manual.s.d.3. mate 4. feb. jul 15

Ciclo escolar: Febrero Julio 2015

Recopilado y Presentado por:

Mtro. Carlos Hernndez Garca [email protected]

Ing. Kenninseb Luca Ruiz Gamboa

[email protected]

M. Azucena Amrica lvarez Montejo [email protected]

Escuela Preparatoria Diurna.

Academia que presenta:

ACADEMIA DE MATEMTICAS.

Cd. del Carmen, Campeche, 30 de Abril de 2015

UNIVERSIDAD AUTNOMA DEL CARMEN

CURSO AL QUE PERTENECE:

MATEMTICAS IV

MANUAL DE PRCTICAS

TTULO DE LA PRESENTACIN:

MANUAL DE PRCTICAS DE MATEMTICAS IV

3. SECUENCIA DIDACTICA

MANUAL DE PRACTICAS DE MATEMATICAS IV 3.SECUENCIA DIDACTICA

51

TERCERA SECUENCIA DIDACTICA BLOQUE III. GRFICAS DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES.

Propsito de la secuencia didctica: Analiza las grficas de las funciones trascendentes para argumentar las soluciones a problemas de variacin, tales como oscilacin, crecimiento y decrecimiento de los cuerpos; en los diferentes campos disciplinares.

CONTENIDOS DE LA SECUENCIA DE APRENDIZAJE DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

Identifica grficamente las funciones seno y coseno. Define la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase de las funciones seno y coseno. Identifica las funciones exponenciales: crecientes y decrecientes. Identifica algebraica y grficamente a la funcin logartmica como la inversa de la funcin exponencial.

Obtiene los elementos de la funcin seno y coseno como: la amplitud, la fase, el periodo y la frecuencia. Obtiene los elementos de las funciones logartmicas. Determina los elementos de las funciones exponenciales. Construye la grfica de la funcin seno, coseno, logartmica y exponencial a partir de sus elementos. Usa un software, para obtener la grfica de la funcin logartmica y exponencial que represente la solucin de problemas de oscilacin, crecimiento y decrecimiento de los cuerpos; en los diferentes campos disciplinares.

Valora el trabajo colaborativo en la solucin de los ejercicios de clase y extra clase (tarea para resolver en casa).

Presta atencin a las explicaciones del profesor en el saln de clases. Acta de manera positiva para realizar las actividades planteadas en el programa de curso. Participa de manera activa en clase, realizando sus ejercicios, preguntando, exponiendo. Aporta puntos de vista personales con apertura y considera los de otras personas. Propone maneras creativas de solucionar problemas matemticos. Reconoce sus errores en los procedimientos y muestra disposicin para solucionarlos. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta, dentro de distintos equipos de trabajo.


52

Valora el uso de la TICs en el modelado grfico y algebraico, en la resolucin de problemas presentes en su contexto. Reflexiona y valora la utilidad de las tcnicas algebraicas para simplificar procesos y obtener soluciones precisas en procesos algebraicos y/o geomtricos.

ACTIVIDADES TRANSVERSALES:

Descripcin de la actividad: Unidades de aprendizaje con las que se vincula:

Propsito: Creacin de una pgina web de las funciones trigonomtricas, logartmicas y exponenciales. En esta actividad en la UAC de Matemticas IV evaluar la aplicacin de las funciones trigonomtricas, logartmicas y exponenciales en su entorno, actividad interdisciplinar de la UAC de Informtica IV donde evaluar los elementos del diseo de la pgina web con el uso del software.

INFORMATICA IV Y MATEMTICAS IV (Introduccin al Calculo)


53

NDICE

TERCERA SECUENCIA DIDCTICA BLOQUE III. FUNCIONES

51

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS. 54

Unidades de medicin para ngulos 54 PRACTICA 8 56

FUNCIN SENO. 58

Caractersticas: Amplitud, periodo, frecuencia y fase.

59

FUNCIN COSENO. 63

Caractersticas: Amplitud, periodo, frecuencia y

fase. 64

PRACTICA 9 67

FUNCIN LOGARTMICAS 69

FUNCIN EXPONENCIALES 73

CASO PARTICULAR a = e 76 PRACTICA 10 78

Bibliografa 80


54

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

En la vida diaria se pueden observar acontecimientos que se repiten siguiendo un patrn predecible, por ejemplo: el hecho de que en regiones de climas templados, el consumo de energa elctrica se eleva en verano y desciende en invierno; el nmero de turistas que visitan las playas de Mxico aumentan en periodos vacacionales y disminuyen el resto del ao; el precio de venta de las frutas en temporada de verano disminuye y aumenta en invierno.

