Magia olımpica

Pedro Alegrıa

pedro.alegria@ehu.es

Departamento de Matematicas

Euskal Herriko Unibertsitatea / Universidad del Paıs Vasco

“La magia matematica combina la belleza de una estructura matematica con el

entretenimiento que aporta un truco. No es sorprendente, en consecuencia, que

las delicias de la magia matematica sean mayores para quienes disfrutan tanto

del ilusionismo como de los entretenimientos matematicos.” Martin Gardner

Introduccion

En el mundillo afın a las Olimpiadas Matematicas es frecuente apelar, como una declara-

cion de intenciones, a la definicion de problema olımpico dada por Arthur Engel, quien

decıa que un problema es bueno cuando un profesor experto no tiene ventaja frente a un

estudiante. Los problemas de este tipo deben aunar dos caracterısticas: el enunciado no

puede incluir conceptos de difıcil comprension y la solucion no ha de requerir el uso de

tecnicas aprendidas durante la ensenanza formal de una carrera de Matematicas.

Para no herir sensibilidades, no vamos a mostrar aquı ningun ejemplo de problemas con

enunciados de difıcil comprension –seguro que todos tenemos alguno en mente–, pero sı nos

atrevemos a proponer otra definicion.

Definicion. Un problema de olimpiada es magico cuando verifica alguna de las siguientes

condiciones:

a) El enunciado presenta alguna caracterıstica relacionada con la magia;

b) La resolucion precisa aplicar alguna propiedad matematica de uso habitual en la magia.

Un ejemplo muy significativo lo podemos encontrar en la edicion numero 41 de la Olimpia-

da Internacional de Matematicas celebrada el ano 2000 en Taejon (Corea del Sur):

1

Un mago muestra 100 tarjetas numeradas (del 1 al 100) y las reparte en tres cajas. Un

espectador selecciona dos de las cajas, extrae una tarjeta de cada una y anuncia su suma.

Entonces el mago adivina las cajas de las que han sido extraıdas. ¿De cuantas maneras

puede el mago hacer el reparto de las tarjetas en las cajas para que siempre funcione el

truco?

La parte trivial de la solucion (dejamos al lector el resto) consiste en colocar la tarjeta

con el numero 1 en la primera caja, la tarjeta con el numero 100 en la segunda caja y el

resto de tarjetas en la tercera caja. Si la suma es menor que 101, las cajas escogidas son

la primera y la tercera; si es igual a 101, son la primera y la segunda; si es mayor que 101,

son la segunda y la tercera.

La incursion de la magia en las matematicas no es una moda actual pero, recientemen-

te, matematicos de prestigio han dedicado parte de su tiempo a desentranar principios

matematicos que se utilizan en magia. Muy interesantes y recomendables son los libros

de Persi Diaconis y Ron Graham [DG], Colm Mulcahy [Mul] y S. Brent Morris

[Mor].

Un mago puede aprovechar de muchas formas algunas propiedades que son desconocidas

para el publico general. Fuera del ambito matematico puede ser sorprendente el siguiente

juego:

El mago entrega una baraja a un espectador y le pide que retire diez cartas, las gire cara

arriba y las mezcle con el resto de la baraja. A continuacion, devuelve toda la baraja al

mago por debajo de la mesa. Bajo estas condiciones, el mago asegura que es capaz de

separar la baraja en dos paquetes, cada uno de los cuales contiene el mismo numero de

cartas cara arriba. ¿Es posible hacerlo? ¿De que manera?

El lector inteligente debe saltarse este parrafo si quiere buscar la solucion por sı mismo.

Para el resto, diremos que basta repartir diez cartas y girarlas. Si dicho paquete tenıa N

cartas cara arriba, al girarlo tiene 10 − N cartas cara arriba; el resto de la baraja tiene

necesariamente 10−N cartas cara arriba.

