manual electricidad unidades calculo cicuitos magneticos

TECSUP PFR Electrnica del Vehculo

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UNIDAD VII

UNIDADES PARA EL CLCULO DE CIRCUITOS MAGNTICOS

1. UNIDADES PARA EL CLCULO DE CIRCUITOS MAGNTICOS

En el rea del electromagnetismo, es la Ley de Ampere la que nos concierne, y sta, de hecho, sirve como punto de partida de nuestro tratamiento. No debe inferirse que ste es el nico punto de partida en el desarrollo de una teora cuantitativa del circuito magntico. La ley de la induccin de Faraday es igual mente vlida como punto de partida, y se le prefiere cuando la meta es el desarrollo de una teora de las ondas electromagnticas en lugar de una teora que conduzca al tratamiento de la conversin de la energa electromecnica. Con base en los resultados obtenidos por Ampere en 1820, a partir de su experimento sobre las fuerzas que existen entre dos conductores de corriente elctrica, se definen con facilidad cantidades tales como la densidad del flujo magntico, la permeabilidad y el flujo magntico. Una vez establecida la base, nuestra atencin se dirige a la explicacin de las propiedades magnticas de ciertos materiales tiles en la ingeniera, as como a la idea del circuito magntico, los cuales ayudan a la simplificacin de los clculos implcitos en el anlisis de los dispositivos magnticos utilizados en el control electrnico del Equipo Pesado.

1.1. LEY DE AMPERE: DEFINICIN DE CANTIDADES MAGNTICAS

En la figura 1, aparece una modificacin simplificada del experimento de Ampere. La configuracin est dada por un conductor 1 muy largo,

portador de una corriente 1I de magnitud constante y de un elemento

conductor de longitud l que lleva una corriente de magnitud constante

2I , en direccin opuesta a 1I . Tomando el conductor elemental y la

corriente 2I , ambos constituyen un elemento de corriente lI 2 . El

conductor elemental 2 parte de un circuito cerrado en el que fluye 2I ,

pero por razones de simplicidad y comodidad se omiten los detalles del circuito, excepto en la longitud l . Ms an, se supone que los

conductores 1 y 2 se alojan en el mismo plano horizontal y sus paralelos entre s. De acuerdo con la ley de Ampere se concluye que en esta configuracin existe una fuerza sobre el conductor elemental, dirigida hacia la derecha. Adems, se encuentra que la magnitud de la fuerza es

directamente proporcional a lII ,, 21 y el medio que envuelve a los

conductores, e inversamente proporcional a la distancia entre ellos. En trminos de las unidades MKS, la magnitud de esta fuerza, segn puede demostrarse, es la siguiente:

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lIr

IF 2

1

2

N Ecuacin (7.1)

Donde 1I e 2I estn expresadas en amperes, l y r en metros y es

una propiedad del medio. Una interesante revelacin adicional de este experimento es que el conductor elemental 2 se utiliza como dispositivo de exploracin para encontrar aquellos puntos en el espacio donde la fuerza tiene magnitud constante y est dirigida hacia afuera; se determina as un lugar geomtrico que es un crculo de radio r con centro en el eje del conductor 1. En otras palabras, es posible identificar un campo de lneas de fuerza constantes. En relacin con este aspecto, es de utilidad reescribir la ecuacin (7.1) como sigue:

lBIF 2 Ecuacin (7.2)

Donde:

r

IB

2

1 Ecuacin (7.3)

De la ecuacin (6.2) resulta obvio que la cantidad B definida tiene como unidades la fuerza sobre corriente-longitud. En las unidades MKS racionalizadas, lo anterior se expresa como:

metroampere

newtonsB

Ecuacin (7.4)

Donde denota es proporcional a. Un examen ms cuidadoso de esta relacin revela un aspecto muy til del significado de B .

Recurdese que:

metro

segundosamperesvolts

metro

segundoswatt

longitud

energanewton

Ecuacin (7.5)

Que sustituida en la expresin (7.4) permite otra expresin de B como:

22 metro

segundosvolts

mampere

amperessegundosvoltsB

Ecuacin (7.6)

Por la ley de Faraday edtd notamos adems que la unidad de segvolts es equivalente a la de flujo. Por lo tanto, podemos concluir con toda propiedad que B es de hecho una densidad de flujo puesto que tiene las unidades de flujo por metro cuadrado. Cuando el flujo se

expresa en webers , entonces B tiene las unidades de 2/ mwebers o


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teslas. La ecuacin (7.3) indica los factores que determinan la magnitud de B y sirve adems como elemento para identificar la forma en que la

corriente 1I influye en el campo de fuerza alrededor del elemento de

corriente. Es importante advertir que en tanto que 2I no sea cero, el

campo de fuerza y el campo magntico tienen las mismas caractersticas: ambos tienen un lugar geomtrico circular y ambos son cantidades vectoriales que poseen magnitud y direccin.

Sin embargo, por la forma en que se ha definido a B , el campo

magntico existe en tanto que 1I sea diferente de cero,

independientemente del valor de 2I .

En nuestro estudio, se tratar al conductor 1 como el devanado de campo ya que debido a ste se establece el campo magntico de trabajo, mientras que al circuito total del que forma parte el conductor elemental se denominar devanado de armadura.

La direccin del campo magntico se determina con facilidad por la regla de la mano derecha, la cual postula que si el conductor del devanado de campo (en este caso, el 1) se toma con la mano derecha con el pulgar apuntando en la direccin del flujo de la corriente, las lneas del flujo o la densidad del mismo tendrn la direccin de los dedos alrededor del conductor.

a) PERMEABILIDAD: La observacin de la ecuacin (7.1) permite ver que todos los factores que contiene son conocidos, excepto el factor de proporcionalidad , el cual es una caracterstica del medio. Al repetir el

experimento de la Figura (1) en hierro en lugar de aire, se encuentra que

la fuerza es muchas veces mayor con los mismos valores de lII ,, 21 y r .

Figura 1

Por lo tanto, se concluye que debe definirse a partir de la ecuacin (7.1) para los diferentes medios, puesto que es la nica cantidad incgnita. Adems, debido ala forma como se defini la densidad del flujo magntico, la ecuacin (7.3) indica que el efecto del ambiente puede


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describirse en trminos del frado en que crece o decrece la densidad del

flujo magntico con una corriente especfica 1I . As, cuando el medio es

el hierro en lugar del espacio libre, puede decirse que el primero posee una mayor penetracin al campo magntico en una regin dada, es decir, hay una mayor densidad de flujo. Esta propiedad del medio que envuelve a los conductores se denomina permeabilidad.

