magnitudes fÍsicas y medidas. … · nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras...

25
LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores — 1 — MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE ERRORES La física intenta describir los fenómenos que se observan en la naturaleza y buscar conceptos que permitan explicar el posible funcionamiento de dichos fenómenos. Para llegar a tales explicaciones (e.g. reglas, leyes o teorías) se han de observar cuidadosamente los fenómenos e intentar repetirlos de forma simplificada en experimentos de laboratorio, obteniendo observaciones cada vez más precisas. Si los experimentos son cuantitativos se tiene la oportunidad de explicar los fenómenos mediante expresiones matemáticas de forma que se puedan establecer relaciones (leyes empíricas) entre distintas magnitudes físicas. Para evaluar convenientemente los experimentos que permiten definir y medir magnitudes físicas con exactitud es necesario tener en cuenta en qué medida los valores que se manejan coinciden con los verdaderos. Cantidades aproximadas En las ciencias experimentales y en la ingeniería es muy frecuente trabajar con valores aproximados de las cantidades en lugar de utilizar sus valores exactos, con todas sus cifras. Muchos números racionales así como la totalidad de los irracionales tienen una cantidad infinita de cifras decimales de forma que, para realizar los cálculos en los que intervienen, han de ser aproximados por otros números con una cantidad finita de cifras decimales. Ejemplos: 33 , 0 ... 33333333 , 0 3 1 = 1,4 2373095... 1,41421356 2 = 3,1416 5... 3589793238 3,14159265 = p 2,718 4... 8459045235 2,71828182 e = Los números enteros muy grandes se suelen aproximar por otros con menor cantidad de cifras no nulas, siempre que éstos proporcionen la precisión necesaria para los cálculos. Ejemplo: 28 10 26525 000 6308480000 1219105863 2652528598 ! 30 = Los valores resultantes de medir una magnitud física, como veremos en adelante, están siempre afectados de una cierta incertidumbre con respecto al valor verdadero de la magnitud y, en consecuencia, son siempre cantidades aproximadas.

Upload: hatuong

Post on 21-Sep-2018

223 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 1 —

MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS.INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE ERRORES

La física intenta describir los fenómenos que se observan en la naturaleza y buscar conceptos quepermitan explicar el posible funcionamiento de dichos fenómenos. Para llegar a tales explicaciones(e.g. reglas, leyes o teorías) se han de observar cuidadosamente los fenómenos e intentar repetirlosde forma simplificada en experimentos de laboratorio, obteniendo observaciones cada vez másprecisas.

Si los experimentos son cuantitativos se tiene la oportunidad de explicar los fenómenos medianteexpresiones matemáticas de forma que se puedan establecer relaciones (leyes empíricas) entredistintas magnitudes físicas.

Para evaluar convenientemente los experimentos que permiten definir y medir magnitudes físicascon exactitud es necesario tener en cuenta en qué medida los valores que se manejan coinciden conlos verdaderos.

Cantidades aproximadas

En las ciencias experimentales y en la ingeniería es muy frecuente trabajar con valoresaproximados de las cantidades en lugar de utilizar sus valores exactos, con todas sus cifras.

Muchos números racionales así como la totalidad de los irracionales tienen una cantidad infinita decifras decimales de forma que, para realizar los cálculos en los que intervienen, han de seraproximados por otros números con una cantidad finita de cifras decimales.

Ejemplos:

33,0...33333333,031

≈=

1,42373095...1,414213562 ≈=

3,14165...35897932383,14159265 ≈=π

2,7184...84590452352,71828182e ≈=

Los números enteros muy grandes se suelen aproximar por otros con menor cantidad de cifras nonulas, siempre que éstos proporcionen la precisión necesaria para los cálculos.

Ejemplo: 281026525000630848000012191058632652528598!30 ⋅≈=

Los valores resultantes de medir una magnitud física, como veremos en adelante, están siempreafectados de una cierta incertidumbre con respecto al valor verdadero de la magnitud y, enconsecuencia, son siempre cantidades aproximadas.

Page 2: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 2 —

Error de una cantidad aproximada

es la diferencia entre la cantidad exacta (llamémosle x) y su valor aproximado (llamémosle a).

En contadas ocasiones se conoce el valor exacto del error y además es posible escribirlocompletamente. Es este el caso de las aproximaciones de números enteros cuyo valor exacto seconoce.

Ejemplo: si se aproxima 30! = 265252859812191058636308480000000 ≈ 26525·1028,

el error cometido vale exactamente

265252859812191058636308480000000 – 26525·1028 = 2859812191058636308480000000

En algunos casos se conoce el valor del error pero no puede escribirse completamente ni utilizarseen los cálculos porque tiene una cantidad infinitamente grande de cifras decimales. Se tiene estasituación cuando se toman valores aproximados de constantes matemáticas racionales, irracionaleso trascendentes.

Ejemplo: si se aproxima π = 3,1415926535897932385... por p = 3,1416

el error vale exactamente 3,1415926535897932385...–3,1416 = –0,0000073464102067615...

pero no es posible escribir todas sus cifras.

