magnetismo y Óptica - universidad de...

Magnetismo y Oacuteptica

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copy 2006 Departamento de FiacutesicaUniversidad de Sonora

Magnetismo y oacuteptica

Parte I Magnetismo (Tiempo aproximado 16 horas)

1 Campo magneacuteticoa El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacuteticob Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimientoc Movimiento de cargas eleacutectricas en un campo magneacutetico uniforme Selector o

filtro de velocidades El espectroacutemetro de masasd Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectricae Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motor eleacutectricof El efecto Hallg Ley de Biot-Savart Fuerza entre dos conductores paralelosh Ley de Ampegravere El solenoidei Ley de Faraday-Lenz Fuerza electromotriz Generadores

(Tiempo aproximado 12 horas)


2 Propiedades magneacuteticas de la materiaa Dipolo magneacuteticob Magnetismo atoacutemico y nuclearc Magnetizacioacutend Materiales magneacuteticos Paramagnetismo diamagnetismo ferromagnetismo curva

de histeacuteresise Efectos de la temperatura sobre el ferromagnetismof Magnetismo de los planetas



Parte II Oacuteptica (Tiempo aproximado 32 horas)

3 Naturaleza y propagacioacuten de la luza Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneacuteticasb Ondas electromagneacuteticas planas y la rapidez de la luzc Energiacutea transportada por ondas electromagneacuteticasd Espectro electromagneacuteticoe La naturaleza de la luz Espectro visible



4 Leyes de la reflexioacuten y refraccioacutena La aproximacioacuten de rayos en la oacuteptica geomeacutetricab Ley de la reflexioacutenc Iacutendice de refraccioacuten y Ley de Snelld Reflexioacuten total interna La fibra oacutepticae Dispersioacuten y prismas



5 Oacuteptica geomeacutetricaa Reflexioacuten en superficies planas y esfeacutericasb Imaacutegenes formadas por espejos esfeacutericosc Concepto de lente delgada Ecuacioacuten de las lentes delgadasd Imaacutegenes formadas por lentes esfeacutericas Convergentes y divergentese Instrumentos oacutepticos El ojo humano la caacutemara fotograacutefica el microscopio etc



6 Difraccioacutena Introduccioacuten a la difraccioacuten Difraccioacuten de Fresnel y de Fraunhoferb Difraccioacuten de rendijas estrechas Resolucioacuten de abertura circularc La rejilla de difraccioacuten Espectroacutemetros de rejillad Difraccioacuten de rayos X mediante cristales



7 Polarizacioacuten oacutepticaa Polarizacioacuten de la luz Filtros polarizadoresb Polarizacioacuten mediante absorcioacuten selectiva Ley de Malusc Polarizacioacuten por reflexioacuten Ley de Brewsterd Polarizacioacuten circular y eliacutepticae Polarizacioacuten por doble refraccioacutenf Polarizacioacuten por dispersioacuteng Actividad oacuteptica de moleacuteculas



8 Propiedades oacutepticas de la materiaa Radiacioacuten de cuerpo negrob Fotones y ondas electromagneacuteticasc Espectros de Absorcioacuten y Emisioacuten (Transiciones atoacutemicas)d Emisioacuten estimulada de la radiacioacuten y el Laacutesere Ley de Beer-Lambert







El magnetismo Liacuteneas de campo magneacutetico y flujo magneacutetico

La historia del magnetismo comienza con las civilizaciones de Asia Menor ya que fue en una regioacuten conocida como magnesia donde se encontroacute algunas rocas que se atraiacutean entre siacute A estas rocas se les llamoacuteldquomagnetosrdquo en alusioacuten al lugar de su descubrimiento

Hoy en diacutea sabemos que el magnetismo y la electricidad se relacionan estrechamente al producirse como consecuencia de la existencia de cargas y dependiendo de su estado de movimiento dan lugar a uno o a otro fenoacutemeno Sin embargo esta relacioacuten fue descubierta hasta el siglo XIX mediante una serie de experimentos realizados por diversos cientiacuteficos que culminan hacia 1873 con el trabajo de JC Maxwell que postuloacute las leyes del electromagnetismo que actualmente se conocen como Ecuaciones de Maxwell