Cuando se supone a los conductores de la Figura (1) colocados en un

espacio libre y se mide la fuerza con valores especficos de lII ,, 21 y r , la

solucin de la permeabilidad en el espacio libre, obtenida con la ecuacin (7-1) y expresada en unidades SI, viene a ser:

7

0 104 Ecuacin (7.7)

La unidad de la permeabilidad tambin se deriva de la ecuacin (7.10). As:

20 ampere

newtons Ecuacin (7.8)

Pero:

segundoamperesvoltsjoulemetronewtons Ecuacin (7.9)

O bien:

metroampere

sengundosvolts

metroamperes

segundosamperesvolts

20

Ecuacin (7.10)

Sin embargo, volts x segundos / ampere es la unidad de la inductancia expresada en henrys. En consecuencia, la permeabilidad se expresa en unidades de henrys/metro.

En aquellos casos donde el medio es diferente del espacio libre, la permeabilidad absoluta se encuentra con facilidad una vez ms a partir de la ecuacin (7.1).

La comparacin de sta con el resultado obtenido en el espacio libre,

conduce a una cantidad llamada permeabilidad relativa r . Expresado matemticamente, tenemos:

0

r Ecuacin (7.11)

La ecuacin (7.8) indica con claridad que la permeabilidad relativa es simplemente una relacin numrica que expresa el grado en el que la densidad del flujo magntico crece o decrece en relacin con la del espacio libre. En algunos materiales, tales como el Deltamax, el valor de


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r puede exceder de cien mil. Sin embargo, muchos materiales

ferromagnticos tienen valores de r de cientos de miles.

b) FLUJO MAGNTICO : Puesto que B denota la densidad del flujo

magntico, es razonable esperar que la multiplicacin por el rea efectiva que B penetra pueda producir el flujo magntico total. Para ilustrar la Figura (2), representa una bobina de rea ab alojada en el mismo plano horizontal que contiene el conductor 1.

Figura 2

Ya sabemos que cuando la corriente 1I fluye a travs de este conductor

se crea un campo magntico en el espacio, descrito especficamente por la ecuacin (7.3). Para encontrar el flujo total que penetra a la bobina, basta con efectuar una integracin de B sobre la superficie del rea implicada. Por supuesto, si B fuera una constante sobre el rea de nuestro inters, el flujo sera simplemente el producto de B y el rea ab. Considrese a continuacin que el plano de la bobina est inclinado con respecto al plano del conductor 1 en 60, como se describe en la Figura (3).

Figura 3

Ahora est claro que el flujo total que penetra a la bobina se reduce segn un factor de un medio. Si la bobina se orienta en una posicin a 90 con respecto al plano horizontal, no hay flujo que pase por la bobina.


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Con base en estas observaciones, el flujo magntico a travs de cualquier superficie se define con mayor rigor mediante la integral de superficie de la componente normal del campo magntico vectorial B . Expresado matemticamente, tenemos:

s ndAB Ecuacin (7.12)

Donde s se refiere a la integral de superficie, A representa el rea de la

bobina y nB es la componente normal de B sobre el rea de la bobina.

Por la ecuacin (7.6) sabemos que el flujo magntico debe tener las dimensiones de volts-segundos de flujo se entiende mejor en trminos de la ley de la induccin de Faraday.

c) INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNTICO H: En los clculos del circuito magntico, con frecuencia resulta til trabajar con una cantidad que represente el campo magntico y que sea independiente del medio en el cual existe el flujo magntico. En especial, esto es vlido en casos tales como los que se encuentran en las mquinas elctricas donde un flujo comn penetra varios materiales diferentes, incluso el aire. La observacin de la ecuacin (7.3) nos muestra que la divisin de B entre identifica a tal cantidad. En consecuencia, la intensidad del campo

magntico se define como:

BH Ecuacin (7.13)

Y tiene las unidades de:

metro

amperes

ampere

newtons

metroampere

newtons

2

Ecuacin (7.14)

Por lo tanto, H es dependiente de la corriente que lo produce y tambin de la geometra de la configuracin pero no del medio. Para el sistema de la Figura (1) el valor de la intensidad de campo magntico inmediatamente sigue a partir de la ecuacin (7.3) y se expresa por:

r

IBH

21 Ecuacin (7.15)

Dado que H es independiente del medio, es frecuente considerar que la intensidad es la responsable de impulsar la densidad del flujo a travs del medio.


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En general, las unidades de H son ampere-vueltas/metro en lugar de amperes/metro. Esto se hace aparente siempre que el devanado de campo se haga con ms de un solo conductor.

d) LEY DE CIRCUITOS DE AMPERE: Una vez definida la intensidad del campo magntico y habiendo visto que sus dimensiones son los ampere-vueltas/metro, desarrollaremos a continuacin una relacin muy til. Recurdese que H es un vector con la misma direccin del campo magntico B. Una integracin lineal de H a lo largo de cualquier trayectoria cerrada demuestra que es interesante. Por supuesto, se considera la integral de lnea por que H tiene implcita una dimensin por unidad de longitud. As:

r

Idlr

IHdl

2

01

1

2 Amperes Ecuacin (7.16)

(Tngase presente una vez ms que aqu las unidades seran ampere-vueltas si en la Figura (1) hubiera ms de un conductor.) La ecuacin (7.16) expresa que la integral de lnea cerrada de la intensidad del campo magntico es igual a la corriente encerrada (o a los ampere-vueltas) que producen las lneas del campo magntico. Esta relacin se conoce como la ley de circuitos de Ampere y se escribe de manera ms general como:

Ecuacin (7.17)

Donde denota los amperes-vueltas encerrados por la supuesta

trayectoria cerrada de lneas de flujo. La cantidad tambin se conoce como fuerza magnetomotriz y con frecuencia se abrevia fmm. Esta relacin es til en el estudio de los dispositivos electromagnticos.

e) RELACIONES DERIVADAS: En las pginas precedentes se definieron las cantidades magnticas fundamentales (densidad de flujo, flujo, intensidad de campo y permeabilidad), a partir del experimento bsico de Ampere, al tomar en consideracin dos conductores de corriente. Se pueden obtener tiles resultados adicionales mediante la manipulacin apropiada de esas cantidades. La ecuacin (7.13) es de tipo vectorial y describe la intensidad del campo magntico en una geometra y con una corriente dada. Si la longitud total de la trayectoria de una lnea de flujo se supone L, entonces la fuerza magnetomotriz total asociada con la lnea de flujo especfica es:

Ecuacin (7.18)


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Ahora, en aquellos casos donde B sea constante y penetre un rea A fija conocida, el flujo magntico correspondiente puede escribirse, a partir de la ecuacin (7.12), como:

BA Ecuacin (7.19)

Sustituyendo la ecuacin (7.19) en la ecuacin (7.18) obtenemos:

Ecuacin (7.20)

La cantidad entre parntesis en esta ltima expresin resulta de inters por su gran semejanza con la definicin de la resistencia en un circuito elctrico.