Con motivo de la celebracion de las bodas de plata de la Olimpiada Matematica Espanola,

vamos a realizar un pequeno recorrido por problemas magicos, algunos de ellos ya pro-

puestos en otros lugares y otros sin proponer, algunos de ellos con solucion conocida y

otros problemas abiertos (para distinguirlos facilmente, los enunciados iran precedidos por

un numero de gran tamano). Aunque el campo de accion sea muy amplio, nos limitaremos

a unos pocos aspectos relativos al tema.

2

1. Primeros problemas magicos

Uno de los problemas magicos que creemos mas interesante y celebre ha sido objeto de

animadas charlas entre los delegados de las fases nacionales de la Olimpiada Matematica

Espanola durante algun tiempo. Se conoce como el problema de los magos en el autobus,

fue presentado por John Conway en la IV Conferencia de la World Federation of National

Mathematics Competitions (Melbourne, agosto de 2002) y aparece como problema numero

20 en el numero 4 de la Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matematica

(http://www.oei.es/oim/revistaoim/propuestos4.htm) que incansablemente mantie-

ne Francisco Bellot. Su enunciado es el siguiente:

1 La otra noche me sente en el autobus detras de dos magos. Esta fue su conversacion:

- Mago A: Tengo un numero entero no negativo de hijos, cuyas edades son numeros enteros

no negativos, su producto es mi edad, y su suma el numero del autobus.

- Mago B: Aparte del numero del autobus, no me das muchas pistas. Quiza si me dijeras

tu edad y el numero de hijos que tienes, yo podrıa averiguar las edades de tus hijos.

- Mago A: No, no podrıas.

- Mago B: ¡Ah! ¡Entonces ya se tu edad!

¿Cual es el numero del autobus?

Si llamamos C1, . . . , Ck a las edades de los hijos, el problema consiste en resolver un sistema

de las dos ecuaciones siguientes:

C1 + · · ·+ Ck = S,

C1 × · · · × Ck = P,

donde S es el numero del autobus (unico dato conocido por ambos) y P es la edad del

mago A.

De la conversacion anterior se deduce que el sistema no puede resolverse aunque se co-

nozcan los valores de k y P . Esto quiere decir que existen dos parejas de conjuntos de

soluciones {C1, . . . , Ck}, {C ′1, . . . , C ′k} y {D1, . . . , Dn}, {D′1, . . . , D′n}, con k 6= n.

Ası pues, el valor S = 13 no es posible porque

13 = 2 + 2 + 9 = 1 + 6 + 6, con 2× 2× 9 = 1× 6× 6 = 36,

pero ademas

13 = 1 + 2 + 2 + 2 + 6 = 1 + 1 + 3 + 4 + 4, con 1× 2× 2× 2× 6 = 1× 1× 3× 4× 4 = 48.

Pero tampoco puede ser S = 14 ya que se puede anadir el valor 1 a cada una de las

descomposiciones anteriores, es decir

14 = 1 + 2 + 2 + 9 = 1 + 1 + 6 + 6, con 1× 2× 2× 9 = 1× 1× 6× 6 = 36,

3

y ademas

14 = 1+1+2+2+2+6 = 1+1+1+3+4+4, con 1×1×2×2×2×6 = 1×1×1×3×4×4 = 48.

Por la misma razon, tampoco puede ser S > 14.

El caso S = 12 es distinto porque las unicas descomposiciones de 12 mediante conjuntos

de la misma longitud es

12 = 1 + 3 + 4 + 4 = 2 + 2 + 2 + 6, con 1× 3× 4× 4 = 2× 2× 2× 6 = 48.

Ası pues, el numero del autobus es 12, el mago A tiene 48 anos y cuatro hijos, aunque no

es posible conocer sus edades.

El siguiente problema es mucho mas sencillo pero su apariencia puede enganarnos y con-

ducirnos a una respuesta equivocada. Una variante del mismo es discutida por Marcus

du Sautoy en su libro sobre simetrıas [duS].

2 En una fila se muestran las cinco cartas de la figura.

Sabiendo que los dorsos de las cartas solo pueden ser rojos o azules, cual es el mınimo

numero de cartas que deben girarse para asegurar que todas las cartas de dorso rojo son

ases?