El magnetismo


El estudio de la interaccioacuten entre cuerpos cargados ha sido descrito en teacuterminos del campo eleacutectrico el cual rodea a cualquier carga eleacutectrica ya sea en reposo o en movimiento

Ademaacutes de un campo eleacutectrico la regioacuten que rodea a una carga eleacutectrica moacutevil tambieacuten contiene un campo magneacutetico de hecho todas las sustancias magneacuteticas como los imanes estaacuten rodeadas por un campo magneacutetico

Histoacutericamente se ha usado el siacutembolo B para representar el campo magneacutetico debido a que es una cantidad vectorial

La direccioacuten del campo magneacutetico en un punto dado estaacute en la direccioacuten en que apunta la aguja de una bruacutejula en dicha ubicacioacuten



El experimento de OerstedEn 1820 H Oersted descubrioacute la relacioacuten entre la electricidad y el magnetismo en un experimento que hoy se nos presenta como muy sencillo y que llevoacute a cabo ante sus alumnos

En su experimento demostroacuteempiacutericamente que un hilo conductor de corriente podiacutea mover la aguja imantada de una bruacutejula de tal forma que esta se orientaba perpendicularmente al alambre

Experimentalmente se encuentra que las sustancias magneacuteticas presentan dos polos que se denominan polo norte y polo sur Lo anterior se puede visualizar mediante pequentildeas limaduras de hierro tal como se muestra en la siguiente imagen de un imaacuten en forma de barra

Liacuteneas de campo magneacutetico


Es importante mencionar que no hay evidencia de la existencia de polos de manera aislada ya que siempre han sido encontrados ambos polos en todas las sustancia magneacuteticas


Para tener una idea maacutes clara del concepto de flujo consideremos la figura siguiente

Las liacuteneas de campo B penetran una superficie rectangular de aacuterea A perpendicular a tales liacuteneas considerando que el nuacutemero liacuteneas es proporcional a la magnitud de B se tiene que el nuacutemero de liacuteneas que atraviesan la superficie es proporcional al producto BA


Como vimos anteriormente el campo magneacutetico puede ser descrito cualitativamente mediante el uso de liacuteneas de campo sin embargo ha llegado el momento de hacerlo cuantitativamente para ello es preciso definir el concepto de flujo magneacutetico (φB)

Flujo magneacutetico

En el SI la unidad de flujo magneacutetico es Tm2 que se define como weber(1Wb=1Tm2)


Este producto de la magnitud de B y el aacuterea A de la superficie perpendicular al campo es llamado flujo magneacutetico (ΦB) es decir

B BAΦ =

El flujo magneacutetico ΦB es proporcional al nuacutemero de liacuteneas de campo que penetran una superficie arbitraria perpendicular al propio campo B

En este caso el flujo magneacutetico a traveacutes de un elemento diferencial de aacuterea dA es


iquestQueacute sucede si la superficie es irregular Para responder esta pregunta consideremos en vez de una superficie de aacuterea A un diferencial de la misma superficie a saber dA tal como se muestra en la figura siguiente

donde dA es un vector perpendicular a la superficie y con magnitud dA

De tal forma que el flujo magneacutetico total a traveacutes de la superficie estaacute dado por


Si tomamos en cuenta la existencia de un aacutengulo entre el campo magneacutetico B y la superficie (plana) dA podemos escribir el flujo magneacutetico a traveacutes de dicha superficie como

Bd BCos dAθΦ =

A partir de aquiacute podemos considerar como ejemplo dos casos

(1) campo magneacutetico perpendicular al vector normal a la superficie (con lo que θ=900) En este caso dado que Cos 900=0 se tiene que el flujo magneacutetico es nulo


(2) campo magneacutetico paralelo al vector normal a la superficie (con lo que θ=00) En este caso dado que Cos 00=1 tenemos un flujo magneacutetico maacuteximo (ΦB max=BdA)

Lo anterior implica que el flujo magneacutetico se encontraraacute entre ndash BdA y BdA ya que el valor de Cos θ se ubica entre -1 y 1

El magnetismo Flujo magneacutetico y ley de Gauss en el magnetismo

Cuando estudiamos el campo eleacutectrico relacionamos el flujo eleacutectrico a traveacutes de una superficie cerrada con la carga neta encerrada por dicha superficie a esta relacioacuten la llamamos Ley de Gauss