A

LR Ecuacin (7.21)

Recurdese que la resistencia en un circuito elctrico representa una oposicin al flujo de la corriente, bajo la influencia de un voltaje de excitacin. El examen de la ecuacin (7.20) permite una interpretacin semejante en el circuito magntico.

Ya nos hemos dado cuenta que es la fuerza magnetomotriz que crea el flujo , el cual penetra la seccin transversal especfica del rea A. Sin

embargo, el valor del flujo est limitado por lo que se llama la reluctancia del circuito magntico, la cual se define como:

Ecuacin (7.22)

No se le asigna un nombre especfico a la dimensin de la reluctancia, y para referirse a ella se mencionan tantas unidades de reluctancia.

La ecuacin (7.19) revela lo siguiente: la oposicin que un circuito magntico presenta par que circule el flujo el cual es directamente proporcional a la longitud e inversamente proporcional a la permeabilidad y al rea de la seccin transversal; resultados por completo consistentes con el razonamiento fsico.

Sustituyendo la ecuacin (7.22) en la ecuacin (7.20) da:

Ecuacin (7.23)

La cual se menciona con frecuencia como la ley de Ohm del circuito magntico. Sin embargo, es importante tener en cuenta que estas manipulaciones en la forma mostrada se permiten mientras B y A sean cantidades fijas.


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f) LEY DE AMPERE PARA DIFERENTES ORIENTACIONES DEL ELEMENTO DE CORRIENTE: En la Figura (1) se supuso que el elemento de corriente estaba en paralelo al conductor 1 y alojado en el mismo plano. Dado que esa orientacin fue suficiente para el propsito propuesto (definir las cantidades magnticas fundamentales), se adopto por razones de utilidad. Sin embargo, con el objeto de proporcionar un panorama ms completo del experimento, considrese ahora el efecto

sobre la fuerza si se coloca el elemento corriente lI 2 en dos orientaciones

adicionales diferentes. Considrese primero que el elemento de corriente ya no es paralelo al conductor 1, pero sigue alojado en el mismo plano horizontal. Consulte la Figura (4). Los puntos en la figura indican que el campo magntico est dirigido hacia fuera en el lado izquierdo del conductor 1 y hacia adentro (con respecto a la superficie del papel) en el lado derecho, como lo indica la regla de la mano derecha. Los resultados de este experimento muestran que la magnitud de la fuerza es la misma que se encontr al usar la configuracin de la Figura (1). Esta conclusin no es sorprendente por que el valor de la densidad del flujo magntico,

as como 2I y l , permanecen inalterados, de modo que la ecuacin (6-2)

sigue siendo vlida para describir la fuerza. El nico cambio est en la direccin de la misma. Sin embargo, como lo indica la Figura (4), la fuerza contina normal al elemento de corriente. Es importante tener presente lo antes dicho. Ahora, describiremos una regla general para establecer la direccin de la fuerza en todas las configuraciones.

Figura 4

Consideremos ahora la orientacin del elemento de corriente paralelo al conductor 1 pero inclinado un ngulo 30 con respecto a la vertical. En la Figura (5) se describe una vista lateral de la configuracin. Ntese que el campo magntico est dirigido hacia abajo a lo largo de la vertical, segn esta vista. Por supuesto, en la realidad el lugar geomtrico de B es circular, pero en la Figura (5) vemos justo la pequea porcin del campo B alrededor del plano que contiene al conductor 1.


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Con esta configuracin la fuerza sobre el elemento de corriente se observa que tiene la misma direccin pero slo la mitad de la magnitud que se obtuvo con la orientacin de la Figura (1). Entonces, se concluye

que el ngulo entre el vector de corriente lI 2 y la densidad del flujo B

afecta la magnitud de la fuerza. De hecho, con la experimentacin adicional se demuestra que la expresin general de la fuerza es:

lBsenIF 2 N Ecuacin (7.24)

La ecuacin (7.24) contiene exclusivamente informacin acerca de la magnitud de la fuerza y no de su direccin; sin embargo, mediante el empleo de la notacin del anlisis vectorial, es posible reescribir la ecuacin (7.24) de modo que contenga la informacin sobre la magnitud y la direccin. Este resultado se obtiene con facilidad mediante el empleo de la notacin del producto cruz entre dos vectores, que da un tercer vector con su magnitud y direccin. As, la ecuacin se expresa en forma ms completa como:

BlIF 2 N Ecuacin (7.25)

Figura 5

Recurdese que le smbolo cruz siempre implica al seno del ngulo entre

dos vectores B y l (o sea la direccin de 2I que se determina por la

orientacin de l ). Adems, siempre que se trate del producto cruz, la

direccin del vector resultante ser normal al plano que contenga a los

vectores B y l con el sentido determinado por la direccin de avance de

un tornillo de cuerda derecha que girara del l hacia B por el menor de

los dos ngulos formados por los vectores. En consecuencia, en la configuracin de la Figura (5) la direccin de la fuerza se encuentra

haciendo girar lI 2 hacia B y observando a continuacin que esto podra

originar el avance de un tornillo de cuerda derecha hacia fuera de la superficie del papel. Por lo tanto la fuerza se dirige hacia fuera, lo que coincide con el resultado establecido de manera experimental.


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Tambin es posible determinar la direccin de la fuerza por medio de otra regla de la mano derecha, que requiere poner el dedo ndice en la

direccin de la corriente y el dedo medio en la direccin de B , suponindolos alojados en un mismo plano. Entonces el pulgar de la mano derecha apunta en la direccin de la fuerza cuando se le orienta perpendicular a los otros dos dedos.

1.2. EL CIRCUITO MAGNTICO: CONCEPTO Y ANALOGAS

En general, los problemas que involucran a los dispositivos magnticos son bsicamente de campo por que tienen que ver con cantidades tales como y B , las cuales ocupan espacios tridimensionales. Sin embargo, por fortuna la mayor parte del espacio que interesa al ingeniero est ocupado por materiales ferromagnticos excepto en los pequeos entrehierros presentes, ya sea porque as se quiere o por necesidad. Por ejemplo, en los aparatos electromecnicos de conversin de energa. El flujo magntico debe permear una masa estacionaria as como una masa rotatoria de materiales ferromagnticos, haciendo as indispensable la existencia de un entrehierro. Por otra parte, en otros dispositivos se debe insertar un entrehierro intencionalmente para enmascarar la relacin no lineal que existe entre B y H . Pero a pesar de la presencia de los entrehierros sucede que el espacio ocupado por el campo magntico y el espacio ocupado por el material ferromagntico son prcticamente uno mismo.

Comnmente, esto es as porque los entrehierros se hacen tan pequeos como lo permite el claro mecnico entre los miembros rotatorio y estacionario y tambin porque el hierro en virtud de su alta permeabilidad confina el flujo dentro de s mismo como el alambre de cobre confina la corriente elctrica o un tubo restringe el flujo de agua.

