro y el eje focal, construimos el rectángulo cuyos lados tienen la misma

longitud de los ejes

Trazamos las asíntotas y las ramas de la hipérbola

Finalmente, ubicamos los demás elementos

04100

.04100.04100

:

1022:

8422:4

26:

54

1022:

)0,26()0,(:cos).0,4()0,(:

26.261610:

.1010.416).0,0(:

:,

:exp

2,12,12,12,1

21

21

2

222222

22

yxaybx

yxaybxyxaybx


bBBconjugadoEje

aVVtransversoEjea

ceadxcentricid

a

bLRrectoLado

FcFFoVaVVértices

cabcacbPero

bbaaCCentro

tieneseparticularlaycanónicaecuaciónlaComparando


11016

22

yx

V1

X

Y

0410 yx

1F 2F

V2

0


mapb

324

324

EJERCICIOS

1. Halle la ecuación, la excentricidad, los vértices, el eje conjugado, el lado recto y las

asíntotas de la hipérbola de centro en el origen, foco en (10,0) y semieje transverso igual a 6.

2. Halle la ecuación, la excentricidad, el eje conjugado, el eje transverso, el lado recto y

las asíntotas de la hipérbola cuyos vértices y focos son los puntos (0,8) y (0, 4),

respectivamente.

3. Halle la ecuación, los focos, el eje conjugado, el eje transverso, el lado recto y las

asíntotas de la hipérbola de vértices en (5,0) y excentricidad e = 3/2.

4. Escribe la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados sobre el eje x, su centro

está en el origen y que cumple con las siguientes condiciones: 2a = 10 y 2b = 12.

5. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,7) y (0,7), y la

longitud del lado recto es 6. Halle la ecuación, los focos, la excentricidad, lo eje

transverso, el eje conjugado y conjugado y las asíntotas

6 Determine la ecuación, los vértices, los el conjugado, el lado recto y las asíntotas

de la hipérbola cuyos focos son los puntos (13,0) y (13,0) y cuyo eje transverso

mide 24.

7. Determine la ecuación, los vértices, los focos y las asíntotas de una hipérbola de

centro en el origen y su eje transverso sobre el eje x. Si sabemos e = 1/26 y

que pasa por el punto (2,1)

8. Halle la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (3, 1), cuyos ejes transverso

y conjugado son iguales

9. Para cada hipérbola, determine: Los vértices, los focos, el eje transverso, el eje

conjugado, la excentricidad, el lado recto y trace la gráfica:

ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA DE CENTRO EN (h, k) Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE X

.4.01234.82.1416

.194

2222222222

yxyxyxxyyx

1)()(

:

2

2

2

2

b

ky

a

hx

eshipérbolala

deecuaciónLa

)(

0)()(

hxky

kyahxb

ab

)(

0)()(

hxky

kyahxb

ab

X

Y

F1(hc,K)

0

F2(h+c,K)

h

k (h,k)

V1(ha,K) V2(h+a,K)


mapb

325

325

SI EL EJE ES PARALELO AL EJE Y:

EJEMPLO 1.

Determinemos la ecuación, los vértices, el lado recto, la excentricidad y las asíntotas de la

hipérbola de centro (4,3), eje transverso 8 y uno de los focos en (10,3)

.2:.2:

:.2

:

).,(),(:cos

).,(),(:

)(:

2121

222

21

21

bBBtransversoEjeaVVconjugadoEje

a

ba

a

cedadExcentrici

a

bLRrectoLado

kchFykchFFo

kahVykahVVértices

hxkyAsíntotas ab

)(: hxkyAsíntotasba

1)()(

:

2

2

2

2

b

hx

a

ky

eshipérbolala

deecuaciónLa

)(

0)()(

hxky

kybhxa

ba

)(

0)()(

hxky

kybhxa

ba

F1(h,k+c)

X

Y

0 h

k (h, k)

V1(k,h+a)

F2(h,kc)

V2(h,ka)

1

)()(2

2

2

2

:

b

ky

a

hx

formaladeeshipérbolaestadeecuaciónLa

F1

0

F2(10,3) 8

(4,3)

X

Y


mapb

326

326

EJEMPLO 2.

Hallemos la ecuación, los focos, la excentricidad, el eje transverso, el eje conjugado y las

asíntotas de la hipérbola cuyo lado recto mide 9/4 y los vértices son los puntos (4,5) y (4,3)

)4(3)4(3)(:

2

3

4

6:

.104

2022:

).3,8()3,44(),().3,0()3,44(),(

:

....136

)3(

16

)4(

:1)()(

,,

522020163646:

64101010)3,10(),(:cos

4828

34)3,4(),(:

2

5

4

52

2

222111

22

2

2

2

2

22222

22

28

xyxyhxkyAsíntotas

a

cedadExcentrici

a

bLRrectoLado

VVkahVVVkahV

Vértices

ecuaciónyx

b

ky

a

hxenkyhbadoSustituyen

bacbPero

hcchFkchFFo

aatransversoEje

kyhkhCCentro

ab

ecuaciónxy

b

hx

a

kyenkyhbadoSustituyen

bb

a

bLRrectoLado

VVaaVVPeroVVtransversoEje

....1)4(

16

)1(

:1)()(

,,

4

9

4

22:

42

8

22:.835)3(5:

29

29

22

2

2

2

2

222

212121

)1,4(),(:

1.4

1)()(

235

244

:

,

:2

2

2

2

CkhCCentro

kh

b

hx

a

ky

vérticeslosentremediopuntodelscoordenada

lasndoestableciehallansecentrodelscoordenadaLas

formaladesu

YejealparalelofocalejesutienehipérbolaEsta

F1

(4,1)

V1(4,5)

V1 (4,3)

0 X

Y

F2


mapb

327

327

EJEMPLO 3.

Dada la hipérbola , hallemos: El centro, los vértices, los focos, el lado

recto, el eje transverso, el eje conjugado, las asíntotas y tracemos su gráfica

)4(3)4(1)(:

2322

4:

1,4),(.1,4),(:cos

4

9

4

22:

16:

23

2211

222

222222

84

2

23

241

241

241

2

23

2

3

2

929

241

241

29

223

xyxyhxkyAsíntotas

bconjugadoEje

a

cedadExcentrici

FckhFFckhFFo

bb

a

bLRrectoLado

cabcacbPero

ba

b

149

)4(

25

)3( 22

yx

)3(4)(:

.14722.10522

5

74:

195

98

5

4922:

).4,743(),().4,743(),(

).4,8()4,53(),().4,2()4,53(),(

74744925:

.74949.52525

:cos

)4,3(),(:.44.33

:

.1)()(

.149

)4(

25

)3(

:

57

53

2

2211

222111

222222

22

2

2

2

2

22

:

,

xyhxkyAsíntotas

bconjugadoEjeatransversoEje

a

cedadExcentrici

a

bLRrectoLado

FkchFFkchF

VVkahVVVkahV

cbacacbPero

bbaa

FoyVértices

CkhCCentrokkhh

ecuacionesdoslasComparando

b

ky

a

hx

yx

Sol

ab

escanónicaecuaciónsu

XejealparaleloeshipérbolaestadefocalejeEl


mapb

328

328

EJERCICIOS

1. Para cada conjunto de datos, halle la ecuación de la hipérbola que lo contiene,

los demás elementos y trace la gráfica.

a). V1(4,6), V2(4,0) y b = 1.

b). F1(9,2), F2(3,2) y C(3,2)

c). F1(9,2), F2(3,2) y eje conjugado = 6.

2. Uno de los focos de una hipérbola es (6,4) y el centro (3,5). Si la excentricidad es 3,

determine: La ecuación, los demás elementos y trace la gráfica.

3. Para cada ecuación de la hipérbola, halle todos los elementos:

4. Determina la ecuación de la hipérbola cuyo centro se halla en el vértice de la

parábola

5. Para cada hipérbola, halle la ecuación de la posición inicial, de la posición final y

trace la gráfica en la nueva posición.

10)2()3(

.116

)2(

36

)2(.1

14

)2(

9

)1(

22

2222

yxc

xyb

yxa

024642 xyy

Gráfica:

Para la gráfica, hacemos uso del centro, los vértices, los focos y el eje

conjugado. Aunque, el eje conjugado(14) no se observa en la gráfica, a

partir del eje transverso(10) y entre los vértices, se forma el rectángulo de

dimensiones 10x14

F1

0

1)2

2

2

2 )4()3(

ba

yx

F2 C(4,3)

X

Y

V1 V2

4 unidades hacia la derecha y

5 hacia abajo

6 unidades hacia la

izquierda y 2 hacia arriba


mapb

329

329

HIPÉRBOLAS CONJUGADAS

Las siguientes hipérbolas son conjugadas.

Las siguientes observaciones definen las hipérbolas conjugadas:

El eje transverso de H1 es el eje conjugado de H2 y viceversa.

Si son semiejes transverso y conjugado de H1 y son semiejes

conjugados y transverso de H2, entinces: .

De igual forma: tiene el mismo valor para ambas hipérbolas.

H1 y H2 tienen las mismas asíntotas:

La siguiente tabla resume todo lo anterior.

EJES H1(x) H2(y) FOCOS CON

Transverso

Conjugado

EJEMPLO

Dada la hipérbola , hallemos su conjugada y tracemos la gráfica

Solución:

………….Dividiendo toda la ecuación por 36.

……….Realizando las divisiones

1F 2F

V2 V1

X

Y

0

= 1

= 1

H1 y H2 , hipérbolas


mapb

330

330

La

conjugada de esta hipérbola es de la forma:

Para la gráfica, hallemos el centro, los vértices, los focos, los ejes tranversos y conjugados y

las asíntotas.

En la siguiente tabla encontramos los elementos señalados:

Hipérbola

Centr

o

Vértice

Foco

Eje

transverso

Eje

conjugado

Asíntota

(0,0) 6 4

(0´0) 4 6

Gráfica:

HIPÉRBOLAS EQUILÁTERAS

Dos hipérbolas son equiláteras, si y sólo si, sus ejes transversos y conjugados son iguales.

Esto implica que: . Luego:

Pero:

…..(1)

De igual forma:

…..(2).

Las hipérbolas (1) y (2) son equiláteras.

= 1

= 1

X

Y

1F 2F

V2 V1

0


mapb

331

331

La siguiente tabla muestra las características de las hipérbolas equiláteras

Hipérbola

Centro

Vértice

Foco

Eje transverso Eje conjugado

Asíntota

(0,0) 2a 2a

(0´0) 2a 2a

Gráfica

EJEMPLO

Dada la siguiente hipérbola, hallemos la hipérbola euilátera y sus elementos:

Solución:

La tabla muestra los elementos

Hipérbola

Centro

Vértice

Foco

Eje

transverso

Eje

conjugado

Asíntota

(0,0)

(0´0)

EJERCICIOS

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

.364.0964.03694

:,.2

.0742.01.2466

:,.1

222222

222222

yxcxyxybyxa

gráficalatraceyconjugadasuhallehipérbolacadaPara

yxyxcyxbxya

gráficalatraceyequiláterasuhallehipérbolacadaPara

= 1

= 1

X

Y

1F 2F

V2 V1

0

Trace la gráfica


mapb

332

332

EJEMPLO 1.

En 1911, el físico ERNEST RUTHERFORD(1981 – 1937) descubrió que si se disparan párticulas

alfas hacia el nucleo de un átomo, aveces son repelidas(desviadas) y se alejan del nucleo

formando trayectorias parabólicas. La figura muestra la trayectoria de una párticula que va

hacia la recta

, y llega a 5 unidades del nucleo. Determinemos la ecuación de la

trayectoria que sigue la párticula.

Como se puede observar en la gráfica, la párticula alfa describe una de las ramas de una

hipérbola cuyo centro está en el origen(0,0). El vértice de esta hipérbola es V(5,0) y la

asíntota es la recta

.

La ecuación general de esta hipérbola es de la forma

, cuyo vértice es y la

asíntota

. Comparando las asíntota general con la particular y reemplazando el valor de , se

tiene que:

EJEMPLO 2

SISTEMA DE NAVEGACIÓN LORAN(del Inglés Long Range Navigatión)

Dos estaciones A y B que se encuentran en un litoral recto, están separadas por una distancia

de 600Km. Un buque registra una diferencia de tiempo de 0,000984 segundos(tiempo señal

emitida por la estación B menos el tiempo señal emitida por la estación A) entre dos señales

Loran. Hallemos la distancia en donde el buque tocaría tierra, si sigue la hipérbola

correspondiente a esta diferencia de tiempo.

párticulalaportrazadaatrayectoriladeecuaciónyx

b

y

a

x

generalecuaciónlaenydevaloreslosdoSustituyen

bb

a

bx

a

byaaV

xyV

ba

....125

1

:

4

15

4

3

54

35)0,(

4

3)0,5(

16225

22

2

2

2

2

= 1

X

Y

0 5

Párticula

a


mapb

333

333

Solución

Por definición de hipérbola:

La distancia que recorre el buque entre una señal y otra se calcula con la siguiente expresión:

Como el buque describe una hipérbola en todo momento, la distancia que separa los

focos(estaciones A y B) es constante, entonces:

El vértice de esta hipérbola es:

La diferencia entre el foco y el vértice, indica la distancia a la que el buque tocaría tierra

desde la estación A. Entonces:

EJEMPLO 3.

La figura muestra una aeronave que sigue una trayectoria hiperbólica según la ecuación

. Hallemos la mínima distancia(altura) a la que llega la aeronave a una casa

situada 300m del centro de la hipérbola.