Por ejemplo las liacuteneas de campo eleacutectrico alrededor de un dipolo eleacutectrico inician en la carga positiva y terminan en la carga negativa

En este caso el flujo eleacutectrico a traveacutes de una superficie que encierre a una de las cargas NO es cero iquestPorqueacute

El magnetismo Ley de Gauss en el magnetismo

En el caso del magnetismo tambieacuten podemos aplicar la Ley de Gauss a una superficie cerrada

En este caso la ley de Gauss establece que el flujo magneacutetico neto a traveacutes de cualquier superficie cerrada siempre es cero es decir

Las liacuteneas de campo magneacutetico de una barra imanada forman trazos cerrados Nota que el flujo magneacutetico neto a traveacutes de una superficie cerrada alrededor de uno de los polos (o cualquier otra superficie cerrada) es cero lo cual es evidente al notar que el nuacutemero de liacuteneas que entran es igual al de liacuteneas que salen

z

x

y

30cm25cm

50cm

Para calcular el flujo en la superficie mostrada separeacutemosla en cada una de las caras que la conforman A saber

bull Cara A Reacutectaacutengulo vertical

bull Cara B Triaacutengulo vertical

bull Cara C Rectaacutengulo horizontal

bull Cara D Triaacutengulo vertical

bull Cara E Rectaacutengulo inclinado

Considere una superficie en forma de cuntildea inmersa en un campo magneacutetico uniforme B=(200i)T tal como se muestra en la figura Calcule el flujo magneacutetico en cada una de las superficies asiacute como el flujo total


A

B

ED

C

B

z

x

y

30cm25cm

50cm

Cara A Reacutectaacutengulo vertical

En este caso el flujo magneacutetico

resulta ser

de donde


B

AAB BCos dAθΦ = int

0

A

180AB BCos dAΦ = int

( )( )( )( )200 1 030 025AB T m mΦ = minus

215 15AB T m WbΦ = minus sdot = minus

AdA


z

x

y

30cm25cm

50cm

Cara B Triaacutengulo vertical


resulta ser

de donde


B

B

dA

BBB BCos dAθΦ = int

0

B

90BB BCos dAΦ = int

0BBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm

Cara C Rectaacutengulo horizontal


resulta ser

de donde


B

C

dA

CCB BCos dAθΦ = int

0

C

90CB BCos dAΦ = int

0CBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm

Cara D Triaacutengulo vertical


resulta ser

de donde


D

dA

B

DDB BCos dAθΦ = int

0

C

90DB BCos dAΦ = int

0DBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm


BCara E Rectaacutengulo inclinado


resulta ser

El aacutengulo φ se obtiene del esquema resultando ser

EEB BCos dAθΦ = int

( )0

E

90EB BCos dAφΦ = minus intE

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


z

x

y

30cm25cm

50cm


BPor otro lado para calcular el aacuterea advertimos que el largo del rectaacutengulo corresponde a la hipotenusa del triaacutengulo lateral de donde

Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times



Resumiendo los diferentes flujos son

de donde el flujo magneacutetico total resultado de la suma de todos los flujos es cero

15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus

0B C DB B BΦ = Φ = Φ =

z

x

y

30cm25cm

50cm

B


Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento

Generalmente se define el campo magneacutetico en un punto del espacio en teacuterminos de la fuerza magneacutetica (FB) que experimenta una carga de prueba q movieacutendose con una velocidad v al ubicarse en dicho punto

Los experimentos realizados considerando el movimiento de partiacuteculas cargadas en presencia de campos magneacuteticos arrojan los siguientes resultados

La magnitud de la fuerza FB ejercida sobre la partiacutecula es proporcional a la carga q y a la rapidez v de la partiacuteculaLa magnitud y direccioacuten de la fuerza FB depende de la velocidad v de la partiacutecula y de la magnitud y direccioacuten del campo magneacutetico BCuando una partiacutecula cargada se mueve paralela al vector de campo magneacutetico no hay fuerza magneacutetica


Tambieacuten se tiene que

Cuando la velocidad de la partiacutecula forma un aacutengulo distinto de cero con el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica actuacutea en una direccioacuten perpendicular tanto a v como a BLa fuerza magneacutetica ejercida sobre una partiacutecula cargada positivamente estaacute en direccioacuten opuesta a la ejercida sobre una partiacutecula cargada negativamenteLa magnitud de la fuerza magneacutetica es proporcional al seno del aacutengulo formado entre la direccioacuten del campo magneacutetico B y la direccioacuten del movimiento de la partiacutecula cargada