As como estos ejemplos, hay otros que pueden ser modelados con funciones peridicas, las cuales son

aquellas que repiten el mismo valor en intervalos regulares de la variable. Debido a que las funciones seno y coseno repiten sus valores con un patrn regular (o sea no cambian

de valor cuando el ngulo cambia), estas son consideradas funciones peridicas, las cuales se construyen mediante las razones trigonomtricas de seno y coseno, respectivamente.

Una funcin f(x) es peridica si existe un nmero p tal que, pueda hacer f ( x + p) = f (x), para todas las

x; al nmero p se le llama periodo. Existen 2 tipos de funciones trascendentes trigonomtricas: trascendentes trigonomtricas directas

(seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) y trascendentes trigonomtricas inversas (arcsen, arccos, angtan, angsec, etc.).

Las funciones trigonomtricas directas asocian a cada nmero real x, el valor de la razn trigonomtrica

del ngulo cuya medida en radianes es x. Para poder estudiar las funciones trigonomtricas, es necesario mencionar, las unidades de Medicin

para los ngulos: el grado y el radian.

UNIDADES DE MEDICIN PARA NGULOS.

El grado es la unidad ms comn que se utiliza para medir el tamao de un ngulo, pero existe otra llamada radian, esta es la unidad de medicin que utiliza el sistema internacional. El radian es una razn de la longitud del arco de circunferencia con respecto al radio.

La circunferencia mide r2 , y si tomamos en cuenta una circunferencia de radio 1r , tenemos que

esta medida es 2 . Asimismo, una circunferencia tiene 360, por lo que puede afirmarse que:

3602 y 1 180 ....(1)

De esta relacin podemos deducir que:

)( grados 57.3 (1rad) radian 1

(rad) radianes0175.0)(1 grado 1

..(2)


55

Objetivo:

Reforzar los conocimientos del tema conversiones de grados a radianes y viceversa de 2 semestre

Descripcin:

En esta prctica el estudiante recordar el manejo correcto de las conversiones.

Tcnica:

Aplicara la regla, frmula o relacin para convertir de grados a radianes y viceversa y obtener as el resultado.

Procedimientos:

Paso 1: Identificar la regla, formula o relacin correcta Paso 2: Acomoda los datos correctos en la frmula, regla o relacin Paso 3: Realiza una regla de tres simple, para contener el resultado Paso 4: En caso de convertir de radianes a grados, recordar multiplicar los decimales por 60 para conocer los minutos y el decimal nuevo por 60 para conocer los segundos.

Materiales:

Hojas blancas Lpiz Borrador

Ejemplo:

Utilizando las frmulas explicadas anteriormente, convertir 3

2radianes a grados.

Paso 1: Identificar la regla, formula o relacin correcta.

180rad Paso 2: Acomoda los datos correctos en la frmula, regla o relacin.

x rad3

2

180rad

Paso 3: Realiza una regla de tres simple, para contener el resultado.

120)180(3

2

rad

)180(rad3

2

x

La medida que nos piden es 120x

Paso 4: En caso de convertir de radianes a grados, recordar multiplicar los decimales por 60 para conocer los

minutos y el decimal nuevo por 60 para conocer los segundos.

En el caso de nuestro ejemplo, los grados que dan como respuesta son grados exactos.


56

1.- Realizar las conversiones segn sea el caso.

1) 275 a rad 2) rad

7

3 a grados

3) rad5

1 a grados

4) 175 a rad

2.- Realiza las conversiones de la siguiente Tabla (GRADOS-RADIANES), expresando la respuesta en forma fraccionaria.

