manual de calculo vectorial 2008
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calculo vectorialTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ
FFFAAACCCUUULLLTTTAAADDD DDDEEE IIINNNGGGEEENNNIIIEEERRRÍÍÍAAA QQQUUUÍÍÍMMMIIICCCAAA
MMAANNUUAALL DDEE CCÁÁLLCCUULLOO VVEECCTTOORRIIAALL
AAÑÑOO AACCAADDEEMMIICCOO 22000088
3RC∈
IIInnnggg... BBBeeellltttrrraaannn LLLááázzzaaarrrooo MMMoooiiissseeesss
HHUUAANNCCAAYYOO –– PPEERRUU
22000088
CALCULO VECTORIAL
FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 1. FUNCIONES Función en su forma explicita.
Ejemplo:
322 −+= xxy
Función en forma implícita.
( ) 0, =yxf
Ejemplo: a) 032 =−− xy
b) implicitaformayxx _522 23 →=+
2. ARGUMENTO FORMA:
Ejemplos:
Modelos matemáticos: i) ( )tfvtev 1=⇒=
ii) ( )tfatva 2=⇒=
iii) ( )tfhgth 32
21
=⇒=
Notación General ( )tFF =
3. TIPOS DE ECUACIONES
Referencia: Ecuación de una recta 2R
Forma Cartesiana
Explicita Implícita
baxy += 0=++ CBXAX Forma Vectorial
L: atPP += 0 Rt ∈∀
Forma Paramétrica
Tomando:
( ) ( ) 2010 ,, taytaxyx ++= Ecuación de una recta en su forma paramétrica
Forma Simétrica
Tomando la ecuación paramétrica
10 taxx += tayy += 0
ta
yya
xx=
−=
−
2
0
1
0 Ecuación simétrica de la recta
4. REPRESENTACION PARAMETRICA DE CURVAS centro origen de
coordenadas (0,0) Ecuación de la Circunferencia
Ecuación cartesiana (Forma canónica) 222 ryx =+ Gráfico:
Del diagrama: Ecuaciones paramétricas
rSentyry
Sentii
rCostxrxCosti
=⇒=
=⇒=
)
) Cuando [ ]π2,0∈t
20
10 taxx = +tayy +=
Ecuación paramétrica de la Elipse
Ecuación cartesiana:
12
2
2
2
=+by
ax
Gráfico:
rSentyrCostx
==
Ecuación Paramétrica
bSentySentby
aCostxCostax
=⇒=
=⇒= Rt∈∀ (Ecuación cartesiana
modificada)
Ecuación paramétrica de la Hipérbola
Ecuación cartesiana:
12
2
2
2
=−by
ax
Ecuación Paramétrica
bSenhtySenhtby
aCoshtxCoshtax
=⇒=
=⇒= Rt∈∀
Nota: en funciones hiperbólicas siempre debe estar dado en radianes
RELACION:
1).2
).
2).
22 =−
−=
+=
−
−
thSenthCosii
eeSenthii
eeCoshti
tt
tt
e= constante neper =2,7182 61
5. ECUACIONES PARAMETRICAS DE CURVAS QUE TIENEN COMO CENTRO (h,k)
Ecuación parametrica de la Circunferencia
Ecuación cartesiana
( ) ( ) 222 rkyhx =−+− Gráfico:
Del diagrama: Ecuaciones paramétricas
krSentyrSentkyhrCosxrCosthx+=⇒=−+=⇒=−
Cuando [ ]π2,0∈t
Ecuación paramétrica de una Elipse
Ecuación paramétrica:
( ) ( )1
2
2
2
2
=−
+−
bky
ahx
Gráfico:
bSentkySentb
ky
aCosthxCosta
hx
+=⇒=−
+=⇒=−
Rt∈∀ (Ec. cartesiana
modificada)
Ecuación paramétrica de la Hipérbola
Ecuación paramétrica:
( ) ( )12
2
2
2
=−
−−
bky
ahx
bSenhtkySenhtb
ky
aCoshthxCoshta
hx
+=⇒=−
+=⇒=−
Rt∈∀
4.3 PARAMETRIZACION DE CURVAS MEDIANTE LA INTERSECCION
DE DOS SUPERFICIES
Al intersecarse dos superficies generan una curva C cuyas ecuaciones paramétricas se pueden determinar. Ejemplo: Parametrizar la curva que esta formado por las ecuaciones
; C
922 =+ yx 2=z Solución:
Donde:
( ) 3,, RzyxPC ∈∈
21 CCC ∩=
De ecuación (1):
6. OBTENCION DE LA ECUACIÓN CARTESIANA DE UNA CURVA A PARTIR DE SUS ECUACIONES PARAMETRICAS
Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva C
• Se debe eliminar el argumento “t” mediante artificios algebraicos o
trigonométricos Ejemplo:
01.- Dada las ecuaciones de la recta L : ty
tx53;2
+=−=
determinar su ecuación
cartesiana y graficar.
SOLUCIÓN:
L : ( )( )2.....531.......2
tytx
+=−= ( )
( )tfytfx
==
Ec. Paramétrica de la Recta L
Hallar la ecuación Cartesiana de L : De (1) respecto a “t” xt −= 2
Reemplazando en (2) 135
5103+−=−+=
xyxy
Ec. Cartesiana
02.- Graficar la ecuación cartesiana cuyas ecuaciones paramétricas son
212
+=−=
TantySectx
SOLUCION:
Ec. Paramétrica ( )( )2.....21.....12
+=−=
TantySectx
Determinando la ecuación cartesiana
( ) ( ) 1
12
21
2
2
2
2
=−
−+ yx Hipérbola
Notación:
Campo escalar: φ =φ(x,y,z). Transformación,
Campo vectorial: ).,,(
)(
zyxAA
tAA→→
→→
=
=
Transformación: Campo escalar Campo vectorial
Ecuación Cartesiana
Función vectorial
Ecuación parmetrica
Forma: φ(x,y,z)=0 x(t)=f1(t) Vector de posición
y(t)=f2(t) .→→→→
++= kzjyixrz(t)=f3(t)
Ejercicios: 1.- Determine las ecuaciones parametricas de la curva C , esta curva tiene
como ecuaciones: 4
16222
=+=++
zyzyx
Solución: Dado la C∴ 21 CCC ∩=
:1C ……….(1) Ecuación de una esfera C.(0,0,0) 2222 4=++ zyx:2C ………..(2) Ecc. de un plano 4=+ zy
Grafico intuitivo: z Curva: C “Hodografa” y x Calculando las ecuaciones parametricas de : CReemplazando ecc.(2) en ecc.(1)
08216816
16)4(
22
222
222
=−+
=+−++
=−++
yyxyyyx
yyx
Completando cuadrados 8)2(2 22 =−+ yx
Dividiendo.