Kmctd

segtseñaleslasentretiempodediferenciatiempot

segKmcluzladevelocidadcdondeDectd

2,295)000984,0(300000

000984,0).(

/300000.:.

KmaaaPABP 6,1472

2,2952,29522,2952

1624 22 xy

En la navegación es

donde más se aplica la

hipérbola

Las estaciones A y B son

puntos fijos y constituyen los

focos de la hipérbola

A(300,0) B(-300,0) X

Y

Posición del

buque

0

600

Sea la mínima altura a la

que llega la aeronave de la

casa. Entonces, la aeronave se

aproxima más a la casa,

cuando pasa por el punto

de coordenadas

300m

Aeronave

iculaa

X

Y

0


mapb

334

334

Sustituyendo las coordenadas de en la ecuación de la trayectoria de la aeronave:

La mínima altura a la que llega la aeronave de la casa es 212, 14m

EJERCICIOS

1. Dos estaciones sonoras A y B muy potentes, se encuentran separadas por una distancia de

2000m sobre una carretera recta. Un desocupado que vuela en una cometa en la zona de

influencia de las dos estaciones, registra una diferencia de 10 segundos entre las dos señales

sonoras. Halle una ecuación para la posición de la cometa y la altura a la que se encuentra,

cuando coincide con un punto situado a 400m de la estación A, si la cometa sigue una

trayectoria hiperbólica. Ayuda: .

2. Dos estaciones Loran A y B están a una distancia de 500km a lo largo de un litoral recto. Un

barco registra una diferencia de tiempo de 0’000048segs. entre las dos señales Loran. Halle la

distancia a la que tocaría el barco la costa si sigue una trayectoria hiperbólica.

3. Dos estaciones de RADAR distan 2000km. Un avión que sigue una trayectoria hiperbólica,

recibe la primera señal a las 8:30AM y 0’000025segs. después recibe la segunda señal. Halle

una ecuación para la trayectoria del avión y determine la posición para un punto situado a

800m de la primera estación.

4. Dos estaciones de radio A y B están en una línea en dirección Este-Oeste, de modo que A está

a 100 millas de al oeste de B. Un avión viaja hacia el oeste en una línea recta a 500 millas al

norte de la línea AB. Las señales de radio (viajan a 980pies/segs) se envían de manera

simultáneas desde A y B, y la enviada desde B llega al avión antes que la

enviada desde A. ¿Dónde está el avión?

5. Dos estaciones A y B que se encuentran en la dirección Norte-Sur están separadas por 300km.

Se transmiten señales simultáneas desde cada estación a un barco que se encuentra entre ellas.

El barco recibe la señal de A 0’0005segs antes de recibir la de B. Suponga que la velocidad de

las señales es de 320m/segs. Halle la distancia a la que se encuentra el barco de la costa y la

ecuación de la trayectoria quen describe.

6. La gráfica muestra la trayectoria hiperbólica que sigue un pájaro, según la ecuación

. Halle la distancia mínima a la que el pájaro de un árbol situado a 400m del

eje focal de la hipérbola.

mk

kkk

14,21245004

4

18001616180000416)300(2)(4 2222

segs4104

0182 22 xy

400m

Pájaro

X

Y

0


mapb

335

335

LA PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE LA HIPÉRBOLA

Esta propiedad tiene la misma forma que la propiedad correspondiente a la Elipse. Si P es un

punto sobre la hipérbola, entonces, las dos rectas PF2 y PF1 de P a los dos focos, forman

ángulos iguales con la recta(L) tangente en P. O sea: .

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA

Las ecuaciones ordinarias o canónicas de una hipérbola son:

1

2

2

2

2

b

ky

a

hx. Con eje focal paralelo al eje x

1

2

2

2

2

b

hx

a

ky. Con eje focal paralelo al eje y

Desarrollando las operaciones indicadas de cada ecuación, se obtiene la ecuación general.

Tomando la primera ecuación:

12

2

2

2

b

ky

a

hx

1

22

2222

ba

kyahxb…..Restando las fracciones

222222 bakyahxb …..Quitando denominadores

22222222 22 bakkyyahhxxb …..Desarrollando potencias

222222222222 22 bakakyayahbhxbxb ….multiplicando

022 222222222222 bakahbkyahxbyaxb ….Ordenando y transponiendo

Haciendo:

..2.2.. 2222222222 bakahbFkaEhbDaBbA

Se tiene que:

0FEyDxByAx 22 ….Ecuación general de la hipérbola en cuestión

Los coeficientes de 22 , yx son diferentes. El signo más (+) para

2x y el signo menos () para 2y .

Para la hipérbola con eje focal paralelo al eje y, la ecuación general es:

0FEDBA 22 xyxy

L

F2

F1


mapb

336

336

Con: ..2.2.. 2222222222 bahakbFhaEkbDaBbA

Los coeficientes de 22 , xy son diferentes. El signo más (+) para

2y y el signo menos () para 2x .

EJEMPLO 1.

Determinemos la ecuación general de la hipérbola focos )8,3()2,3( 21 FyF con eje transverso de

4 unidades

Solución:

Si analizamos bien las coordenadas de los focos )8,3()2,3( 21 FyF de la hipérbola en cuestión,

notamos que la misma tiene su eje focal paralelo al eje y.

Hallando las coodenadas del punto medio de los focos, tendremos el centro de la hipérbola, entonces:

.52

82.3

2

33

kh El centro es )5,3(),( CkhC

Como el eje transverso mide 4 unnidades, entonces: 2a 22424

21 aaVV

Pero, el foco uno es de forma: ),(1 ckhF . Comparándolo con )2,3(1 F . Se tiene que:

3c 352)5(222 kcck

Pero:

5b 549)2()3( 22222 acb

El vértice uno es de la forma: 3)(3,V1 )52,3(),( 11 VkahV

Sustituyendo los valores de kyhba ,, en la ecuación ordinaria:

12

2

2

2

b

hx

a

ky, se tiene

que:

1

5

3

4

522

xy

. Desarrollando las operaciones indicadas:

general06924x50y4x5y

22 Ecuación

xxyyxxyy

xyxy

....

20362441255052096425105

203455120

3455

2222

2222

Gráfica:

06924x50y4x5y 22

x

y

)2,3(1 F

0

)5,3( C

)8,3(2 F

)7,3(2 V

)2,3(1 V


mapb

337

337

EJEMPLO 2.

Dada la hipérbola 6432x36y9y4x 22 , hallemos el centro, los focos, los vértices, los ejes

ttransverso y conjugado, el lado recto, la excentricidad, las asíntotas y la gráfica.

Solución:

Utilizando el método de completación de cuadrados perfectos, entonces:

6432x36y9y4x 22

6436y9y32x4x 22 ….Juntando las variables de la misma clase

644y)9(y8x)4(x 22 ….Factorizando por agrupación

644)44y9(y16)168x4(x 22 ….Completando trinomios…

64364)4y9(y6416)8x4(x 22 ….Aislando los trinomios

366464)29(y)44(x 22 ….Factorizando y transponiendo

362)9(y)44(x 22 ….Reduciendo términos semejantes.

36

36

36

2)9(y

36

)44(x 22

….Dividiendo por 36 , porque el segundo miembro de la ecuación.

siempre es positivo e igual a la unidad.

19

)4(x

4

2)(y 22

….Simplificando y ordenando.

19

)4(x

4

2)(y 22

…..Esta hipérbola tiene su eje focal paralelo al eje y.

Comparando esta eecuación con su canónica u ordinaria, se tiene que:

19

)4(x

4

2)(y 22

1)(xk)(y

2

2

2

2

b

h

a

El centro es: )2,4(),( CkhC .

Los focos: ).132,4(),().132,4(),( 2211 FckhFFckhF

Los vértices:

.0)22,4(),(.)22,4(),( 22211 )4,(V4)4,(V1 VakhVVakhV

Ejes transverso y conjugado: .)3(22.)2(22 2121 64 bBBaVV

Lado recto: 9

2

92

2

2)3(2

22

a

bLR

Excentricidad: 2

13

a

ce

Asíntotas:

03y2x0143y2x

2

8263

)4(2)2(3

)()(

8263

)4(2)2(3

)()(

xy

xy

hxakyb

xy

xy

hxakyb

2.4

1394:

.99.44

222222

22

kh

bacacbPero

bbaa

13c

32


mapb

338

338

Gráfica:

EJEMPLO 3.

Dada la hipérbola 0436y1y4189x 22 x , hallemos el centro, los focos, los vértices, los

ejes ttransverso y conjugado, el lado recto, la excentricidad, las asíntotas y la gráfica.

Solución:

Utilizando el método de completación de cuadrados perfectos, entonces:

436y1y4189x 22 x ………….?

434y)y(4)29(x 22 x …………?

434)44yy(4)1129(x 22 x ………..?

43164)4yy(49)129(x 22 x ………?

16943)2y(4)19(x 22 ……….?

36)2y(4)19(x 22 ………..?

36

36

36

2)4(y

36

)19(x 22

….Dividiendo por 36 , porque el segundo miembro de la ecuación.

siempre es positivo e igual a la unidad.

19

)2(y

4

1)(x 22

….Simplificando y ordenando.

19

)2(y

4

1)(x 22

…..Esta hipérbola tiene su eje focal paralelo al eje x.

Comparando esta eecuación con su canónica u ordinaria, se tiene que:

19

)2(y

4

1)(x 22

1)(yh)(x

2

2

2

2

b

k

a

El centro es: )2,1(),( CkhC .

Los focos: ).2,131(),().2,131(),( 2211 FkchFFkchF

Los vértices: .21)2,21(),(.23)2,21(),( 22211 ),(V),(V1 VkahVVkahV

Ejes transverso y conjugado: .)3(22.)2(22 2121 64 bBBaVV

6432x36y9y4x22

01432 yx

x

y

0

1F

C

1V

2F

2V

0232 yx

0).4,(V4).4,(V

).1324,(F).1324,(F

6.BB4.VV

2)4,C(

21

21

2121

2.1

1394:

.99.44

222222

22

kh

bacacbPero

bbaa

13c

32


mapb

339

339

Lado recto: 9

2

92

2

2)3(2

22

a

bLR

Excentricidad: 2

13

a

ce

Asíntotas:

0yx01yx

823

12342

)4(3)2(2

)()(

623

12342

)4(3)2(2

)()(

xy

xy

hxbkya

xy

xy

hxbkya

Gráfica:

EJERCICIOS

1. Halle la ecuación general de cada hipérbola según la información suministrada:

a) )3,7(),3,1( 21 VV y eje transverso igual a 6 unidades

b) )8,2(),4,2( 21 FF y eje conjugado igual a 6 unidades

2. Para cada una de las hipérbolas, halle el centro, los focos, los vértices, los ejes ttransverso y

conjugado, el lado recto, la excentricidad, las asíntotas y la gráfica.

016361694)

07489).0442)

22

2222

yxyxb

yxxycyxyxa

2).1,(V2).(3,V

2,13(1F2).,13(1F

6.BB4.VV

2)C(1,

21

21

2121

04316yy4189x22

x

01yx 623

0823 yx

x

y

C

1

F

1V

2F

2V

0


mapb

340

340

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

La ecuación general de segundo grado es de la forma: 022 FEyDxCyBxyAx .

De donde: FyEDCBA ,,,, son números reales diferentes de cero.

El análisis de esta ecuación de segundo evidencia cuatro casos importantes:

CASO 1.

SI 0B y 0AC . Es decir: 00 CóA , la ecuación se reduce a:

00 22 FEyDxByóFEyDxAx , ambas ecuaciones representan una

parábola.

CASO 2.

SI 0B y 0AC . Es decir: 0000 CyAóCyA , la ecuación se

reduce a: 022 FEyDxCyAx , la ecuación representa una elipse.

CASO 3.

SI 0B y 0AC . Es decir: 0000 CyAóCyA , la ecuación se

reduce a: 00 2222 FEyDxAxCyóFEyDxCyAx , ambas

ecuaciones representan una hipérbola.

CASO 4.

SI 0B y CA , la ecuación se reduce a: 022 FEyDxAyAx , la ecuación

representa una circunferencia.

EJERCICIO

Identifica la cónica que representa cada ecuación:

PRINCIPALES EXPRESIONES QUE FACILITAN LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

1. EXCEDER: Tener de más. EJEMPLOS

Expresión verbal Expresión matemática

El número 9 excedido en 4 9 + 4 = 13

El número excedido en

El exceso de 10 sobre 3

El exceso de sobre 2

El exceso de 7 sobre

.01028

.0432

.01261222

.0105453

03

.0446

.08744

2

2

22

22

22

22

22

yxxg

yyxf

yxyxe

yxxyd

yxyxxc

yxyxb

xyxa

x 4 4x

7310

x 2x

y y7

, Y, K, R, M, N, Q , P

son número reales.


mapb

341

341

2. DISMINUIR: Quitar, restar, sacar. DIFRENCIA = RESTA EJEMPLOS


La diferencia entre los números 9 y 7

El número disminuido en 3

De sacar 5

La diferencia entre los números

3. EQUIVALER: Ser igual. EJEMPLOS


El número equivale a 8

El número equivale a

4. EL DOBLE, DOS VECES O EL DUPLO: Es el número 2 multiplicado por un número. EJEMPLOS


El duplo de 9

El doble de

El duplo de

5. EL TRIPLO O TRIPLE Y TRES VECES: Es el número 3 multiplicado por un número. EJEMPLOS


El triplo de 5

El triple de

Tres veces

6. EL CUÁDRUPLO O CUATRO VECES: Es el número 4 multiplicado por un número. EJEMPLOS


El cuádruplo de 6

El cuádruplo de

Cuatro veces

PRODUCTO = MULTIPLICACIÓN. El producto de los números P y Q, esto es:

De igual forma se puede calcular sobre un número: El quíntuple o quíntuplo(5),

El séxtuple o séxtuplo(6), El séptuple o séptuplo(7), El óctuple u óctuplo(8), noctuple o

noctuplo(9), y asi sucesivamente

7. 8 EXCEDE A 5 EN 3.