Basta girar la primera, tercera y cuarta. No hace falta girar los ases porque no importa el

color de su dorso.

Terminamos esta primera seccion con otros dos problemas de facil resolucion.

3 ¿De cuantas formas se pueden colocar diez cartas en una fila de modo que, indepen-

dientemente de su valor, no haya cartas rojas adyacentes?

El problema equivale a determinar cuantas cadenas de diez dıgitos pueden formarse con

las cifras 0 y 1, de modo que no haya dos unos consecutivos.

Al razonar por recurrencia, se observa que hay dos posibles cadenas de un dıgito, {0, 1},tres de dos dıgitos, {00, 01, 10}, cinco de tres dıgitos, {000, 001, 010, 100, 101}, y ası suce-

sivamente.

4

Se obtiene la sucesion de Fibonacci ya que, para una cadena de n dıgitos, hay dos posibi-

lidades:

Si empieza por 0, basta anadir el dıgito 0 a todas las cadenas de n− 1 dıgitos.

Si empieza por 1, basta anadir el par 10 a todas las cadenas de n− 2 dıgitos.

En particular, con diez dıgitos, habra un total de 144 cadenas de numeros que cumplan

las condiciones del problema.

Una generalizacion de este problema esta relacionada con el llamado problema de Lang-

ford, cuya descripcion puede leerse en http://legacy.lclark.edu/~miller/langford.

html.

4 Se retiran de una baraja todas las cartas de picas y de corazones y se colocan las cartas

de corazones en una fila sobre la mesa, del as al rey. Teniendo en cuenta que el as vale 1,

la jota vale 11, la dama 12 y el rey 13, el problema consiste en colocar una carta de picas

debajo de cada carta de corazones de modo que la suma de cada pareja, corazones mas

picas, sea un numero cuadrado. ¿Cuantas soluciones tiene el problema?

La unica solucion consiste en las parejas mostradas en la imagen adjunta:

2. Problemas de apuestas

Todo matematico es capaz de asegurar que una proposicion es cierta cuando sabe que se

trata del resultado de un teorema cuyas hipotesis se cumplen. Por ejemplo, si se dibuja un

triangulo cualquiera y se senalan los puntos medios de los tres lados, los pies de las tres

alturas y los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con los tres vertices

del triangulo, el matematico podra apostar todo lo que se atreva a que los nueve puntos

pertenecen a una misma circunferencia. Si esta fantastica propiedad es desconocida para

el interlocutor del matematico, es muy probable que acepte la apuesta y, logicamente, la

pierda.

En esta seccion enunciaremos algunas de estas propiedades en forma de problema magico.

Para que sea efectivo, el proceso debe suficientemente complejo como para dar confianza

5

al espectador y aceptar la apuesta.

5 Un mago, que tambien es matematico, entrega a un espectador un paquete de n cartas,

pidiendole que elija una de ellas y la coloque sobre las demas. A continuacion, el espectador

elige un numero m < n y, con el paquete de cartas en la mano, dorsos hacia arriba, realiza

las siguientes operaciones:

Pasar m cartas de arriba abajo del paquete y girar cara arriba la carta que ha

quedado encima, dejandola nuevamente arriba.

Repetir el proceso anterior: pasar m cartas de arriba abajo del paquete y girar la

nueva carta superior, dejandola otra vez arriba. No importa si la carta esta cara

arriba o cara abajo: simplemente se gira la carta que corresponda.

Despues de que el espectador haya realizado la operacion n− 1 veces, habra girado n− 1

cartas. Casualmente, o quiza magicamente, todas las cartas giradas estaban cara abajo.

Solo queda una carta cara arriba.

Pero hay mas, ¡la unica carta cara arriba es la elegida!

¿Cuantas cartas ha entregado el mago al espectador para conseguirlo?

Para resolverlo, basta conocer esta propiedad: “Si n es primo, ninguno de los numeros

m, 2m, . . . , (n− 1)m es multiplo de n.”

Como el proceso seguido por el espectador no invierte la ordenacion cıclica del paquete de

cartas y los valores anteriores corresponden a las cartas que deben girarse, ninguna de ellas

estara cara arriba. Solo al realizar el proceso n veces llegarıamos a la carta superior.

Se atribuye a George Sands la aplicacion de esta propiedad en la magia, a partir de un

juego publicado en la revista The Pallbearers Review (1975). Desde entonces se le conoce

como principio del numero primo. Mas informacion sobre este principio y algunas varian-

tes pueden encontrarse en [Ale1].

El siguiente problema es similar en el planteamiento pero esta basado en un principio

diferente.

6 El mago pide a un espectador que separe doce cartas de la baraja y escoja un numero

del uno al doce (digamos N). A continuacion reparte sobre la mesa dos manos de cartas,

caras hacia abajo, alternativamente a izquierda y derecha, pero reparte cara arriba la

carta que ocupa el lugar N . Por ultimo, coloca el primer monton sobre el segundo para

recomponer el paquete.

Ahora viene la apuesta: el proceso anterior se realizara repetidas veces, es decir se reparten

6

sobre la mesa dos manos de cartas, cara abajo, alternativamente a izquierda y derecha,

girando unicamente la carta que ocupa la posicion N ; si la N -esima carta repartida estaba

cara arriba, el mago entrega al espectador 100 euros; sin embargo, si dicha carta estaba

cara abajo, el espectador entrega al mago 1 euro la primera vez, 2 euros la segunda, y

ası sucesivamente, duplicando la cantidad cada vez que eso suceda. ¿Debera el espectador

aceptar la apuesta?

Es cierto que, las primeras veces, el mago tiene mas posibilidades de ganar pero, a medida

que el juego avanza, hay mas cartas cara arriba en el paquete y aumentan las probabilidades

de que el espectador gane. Como ademas el espectador arriesga cantidades ostensiblemente

menores que el mago, parece que la apuesta es ventajosa para el espectador. Sin embargo,

el resultado final es que el mago nunca pierde y el espectador pierde un total de

1 + 2 + 22 + · · ·+ 210 = 2047 euros.

Una serie de preguntas surgen de este juego: ¿por que funciona para cualquier N?; ¿solo

vale si el paquete tiene 12 cartas?; ¿que caracterısticas tiene la permutacion dada por el

proceso anterior?

Algunas respuestas a estas preguntas se discuten en el blog http://magiaporprincipios.

blogspot.com.es/2011/08/apuesta-exponencial-perdedora.html. Por ejemplo, para

una baraja francesa (de 52 cartas) se sabe que el juego funciona cuando el numero de cartas

en el paquete es 3, 4, 6, 9, 12, 22, 27, 28, 36, 46 o 52. Precisamente, estos valores (excepto las

potencias de tres) son los primeros terminos de la sucesion con referencia A163776 en

la Online Encyclopedia of Integer Sequences (http://oeis.org), valores que describen

aspectos de sincronizacion de procesos paralelos en Computacion.

3. Problemas sobre transmision de informacion

En la Olimpiada Matematica de Moscu del ano 2000 se planteaba este problema:

7 Se reparten 7 cartas numeradas con los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 entre tres personas

A, B, C, de modo que A recibe tres cartas, B recibe tres cartas y C recibe 1 carta. Cada

persona conoce solo los valores de sus propias cartas. ¿Es posible establecer un sistema de

comunicacion verbal entre A y B para que, incluso en presencia de C, cada uno de ellos

conozca las cartas que posee el otro pero C no conozca los valores de las cartas de A y

B?

Hay una amplia coleccion de juegos de magia que estan basados en el uso de ciertos sistemas

de transmision de informacion por metodos matematicos, no verbales, que permiten a un

7

mago, con la colaboracion de un asistente, adivinar una o varias cartas (en [Ale2] se

muestran algunos de ellos). El tipo de presentacion de estos juegos hace que, en esencia,

participen tres personajes, el mago, su asistente y un espectador, y que se desarrollen

siguiendo la siguiente secuencia generica:

1. Con el mago de espaldas, el espectador selecciona de una baraja un conjunto de

cartas.

2. El asistente oculta una o varias de ellas dejando a la vista el resto.

3. El mago se vuelve de cara y, observando las cartas, adivina los valores de las cartas

ocultas.

Algunos ejemplos clasicos son los siguientes:

8 El espectador mezcla N = m2 + 1 cartas y las coloca en una fila sobre la mesa,

caras arriba. El asistente gira cara abajo m cartas. Cuando el mago observa la disposicion

resultante, adivina el valor y la posicion de las cartas ocultas. ¿Que cartas ha debido girar

el asistente para asegurar el acierto del mago?

La importancia de este juego queda patente al ser uno de los privilegiados en aparecer en

“EL LIBRO” ([AZ]), ese en el que, segun Paul Erdos, Dios recopilaba las demostraciones

mas hermosas de los teoremas matematicos (Erdos tambien anadıa que, si eres matematico,

no es necesario que seas creyente, pero sı que creas en “EL LIBRO”).

En este caso, la codificacion que utilizan el mago y su asistente esta basada en el siguiente

teorema.

Teorema 1 (Erdos, Szekeres). Sean a y b dos numeros naturales y n = a · b+ 1. Toda su-

cesion de n numeros reales distintos contiene una subsucesion creciente (resp. decreciente)

de a + 1 terminos o una subsucesion decreciente (resp. creciente) de b + 1 terminos.

Basta pues que el asistente encuentre la mayor sucesion creciente o decreciente de cartas

en la disposicion que ha dejado el espectador y gire cara abajo dichas cartas. El mago,

que conoce el sistema de codificacion, sabra cuales son las cartas giradas.

Otro ejemplo clasico, bautizado por Michael Kleber en [Kle] como “The best card

trick”, es conocido como el truco de cartas de Cheney o el juego de las cinco cartas, de

gran popularidad entre la comunidad olımpico-magico-matematica.

9 Estando el mago a una distancia considerable, su asistente entrega una baraja francesa

(de 52 cartas) a un espectador, que elige cinco cartas cualesquiera y las entrega al asistente.

El asistente devuelve una de las cartas al espectador para que la oculte y muestra las otras

cuatro al mago. Entonces, solo viendo estas cuatro cartas, el mago adivina la carta que

8

oculta el espectador. ¿Cual es el metodo de comunicacion empleado por el mago y su

asistente?

La solucion, ası como informacion bastante detallada sobre este juego, se puede encontrar

en el numero 102 (febrero de 2013) del rincon matemagico del portal DivulgaMat http:

//divulgamat.net. Solo diremos que la solucion conjuga de forma brillante ideas sencillas

sobre aritmetica modular, permutaciones y el principio del palomar.

Menos conocidas son las dos modificaciones siguientes al problema:

a) Determinar una estrategia para resolver el problema anterior si se anade un comodın

a la baraja.

b) ¿Es posible resolver el problema si la baraja contiene los dos comodines?

El juego de las cinco cartas puede generalizarse en la siguiente direccion:

10 De una baraja con n cartas, un espectador selecciona k de ellas y el asistente oculta

m de estas cartas, mostrando el resto al mago en un orden adecuado. Con esta informacion,

el mago es capaz de adivinar la carta oculta. ¿Para que valores de n, k y m es posible la

adivinacion?

El caso n = 52, k = 5 y m = 1 corresponde precisamente al juego de las cinco cartas.

Con respecto al caso general, si el espectador selecciona k cartas, con el resto existe un

maximo de n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + m + 1) posibles mensajes. Como hay un total de(n

k

)posibles elecciones de las k cartas, la transmision es imposible si

(n

k

)> n(n− 1(n− 2) . . . (n− k + m + 1),

es decir si k! < (n − k + m) · · · · · (n − k + 1). Por ejemplo, si hacemos k = 5 y m = 1,

como en el juego de las cinco cartas, resulta que la baraja podrıa tener hasta 124 cartas

para que exista algun metodo de codificacion mediante el cual el mago podrıa adivinar la

carta oculta.