Con base en esto, el problema de un campo tridimensional pasa a ser un problema de circuito unidimensional y de acuerdo con la ecuacin (7.23) se llega al concepto del circuito magntico. As, podemos ver al circuito magntico configurado por trayectorias predominantemente de hierro, de geometra especfica la cual sirve para confinar el flujo al hierro y a aquella parte del aire que constituye los entrehierros. La Figura (6) representa un circuito magntico tpico que consiste principalmente en hierro.


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Figura 6 Figura 7

Circuito magntico tpico Circuito equivalente unifilar de la De hierro y aire figura 6

Ntese que la fuerza magnetomotriz de la bobina produce un flujo que est confinado al hierro y a los entrehierros con la misma rea de la seccin transversal que el hierro. Ms an, un somero razonamiento nos revela que este circuito magntico puede ser reemplazado por un circuito equivalente representado por una lnea como en la Figura (7). Como lo sugiere las ecuaciones (7.22) y (7.23) el circuito equivalente consiste en la fuerza magnetomotriz de excitacin del flujo a travs de dos

reluctancias conectadas en serie ( , la reluctancia del hierro y , la reluctancia del aire). Esta analoga del circuito magntico con el circuito elctrico se observa en muchos otros aspectos. Con el fin de completar la idea, estos detalles se presentan a continuacin en el caso de un anillo toroidal de cobre de radio medio r con rea de seccin transversal A.

Figura 8 Figura 9


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a) FUERZA DE EXCITACIN

RESPUESTA

O bien:

Ecuacin (7.26)

b) IMPEDANCIA

La impedancia es un trmino general utilizado para indicar el impedimento de una fuerza de excitacin para producir una respuesta.

Ecuacin (7.27) Ecuacin (7.28)

Donde rL 2 es la longitud del crculo del toroide y A es el rea de la seccin transversal toroidal.

CIRCUITO EQUIVALENTE

Figura 10

Intensidad del campo elctrico

Con la aplicacin del voltaje E alta toroide de cobre homognea, se produce dentro del material un gradiente de potencial elctrico dado por:

Intensidad del campo magntico

Cuando se aplica una fuerza magnetomotriz al toroide de hierro homognea se produce dentro del material un gradiente de potencial magntico dado por:


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Este campo elctrico debe ocurrir en una trayectoria cerrada si va a ser mantenido. Se concluye que la

integral de lnea cerrada de es

igual al voltaje de la batera . As:

Como ya se seal en la ley de circuitos de Ampere, la integral de

lnea cerrada de es igual a la fuerza magnetomotriz encerrada. As:


Si se desea encontrar la cada de voltaje entre dos puntos ( a y b ) del

toroide de cobre, podemos escribir:

Las letras fmm se usan para representar la fuerza magnetomotriz. La porcin de la fmm total aplicada entre los puntos a y b se encuentra

de modo semejante:

Es decir:

abab IRV Ecuacin (7.33) Ecuacin (7.34)

Donde abR es la resistencia del

toroide de cobre entre los puntos a y b

Donde es la reluctancia del toroide de hierro entre los puntos a y b

Densidad de la corriente

Por definicin, la densidad de corrientes es la cantidad de amperes por unidad de rea. As:

Densidad del flujo

La densidad de flujo se expresa en webers por unidad de rea. As:



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O bien:


Esta ltima expresin suele identificarse como la forma microscpica de la ley de Ohm.

No debe inferirse de lo anterior que los circuitos elctricos y magnticos anlogos a aquellos que existen en los circuitos elctricos. Adems, cuando se implanta y mantiene una corriente directa en un circuito elctrico, debe suministrarse energa en forma continua. No se da situacin anloga en el caso magntico, donde un flujo que se establece, se mantiene de manera constante. Los clculos de los circuitos magnticos se pueden efectuar mediante el uso de sistemas de unidades diferentes. Estos diferentes sistemas surgieron inicialmente por que se pens que los fenmenos de la electricidad y el magnetismo no estaban relacionados entre s (por lo tanto, esto dio lugar al desarrollo de sistemas de unidades separados para cada caso), y despus, porque se dese llegar a valores de unidades prcticas, una vez descubiertas las relaciones. Hasta ahora, la atencin se ha concentrado en el sistema mks de unidades como norma para el trabajo cientfico, y ahora se le conoce como SI (Sistema Internacional) de unidades. Sin embargo, una buena parte de la literatura del pasado est escrita en trminos del sistema CGS (centmetro-gramo-segundo). Ms an, mucho de los clculos en el presente se efectan en trminos del sistema mixto, mediante el empleo de unidades tales como los ampere-vueltas/in, los maxwells/in y los ampere-vueltas, debido a las ventajas que ofrecen al tratar con dimensiones expresadas en pulgadas. Por estas razones, en la Tabla (6-1) se muestran las unidades de los tres sistemas.

El weber, que es la unidad de flujo en el sistema SI, es igual a

810 maxwells (o lneas), donde el maxwell es la unidad de flujo en el

sistema CGS. El gilbert es la unidad CGS de la fmm y es igual a 4,0

veces el nmero de ampere-vueltas. La unidad CGS de la intensidad del campo magntico H es el oersted (gilbert/cm) y la unidad CGS de la

densidad del flujo B es el gauss (o 2/ cmlneas ). Las relaciones de la

misma cantidad entre los diferentes sistemas de unidades se dan en la ltima columna de la tabla.


70

1.3. CLCULO DE CIRCUITOS MAGNTICOS

Los clculos de los circuitos magnticos que involucran materiales ferromagnticos se dividen bsicamente en dos categoras. En la primera se conoce el valor del flujo y se requiere encontrar la fuerza magnetomotriz que lo produce. Este es un caso tpico en el diseo de los convertidores de energa electromecnica de ca y cd. Con base en la escala de voltaje deseado en un generador elctrico o en la escala de los pares en un motor elctrico, la informacin respecto al flujo magntico se obtiene con facilidad.

Entonces, con esa informacin y la configuracin del circuito magntico, la fmm total necesaria para establecer el flujo se determina en forma directa. En el segundo caso, se debe determinar el flujo, conociendo la geometra del circuito magntico y de la fmm aplicada. Una aplicacin de este caso en ingeniera es el amplificador magntico, donde con frecuencia se necesita encontrar el flujo magntico resultante debido a uno o ms devanados de control. En razn de la reluctancia (o permeabilidad) del material ferromagntico (la cual no es constante), la solucin de este problema es considerablemente ms compleja que la de la primera categora, como se ilustra en los ejemplos siguientes:

Figura 11

Toroide compuesto por tres materiales diferentes.