Los resultados anteriores se pueden resumir en la siguiente expresioacuten

BF qv B= times

donde FB estaacute en la direccioacuten del producto vectorial v x B si q es positiva Por definicioacuten del producto vectorial (o producto cruz) la fuerza magneacutetica es perpendicular al plano formado por los vectores v y B

Se puede considerar a la anterior expresioacuten como una definicioacuten operacional del campo magneacutetico

Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento Regla de la mano derecha

Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica

La fuerza eleacutectrica actuacutea en direccioacuten del campo eleacutectrico en tanto que la fuerza magneacutetica es perpendicular al campo magneacuteticoLa fuerza eleacutectrica actuacutea sobre una partiacutecula cargada independientemente de si la partiacutecula estaacute en movimiento o no mientras que la fuerza magneacutetica actuacutea sobre una partiacutecula cargada soacutelo cuando esta se encuentra en movimientoLa fuerza eleacutectrica efectuacutea trabajo al desplazar a la partiacutecula cargada en tanto que la fuerza magneacutetica asociada con un campo magneacutetico estable no realiza trabajo cuando se desplaza una partiacutecula

Esto uacuteltimo permite concluir que el campo magneacutetico puede alterar la direccioacuten del vector velocidad de una partiacutecula pero no puede cambiarle su magnitud por lo que la energiacutea cineacutetica no cambia para una partiacutecula cargada que se mueve con una velocidad v a traveacutes de un campo magneacutetico B

Fuerza magneacutetica sobre una carga en movimiento Diferencias entre las fuerzas eleacutectrica y magneacutetica

Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico

Una vez conocida la fuerza magneacutetica podemos analizar el movimiento de una partiacutecula cargada a traveacutes de un campo magneacutetico Para ello consideraremos que la partiacutecula penetra movieacutendose perpendicularmente a un campo magneacutetico uniforme B

B

v

FB vF B

v

FB


Como pudimos ver anteriormente la partiacutecula desarrolla un movimiento circular asiacute que si aplicamos la segunda ley de Newton a dicho movimiento tendremos

2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum

es decir el radio de la trayectoria es proporcional al momentum lineal mv de la partiacutecula e inversamente proporcional a la magnitud de la carga q y a la magnitud del campo magneacutetico B

B


Del resultado anterior podemos encontrar la rapidez angular de la partiacutecula ω a saber v qB

r mω = =

Este par de resultados muestra que la rapidez angular y el periodo del movimiento de la partiacutecula NO dependen de la rapidez inicial ni del radio de la oacuterbita En particular a esta frecuencia se le conoce como frecuencia de ciclotroacuten por ser esta la frecuencia del movimiento de partiacuteculas en un acelerador de partiacuteculas conocido como ciclotroacuten

y de manera similar el periodo del movimiento (el tiempo que tarda la partiacutecula en completar una revolucioacuten) T estaacute dado por

2 2 2r mTv qBπ π π

ω= = =

Movimiento de una partiacutecula en un campo electromagneacutetico

En resumen podemos concluir que una partiacutecula con una carga q movieacutendose con una velocidad v en presencia tanto de un campo eleacutectrico E como de un campo magneacutetico B experimenta una fuerza eleacutectrica FE = qE y una fuerza magneacutetica FB = q v x B de tal forma que la fuerza total (llamada Fuerza de Lorentz) que actuacutea sobre la partiacutecula estaacutedada por

Un par de aplicaciones de los resultados anteriores sonEl selector (o filtro) de velocidadesEl espectroacutemetro de masas

( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times

Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico Selector o filtro de velocidades

Existen situaciones que involucran partiacuteculas cargadas donde es fundamental que estas se muevan esencialmente a la misma velocidad Sin embargo al acelerar partiacuteculas no todas se moveraacuten con la misma rapidez por lo que surge la necesidad de seleccionar soacutelo a aquellas que se muevan con la rapidez deseada