De la anterior oración se pueden plantear 3 ecuaciones:

EN GENERAL

excede a K en R.

279

x 3x

x 5x

yx, yx

x 8x

x k kx

18)9(2

x x2

k k2

15)5(3

x x3

k k3

24)6(4

x x4

k k4

QP

ANÁLISIS:

La primer cantidad es igual a la suma

de las otras dos

La primera menos la segunda es

igual a la tercera

La primera menos la tercera es igual

a la segunda

358 358 538

RKX RKX KRX


mapb

342

342

EJEMPLOS


5 exced a en 9

excede a 7 en 1

8. 9 veces el exceso de 5 sobre 3. Esto es: .

9. En general:

K veces el exceso de X sobre P. Esto es:

10. Dos números enteros consecutivos. Esto es:

11. Tres números consecutivos. Esto es:

4

44495

999)4(5

55945

x

71

17

17

x

x

x

16)2(9)35(9

)( PXK

númerosegundox

númeroprimerx

.....1

.....

ntesucesivameasíynúmerotercerx

númerosegundox

númeroprimerx

,.....2

.....1

.....

EJEMPLO:

La suma de dos números enteros

consecutivos es 9

Solución:

4

192

91

28

x

x

xx


mapb

343

343

12. Un número par. Esto es:

13. Dos números pares consecutivos. Esto es:

14. Tres números pares consecutivos. Esto es:

15. Un número impar. Esto es:

16. Dos números impares consecutivos. Esto es:

17. Tres números impares consecutivos. Esto es:

18. LA MITAD, UN MEDIO O UN NÚMERO DIVIDIDO POR 2: Es un multiplicado por un

número. EJEMPLOS


Un medio de 18

La mitad de

19. LA TERCERA PARTE, UN TERCIO O UN NÚMERO DIVIDIDO POR 3:

Es multiplicado por un número.

EJEMPLOS


Un tercio de 18

La tercera parte de

20. LA CUARTA PARTE, UN CUARTO O UN NÚMERO DIVIDIDO POR 4:

Es multiplicado por un número.

EJEMPLOS


Un cuarto de 18

La cuarta parte de

2x

númerosegundox

númeroprimerx

.....22

.....2

ntesucesivameasiynúmerotercerx

númerosegundox

númeroprimerx

,.....42

.....22

.....2

12x

númerosegundox

númeroprimerx

.....32

.....12

ntesucesivameasiynúmerotercerx

númerosegundox

númeroprimerx

,.....52

.....32

.....12

2

1

92

18)18(21

x22

1)(21 xxx

3

1

63

18)18(31

x33

1)(31 xxx

4

1

29

418)18(

41

x44

1)(41 xxx

EJEMPLO:

La suma de tres números

pares consecutivos es 36

Solución:

3642222 xxx

EJEMPLO:

La suma de dos números

impares consecutivos es 20

Solución:

203212 xx


mapb

344

344

21. LAS DOS TERCERAS PARTES: Es multiplicado por un número.

EJEMPLOS


Las dos terceras partes de 18

Las dos terceras partes de

Del mismo modo se puede calcular sobre un número: La quinta parte ,

la sexta parte , la séptima parte , la octava parte , la novena parte , la décima

parte , las tres cuartas partes , las dos quintas partes , los tres medios ,y así

sucesivamente.

22. 8 ES 2 VECES MAYOR QUE 4.

De la anterior expresión se obtienen tres ecuaciones:

EN GENERAL

ES K veces mayor que R.

23. EL CUADRADO O LA SEGUNDA POTENCIA: Es un número elevado a la 2. EJEMPLOS


El cuadrado de

La segunda potencia de

El cuadrado de

24. EL CUBO O LA TERCERA POTENCIA: Es un número elevado a la 3. EJEMPLOS


El cubo de

La tercera potencia de

El cubo de

3

2

123

36)18(32

x3

2)(32 xx

51

61

71

81

91

101

43

52

23

3 9)3( 2

x 2x

y 2y

3 27)3( 3

x 3x

y 3y

428 42

8

24

8

porSigno RKX R

K

X K

R

X


mapb

345

345

25. EL NÚMERO K ES AL NÚMERO Q COMO EL NÚMERO M ES AL NÚMERO N:

Esto es:

EJEMPLOS


8 es a 5 como 16 es 10

es a como 2 es 3

y están en relación de 9 a 4

La razón de los números y

26. Porcentajes:

27.

28.

29.

30.

31.

N

M

Q

K

1016

58

x y32y

x

m n49n

m

P RRP

.100

5,1%5,1.

100

423%423.

100

75%75.

100

30%30

porcientoK:Léase%.%

100

K%:.

100

K :es esto%,

KporcentajedeSigno

KdondeDeK

100100

K :es Esto Q. de %

QKQK

225100

50045500

100

45 :es Esto 500. de %45

100100

KK :es Esto Q.de%

QKKQKelmásK

5,87

100

75505075

100

5050 :es Esto 75.de%5050

elmás

100100

XK :es Esto K. de %

KXKKXelmásK

42

100

30403030

100

4030 :es Esto 30.de%4030

elmás

100100

KK :es Esto Q.de%

QKKQKelmenosK

5,12

100

75505075

100

5050 :es Esto 75.de%5050

elmenos

100100

XK :es Esto K. de %

KXKKXelmenosK

36

100

60406060

100

4060 :es Esto 60.de%4060

elmenos

Para hallar el de

, se multiplica el

porcentaje expresado

en racional por el

número base ( )

%k

Q

Q


mapb

346

346

31. Precio de un artículo, según el número de artículos comprados y la cantidad de dinero

utilizado para la compra.

Con $200 se compra un número X de libros. El precio de cada libro es:

32. Costo, Venta, Ganancia y Perdida al comparar y vender un artículo.

La siguiente tabla muestra el costo, la venta y la ganancia obtenida sobre un artículo

Costo Venta Ganancia

500 700 200

De la tabla se puede observar, que la ganancia es la diferencia entre la venta y el costo:

La siguiente tabla muestra el costo, la venta y la pérdida producida sobre un artículo

Costo Venta Perdida

500 400 100

De la tabla se puede observar, que la pérdida es la diferencia entre el costo y la venta:

EJEMPLO

El cuádruplo de excede al triplo de en 9.

Solución:

….Cuádruplo de

….Cuádruplo de

Como el cuádruplo de x excede al triplo de x en 9, entonces: excede a en 9.

De donde:

EJERCICIOS

Exprese en el lenguaje Matemático las siguientes oraciones:

El 17 disminuido en 4.

El cuádruplo de 8.

La quinta potencia de 2.

La tercera parte de 12.

El exceso de 14 sobre 3.

La mitad de X.

El doble de 15.

X excede a 1 en 9. ¿Cuál es el valor de X?

Un tercio de 18.

9 aumentado en 3.

Las dos quintas partes de 10.

12 es a 16 como 96 es a 128

Las tres séptimas partes de K.

El doble de K excede a 17 en 8.¿Cuánto vale K?

La mitad de K equivale a la tercera parte de R.

El doble de X equivale a la tercera parte de X aumentada en 4.

X

200

toventaGananciadondeDeCostoVentaGanancia

cos:.500700200

ventatoPerdidadondeDeVentaCostoPerdida

cos:.400500100

x x

x4 x

x3 x

x4 x3

9934934 xxxxx


mapb

347

347

El cubo de K es igual al doble de K disminuido en 5.

La razón de los números 8 y 16

El cuádruplo de X excede al triplo de X en 9.

¿Cuál es el exceso de 342 sobre 149?

El doble de M excede al triplo de X en 2.

K y Q están en relación de 9 a 5

La suma de tres números pares consecutivos es 90

Las cinco novenas partes de 360.

La quinta parte de R excede al doble de R en Q.

El doble de K es a la tercera parte de R como 5 es a 1/4

El doble de K más el cuadrado de K excede a 5 en 2.

El doble de Y equivale al triplo de Y disminuido en 7.

El doble de R aumentado en 5 es igual al séxtuplo de R disminuido en 1.

La suma de dos números enteros consecutivos es igual a 9.

El doble de M es a la mitad de Q como el triplo de N es al cuadrado de R

La diferencia entre dos números pares consecutivos es 2

La suma de dos números impares consecutivos equivale a25.

La suma de tres números enteros consecutivos es igual a 6.

El duplo de X y el triplo de Y están en relación de 5 a 3

La suma de cuatro números enteros consecutivos es igual a 9.

7 veces el exceso de 45 sobre 25.

R veces el exceso de T sobre J.

El 54% de 54. El 36% de 750. El 110% de 20. El 250% de 500.

150 más el 60% de 550. 40 más el 50% de 40. L más el 10% de L.

900 menos el 80% de 1000. El X% de X. El Y% de Y.

70 menos el 40% de 70.

M menos el 25% de M.

Una persona tiene $500. Si cada día pierde el 10%, ¿cuánto tendrá después de 4 días?

Felipe tiene 120cm de estatura en el año 2008. Si cada año crece un 5%, ¿cuál será su estatura en

el año 2011?

Un comerciante compra un artículo en X pesos y lo vende en Y pesos, ganando Z pesos.

Un estudiante compra X número de cuadernos por $600. Halle el precio de cada cuaderno

Un agricultor compra una marañón en X pesos y lo vende en Y pesos, perdiendo Z pesos

NOTA Desarrolle las operaciones indicadas, si es posible.

La certeza en la solución de los ejercicios, viene dada por la correcta aplicación por parte

del alumno de los procedimientos indicados para cada caso. Por eso, este libro carece de

respuesta a los ejercicios propuestos.

La idea es involucrar a los educandos en el seguimiento lógico de los procesos matemáticos.


mapb

348

348

FÓRMULA

Una fórmula es una composición algebraica en donde intervienen varias magnitudes o

elementos que caracterizan un fenómeno natural, plenamente analizado y comprobado.

Las fórmulas nos permiten potencializar las leyes o principios de nuestra naturaleza.

Representar un evento natural a través de una expresión matemática, nos permite analizar

cada una de las variables que lo constituyen, para a sí, emitir juicios lógicos sobre el mismo y

predecir las posibles alteraciones que pueden presentarse.

La fórmula es la encarnización de los fenómenos naturales, objetivamente estudiados y

comprobados.

EJEMPLO

El siguiente fenómeno natural nos permite construir una expresión matemática(fórmula) que

lo represente: La distancia recorrida por un móvil es igual al producto de la velocidad por el

tiempo empleado para recorrer dicho tramo.

Análisis:

Las magnitudes o elementos esenciales del evento natural son: La distancia, la velocidad o

rapidez y el tiempo.

Llamemos:

Analizando el enunciado tenemos:

Fórmula

Las letras que intervienen o hacen parte de una fórmula se llaman(reciben el nombre) de

incógnitas. Así, en la fórmula: , las incógnitas son:

INCÓGNITA: Es una magnitud desconocida que se debe buscar en una igualdad

matemática.

Una fórmula es una igualdad que se establece entre las magnitudes que intervienen en

un evento natural

TiempotvciaDisd Velocidad..tan

tvd tyvd ,

tvd


mapb

349

349

FÓRMULAS MÁS USADAS POR LAS CIENCIAS

1. vtdex Distancia recorrida por un cuerpo a velocidad constante.

2.

t

vva 0 Aceleración constante.

3. R

va

2

Aceleración centrípeta.

4.

t

vvg 0 Aceleración de la gravedad.

5. T

w2

Velocidad angular.

6. ghv 2 Velocidad final de un cuerpo que se deja caer desde una altura h .

7. t

xv Velocidad media.

8. T

rv

2 Velocidad tangencial o lineal.

9. fVs Velocidad de propagación de una onda sonora. f Frecuencia.

10.

Cseg

tmvVs 0

0

010

6 Velocidad del sonido en función de la temperatura. metrosm

11. g

vhm

2

2

0Altura máxima que alcanza un cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba.

12. if xxx Desplazamiento horizontal.

13. fdd i

111

0

Ecuación de las lentes.

14. mgw Peso de un cuerpo.

15. V

md Densidad de un cuerpo.

16. dgVE Empuje de un liquido.

17. dghPP 12 Presión hidrostática.

18. A

FP Presión.

19. 2212 VPVP Ecuación de cambio de estado de un gas ideal.

20. RTPV n Ley de los gases ideales.

21. 15,273CK Grados kelvin.

22. 3259 CF Grados farenhey.

23. 2

2

221

2

11

22h

g

v

dg

Ph

g

v

dg

PEcuación de Bernoulli.

24. )( 22 rRA Área de una corona circular.

25. maF Segunda ley de Newton. m Masa del cuerpo.

26. 2

22 4

T

mR

R

mvFc

Fuerza centrípeta.

.

2

0

/8,9

.

.

radio

periodo

tiempo

r

T

segmg

t

incialvelocidadv

finalvelocidadv

tecons

volumen

masa

foco

objetociadis

finalposición

onddelongitud

n

V

m

f

d

X

a

f

tan

.tan0


mapb

350

350

27. 2

21

d

MGMF Fuerza de atracción gravitacional.