EJEMPLO 1. Un toroide est compuesto por tres materiales ferromagnticos y equipado con una bobina de 100 vueltas, como se representa en la Figura 10. El material a es una aleacin de nquel-hierro

con un arco de longitud media aL de 0,3m. El material b es silicio acero

y tiene un arco de longitud media bL de 0,2m. El material c es acero

fundido con un arco de longitud media igual a 0,1m. Los tres materiales

tienen un rea de la seccin transversal de 0,001 2m .

a) Encuentre la fuerza magnetomotriz necesaria para establecer un flujo

magntico de LneasWb 60000106 4

b) Qu corriente debe hacerse fluir por la bobina? c) Calcule la permeabilidad relativa y la reluctancia de cada material

ferromagntico.


77


78

SOLUCIN 1:

a) Para obtener la fmm total de la bobina, todo lo que necesitamos hacer es aplicar la ley de circuitos de Ampere. As:

Las cantidades incgnitas son cba HHH ,, . Estas pueden determinarse

con facilidad a partir del conocimiento de la densidad del flujo, la cual en este caso es la misma para cada seccin ya que el flujo es comn y las reas de la seccin transversal son iguales. Por lo tanto:

Ahora aH se encuentra en la curva BH de la aleacin de nquel-hierro

de la Figura 12, en el punto correspondiente a 6,0aB . Se produce:

de modo semejante:

En consecuencia, la fmm total requerida es:

Ntese que aunque la longitud de la trayectoria del acero fundido es la ms corta, eso no es obstculo para que requiera la mayor porcin de la fmm que fuerza a circular el flujo especificado. Esto es as a causa de su baja permeabilidad, como se ve en el inciso (c).

b) En el sistema SI la fmm es igual al nmero de ampere-vueltas. Por lo

tanto:

c) Por la ecuacin (7.13)

mH

B

H

a

a

a 06,010

6,0

Tambin:

ara 0


79

746,47104

06,07

0

ara

Adems por la ecuacin (7.20) se encuentra que la reluctancia es:

Unidades mks racionalizadas de reluctancia

Procediendo de modo semejante con los materiales b y c se llega a los siguientes resultados:

Consideremos ahora un problema ms difcil: consiste en encontrar el flujo en un circuito magntico dado, correspondiente a una fmm especificada. No se puede llegar directamente a la solucin porque, como resultado de la relacin no lineal entre B y H , se tienen muchas incgnitas. La manera ms fcil de encontrar la solucin es emplear un procedimiento de tanteos, guiado por el conocimiento de las caractersticas de permeabilidad de los materiales tal como aparecen en sus curvas de magnetizacin. El ejemplo siguiente ilustra la tcnica referida.

EJEMPLO 2. En el ejemplo del toroide (6-1), representada en la Figura (8), encuentre el flujo magntico producido por una fueraza

magnetomotriz aplicada .

SOLUCIN 2:

La solucin no puede determinarse de manera directa por que para hacerlo necesitamos conocer la reluctancia de cada parte del circuito magntico, la cual puede conocerse slo si la densidad del flujo es

conocida, lo que implica que debe ser conocido justo al principio. Se observa que esto es imposible. Para obtener la solucin mediante un procedimiento de tanteos, comenzamos primero todas las fmm aplicadas a travs del material que

tiene la reluctancia ms elevada. Esto produce un valor aproximado de el cual puede ser refinado en lo subsecuente. La observacin de la Figura (9) revela que el conductor magntico ms pobre es el acero fundido. Por lo tanto, suponiendo que la fmm entera

aparece a travs del material c podemos encontrar H , lo que nos permite

determinar B , que a su vez permite encontrar . As:


80

A partir de la Figura 12:

WbABTB

cc

c

00065,0001,065,0

65,0

Este valor representa la primera aproximacin al flujo, segn se indica con el subndice.

Tambin, puesto que el rea de la seccin transversal es la misma en los tres materiales, se incluye que:

TBBB cba 65,0 La consulta a la curva de magnetizacin del nquel-hierro permite ver que

el valor de aH correspondiente a aB es despreciable comparada con

cH . Por lo tanto, para propsitos prcticos su efecto se puede despreciar.

Sin embargo, ntese que el silicio acero medio tiene una bH de valor

cercano a 90 A-v/metro. Esto junto al hecho de que cb LL 2 indica que

el material b toma cerca de la mitad de la fmm que a su vez toma el

material c para mantener el flujo en actividad. En otras palabras, en este

punto de nuestro anlisis podemos hacer un refinamiento cerca del 50% de la asignada a c debe asignarse a b . As tenemos que:

(Supuesta) Pero:

(Supuesta) Por lo tanto:

En consecuencia, se puede obtener una segunda aproximacin a la solucin. Por lo tanto:

mvAH c

2331,0

3,23

La cual a su vez produce:

TBc 4,0


81

De modo que el nuevo valor del flujo queda:

WbAB cc 0004,02

Para determinar si sta es o no la respuesta correcta, en este punto debemos calcular las cadas de fmm en cada material y sumarlas para ver si dan un valor igual a la fmm aplicada. Si no es as, el procedimiento anterior debe repetirse hasta que se satisfaga la ley de circuitos de Ampere. Al hacer esta verificacin en la segunda aproximacin, tenemos:

mvAHb

62 Que corresponde a 4,0aB

Y:

mvAH a

7,5 Con 4,0aB

En consecuencia:

vAHL

HL

LHLHLHHL ccbbaa

4,373,234,127,1

)1,0(233)2,0)(62()3,0)(7,5(

Es obvio que hay un exceso cercano al 7%. Por lo tanto, en un tercer tanteo se reduce el mayor contribuyente a la fmm segn factor de 5%. Es decir, supngase ahora que:

Entonces:

mvAH c

220 y 375,0cB

Wb000375,03

En correspondencia a este flujo, encontramos:

59bH y 5aH Por lo tanto:

Atfmm 3,3522)2,0)(59()3,0)(5(

Puesto que esta suma de fuerzas magnetomotrices es consistente con la fmm aplicada de 35 At, la solucin correcta del flujo es:

LneasWb 37500000375,0


82

Al hacer clculos de circuitos magnticos de la clase recin ilustrada, es comn aceptar como vlida cualquier solucin que est dentro de %5 de la solucin exacta. La razn de esto es que estamos tratando con curvas de magnetizacin normales empleado en el circuito especfico en la realidad. Pueden existir desviaciones, y a menudo existen.

Como ejemplo final para ilustrar los clculos de circuitos magnticos, resolvamos un problema que incluya trayectorias magnticas en paralelo, as como la existencia de un entrehierro. Ms an, consideraremos slo el primer tipo donde se va a determinar la fmm necesaria para establecer un flujo especfico. Esto se justifica no slo porque la solucin es directa, sino porque es con mucho la ms representativa de la clase de problemas de circuitos magnticos que probablemente enfrente el ingeniero.

EJEMPLO 3. Un circuito magntico con la configuracin y las dimensiones descritas en la Figura (10) est hecho de acero fundido y tiene un espesor de 0,05m y un entrehierro de 0,002m de longitud entre los puntos g y h . El problema consiste en encontrar la fmm que debe

producir la bobina con el fin de establecer un flujo en el entrehierro de

Wb4104 (o 40000 lneas).