Nombre de los integrantes del equipo:

1.-

2.-

3.-

4.-

PRACTICA 8 Fecha: Grupo:


57

Rad Rad Grado Rad Rad Grado Rad Rad Grado

.0000 00 .5585 32 1.1170 64

.0175 01 .5760 33 1.1345 65

.0349 02 .5934 34 1.1519 66

.0524 03 .6109 35 1.1694 67

.0698 04 .6283 36 1.1868 68

.0873 05 .6458 37 1.2043 69

.1047 06 .6632 38 1.2217 70

.1222 07 .6807 39 1.2392 71

.1396 08 .6981 40 1.2566 72

.1571 09 .7156 41 1.2741 73

.1745 10 .7330 42 1.2915 74

.1920 11 .7505 43 1.3090 75

.2094 12 .7679 44 1.3265 76

.2269 13 .7854 45 1.3439 77

.2443 14 .8029 46 1.3614 78

.2618 15 .8203 47 1.3788 79

.2793 16 .8378 48 1.3953 80

.2967 17 .8552 49 1.4137 81

.3142 18 .8727 50 1.4312 82

.3316 19 .8901 51 1.4486 83

.3491 20 .9076 52 1.4661 84

.3665 21 .9250 53 1.4835 85

.3840 22 .9425 54 1.5010 86

.4014 23 .9599 55 1.5184 87

.4189 24 .9774 56 1.5359 88

.4363 25 .9948 57 1.5533 89

.4538 26 1.0123 58 1.5707 90

.4712 27 1.0297 59 120

.4887 28 1.0472 60 135

.5061 29 1.0647 61 160

.5236 30 1.0821 62 180

.5411 31 1.0996 63 270


58

FUNCION SENO

La razn trigonomtrica seno, es la comparacin por divisin entre el cateto opuesto y la hipotenusa de

uno de los ngulos agudos del tringulo rectngulo.

En esta grfica, se observa cmo los segmentos verticales (cateto opuesto), corresponden al valor del

seno del ngulo A, debido a que la hipotenusa en cada tringulo es de longitud 1.

La funcin seno f(x) = sen x, es una funcin continua, por tener el dominio en el intervalo de

, y su imagen en el intervalo de 1,1 .

x ( y

rad )

-270

2

3 -240 -210 -180

-150 -120

-90

2

1 -60 -30

f (x) 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866 -1 -0.866 -0.5

x ( y

rad )

0 30 60 90

2

1

120 150 180 210 240

f (x) 0 0.5 0.866 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866


59

Al observar la grfica anterior notamos que los valores de f(x) se repiten despus de cada intervalo de

360 o de 2, por lo que se llama senoide y es una funcin peridica.

CARACTERSTICAS: AMPLITUD, PERIODO, FRECUENCIA Y FASE.

Una funcin es peridica cuando cumple la siguiente condicin:

f (x) = f (x + p)

Siendo p una constante diferente de cero. Al menor valor positivo de p que satisface la condicin anterior se le

llama periodo de la curva o longitud de onda. Al mximo valor absoluto de f (x) se le llama amplitud de onda.

Y la posibilidad de que la curva se desplace con respecto al eje de las ordenadas, la cual se mide en unidades

angulares (generalmente radianes), se llama ngulo de desplazamiento.

La forma general de la funcin seno o senoide es:

f(x) = A sen kx . (1) f(x) = A sen ( kx + ) .. (2)

En la cual:

y = f (x), y A, k & son constantes

( kx + ) es un ngulo cualquiera y se expresa en radianes.

La amplitud de onda de cualquier senoide del tipo de ecuacin y =A sen kx y =A sen (kx+ ) es:

A = | A |.

Respecto al periodo, de acuerdo con la condicin dada para que una funcin sea peridica y con el

valor ya establecido del periodo de la funcin y =A sen kx que es 2 radianes, tenemos:


60

f (x) = f (x + p); donde p = 2 radianes

de acuerdo con lo anterior y como la ecuacin (2) es:

f(x) = A sen ( kx + )

f(x+p) = A sen [ k (x+p) + ]

la diferencia entre dos ngulos es el periodo, el cual se encuentra resolviendo la siguiente ecuacin:

[ k (x+p) + ] - ( kx + ) = 2

kx + kp + - kx - = 2

y resolviendo trminos semejantes:

kp = 2

y el periodo de onda es: p = k

2

Sobre el ngulo de desplazamiento, podemos observar que el ngulo de la ecuacin (2) no intervino

en el clculo de la amplitud ni del periodo de una senoide, entonces debe ser determinante para el

ngulo de desplazamiento de su grfica. Si la ecuacin (2) la escribimos de la forma (factorizada):

f(x) = A sen k( x + k

).(3)

y considerando la ecuacin y =A sen kx en la cual segn sean los valores de A y k se puede modificar

la amplitud y el periodo, podemos decir que el ngulo de desplazamiento es:

ngulo de desplazamiento = k

Frecuencia: Es la medida que se utiliza generalmente para indicar el nmero de repeticiones de cualquier

fenmeno o suceso peridico en la unidad de tiempo, es decir, las veces que se repite el periodo en un

intervalo definido. En las ecuaciones (1, 2 o 3) el valor de frecuencia la proporciona es valor de k.

