MAPA DE KARNAUGH CON 5 Y 6 VARIABLES

Mario Andrés Logacho Caicedo e-mail: malogacho1@espe.edu.ec

Cristian Alexander Tupiza Quimbiulcoe-mail:cristianalexander69@gmail.com

Ingeniería Automotriz, Quinto Nivel, Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE- Extensión Latacunga, Márquez de Maenza S/N Latacunga, Ecuador.

Fecha de presentación: 08 de diciembre del 2014

RESUMEN: Los mapas de Karnaugh es un método de simplificación muy conveniente e idónea en la operación de 5 variables, siendo un método confiable y factible en la resolución de este tipo de ejercicios. Los “Mapas de Karnaugh” de 6 variables nos permiten en esencia la simplificación de funciones, mediante la agrupación, de una forma más rápida; minimizando el uso complejo (comparado a este) de las reglas del algebra booleana,

PALABRAS CLAVE: Agrupación, adyacentes, simplificar.

MAPA DE KARNAUGH

Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como  Mapa-K o Mapa-KV) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1950 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.

Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica, permitiendo así identificar y eliminar condiciones muy inmensas. [2]

El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados. Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa, albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma

la función en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables. [2]

MAPA DE KARNAUGH 5 VARIABLES

Para realizar simplificaciones con 5 variables se utilizan los llamados diagramas bidimensionales, en donde un plano nos indica la quinta variable y el otro plano su complemento

[1]

Figura 1.Distribucion mapa Karnaugh bidimensional. Tomado de [1]

También se puede acceder a este procedimiento con el planteamiento de un solo mapa que contenga las 5 variables, este constara de tres variables en la horizontal y dos variables en la vertical como muestra la siguiente imagen. [1]

1

.Figura 2.Distribucion mapa Karnaugh. Tomado de [1]

Para facilitar el procedimiento al momento de la resolución de esta tabla se dispone de las variables de la siguiente manera

Figura 3.Distribucion mapa Karnaugh mediante variables. Tomado de [1]

Tomando como variables más significativa a la menos A, B, C, D, E pero para poner comprender las ubicaciones que van a tener en los cuadros q coloca en cada casillero la combinación pertinente con el respectivo código gray. [1]

Figura 4.Distribucion mapa Karnaugh mediante combinaciones. Tomado de [1]

EJEMPLO

Realizar un ejercicio para asimilar la simplificación con 5 variables. Tomemos la siguiente tabla de verdad. El procedimiento se realizara con las dos tablas bidimensionales.

Figura 5.Tabla de verdad ejemplo. Tomado de [1]

Luego procedemos a sacar la ecuación no

simplificada con los 1, suma de productos.

Q = ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE + ABCDE

Después que obtenemos la ecuación no simplificada pasamos los 1 correspondientes al diagrama y realizamos las agrupaciones. Si existen agrupaciones que ocupan el mismo lugar en ambos planos, los reflejamos para obtener una ecuación más simplificada. El proceso de simplificación es el mismo que se utiliza para los mapas de 4 o menos variables.

[1] Ubicándolo referenciado por la combinación tenemos de la siguiente forma.

2

Figura 5.Ubicacion en tablas con combinaciones. Tomado de [1]

Las marcas representan las ubicaciones donde correspondes los unos de la tabla de verdad; para analizar que variable tomaremos en cada combinacion nos referemos a la siguiente tabla.

Figura 6.Separacion variables en tabla.

O se lo puede representar con las combinacion de letras en nuestro caso lo expondremos de las dos

formas.

Figura 7.Combinaciones. Tomado de [1]

Como resultado de las combinaciones tendríamos la función simplificada para este ejercicio en específico será:

Q = ABCD + ACD + ABCDE

De esta forma se obtiene la simplificación mediante mapas de Karnaugh de 5 variables.

MAPA DE KARNAUGH CON 6 VARIABLES

Es una expansión del método aplicado a 4 variables con ligeras alteración en la forma de agrupación, y sobre todo ahora es imperioso establecer 64 casillas, debido a la existencia de 6 variables.

FORMA DE GENERAR:

Al existir las variables PQRSTU para poder construir el “mapa K” se generaran 2^6 = 64 casilleros En este método la ligera alteración, se refiere a la apertura de 4 sub – bloques para su mejor entendimiento, como se puede observar en la siguiente figura; con sus respectivas posiciones (las cuales se obtienen mediante el orden del código binario):

Figura 8. Mapa de Karnaugh con 6 variables

FORMA DE SIMPLIFICAR:

El procedimiento de obtención de grupos (o cubos) es, en concepto, el mismo que para los casos anteriores. Sin embargo, la búsqueda de adyacencias para formar los grupos debe extenderse a las casillas equivalentes de los mapas de la izquierda (o derecha) y de arriba (o abajo). [3]

Esta última parte se traduce en que si un 1(salida verdadera) se encuentra en los mismos lugares de los

3

sub - bloques pueden agruparse, en cantidades exponenciales del 2 como se puede observar en la siguiente figura:

Figura 9. Posibles formas de agrupación

Cuadro tomado de: [3]

APLICACIONES:

Un comparador de magnitud (utilizado para ilustrar un mapa K-6-variable) compara dos números binarios, indicando si son iguales, mayor que, o menor que uno al otro en tres salidas respectivas. Un comparador de magnitud tres bits tiene dos entradas A2 A1 A0 y B2 B1 B0

Un comparador de magnitud de circuitos integrados (7485) en realidad tiene cuatro entradas, pero, el mapa de Karnaugh de abajo debe mantenerse a un tamaño razonable. Sólo nosotros solucionará para el A> B de salida. [4]

Figura 10. Solución del ejercicio de aplicación

Cuadro tomado de: [4]

Salida = AB’ + ABY’ + BX’Y’ + ABCZ’ + ACY’Z’ + BCX’Z’ + CX’Y’Z’

CONCLUSIONES

Los mapas de Karnaugh son más eficaces para 5 variables ya que el procedimiento de resolución es más fácil que los otros.Este método es más rápido y efectivo en las formas de simplificación de funciones.Los mapas de Karnaugh con 6 variables se agrupa de forma diferente por la existencia de sus sub -bloquesSe debe analizar bien las combinaciones para poder simplificar en su totalidad la expresión

RECOMENDACIONES

Tomar en cuenta que las combinaciones deben hacérselas de dos y cuatro números o que esta sea proporcional a la función.En el proceso de agrupación este método necesita un nivel mayor de concentración comparando con la solución de funciones mediante algebra Booleana.

REFERENCIAS

[1]P, J. (15 de junio de 2011). Ladelec.com. Recuperado el 12 de mayo de 2014, de http://www.ladelec.com/teoria/electronica-digital/174-diagramas-de-karnaugh-con-5-variables

[2]Silva, E. (19 de enero de 2010). ElectronicadigitalI. Recuperado el 12 de mayo de 2014, de http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2000477/lecciones/020401.htm

[3] Extraído 07 de diciembre de 2014 de: https://automatizaciondigital.wordpress.com/mapas-de-karnaugh-de-2-3-5-y-6-variables/

[4] Extraído 07 de diciembre de 2014 de: http://www.allaboutcircuits.com/vol_4/chpt_8/11.html

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