SOLUCIN:

El mtodo de solucin se puede averiguar con facilidad al consultar el circuito equivalente de este circuito magntico representado en la Figura

(6-11). El conocimiento de g , nos capacita para encontrar la cada de

fmm que aparece entre b y c . A partir de esta informacin se puede

determinar el flujo en la pierna bc , y una vez sumado a g , encontramos

el flujo en la pierna cab . A su vez, la fmm necesaria par mantener el flujo

total en la pierna cab puede calcularse, y cuando la sumamos a la cada

de fmm a travs de bc , obtenemos la fmm resultante.

Figura 13


83

Figura 14

Los clculos implcitos en las diferentes partes del circuito magntico son los siguientes:

Parte gh . Este es el entrehierro en el cual se ha especificado el flujo de

Wb4104 . El rea de la seccin transversal del claro es 20025,0)05,0)(05,0( m . Sin embargo, se considera que esta rea es

ligeramente mayor por la tendencia del flujo a pandearse hacia fuera desde las orillas del entrehierro (conocida como desbordamiento). Por razones de simplificacin despreciamos este efecto. As, se encuentra que la densidad del flujo en el entrehierro es:

TA

Bg

g

g 16,00025,0

104 4

Puesto que la permeabilidad del aire es prcticamente igual a la del espacio libre, tenemos:

mvA

BH

g

g

127300

104

16,07

0

Y:

Partes bg y hc . La longitud del material ferromagntico aqu

involucrado es:

mLL

LL

LL

LLLLL

hcbg

hcbg

fk

efdebdhcbg

498,0

002,01,0025,01,0025,02

22


84

Adems, se encuentra que la intensidad del campo H correspondiente a una densidad del flujo de 0,16 T en el acero fundido es de 125 A-vueltas/m. Por lo tanto:

Parte bc . Dado que la trayectoria bfkc est en paralelo con la

trayectoria bc , la fmm total a travs de la trayectoria bfkc tambin aparece a travs de la trayectoria bc . Luego entonces:

Tambin:

Y en la Figura 12 se encuentra que la densidad del flujo del acero fundido correspondiente a ese flujo es:

Por lo tanto:

Parte cab . En consecuencia, el flujo total en la pierna cab es:

Entonces, el conocimiento de este flujo conduce a la determinacin de la fmm necesaria para sostenerlo en la pierna cab . As tenemos:

De donde:

Por lo tanto:

Por lo tanto, la fmm total requerida para producir el flujo deseado en el entrehierro es:


85

1.4. PRDIDAS POR HISTRESIS Y CORRIENTES DE EDDY EN MATERIALES FERROMAGNTICOS

El proceso de magnetizacin y desmagnetizacin de una material ferromagntico en condicin simtricamente cclica implica el almacenamiento y la descarga de energa en un proceso que no es por completo reversible. Cuando el material se magnetiza durante cada medio ciclo se encuentra que la cantidad de energa almacenada en el campo magntico excede a la que se descarga durante la desmagnetizacin. La caracterstica sobresaliente del ciclo de histresis es el atraso en la reorientacin de los dominios en respuesta a una fuerza magnetizante con variacin cclica. Un ciclo de histresis nico se representa en la Figura 15. La direccin de

las flechas en esta curva indica la forma en la cual B cambia al variar H desde cero hasta un mximo positivo y a travs de cero hasta un mximo negativo y retorno a cero otra vez, completando as el ciclo. Para apreciar el significado de las diferentes reas sombreadas de la Figura 15, revisemos las unidades asociadas al producto de B por H . As:

Ecuacin (7.39) Pero:

Por lo tanto:

Ecuacin (7.40) Donde se reconoce con facilidad una densidad de energa. Por lo tanto, al tratar con reas que implican a B y H en su relacin con un ciclo de histresis, estamos tratando en realidad con densidades de energa expresadas por ciclo, ya que el ciclo de histresis se repite en cada variacin cclica de H . La energa almacenada en el campo magntico durante esa porcin de la variacin cclica de H cuando sta se incrementa desde cero hasta su valor mximo positivo (suponiendo que el material ya alcanz un estado cclico) est dada por:

Ecuacin (7.41) Donde se emplean las unidades mks; es decir, H debe expresarse en

mvA y B en teslas. Ntese que los ejes de la Figura 15 estn

identificados de esa manera. Adems, durante la porcin de la variacin cclica cuando H decrece de su valor mximo positivo hasta cero (al seguir


86

a lo largo de la curva bc del ciclo de histresis), el campo magntico est

descargando energa que vuelve a la fuente, y esta cantidad se puede representar mediante:

Ecuacin (7.42)

En esta ecuacin, puesto que cb BB la cantidad 2w ser negativa, lo que

indica que la energa esta siendo absorbida por el campo, cuando H se incrementa en la direccin positiva, se puede representar mediante el rea

abdca . En forma parecida, la energa descargada por el campo cuando H

vara desde mxH hasta cero puede representarse por el rea bdcb .

Figura 15 Ciclo de histeris y relaciones de energa por medio ciclo.

La diferencia entre estas dos densidades de energa representa a la cantidad de energa, la cual no vuelve a la fuente sino que es disipada como calor mientras los dominios se realinean en respuesta a la intensidad del campo magntico cambiante. Esta disipacin de energa se conoce como prdidas por histresis. Tngase presente que la figura (12) describe estas prdidas de densidad de la energa durante una variacin de H durante medio ciclo. Por lo tanto el rea abca representa

las prdidas por histresis por medio ciclo. De la simetra de la curva se concluye que al completarse la variacin en el medio ciclo negativo de H da lugar a una prdida igual de energa. Por lo tanto, al variar H durante un ciclo completo, la prdida total de energa por metro cbico se representa mediante el rea del ciclo de histresis. Ms especficamente,


87

esta prdida de energa por ciclo se puede expresar matemticamente como:

esisloDeHistrAreaDelCicwh ciclom

J

3 Ecuacin (7.43)

Donde se emplean las unidades racionalizadas mks para H y B .

Con frecuencia se desea expresar las prdidas por histresis de los materiales ferromagnticos en watts (la unidad de potencia). Un somero

razonamiento acerca de las unidades de hw en la ecuacin (6-30) nos

indica cmo obtener esto en forma directa. As:

segundociclosvolt

potencia

ciclosvolt

segundospotencia

ciclosvolt

energawh

Ecuacin (7.44)

Hagamos ahora:

hP = Prdida de potencia en watts

v = Volumen del material ferromagntico f = ciclos/segundos = frecuencia de variacin de H

Entonces la ecuacin (6-31) queda:

vf

Pw hh Ecuacin (7.45)

O bien:

vfwP hh Ecuacin (7.46)

Donde hw (la prdida en la densidad de la energa) se calcula segn la ecuacin (7.43).