En la mayoría de las situaciones prácticas no se conoce el valor verdadero de las cantidades con lasque se trabaja y, en consecuencia, tampoco se conoce con exactitud el error. En estos casos sesuele disponer únicamente de una estimación, más o menos fiable, del orden de magnitud de loserrores.

Ejemplos:

Cuando una calculadora nos devuelve el valor 4142136,12 ≈ sólo se sabe que el error es menor

que una unidad de la última cifra hacia arriba o hacia abajo.

Cuando medimos la longitud de una mesa con unacinta métrica con divisiones de centímetro encentímetro, en principio sólo podemos asegurarque el valor que leemos en la cinta se diferencia dela longitud real de la mesa en menos de uncentímetro (ya que en caso contrario hubieramosleído un valor superior o inferior) pero no sabemosexactamente cuanto es esa diferencia.

Page 3: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 3 —

Para acotar el error que se comete al tomar el valor aproximado a en lugar del verdadero x sepueden emplear dos valores que se denominan respectivamente:

Error absoluto límite (o simplemente error absoluto)

es un valor ∆a del que se sabe con una cierta seguridad que es mayor que el valor absoluto de ladiferencia entre los valores real y aproximado.

aax ∆<−

Ejemplo: si π = 3,14159265... se aproxima por p = 3,1416 se puede tomar como error absolutolímite ∆p = 0,000008 > 3,14159265...–3,1416 = 0,00000735...

Error relativo límite (o simplemente error relativo)

es la razón εa entre el error absoluto límite y el valor absoluto de la cantidad aproximada.

aa∆

=aε

Suele expresarse en tanto por ciento (%); aunque si es muy pequeño puede ser expresado en tantopor mil (‰), partes por millón (ppm) o partes por mil millones (ppmm).

Ejemplo: si se aproxima π por p = 3,142 con ∆p = 0,0004 resulta

ppm130‰13,0%013,0103,1142,30004,0 4

p ===⋅≈=∆

= −

pp

ε

Las cantidades aproximadas se deben expresar junto con su error límite, precedido este por elsigno ±. Si el error que se indica es el absoluto, sus unidades son las mismas que las de la cantidadaproximada (si ésta tiene unidades); si se indica el error relativo se pone a continuación de éste %,‰, ppm o ppmm según corresponda.

Ejemplos:Cantidad Error

π = 3,1416 ± 0,0001 adimensional absolutoπ = 3,1416 ± 32 ppm adimensional relativoe = 2,72 ± 0,4% adimensional relativod = 43 mm ± 1mm dimensional absolutod = 43 ± 1mm dimensional absolutod = (43 ± 1)·10-3 m dimensional absolutod = 43 mm ± 5% dimensional relativod = 43·10-3 m ± 5% dimensional relativo

Page 4: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 4 —

Aunque es una práctica no aconsejable, en ocasiones se da la cantidad aproximada sin indicar suincertidumbre queriendo dar a entender que ésta es menor que una unidad de la última cifra escrita(por ejemplo: 0,25 equivaldría a 0,25±0,01 y 0,250 equivaldría a 0,250±0,001; pero no sabríamosdecir si 250 equivale a 250±10 o a 250±1).

Cifras exactas

Son aquellas para las cuales el error absoluto es igual o inferior a una unidad de su orden demagnitud.

Cifras significativas

Son aquellas cuyo orden de magnitud es igual o superior al del error absoluto.

Ejemplo:3 , 1 4 1 5 9 2 ... ± 0 , 0 0 0 2

Exa

cta

Exa

cta

Exa

cta

Exa

cta

No

Exa

cta

No

Exa

cta

No

Exa

cta

Sign

ific

ativ

a

Sign

ific

ativ

a

Sign

ific

ativ

a

Sign

ific

ativ

a

Sign

ific

ativ

a

No

Sign

ific

ativ

a

No

Sign

ific

ativ

a

tiene 4 cifras exactas pero 5 significativas, mientras que

3 , 1 4 1 5 9 2 ... ± 0 , 0 0 0 1

Exa

cta

Exa

cta

Exa

cta

Exa

cta

Exa

cta

No

Exa

cta

No

Exa

cta

Sign

ific

ativ

a

Sign

ific

ativ

a

Sign

ific

ativ

a

Sign

ific

ativ

a

Sign

ific

ativ

a

No

Sign

ific

ativ

a

No

Sign

ific

ativ

a

tiene tantas cifras exactas (5) como significativas.

A la hora de contar el número de cifras exactas o significativas no se tienen en cuenta los ceros queestán a la izquierda de la primera cifra no nula.

Ejemplo: 3,141592...±0,0001 tiene cinco cifras significativas

0,041592...±0,0001 tiene sólo tres cifras significativas

Page 5: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 5 —

Redondeo de números

Las cantidades aproximadas se redondean de forma que sólo se representan las cifras que sonsignificativas.

Ejemplo: 3,141592...±0,0001 se redondea a 3,1416±0,0001

3,141592...±0,00002 se resondea a 3,14159±0,00002

314,1592...±10 se redondea a 310±10

La eliminación de guarismos superfluos (redondeo), siempre que esté justificada, se realiza segúnel siguiente criterio:

– si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más,

ejemplo: 3,473 se redondea a 3,47

– si la cifra eliminada es mayor o igual que 5, se incrementa en una unidad la ultima cifra retenida.

ejemplo: 5,786 se redondea a 5,79

de esta forma, el error que se comete al redondear es siempre menor que la mitad del orden demagnitud de la última cifra retenida.