28. KXF Fuerza ejercida por un resorte. K Constante de elasticidad.

29.

222

2

0

22

0

2 mvmvmvmvEEE cicfc Energía cinética.

30. mghE p Energía potencial.

31.

mghmvmv

EEE pcT2

2

0

2

Energía total.

32. 2mcE Principal ecuación de la relatividad de Albert Einstein.

33. 2

2KX

pE Energía potencial elástica.

34. FdW Trabajo realizado por una fuerza.

35.

222

2

0

22

0

2 mvmvmvmvEEW cicf Trabajo en función de la masa y la velocidad.

36. 2

2FX

W Trabajo realizado por un resorte.

37. Fd Torque.

38. rRdF Ley de las palancas.

39.

vmP Cantidad de movimiento.

40. )1(0 tLL Dilatación.

41.

tm

QC Calor específico.

42. Asenwty Elongación.

43. gLT 2 Período de un péndulo.

44. t

nf

T

1Frecuencia.

45.

2

21

d

QQF Fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas.

46. Q

WV Potencial eléctrico.

47. I

VR Resistencia eléctrica.

48.

nRRRR

1111

21

Resistencia equivalente de un circuito e paralelo.

49. senRnsenIn 21 Ley de Snell.

50. 02 cbxax Forma de una ecuación de segundo grado.

51.

a

acbbx

2

42

Fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado.

52. 222 ryx Ecuación de una circunferencia de centro en el origen (0,0).

53. 2

12

2

12 )()( yyxxd Distancia entre dos puntos.

54. )( 11 xxmyy Ecuación de la recta punto pendiente.

ensidad

voltaje

asc

atemperaturdediferencia

dilatacióndetecons

iniciallongitud

fuerza

masas

I

V

QyQ

t

L

F

MyM

int

arg

tan

21

0

21


mapb

351

351

55. cbxaxf x2

)( Función cuadrática.

56. kf x)( Función constante. k Constante.

57. bmxf x)( Función lineal.

58. xf x)( Función idéntica.

59.

100

trCI Interés simple.

60. trC c )1( Interés compuesto.

61.

zyx

cba

z

c

y

b

x

aReparto proporcional entre tres personas.

62.

2

)1(2

2

)( rnnanuaS Suma de los términos de una progresión o sucesión aritmética.

63. rnau )1( Término n-ésimo de una progresión aritmética.

64.

1

)1(

1 r

ra

r

aruS

n

Suma de los términos de una sucesión o progresión geométrica.

65. 1nrau Término n-ésimo de una progresión geométrica.

66. )1()2)(1( nmmmmVA mnm

n Coordinaciones, arreglos o variaciones.

67. )1()3)(2)(1(! nnnnnPn Permutaciones.

68.

!

)1()2)(1(

n

nmmmm

P

AC

n

mn

mnm

n Combinaciones.

69. Abccba cos2222 Ley o teorema del coseno para el ABC oblicuángulo.

70. senC

c

senB

b

senA

ao

c

senC

b

senB

a

senA Ley o teorema de los seno, ABC.

71. 1cos 22 xsenx Identidad fundamental.

72. 2

bhA Área de un triángulo.

73.

2

)( hbBA Área de un trapecio.

74. bhA Área de un rectángulo.

75. 2lA Área de un cuadrado.

76. 2

DdA Área de un rombo.

77. 2rA Área de un círculo.

78. 22

PanlaA Área de un polígono regular.

79.

3602

22 rrA

Área de un sector circular.

80. cbaP Perímetro del ABC.

81. baP 22 Perímetro de un triángulo de lados ba , .

82. lP 4 Perímetro de un cuadrado de lado l .

83. drP 2 Perímetro o longitud de una circunferencia.

84. nlP Perímetro de un polígono regular.

85. rd 2 diámetro de una circunferencia.

aristaa

baseladeáreab

A

tecons

gradoenángulo

polígonoundeladosdenúmeron

menorndiagonal

mayordiagonal

lado

mayorbase

altura

base

d

D

l

B

h

b

tan1416,3


mapb

352

352

86. hrV 2 Volumen de un cilindro.

87. 3

2 hrV

Volumen de un cono.

88. 3

4 3rV

Volumen de una esfera.

89. hAV b Volumen de una pirámide.

90. 3aV Volumen de un cubo de arista, a .

91.

n

fxx

iiPromedio de una serie de datos.

PARA CADA UNA DE LAS FÓRMULAS ANTERIORES, IDENTIFIQUE LAS INCÓGNITAS

CÓMO DESPEJAR UNA INCÓGNITA

Despejar una incógnita, es dejarla sola en un miembro de la igualdad.

CASO 1.

TÉRMINOS O MAGNITUDES QUE SUMAN O RESTAN LA INCÓGNITA

Toda magnitud o término que sume o reste la incógnita, se pasa para el otro miembro a restar

o a sumar según el caso.

EJERCICIO

Dadas las siguientes fórmulas, despejemos las incógnitas indicadas:


mapb

353

353

ordenandoyincógnitalaasignoeleCambiándolatVV

signopropiosuconincógnitalaAislandoVatV

VDespejendo

VatVVDespejendo

VVdespejeatVVb

xkyydespejemosAhora

signoelecambiándol

miembrosegundoelparayaotranspuestpasadoHemosykx

esEstoxdespejemoskyxa

Solución

AAAdespejeAAAAhxdespejekxd

VVdespejeatVVgcbadepejecbaPc

zyxdespejezyxfVVdespejeatVVb

cadespejercaeyxdespejekyxa

T

....

..........

:

:

,:.)

3:

,)(......3

:.:.3)

:

,,:.):.2)

,:.),,:.)

,,:.8),:.)

,:.23),:.3)

0

0

0

0

00

321321

00

00

bapccbaP

capbbcaP

cbpaacbP

cbadepejecbaPc

,,:.)

Cuando la incógnita es negativa, a toda la expresión se le cambia el signo

, Léase: Entonces

Desarrolle los demás ejercicios

Toda magnitud o cantidad que cambia

de miembro, también cambia de signo


mapb

354

354

CASO 2.

MAGNITUDES O FACTORES QUE MULTIPLICAN LA INCÓGNITA

Toda magnitud o factor que multiplique la incógnita, pasa a dividir.

VEAMOS:

Despejemos las incógnitas indicadas:

Desarrolle los demás ejercicios

CASO 3.

COMBINACIÓN DE LOS CASOS 1 Y 2

Primero se aplica el caso 1, aislando todo el término que contiene la incógnita. Luego, se

aplica el caso 2.

EJERCICIO


w

VrrDespejendo

r

VwwDespejendo

rwdespejewrVe

incógnitalandomultiplicaestabaporque

kadividiramiembrosegundoalpasadohafactorElk

x

esEstoxdespejemosxdespejekxa

Solución

lndespejenlPhhbdespejebhAd

hBdespejeVBhgtadepejeVVatc

VdespejerVfydespejeQyb

rwdespejewrVexdespejekxa

:

:

,:.)

,2......2

:.::.2)

:

,:.),:.2)

,:.),:.)

:.43):.5)

,:.):.2)

0

3

2......3

62

min...623

:

,,:.623)

:

,,:.2),,:.223)

,:.2),:.)

,,:.524),,:.623)

221

22

00

casoelAplicandokyQ

x

incógnitalacontienequeotérelAislandokyQx

xDespejemos

kyxdespejeQkyxa

Solución

TgmdespejemgTTftqpdepejeRtqpc

hgdespejeVghVetadepejeVatVb

cbadespejecbapdkyxdespejeQkyxa


mapb

355

355

.........................................Desarrolle los demás ejercicios

CASO 4. EL INVERSO DEL CASO 2

MAGNITUD(ES) QUE DIVIDE(N) LA INCÓGNITA

Todo magnitud que divide la incógnita, pasa a multiplicar.

EJERCICIO


. Despejemos:

Despejando ….Las magnitudes pasaron a multiplicar, por eso,

aparecen en el numerador de la fracción.

Despejando

.............................................................desarrolle los demás ejercicios

2......6

23

min...236

:

.2......2

63

min...632

:

casoelAplicandoyxQ

x

incógnitalacontienequeotérelAislandoyxQk

kDespejemos

casoelAplicandokxQ

y

incógnitalacontienequeotérelAislandokxQy

yDespejemos

incógnitaladividiendoestabaporque

rmultiplicaamiembrootroalpasadohafactorElpx

esEstoxosdespejejempx

a

Solución

mdespejer

mvFhpmdespeje

Qt

p

nh

md

fdespejed

fgkxdepeje

p

k

y

xc

VdespejeVt

xfadespejer

w

ab

BAdespejeb

B

a

Aexdespejep

xa

,3......3

:..3

)

:

:.),:.)

:.1),:.)

:.):.)

,:.72

):.3

)

2

2

t

p

nh

m

Q pym

:mt

pnhm

Q hyn

:pnh

tmp

Q


mapb

356

356

CASO 5.

CUANDO LA INCÓGNITA ESTÁ EN EL DIVISOR(DENOMINADOR) DE UNA

IGUALDAD RACIONAL

PROCEDIMIENTO:

a) Se multiplica en cruz, para eliminar los denominadores.

b) Se aplican los casos anteriores.

EJERCICIO

desarrolle los demás ejercicios.

CASO 6.

CUANDO LA INCÓGNITA ESTÁ ELEVADA A UN EXPONENTE MAYOR QUE LA UNIDAD

PROCEDIMIENTO:

a) Se selecciona el término que contiene la incógnita, tal cual como está.

b) Se aísla la incógnita con su propio exponente, aplicando los casos anteriores.

c) Se extrae raíz en ambos miembros de la igualdad, colocando como índice el

exponente de la incógnita. Luego, se saca la incógnita de la raíz dejando el segundo

miembro bajo el signo radical

EJERCICIO

A

BAb

casoelAplicandoaB

Ab

cruzenndoMultiplicaBaAb

esEstobaosdespejejemb

B

a

Aa

Solución

rdespejer

mvFhtQhndespeje

Qt

p

nh

md

badespejeb

SenB

a

SenAgpydepeje

p

k

y

xc

tdespejeVt

xfddespeje

d

xVb

badespejeb

B

a

Aebadespeje

b

B

a

Aa

2...........................

...........................

:.,.)

:

:.),,,:.)

,:.),:.)

:.):.)

,:.72

),:.)

2

2

xaVVdespejeaxVVhrdespejerVd

tadespejeatxgrwdepejerwac

yuzdespejepyuzfVVdespejeaxVVb

hrdespejehrVecbadespejebaca

,,,:.2):.43)

,:.2),:.)

,,:.4283),:.2)

,:.),,:.)

0

2

0

23

22

23

0

2

0

2

2222


mapb

357

357

.............

............

min.....

:

.............

............

min.....

:

....

2exp

,....

,,,

:

,,:.)

:

2222

222

222

2222

222

222

22

222

222

incógnitalaacuadradaraízleExtrayéndoacbbac

miembrosambosencuadradaraízExtrayendobac

incógnitalacontienequeotérelndoSeleccionabac

bDespejando

incógnitalaacuadradaraízleExtrayéndobcaabc

miembrosambosencuadradaraízExtrayendoabc

incógnitalacontienequeotérelndoSeleccionaabc

aDespejando

radicalsignoelbajo

miembrootroeldejandoyincógnitalaacuadradaraízleExtrayéndobac

esincógnitaladeonente

elporqueigualdadlademiembrosambosencuadradaraízExtrayendobac

hacerlodenecesidadhaynoesoporaisladaydaseleccionaestáyacincógnitaLa

cDespejando

cbadespejebaca

Solución

radicalsignoelbajo

miembrootroeldejandoyincógnitalaacúbicaraízleExtrayéndoyup

z

esincógnitaladeonente

elporqueigualdadlademiembrosambosencúbicaraízExtrayendoyup

z

incógnitalaaislandoyup

z

incógnitalacontienequeotérelaislandoyupz

incógnitalacontienequeotérelndoSeleccionapyuz

zDespejando

yuzdespejepyuzf

.....3

284

3exp

,.......3

284

.......3

2834

min....2843

min.......4283

:

,,:.4283)

3

2

3

23 3

23

23

23

23


mapb

358

358

............................................................Desarrolle los demás ejercicios.

CASO 7. EL INVERSO DEL CASO 6.

CUANDO LA INCÓGNITAESTÁ BAJO UN SIGNO RADICAL

PROCEDIMIENTO:

a) Ambos miembros se elevan a la potencia que indique el índice.

b) Se desarrolla la potencia y se extrae raíz .

c) Se aplican los casos anteriores.

EJERCICIO

………………………Desarrolle los demás ejercicios

2

834

?......8342

?......4283

:

?........8

234

?...........8

234

?........8

234

?.......2348

?.......4283

:

23

23

23

23

232

232

32

23

uzpy

uzpy

pyuz

yDespejando

yzpu

yzpu

yzpu

yzpu

pyuz

uDespejando

xaVdespejeaxVVhVdespejeV

rd

tadespejem

FrVgXLdepeje

X

LVc

yxdespejeryxfzxdespejezxkb

aydespejea

ytexadespejeaxVa

,,:.2):.4

3)

,:.),:.)