Para solventar la necesidad de encontrar el rea del ciclo de histresis con el objeto de calcular las prdidas por histresis en watts segn la

ecuacin (7.46), Steinmetz obtuvo una frmula emprica de hw basada en

un gran nmero de mediciones en diferentes materiales ferromagnticos. El expres las prdidas de potencia por histresis como:

n

mhh BvfKP Ecuacin (7.47)

Donde mB es el valor mximo de la densidad del flujo y n se encuentra en la escala 5,25,1 n , dependiendo del material utilizado. El


88

parmetro hK tambin depende del material. Algunos valores tpicos

son: acero fundido 0,025, acero en placa de silicio 0,001 y permalloy 0,0001.

Adems de las prdidas de potencia por histresis, ocurren otras prdidas importantes en materiales ferromagnticos sometidos a flujos magnticos variantes en el tiempo: las prdidas por corrientes de Eddy. Este trmino se usa para identificar la prdida de potencia asociada a las corrientes circulantes que se encuentran en trayectorias cerradas dentro del cuerpo de un material ferromagntico, causando una prdida por calor indeseable.

Estas corrientes circulantes se crean por las diferencias de potencial que existen a travs del cuerpo del material sometido a la accin de un flujo cambiante. Si el circuito magntico est compuesto por hierro slido o sin mezcla, la prdida de potencia consecuente es apreciable debido a que las corrientes circulantes encuentran una resistencia relativamente baja. Para incrementar de manera significativa la resistencia que encuentran estas corrientes de Eddy, el circuito magntico se conforma con unas laminaciones muy delgadas (se usan espesores de 14 a 25 milsimas de pulgada de espesor) siempre que el dispositivo electromagntico est expuesto a que un flujo variable lo permee en su operacin normal. Este es el caso de los transformadores y todos los motores y generadores de ca. La siguiente es una ecuacin emprica de las prdidas por corrientes de Eddy:

vBfKP mee222 W Ecuacin (7.48)

Donde:

eK = Una constante que depende del material

f = Frecuencia de variacin del flujo en Hz

mB = Densidad del flujo mximo = Espesor de la laminacin v = Volumen total del material

La comparacin de esta ecuacin con la ecuacin (6-34) revela que las prdidas por corrientes de Eddy varan en funcin del cuadrado de la frecuencia, mientras que las prdidas por histresis varan directamente con la frecuencia.

Tomadas en conjunto las prdidas por histresis y por corrientes de Eddy constituyen lo que suele llamarse prdidas en el ncleo de los dispositivos electromagnticos, cuya operacin involucra flujos variantes en el tiempo. Se ha consagrado una atencin ms que superficial a estas prdidas porque, como se ver, las prdidas en el ncleo tienen gran trascendencia en la elevacin de la temperatura, la eficiencia y la operacin segn el diseo de los dispositivos electromagnticos.


89

1.5. RELEVADORES: UNA APLICACIN DE LA FUERZA MAGNTICA

Un relevador es un dispositivo electromagntico que suele activarse con una energa relativamente pequea, dando lugar a que una armadura ferromagntica mvil abra o cierre uno o varios pares de contactos elctricos localizados en otro circuito de control o en un circuito principal que maneja grandes volmenes de energa. Los arrancadores de los motores de ca y cd estn equipados con relevadores diseados para garantizar la operacin apropiada de los motores durante las condiciones de arranque y marcha. Estos dispositivos se encuentran en muchos equipos y en todos los campos de la ingeniera, especialmente en los casos que implican el control de algn proceso o alguna mquina. Nuestro objetivo en esta seccin consiste en describir los principios sobre los que se basa la operacin de estos dispositivos electromagnticos. Aparte del conocimiento que brinda, este tratamiento motiva el estudio de la teora de los campos y los circuitos magnticos.

Figura 16

Curva de magnetizacin lineal de un relevador

Nuestro inters primario consiste en elaborar una ecuacin de la fuerza magntica que muestre cmo es posible efectuar trabajo mecnico (moviendo la armadura de un relevador) tomando energa de la que almacena el campo magntico. Adems, puesto que la justificacin se encuentra en los principios implcitos, se imponen simplificaciones como las de ignorar la saturacin y las prdidas; es decir, se har uso del anlisis lineal. En consecuencia, se supone recta la grfica de magnetizacin del material ferromagntico, como se ve en la Figura (13) (a) (slo se muestra la curva que corresponde a los valores positivos de H ).


90

Ahora, mediante la modificacin apropiada de los ejes de la funcin graficada en la Figura 16 (a), acontece algo que es significativo y til. Recurdese primero que el rea entre el eje B y la curva de magnetizacin representa la energa de la fuente absorbida y almacenada en el campo magntico sobre una base por unidad de volumen. La ecuacin (7.41) expresa este resultado en forma matemtica. Se repite a continuacin:

Ecuacin (7.49)

En la situacin simplificada de la Figura 7.16 (a), la ecuacin (7.49) representa simplemente el rea del tringulo OaB . As:

Ecuacin (7.50)

Donde H se supone fija en el valor indicado.

Adems, puesto que fw es una densidad de energa, la energa total

almacenada en el campo magntico se encuentra multiplicando la ecuacin (6-28) por el volumen. As:

ALwvwW fff Ecuacin (7.51)

Donde L es la longitud y A el rea de la seccin transversal del circuito magntico. Sustituyendo la ecuacin (6-37) en la ecuacin (6-38) da:

Ecuacin (7.52)

Ntese que en esta ecuacin A se combina con B para identificar al flujo

y H se combina con L para identificar la fuerza magnetomotriz .

En la Figura 16 (b), aparece una representacin grfica de la ecuacin (6-39). Puede verse que la Figura 16 (b) proviene de la Figura 16 (a) al multiplicar el eje de las ordenadas por A y el eje de las abscisas por L , y

luego graficando contra . Entonces, para una H fija (o ) el rea

OaB de la Figura 16 (a) da la densidad de la energa, en tanto que el rea

correspondiente OaB de la Figura 16 (b) da la energa total almacenada

en el campo magntico.

Para entender cmo se puede hacer trabajo mecnico en la abstraccin de la energa almacenada en el campo magntico, considere el conjunto


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de circuitos que aparece en la Figura 17, que representa la composicin bsica de un relevador electromagntico.

Figura 17 Composicin bsica de un relevador electromagntico

Consiste en una bobina de excitacin colocada en un ncleo ferromagntico fijo equipado con un elemento mvil llamado armadura del relevador. Al relevador lo energiza una fuente de voltaje constante a travs de un resistor ajustable R . Para comenzar, considrese que R

est fijo en aquel valor que hace la fmm de la bobina igual a y produce el flujo como se ve en la Figura 16 (b). Entonces se ajusta R

para incrementar la fmm den d y en consecuencia, el flujo en d , suponiendo que la armadura del relevador se sostiene para conservar la reluctancia invariante.