Objetivo:

Graficar las funcin trigonomtrica seno

Descripcin:


61

En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin trigonomtrica seno (amplitud, periodo y Angulo de desplazamiento)

Tcnica:

Utilizar los resultados obtenidos de los elementos para poder disear una grfica.

Procedimientos:

Paso 1: Determinar los coeficientes A, k y , para determinar amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Paso 2: Aplicar las formulas correspondientes para la determinacin de amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Determinar el dominio y rango con los datos encontrados. Paso 3: Si el ngulo de desplazamiento es diferente de cero, considerar un nuevo eje de y desplazado. Paso 4: Realizar la tabulacin correspondiente. Paso 5: Graficar la funcin y Trazar el eje y original.

Materiales:

Hojas blancas Hojas milimtricas Lpiz Borrador Regla

Ejemplo:

Trazar la grfica y encontrar la amplitud y el periodo de onda y el ngulo de desplazamiento de la curva 4)(x sen 2)x(f . Encontrar dominio e imagen.

Paso 1: Determinar los coeficientes A, k y , para determinar amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento.

f(x) = A sen (kx + )

4)(x sen 2)x(f

Donde A = 2, k = 1 y = 4,

Paso 2: Aplicar las formulas correspondientes para la determinacin de amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Determinar el dominio y rango con los datos encontrados.

: = { } = (, +)

Amplitud de onda A = | A | = | 2 | = 2 : = { / } = [, ]

Periodo de onda p = rad 21

2

k

2

Con este resultado se podr saber a qu distancia (en radianes) se presentara un crculo completo.


62

ngulo de desplazamiento = rad 41

4

k

Paso 3: Si el ngulo de desplazamiento es diferente de cero, considerar un nuevo eje de y desplazado. Como esta curva se desplaza un ngulo de 4 radianes, para trazarla consideramos un sistema de coordenadas con el eje y desplazado. El nuevo eje es y, de tal manera que el nuevo origen de coordenadas corresponde al punto (-4, 0). Para hacer la tabla de valores consideramos la ecuacin:

x' sen 2)x(f

En lugar de la ecuacin original, puesto que ( x + 4 ) = x. Los valores del ngulo los damos en radianes, pues el eje y se desplaza 4 radianes. Paso 4: Realizar la tabulacin correspondiente. El dominio de esta funcin es el intervalo , , pero para hacer la grfica construimos nuestra tabla de valores con los valores de 2,0 :

x (rad) 0

2

2

3 2

f (x) 0 2 0 -2 2

Paso 5: Graficar la funcin y Trazar el eje y original.

y y


63

FUNCIN COSENO.

La razn trigonomtrica coseno, es la comparacin por divisin entre el cateto adyacente y la hipotenusa de

uno de los ngulos agudos del tringulo rectngulo.

En la funcin coseno, la longitud de los segmentos horizontales (cateto adyacente) corresponde al valor del

coseno del ngulo A, por ello, en la figura el crculo unitario se voltea 90 en sentido contrario a las manecillas

del reloj, para que el segmento correspondiente al cateto adyacente de los tringulos rectngulos coincida con

la altura del valor de la funcin, como se muestra en la siguiente figura:

La funcin coseno f(x) = cos x, es una funcin continua, por tener el dominio en el intervalo de ,

y su imagen en el intervalo de 1,1 , y al mismo tiempo peridica, es decirse repiten los valores de f(x)

despus de cada intervalo de 360 o de 2 , es decir llamada cosenoide.

x ( y

rad)

-270

2

3 -240 -210 -180

-150 -120

-90

2

1 -60 -30

f (x) 0 -0.5 -0.866 -1 -0.866 -0.5 0 0.5 0.866

x ( y

rad)

0 30 60 90

2

1

120 150 180 210 240

f (x) 1 0.866 0.5 0 -0.5 -0.866 -1 -0.86 -0.5


64

CARACTERSTICAS: AMPLITUD, PERIODO, FRECUENCIA Y FASE.