,:.),:.4)

,:.2

),:.2)

0

2

03

223 2

2..................................................3

4

.4..................................................43

.....................................................4

3

3,.........................................4

3

.4

3

3

3

3

3

33

3

Casor

V

CasorV

potenciasndoDesarrollaV

r

esíndiceelporquecuboalmiembrosambosElevandoV

r

VdespejemosV

r

NOTA:

Cuando el exponente coincide con el

índice, el signo radical desaparece y las

cantidades salen tal cual como están


mapb

359

359

CASO 8.

CUANDO LA INCÓGNITA ES UN EXPONENTE

PROCEDIMIENTO:

a) Se aplica logaritmo en ambos miembros de la igualdad. Log, para logaritmo en base

10 y Ln, para logaritmo natural (La base es )

b) Se aplican las propiedades de los logaritmos.

c) Se aplican los casos anteriores que sean necesarios.

EJERCICIO

......................DESARROLLE LOS DEMÁS EJERCICIOS

e

LnQ

Lnt

LnQ

Lnt

LntLnQ

miembrosambosenebasenaturalaritmoAplicandoLnLnQ

tdespejemosQd

CasoLog

Logx

Log

Logx

LogLogx

LogLog

xdespejeg

CasoLog

LogYx

potenciaunadearitmoplicandoLogxLogY

miembrosambosenbasedecimalaritmoAplicandoLogLogY

xdespejemosYa

Solución

ndespejeBEAjxdespejee

lndespejeWitdespejeQd

tdespejeKEYhndepejeraUc

xdespejegxdespejeKb

tdespejerPCfxdespejeYa

ee

e

e

e

ee

t

t

x

x

x

x

x

tt

tn

xx

tx

A

n

44

?....................4

)(log......................

:.)

1.....................13

729

?........................3

7291

?..............7293)1(

?................73

:.73)

2.....................2

log

)10(log...............

:.)

:

:.):.603)

,:.):.)

:.):.)

:.73):.)

:.)1():.)

4

4

1

1

24

51

14

29

29

...............2

2

2

293

2

4


mapb

360

360

REPASO

LOGARITMACIÓN

Operación inversa a la potenciación.

Veamos:

Potenciación Logaritmación

Ejemplos

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. LOGARITMO DE UN PRODUCTO

2. LOGARITMO DE UN COCIENTE

3. LOGARITMO DE UNA POTENCIA

4. LOGARITMO DE UNA RAÍZ

PnK nPk

Log

481:.81433

LogEntonces

510

25,4:.25,4

:.5

rentoncesrLog

eKEntoncesLnK

Bk

LogAk

LogBAk

Log )(

Bk

LogAk

LogBAk

Log )(

Ak

LognnAk

Log

n

Mk

Logn M

kLog

Exponente

Base

Potencia

Base

Potencia

Logaritmo

naturalaritmoLn log


mapb

361

361

EJERCICIOS DIVERSOS

x

t

yx

kt

VlxRPdespejePRKf

Rkdybudespejed

z

c

y

b

x

a

ue

xdespejeKAjzyxdespejeD

z

B

y

A

xd

yxdespejeQKipnmdespejepnm

c

ktdespejeShRMKdespejeMKR

b

LGPdespejeL

G

PQgFQKdespeje

FQKa

x

x

e

e

2

52

425

37

35

4),,:.2)

),,,:.)

:.),,:.)

,:.),,:.754

)

,:.),,:.532

)

,,:.1

),,:.111

)

3

2...............................................)(

.............................).........()(

.......................

.....................

:

,,:.)

..........................

.2............................

,minlim....................)(

tanRe..............1

1............min............111

:

,,:.111

)

:

casoDB

zyAx

dofactorizanyndosimplificazyADBx

cruzenndomultiplicaAzAyAxDxBxAx

igualesrazonesdeserieladelfundamentapropiedadDBA

zyx

A

x

xDespejemos

zyxdespejeD

z

B

y

A

xd

DespéjelasFyQdespejaseformamismalaDe

casoFQ

QFK

cruzenndomultiplicaadoresdenoinandoEQFFQK

miembrosegundoelenosheterogéneracionaleslosdosQF

FQ

K

casoincógnitalacontienequeotérelAislandoQFK

KDespejando

FQKdespejeFQK

a

Solución


mapb

362

362

................................................................Desarrolle los demás ejercicios

PROPORCIONALIDAD RAZÓN MATEMÁTICA

Se entiende por razón matemática a la relación que se establece entre dos magnitudes. Esta

relación se expresa a través de una división indicada.

La razón que existe entre los números 4 y 8, se expresa a sí: 4 a 8 o 4:8, léase: 4 es a 8. Se

indica:

La razón que existe entre la parte coloreada de la figura y las partes en que se ha dividido la

misma, es 2 a 5.

En la razón

LogQ

LogKxyy

LogQ

LogKx

LogK

LogQyx

LogK

LogQyx

LogQyLogKx

LogQLogK

xDespejemos

yxdespejeQKi

zDespejar

casoDA

zxBy

dofactorizanyndosimplificazxBDAy

cruzenndomultiplicaBzByBxDyByAy

igualesrazonesdeserieladelfundamentapropiedadDBA

zyx

B

y

yespejemosAhorad

yx

yx

3

73

7

7

337

37

:

,:.)

.

2...............................................)(

.............................).........()(

.......................

.....................

:

37

37

8

4

5

2

uenteconelbyeantecedentelesab

asec,,


mapb

363

363

PROPORCIÓN

Se entiende por proporción a la igualdad entre dos razones.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar la una, la otra también

aumenta en la misma proporción.

EJEMPLOS de magnitudes directamente proporcionales:

El # de artículos y el precio que se paga por ellos, son directamente proporcionales.

La distancia y el tiempo, son directamente proporcionales

La distancia y la velocidad, son directamente proporcionales.

El peso y la masa, son directamente proporcionales.

El área y las dimensiones de una figura plana, son directamente proporcionales, etc.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES DIRECTAMENTE

PROPORCIONALES

El gráfico 1 representa dos magnitudes directamente proporcionales, la gráfica es una línea

de puntos que pasa por el origen del sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares

El gráfico 2 representa dos magnitudes directamente correlacionadas, en este caso la línea de

puntos no pasa por el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Esto muestra que

aunque ambas magnitudes aumentan no lo hacen en la misma proporción

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Expresión matemática que resulta de comparar dos magnitudes directamente proporcionales.

EJEMPLO 1.

Cuatro naranjas cuestan $12, ¿cuántas naranjas se compran con $850?.

Solución:

A más naranjas, más dinero se paga por ellas.

daesccomobaesaléased

c

b

a

aescomoaesléase

:

6432:6

4

3

2

2

Representa dos magnitudes

directamente correlacionadas

0 x

y

1


directamente proporcionales

t

d


mapb

364

364

PLANTEAMIENTO

Al plantear una regla de tres, las unidades se escriben de tal forma que se correspondan. En

este caso, naranja debajo de naranja y costo debajo de costo

Con $850 se compran 283,33 naranjas.

EJEMPLO 2.

Un Km tiene 1000m. En 4,58Km, ¿cuántos m hay?

Solución:

A más Km, más m.

EJERCICIOS

a) Un año tiene 365 días, en 2005 días, ¿cuántos años hay?.

b) Una fotocopiadora reproduce 250 hojas cada minuto. ¿Cuántas hojas sacará en 10

horas?. c) Un vagabundo cobra $854 por cada Kg de carga. Por transportar 5362 Kg al mismo

destino; ¿cuánto cobrará?.

d) Un cilindro contiene 100 litros de agua, cuando el liquido alcanza 20cm de altura.

Cuando el nivel del agua baja 12cm de altura, ¿qué cantidad de agua contendrá?.

e) Un metro tiene 1000 milímetros. En 45600 milímetros, ¿cuántos metros hay?.

naranjasx

x

x

33,28312

)850(4

)850(412

850

124

mxx

x

mKm

45801

)1000(58,41000

58,4

1

58,4

10001

ANÁLISIS:

1. Se escribe la magnitud que contiene la incógnita en

forma de fracción tal cual como está.

2. Después del signo igual, se escribe la otra magnitud

como está

3. Se multiplica en cruz, para eliminar los denominadores

4. Se despeja la incógnita y se desarrollan las operaciones

indicadas

850

124

x

CostoNaranjasRegla de tres simple directa

, naranjas que se compran con $850 x

FORMA ABREVIADA: El término que va con

la incógnita pasa a dividir(divisor) y los otros, se

multiplican en el numerador(dividendo)

La incógnita se relaciona diagonalmente con

una magnitud o cantidad

mx 45801

)1000(58,4


mapb

365

365

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar la una, la otra disminuye en

la misma proporción.

EJEMPLOS de magnitudes inversamente proporcionales:

El # de Obreros y el tiempo empleado para realizar una obra, son inversamente

proporcionales.

La velocidad y el tiempo, son inversamente proporcionales.

La masa y la aceleración, son inversamente proporcionales.

El flujo de agua y el tiempo empleado para llenar un recipiente, son inversamente

proporcionales.

La densidad y el volumen de un cuerpo, son inversamente proporcionales.

La fuerza de atracción y la distancia que separa dos cuerpos, son inversamente

proporcionales.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES INVERSAMENTE

PROPORCIONALES

El gráfico 1 representa dos magnitudes inversamente proporcionales, la gráfica es una línea

de puntos que decrece(disminuye).

El gráfico 2 representa dos magnitudes inversamente correlacionadas, en este caso la línea

de puntos es una curva. Esto muestra que cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye,

pero no en la misma proporción

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Expresión matemática que resulta de comparar dos magnitudes inversamente proporcionales.

EJEMPLO 1

12 Obreros realizan una obra en 20 días, ¿cuántos Obreros se necesitan para hacer la misma

obra en 10días?.

Solución:

A más Obreros, menos días empleados para culminar(terminar) la obra.


inversamente proporcionales

t

v

1

0


inversamente correlacionadas

2

0 x

y


mapb

366

366

PLANTEAMIENTO

Se necesitan 24 Obreros para realizar la obra en 10 días.

EJEMPLO 2.

Se contrataron cinco alumnos para pintar un salón de clase en 15 días. Si dos alumnos

deciden no hacer el trabajo, ¿cuántos días se gastarán los demás alumnos?.

Solución:

A más alumnos pintando, menos días empleados para pintar el salón.

EJERCICIOS

a) Una cuadrilla de 7 obreros puede hacer una obra en 8 días. ¿En cuántos obreros habría

que aumentar la cuadrilla para hacer la misma obra 5 días?

b) Una persona gasta 3 horas en recorrer una distancia a 15 Kilómetros por horas. ¿En

cuánto tiempo recorrerá la misma distancia a una velocidad de 6,8 Kilómetros por

horas?

c) 5 profesores gastan 650 litros de agua. ¿Cuántos profesores se necesitan para

consumir 900 litros de agua?

d) En un criadero de cerdos hay alimento para 200 animales durante 4 meses. ¿Cuántos

cerdos hay que sacar para que el alimento dure 9 meses?

e) Para hacer una obra, un grupo de obreros tarda 9 días trabajando 5 horas diaria.

¿Cuántos días hubieran empleados trabajando una hora diaria menos?

f)

Obrerosx

x

x

.2410

)20(12

)20(1210

20

1012

díasx

xx

x

DíasAlumnos

25

3

75

3

)15(5

)15(5315

5

3

3

155

ANÁLISIS:

1. Se escribe la magnitud que contiene la incógnita en

forma de fracción tal cual como está.

2. Después del signo igual, se escribe la otra magnitud

invirtiendo las cantidades.

3. Se multiplica en cruz, para eliminar los denominadores

4. Se despeja la incógnita y se desarrollan las operaciones

indicadas

Regla de tres simple inversa

, Obreros que se necesitan x

10

2012

x

DíasObreros

FORMA ABREVIADA: El término que va con

la incógnita pasa a dividir(divisor) y los otros, se

multiplican en el numerador(dividendo)

La incógnita se relaciona horizontalmente con

una magnitud o cantidad

díasx 253

75

3

)15(5

Como 2 alumnos se

retiraron, el salón fue

pintado por 3 estudiantes


mapb

367

367

REGLA DE TRES COMPUESTA

Expresión matemática que resulta de comparar más de dos magnitudes directamente

proporcionales, más de dos magnitudes inversamente proporcionales o magnitudes directas e

inversamente proporcionales.

EJEMPLO 1

20 alumnos se alimentan con 600kg de comida durante 15 días, ¿Durante cuánto tiempo se

alimentaran 12 alumnos con 1200kg de comida?.

Solución:

A más alumnos, el alimento alcanza para menos días y a más días, más alimento.

EJEMPLO 2.

5 secretarias escriben 11 cartas en 4 horas. ¿Cuántas cartas escribirán 10 secretarias en 6

horas?.

Solución:

x

DíaskgAlumnos

120012

1560020

díasxx

xx

507200

360000

7200

)24000(15)24000(157200

24000

720015

1200

600

20

1215

cartasxluegoxx

x

HorasCartasSecret

3320

660

20

)60(11:,

60

2011

6

4

10

511

610

4115

.

ANÁLISIS:

1. Se escribe la magnitud que contiene la incógnita en forma de fracción tal cual como está.

2. Se compara cada magnitud con la que contiene la incógnita

3. Después del signo igual, se escriben las demás magnitudes teniendo en cuenta lo siguiente:

Si son directamente proporcionales, se escriben las cantidades como están.