Lo anterior se logra aplicando una combinacioacuten de campos eleacutectrico y magneacutetico perpendiculares entre siacute para lograr que las fuerzas correspondientes (que actuacutean simultaacuteneamente sobre la partiacutecula) esteacuten en la misma direccioacuten pero opuestas entre siacute Con ello se busca que ambas fuerzas se cancelen entre siacute ya que en tal caso la partiacutecula no experimenta fuerza neta y entonces no se modifica su trayectoria inicial

( ) 0E BF F F q E v B

E v B

= + = + times =

rArr = minus times


Es decir cuando las magnitudes de los campos E y B satisfacen la relacioacuten E=vB la partiacutecula se mueve de manera rectiliacutenea en la regioacuten de los campos lo que implica que hemos seleccionada a aquellas partiacuteculas con rapidez v=EB

En la siguiente figura se muestra un esquema del selector de velocidades


En conclusioacuten el selector de velocidad nos permite separar partiacuteculas cargadas de acuerdo a su velocidad logrando que aquellas con una rapidez dada por v=EB no sufran modificacioacuten en su trayectoria mientras que aquellas con rapidez mayor se deflectan en la direccioacuten de la fuerza magneacutetica y las que poseen rapidez menor lo hacen en direccioacuten de la fuerza eleacutectrica siempre y cuando se trate de partiacuteculas cargadas positivamente en caso de tener carga negativa la deflectacioacuten es a la inversa

Funcionamiento del selector o filtro de velocidades

Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico El espectroacutemetro de masas

El espectroacutemetro de masas es un dispositivo que permite separar iones con base en su relacioacuten carga-masa

En las siguientes imaacutegenes se presentan la fotografiacutea de un espectroacutemetro de masas y su diagrama esquemaacutetico


iquestEn queacute consiste un espectroacutemetro de masas En la versioacuten conocida como espectroacutemetro de masas de Brainbridge un haz de iones pasa primero por un selector de velocidades y despueacutes entra en un segundo campo magneacutetico uniforme B0 que tiene la misma direccioacuten que el campo magneacutetico en el selector

Si se enviacutean iones cargados positivamente es faacutecil demostrar que la trayectoria seguida es la mostrada en el esquema donde el radio de la trayectoria circular estaacutedado por

0

r mvqB

=


De la ecuacioacuten anterior podemos concluir que las partiacuteculas con mayor relacioacuten masa-carga tendraacuten un radio de curvatura mayor para la trayectoria seguida de tal forma que si colocamos un detector a una distancia 2r de la salida de iones podremos detectar a los iones con una relacioacuten masa-carga dada por

0mq

B rv

=

y si consideramos la expresioacuten para la rapidez de un selector de velocidades podemos escribir

0mq

B BrE

= Relacioacuten masa-carga en un espectroacutemetro de masas


En la praacutectica suelen medirse las masas de varios isoacutetopos de un iondeterminado con todos los iones teniendo la misma carga q en consecuencia es posible encontrar las proporciones de masa incluso si se desconoce q

Una variacioacuten de esta teacutecnica fue empleada por JJ Thomson (1856-1940) en 1897 para medir la relacioacuten carga-masa de los electrones a saber eme

Bobina de campo magneacutetico

Haz de electrones desviados

Haz de electrones no desviados

Recubrimiento fluorescente

Placas de desviacioacuten

RejillasCaacutetodo

Movimiento de una partiacutecula en un campo magneacutetico Relacioacuten carga-masa (eme)

En el aparato de Thomson los electrones son acelerados desde el caacutetodo pasando por un par de rejillas a continuacioacuten pasan entre dos campos eleacutectrico y magneacutetico Cuando ambos campos se encienden estos son ajustados para obtener un haz sin desviacioacuten posteriormente se apaga el campo magneacutetico y se mide la desviacioacuten

Con base en las magnitudes de ambos campos y en la desviacioacuten medida se calcula la relacioacuten eme

Fuerza magneacutetica sobre un alambre que transporta una corriente eleacutectrica

Al realizar experimentos con un alambre conduciendo una corriente en presencia de un campo magneacutetico lo que se observa es lo mostrado en la figura anexa En (a) se presenta el arreglo un alambre vertical en presencia de un campo magneacutetico B en (b) el alambre no lleva corriente en (c) la corriente fluye hacia arriba y en (d) fluye hacia abajo