12
)2()8(
14
)2(8
2
2
2
2
22
=−
+
=−
+
yx
yx
ecc. de una elipse
Determinado la ecc. Parametrica de la elipse.
.22.2
2
.cos8.cos8
sentysenty
txtx
+=⇒=−
=⇒=
Reemplazando en la ecc. (2).
.22).22(4
sentzsentz
−=+−=
si me pide la ecuación vectorial reemplazo en:
.→→→→
++= kzjyixr 7. FUNCION VECTORIAL DE VARIABLE REAL
Sea el vector de posición o radio vector 3Rr∈
Donde:
),,(
)0,0,0(),,(
.
.
→→→
→
→
→
→
↓↓↓=
−=
−=
=
k
z
j
y
i
xr
zyxr
OPr
OPr
Vectores unitarios.
1
).0,0,0(
).0,0,0(
).0,0,0(
===
=
=
=
→→→
→
→
→
kji
k
j
i
Notacion vectorial.
Funcion vectorial
).)(,)(,)((
:).,,(
→→→→
→→→→
=
=
ktzjtyitxr
Dondekzjyixr
Notacion:
Ecc parametricas de una funcion vectorial.
)()()(
.)()()(
).(
tzztyytxx
ktzjtyitxkzjyix
trr
===
++=++
=→→→→→→
→→
Hodografa De Una Función Vectorial.
→→→→
++= ksentjsentittr cos)(Solución:
)4......(..........1cos
)3.........(...........)2.........(..........
)1.........(..........cos
22
2222
=+
+=+
=→=
=
yxtsentyx
sentzaparametriceccsenty
tx
En el plano es una circunferencia, en el espacio un cilindro Ecc (2)=(3) yz =
En el grafico: z y Hodografa. x Dominio Y Rango De Una Función Vectorial Dada la funcion vectorial:
→→→→
++= ktzjtyitxr )()()( Dominio: Se va a sacar el dominio de cada componente. zyx
trDDDD ++=→
)(
Rango o Imagen }/,,{ , ItzyxI tttm ∈=
Propiedades de funciones Vectoriales.
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
).(4
.)..(3
).(2
).(1
ttt
ttt
ttt
ttt
gfgf
gfgf
ff
gfgf
→→→→
→→→→
→→
→→→→
×=×
=
=
±=±
φφ
Limite de una función Vectorial. z P1
)(tr→
→
Δ r P2 Trayectoria
)( ttr Δ+→
0 y x Del diagrama Δ OP1P2:
ttrttr
tr
rttrr
rttrr
tttt
t
t
Δ−Δ+
=ΔΔ
∴
−Δ+=Δ
Δ=Δ++
→→
→Δ
→
→Δ
→→→→
→→→
)()(limlim
)(
)(
00
)(
)(
Resumen: Si.
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++=
++=→→→
→
→
→
→→→→
kzjyixr
kzjyixtr
tttttt
tt
ttt
)()()()(
)()()(
00
limlim
)(
→
→
→
→
→
→
→
→++= kzjyixr ttttttttt
ttt )()()()(
0000
limlimlimlim
Propiedades:
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
000
000
000
000
limlim)(lim
lim.lim).(lim
lim.lim)(lim
limlim)(lim
ttttttttt
ttttttttt
ttttttttt
ttttttttt
gfgf
gfgf
ff
gifgf
→
→
→
→
→→
→
→
→
→
→
→→
→
→
→→
→
→
→
→
→→
→
→→
→
×=×
=
=
±=±
φφ
Continuidad de una función vectorial. Una función vectorial es continua en el punto )(tr
→
0t
Si:
continuaesvectorialLafuncionrrIII
existirdeberII
rI
tttt
ttt
t
...lim.
.lim.
.
)()(
)(
)(
0
0
0
⇒=
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
→→
→
→
→
→
1.- Hallar el dominio de la función →→→→
++−+−= ktjttitr t 23)16ln( 22)(
Solución: Teoría DzDyDxD
vectorialfunción
++=
i. Calculando el Dx:
440)4)(4(
016016
016)16ln(
2
2
2
2
−∧=∴<+−
<−
>+−
>−
−
tttt
tt
tt
>−∈<∴ 4;4: tDx
ii. Calculando el Dy:
210)1)(2(
02323
2
2
−∧=≥−−≥+−
+−
tttttt
tt
∞∞−∈∴ ;21;: UtDy
iii. Calculando el Dz: t
RtDz ∈∴ :
DzDyDxDf ++= Conjunto Solución
4;21;4: U−tDf 2.Determinar el dominio de la función vectorial.
1. Determinar el dominio de la función vectorial
Solución
Punto de restricción:
t
Multiplicamos por (t-3)
(t-1)(t+2)(t-3)
t=1, t= - 2 t =3
vT = 1 , T = -2 t = 3 - + - +
-2 1 3 Dx: [ ]2,1 3,te − < ∞U >
+ +
Calculando Dy : ( )2ln q t− −
2 4t −
( )2
2
ln
4
nD
Dd
g t
t
≠−
−
Dy ND Dd∴= I
2 0g t− ≠ 24 0t− ≠ 3t ≠ ± 2 t± ≠ + + -3 3 Dy = { }3,3 2,2< − > − −
Calculando :DΖ
te tt+
N
d
D
D
Dz : DN I Dd :
: 0,
N
d
D t
D t
∈
∈> ∞ >
f Dy zD Dx D= I I -3 -2 1 3
]: 0,fD t∈< 1
-
- - + + +
2) Si: ( )
2 31 2tf t t J t= − +ur r ur r
k
( ) ( ) ( ) ( )3 21 2 1g t t i t J t t= − − + + −ur r
k
)
( ) 1t t∅ = +
Hallar: a.- ( ( )1
2f g+ur ur
e.- ( )( )12 3f x gur ur
b.- ( )( )12 2f g−ur ur
C.- ( )f x y+ur
( ),t x y→
d.- ( )( )1f g∅ur ur
Rpta: 12
Solución: b) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )11 11
2 2f g f g−∅ = −∅ur ur uuur ur
donde t=1
( ) ( )1 2 1,f i J K 2,1∴ = − + = −ur ur uur
3,0
( ) ( )1 3 0,g oi J ok= − + = −ur ur r
∅ = ( )1 2Si:
2(1,-2,1) -2(0, -3, 0) (2,-4,2) - (0, 6, 0) r
2 2 2h i j k= + + c) ( )
( )12f g+ =
ur ur
donde t=1
( ) ( )1 2 1 1, 2,1f i j k= − + = −uuur r
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 2 0, 6,0g oi j ok= + + = −ur r
( ) ( )2 1, 2,1 0, 6,0f g⇒ + = − + −ur ur
( )1, 8,1= +
e) ( )
2 4 20 9 0
i j kh = −
−
r
( )18.0. 18h = −r
4) Si: ( )
3 2
2
1 11ln 1t
tt sen tr jt t t sennt− −
= + +−
r r r 1 t−
Hallar el límite ( )
1limt
r t→
r
Solución.
( )23
21 1
1 11lim limln 1
t
t t
t t ksen tr t it t sen tt π→ →
⎛ ⎞− +−= + +⎜ ⎟
−⎝ ⎠
rr
( )3 21 1 t k21 1 1 1
1lim lim lim limln 1
t
t t t t
t sen tr t jt t t sen tπ→ → → →
− −= +
−−
+
rr r
C2 C3 Hallando C1
1 1
1limln
t
t
tCt t→
−= = forma 0
⇒ Aplicamos la regla de L’ Hospital 0
( ) ( ) ( )1 1 0
1 ln 1lim lim ln
ln
t t
tt t
d t t t t t tdtC td t tt tdt
→ →
− − − ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
t +
( )( )2
1 20
ln 1 ln 1lim
t
t
t t t tC
t→
− − +=
( )
( )1 0
1
limln ln
t
t
dd tdt dtC d dt t t t
dt dt→
−= =
+
C1 = 1 1 lnd duu u u udt dx dx
∨ ∨− ∨ d= ∨ + ∨
)
( )
( ) (
12 3
2, 4,2 0, 9,0
f x g
h x= − −
ur ur
r
2. De
ii Hallando forma: 1’ Hospital
iii. Hallando: Hallando forma: 1’ Hospital
3. Si
Hallar:
Hallando:
Forma: ∞-0
Forma:
Propiedad:
ln = Ln(t+sent) = 0.∞
= R L’ Hospital
Ln =
= 1+cost
Argumento:
(1)
De (1)
derivando nuevamente
=1
Reemplazando el valor de x
Forma :1∞
donde: x =
lnx= ln
lnx=
Forma:
Lim
C3 = e
4. Dado la función vectorial:
¿es continua en t=0?
Solución:
Por teoría: si se dice que es una función vectorial continua
Continua
ii) Si t = 0
iii) Hallando: C1 forma:
C1 =
C1 =
C1 =2
iii) Para forma: 1∞
x =
lnx ln
ln =
C2=
C3= = 00 = ∞
X=
Lnx= =
l =
=
ln
= =e
Entonces:
2 e2 +e
la función r(t) es discontinua.
→→→→
−+= kjia 2122)3(
Geometría diferencial
• Vector tangente )( Tv→
Dada la función vectorial.
kzyixrr tttt )()()()( ++==→→
Grafico T1 P1 VT P2 P(x,y,z) T2 LT: Recta tangente T Argumento Lineal
ti tf Definición:
'
)()(
→→
= tT rV
Ecuaciones de una Recta Tangente Del diagrama : Tl
P(x,y,z) Ecc. Vectorial:
→
a Rt∈∀ P(x0, y0, z0)
P= P0+t →
a
P= P1+m )(trI→
LT:
Función Vectorial con respecto a al Longitud de Arco
Sea la función vectorial →→
= )(srr Donde S=longitud de Arco: z Longitud de arco. S y x Donde S = Angumento de longitud de arco. S
Nota: →→
≠ )(( st rrSe pude hacer cambio de parámetro “REPARAMETRIZACION”
→→
≠ )(( st rr
AbsolutoValorA
ModuloA
.=
=→
REPARAMETRIZACIÓN: Ecuación:
dttrSt I
.)(0∫
→
=
Calculo de la longitud de arco: Si:
→→
= )( srr
z z
→→
= )( trr
P0 Long arco 10PP Long arco
→
)(tr→
)(sr P1 P1 y y x x ∫
→
=t
dstrI
0.)(S →
→
A
* →
→A
u→
→→
=→
A
AuA
Vectores Unitarios de la Tangente Normal y Binormal
Dada la funcion vectorial. →→
= )(trr
1.-Vector Unitario Tangente : →
)(tT
z P0. →
)(tT
P0 : Pto inicial )(trVI
T
→→
= P0(a0, y0, z0) ζ y x ecuación:
∫=∴ 2
1
.)(PP 10
tdttr
I
t
)('
)(')(
tr
trT t →
→
=
2.- Vector Unitario Normal. 2.1.-Vector Normal.
Dada la funcion vectorial : )(trr→→
=
: (Vector Normal Unitario.) →
N
:(Vector tangente Unitario)
→
)(tT
)(' tTn→→
= ∴ 2.2.-Vector Normal Unitario.
Ecuación: )('
)(')(
tT
tTN t →
→→
=
3.- Vector Unitario Binormal : )( tB→
Dada la función vectorial )(trr→→
= P L: Binormal
z Vect. Normal Binormal. tB→
)(tT→
)(tN→
)(tr→
y x
B T )()( tt N→→→
= ×
Ecuación: Ecuación de la recta Binormal. LB: ; Rm ∈∀ ., →
BP = P0+m TRIEDRO MOVIL
z tB→
P0
)(tT→
P )(tr→
)(tN→
→
k
y →
i→
j x Relaciones:
)()()( ttt NTB→→→
×=1.- 2.-
)()()( ttt BNT→→→
×=
)()()( ttt TBN→→→
×=3.- Q: Plano
Nota: Dos vectores forman un plano →
A
→→→
×= BAC
→
B
PLANOS FUNDAMENTALES.
1.- Plano Oscilador. Plano formado por los vectores tangente unitario y normal unitario
z tB→
2π Plano osculador
)(tT→
PP0 )(tN→
P y x Pto. Paso inicial: P0(x0 ,y0 ,z0) Pto generico: P(x,y,z) Del diagrama:
→
B PP0 ⇔→
B . PP0 = 0
0).( 0)( =−→
PPB t ∴Q0 : 2.- Plano Normal. Formado por el vector normal unitario y el vector binormal unitario.
→
B z P
PP0 P0
)(tT→
2π )(tN
→
y x
)(tT→
PP0 .⇔ )(tT→
PP0 = 0 ∴ QN :
0).( 0)( =−→
PPT t 3.- Plano Rectificante.
0).( 0)( =−→
PPN t ∴QR : CURVATURA Sea “C ” la curva regular (no tiene punto de restricción.) 3R∈ ; que tiene como argumento el parámetro de “longitud de arco”.
Dado: < > )(srr→→
=→→→→
++= kzjyixr ssss )()()()(
Grafico: z S
)(srr→→
= Y x 1.-VECTOR TANGENTE UNITARIO: 2.- VECTOR NORMAL UNITARIO: 3.- VECTOR BINORMAL UNITARIO:
)(''
)(''
'
'
)(
)()(
sr
sr
T
TN
s
ss →
→
→
→→
==
)()()( sss NTB→→→
×=
)(')( srT s
→→
=
4.- VECTOR CURVATURA : )(sk→
5.- CURVATURA DE CURVA →
= KK s)( :
6.- RADIO DE CURVATURA ρ :
)(
1sK
=ρ
)('')( srK s
→
=
)()()( ''' sss rTk→→→
==
LN z
P0 )(sN→
P )(sT→
C Centro de Curvatura
“Evoluta” )(sr→
y x Ecuación de la Evoluta: LN: ;
)(0
)(0
s
s
NPC
N→
→
+= ρ
mPC += Rm ∈∀ .,
7.- VECTOR TORSIÓN : )(S
→
ℑ
8.-TORSIÓN )()( ss
→
ℑ=ℑ :
9.- RADIO TORSIÓN )(sσ : ECUACIONES DIRECTAS.
)()( ' ss B→
=ℑ
)()(
1s
s ℑ=σ
)()( ' SS B→→
=ℑ
1.- VECTOR NORMAL UNITARIO:
)()()(
)()()()(
)'''(
)'''(
ttt
tttt
rrr
rrrN
→→→
→→→→
×
××=
2.- VECTOR BINORMAL UNITARIO:
)()(
)()()(
'''
'''
tt
ttt
rr
rrB
→→
→→→
×
×=
3.- CURVATURA DE CURVA
:
3
'
'''→
→→
×=
r
rrK ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=→→
→→
)(
)(
s
t
rr
rr
4.- TORSIÓN DE LA CURVATURA.
2
'''
''''.''
→→
→→→
×
×=ℑ
rr
rrr
5.- VECTOR CURVATURA.
)(
)(
)()( '.'
1' t
t
SS Tr
k→
→
→→
=ℑ= 6.- CURVATURA.
)()( ' SSk→→
ℑ=
7.-VECTOR TORSIÓN.
)(
)(
)()( '.'
1' t
t
SS Br
BT→
→
→→
== 8.- TORSIÓN.
)()( ' Ss BT→
=
Ejemplo: Hallar la ecuación del plano oscilador Q0, de la curva C
⎩⎨⎧
=++
=+
)2.........(25)1..(....................
:222 zyx
szxC
En el punto )3,32,2( Solución: Ecc. Cartesiana Ecc. Parametrica función Vectorial
kzyixr tttt )()()()( ++=→
De Ecc. (1) xsz −= Reemplazando:
)0,25(:;1
)2
5()25(
)25(
225)
25(
0425)
25(2
0102251025
25)(
2
2
2
2
22
22
22
222
222
Cyx
yx
yx
yxxxxyx
xsyx
⇒=+−
=+−
=+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−
=+−
=+−++
=−++
Parametrizando:
tz
senty
tx
cos25
25
25
cos25
25
−=
=
+=
Lugo la función vectorial seria:
→→→→
−+++= ktjsentitr t )cos25
25()
25()cos
25
25()(
Del diagrama.
)(tB→
PP0 ⇔ 0. 0)( =→
PPB t
∴ )3....(..............................0).(: 0)(0 =−→
PPBQ t
Donde:
)4.....(........................................)()()( ttt NrB→→→
×=Vector tangente unitario:
)(
)()(
'
'
t
tt
r
rT
→
→→
=
Vector normal unitario:
)(
)()(
'
'
t
tt
T
TN
→
→→
=
Derivando.
→→→→
++−= ksentjtisentr t 25cos
25
25' )(
Modulo.
222)( )
25()cos
25()
25( senttsentr t ++−=
→
25
)( =→
tr
Vector tangente unitario.
→→→→
→→→
→
++−=
++−=
ksentjtisentT
ksentjtisentT
t
t
22cos
22
25
25cos
25
25
)(
)(
Derivando. →→→→
+−−= ktjsentitT t cos22cos
22' )(
Modulo.
1'
)cos22()()cos
22('
)(
222)(
=
+−+−=
→
→
t
t
T
tsenttT
Vector normal unitario. →→→→
+−−= ktjsentitN t cos22cos
22
)(
Vector binormal.
)22,0,
22(
220
22
cos22cos
22
22cos
22
)(
)(
<>++=
−−
−=
→→→→
→→→
→
kjiB
tsentt
senttsent
kji
B
t
t
En Ecc…(3)
;0).(: 0)(0 =−∴→
PPBQ t
[ ]
)1,0,1()2,32,2(),,(
)1,0,1(21)2,32,2(),,(
)22,0,
22()2,32,2(),,(
;:
05
0)3(22)32(0)2(
22
0)2,32,2(),,().22,0,
22(
)(0
nzyx
mzyx
mzyx
RmBmPPL
zx
zyx
zyx
tB
+=
+=
+=
∈∀+=
=−+
=−+−+−
=−
→
Ecc Parametrica: Ecc. Simetrica:
nzy
nx
+==
+=
332
2
32:32 =−=− yzx
OPERACIONES DIFERENCIALES
1. Operador diferencial vectorial Nabla (operador Hamilton)
Notación: =∇== operador diferencial Nabla (”operador Nabla”)
Definición: k
xj
xi
xrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Une las propiedades diferenciales y vectoriales.
2. Relaciones:
222...111... Gradiente (grad) φ
campo escalar ∇
Ar
campo vectorial ∇ 222...222... Divergencia (div)
Ar
campo vectorial ∇ 222...333... Rotacional (rot)
III ... Gradiente Ar
→φ
Transforma de un campo escalar a un campo vectorial.
Definición: φφ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ kx
jx
ix
rrr
kx
jx
ix
rrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇∴φφφφ
Interpretación geométrica:
• El modulo de una gradiente viene hacer la derivada máxima o
derivada direccional.
max⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=∇uφφ
u = vector unitario
• Derivada direccional
uu
r.φφ∇=
∂∂
kujuiuurrrr
321 ++= Vector
unitario
AAu r
rr =
1=ur
( )φ→Ar
III III ... divergencia:
Transforma de un campo vectorial a un campo escalar.
Akx
jx
ix
Arrrrr
.. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
( )kAjAiAkx
jx
ix
Arrrrrrr
321.. ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
xA
xA
xA
A∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ 321.r
Nota:
∇=∇ .A~.rr
A •••
••• ⇒ el campo vectorial es nulo 0. =∇ Ar
III. Rotacional:
Definición: 321 AAAzyx
kji
A∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
rrr
r
⇒=×∇ 0Ar
El campo vectorial es irrotacional. •••
OPERADORES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN:
Operador de Laplace ( )2∇
Definición: ∇∇=∇ .2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ kx
jx
ix
kx
jx
ix
rrrrrr.2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ 2
2
2
2
2
22
xxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
==
1.1.1.
kkjj
iidiada
rr
rr
rr
Ejercicios de aplicación:
unrr nn r1−=∇111... demostrar que:
Solución:
kzjyixrrrrr ++=Vector de posición:
rr =rModulo:
222 zyxr ++=
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
++=
++=∴
21222
2222
zyxr
zyxr
( )φAnalizando: en el campo escalar nr
⇒∇∴ nr Gradiente (gradφ )
Haciendo que:
[ ] ( )n
n zyxr ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++= 2
1222
( ) 2222 nn zyxr ++=∴
( ) 2222..nn zyxk
xj
xi
∂+
∂+
xr ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∂∂∂∂
=∇rrr
SSSiii:::
∇ Nabla
( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
∂∂
+++∂∂
+++∂∂
=∇∴ kzyxx
jzyxx
izyxx
rnnnn rrr 222222222222.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zzyxnjyzyxnixzyxnrnnnn rr
)2(2
22
22
. 122221222212222 −−−++++++++=∇∴
Factorizando:
( ) ( )kzxnrnn jyixzy
rr r++=∇
−12222. ++
rurr rrr .=2r
Se tiene: rurr
vector unitario
rrur
rrr =
rurr rrr .=
⇒
rnn unrr rr1. −=∇
……. L.q.q.d
2. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie: en el punto (1,-1,2).
7432 2 =−− xxyxz
Solución:
SSS::: 7432 2 =−− xxyxz
GGGrrraaafff iiicccooo:::
07432 2 =−−+=∴ xxyxzφ
PPn 0⊥r 0. 0 =PPnr⇔ Del diagrama:
0).( 01 =−=∴ PPnQ r……………(1)
kz
jy
ix
nrrrr ... φφφφ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇= Siendo:
kxzjxiyznrrrr )4()3()432( 2 +−+−−=⇒
Para un punto cualquiera
PPPaaarrraaa PPP (((111,,,---111,,,222)))
kjinrrrr 8)3()4380( +−+−+=
)8,3,7( −=nrkjinrrrr 837 +−= ⇒
Reemplazando en la ecuación (1)
( ) ( )[ ] 02,1,1,,).8,3,7( =−−− zyx
[ ] 02,1,1).8,3,7( =−+−− zyx
01683377 =−+−−− zyx
026837 =−+− zyx
RRReeessspppuuueeessstttaaa
OOObbbssseeerrrvvvaaaccciiiooonnneeesss:::
21 // nn rr••• ⇔ n 21 nmr r=
••• ⇔ 21 nn rr ⊥ 0. 21 =nn rr
3. Hallar el ángulo formado por las superficies:
zxzxyS += 3: 21
123: 222 =+− zyxS
( )1,2,10 −P
03 221 =−−= zxzxyφ
0123 222 =−+−= zyxφ
kz
jy
ix
nrrrr .... 1 φφφφ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇=
( ) ( ) ( )kzxyjxyzizynrrrr 223 22
1 −++−= ⇒ ( )2,4,11 −=n
kjyixnrrrr 2262 +−=
⇒ ( )2,4,62 =n
211 =n ; ;;
562 =n
( )( )( )( )5621
2,4,62,4,1cos21
21 −==
nnnnrr
rrθ
4. Hallar la constante a y b de forma que si: ( )xabyzax 22 +=− sea
ortogonal a en el punto (1,-1,2). 44: 32
2 =+ zxS y
SSSooollluuuccciiióóónnn:::
( ) 0221 =+−−= axbyzaxφ
044 322 =−+= zx yφ
φ.∇=nr
( )[ ] ( ) ( )kbyjbziaaxnrrrr −+−++−= 221
kzjxixynrrrr 32
2 348 ++=
( )2,1,10 −P
( ) kbjbiaanrrrr +−+−= 2221 ⇒ ( )bban ,2,21 −+=r
kjinrrrr 12482 ++−= ⇒ ( )12,4,82 −=nr
021 =× nn rr
( )( ) 012,4,8,2,2 =−−+ bba 012)4)(2()2(8 =+−++− bba
04168 =+−− ba
( )2,1,10 −P
( ) 022 =+−− axbyzax 022 =−−+ aba
1=b
04168 =++− a
25
=a Respuesta a=5/2 ; b=1
INTEGRACION VECTORIAL
INGRACION DE LINEA:
Se denomina así a la integral que se determina a lo largo de una línea de una
curva ; pudiendo esta ser abierta o cerrada. C
( )tAArr
=Dado el campo vectorial continúo y una curva parcialmente plana en
la ( zyxAA ,, )rr
= cual esta elegida la dirección positiva (curva orientada). En este
capitulo estudiaremos las integrales de línea sobre campos escalares a lo largo
de un camino respecto a la longitud de arco; y la integral de línea de campos
vectoriales a lo largo de un camino.
( )1111 ,, zyxP
Dada la función vectorial ( )trr rr =
1. INTEGRACION DE LINEA DE PRIMERA ESPECIE O GÉNERO
( )
( )zyx
t
AA
AA
,,
rr
rr
=
=Campo vectorial Campo Escalar
( )
( )zyx
t
,,ϕϕ
ϕϕ
=
=32 RR ∧∈
( )∫ ∫=C
dSzyx ,,ϕϕNotación:
DONDE:
i) diferencia de longitud de arco :dS
( ) →= dtrdS t Ordena el intervalo
ii) ecuaciones paramétricas
iii) t= Parámetro lineal
2. INTEGRAL DE LINEA DE SEGUNDA ESPECIE O GENERO
∫∫ ×=CC
rdAANOTACION:
Donde:
( zyxAA ,, )rr
= 3R∈ Campo vectorial
→r Vector posición
kji zyxr ++=
=rd Diferencial de un vector de posición
kji dzdydxrd ++=
( ) ( ) ( )
kdzjdyidxrd
kzjyiXA zyxzyxzyx
++=
++= ,,,,,, Prod. Escalar
( ) ( ) ( )444444 3444444 21CurvaladeasParametricEcs
zyxzyxzyx dzzdyydxxrAd....
,,,,,, ++=
3. PROIEDADES DE LA INTEGRAL DE LINEA
svectotialecamposBActenym
y ....→
→ Siendo:
P.1 LINEALIDAD
∫∫∫ +=+CCC
AnAmBnAm 2121 ϕϕϕϕ
P.2 ADITIVIDAD
P.3 CAMBIO DE SIGNO
FORMAS DE I NTEGRACIÒN
1. 2. ∫C
dS.ϕ ∫C
rdA. Campo Escalar 1º y 2º
Especie
3. ∫C
rd.ϕ ∫ ×C
rdA 4. Campo Vectorial no tiene
Nombre pero se puede
operar
Ejemplo:
1. Hallar si y C recorre una sola ves en sentido
contrario a las manecillas del reloj del cuadrado definido por los puntos
( )∫C
zyx dS;,,φ zyx −= 2φ
( ) ( ) ( ) ( )2,0,0;2,1,1;0,1,1;0,0,0
Solución:
Integrando la línea de primera especie y género
( )( )( )( )2,0,0
2,1,1
0,1,10,0,0
3
2
1
0
P
P
PP
( )∫=C
zyx dSI ,,φ Forma un cuadrado
en 3R
Campo escalar
( ) zyxzyx −== 2,,φφ
1P
0P
2P
3P
1C 2C
3C
4C
x
y
z
Curva total: 4321: CCCCC ∪∪∪
En forma integral de Línea: ∫∫∫∫∫ +++=4321
.....CCCCC
dSdSdSdSdS φφφφφ
4321 IIIII +++=
INTEGRAL TOTAL:
( )1.....................4321 IIIII +++=i )
ii ) Calculando la integral 1I
( )∫=C
dSI 2........................1 φ
DONDE:
zyx −= 2φ
( ) dtrdS t=
( )3..........................kji zyxr ++=Donde:
( )trr = Además
Siendo ( )tfzyx →,,
Determinando las ecuaciones paramétricas de la curva 1C
1C : Representa la ecuación de una recta
Ecuación vectorial de 1C Rt∈100 . PPtPP += ∀
Puntos genéricos ( )( )0,0,0
,,
0PzyxP
( ) ( ) ( )0,1,10,0,010,1,10110 =−=−= PPPP
Reemplazando ( ) ( ) ( )0,1,10,0,0,, tzyx +=
0===
ztytx
Ecuaciones Paramétricas
Calculo de los Parámetros (t)
Inicial Inicial 1t 2t
) ( )0,1,11 =P ( 0,0,00 =P
De la ecuación paramétrica
0000
===
tt
01 =t00
11
===
tt
02 =t
Intervalo [ ]1,0∈t
Reemplazando en la ecuación (3) kii ttr 0++=
1º derivada ( )
( ) 2011'
0'222 =++=
++=
t
t
r
kjir
Reemplazando valores en la ecuación (2)
( ) ( )
[ ]
42
2
.20
'
1
1
0
31
1
0
31
21
1
=
=
−=
−=
∫
∫
∫
=
I
dttI
dttI
dSrzyxI
t
Ct
1. kji zxyxyA 2++= , calcular la integral de línea ∫C
rdA.
C es la curva recorrida en la semicircunferencia del plano xy positivo
con centro (0, 2,0) y la recta que uno los puntos (0,4,0) y (1,3,5)
Solución:
∫C
rdA. Integral de línea forma 2º especie
C La curva o línea en el espacio 3R
1C Plano z=0 0(0, 2,0)
1C ( ) ( 5,3,10,4,0 21 PP → )
C Curva total
21 CCC ∪=∴
Donde: Hallar: z
?.1
=∫C
rdA
( )( )( )( )5,3,1
0,4,00,2,0
0,0,00
3
2
PPCP ==
(
Calculando:
Producto escalar
x
yP
( )0,4,01P
)5,3,12
C
1C
2C
2
P
∫∫∫ +=∴21
... 21CCC
rdArdArdA
( )1.............21 Ir =
II = +
( )2...............1
1 ∫=C
rdAI
kji zxyxy +−= 2A
kji dzdydxrd +−=
Producto escalar ( )3............. 2 zdzxyxdyydxrdA +−=
Reemplazando ecuación (3) en (2)
( )4..................21 ∫ +−= zdzxyxdyydxI Llevar a Ec. Paramétrica
Determinando las ecuaciones paramétricas de la curva 1C
planoR →2
( )C ( )( )khC
rkyhx,
222 =−+−1
( )2,0C∴ 2=r
( ) ( ) 222 22 =−+ yx
Ec. Paramétricas 00
cos2222cos2
=⇒==⇒+=−=⇒=
dzztdtdysenty
sentdtdxtx [ ]π,0∈t
Reemplazando en Ec. (4)ç
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )( )
00coscos4
cos4
14
14
cos444
022cos2cos2cos2222
1
1
1
01
01
0
221
01
=−−=
+−=
+−=
+−=
−−−=
++−−+=
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
II
ttI
dtsentI
dtsentI
dtttsensentI
sentttdttsentdtsentI
t
t
t
t
π
π
π
π
π
Hallando la 2I
∫ +−=2
22
C
zdzxyxdyydxI
:2C Es una recta formada por dos puntos
:2C Ec. Vectorial 322 PPtPP +=
( ) ( ) ( )5,1,10,4,05,3,12332 −=−=−= PPPP
( ) ( ) ( )1,1,10,4,0,, −+=∴ tzyx
Ec.Paramétricas Diferenciales Intervalos
( )0,4,0"."
2Pinicialt
( )5.3,1"."
3Pfinalt
tzty
tx
54
=−=
=
dtdzdtdy
dtdx
5=−=
=
ttt
===
000
ttt
===
111
01 =∴t 12 =∴t
Reemplazando en (4)
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+
∫
∫
∫
∫
=
+−+=
+−++−=
−+−−−=
+−=
543
252004004
258164
5544
525
4200
34004
1
0
2
41
0
322
1
0
322
1
0
22
22
2
ttttI
dttdttdttdtI
tdttttdtdtdtI
dttttdttdttI
zdzxyxdyydxIC
CIRCULACION Y EL CAMPO VECTORIAL
Tiende a ser de línea tomada a lo largo de la curva cerrada o abierta C
Notación:
1
222
Cryx =+
2
0C
CzByAx =++
"..
INTEGRAL DE AREA INDEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA
Curva Total:
321 CCCC ∪∪=
Una curva total es independiente de la
Trayectoria 0=×∇⇔ A
∫∫ =⇒=×∇3
1
0p
PC
A
"".
...int."".int."