Si son inversamente proporcionales, las cantidades se invierten

4. Se realizan las operaciones indicadas y se despeja la incógnita.


mapb

368

368

EJERCICIOS

a) 4 obreros hacen 300 metros de construcción en 24 días, ¿en cuántos días 10 obreros

harán 500 metros?.

a) Durante 8 días 5 profesores gastan 650 litros de agua.¿Cuántos profesores se necesitan

para consumir 900 litros en 10 días?.

b) Una familia de 8 personas consume 48 m 3 de agua en un mes. Si las condiciones de

consumo individual son las mismas, una familia de 15 personas, ¿qué cantidad de

agua consume durante 50 días?.

c) Una persona tarda 12 días en la lectura de un libro de 450 páginas, leyendo

diariamente 25 minutos. Si dispone de 20 días para leer un libro de 200 páginas, ¿qué

tiempo debe dedicar diariamente a la lectura?.

ESCALAS MATEMÁTICAS

Es comprensible, que si deseamos representar una distancia de 3km (3 kilómetros) en una

hoja de papel que mide 20cm (20 centímetros) de largo por 10cm (10 centímetros) ancho, al

tratar de dibujar esta realidad en la hoja, la distancia no cabría dentro de la misma, y en su

efecto necesitarían muchas hojas de este tamaño (20x10) para cumplir con la tarea. El

procedimiento que nos permite hacer el trabajo en una sola hoja, recibe el nombre de ESCALA

(dibujo a escala).

Para nuestra distancia involucrada (3km), supongamos que 1cm equivale a 1km

(1cm 1km), o sea, 1cm en el dibujo representa 1km de distancia en la realidad, de igual

forma, 2cm 2km y 3cm 3km. Con estas consideraciones, grafiquemos nuestra distancia:

Este es un dibujo a escala, porque está representando una realidad grande con una figura

pequeño.

CONCEPTO

Se puede entender una escala matemática, como el procedimiento que permite seleccionar un

factor que ayude a representar la realidad (que es muy grande o muy pequeña) en función de

elementos (dibujos a escalas) que se puedan manipular y comprender fácilmente, haciendo

uso de las proporciones como operación.

CIENCIAS QUE SE BENEFICIAN DE LAS ESCALAS

Son muchas las ciencias que se apoyan en las escalas para justificarse, entre estas podemos

citar:

LA CARTOGRAFÍA (Arte de hacer mapas) en las ciencias sociales, se apoya en un

100% en las escalas matemáticas al momento de representar los ríos, montañas, llanuras,

cordilleras, volcanes, lagos, mares, océanos, las líneas imaginarias de la tierra, entre

otras…

En esta ciencia, la mayoría de las escalas son gráficas:

1c

m 1km

1c

m 1km

1c

m 1km

1c

m

1km

2c

m

2km

3c

m

3km 0


mapb

369

369

LA ASTRONOMÍA, a la hora de recrear los planetas, el sol, los cometas, las galaxias, las

estrellas, las distancias que separan los cuerpos celestes, entre otros…

LAS CIENCIAS NATURALES, al representar las plantas, animales, ecosistemas, los

macro y micro organismos, entre otros…

LA ARQUITECTURA Y ALGUNAS INGENIERÍAS, todo tipo de plano que represente

la realidad está hecho a escala. Para estas disciplinas existen escalas prediseñadas, que

permiten estandarizar la lectura de planos, las más comunes son: 1:100, se representa

y significa que 1cm en el plano (hoja) representa 100cm = 1m en la realidad. De igual

forma: 1:120, 1:125, 1:150, 1:175, 1:500, 1:1000, 1:1500, 1:100000, entre

otras… Estas escalas son numéricas. 1:100, léase 1 es a 100.

Como las escalas se pueden expresar en forma de fracción (lo que realmente son), es

posible identificar entres varias escalas la de mayor y menor tamaño. El siguiente cuadro

ilustra la situación

Estableciendo la relación de orden:

10000

1

1500

1

1000

1

500

1

175

1

150

1

125

1

120

1

100

1 . De igual forma:

0001,000066,0001,0002,00057,00066,0008,00083,001,0

ESCALA

FORMA DE

FRACCIÓN O RAZÓN

FORMA

DECIMAL

1:100

0,01

1:120

0,0083

1:125

0,008

1:150

0,0066

1:175

0,0057

1:500

0,002

1:1000

0,001

1:1500

0,00066

1:10000

0,0001

En la primera escala: 1cm representa 20Km. En la segunda escala: 1cm

representa 50Km.

En la tercera escala: 1cm representa 100Km.

0

1c

m

20 60km 40 0

1c

m

50 150k

m 100

0 100 300km 200

Al presentar un dibujo a

escala, debe indicarse la

misma, para que el lector

pueda comprender

fácilmente las condiciones

reales.

Entre más grande sea la

estructura o realidad a

representar, más pequeña

debe ser la escala.

Cuando se comparan

fracciones de igual

numerador, mayor es la que

tiene menor denominador.


mapb

370

370

EN GENERAL:

Si NZk , o sea, k es un número entero positivo, entonces, las expresiones:

...,:4,:3,:2,:1 kkkk son escalas.

Veamos:

2:100, esta escala muestra que 2cm equivale a 100cm en la realidad.



Y QUE DECIR DE LAS MATEMÁTICAS, que se encarga de exponer las escalas, sin

ellas le sería imposible recrear, manipular, estimar y predecir la realidad. Para estas áreas

citadas, las escalas son imprescindibles.

ACTIVIDAD:

Identifica en tú entorno 3 situaciones diferentes a las citadas en donde se hayan utilizado

escalas.

CÓMO CONSTRUIR UNA ESCALA

No existe una fórmula mágica que permita escoger (elaborar) las escalas matemáticas, de ahí,

que el querer (lo que yo quiero, mi propia escala…) e interés de la persona es muy

importante. No obstante, las pautas que a continuación se describen pueden ser de gran

ayuda:

Se identifican las dimensiones reales del objeto a representar.

Se suman las dimensiones, para crearse una idea del tamaño total, esto permite comparar

el espacio (hoja) a utilizar para la representación… En ocasiones, esta suma sirve para

estimar la escala. Es usual que se elija una escala prediseñada (ya existente), la mayor de

las dimensiones también se puede tener en cuenta a la hora de seleccionar la escala.

Cuando el primer término de la escala no es la unidad o el término escogido para

construir la misma es mayor que la unidad, se establece la razón entre la medida de la

representación y la medida de la realidad. Para convertir el numerador a la unidad, ambos

términos se dividen por el numerador de la razón.

Veamos:

Si la escala es 4:4000, entonces: 1000

1

4000

4

44000

44

. O sea: 4:4000 1:1000.

Si la escala es 12000

5. Entonces: 2400:1

2400

1

12000

5

512000

55

EJEMPLO 1.

Las dimensiones de un terreno rectangular miden 130m, 150m y 200m.

a) Tracemos un dibujo a escala del terreno.

b) Hallemos el área del terreno.

c) Si el metro cuadrado (1m2) cuesta $50,75; ¿cuánto se debe pagar por el terreno?


mapb

371

371

Solución:

a) El procedimiento que nos permite representar la realidad expuesta en una hoja de papel,

recibe el nombre de dibujo a escala.

Tomemos 1:1500 como escala, o sea, 1500cm de la realidad es representado en la hoja

por 1cm. Entonces:

Para: 130m = 13000cm:

Escala

Dibujo (cm) Realidad (cm)

1

x

1500

13000

Para: 150m = 15000: cmx 10

1500

15000

1500

150001.

Para: 200m = 20000: cmx 13,3

1500

20000

1500

200001.

DIBUJO:

Escala

Dibujo (cm) Realidad (cm)

1

8,5

1500

X

El área real del terreno es: 25,95622

19125

2

5,127150

2m

alturaBase

c). Como 1m2 cuesta $50,75; los 9562,5m

2 valen: 87,485296$75,505,9562 .

EJEMPLO 2.

Se estima que la población del continente americano es de 840´000.000 millones de

habitantes. Si toda la población se pudiera reducir 200 habitantes de un pueblo,

determinemos:

a) ¿Cuántos habitantes del pueblo le tocaría a Colombia que tiene 42´000.000 millones de

habitante?

b) ¿Cuántos habitantes del pueblo le correspondería al departamento del Chocó que tiene

500.000 habitantes?

c) ¿Cuál será la población real de un país del continente que tendría 30 habitantes del

pueblo?

Solución:

Como se trata de recrear una realidad en función de una cantidad pequeña, el problema nos

conduce a una escala. Para establecer la misma, solo debemos expresar en forma de razón

cmx 8,6

1500

13000

1500

130001. O sea, este es

el valor que le corresponde a 130m en el dibujo.

8,6cm

10cm

13,3cm

h = 8,5cm

b) Para hallar el área del terreno:

Con una regla graduada, medimos

una de las alturas del triángulo, en el

dibujo h = 8,5cm.

Haciendo uso de la escala 1:1500,

determinemos el valor real de la

altura.

mcmx 127,5

127501

15005,8. Este es

el valor real de la altura del terreno.


mapb

372

372

(fracción) las dos cantidades involucradas, ubicando la representación en el numerador,

preferiblemente. Esto es:

.000.200.4

1

000.000.84

200

americaPoblación

puebloPoblación Es decir: 1:4´200.000. Esta es la escala a

utilizar, significa, que una (1) persona que se tome del pueblo representa 4´000.000 personas

de toda la población americana. Entonces:

a) Para Colombia que tiene 42´000.000 habitantes:

Escala

Población

pueblo

Población

americana

1

k

4´200.000

42´000.000

b) Para el Chocó que tiene 500.000 habitantes:

Escala

Población

pueblo

Población

americana

1

k

4´200.000

500.000

c) Para un país del continente que tenga 30 personas del pueblo, la población real es:

Escala

Población

pueblo

Población

americana

1

30

4´200.000

k

EJEMPLO 3.

El gráfico muestra un segmento de plano de una casa. Identifiquemos la escala utilizada.

De igual forma:

.100:1100

1

100

1

5

5.100:1

100

1

100

1

3

3escala

cm

cm

m

cmescala

cm

cm

m

cm

Como se puede observar, en todo el plano se utilizó la misma escala.

10000.2004́

000.000´42k habitantes del pueblo, significa

toda la Población de Colombia se reduciría a este número.

11,0000.2004́

000.500k habitantes del pueblo. Como se puede

observar, la población del Chocó no es representada por

ninguna

persona del pueblo, porque no se puede tener 0,11 personas.

Bajo las perspectiva de esta escala, el Chocó no tiene

representación

000.000´1261

000.2004́30

k habitantes

Solución:

El tramo AB mide 4m, que en el dibujo es

representado por 4cm. Entonces:

escalacm

cm

m

cm

m

cm100:1

100

1

100

1

1

1

4

4

4m 1cm

m

3m 5m

Alcob

a Sala

A

B


mapb

373

373

EJERCICIOS

1. Las dimensiones de un terreno triangular miden 80m, 100m y 120m.

a) Trace un dibujo a escala del terreno.

b) Halle el área y el perímetro del terreno.

c) Si el metro cuadrado cuesta $90,65; ¿cuánto dinero se paga por el terreno?.

2. Colombia tiene aproximadamente 42´000.000 millones de habitantes. Si esta población se

reduce a una vereda de 200 habitantes:

a) ¿Cuántos habitantes de la vereda le corresponde a Bogotá que tiene 8´000.000

millones de personas?

b) ¿Cuál será la población de un departamento que tiene 20 habitantes de la vereda?

3. El gráfico muestra el plano de una vivienda. Identifique la escala o escalas utilizadas.

4. Identifique la escala utilizada en la elaboración del siguiente plano.

5. Haz una representación gráfica del plano de tú casa, toma las dimensiones con un metro,

regla u otro elemento, e identifica las escalas utilizadas.

20m

60m

1cm

m 6,5m Alcoba

Baño

Sala comedor

AYUDA: Mide la distancia del

lado PQ y compara esta longitud

con los 10m que en realidad

mide PQ

10m Alcob

a

Alcoba Sala comedor

P

Q


mapb

374

374

SISTEMAS DE MEDIDAS

RESEÑA HISTÓRICA

Desde que el hombre apareció en la tierra, siempre se preocupo por medir los objetos que

utilizaba a diario. Esta necesidad lo llevo a idear diferentes formas de medir: La longitud, la

masa, el volumen, el área y el tiempo (desgaste de los objetos o durabilidad)

Para la longitud utilizo: Los dedos, la palma de las manos, los pies, los brazos, pedazos de

palos y cualquier elemento que le sirviera para tal fin.

Para la masa: conchas, granos, piedras y cualquier objeto que le sirviera para comparar las

masas de dos cuerpos.

La duración de la jornada laboral, también fue una necesidad sentida del hombre, por eso

diseño diferentes formas de medir el tiempo. Para el tiempo utilizó: La sombra de los árboles

y de las personas, los pétalos de las flores, el canto de las aves, el comportamiento de los

animales, relojes de arenas entre otros; hasta llegar a los sofisticados relojes que hoy miden

el tiempo.

La dificultad radicaba, en que cada pueblo tenía su propio sistema de medidas, y las

unidades(cantidades) variaban demasiado de una comunidad a otra , esto frenaba el

intercambio comercial entre las regiones.

Para facilitar el intercambio comercial entre los pueblos, se creó el SISTEMA

INTERNACIONAL DE MEDIDAS(S.I.M.). En este curso estudiaremos el S.I.M. y otros sistemas

de medidas.

MEDIDAS DE LONGITUD

EL METRO

El Metro es la unidad patrón o fundamental de las medidas de longitud.

El Metro se utiliza para medir: La distancia entre dos pueblos, el largo de un salón, el

ancho de una cancha de fútbol, la estatura de una persona, la profundidad de el océano, el

largo de un rio, la distancia entre la tierra y la luna, etc.

El Metro se simboliza con la letra . Generalmente se utiliza la letra

moM m


mapb

375

375

Gráfica de un pedazo de metro

1 2 3

Cada división del metro recibe el nombre de milímetro(mm). Así, un metro tiene

1000 mm.

Cada 10 divisiones del metro recibe el nombre de centímetro(cm). Entonces, un metro tiene

100cm.

Cada 10cm del metro recibe el nombre de decímetro(dm).

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO

M

ú

l

t

i

t

p

l

o

s

Nombre

Símbolo

Equivalencia en Metros

Yottámetro Ym

Zettámetro Zm

Exámetro Em

Pentámetro Pm

Terámetro Tm

Gigámetro Gm

Megámetro Mg

Miriámetro Mm

Kilómetro km

Hectómetro Hm

Decámetro Dm

U.P METRO m 1m = 100m

S

u

b

m

ú

l

t

i

p

l

o

s

Decímetro dm

Centímetro cm

Milímetro mm

Micrómetro um

Nanómetro nm

Picómetro pm

Femtómetro fm

Attómetro am

Zeptómetro zm

Yoctómetro ym

mmmseaO 10001:

cmmseaO 1001:

dmmseaO 101:

m2410

m2110

m1810

m1510

mm 000.000.000.000.11012

mm 000.000.000.1109

mm 000.000.1106

mm 000.10104

mm 000.1103

mm 100102

mm 10101

mm 1,010 1

mm 01,010 2

mm 001,010 3

mm 000001,010 6

mm 000000001,010 9

mm 010000000000,010 12

m1510

m1810

m2110

m2410

patrónunidadPU .

milímetros centímetros


mapb

376

376

CONVERSIÓN DE UNIDADES

PROCEDIMIENTO:

1. Se ubica el número dado en la unidad correspondiente.

2. Sí vamos de una unidad mayor a otra menor, se corre la coma de izquierda a derecha

tantos espacios como existan entre las dos unidades involucradas. Al número que resulta,

se le coloca la unidad exigida.

3. Sí vamos de una unidad menor a otra mayor, se corre la coma de derecha a izquierda

tantos espacios como existan entre las dos unidades involucradas. Al número que resulta,

se le coloca la unidad exigida.

EJEMPLOS:

a. Expresemos 2345,12m en km.

b. Expresemos 0,254km en cm.

c. Expresemos 52Hm en mm.

d. Llevemos 356cm a km.

Solución:

Consideremos la siguiente tabla.

De mayor a menor, bajamos. De menor a mayor, subimos.

Mm

km

Hm

Dm

m

dm

cm

mm

El procedimiento mostrado es muy útil

para las unidades que aparecen en la

tabla, porque se diferencian en 10

veces una de otra(la inmediatamente

superior es 10 veces la inferior).

Para las demás unidades, se hace

necesario aplicar una regla de tres

simple directa.

D

e

m

a

y

o

r

a

m

e

n

o

r

D

e

m

e

n

o

r

a

m

a

y

o

r


mapb

377

377

NOTA 0Jooooo

Los espacios vacios se llenan con ceros(0).

Cuando la coma no se ve, la misma se ubica después de la última cifra

Sí delante de la coma no queda ningún número, se escribe un cero(0).

Sí los números que siguen después de la coma son ceros, no se escriben.

EJERCICIOS

OTRAS MEDIDAS DE LONGITUD

Nombre

Símbolo

Equivalencia

Pulgada Pulg. 2,54cm = 0,0254m

Pie Pie 12pulg = 30,48cm = 0,3048m

Vara Vara 80cm = 0,80m

Yarda Yard. 91,44cm = 0,9144m

Cuadra Cuad. 80m = 8000cm

Legua marina 5556m

Milla terrestre Mill. 1609m

Milla náutica Milln. 1852m

DmcmkmMmmHmmenresultadoelExprese

cmmmkmmcmenoperaciónsiguienteladeresultadoelExprese

horasenrecorrerákmCuántoshoraenkmrecorrerapimoteroUn

personalarecorremenciadisQué

HmycmmkmrecorridossiguienteslosrealizadíaunenpersonaUna

cmenhaydmyHmmkmCuántos

MmymkmammLleve

DmymmcmmenKmExprese

53004236035:.7

508,235345:.6

?5¿,219.5

?tan¿

.345500,56,7:.4

?2,546,,:¿.3

,:2018972.2

,,:623,45.1

Mm

km

Hm

Dm

m

dm

cm

mm

cmkm 25400254,0

mmHm 520000052

Kmcm 00356,0356

Kmm 34512,212,2345

ANÁLISIS:

0,254km se ha escrito en la unidad

correspondiente, o sea, en km. Como de km a

cm hay 5 lugares, la coma se ha corrido 5

espacios hacia la derecha. A sí: 0,254km queda

convertido en 25400cm.

Esto es: 0,254km = 25400cm

2345,12m se ha escrito en la Unidad

correspondiente, o sea, en m. Como de m a km

hay 3 lugares, la coma se ha corrido 3 espacios

hacia la izquierda. Así: 2345,12m queda

convertido en 2,34512km.

Esto es: 2345,12m = 2,34512km

Estas conversiones, también se pueden realizar

planteando una regla de tres simple directa


mapb

378

378

Para pasar de una unidad a otra, se aplican reglas de tres simple directas

EJEMPLO 1.

, representa el número de pulg. que hay en 456cm. Multiplicando en cruz y despejando ,

se tiene que: O sea, en 456cm hay 179,52pulg

EJEMPLO 2.

EJEMPLO 3.

Como no hay una conexión directa entre pies y km, los pies se expresan en una unidad que

tenga relación con pies y Km. En este caso, hemos escogido pies y cm

Ahora, de cm a km hay 5 lugares. Como vamos de una unidad menor a otra mayor

la coma se corre hacia la izquierda 5 espacios, entonces, 1689384,48cm queda convertido en

16,898448km. Luego, en 55426pies hay 16,898448km. Lo anterior se expresa de la siguiente

forma: 55426pies = 16,898448km.

.lg52,17954,2

4561:

456

54,21

.lg

:

?.lg¿,456

puxdondeDe

cm

x

pu

Solución

haypucuántascmEn

x x

.lg52,179456 pucm

piesmLuegopiesxdondeDe

m

x

pies

Solución

haypiescuántosmEn

41,1640500:41,16403048,0

5001:

500

3048,01

.

:

?¿,500

cmxdondeDe

x

cmpies

Solución

kmenpiesExpresemos

48,16893841

5542648,30:48,30

55426

1

.

:

55426

ANÁLISIS:

Como se puede observar, al

plantear la regla de tres simple

las unidades se escriben de tal

forma que se correspondan, es

decir, cm de bajo de cm y

pulg. de bajo de pulg.

NOTA: Al despejar la incógnita , el número que la multiplica va en el

denominador.

)(x


mapb

379

379

EJERCICIOS

UNIDADES DE SUPERFICIE O ÀREA

Las medidas de áreas o superficie se utilizan para medir el largo y el ancho de una figura

plana cerrada.

Largo = 11m. Ancho = 5m. Área = Largo x Ancho = 11m x 5m = 55m2.

55 m2 es una medida de superficie o área. Escribe 5 medidas de superficie o área.

La unidad fundamental o patrón de las medidas de superficie o áreas es el metro

cuadrado(m2).

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CUADRADO

Múl

Ti

Plos.

Nombre

Símbolo

Equivalencia en metros cuadrados

Kilómetro cuadrado km2

Hectómetro cuadrado Hm2

Decámetro cuadrado Dm2

U.P

Metro cuadrado

m2

Sub

múl

tiplos.

Decímetro cuadrado dm2

Centímetro cuadrado cm2

Milímetro cuadrado mm2

menalturaestaExpresealturadepiesaQuibdóporpasaersónicoaviónUn

puKmenExprese

haymilscuántasmEnhaycuadrascuántasKmEn

maasLlevehaypiescuántosmEnpummenExprese

..10000sup.7

.lg6231480125.6

?.¿,402568.5?¿,89.4

var9.3.?¿,48.2.lg35.1

cuadradometroléasem :,2

.1010000001

.101001.10100001

2622

22222422

mmcmm

dmdmmcmcmm

226 100000010 mm 224 1000010 mm

222 10010 mm

220 110 mm 222 01,010 mm

224 0001,010 mm

226 000001,010 mm

L A R G O

A

N

C

H

O

1m 1m

DOS

DIMENSIONES


mapb

380

380

NOTA Cualquier unidad de longitud se puede expresar en unidades de áreas(cuadradas), solo hay que elevar

al cuadrado ambos miembros de una equivalencia y desarrollar las potencias


PROCEDIMIENTO:

Se aplica el mismo método utilizado en las medidas de longitud, teniendo en cuenta, que por

cada espacio la coma se corre dos lugares hacia la derecha o hacia la izquierda según el caso.

EJERCICIOS

UNIDADES AGRARIAS MÁS COMUNES

FANEGADA(Faneg)

Es un cuadrado que tiene 80 m por cada lado.

HECTÁREA(Ha)

Cuadrado que tiene 100m por cada lado.

figurasiguienteladeáreaelCalcule

mHmmmenoperaciónsiguienteladeresultadoelExprese

mmydmkmcmmenHmConvertir

DmyKmmmcmamLleve

kmyDmmencmExprese

.5

524:.4

.,,,:821.3

,,:5498,2.2

,:23,254691.1

2222

222222

22222

2222

4,25cm

2cm

2

2

640001

6400080801

mFaneg

mmmFaneg

80m

80m

80m 80m Faneg

2

2

100001

100001001001

mHa

mmmHa

Ha

100m

100m

100m

100m


mapb

381

381

ÁREA(A)

Cuadrado que tiene un decámetro(10m) por cada lado.

CENTIÁREA(Ca)

Cuadrado que tiene un metro por cada lado.

EJERCICIOS

Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando reglas de tres simple directas.

OTRAS UNIDADES DE SUPERFICIE O ÁREA

Nombre

Símbolo

Equivalencia

Pulgada cuadrada Pulg2

6,45cm2

Pie cuadrado Pie2

929,03cm2

Vara cuadrada Vara2

6400cm2

Yarda cuadrada Yard2

8361,27cm2

Milla cuadrada Mill2

2588881m2

Acre Acre 4,047m2

EJERCICIOS

Aplicando regla de tres…

?.¿,9000.5.54:.4

5,2.324,.2.560000.1

22

22

hayfanegCuántasmEnHamaLeve

cmenHaExpreseHaAraLleveHaenmExprese

?¿,568900000.5?¿,500.4

lgvar1.334.2lg25,564.1

2222

22222

hayMillCuántasmEnhaypiesCuántosmEn

puenaExpresecmapiesLlevepuencmExprese

ArHamAr

mmmDmDmAr

100.10001

1001010111

2

2

mDm 101

Ar

Dm1

Dm1 Dm1

Ca

m1

m1

m1 m1

CaAr

CaHa

mCammmCa

1001

100001

111111 22


mapb

382

382

MEDIDAS DE VOLUMEN

La anterior figura geométrica es un ortoedro. Los ortoedros tienen tres dimensiones: Largo,

ancho y alto. El volumen(espacio que ocupa) de este ortoedro es:

Básicamente, las medidas de volumen se utilizan para medir el largo, el ancho y el alto de un

sólido o cuerpo geométrico.

La unidad patrón es el metro cúbico(m3).

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL METRO CÚBICO

Múl

Ti

Plos.

Nombre

Símbolo

Equivalencia en metros cúbicos

Kilómetro cúbico k m3

1000000000 m3 = 10

9 m

3

Hectómetro cúbico H m3 1000000 m

3 = 10

6 m

3

Decámetro cúbico D m3 1000 m

3 = 10

3 m

3

U.P

Metro cúbico

m3

1 m3= 10

0 m

3

Sub

múl

tiplos.

Decímetro cúbico d m3 0,001 m

3 = 10

-3 m

3

Centímetro cúbico c m3 0,000001 m

3 = 10

-6 m

3

Milímetro cúbico m m3 0,000000001 m

3 = 10

-9 m

3


PROCEDIMIENTO:

Se aplica el mismo método que se utilizó en las unidades de longitud, teniendo en cuenta, que por

cada espacio la coma se corre tres lugares hacia la derecha o hacia la izquierda según el caso

EJERCICIOS

volumendemedidaunaesm

mmmmaltoanchoolVolumen

3

3

36

36236arg

cúbicometroléasem :,3

.1010000000001

.1010000001.1010001

3933

36333333

mmmmm

cmcmmdmdmm

:.2600052,14.4

.,,,:23,56.3

,,:280235.2

.,:56,4.1

333333

333333

33333

3333

menresultadoelExpreseDmmmmHmkm

kmyHmkmDmmmadmConvertir

kmyHmdmcmacmLleve

mmycmmenkmExprese

= 2 m

1m

L A R G O = 6m

A

L

T

O

C

A N

H O

1m

1m

= 3 m

TRES

DIMENSIONES

Cualquier unidad de longitud se puede

expresar en unidades cúbicas, solo hay que

elevar al cubo(a la 3) cada miembro


mapb

383

383

OTRAS MEDIDAS DE VOLUMEN

Nombre

Símbolo

Equivalencia

Pulgada cúbica Pulg3

16,38cm3

Pie cúbico Pie3

28316,84cm3

Vara cúbica Vara3

512000cm3

Yarda cúbica Yard3

764554,85cm3

MEDIDAS DE CAPACIDAD

La cantidad de liquido que cabe en un recipiente se llama capacidad del recipiente.