Una funcin es peridica cuando cumple la siguiente condicin:

f (x) = f (x + p)

Siendo p una constante diferente de cero. Al menor valor positivo de p que satisface la condicin anterior se le

llama periodo de la curva o longitud de onda. Al mximo valor absoluto de f (x) se le llama amplitud de onda.

Y la posibilidad de que la curva se desplace con respecto al eje de las ordenadas, la cual se mide en unidades

angulares (generalmente radianes), se llama ngulo de desplazamiento.

La forma general de la funcin coseno o cosenoide es:

f(x) = A cos kx . (1) f(x) = A cos ( kx + ) .. (2)

En la cual:

y = f (x), y A, k & son constantes

( kx + ) es un ngulo cualquiera y se expresa en radianes.

Para esta funcin se puede realizar un estudio anlogo al que hicimos en la funcin seno, para calcular tanto la

amplitud, el periodo, ngulo de desplazamiento y frecuencia. A continuacin se presentan las frmulas para

determinarlas:

La amplitud de onda: A = | A |.

El periodo: p = k

2

ngulo de desplazamiento: k

Frecuencia: k.


65

Objetivo:

Graficar las funcin trigonomtrica coseno

Descripcin:

En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin trigonomtrica coseno (amplitud, periodo y Angulo de desplazamiento)

Tcnica:

Utilizar los resultados obtenidos de los elementos para poder disear una grfica.

Procedimientos:

Paso 1: Determinar los coeficientes A, k y , para determinar amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Paso 2: Aplicar las formulas correspondientes para la determinacin de amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Determinar el dominio y rango con los datos encontrados. Paso 3: Si el ngulo de desplazamiento es diferente de cero, considerar un nuevo eje de y desplazado. Paso 4: Realizar la tabulacin correspondiente. Paso 5: Graficar la funcin y Trazar el eje y original.

Materiales:


Ejemplo:

Trazar la grfica y encontrar la amplitud y el periodo de onda y el ngulo de desplazamiento de la curva

)3

2(3x cos)x(f . Encontrar dominio y rango.

Paso 1: Determinar los coeficientes A, k y , para determinar amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento.

y = A cos (kx + ), tenemos que:

)3

2(3x cos)x(f

Donde A = 1, k = 3 y = 3

2

Paso 2: Aplicar las formulas correspondientes para la determinacin de amplitud, periodo y ngulo de desplazamiento. Determinar el dominio y rango con los datos encontrados.

: = { } = (, +)


66

Amplitud de onda A = | A | = | 1 | = 1 : = { / } = [, ]

Periodo de onda: p = rad 3

2

3

2

k

2

Con este resultado se podr saber a qu distancia (en radianes) se presentara un crculo completo.

ngulo de desplazamiento = rad 0.22 9

2

3

3

2

k

Paso 3: Si el ngulo de desplazamiento es diferente de cero, considerar un nuevo eje de y desplazado.

Como esta curva se desplaza un ngulo de 0.22 radianes, para trazarla consideramos un sistema de coordenadas con el eje y desplazado. El nuevo eje es y, de tal manera que el nuevo origen de coordenadas

corresponde al punto (-0.22, 0). Para hacer la tabla de valores tendremos que factorizar el parntesis )3

2(3x

, quedando:

)9

2 3(xcos)x(f

)22.0 3(xcos)x(f

En lugar de la ecuacin original, puesto que )9

2(x =

,x 'x 3cos)x(f

'x 3cos)x(f Paso 4: Realizar la tabulacin correspondiente. Los valores del ngulo los damos en radianes, pues el eje y se desplaza 0.22 radianes. El dominio de esta funcin

es el intervalo , . Para hacer la grfica construimos nuestra tabla de valores con los valores de 2,0

x (rad) 0 2

2

3 2

f (x) 1 0 -1 0 1

Paso 5: Graficar la funcin y Trazar el eje y original.