Adencirculaciocerrada
unadeegralCciclicaegralφ
curva21 CCC = ∩
0P
1P
2
atrayectoriz
P
3P
1C2C
3C
y
x
Rotacional:
Nota: Si ∫∫∫∫ ++=⇒≠×∇321
0CCCC
A
CAMPO POTENCIAL ESCALAR
Sea: ( ) →= zyxAA ,, Campo vectorial
( ) →= zyx ,,φφ Campo escalar
Ecuación: φ∇=A
CALCULO DE UNA INTEGRAL DE LINEA MEDIANTE EL CAMPO POTENCIAL
Hallar: ∫C
rdA.
Si 0=×∇ A
Donde:
φφφ
φ
12
2
1
2
1
.
PP
P
P
P
PC
I
drdAI
−==
== ∫∫ x
z
1
2
1P C
P
y
Ejemplo:
1. Sea: ji xyA +−= calcular ∫C
rdA. donde C es la curva de intersección
de la esfera y el cilindro ( siendo
recorrido, en el proceso de integración en sentido contrario al de las
agujas del reloj, si la mira desde el origen desde el origen de
coordenadas.
4222 =++ zyx xyx 222 =+ )0≥z
Solución:
ji xyA +−= ∫C
rdA.
Esfera :1S perfectazyx →=++ 4222
Cilindro :C :2S xyx 222 =+ ( )0≥z no es perfecto
21: SSCcurva ∩=∴
GRAFICO:
3RC∈
Determinando las ecuaciones paramétricas de C
De: ( ) 11 22 =+− yx
sentytx
tx
=+==−∴cos1
cos1
Para z de 4222 =++ zyx
( ) ( )( ) ( )
tz
sentttz
senttz
cos22
coscos214
cos1422
22
−=
−−−−=
−+−=
Ec.Paramétricas Diferenciales Intervalos
tz
sentytx
cos22
cos1
−=
=+=
tsentdtdz
tdtdysentdtdx
cos22
cos
−=
=−=
[ ]π2,0∈t
Hallar ∫∫ ==CC
rdArdAI ..
( )( ) ( )(∫
∫
++−=
+−=
π2
0
coscos1 tdttsentdtsentI
xdyydxIC
)
2. Dado el campo vectorial
( ) ( ) ( )kxji
x zxyzeyxzyzsenzeA 232cos222 ++++++=
a) Demostrar que A es un campo vectorial conservador.
b) Potencial. Hallar el potencial escalar del que deriva
c) A es una fuerza conservadora calcular el trabajo realizado para
desplazar un
cuerpo en este campo desde ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
2,1,0 π hasta ( )π,2,1
Solución:
x
y
z
1P
2Prd
x
a) Teoría: Un campo vectorial es conservador 0=×∇⇔ A
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
∂∂
−+∂∂
=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +
∂∂
−++∂∂
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
∂∂
−++∂∂
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++++∂∂
∂∂
∂∂
yzsenzey
yxzk
k
yzsenzek
zxyzex
j
yxzk
zxyzey
i
zxyzeyxzyzsenzekyx
kji
x
xx
x
xx
222
232cos
2232cos
32cos222
2
2
2
Derivando =0 ∴El campo vectorial es conservatorio
b) Calculando el potencial escalar del campo vectorial A
Notación: C vectorial ( )zyxAA ,,=
Escalar C ( )zyx ,,φφ =
A=∇φ.
Hallar ?=φ Tomando A=∇φ.
( ) ( ) ( )kzxzzejyxziyzsenzezyx
xxkji
232cos222 ++++++=∂∂
+∂∂
+∂∂ φφφ
1º igualdad de vectores tendremos
czyyzsenzex
x ++++=∂∂ 322φ
c) A = fuerza
∫∫ =2
1
.0
P
P
w
rdFdw
Trabajo ∫=2
1
.P
P
rdFw mRdA .. α=
Siendo:
( )φ
π
πφ,2,1
2,1,0
2
1
2
1
2
1
.→
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −→
=== ∫∫P
P
P
P
P
P
drdFw
Reemplazando:
( )
czyxyzsenzexw ++++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
= 322,2,1
2,1,0
π
π
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
442
12
1022
22123
20321
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−−+++=
w
csenesenew ππππππ
3. Siendo ( ) zkxjxizxxyA 3222 2234 −+−= Hallar la ∫C
rdA. a la largo de la
curva , que sigue la trayectoria de : La curva definida por: C 1C
zxyx83
43
2
=
= Desde 2
0==
xx
1C : La recta que une los puntos (2, 1,3) y (2,-1,5)
:2C La curva desde (2,-1,5) hasta t=2 22tx = ty = ttz −= 24
Solución:
GRAFICO: Curva Total ""C Donde 321 CCCC ∪∪=
?. == ∫ rdAI ∫∫∫∫ ++=321
....CCCC
rdArdArdArdA
Luego 321 IIII ++=
Curva 1Czx
yx83
43
2
=
=
Si: tx =
3
2
8341
tz
ty
=
=
x
y
z
1
Ecuaciones paramétricas
PPC 21
3P 4P
2
3C
C
INTERVALOS DIFERENCIALES INICIAL FINAL
dttdt
dttdy
dtdx
2
892
=
=
=
( )0,0,000
0
1Pzy
tx
==
==
[ ]
( )3,1,231
2,02
1Pzy
ttx
==
∈⇒==
1C ( ) ( 5,1,23,1,2 32 −→ PPrecta
)
Punto Inicial Punto Final
Curva 3Cttz
tytx
−=
−=±=
2
2
41
12
( )
15,1,2
−=−
t
( )214,2,0
=t
Reemplazando t=2 [ ]2,1−∈t
Los puntos se reemplazan y se halla “t”
Ecuaciones Paramétricas diferenciales
322 PPtPP +=
Siendo ( )
kji dzdydxrdzkxjxizxxyA
++=
−+−= 3222 2234
( ) zdzxdyxdxzxxyrdA 3222 2234. −+−=
Ojo: Analizamos si es independiente de la trayectoria
Si: es una integral de línea independiente de la trayectoria C
0=×∇ A
Luego:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
=×∇=== ∫ ∫321
2
1
..
AAAzyx
kji
ArdArdAIC
P
P
Hallando su potencial escalar
( )
( )( )( )
czxyx
czxdzzx
cyxdyx
czxyxdxzxxy
zkxjxizxxykz
jy
ix
+−=
+−=→−=
+=→=
+−=→−=
−+−=∂∂
+∂∂
+∂∂
∫∫∫
232
323
33
3
22
22
2
1232
122
1
3222
2
2
22
234
2234
φ
φφ
φφ
φφ
φφφ
Hallando
( )
( )
( )
( )( )czxyxI
drdAIP
P
P
PC
+−
∫∫
=
→==
232
.