Ejemplo: 3,473-3,47 = 0,003 < 0,005 = ½·0,01

5,786-5,79 = 0,004 < 0,005 = ½·0,01

Notación científica

Cuando un número es muy grande o muy pequeño, se utiliza la notación científica. Compensaemplear esta notación si se utilizan menos dígitos que con la notación normal.

Ejemplo: 3450000 resulta más práctico escribirlo 3,45·106

0,0025 se puede escribir como 2,5·10-3

También se emplea la notación científica para evitar escribir las cifras no significativas de losnúmeros que no tienen decimales.

Ejemplo: 314,1592...±10 se redondea a 310±10 pero el 0 de 310 no es significativo,

escribiéndolo (3,1 ± 0,1)·102 o (31 ± 1)·101 se evitan las cifras no significativas.

Page 6: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 6 —

Cálculos con cantidades aproximadas

Cuando se realizan cálculos con cantidades aproximadas no todas las cifras del resultado tienenpor qué ser significativas. Para evitar calcular cifras innecesarias se han de observar las siguientesrecomendaciones.

1) En la suma y en la resta: se conservan tantas cifras decimales del resultado como el sumandoque menos tenga.

2) En el producto y en la división: se conservan tantas cifras significativas del resultado como elfactor que menos tenga.

3) Potenciación al cuadrado o al cubo: se conservan tantas cifras significativas del resultadocomo tiene la base (la última cifra es menos exacta que la de la base)

4) Extracción de las raíces cuadrada o al cúbica: se conservan tantas cifras significativas delresultado como tiene la base (la última cifra es más exacta que la de la base)

5) Cuando se realizan operaciones encadenadas, en los resultados intermedios se deja siempre unacifra más de las que establece la regla correspondiente (cifra de seguridad) que se elimina porredondeo al llegar al resultado final.

6) Al aplicar las reglas 1 a 4, si unos datos tienen más cifras decimales o significativas que las queva a tener el resultado, primero se redondean dejando sólo una cifra de seguridad (como indica laregla 5), se opera con la cifra de seguridad y por último, si el resultado es final (no intermedio) seelimina la cifra de seguridad por redondeo.

Ejemplos:

1) Suma y restaOperación

inicialRedondeointermedio

Redondeofinal

2 3 , 4 5 6 2 3 , 4 63 , 4 3 , 4

+ 1 2 3 , 4 5 ⇒ + 1 2 3 , 4 5

* * * , * 1 5 0 , 3 1 ⇒ 1 5 0 , 3Cifras delresultado

Cif

ra d

e se

guri

dad

Page 7: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 7 —

2) Multiplicación y división

21,6 × 3,1415926 × 0,083273 =3 cifras

significativas8 cifras

significativas5 cifras

significativas3 cifras

significativas

se redondean a 4 cifras significativas (= 3 cifras significativas reales + 1 de seguridad) todos losfactores que las excedan

21,6 × 3,142 × 0,08327 = ****

se hace el cálculo

21,6 × 3,142 × 0,08327 = 5,651301744

si es un resultado final se redondea a 3 cifras significativas: 5,65

si se va a utilizar en una operación encadenada posterior se redondea a 4 cifras significativas(= 3 cifras significativas reales + 1 de seguridad): 5,651; pero recordando siempre, sobre todocuando se vayan a aplicar las reglas 1 a 4, que su verdadero número de cifras significativas es 3.

3) Potenciación: 21,42 = 457,96 que se redondea a 3 cifras significativas: 21,42 = 458

4) Extracción de la raíz: 0,1573657 003897,03 = es el valor que nos devuelve una

calculadora de 8 dígitos, pero realmente sólo tiene cuatro cifras significativas y se debe redondearel resultado a

0,1574 003897,03 =

Nota: las cantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo quecuando se operen cantidades aproximadas con cantidades exactas no se tendrán en cuenta estasúltimas para la aplicación de las reglas anteriores.

Ejemplo:

si se multiplica el número entero 21 por la cantidad aproximada 123,4, el resultado tendrá 4cifras significativas como esta última: 21×123,4 = 2591

ahora bien, si 21 es una cantidad aproximada (p. ej 21±1) y se multiplica por 123,4 el resultadotendrá 2 cifras significativas como la primera: 21×123,4 = 26·102.

Page 8: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 8 —

Magnitudes físicas y medidas

Magnitud física

Atributo observable y medible de un fenómeno, de un cuerpo o de una substancia.

Cada atributo se puede distinguir por su naturaleza y se puede expresar como el producto de unaunidad de esa misma naturaleza por un valor numérico (medida), de tal manera que:

Magnitud física = valor numérico × unidad

Ejemplos: 3 km, 2 kg, 5 s, 330 m/s

El conjunto de todas las magnitudes de la misma naturaleza constituye una Clase de Magnitud(por ejemplo: longitud, masa, tiempo)

Unidad de medida

Magnitud cuyo valor numérico se admite convencionalmente como uno. Sirve para medir lasmagnitudes de su misma clase.

Existen diversos sistemas de unidades de medida, el de uso legal en España es el SistemaInternacional de Unidades (S.I.) que figura en el anexo.

Medir

Comparar una magnitud con su unidad con el fin de averiguar cuantas veces la primera contiene ala segunda. Ese número de veces es el valor de la magnitud.

En la práctica el número que se obtiene está afectado de error, por lo que dicho valor de lamagnitud no se conoce si no es asociado con una incertidumbre que, por consiguiente, debeincluirse en el resultado.

Mesurando

Magnitud que se mide.

Medición

Acción y efecto de medir. El conjunto de operaciones que tienen por objeto el determinar el valorde una magnitud física.

Page 9: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 9 —

Medida

Resultado de una medición (por ejemplo: 500 mm±0,1% es la medida de una longitud).

También se utiliza como sinónimo de medición.

Medida analógica

La que se presenta en forma continua, traduciendo de alguna manera la magnitud a mediren otra más directamente perceptible por nuestros sentidos (desviación de una aguja,lectura de una regla graduada, etc.)

Medida digital

La que se presenta en forma discontinua, mediante una serie de cifras.

Método de medida

Conjunto de operaciones prácticas y teóricas que se llevan a cabo en la obtención de una medida.

Método de medida directo

El que consiste en comparar una magnitud con otra de la misma clase elegida como patróno con un instrumento considerado como patrón.

Ejemplo: medida de una masa frente a otra con una balanza.

Método de medida indirecto

Aquél en que el valor del mesurando se obtiene a partir de mediciones de otras magnitudesligadas funcionalmente a ella.

Ejemplo: medida de la aceleración a partir de mediciones de la velocidad y del tiempo.

Principio de medida

Fenómeno físico en el que se basa un método de medida.

Ejemplos: equilibrio de pares de fuerza en las balanzas de brazos iguales, efecto termoeléctrico enla medida de la temperatura con termopares, efecto Doppler en la medida de velocidades con rádar,etc.

Page 10: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 10 —

Características de las medidas

Incertidumbre de medida

Estimación del intervalo de valores dentro del cual se encuentra el verdadero valor de la magnitudmedida.

Caracteriza la bondad de la medida.

Se expresa por los valores límite del intervalo, generalmente simétricos respecto del valorconvencionalmente verdadero.

Una medida debe expresarse por el valor convencionalmente verdadero seguido de laincertidumbre (bien en forma absoluta o en forma relativa) precedida de ±

Ejemplos: 5,25 mm ± 0,01mm

25,72 g ± 0,3%

(3,28 ± 0,01)·103 rad/s

La incertidumbre de medida está constituida, en general, por varias componentes. Algunas de estasse pueden estimar mediante la distribución estadística de una serie de medidas repetidas yexpresarse mediante su desviación típica. Las demás componentes sólo pueden estimarsebasándose en la experiencia o en otro tipo de informaciones.

Precisión

Término cualitativo opuesto a la incertidumbre de medida (esta última es, por el contrario, unaexpresión cuantitativa del error). Así, decimos que una medida es tanto más precisa cuantro menores su incertidumbre.

Repetibilidad de medida

Grado de concordancia entre los resultados de mediciones sucesivas de la misma magnitud,obtenidos con el mismo método, por el mismo observador, con los mismos instrumentos demedida, en el mismo lugar y a intervalos de tiempo suficientemente cortos.

Reproducibilidad de medida

Grado de concordancia entre los resultados de mediciones aisladas de la misma magnitud y con elmismo método, pero en condiciones diferentes, por ejemplo: con diferentes instrumentos demedida, por diferentes observadores, en diferentes lugares, a intervalos de tiempo grandescomparados con la duración de una medición, en diferentes condiciones de empleo de losinstruementos de medida, etc.

Page 11: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 11 —

Instrumentos de medida

Instrumento de medida

Dispositivo que sirve para deducir a partir de la magnitud a medir, o de algunas otras magnitudesrelacionadas con ésta, una indicación o una información equivalente al valor de la misma.

Escala

Conjunto ordenado de signos en el dispositivo indicador de un instrumento que representan valoresde la magnitud medida.

División de la escala

Intervalo entre dos valores sucesivos de la escala.

Campo de medida de un instrumento

Conjunto de valores de la escala de un instrumento para los cuales la incertidumbre de medida esinferior a un valor preestablecido.

El campo de medida se define por sus límites inferior y superior, salvo en el caso que empiece encero en que basta con especificar el límite superior o alcance.

Alcance de un instrumento de medida

Valor máximo del campo de medida

Lectura de un instrumento

Indicación obtenida directamente de un instrumento de medida.

Según los dispositivos de salida de los aparatos, la lectura de un instrumento puede obtenerse bienmediante un indicador móvil sobre una escala o registro o bien mediante un visualizador digital ouna impresión.

Incertidumbre de un instrumento de medida

Contribución del instrumento a la incertidumbre de la medida.

Es el valor mínimo de la incertidumbre de medida que puede obtenerse utilizando correctamente elinstrumento.

Page 12: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 12 —

Errores de medida

Todo proceso experimental de medida lleva asociado un error, de forma que nunca se puedeasegurar completamente que el valor obtenido coincide con el valor verdadero del mesurando.

El resultado de una medición es, por tanto, una cantidad aproximada y su error esta acotado por laincertidumbre de la medida que hemos definido anteriormente.

El error de medida se debe a múltiples causas. Tradicionalmente, se consideran dos componentesdel error:

El error sistemático

que se manifiesta en el hecho de que mediciones realizadas en condiciones prácticamenteidénticas presentan desviaciones constantes o previsibles respecto del valorconvencionalmente verdadero del mesurando. En general, las causas de esta componentedel error son conocidas y por ello puede ser parcialmente corregido o acotado a priori.

En el error sistemático hay una parte evitable que se debe al mal ajuste del instrumento, aun uso incorrecto del mismo, etc. Esta parte del error puede ser corregida una vez que hayasido detectada y evaluada mediante un proceso de calibración.

Existe, sin embargo otra parte del error sistemático que es inevitable y se debe a laslimitaciones propias del instrumento o del método de medida.

El error aleatorio

que se manifiesta en que mediciones realizadas en condiciones prácticamente idénticaspresentan desviaciones imprevisibles respecto del valor convencionalmente verdadero delmesurando.

Sus causas bien son desconocidas o bien su estudio es tan complejo que no se justifica unaacotación a priori de esta componente del error. En su lugar el orden de magnitud del erroraleatorio se estima repitiendo muchas veces la medición en condiciones similares yaplicando técnicas estadísticas a los propios resultados obtenidos.

Obviamente, la cota del error aleatorio así calculada no se puede utilizar para corregir losresultados.

Valor convencionalmente verdadero de una medida

Estimación del valor de una magnitud obtenido de forma que los errores de medida sondespreciables a efectos prácticos.

En la práctica el «valor convencionalmente verdadero» de un mesurando que se utiliza paracalibrar un determinado instrumento o método de medida se obtiene midiéndolo con otrosinstrumentos mucho más precisos y promediando una serie de muchas medidas para reducir elerror aleatorio.

Page 13: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 13 —

Presentación de las medidas experimentales

1) Toda medida ha de expresarse indicando:

– su valor numérico

– sus unidades

– su incertidumbre (si se expresa como error absoluto tendrá las mismas unidades que el valornumérico)

2) El valor numérico ha de redondearse en función de la incertidumbre de forma que sólo seescriban las cifras que son significativas.

3) El valor de la incertidumbre, cuando es calculado, ha de redondearse siempre por exceso en losresultados finales (no así en los cálculos intermedios) para que sólo queden sus cifrassignificativas. Si no se conoce con exactitud el número de cifras significativas de estaincertidumbre, se redondeará por exceso para que resulte una sola cifra significativa.

Ejemplos:d = 43,50 cm ± 0,25 cm

a = 43,2 ± 0,1 m/s2

ω = (43 ± 1)·102 rad/s

R = 43 kΩ ± 5%

m = 43·10-3 g ± 5%

Page 14: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 14 —

ESTIMACIÓN DE ERRORES DE MEDIDA

1.- Medidas directas realizadas una sola vez

Se toma como valor de la incertidumbre de la medida la incertidumbre del instrumento. Enprincipio, no se puede acotar el error aleatorio con una sola medida.

En los instrumentos más simples (reglas, calibres, balanzas, termómetros de mercurio, etc.) sepuede considerar que la incertidumbre sistemática del instrumento es de una división de la escala.

Ejemplo: se mide la longitud l de una mesa con lacinta métrica de la figura, que está dividida encentímetros. Podemos considerar que laincertidumbre de medida es de ∆l = 1 cm. La lecturadel instrumento será l = 148 cm que es la divisiónmás próxima a la longitud que se quiere medir, y lamedida resulta:

l = 148 ± 1 cm

Si las divisiones de la escala están suficientemente separadas y es razonable estimar «a ojo» cuales la posición de las medias divisiones o de los cuartos de división se puede leer la escala como siestas subdivisiones estuviesen presentes y tomar como valor de la incertidumbre la mitad o uncuarto respectivamente de una división de la escala.

Ejemplo: si en la misma situación del ejemploanterior se considerase aceptable estimar «a ojo» laposición de las medias divisiones. Se tomaráentonces ∆l = 0,5 cm. Como la longitud de la mesaparece estar más próxima al centro de la división quea cualquiera de sus extremos, la lectura serál = 147,5 cm. La medida resulta finalmente:

l = 147,5 ± 0,5 cm

En los instrumentos más complejos (polímetros, termómetros digitales, frecuencímetros, etc.) laincertidumbre depende del alcance en que se está trabajando, del tipo de medida que se realiza deentre todas las que proporciona el instrumento e incluso del valor de la lectura del instrumento. Enestos casos el error se acota utilizando las fórmulas que figuran en las especificaciones delinstrumento.

Page 15: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 15 —

2.- Medidas directas repetidas numerosas veces en condiciones prácticamente idénticas

Cuando se repite una medida varias veces en condiciones idénticas, se observa una variabilidad delos resultados que es independiente de lo cuidadosamente que se hayan realizado las medidas. Aesta variabilidad se le llama dispersión de las medidas y es la manifestación de la componentealeatoria del error.

La incertidumbre de este tipo de medidas ∆x es la suma de dos componentes: sistemática ∆xs yaleatoria ∆xa:

as xxx ∆+∆=∆

La componente sistemática se toma, como en el caso de una medida directa aislada, igual a laincertidumbre del instrumento (véase el apartado precedente).

La componente aleatoria se acota, con un cierto margen de confianza, mediante técnicasestadísticas.

Consideremos que se han realizado n medidas directas de un cierto mesurando x en condicionesprácticamente idénticas, de las que han resultado las lecturas:

ni xxxx LL ,,,, 21

todas ellas con la misma incertidumbre sistemática ∆xs, muy próximas pero diferentes entre sí.

Estas pequeñas diferencias son la manifestación del error aleatorio, cuya naturaleza impredeciblehace que ninguna de las lecturas se pueda considerar más o menos representativa que las demás.En consecuencia, se toma como valor convencionalmente verdadero de la medida la mediaaritmética de todas las lecturas:

∑=

=n

iix

nx

1

1

que tiene más probabilidades de parecerse al valor real del mesurando que cualquiera de laslecturas realizadas ya que, según las leyes de la estadística, los errores aleatorios tienden acancelarse al promediar.

Para acotar el valor del error aleatorio que se comete al tomar x como valor de la medida se partede un parámetro estadístico denominado desviación típica muestral:

( )∑=

− −−

=n

ii xx

ns

1

21n 1

1

que proporciona una cota para el error aleatorio de cada una de las lecturas.

Page 16: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 16 —

Un teorema de la estadística establece que la incertidumbre aleatoria asociada a la media de nvalores está acotada por otro parámetro denominado desviación típica de la media:

n

ss 1n

m−=

que es tanto menor que la incertidumbre de cada una de las medidas cuanto mayor es el número deéstas. Por tanto, cuantas más lecturas se realicen, menor error aleatorio tendrá su valor medio.

Una vez sustituido el valor de la desviación típica muestral en la expresión anterior, la componentealeatoria de la incertidumbre resulta:

( ) ( )∑=

−−

==∆n

ii xx

nnsx

1

2ma 1

1

En resumen, la expresión final de la medida realizada es:

( )ms sxxx +∆±=

Page 17: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 17 —

3.- Medidas indirectas. Propagación de errores.

Se dice que una medida es indirecta cuando el valor del mesurando no se obtiene directamente dela lectura de un instrumento, sino que se calcula a partir de la lectura de uno o varios instrumentosque miden otras magnitudes relacionadas de alguna manera con la que se está determinando.

Cada una de estas medidas directas originales tendrá asociada una incertidumbre como las quehemos tratado en los dos apartados anteriores. El resultado de realizar operaciones matemáticascon estas cantidades tendrá también, por tanto, una incertidumbre que dependerá de lasincertidumbres originales y de la naturaleza de las operaciones que se hayan realizado con ellas.

Para entender cómo se puede estimar la incertidumbre de las medidas indirectas consideremos unacierta magnitud física u que se calcula en función de otras magnitudes físicas x, y, z ... que sepueden medir directamente. Podremos escribir entonces que

( )Kzyxuu ,,= (*)

Las medidas directas y sus incertidumbres respectivas se habrán determinado como se ha indicadoen los apartados anteriores, de modo que serán conocidas

K,,, zzyyxx ∆±∆±∆±

y lo que se pretende determinar es el valor y la incertidumbre de u

uu ∆±

El valor de u se calcula simplemente sustituyendo en su expresión (*) los valores medidos de x, y,z ...

Para determinar el valor de la incertidumbre ∆u, tendremos en cuenta que el cambio que

experimenta el valor de u cuando el valor de x cambia en una unidad es, en el límite, xu

∂∂

. Si el

valor medido de x se desvía como máximo en ∆x de su valor verdadero, siendo ∆x relativamentepequeño, entonces u se desviará del suyo como máximo

xxu

xxu

u x ∆∂∂

=∆∂∂

=∆

Lo mismo se puede decir para las componentes de la incertidmbre de u relacionadas con lasmagnitudes y, z ...

K,, zzu

uyyu

u zy ∆∂∂

=∆∆∂∂

=∆

En el peor de los casos, la máxima desviación del valor que se ha calculado para u con respecto asu valor verdadero, es decir, la incertidumbre de la medida indirecta será:

L+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ zzu

yyu

xxu

u

Page 18: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 18 —

Ejemplo:

En una fuente, se ha llenado completamente de agua un recipiente de base cuadrada de lado l yaltura h en un tiempo t y se quiere determinar el caudal medio q que mana de la fuente. Los valoresmedidos han sido:

l = 22,4 ± 0,1 cm

h = 53,5 ± 0,5 cm

t = 323,2 ± 0,3 s

El caudal medio se calcula dividiendo el volumen total de agua por el tiempo que ha tardado enllenarse el recipiente

( )thlqthl

q ,,2

==

Para estimar la incertidumbre asociada a este valor calculado del caudal es necesario derivarparcialmente esta expresión de q respecto de l, h y t; esto es, calcular la derivada respecto de cadauna de las variables considerando que las demás son constantes. Así para derivar parcialmenterespecto de l se tratan h y t como si fuesen constantes

( )tlh

lth

llt

hl

th

lthl

llq 2

2222

==∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=∂∂

y se procede de forma análoga para derivar parcialmente respecto de h y de t

( )tl

hht

lh

tl

hthl

hhq 2222

=∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=∂∂

2

2

2222

2 111t

hlt

hltt

hltt

hlthl

ttq

−=

−=

∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=∂∂

La incertidumbre de q responderá pues a la expresión

tt

hlh

tl

ltlh

ttq

hhq

llq

q ∆−+∆+∆=∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆ 2

222

teniendo en cuenta que l, h y t son siempre valores positivos, se puede escribir

tt

hlh

tl

ltlh

q ∆+∆+∆=∆ 2

222

Al particularizar estas dos expresiones para los valores que se hayan medido se obtiene la medidaindirecta del caudal con su incertidumbre.

( ) 1322

scm0,83s323,2

cm5,53cm4,22 −=⋅

== 6thl

q

NÓTESE que la cuarta cifra del resultado es de seguridad.

Page 19: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 19 —

1313131313

2

22

2

22

scm6,1scm6,1scm07,0scm7,0scm0,7

s3,0s2,323

cm5,53cm4,22cm5,0

s2,323

cm4,22cm1,0

s2,323

cm5,53cm4,222

2

0784

tt

hlh

t

ll

t

lhq

NOTE que:

– La incertidumbre calculada por propagación de errores tiene las mismas unidades que el

valor calculado del mesurando.

– Todas las componentes de la incertidumbre se suman entre sí, nunca se restan.

Hemos realizado las operaciones intermedias guardando una cifra de seguridad como se indica en

las recomendaciones para la realización de cálculos con cantidades aproximadas y al sumar todas

las componentes de la incertidumbre hemos encontrado que su valor tiene probablemente dos

cifras significativas. Podemos, entonces, expresar el resultado como

q = 83,1 ± 1,6 cm3s-1

o, si queremos curarnos en salud, podemos redondear el error por exceso a una sola cifra

significativa

q = 83 ± 2 cm3s-1

Propagación de errores en las operaciones más comunes

La aplicación de la técnica de propagación de errores que hemos descrito a las operaciones más

habituales resulta en las expresiones de la incertidumbre del resultado que se recogen en la

siguiente tabla.

Operación Incertidumbre Operación Incertidumbre

yxu

yxuyxu sinu

)radianesen (

cos

u

y

xu

yxu

uy

y

x

xu

xsinarc

)radianesen y (

1

1

2

x

x

xau xau x

u e uxu

a

xu u

x

x

au xu ln

x

x

u

donde x, y y son cantidades aproximadas y a es una cantidad exacta.

Page 20: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 20 —

TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

Indicaciones para construir una gráfica

El propósito principal de una gráfica es dar una impresión visual de los resultados obtenidos en unexperimento; debe ser, por tanto, lo más clara posible.

A la hora de realizar una gráfica hay que tener en cuenta los siguientes puntos:

1.- Al construir la gráfica, se debe poner un título especificando el experimento realizado eindicando qué tabla de valores se representa.

2.- Se ha de escoger un tipo de ejes (lineales, logarítmicos, etc.) que permitan observar facilmentelas características de las distribuciones de puntos que se esperan obtener (p. ej. que hagan que lospuntos aparezcan más o menos alineados sobre una recta).

3.- Los ejes deben ser divididos de la forma más sencilla posible y de modo que al representar lospuntos éstos no queden ni demasiado juntos ni demasiado dispersos. La división de la escala ha deser sencilla y de fácil lectura (p.ej. una división por cada unidad).

4.- Se ha de indicar de forma clara las magnitudes y unidades que corresponden a cada eje. Si seutiliza notación científica, hay que especificar la potencia de 10 por que se deben multiplicar losvalores representados en los ejes.

5.- Se deben marcar los puntos correspondientes a las medidas de forma que resalten con claridad,con cruces, aspas, círculos, etc. Es conveniente hacer los primeros intentos a lápiz por si esnecesario corregir.

6.- Cuando haya que representar en un mismo sistema de ejes los puntos pertenecientes adiferentes gráficas, éstos deben ser identificados de forma diferente; p.ej. +, ×, l, ¡, n, ¨, t, ◊,

etc. Si la gráfica se hace demasiado confusa, es preferible repartirla en gráficas separadas.

7.- Las curvas experimentales se deben trazar a través de la nube de puntos de la forma másaproximada posible a su forma teórica. No tienen que pasar necesariamente por todos los puntos,siquiera es necesario que pasen por alguno de ellos; sólo se ha de tener cuidado de que queden máso menos tantos puntos por encima como por debajo de la curva trazada. Los puntos experimentalesno se borran una vez trazada la curva.

Page 21: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 21 —

Ajustes de rectas por el método de los mínimos cuadrados

Uno de los problemas más frecuentes que se presentan al experimentador es el de la regresión, estoes, encontrar una relación matemática entre dos magnitudes (x e y) que se ajuste de la mejor formaposible a una serie de valores obtenidos experimentalmente.

El caso más sencillo se tiene cuando existe una relación lineal entre las magnitudes x e y. Estarelación puede ser conocida a priori o bien establecerse a la vista de que el conjunto de n pares devalores experimentales (xi, yi) se aproxima al representarlo a una recta.

En general, una recta en el plano XY puede escribirse de la forma:

y = b·x + a

Para estimar los valores de los parámetros b (pendiente) y a (intercepción u ordenada en el origen)que hacen que la recta se ajuste lo mejor posible a una cierta distribución de puntos medidos (xi, yi)se suele utilizar el método de los mínimos cuadrados, que consiste en buscar los valores de a y bque minimizan el valor de la expresión

( )[ ]∑=

+⋅−n

iii axby

1

2

De las condiciones de mínimo se obtiene que

2

1 1

2

111

∑ ∑

∑∑∑

= =

===

−=

n

i

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

xxn

yxyxnb

∑ ∑

∑ ∑∑∑

= =

= ===

−=

n

i

n

iii

n

i

n

iii

n

ii

n

iii

xxn

yxxyxa

1

2

1

2

1 111

2

⇓ ⇓

2

1

2

1

xnx

yxnyxb n

ii

n

iii

−=

=

=

=

=⋅−=

=

=n

ii

n

ii

yn

y

xn

xconxbya

1

1

1

1

Cuyas incertidumbres asociadas son, respectivamente

( )

( )

−−

−−=

∑∑

==

=2

11

2

1

2

b

2n

ii

n

ii

n

iii

xxnn

abxyns

( )

( )

−−

−−=

∑∑

∑ ∑

==

= =2

11

2

1 1

22

a

2n

ii

n

ii

n

i

n

iiii

xxnn

abxyxs

Page 22: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 22 —

A la cantidad

( )( )

( ) ( )∑ ∑

= =

=

−−

−−=

n

i

n

iii

n

iii

yyxx

yyxxr

1 1

22

1

se le llama coeficiente de correlación. Este coeficiente puede tomar valores comprendidos entre –1y 1, y se puede interpretar como una medida del grado de linealidad de la nube de puntos (xi, yi) yaque cuanto más próximo sea su valor absoluto a 1, mejor será el ajuste de los datos experimentalesa la recta de regresión.

Representación gráfica de una recta de regresión

Una vez calculada la recta de regresión puede representarse sobre la misma gráfica que lasmedidas experimentales o en una gráfica independiente con ejes similares a los de la primera.

Para trazar la recta se calcularán dos puntos utilizando la expresión

y = b·x + a

tomando valores de la coordenada x lo más separados posible dentro de los límites de la escala dela gráfica. Se dibujan estos dos puntos y se unen con una recta.

Si además se quiere representar la región de incertidumbre, en la que se encuentran todas las rectasque podrían ajustarse a la distribución original de puntos, se trazan de la misma manera las cuatrorectas que la limitan:

( ) ( )( ) ( ) 0para

ab

ab ≥

−+⋅−=++⋅+=

xsaxsbysaxsby

( ) ( )( ) ( ) 0para

ab

ab <

−+⋅+=++⋅−=

xsaxsbysaxsby

Page 23: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 23 —

BIBLIOGRAFÍA

Bronshtein I. y Semendiaev K. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. MIR,Moscú (1982) pp. 127–131

Spirodov V.P. y Lopatkin A.A. Tratamiento matemático de datos físico-químicos. MIR, Moscú(1983) pp. 53–96

UNE 5-002-84 (ISO 1000–1981) Norma Española

UNE 5-100-87 Parte 0 (ISO 31/0–1981) Norma Española

Glosario de términos empleados en Metrología. Asociación española para el control de calidad.Enero 1987

Page 24: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades
Page 25: MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS. … · Nota: lascantidades exactas tienen tantas cifras significativas como se quiera, de modo que cuando se operen cantidades aproximadas con cantidades

LABORATORIO DE FÍSICA - E.T.S.I.T. Curso 2004–2005 Introducción a la Teoría de Errores

— 25 —

Fórmulas para el tratamiento de datos experimentales.

Media

n

i

ix

n

x

1

1

Desviación típica muestral

n

i

ixx

ns

1

2

1n

1

1

Desviación típica de la media

n

i

ixx

nnn

s

s

1

21n

m

1

1

Propagación de errores:

v

v

zy

y

zx

x

zzvyxfz ,,,

Operación Incertidumbre Operación Incertidumbre

yxu

yxuyxu sinu

)radianesen (

cos

u

y

xu

yxu

uy

y

x

xu

xsinarc

)radianesen y (

1

1

2

x

x

xau xau x

u e uxu

a

xu u

x

x

au xu ln

x

x

u

Regresión lineal:abxy

2

1

2

1

xnx

yxnyx

bn

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

yn

y

xn

x

conxbya

1

1

1

1

2

11

2

1

2

b

2

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxnn

abxyn

s

2

11

2

1 1

22

a

2

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

iii

xxnn

abxyx

s

n

i

n

i

ii

n

i

ii

yyxx

yyxx

r

1 1

22

1

Código de colores de resistencias

Negro Marron Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco Oro Plata

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1% 2% 5% 10%