() = cos 3

() = ( +

)


67

I.- Encuentra el periodo, la amplitud y ngulo de desplazamiento, y traza las grficas de las funciones siguientes en hojas milimtricas, despus comprubalas por medio de un software si lo que trazaste esta correcto e imprmelo y anexar.

1.- x2sen2)x(f 2.- x

2

1sen3)x(f

3.- x6cos)x(f 4.- x3

2cos)x(f


1.-

2.-

3.-

4.-



68

5.- 3x2cos2

1)x(f 6.- 1x4sen

2

1)x(f

7.-

4

1x

2

1sen2)x(f


69

FUNCIN LOGARTMICA

Al igual que las funciones exponenciales, las funciones logartmicas es de gran importancia en el rea de

economa donde se aplica en el clculo del inters compuesto; en biologa en el estudio del crecimiento

numrico de algunas colonias de bacterias; en fsica, en los problemas de radiactividad, calor y electricidad.

El logaritmo de un nmero es el exponente al que se tiene que elevar la base para obtener dicho nmero.

Una funcin logartmica tiene la forma:

xlog)x(fy a

Donde a se llama base y es un nmero real cualquiera positivo y distinto de 1 1a . La funcin logartmica de base se define como la inversa de la funcin exponencial. Es decir, el logaritmo de

base a de un nmero x es el exponente al cual debe elevarse la base a para obtener el mismo nmero x y se

define de la siguiente forma:

xaxlog)x(fyy

a

A continuacin se presentan dos diferentes casos para el valor a:

1a0 : En este caso la funcin

tiene las siguientes propiedades:

1a : En este caso la funcin tiene

las siguientes propiedades:

Su dominio son los nmeros reales

positivos.

Su dominio son los nmeros reales

positivos.

Su recorrido es toda la recta real Su recorrido es toda la recta real.

Son continuas y decrecientes en todo

su dominio

Son continuas y crecientes en todo su

dominio

Sus grficas pasan por los puntos

1,ay0,1

Sus grficas pasan por los puntos

1,ay0,1

La recta 0x es una asntota

vertical

La recta 0x es una asntota

vertical


70

La funcin es negativa para los valores

de 1x

La funcin es negativa para los valores

de 1x

La funcin es positiva para los valores

de 1x

La funcin es positiva para los valores

de 1x

La grafica de un funcin logartmica en

este caso es de la forma:

La grafica de un funcin logartmica en

este caso es de la forma:

Puedes deducir que el logaritmo se calcula solo para nmeros positivos y que, para cualquier base, el

logaritmo de 1 siempre es cero.

Como la funcin logartmica es la inversa de la exponencial, se presentan las siguientes propiedades de

gran utilidad para resolver ecuaciones logartmicas:

1. y

bbx si sloy si xlogy 2. xb

xlogb

3. yblogy

b 4. 01log

b

5. 1blogb

6. BlogAlogABlogbbb

7. BlogAlogB

Alog

bbb

8. AlognAlog

b

n

b

9. blog

xlogxlog

b

As teniendo en cuenta las propiedades que tiene una funcin logartmica segn sea su base y la forma que tiene

su grfica podemos representar cualquier funcin logartmica.


71

Objetivo:

Graficar las funcin logartmica

Descripcin:

En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin logartmica (dominio y rango)

Tcnica:

Disear una grfica con las propiedades mencionadas anteriormente.

Procedimientos:

Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente. Paso 3: Graficar la funcin

Materiales:


Ejemplo:

Traza la grfica de la funcin logartmica xlog)x(f10

Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Como la funcin exponencial tiene su dominio en el intervalo de todos los reales positivos ,0 , se

trazar la grfica con un intervalo de valores para x a partir de 0.1 hasta el 10. Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente.

X 0.1 0.6 1 5 10

f (x) -1 -0.221 0 0.699 1

Paso 3: Graficar la funcin


72

Vemos que el dominio de la funcin es el conjunto de los reales positivos ,0 , el rango es el conjunto

todos nmeros reales y que el eje y es una asntota vertical de la curva. La interseccin con el eje x es en el punto ( 0, 1).

Objetivo:

Graficar las funcin logartmica

Descripcin:

En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin logartmica (dominio y rango)

Tcnica:


Procedimientos:


Materiales:


Ejemplo:

Traza la grfica de la funcin logartmica xlog)x(f 2

Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Como la funcin exponencial tiene su dominio en el intervalo de todos los reales positivos ,0 , se

trazar la grfica con un intervalo de valores para x a partir de 0.5 hasta el 16 Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente.