214,2,8
0,0,0
14,2,8
0,0,0
2
1
2
1
φφ
4. Si: hallar : yxzxy 222 +=φ ∫C
rd.φ ; siendo C la quebrada que une los
puntos (0,0,0) , (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)
Solución:
La curva total 321 CCCC ∪∪=
∫∫∫∫ ++=∴321
....CCCC
rdrdrdrd φφφφ
Donde: ( )( )kji dzdydxyxzxyrd +++= 222.φ
x
y
z
1
2P 1C
3P
4P
2C
3CP
( ) ( ) ( ) kji dzyxzxydyyxzxydxyxzxyrd 222222 222. +++++=φ
Calculando ( )∫ +=1
221 2
CidxyxzxyI
Hallando: Ec. Paramétricas Ec. Paramétricas Diferenciales
( ) ( ) ( )0,0,10,0,0,,: 2111
tzyxPPtPPrectaC
+=+=→
00
===
zy
tx
00
===
dzdy
dtdx
Intervalos
Inicial Final
( )0
0,0,01
=tP ( )
10,0,11
=tP [ ]1,0∈t
Calculando ( )∫ +=2
222 2
CjdyyxzxyI
Hallando: Ec. Paramétricas Ec. Paramétricas Diferenciales
( ) ( ) ( )0,1,00,0,1,,: 3222
tzyxPPtPPrectaC
+=+=→
0
1
===
zty
x
0
0
===
dzdtdy
dx
Intervalos
Inicial Final
( )0
0,0,12
=tP ( )
10,1,01
=tP [ ]1,0∈t
kjiI
kI
jI
I
2210
2210
3
2
1
++=
=
=
=
FORMAS DE INGRACIÓN
“Integral de superficie del campo
Vectorial A ”
“Flujo de campo vectorial A a
Través de la superficie orientada S ”
1. ∫∫S SdA.
2. ∫∫S
Sd.φ
3. ∫∫ ×S
SdA
4. ∫∫S
Sd.φ
x
y
z Sd
PROPIEDADES:
P.1 LINEALIDAD
( ) ∫∫∫∫∫∫ +=+SSS
SdBnSdAmSdBnAm ...
P.2 ADITIVIDAD
∫∫∫∫∫∫∫∫ ++=
∪∪=
SSSS
SdASdASdASdA
SSSS
321
321
....
1Sd
2Sd
3Sd
P.3 CAMBIO DE SIGNO
( ) ( )negativoSdApositivoSdASS∫∫∫∫ −=
1
..
METODOS DE SOLUCION DE LAS dS
1. Proyección ortogonal hacia un plano coordenado
2. Proyección ortogonal de Sd en forma simultanea hacia los planos
coordenados.
3. De coordenadas curvilíneas
Coordenadas Cilíndricas. ( )zrP ,,θ
Coordenadas Esféricas. ( )θφ,,rP
DIFERENCIAL DE SUPERFICIE PARA CORDENADAS CURVILINEAS
1. COORDENADAS CILINDRICAS ( )zrp ,,θ
x
y
z
erficiesuprθd
dz
CartesianaEc. 222 ryx =+
aParamétricEc.
zzrsenty
trx
=== cos
Intervalos [ ][ ]πθ 2,0
,0∈∈ Rr
dzrddS .θ=∴
2. COORDENADAS ESFERICAS
θφφρ ddsends ..2=
CartesianaEc. 2222 ρ=++ zyx
asParamétricEc.
φρθφρθφρ
cos...
cos.
====
zsenseny
senx
Intervalos [ ][ ]πθπφ2,0
,0∈∈
INTEGRACION DE VOLUMEN
gularescCoord tanRe.− x
y
zCilindricoSolido.
volumenv →dxdydzdv =dxdy
dz
INTEGRAL TRIPLE (O DE VOLUMEN)
FORMAS DE INTEGRACION:
1. ∫∫∫ DV.φ
2. ∫∫∫V dvA.
3. ∫∫∫ ×V
dvBA .
JACOBIANOS DE TRANSFORMACION
JACOBIANO DE TRNASFORMACION DE COORDENADAS CILINDRICAS
Dada la función T
Coordenada rectangular Coordenada Cilindrica
T: Transf. De Coord. ( )zyxP ,, ( )zrP ,,θ
3R Matriz jacobina 3R
ECUACIONES PARAMETRICAS
zzrsenty
trx
=== cos
( )( )zr
zyxJ,,,,
θ∂∂
=
rtrsentrsentt
J
zzz
rz
zyy
ry
zxx
rx
J
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
1000cos0cos
θ
θ
θ
JACOBIANO DE LA TRANSFORMACION DE COORDENADAS POLARES
Coor. Rectangulares Coor. Polares
T: Transf. De Coord. ( )yxP , ( )θ,rP
2R 2R
ECUACIONES PARAMETRICAS
rsentytrx
== cos
( )( )θ,
,r
yxJ∂∂
=
ryry
xrx
J =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
θ
θ
JACOBIANOS DE LA TRANSFORMACION DE COORDENADAS ESFERICAS
Coor. Rectangulares Coor. Polares
T: Transf. De Coord. ( zyxP ,, ) ( )θφ,,rP
3R 3R
ECUACIONES PARAMETRICAS
φθφθφ
cos
cos
rzsenrseny
senx
===
( )( )θφ,,
,,r
zyxJ∂∂
=
φ
θφ
θφ
θφ
senrJ
zzrz
yyry
xxrx
J
2=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
DIFERENCIAL DE VOLUMEN PARA COORDENADAS CURVILINEAS
1. COORDENADAS CILINDRICA ( )zrp ,,θ
x
y
z
dtddrrdv ... θ=
dzdrdv .. θ=
2. COORDENADAS ESFEREICAS
x
y
z
θφρφρ dddsendv ....2=
CAMBIO DE INTEGRACION DE COORDENADAS RECTANGULARES A CURVILINEAS
I. EN EL PLANO Coor. Rectangulares Coor. Polares ( yxP , ) ( )θρ ,r
FORMA: ( ) ( ) θθρ drdJrdxdyyxfSS
..,., ∫∫∫∫ =
Donde: →J Matriz Jacobiana II. EN EL ESPACIO Coor. Rectangulares Coor. Cilíndricas ( zyxP ,, ) ( )zr ,,θρ
( ) ( )∫∫∫∫∫∫ =VV
dzdrdJzrdxdydzzyxf ...,,,, θθρ
Coor. Rectangulares Coor. Esféricas ( zyxP ,, ) ( )θφρρ ,,
( ) ( )∫∫∫∫∫∫ =VV
dddJdxdydzzyxf θφρθφρρ ....,,,,