Como puede advertirse existe un efecto sobre el alambre producto de una interaccioacuten entre la corriente que circula por el alambre y el campo magneacutetico la fuerza magneacutetica


Para encontrar la fuerza magneacutetica sobre un alambre vamos a considerar un segmento de alambre recto de longitud L y aacuterea de seccioacuten transversal A que conduce una corriente I en un campo magneacutetico B

La fuerza magneacutetica ejercida sobre una carga qque se mueve a una velocidad vd estaacute dada por

asiacute que para determinar la fuerza total que actuacutea sobre el alambre basta con multiplicar la fuerza sobre una carga por el nuacutemero de cargas en el segmento Puesto que el volumen del segmento es AL el nuacutemero de cargas en el segmento es nAL donde n es el nuacutemero de cargas por unidad de volumen

q vd x B


Por lo tanto la fuerza magneacutetica total sobre el alambre de longitud L es

Esta expresioacuten puede reescribirse en una forma maacutes conveniente si recordamos que la corriente I estaacute dada por I = nqvdA con lo que

( )B dF qv B nAL= times

BF IL B= times

donde L es un vector que apunta en la direccioacuten de la corriente I y tiene una magnitud igual a la longitud L del segmento


Si ahora consideramos un segmento de alambre de forma arbitraria y de seccioacuten transversal uniforme en un campo magneacutetico como el que se muestra podemos calcular la fuerza sobre eacutel

De la ecuacioacuten anterior se deduce que la fuerza magneacutetica sobre un pequentildeo segmento de vector de longitud ds en presencia de un campo B es

Para calcular la fuerza sobre el alambre se integra sobre todo el alambre de tal forma que

donde a y b representan los extremos del alambre

Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint


A continuacioacuten veamos dos casos interesantes que involucran el resultado anterior

1 Un alambre curvo conduce una corriente I y estaacute ubicado en un campo magneacutetico uniforme B

b

Ba

F I ds B⎛ ⎞

= times⎜ ⎟⎝ ⎠int

En ese caso la integral que resulta representa el vector suma de todos los elementos de longitud ds desde a hasta b por lo que la ecuacioacuten anterior se reduce a

BF IL B= times

Como el campo es uniforme puede sacarse de la integral es decir


2 Una espira cerrada de forma arbitraria que conduce una corriente I se coloca en un campo magneacutetico uniforme B

( )BF I ds B= timesintComo el conjunto de elementos ds forma un poliacutegono cerrado la suma

vectorial debe ser cero -que se obtiene al aplicar el meacutetodo del poliacutegono para la suma vectorial- Lo anterior permite concluir que

La fuerza magneacutetica neta sobre una espira cerrada en un campo magneacutetico uniforme es cero

En este caso se procede de manera similar soacutelo que al tomar la suma vectorial de los elementos ds sobre la espira nos lleva a

Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente

En la diapositiva previa concluimos que la fuerza magneacutetica sobre una espira cerrada inmersa en un campo magneacutetico uniforme es cero A continuacioacuten veamos coacutemo es la torca sobre una espira

Para ello consideremos una espira rectangular (como se muestra en la figura anexa) y veamos coacutemo es la fuerza sobre cada uno de los segmentos rectos

Sobre los segmentos 1 y 3 NO hay fuerza magneacutetica ya que tanto la corriente I como el campo magneacutetico B son paralelos

Mientras que para los segmentos 2 y 4 SI hay una fuerza magneacutetica por lo que procederemos a calcularla para cada uno de los dos segmentos mencionados


Considerando la figura (a) encontramos que para el segmento 2 usando la regla de la mano derecha la fuerza magneacutetica ldquosalerdquo del plano de la figura mientras que para el segmento 4 la fuerza ldquoentrardquo en el plano de la figura

En la figura (b) se muestra una vista inferior de la espira El ldquopuntordquo indica que la corriente ldquosalerdquoen el segmento 2 mientras que la ldquocruzrdquo indica que la corriente ldquoentrardquo en el segmento 4 de tal forma que las fuerzas 2 y 4 son perpendiculares al plano de la espira (en este caso la horizontal) y opuestas entre siacute

Momento de torsioacuten sobre una espira de corrienteComo puede observarse en la figura las

fuerzas F2 y F4 apuntan en direcciones opuestas pero NO estaacuten dirigidas a lo largo de la misma liacutenea de accioacuten Asiacute que si consideramos al punto O como un pivote vemos que las dos fuerzas producen un momento de torsioacuten que hace girar a la espira alrededor del punto O

La magnitud de este momento de torsioacuten τmax es

max 2 4 ( ) ( )2 2 2 2b b b bF F IaB IaB IabBτ = + = + =

donde el brazo de momento para ambas fuerzas alrededor de O es b2

Puesto que el aacuterea encerrada por la espira es A=ab el momento de torsioacuten τmax puede expresarse como

max IABτ =


Si ahora consideramos la misma espira pero con un aacutengulo θ entre el campo B y la perpendicular a su plano representada por el vector A podemos demostrar que la torca o momento de torsioacuten estaacute dado por

donde A=ab es el aacuterea I es la corriente que conduce la espira y B es la magnitud del campo magneacutetico

IABSenτ θ=

De la definicioacuten de producto vectorial la expresioacuten para la torca (como vector) puede ser reescrita como

IA Bτ = times


Para establecer el sentido del vector A se emplea la regla de la mano derecha los dedos ldquodobladosrdquo en la direccioacuten de la corriente I hacen que el pulgar apunte en la direccioacuten de A

Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Momento magneacutetico

Bτ μ= times

Es importante hacer notar que si en lugar de tener una espira tenemos una bobina (un arreglo de N espiras) el momento dipolar de la bobina es igual al producto Nμ de tal forma que

espira bobinaN B Bτ μ μ= times = times

Si a continuacioacuten definimos el momento dipolar magneacutetico (o simplemente ldquomomento magneacuteticordquo) μ de la espira como

IAμ equiv

donde μ tiene como unidades al ampere-metro2 podemos escribir la torca sobre una espira como

Momento de torsioacuten sobre una espira de corriente Motor eleacutectrico

El motor eleacutectrico es un dispositivo que para funcionar hace uso del momento de torsioacuten sobre una espira o una bobina



Al establecer una corriente sobre la espira (colocada en un campo magneacutetico B) aparece un par de fuerzas (mostradas como F) que dan lugar a un momento de torsioacuten sobre la espira responsable de que gire en la direccioacuten mostrada

Al completarse media vuelta y si la direccioacuten de la corriente se mantiene la torca cambia de direccioacuten haciendo que la espira invierta su direccioacuten de giro Para evitar esto a la espira se le colocan ldquoescobillasrdquoque tienen como funcioacuten invertir la direccioacuten de la corriente sobre la espira para cancelar la inversioacuten en el giro y mantener a la espira girando en una misma direccioacuten






