La Figura 16 (b) muestra que de la fuente se absorbe una cantidad adicional de energa, la que se almacena en el campo magntico casi igual al representado por el rea del rectngulo abdc . A continuacin se

reajusta R para hacer d cero, y entonces, conservando fija en la fmm, se suelta la armadura, permitindole que se mueva en la direccin que disminuye el entrehierro. La armadura se sostiene otra vez cuando la reluctancia disminuida causa que el flujo se incremente en una

cantidad d previamente determinada.

Es importante advertir que despreciando los efectos de segundo orden, la nueva posicin (de baja reluctancia) de la armadura tambin es la causa de que la fuente puede suministrar una cantidad adicional de energa casi igual a la representada por el rea abdc como antes, pero con una

diferencia significativa. Mientras que la armadura se sostiene fija, la energa adicional suministrada por la fuente se convierte por completo en energa magntica almacenada; por otra parte, cuando a la armadura se le permite moverse hacia la posicin de reluctancia ms baja, slo se almacena en el campo magntico la mitad de la energa suministrada adicionalmente. La otra mitad se consume en el desempeo del trabajo mecnico necesario para mover la armadura del relevador desde la ms


92

alta hasta la ms baja posicin de reluctancia. La explicacin de que sea la mitad de la energa se confirma examinando la Figura 16 (b) si notamos que el rea del tringulo Oac es un medio del rea del

rectngulo abdc . La pendiente de la curva de magnetizacin es la

permeabilidad y por lo tanto puede usarse como una medida de la reluctancia. As, mientras mayor sea la pendiente de la curva de magnetizacin, mayor ser y menor la reluctancia.

Para que la curva de magnetizacin de la Figura 16 (b) pase de la posicin Oa a la Oc , se necesita mover la armadura del relevador a una

posicin correspondiente al menor entrehierro. El trabajo mecnico desplegado para efectuar lo anterior est representado por el rea Oac

de la Figura 16 (b)

Las conclusiones de la explicacin anterior se pueden expresar ahora en forma matemtica. Sin embargo, es importante tener presente que el intercambio de energa entre el campo magntico y el sistema mecnico (la armadura del relevador) implica necesariamente un cambio en la reluctancia. En otras palabras, el cambio en la energa para hacer

trabajo mecnico, mdW es igual al cambio en la energa del campo

magntico asociado al cambio en la reluctancia . As, por las ecuaciones (7.23) y (7.52) tenemos:

Ecuacin (7.53)

Donde el signo negativo destaca que el trabajo mecnico se hace a costa de un decremento en la reluctancia.

Con facilidad se obtiene una expresin del campo magntico desarrollando en la armadura del relevador, si se recuerda que:

Ecuacin (7.54)

Don de F es la fuerza en newtons. Sustituyendo esta expresin en la ecuacin (6-40) da:

Ecuacin (7.55)

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza magntica instantnea depende del valor del flujo tanto como de la razn de cambio de la reluctancia. Ms an, la direccin de esta fuerza es siempre de caractersticas tales que dan lugar a un decremento de la reluctancia, como lo indica su signo menos.


93

EJEMPLO 4. En el circuito del relevador de la Figura (14), suponga que el rea de la seccin transversal del ncleo fijo y de la armadura del relevador es A y que el flujo en el entrehierro es . Despreciando la

reluctancia del hierro, encuentre la expresin de la fuerza magntica que existe en la armadura del relevador.

SOLUCIN 4:

Debemos encontrar la razn de cambio de la reluctancia con respecto a la distancia a lo largo de la superficie deslizante. As:

Ecuacin (7.53)

Donde g = longitud del entrehierro

Ecuacin (7.56) Pero:

Ecuacin (7.57) Por lo tanto:

Ecuacin (7.58)

Sustituyendo esta ltima expresin en al ecuacin (7.55) da el resultado buscado:

Ecuacin (7.59)

EJEMPLO 5. En la Figura 18 puede verse la vista en seccin transversal de un magneto de mbolo buzo cilndrico. El mbolo buzo (o armadura) tiene libertad para moverse dentro de una gua no ferromagntica alrededor de la cual la bobina se encuentra rodeada por una celda de acero de forma cilndrica. El mbolo buzo est separado de la celda por un entrehierro de longitud g .

a) Obtenga la expresin de la fuerza magntica ejercida sobre el mbolo

buzo cuando est en la posicin segn la Figura 18. La longitud del mbolo buzo es cuando menos igual a la de la celda. Adems tiene un radio de a metros. Desprecie la reluctancia del acero.

b) Encuentre la magnitud de la fuerza cuno la fmm es de 1414 A-v y las dimensiones del imn del mbolo buzo son:

ma

mx

025,0

025,0

mg

mh

00125,0

05,0


94

Figura 7.18

SOLUCIN 5:

Antes de proceder con los clculos revisemos el principio que explica la existencia de la fuerza. Segn la direccin supuesta de la corriente de la bobina, una trayectoria de flujo tpica es la que se representa en la Figura 18. Ntese que la trayectoria del flujo debe cruzar el entrehierro dos veces. En particular, es importante notar tambin que la reluctancia vista por el flujo cuando atraviesa el claro inferior es menor que la vista por el mismo flujo al cruzar el claro de la parte superior del mbolo buzo, dado que el rea de la seccin transversal del circuito magntico es menor en la parte superior que en la inferior del mbolo buzo. De hecho, en la parte inferior del, mbolo buzo el rea de la seccin transversal vista por el flujo est fija en todas las posiciones del mbolo buzo dentro de la

escala de hx 0 , y especficamente es igual a ah2 (suponiendo que g es pequea comparada con a ). En consecuencia, se crea una

fuerza sobre el mbolo buzo dirigida en el sentido que decrementa la reluctancia. Esto significa que la fuerza magntica acta para mover al mbolo buzo hacia arriba.

a) La solucin de esta parte se obtiene de la ecuacin (7.55), pero antes

necesitamos identificar la expresin correcta de la reluctancia vista por el flujo. La reluctancia del acero es despreciable. Por lo tanto, la reluctancia asociada al flujo tpico de la Figura (18) es tan slo la suma de las reluctancias asociadas a cada entrehierro. As:

Ecuacin (7.61)


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Entonces:

Ecuacin (7.62) Tambin:

Ecuacin (7.63)

Sustituyendo las ecuaciones (7.62) y (7.63) en la ecuacin (7.55) obtenemos:

N Ecuacin (7.64)

b) Sustituyendo las dimensiones especficas en la ecuacin (6-51) se obtiene la fuerza magntica como:

lbNF 74,1570


96

ANOTACIONES:

manual electricidad unidades calculo cicuitos magneticos

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