málaga

LA CURVA CORAZÓN

Existe en matemáticas una curva distinta a la que algunos, los que nunca han dudado de las cosas, llaman curva de Koch. Los perplejos en cambio han preferido denominarla así: copo de nieve.

Se comporta esta curvamultiplicando siempre su tamaño por cuatro tercios y hacia el interior, llegando de tan densa al infinito sin rebasar su área diminuta.

Así mismo, artesana, te creces muy adentro: habitándome lenta, quedándote con todo, sin forzarlo,este pequeño corazón hermético.

Andrés Neuman

Problema nº 1: “El club de los cinco caprichosos”

Problema nº 2 “¡Por una entrada de cine!”

Problema nº 3: “Cerrando puertas”

Problema nº 4: “Original azulejo”

Problema nº 5: “Los billetes del bus”

Problema nº 6: “El gran premio”

El club de los cinco caprichosos

MenúMenú

EL CLUB DE LOS CINCO CAPRICHOSOS:

Alberto, Sonia, Carolina, Daniel y Elías son candidatos para un examen oral. El examinador los deja elegir el orden en que quieren pasar, lo que genera una disputa. De hecho, ni Alberto ni Elías quieren pasar los últimos y, Elías, no quiere tampoco pasar el primero; además, Sonia quiere pasar justo después de su amiga Carolina quien, a su vez, no quiere pasar en lugar impar; finalmente, Daniel insiste en que él quiere dejar pasar a las dos chicas antes que él.

Contesta de forma razonada en qué orden deben presentarse para que todos queden satisfechos.

SoluciónSolución

Solución:

EnunciadoEnunciado MenúMenú

Empezamos estudiando las preferencias de cada uno:

• Carolina no quiere pasar en lugar impar, por lo que pasará la segunda o la cuarta:

Carolina

Carolina

Solución:


• Como Sonia quiere pasar después de Carolina, podrá pasar la tercera o la quinta

Sonia

Sonia

Carolina

Carolina

Solución:


• Daniel insiste en dejar pasar a las dos chicas delante de él

Daniel ?

La segunda opción no es posiblePor tanto, podrá pasar el cuarto o el quinto

Daniel ?Sonia

Sonia

Carolina

Carolina

Solución:


• Definitivamente Daniel será el quinto, ya que ni Elías ni Alberto quieren pasar en último lugar.

•Además, Elías tampoco quiere pasar el primero, así que la única opción es la siguiente.

Alberto Elías Daniel Daniel ? Daniel ?SoniaCarolina

Solución:

HEMOS ENCONTRALA SOLUCIÓN...

… pero ¿habrá más formas de obtenerla?

EnunciadoEnunciado

a=√32−1 '52a=2 '59 cm

Para que todos queden satisfechos deben presentarse en el siguiente orden:

MenúMenú

1. Alberto

2. Carolina

3. Sonia

4. Elías

5. Daniel

¡Por una entrada de cine!

CINE-TICKET

THALES

SoluciónSolución MenúMenú

¡Por una entrada de cine!A Antonio le han regalado una entrada para el cine. Para decidir a cuál de

sus dos hijos, Benito o Carmen, dársela, les plantea el siguiente juego:“Sin que me hayáis visto, he dispuesto seis cartas boca abajo, formando un

círculo. El dorso de todas ellas es azul, pero tres de ellas son rojas en su cara frontal y tres son negras. Las he colocado de tal forma que las de cada color estén consecutivas.Pues bien, el juego consistirá en que Benito dará la vuelta a una de ellas. Si la carta es roja perderá la entrada de cine. En otro caso, siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Carmen dará la vuelta a la siguiente carta. Si es roja perderá la entrada. Si es negra, Benito girará la siguiente carta y así sucesivamente hasta que alguien encuentre una carta roja, siendo entonces quien pierda la entrada de cine”.

Llegados a este punto, Carmen le preguntó a su padre el motivo por el que empezaba Benito y no ella.

Para saber si la protesta tiene fundamento, contesta a la siguiente pregunta: ¿Tienen las mismas posibilidades de ganar ambos? Si la respuesta es negativa, ¿quién tiene más posibilidades de ganar: el que empieza primero o el segundo? Razona las respuestas.

Solución:


Juego: “Sin que me hayáis visto, he dispuesto seis cartas boca abajo, formando un círculo. El dorso de todas ellas es azul, pero tres de ellas son rojas en su cara frontal y tres son negras. Las he colocado de tal forma que las de cada color estén consecutivas.

Pues bien, el juego consistirá en que Benito dará la vuelta a una de ellas. Si la carta es roja perderá la entrada de cine. En otro caso, siguiendo el sentido de las agujas del reloj, Carmen dará la vuelta a la siguiente carta. Si es roja perderá la entrada. Si es negra, Benito girará la siguiente carta y así sucesivamente hasta que alguien encuentre una carta roja, siendo entonces quien pierda la entrada de cine”.

Solución:


Solución:


1

2

3

4

5

6Pulsa el botón para ver que ocurre en las

distintas opciones, según elija

Benito la carta 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Solución:


B C B C1.

Pulsa el botón para ver que ocurre en las



1

2

3

4

5

6

Solución:


B

B C

C

B C

B

1.

2.

1

2

3

4

5




Solución:


B

B

B

C

C

B C

B

1.

2.

3. C1

2

3

4

5




Solución:


B

B

B

B

C

C

B C

B

C

1.

2.

4.

3.1

2

3

4

5




Solución:


B

B

B

B

B

C

C

B C

B

C

1.

2.

4.

5.

3.1

2

3

4

5




Solución:


B

B

B

B

B

B

C

C

B C

B

C1

2

3

4

5

6

1.

2.

4.

5.

6.

3.

Solución:

EnunciadoEnunciado

¿Tienen las mismas posibilidades de ganar ambos?

Si la respuesta es negativa, ¿quién tiene más posibilidades de ganar: el que empieza primero o el segundo?

No, si empieza Benito tiene Carmen más posibilidades de ganar

Benito 2/6Carmen 4/6

El segundo tiene más posibilidades de ganar

B

B

B

B

B

B

C

C

B C

B

C

1.

2.

4.

5.

6.

3.

MenúMenú

Cerrando puertas

MenúMenúSoluciónSolución

El padre, una vez descubierto el dormitorio de Fermathales Junior, se pregunta, mirando ahora el plano de su vivienda, si podría hacer lo mismo en su casa.

•¿Crees que podría? •En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación

tendría que realizar en su casa para poder hacerlo?Razona las respuestas.

Viendo este plano de la casa del hijo, ¿podrías ayudar al matemático a encontrar el dormitorio de su hijo?

¿Podría cambiar su hijo el dormitorio de lugar cumpliéndose las mismas condiciones?

CERRANDO PUERTAS:El matemático Fermathales Junior va a visitar a su padre,

también matemático, para enseñarle los planos de su nueva vivienda. Le cuenta que cada noche, al llegar a casa, va atravesando y cerrando con llave cada una de las puertas por donde pasa, sin volver a abrir ninguna de las puertas que ha cerrado, hasta llegar a su dormitorio, después de haber pasado por todas las puertas, donde queda encerrado con todas las llaves.


Comprobamos que una posible solución del dormitorio de Fermathales Junior puede ser la siguiente:

DORMITORIOFERMATHALES

JUNIOR

Solución:


Tendríamos que tener en cuenta que si entras en una habitación por una puerta, la cierras con llave, y sales cerrando la segunda. Una habitación con 2 puertas, quedaría cerrada.

2

2

4 4

6

5

2

2 2

Un razonamiento análogo puede aplicarse al caso de 4 y 6 puertas sólo que entonces entraría dos y tres veces respectivamente en la habitación. Este razonamiento puede generalizarse para el caso de un número par de puertas. Para quedarse encerrado con todas las llaves en el dormitorio, éste debe tener un NÚMERO IMPAR DE PUERTAS. Por dicho motivo no podría cambiar su dormitorio de habitación. Efectivamente:

DORMITORIOFERMATHALESJUNIOR

Solución:

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El padre, una vez descubierto el dormitorio de Fermathales Junior, se pregunta, mirando ahora el plano de su vivienda, si podría hacer lo mismo en su casa.

• ¿Crees que podría? • En caso que no pudiera, ¿qué pequeña modificación tendría que

realizar en su casa para poder hacerlo?Razona las respuestas.

EnunciadoEnunciado

Solución:

Solución:


En la casa de Fermathales padre, el dormitorio solamente puede estar en una habitación con un número impar ya que al entrar y salir obliga a dejar cerradas todas las puertas de 2 en 2.

24

34

2 32

3

2

Solución:

EnunciadoEnunciado

Por lo tanto, en estas condiciones, el padre no podría realizarlo. Podría poner un tabique en la puerta de las habitaciones contiguas de número impar de puertas o bien abrir una puerta en las habitaciones contiguas de número impar puertas, quedando por tanto un número par de puertas en todas las habitaciones salvo en el dormitorio.

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2 42

4 44

2 32DORMITORIO de

FERMATHALES PADRE

Solución:

EnunciadoEnunciado

Lo más sencillo sería eliminar la puerta que comparten las habitaciones contiguas de 3 puertas. De esta forma pasarían a tener dos puertas cada una y en la casa se quedaría solamente una con un número impar de puertas, la que tiene 3 que pasaría a ser el dormitorio, aunque fuese el vestíbulo.

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2

2 2

2

2

4

4 2 3DORMITORIO de FERMATHALES

PADRE

Solución:


Puesto que el padre es matemático se ha dado cuenta de que no puede hacer en su casa un recorrido en las mismas condiciones que su hijo ya que hay tres habitaciones con un número impar de puertas.

Sin embargo debemos hacer una observación y es que no es habitual que la habitación de entrada, el vestíbulo, sea el dormitorio, pero hacer un recorrido euleriano en tu propia casa todos los días, bien merece una pequeña reforma y la alteración de las costumbres al uso. Seguramente esa sería la reflexión que hizo nuestro matemático.

Original azulejo


ORIGINAL AZULEJO:

La empresa de azulejos Porcelatodo va a inaugurar una nueva fábrica en Todolandia y por dicho motivo ha lanzado al mercado un nuevo diseño de azulejos blancos de forma octogonal irregular con un cuadrado de color verde de lado 10 cm en el centro del mismo (como puede observar en el dibujo).

El famoso escaparatista D. Esbelto Decoralotodo para el día de la inauguración quiere preparar un panel expositor de 2’25 m2 de superficie. Dicho panel estaría recubierto con los nuevos azulejos y para cubrir los huecos que se forman al unir estos azulejos utiliza otras piezas de color verde y de forma cuadrada de 200 cm2 cada una (como se ve en el dibujo), que pueden ser troceadas.

¿Qué superficie ocupa el azulejo octogonal?¿Cuántos azulejos octogonales y cuántas piezas cuadradas necesitará

D. Esbelto Decoralotodo para recubrir todo el panel expositor?Razona las respuestas.

EnunciadoEnunciado

Empecemos calculando la superficie del azulejo y para ello dividamos el octógono en partes como se observa en la figura.

Como se puede comprobar fácilmente el azulejo octogonal está formado por 5 cuadrados y por 4 mitades, es decir, por un total de 7 cuadrados iguales que tienen de lado 10 cm.

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Solución:

Solución:

EnunciadoEnunciado

Calculemos cuál será la superficie de estos 7 cuadrados

• A cuadrado = lado2 = 102 = 100 cm2

• A octógono = 7 × A cuadrado = 7 × 100 = 700 cm2

El azulejo tiene una superficie de 700 cm2

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Veamos ahora cuáles serían las dimensiones del panel expositor que se quiere construir, del cual sabemos que su superficie es de 2’25 m2

En primer lugar pasemos la superficie a cm2

2’25 m2 = 2’25 × 10000 = 22500 cm2

Si el área del cuadrado se calcula A cuadrado = lado2 , para averiguar el lado del mismo tendríamos que calcular la raíz cuadrada de su área.

cmAl 15022500

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Ya que sabemos la medida del lado del panel expositor (150 cm) vamos a calcular cuantos azulejos caben en cada lado, para ello necesitamos conocer cuanto ocupa cada azulejo.

Si observa la figura cada azulejo octogonal ocupa 30 cm (10 + 10 + 10) de ancho y otros 30 cm de largo.

De aquí deducimos que en cada lado del panel expositor (largo y ancho) caben un total de 150 ÷ 30 = 5 azulejos.

Por todo lo cual el número total de azulejos octogonales que hay en el panel expositor sería 5 × 5 = 25 azulejos.

Se necesitan 25 azulejos octogonales para el panel expositor.

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Calculemos ahora el número de piezas cuadrangulares de 200 cm2 que necesitamos para cubrir los huecos que dejan al unirse los azulejos octogonales.

Si observamos la reproducción del panel expositor en la figura veremos que hay 4 filas de 4 piezas completas y dos mitades en los extremos (4 + 2 × ½ = 5), más 2 filas de 4 mitades y 2 cuartos en los extremos (4 × ½ + 2 × ¼ = 2’5).

El total de piezas cuadradas sería: 4 × 5 + 2 × 2’5 = 20 + 5 = 25

Se necesitan 25 piezas cuadradas para completar el panel expositor

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Solución:

EnunciadoEnunciado

Comprobemos los resultados obtenidos:

La superficie del panel expositor es de:

2’25 m2 = 22500 cm2 La superficie de todos los azulejos

octogonales es de:25 × 700 = 17500 cm2 .

La superficie de todas las piezas cuadradas es de:

25 × 200 = 5000 cm2 .

La superficie de todas las piezas empleadas coincide con la superficie del panel :

17500 + 5000 = 22500 cm2

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Solución:

HEMOS ENCONTRADOLAS SOLUCIONES...

… pero ¿habrá más formas de calcularlas?

EnunciadoEnunciado

a=√32−1 '52a=2 '59 cm

Se necesitan 25 piezas octogonales para formar el panel expositor y otras 25 piezas cuadrangulares para recubrir los huecos que quedan entre ellas.

Los azulejos octogonales ocupan una superficie de 700 cm2

Hagamos un resumen con las respuestas a las preguntas del problema:

MenúMenú

Los billetes del bus


LOS BILLETES DEL BUS:

Raquel y su hermana Ana, van todos los días a clase en el autobús de la línea 62. Raquel paga siempre los billetes. Cada billete tiene impreso un número de 5 cifras.

Una mañana observa que los números de sus billetes, el suyo y el de Ana, además de consecutivos, son tales que la suma de las diez cifras es precisamente 62. Además observa que las cifras del menor de los números van todas ellas consecutivas.

Ana entonces le dice: si la suma de las cifras de uno de los billetes es 35 puedo decirte el número de cada billete.

¿Cuáles eran esos números? Razona la respuesta.


Denotemos los billetes de ambas hermanas de la siguiente manera:

Billete con el número menor:

A B C D E

Billete con el número mayor:

F G H I J

Solución:

Solución:

EnunciadoEnunciado

1.- Los billetes son consecutivos. 2.- La suma de las diez cifras es 62:

A + B + C + D + E + F + G + H + I + J = 62

3.- Las cifras del menor número son todas consecutivas:B = A + 1; C= B + 1; D= C + 1; E= D + 1

Resumiendo nos queda que:B = A + 1; C= A + 2; D= A + 3; E= A + 4

4.- Por último, Ana dice: si la suma de las cifras de uno de los billetes es 35 puedo decirte el número de cada billete.

PROPIEDADES QUE CUMPLEN LOS BILLETES

MenúMenú

Solución:

EnunciadoEnunciado

Por lo tanto el billete menor sería de la forma:

A A + 1 A + 2 A + 3 A + 4

Y el consecutivo, si A < 5 es de la forma:

A A + 1 A + 2 A + 3 A + 5

Si A <5, usando la propiedad de que la suma de las diez cifras es 62, llegamos a la siguiente ecuación:

10A + 21 = 62 → 10A = 21

Que no tiene solución entera. Así, A tiene que ser igual a 5 y por tanto…

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5 6 7 9 0

y si A = 5:

Además, no hace falta la condición que propone Ana. Aunque, por su puesto, se cumple.

HEMOS ENCONTRADO LA SOLUCIÓN...… pero ¿habrá más formas de hallarlas?


Solución:

5 6 7 8 9

5 6 7 9 0

El billete menor es:

Y el mayor es:

El gran premio


EL GRAN PREMIO:

El equipo de Marc Márquez para conseguir el título del Mundial de Motos GP el año 2013 estuvo preparándose para obtener la victoria en la última prueba, por este motivo tenían en cuenta las velocidades que se pueden alcanzar en cada una de las curvas del circuito Ricardo Tormo de la Comunidad Valenciana.

Representa, en unos ejes distancia-velocidad, la gráfica que muestre la velocidad que pudo llevar Marc en cada uno de los tramos del circuito, a partir de la segunda vuelta, para sacar el máximo rendimiento a la carrera. Para ello puede utilizar los siguientes datos:

Solución:


En primer lugar, marcaremos en el circuito los puntos de máxima curvatura en cada una de las 14 curvas y en el inicio de la 2ª vuelta, que es el punto de salida, obteniendo así los puntos A, B…..O como puede apreciarse en la siguiente figura:


En la 2ª vuelta, a su paso por A, llevará la velocidad máxima, 327 km/h.

Posición

Velocidad(En km/h)

A B I L M N

327 142 102 80 130 195

Solución:

En el punto B deberá disminuir a 142 km/h, aminorando progresivamente la marcha hasta alcanzar el punto de máxima curvatura que hemos señalado,para acelerar a continuaciónhasta rodar a 327 km/hen la recta hastala siguientecurva.


No tenemos los datos de la velocidad en C pero podemos establecerla comparando con la curva L, pues es aproximadamente igual de cerrada.

Posición

Velocidad(En km/h)

A B C D E F G H I J K L M N O

327 102142 80 130 142 102 102 195 102 195 195 80 130 195

Solución:

Con análogos razonamientos deducimos las velocidades, siempre de forma aproximada, en las curvas yelaboramos la tabla superior con los datos, relacionandoposición con velocidad.


Finalmente hacemos la gráfica, representando en el eje de abscisas las posiciones (distancia al punto de salida), que medimos con un compás: pinchando en A abrimos el compás hasta llegar a B y trasladamos esta medida al eje, procediendo de la misma manera sucesivamente con los demás puntos.

Veamos otra posible solución…

Solución:

Para aproximar las distancias del circuito y trasladarlas al eje de abscisas, rectificamos su forma mediante una poligonal que se representa en trazo grueso y en colores para distinguir los trayectos.

876 m

El dato de la longitud de la recta más larga lo utilizamos para establecer la escala en el eje de abscisas.

MenúMenúEnunciadoEnunciado

Solución:

En la solución anterior describimos la función mediante un enunciado, la tabla y finalmente la gráfica, elaborada en aquella ocasión con geogebra y en esta “a mano alzada”


Otra posible solución…

Solución:

Otra posible solución en la que tengamos en cuentas las aceleraciones y desaceleraciones que pueden producirse al salir o llegar a cada una de las curvas puede ser:


Solución:


Este problema requiere hacer aproximaciones, interpretaciones, comparaciones y decisiones en cuanto a las distancias entre las curvas, modo en que se acelera y decelera, apertura de las distintas curvas y escala más adecuada para representar. Pueden admitirse distintos trazados para la función, como en el caso de las soluciones presentadas pero en cualquier caso los alumnos y alumnas debieran exponer el método que han adoptado para elaborar la gráfica a partir de los datos.

Solución:

málaga

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