El magnetismo























B BAΦ =









Bd BCos dAθΦ =














z

x

y

30cm25cm

50cm









A

B

ED

C

B

z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B


0

A


( )( )( )( )200 1 030 025AB T m mΦ = minus


AdA


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

B

dA


0

B


0BBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

C

dA


0

C


0CBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


D

dA

B


0

C


0DBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm




resulta ser



( )0

E


dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


z

x

y

30cm25cm

50cm



Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times





15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum


B



r mω = =




ω= = =




( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times





E v B

= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv






























B BAΦ =









Bd BCos dAθΦ =














z

x

y

30cm25cm

50cm









A

B

ED

C

B

z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B


0

A


( )( )( )( )200 1 030 025AB T m mΦ = minus


AdA


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

B

dA


0

B


0BBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

C

dA


0

C


0CBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


D

dA

B


0

C


0DBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm




resulta ser



( )0

E


dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


z

x

y

30cm25cm

50cm



Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times





15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum


B



r mω = =




ω= = =




( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times





E v B

= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv
















Bd BCos dAθΦ =














z

x

y

30cm25cm

50cm









A

B

ED

C

B

z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B


0

A


( )( )( )( )200 1 030 025AB T m mΦ = minus


AdA


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

B

dA


0

B


0BBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

C

dA


0

C


0CBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


D

dA

B


0

C


0DBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm




resulta ser



( )0

E


dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


z

x

y

30cm25cm

50cm



Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times





15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum


B



r mω = =




ω= = =




( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times





E v B

= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv




















z

x

y

30cm25cm

50cm









A

B

ED

C

B

z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B


0

A


( )( )( )( )200 1 030 025AB T m mΦ = minus


AdA


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

B

dA


0

B


0BBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

C

dA


0

C


0CBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


D

dA

B


0

C


0DBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm




resulta ser



( )0

E


dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


z

x

y

30cm25cm

50cm



Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times





15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum


B



r mω = =




ω= = =




( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times





E v B

= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv









z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B


0

A


( )( )( )( )200 1 030 025AB T m mΦ = minus


AdA


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

B

dA


0

B


0BBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

C

dA


0

C


0CBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


D

dA

B


0

C


0DBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm




resulta ser



( )0

E


dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


z

x

y

30cm25cm

50cm



Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times





15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum


B



r mω = =




ω= = =




( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times





E v B

= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv









z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

B

dA


0

B


0BBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

C

dA


0

C


0CBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


D

dA

B


0

C


0DBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm




resulta ser



( )0

E


dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


z

x

y

30cm25cm

50cm



Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times





15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum


B



r mω = =




ω= = =




( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times





E v B

= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv









z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


B

C

dA


0

C


0CBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


D

dA

B


0

C


0DBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm




resulta ser



( )0

E


dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


z

x

y

30cm25cm

50cm



Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times





15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum


B



r mω = =




ω= = =




( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times





E v B

= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv









z

x

y

30cm25cm

50cm



resulta ser

de donde


D

dA

B


0

C


0DBΦ =


z

x

y

30cm25cm

50cm




resulta ser



( )0

E


dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


z

x

y

30cm25cm

50cm



Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times





15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum


B



r mω = =




ω= = =




( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times





E v B

= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv









z

x

y

30cm25cm

50cm




resulta ser



( )0

E


dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠


z

x

y

30cm25cm

50cm



Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times





15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum


B



r mω = =




ω= = =




( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times





E v B

= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv









z

x

y

30cm25cm

50cm



Asiacute que

de donde

( ) ( )2 225 50 55901699L cm cm cm= + =

15EB WbΦ =

E

dA

φ

φ

1 025tan 2656505150

cmcm

φ minus ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )( )( )

0 0200 90 265651

030 0559017EB T Cos

m m

Φ = minus

times





15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

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=

sum


B



r mω = =




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( )E B

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F F F qE qv B

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= + = + times

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= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











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BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

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b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




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Bτ μ= times




IAμ equiv












15EB WbΦ =

15AB WbΦ = minus


z

x

y

30cm25cm

50cm

B











BF qv B= times










B

v

FB vF B

v

FB



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B

F mavF qvB mr

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=

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=

sum


B



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( )E B

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= + = + times

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= + = + times =

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0

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0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











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Bd F Id s B= times

b

Ba

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b

Ba

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Bτ μ= times




IAμ equiv


















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B

v

FB vF B

v

FB



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B

F mavF qvB mr

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=

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=

sum


B



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( )E B

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F F F qE qv B

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= + = + times

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0

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0mq

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=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











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Bd F Id s B= times

b

Ba

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b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


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Bτ μ= times




IAμ equiv
















B

v

FB vF B

v

FB



2r

B

F mavF qvB mr

mvrqB

=

= =

=

sum


B



r mω = =




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( )E B

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F F F qE qv B

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= + = + times

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0

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0mq

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=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











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b

Ba

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b

Ba

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max IABτ =




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B

F mavF qvB mr

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=

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sum


B



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( )E B

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F F F qE qv B

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= + = + times

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0

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0mq

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=


0mq

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RejillasCaacutetodo











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b

Ba

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b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



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( )E B

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F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

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rArr = minus times













0

r mvqB

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0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





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Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



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max IABτ =




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Bτ μ= times




IAμ equiv












( )E B

EM

F F F qE qv B

F q E v B

= + = + times

= + times





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= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv













E v B

= + = + times =

rArr = minus times













0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv





















0

r mvqB

=



0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv











0mq

B rv

=


0mq

B BrE










RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv

















RejillasCaacutetodo











q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv
















q vd x B





BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv













BF IL B= times







Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv














Bd F Id s B= times

b

Ba

F I d s B= timesint




b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv












b

Ba

F I ds B⎛ ⎞



BF IL B= times






















max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv





























max IABτ =




IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv












IABSenτ θ=


IA Bτ = times




Bτ μ= times




IAμ equiv












Bτ μ= times




IAμ equiv









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