Las medidas de capacidad se utilizan para determinar la cantidad de líquido que cabe en un

recipiente.

La unidad patrón es el litro(L). . Un litro equivale a un decímetro

cúbico. . Comparando las expresiones (1) y (2), se tiene que:

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL LITRO

M

ú

l

t

i

p

o

s

Nombre

Símbolo

Equivalencia en litros

Kilolitro

Hectolitro

Decalitro

U.P

Litro

Sub

m

ú

l

ti

plos

Decilitro

Centilitro

Mililitro

litroléaseL :,

)1...(10001100010101011 333 cmLcmcmcmcmdmL

)2....(10001 mLL 311 cmmL

kL LL 1000103

HL LL 100102

DL LL 10101

L LL 1100

dL LL 1,010 1

cL LL 01,010 2

mL LL 001,010 3

.10.100 dLLcLL

Los mismos prefijos utilizados en las unidades de longitud, se pueden usar

en unidades de capacidad. Megalitro = 1000000litros


mapb

384

384


PROCEDIMIENTO

Se aplica el mismo método utilizado en las medidas de longitud.

EJERCICIOS

OTRAS MEDIDAS DE CAPACIDAD

Nombre Equivalencia

Botella(Botell)

Galón

Barril de petróleo

Tonel

EJERCICIOS

UNIDADES DE MASA

Masa: Cantidad de materia que posee un cuerpo.

Materia: Elemento constituyente de los cuerpos.

Cuerpo: Reunión de materia de la misma clase.

La unidad patrón de las medidas de masa es el gramo(g o gr). g o gr, léase: gramo.

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DEL GRAMO

Múl

Ti

plos

Nombre Símbolo Equivalencia

Kilogramo kg

Hectogramo Hg

Decagramo Dg

U.P Gramo g o gr

Sub

múl

Ti

plos

Decigramo dg

Centigramo cg

Miligramo mg

?¿

.99,81,82564,.5

?¿,56,125.4

..28949,062,45.3

.,,:8,54.2

.,,:978.1

capacidadmayortienesrecipientedoslosdeCuál

LotroelenymLviertenseunoensrecipientedostienenSe

haykLyHLcuántosdLEn

LenresultadoelExpresemLDLHLkLL

kLyDLcLLamLLleve

dLyHLmLkLenLExprese

375075075,0 cmmLL

Lbotell 78,35

Lgalones 15906,42

Lbotellgalones 13201760352

?¿,390846.5

?¿,56,125.4

?¿,4569.3

?¿,92

.:5604.1

haypetróleodebarrilescuántosLEn

haykLyHLcuántosdLEn

haytonelcuántosLEn

hayLcuántosgalonesEn

botellenLExprese

gr1000

gr100

gr10

gr1

gr1,0

gr01,0

gr001,0

NOTA

Los alumnos deben manipular

diferentes clases de recipientes, como:

botellas de diferentes capacidades y

forma, materiales y latas de gaseosas

de diferentes tamaños.


mapb

385

385

EJERCICIOS

OTRAS UNIDADES DE MASA


Tonelada t

Quintal Q

Saco o bulto

Arroba @

Libra lb

Onza oz

Quilate

Grano

EN EL DEPARTAMENTO DEL CHOCÓ

EJERCICIOS

NOTA: Aplique regla de tres simple directa

dgymggakgLleve

cgykggrenmgExprese

dgyDgmggenkgExprese

,:025,0.3

,:5,27532

.,,:5,4.1

gkg 6101000

gkg 510100

gkg 410550

glb 1134025

Ozg .166,453

g35,28

g2,0

g0647,0

orodelibra1 scastellano100

castellano1 esto min8

tomín1 granos3

grano1 tapas2

tapa1 granos5,0

?346¿.6

?24¿.5

?¿.4

?¿,8,2.3

?@¿,5462

.:2500.1

lbenhayOzCuántas

genhayquilatesCuántos

lbunaenhaymgCuántos

haybultoscuántostEn

haycuántaslbEn

OzengExprese

NOTA

Desarrolle estos ejercicios utilizando

el método que se manipuló en las

medidas de longitud.

Los mismos prefijos utilizados en las unidades de longitud, se pueden usar en las unidades

de masa. ggmicrogramo6

10)(

EN EL CHOCÓ:

7. En 20 tómines, ¿cuántas libras hay?

8. En 428 tapas, ¿cuántos granos hay?

9. En 2 libras , ¿cuántas tapas hay?

10. En 200 castellanos, ¿cuántas libras hay?

11. En 5,8 libras, ¿cuántos castellanos hay?


mapb

386

386

EQUIVALENCIA ENTRE LAS UNIDADES DE MASA, CAPACIDAD Y VOLUMEN

MASA

CAPACIDAD

VOLUMEN

Lo anterior se interpreta así:

tiene una masa de

ocupa un espacio de . De donde:

De igual forma:

tiene una masa de

ocupa un espacio de . De donde:

EJERCICIOS

g1 mL131 cm

kg1 L1 31000cm

mL1 g

mL1 31cm31cm1mL1g

L1 kg1

L1 31000cm31000cm1Lg1 k

?¿,1.4

?¿,2000.4

?¿,63.3

?3,2¿.2

?¿,42.1

3

3

3

hayLcuántosaguademEn

hayLcuántoscmEn

tienemasaquéaguadeL

kgcuerpountienevolumenQué

cuerpoeltienemasacuántacmdeescuerpoundevolumenEl


mapb

387

387

MEDIDAS DE TIEMPO

Las medidas de tiempo se utilizan para determinar la duración de una persona, un objeto, un

acontecimiento político, un evento social, un fenómeno natural, entre otros.

Para medir el tiempo se utiliza un reloj. La unidad patrón es el segundo(seg).

El siguiente cuadro muestra las principales unidades de tiempo.


Segundo Seg 1 seg

Minuto min 60 segs.

Hora h o hr 60 minutos = 3600 segs.

Día 24 hr =1440 Min = 86400 segs.

Semana 7 días = 168 hr

Quincena 15 días

Mes 30días aprox.= 4 semanas aprox.

Bimestre 2 meses

Trimestre 3 meses

Semestre 6 meses

Año 365 días = 12 meses aprox.

Año bisiesto 366 días = 12 meses aprox.

Cuatrienio 4 años

Lustro o quinquenio 5 años.

Década o decenio 10 años.

Siglo, centenario o centuria 100 años

Milenio o Evo 1000 años

NOTA

Una ves transcurren 3 años, el que sigue es bisiesto. En el año Bisiesto, el mes

de febrero es de 29 días, normalmente es de 28 días.

BODAS DE PLATA, se celebran a los 25 años.

BODAS DE ORO, se celebran a los 50 años.

EDAD DE NACIMIENTO DE UN SER HUMANO, 9 meses aproximadamente DURACIÓN VIAJE SONDA HORIZONTE ENVIADA A PLUTÓN, 9 años aproximadamente

EJERCICIOS

Desarrolle los anteriores ejercicios aplicando regla de tres.

?arg.¿.5

..4

.3

?¿,253.2

.?.¿.1

colegiodelolmásdescansoeldurasegsCuántos

ninstituciólaenpermanecesquetiempoelsegsenExprese

horasenydíasenedadtúExpresa

hayhorasCuántasdíasEn

añountienesegsCuántos


mapb

388

388

OTRO MÉTODO PARA HACER CONVERSIONES DE UNIDADES(FACTOR DE

CONVERSIÓN)

Este método es un poco más complejo que el anterior, su importancia radica en que una vez

sea interpretado correctamente, permite resumir el proceso de conversión, cuando el mismo

involucra más de dos unidades.

El interés que muestre el estudiante, es clave en la interiorización de este procedimiento

ANÁLISIS:

Consideremos la equivalencia , obsérvese que es una ecuación algebraica. Si

ambos miembros de una ecuación se dividen por uno de los dos, la igualdad se mantiene y uno

de sus miembros queda convertido en 1(unidad).

Veamos:

cm

cm

cm

pie

48,30

48,30

48,30

1 ….Dividiendo ambos miembros por cm48,30 .

Entonces: )...(a130,48cm

1pie

pie

cm

pie

pie

1

48,30

1

1 ….Dividiendo ambos miembros por pie1 . Entonces: )...(b

1pie

30,48cm1

Las fracciones: 1pie

30,48cm11

30,48cm

1pie y , reciben el nombre de factor de

conversión.

Esto muestra, que de una equivalencia se pueden obtener dos factores de conversión. Lo

mismo se puede hacer con todas las equivalencias.

Actividad: Escoge 2 equivalencia de cada una de las tablas principales y aplícale la

propiedad analizada.

Para hacer conversiones de unidades haciendo uso del factor de conversión, se propone

interiorizar los siguientes pasos:

Se identifica la unidad de partida y la unidad de llegada

Se multiplica la unidad de partida por el factor de conversión de la unidad de llegada.

Como toda unidad de llegada tiene dos factores de conversión, se escoge el que permite

eliminar la unidad de partida.

Si entre la unidad de partida y la de llegada hay otras unidades, se hacen multiplicaciones

sucesivas hasta la unidad de llegada, pero siempre eliminando la unidad del factor

anterior.

EJEMPLO 1.

Expresemos 400cm en pies

Solución:

Como existe una equivalencia entre cm y pies, entonces:

cmpie 48,301


mapb

389

389

13,12pies48,30

400

30,48cm

1pie400

piescm . Se escogió el factor (a), porque es el que permite

eliminar los cm (unidad de partida). De donde: 13,12piescm400

EJEMPLO 2.

Llevemos 45,068pies a cm.

Solución:

Como existe una equivalencia entre cm y pies, entonces:

1373,67cm1373,67cm pies068,45:.30,48cm068,451pies

30,48cm068,45 Luegopies .

Se escogió el factor (b), porque es el que permite eliminar los pies(unidad de partida)

EJEMPLO 3.

Expresemos 0,98Km en pulg.

Solución:

No existe una equivalencia directa entre Km y pulg., pero, si hay una entre Km y cm, y entre

cm y pulg. Esto muestra, que para ir de Km a pulg., debemos pasar por cm. Entonces:

.98,0.lg67,3858254,2

.lg10000098,0 lg38582,67pu kmpu

cm

pu

km

cmkm

EJEMPLO 4.

Transformemos 986748,98segs. en años.

Solución:

La equivalencia directa entre segs. y años no existe. Pero, si hay una entre segs. y horas,

entre horas y días, y entre días y años. Entonces:

..98,986748:

.0312,031536000

98,986748

365

1

24.3600

1.98,986748

años0,0312

segsLuego

añosaños

días

año

horas

días

segs

horasegs

EJERCICIO

Haciendo uso de este método, realice las siguientes conversiones:

piesaHml

piesaHak

decadasahrj

kmapui

Haacmh

makmg

cmamf

mLaLe

piesamd

hraañosc

kgagrb

grakga

98,0

56,54

895639800

.lg3489298

4000000

866,0

864,0

8,9

30

46,3

4893

45,34

2

2

33

22


mapb

390

390

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

VILLEGAS RODRIGUEZ, Mauricio; RAMIREZ, Ricardo y BENAVIDES ROSERO, Javier. Matemática

2000 de 10°. Ed. Voluntad. S. A. Bogotá . Colombia. 1992 – 1996.

CHAVEZ LOPEZ, Hugo Hernan; CASTIBLANCO GARCIA, Sandra Genoveva y MORA TORRES, Ana

GARCIA. Matemática 10° Santillana Siglo XX. Ed. Santillana S. A. Bogotá .. Colombia

GONZALES CORREAL, Marcos; LEON PARADA, Fernando Y VILLEGAS RODRIGUEZ, Mauricio.

Matemática práctica de 10°. Ed. Voluntad. S. A. Bogotá .. Colombia

BALDOR, Aurelio. Geometría Plana y del Espacio. Compañía Cultural y Distribución de textos

Americanos. S. A. Décima quinta impresión. Mexico 1998.

BELTRAN B., Luis P.; RODRIGUEZ S., Benjamin P. Y DIMATE, Mónica. Printice Hall, Matemática con

tecnología de 10°. Bogotá .. Colombia. 1996

BALDOR, Aurelio. Algebra. Compañía Cultural y Distribución de textos Americanos. S. A. Décima

quinta impresión. Mexico 1987.

CALAD URIBE, Julio A. Matemática una propuesta curricular. Ed. Bedout Editores S. A. Cuarta edición.

Medellín – Colombia

HARCOURT BRACE JOVANOVICH, Geometría Analítica. Revisión en español, Alberto Alonso, UNAM

– Mexico. 1988.

DICCIONARIO ENCICLOPÉDICO LAROUSSE 2002.

LASCANO GARCIA, Margarita etal . Matemáticas para el icfes. Los tres editores LMTDA.

NIVIA ROMERO, Luisa Fernanda y LONDOÑO LEON, Julio Cesar. Matemáticamente 10°. Ed.

Voluntad. Bogotá. 2008.

VALENCIA MENA, Betty Cecilia. Nuestro Sistema de Medidas Regionales

ROLAND E. LARSON, Robert P. Hostetler. Cálculo con geometría analítica, volumen 1. Traducción,

ABELLANAS RAPUN, Lorenzo. Editorial McGraw-Hill. 1995.

s84783621cb21a45c.jimcontent.coms84783621cb21a45c.jimcontent.com/download/version/1329177871/module/... ·...

Documents