X 0.5 1 2 4 8 16

f (x) -1 0 1 2 3 4



73

Vemos que el dominio de la funcin es el conjunto de los reales positivos ,0 , la imagen es el conjunto

todos nmeros reales y que el eje y es una asntota vertical de la curva. La interseccin con el eje x es en el

punto ( 0, 1).

FUNCIN EXPONENCIAL El estudio de las funciones exponenciales es de gran importancia en el rea de economa se aplica en el

clculo del inters compuesto; en biologa en el estudio del crecimiento numrico de algunas colonias de

bacterias; en fsica, en los problemas de radiactividad, calor y electricidad.

Una funcin es exponencial si la variable est como exponente, es decir la expresin de una funcin exponencial

es:

x

a)x(fy .

Donde la: a es una constante positiva y diferente de 1 1a La definicin de funcin exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno

( > 0 1). l condicin que a sea diferente de uno se debe a que al reemplazar a a por 1, la funcin

se transforma en la funcin constante () = 1. La base no puede ser negativa porque funciones de la forma

() = (9)1

2 no tendran sentido en los nmeros reales.

El dominio de la funcin exponencial est formado por el conjunto de los nmeros reales y su recorrido

est representado por el conjunto de los nmeros positivos. Con base en esto observaremos las siguientes

propiedades:

1. La funcin existe para cualquier valor de x, es decir, la funcin existe siempre o el DOMINIO de la funcin

es todo R.

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20

x

f(x)


74

2. En todos los casos la funcin pasa por un punto fijo: el (0 , 1) (basta que hagas x = 0) o sea que siempre:

CORTA AL EJE Y en el punto (0 , 1).

3. Los valores de y son siempre positivos para cualquier valor de x, por tanto: LA FUNCION SIEMPRE TOMA

VALORES POSITIVOS para cualquier valor de x.

4. Siempre es creciente o siempre es decreciente (para cualquier valor de x) dependiendo de los valores de

la base a. La funcin es creciente si a > 1 y di 0 < a < 1 es decreciente.

5. Se acerca al eje X tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia la derecha en el caso en que a < 1 y

hacia la izquierda en caso de a > 1.

6. Se dice entonces que EL EJE X ES UNA ASNTOTA HORIZONTAL (hacia la izquierda si a > 1 y hacia la

derecha si a < 1).

a > 0 a = 0 a < 0

Las propiedades ms importantes de las funciones exponenciales son:

Exponente positivo: crece y cuanto ms transcurre el tiempo, crece ms rpido.

Exponente negativo: decrece y cuanto ms transcurre el tiempo, decrece ms rpido.

En ambos casos, la funcin exponencial nunca es nula. Sin embargo, para exponente negativo, la funcin est

cada vez ms cerca del cero, pero nunca corta el eje horizontal. Este comportamiento tienen un nombre en

matemticas: se dice que la curva es asinttica al eje horizontal, y que el eje es, en este caso, una asntota. Una

asntota siempre es una recta.

Las funciones con exponente negativo aparecen, por ejemplo, en los estudios del decaimiento radiactivo; en

este caso la constante k depende de la sustancia radiactiva.

La funcin exponencial presenta las siguientes propiedades de gran utilidad para resolver ecuaciones

exponenciales.


75

Propiedades de los exponentes:

1. x0 = 1

2. xm xn = xm+n

3. (xm)n = xm n

4. (x y)n = xn yn

5. (x/y)n = xn/yn

6. x n = 1 / xn

7. xm /xn = xm - n

8. (x/y) n = (y/x) n

Nota: La funcin exponencial es la inversa de la funcin logartmica.

Objetivo:

Graficar las funcin exponenciales

Descripcin:

En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin exponencial (dominio y rango)

Tcnica:


Procedimientos:


Materiales:


Ejemplo:

Traza la grfica de la siguiente funcin exponencial:

x

2

1)x(f


76

Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Como la funcin exponencial tiene su dominio en el intervalo de todos los reales R , , se trazar la

grfica con un intervalo de valores para x de 2 hasta 2: Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente.

x -2 -1 0 1 2

f (x) 4 2 1 0.5 0.25


a grfica de la funcin x

2

1)x(f

es la siguiente y vemos que el dominio de la funcin es el conjunto de los

nmeros reales R , , el rango es el conjunto de los nmeros reales positivos y que el eje x es una

asntota horizontal de la curva. La interseccin con el eje y es en el punto (0, 1).

