Mtodo para el clculo de races de funciones no lineales

Universidad Politcnica del Estado de Morelos (UPEMOR)

Ttulo del trabajo: Mtodo para el clculo de races de funciones no lineales

Materia:Mtodos Numricos

Nombre del Alumno: Osvaldo Santilln Santilln ( SSOO139738 )

Grado y Grupo:Ing. Electrnica y Telecomunicaciones 5A

Lugar y Fecha:Jiutepec, Mor. A 19 de Febrero del 2015

1.1 Mtodo de la Secante.

1.1.2Antecedentes Histricos

La historia del descubrimiento de la solucin algebraica de la cubica enfrent a dos grandes rivales italianos: Cardano y Tartaglia hacia 1540, y Ferrari, alumno y secretario de cardado resolvi en 1545 la ecuacin de cuarto grado. Posteriormente fueron muchos los matemticos eminentes que trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro, aunque en vano puesto que el matemtico noruego Abel en 1893 probo que es imposible resolver por radicales la ecuacin general de grado mayor que cuatro. En consecuencia, para calcular las races de polinomios de grado mayor que cuatro es imprescindible usar tcnicas numrica. El algoritmo de la secante es uno de los mtodos ms antiguamente conocido para la solucin de f(x) = 0, pero sorprendentemente fue abandonado hasta fechas recientes, cuando sus importantes ventajas, particulares para su uso sobre computadores, han sido de nuevo realizadas.La bsqueda de soluciones reales ha cautivado la atencin de los matemticos desde sus primeros tiempos, ocupando un lugar importante en el estudio de las matemticas. Encontrar una solucin exacta de un problema puede llegar a ser imposible, o puede que no podamos encontrar una respuesta de forma conveniente en una gran cantidad de aplicaciones reales. Los mtodos numricos son tcnicas matemticas que se utilizan para resolver problemas matemticos que no se pueden resolver, o que son difciles de resolver analticamente. Una soluciona analtica es una solucin exacta que tiene la forma de una expresin matemtica en funcin de las variables asociadas al problema que se quiere resolver. Una solucin numrica es un valor numrico aproximado (un nmero) de la solucin de ah la curiosidad de encontrar esas aproximaciones muchos matemticos realizaron mtodos para aproximarse a ese valor numrico. Uno de los mtodos famosos es el de la biseccin, newton-raphson, la secante, muller, entro otros. En muchos mtodos numricos los clculos se ejecutan de manera iterativa hasta que se alcanza una exactitud exacta.- En resumen el mtodo se basa en la frmula de Newton-Raphson, pero evita el clculo de la derivada y es uno de los objetivos de este mtodo eliminar el problema de la derivada de la funcin, ya que existen funciones que describen fenmenos fsicos en la vida real, cuya derivada es muy compleja. En el mtodo de la secante en lugar de obtener una sucesin de intervalos se calcula la sucesin de nmeros que aproximan a cero.

1.1.3Fundamento de Operacin

El mtodo de la secante: es un mtodo para encontrar los ceros de una funcin de forma iterativa. Es una variacin del mtodo de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de una funcin en el punto de estudio, teniendo en mente la definicin de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la funcin evaluada en el punto de estudio y en el punto de iteracin anterior. Es un mtodo de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iniciales, los cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace bsicamente, es trazar rectas secantes a la curva de la ecuacin que se est analizando, y verificar la interseccin de dichas rectas con el eje de las X para conocer si es la raz que se busca. Al ser un mtodo abierto, converge con la raz con una velocidad semejante a la de Newton-Raphson, aunque de igual forma corre el riesgo de no converger con esta nunca. Su principal diferencia con el mtodo de newton-raphson es que no se requiere obtener la derivada de la funcin para realizar las aproximaciones, lo cual facilita las cosas al momento de crear un cdigo para encontrar races por medio de este mtodo.

Definicin.Debido a que el mtodo de la secante se basa en el mtodo de newton-raphson, pero evitando el usar la derivada de la funcin. Lo anterior lo logra haciendo uso para la siguiente aproximacin: Si se sustituye dicha aproximacin en el lugar de la derivada en la frmula de newton-raphson, se obtiene lo siguiente:

El mtodo de la secante seria la siguiente:

Ntese que como se mencion anteriormente para poder calcular el valor de , necesitamos conocer los dos valores anterior y

1.1.4 Ventajas y DesventajasVentajas de este mtodo es sencillo y mejor que el de biseccin y falsa posicin, pues tiende ms a converge que el de aproximaciones sucesivas y es ms rpido que este y que el de la biseccin como se mencion anteriormente. En cambio el mtodo de Newton es una tcnica extremadamente poderosa, pero tiene un inconveniente que, a veces, puede ser muy importante: la necesidad de evaluar f(x) y, sobre todo, f (x) en cada paso del procedimiento, en cambio en la secante deshacemos esa derivada. Procede independientemente de los signos de la funcin, es decir, no se tienen en cuenta el signo de la funcin para estimar el siguiente punto.Desventajas.- este mtodo al ser un proceso iterativo, corre el mismo riesgo que el mtodo de Newton-Raphson de no converger a la raz, mientras que el mtodo de la regla falsa va a la segura, adems dicha convergencia no se asegura si la primera aproximacin a la raz no es lo suficientemente cercana a ella, ni tampoco se asegura cuando la raz es multiple.

2.1Operacin del Programa

Al iniciar el programa te pedir una funcin, debers agregar una funcin cualquiera este ya es opcional del usuario que tipo de funcin ingresara, por ejemplo agregaremos la funcin de: en el caso de octave para ingresar dicha funcin es del siguiente modo.

9*exp(-x)*cos(2*pi*x)-3.5 ; Como se observa para agregar la e es con la expresin exp( variable ) ya que se agregamos esta expresin e^-x nos marcara error el programa y por ende, se deber ejecutar de nuevo. Ya con el cos(variable), no hay ningn problema as se asigna. En la siguiente ilustracin 1 se mostrara el ingreso de la funcin.

Ilustracin 1 ingresando la funcinComo se muestra en la ilustracin 1 te pide ingresar el intervalo donde estar la grfica es decir [a,b] esto quiere decir que el usuario ingresara en que intervalo estar la evaluacin en este caso pide el intervalo izquierdo es decir [a] hay es arbitrario, puede ser cualquier nmero real, por ejemplo agregaremos que el intervalo izquierdo es de [0], ingresamos cero en el programa como se muestra en la ilustracin 2: