Miguel Delgado Len Magneto esttica en MediosMaterialesEE-521 Propagacin y Radiacin ElectromagnticaMSc. Ing. Miguel Delgado Len

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Magnetosttica en Medios MaterialesMiguel Delgado Len Toda la materia consiste fundamentalmente de tomos y cada tomo contiene electrones en movimiento. Estos circuitos electrnicos son las corrientes atmicas. Estas corrientes atmicas pueden producir campos magnticos.Ampere propuso una hiptesis que se acepta para el estudio de la magnetosttica en medios materiales.Hiptesis de Ampere: La materia puede considerarse como un conjunto de corrientes atmicas Cada corriente atmica es un minsculo circuito cerrado de tal manera que es razonable que el campo magntico distante pueda describirse apropiadamente como un dipolo magntico.

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Miguel Delgado Len La materia puede considerarse como un conjunto de dipolos magnticosDipolos MagnticosDipolos magnticosorientadosaleatoriamenteDipolos magnticosorientadossegn el campo externoEl alineamiento de los dipolos es parcial

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Miguel Delgado Len Magnetizacin M (A/m) y campo magntico producido por un material magnetizadoLa magnetizacin se define como el momento dipolar magntico por unidad de volumen es el momento dipolar en un volumen infinitesimal (puntual) dentro del volumen V El campo potencial vector magntico de un dipolo puntual esta dado por

El campo A debido a todo el volumen (material magnetizado) ser:El campo magntico B ser:

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Densidad de corrientes de magnetizacin y Miguel Delgado Len Utilizando la identidad vectorial:Reemplazando en la expresin de A (2), obtenemos:Utilizando la identidad vectorial:Definimos las densidades corrientes de magnetizacin volumtrica y superficialDensidad de corriente volumtrica de magnetizacinDensidad de corriente superficial de magnetizacinDe manera que: El campo B se obtiene del rotacional de A

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Densidad de polos magnticos yMiguel Delgado Len Como es conocido:y deLlegamos a:donde:odonde:Es la densidad de polo magntico superficialEs la densidad de polo magntico volumtricoPosteriormente se definir el campo H que es: As (7) se transforma en:

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Densidad de polos magnticosMiguel Delgado Len Aplicando divergencia a (12) tenemos:Puesto que la expresin es: Segn (10) , entonces:Integrando sobre un volumen queda:Aplicando el teorema de la divergencia al lado izquierdo:Ejemplo 1. Una regin esfrica de radio a cuyo centro coincide con el origen de coordenadas tiene una magntizacin dada por: Determine el campo H y B en todo el espacio.Ejemplo 2. Un material cilndrico de radio a y longitud indeterminada tiene una magnetizacin uniforme de modulo y direccin paralela al eje del cilindro. Determine el campo H y B en todo el espacio.

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ProblemasMiguel Delgado Len Ejemplo 3. Un material en forma de placa de espesor d y extensin indeterminada como se muestra esta magnetizado. Determine el campo H y B cuando:la magnetizacin esLa magnetizacin es Ejemplo 4. Un material esfrico de radio a tiene una magnetizacin uniforme de modulo determine el campo A y B en todo el espacio. Ejemplo 5. Un material cilndrico de radio a y longitud indeterminada tiene una magnetizacin uniforme de modulo y direccin perpendicular al eje del cilindro. Determine el campo A, H y B en todo el espacio. Ejemplo 6. En el ejemplo 4 (ejemplo 5). Resolver considerando en lugar de una esfera (cilindro) un cascarn esfrico (cilndrico) de radio interno a y radio externo b.

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Miguel Delgado Len Magnetosttica en Materiales con FuentesPuede Ocurrir que el material tenga una magnetizacin permanente (imn) y que no este afectado por la fuente JPuede ocurrir que la magnetizacin sea inducida debido a la presencia de J, sea que la magnetizacin depende de B que a su vez depende de J: M=M(B(J))En la seccin anterior hemos aprendido a calcular el campo B debido solamente a un material magnetizado. Ahora conoceremos como se calcula el campo B debido a una fuente de corriente y un material magnetizado.

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Miguel Delgado Len Magnetosttica en Materiales con FuentesEl campo B ser la superposicin, de la fuente de corriente y el material magnetizado

Resulta una ecuacin integro diferencial para B. Para evitar esta dificultad, se utiliza la ecuacin diferencial equivalente a la ecuacin de Biot y Savart.Ley de Biot y SavartDe esta ecuacin tenemos:

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Miguel Delgado Len Deduccin de campo H (Intensidad de Campo Magntico)El termino entre parntesis se define como el campo H, (Intensidad Magntica) A/m

De manera que:Que es conocida como la forma diferencial de la ley de Ampere para el campo H, y es fcil deducir la forma Integral de la ley de Ampere o ley circuital de Ampere para el campo H(*)

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Miguel Delgado Len Deduccin de campo H (Intensidad de Campo Magntico)El vector M es una medida del magnetismo interno presente en un material ya sea como magnetismo permanente (Imn) o como magnetismo inducido debido a la presencia de las fuentes de corriente.De forma similar que en electrosttica en dielctrico se defina una permitividad absoluta del medio , en magnetosttica se define la permeabilidad absoluta del medio En conclusin un material puede caracterizarse por su magnetizacin M o su permeabilidad , que podra ser homogneo, no homogneo, istropo, anistropo, lineal , no lineal, dependiendo del material

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Miguel Delgado Len Susceptibilidad Magntica, permeabilidad relativaDe la ecuacin (*) podr observarse que si = 0 en el material entonces B= 0 H corresponde a un medio no magntico y se confirma que M se anula bajo estas circunstanciasLa magnetizacin M puede relacionarse con el campo H, como la ecuacin

Donde es la susceptibilidad magntica, que esta relacionada con la ecuacin (*) se llega a :De aqu se encuentra que De donde, se define la permeabilidad relativa:

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Miguel Delgado Len Clasificacin de Medios Magnticos Diamagnticos Paramagnticos Ferro magnticos Ferritas: Es un grupo importante de los materiales ferro magnticos, una caracterstica importante es su baja conductividad. Una aplicacin es en transformadores de alta frecuencia y antenas.

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Miguel Delgado Len Clasificacin de Medios Magnticos En los materiales diamagnticos el flujo magntico pasar preferentemente por el aire, que es el medio ms permeable que el material, aparece una fuerza de repulsin sobre el material que es muy pequea. En los Paramagnticos la fuerza es de atraccin y es tambin pequeaEn el material Ferromagntico el flujo del campo pasa totalmente por el material, el material es ms permeable que el aire; aparece una fuerza de atraccin relativamente grande

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Miguel Delgado Len Caractersticas de los Materiales FerromagnticosPermeabilidad muy alta en la zona linealTemperatura de Curie Si el material ferromagntico pasa una temperatura critica llamada de Curie este medio pasa a tener un comportamiento de un material paramagntico (770 para el hierro)La saturacin: si se aumenta indefinidamente el campo H el campo B ya no crece (no lineal)

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Miguel Delgado Len Curva de Saturacin de los materiales ferromagnticosZona de SaturacinZona aprox. Lineal

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EjemplosMiguel Delgado Len Ejemplo 1Un material magntico no istropo est caracterizado por la relacin B y H como:

Donde k es una constante. Encontrar la permeabilidad efectiva cuando Ejemplo 2Un toroide de radio medio R, de seccin transversal circular de radio a (a

Miguel Delgado Len Imanes PermanentesLa diferencia entre los materiales ferromagnticos (Hierro, Nquel, Cobalto, etc.) con los imanes permanentes es que los primeros puede desmagnetizarse fcilmenteLos Imanes Permanentes no se desmagnetizan fcilmente (ejemplo de imn es el Alnico aleacin de Aluminio Nquel Cobalto)La caracterstica principal de los imanes es la curva de Histresis (del significado griego ir detrs)

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Miguel Delgado Len Curva de Histresis de los imanesIMPORTANTE: Para diseo de circuitos Magnticos, el fabricante debe proporcionar la curva del segundo cuadrante de la curva B-H

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Miguel Delgado Len Curva de HistresisEn materiales Ferromagnticos la curva es angosta y es de fcil magnetizacin y desmagnetizacinEn Materiales duros o Imanes, la curva de B-H es ancha y de difcil desmagnetizacin

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Miguel Delgado Len Condiciones de Frontera entre dos mediosPara el campo B

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Miguel Delgado Len Condiciones de Frontera entre dos mediosMedio 2Para el campo H

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Miguel Delgado Len Circuitos MagnticosEntrehierro de aire

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Miguel Delgado Len Jos Daz ZegarraComparacin ente circuitos elctricos y Magnticos

Miguel Delgado Len Jos Daz Zegarra

EjemplosMiguel Delgado Len Ejemplo 1 (parcial 2010 I)El circuito magntico mostrado en la figura contiene un imn para producir campo magntico y un material ferro magntico. La curva de saturacin del material ferro magntico esta dado por:

La curva de histresis del imn en el segundo cuadrante est dado por:

Determine B en el entrehierro

Ejemplo 2 Un material magntico con una alta permeabilidad relativa (mr=1000) se encuentra rodeada por el vacio (mr=1). Suponga que el campo B1 en un punto dentro del material muy cerca a la frontera es 1 Tesla. El ngulo entre B1 y la normal dirigida hacia afuera es 80 grados.Calcular la componente normal y tangencial de B2 (campo en el mismo punto pero fuera del material) El ngulo entre B2 y la normal

Ejemplo 3 El campo potencial vectorial magntico se sabe que es tangencial a la frontera de una material ferro magntico ideal demostrar que la condicin de frontera del campo A es de Neumman homogneo.

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Miguel Delgado Len Jos Daz Zegarra*Miguel Delgado Len Jos Daz Zegarra