CASO PARTICULAR ea

Existe un caso particular para el valor de ea donde 718281.2e es una constante.

La funcin es: kx

e)x(fy


77

Objetivo:

Graficar las funcin exponenciales

Descripcin:

En esta prctica el estudiante identificara los elementos que necesita para graficar una funcin exponencial (dominio y rango)

Tcnica:


Procedimientos:


Materiales:


Ejemplo:

Traza la grfica de la siguiente funcin exponencial: xe)x(f

Paso 1: Determinar los valores del x, es decir el dominio para realizar la tabulacin. Como la funcin exponencial tiene su dominio en el intervalo de todos los reales R , , se trazar

la grfica con un intervalo de valores para x de 3 hasta 3. Paso 2: Realizar la tabulacin correspondiente.

X -3 -2 -1 0 1 2 3

f (x) 0.049 0.135 0.367 1 2.71 7.389 20.08


78

Paso 3: Graficar la funcin.

Vemos que el dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales R , , la imagen es el

conjunto de los nmeros reales positivos y que el eje x es una asntota horizontal de la curva. La interseccin con el eje y es en el punto ( 0, 1).

I.- Traza las grficas de las siguientes funciones en hojas milimtricas, despus comprubalas por medio de un software si lo que trazaste est correcto, e imprmelo y anexar.

1.- xlog)x(f e

2.- xlog2

1)x(f 10


1.-

2.-

3.-

4.-



79

3.- x

3)x(f

4.-

x

3

1)x(f

5.- 1x

4)x(f

6.- x

e)x(f

7- 5x3

e)x(f


80

BIBLIOGRAFIA

FUENTES DE INFORMACIN

Bsicas:

Hernndez, C., Ruiz, K.L. y lvarez, A.A. (2013) Cuaderno de trabajo Matemticas IV. Mxico

Hernndez, C., Ruiz, K.L. y lvarez, A.A. (2013) Manual de Matemticas IV. Mxico

Hernndez, C., Ruiz, K.L. y lvarez, A.A. (2013) Antologa comentada de Matemticas IV, Mxico

Navarro, M. E. (2011). Matemticas 4 (Enfoque por competencias genricas y disciplinares). D.F. Mxico: Editorial Fernndez editores

Ruiz, J. (2010). Matemticas 4, Pre clculo: funciones y aplicaciones. (Serie integral por Competencias).D.F. Mxico: Grupo Editorial Patria.

Velzquez, M.(2012). Matemticas IV (Bajo el enfoque por competencias en estricto apego a (RIEMS). D.F. Mxico: Editorial GAFRA EDITORES.

Valiente. B. Matemticas IV (enfoque por competencias genricas y disciplinares). D.F. Mxico: Editorial Limusa.

Ortiz, F.J. Matemticas IV. Bachillerato general (serie integral por competencias). D.F. Mxico: Editorial Patria.

Complementarias:

Guerra, M.(1999). Geometra Analtica. D.F. Mxico: Editorial McGraw Hill.

Salazar, P. (1997). Matemticas IV. D.F. Mxico: Editorial Nueva Imagen, S.A. de C.V.

Trejo, J. (2003). Matemticas 4 (Preclculo). D.F. Mxico: Editorial UADY.

Silva. (1997). Fundamentos de Matemticas. D.F. Mxico: Editorial Limusa (Noriega editores)

Barnett, R. (1990). lgebra y Trigonometra. 3 Edicin. Colombia: Editorial Mc Graw Hill.

Web:

http://www.cobachsonora.edu.mx:8086/portalcobach/pdf/modulosaprendizaje/semestre4-2011/FB4S_Matematicas4.pdf

http://www.cobat.edu.mx/wp-content/uploads/2011/11/Matem%C3%A1ticas-IV.pdf

http://www.matematicas.net

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/

http://www.sectormatematica.cl/

https://www.khanacademy.org/

Pgina web del profesor. http://mateivdelfin.es.tl

manual.s.d.3. mate 4. feb. jul 15

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