Sin embargo, incluso cuando existe una posible solucion, solo se conocen estrategias con-

cretas para algunos casos sencillos.

Otra variante del problema se conoce como el poquer del diablo. Damos el enunciado y

dejamos a lector la busqueda de la solucion.

11 El espectador recibe las 13 cartas de un mismo palo, elige cinco cartas y entrega las

ocho restantes al asistente. Este elige otras cinco cartas y deja a la vista las tres restantes,

ordenadas de cierta manera. El mago, viendo solamente estas tres cartas, adivina las

9

cinco cartas que tiene el espectador (y, por supuesto, las cinco del ayudante). ¿Como

debe elegir y ordenar el asistente las tres cartas para que el mago adivine las cartas del

espectador?

4. Problemas sobre mezclas de cartas

Es bien sabido que mezclar una baraja consiste precisamente en realizar una permutacion

del conjunto de sus cartas y que mezclar sucesivas veces equivale a la composicion de

permutaciones, una de las operaciones no conmutativas por excelencia.

Mucho papel han tenido que emborronar matematicos de gran prestigio con el fin de dar

una respuesta rigurosa a los dos problemas siguientes:

1. ¿Que cantidad de informacion se conserva al realizar una mezcla de cartas?

2. ¿Cuantas mezclas son necesarias para perder sustancialmente la ordenacion inicial

de las cartas en una baraja?

No hay consenso para responder a la segunda pregunta: David Aldous y Persi Diaconis

[AD] utilizan modelos probabilısticos para afirmar que son suficientes siete mezclas ameri-

canas (por imbricacion o “riffle shuffle” como dirıan los angloparlantes) y, con argumentos

de Teorıa de la Informacion, Nick y Lloyd Trefethen [TT] aseguran que bastan cin-

co mezclas americanas para conseguir que las cartas queden en un orden completamente

aleatorio.

En el mundo de la magia matematica, alejado del azar, es conveniente eliminar la alea-

toriedad que presenta la mezcla americana. Por ello se introducen las mezclas perfectas.

Veamos con un problema sencillo la situacion que se presenta cuando las mezclas sucesivas

son identicas.

12 Disponemos de un aparato que es capaz de mezclar una baraja de forma exacta-

mente igual cada vez y hace que la posicion ocupada por las cartas despues de cada mezcla

sea la indicada en la tabla siguiente:

10

Antes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Despues 6 36 35 37 49 4 30 5 17 34 31 29 40

Antes 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Despues 45 48 18 8 25 38 2 1 50 14 12 11 21

Antes 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Despues 27 44 32 39 28 16 41 15 22 46 33 20 3

Antes 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Despues 13 23 24 51 7 43 9 26 10 52 19 47 42

Esto quiere decir que la primera carta pasa a la sexta posicion, la segunda pasa a la trigesi-

mo sexta, y ası sucesivamente. ¿Cuantas veces debe mezclarse una baraja (de 52 cartas)

hasta que todas las cartas vuelvan a la posicion que ocupaban antes de la mezcla?

Para encontrar la solucion, veamos el recorrido que tiene que hacer cada carta para volver

a su posicion inicial:

(1, 6, 4, 37, 33, 41, 23, 14, 45, 43, 51, 47, 26, 21) (2, 36, 46, 9, 17, 8, 5, 49, 52, 42, 24, 12,

29, 32, 16, 18, 25, 11, 31, 28, 44, 7, 30, 39, 3, 35, 22, 50, 19, 38, 20) (10, 34, 15, 48) (13,

40) (27)

Esto significa que, para volver a su posicion inicial, el 1 (y los demas de su mismo ciclo)

necesita 14 mezclas, el 2 necesita 31 mezclas, el 10 necesita 4 mezclas, el 13 necesita dos

mezclas y el 27 siempre queda en su misma posicion. Para que todas las cartas vuelvan a

su posicion original, el numero de mezclas necesarias sera el mınimo comun multiplo de

todos estos valores, m.c.m.(14, 31, 4, 2, 1) = 868 mezclas.

La mezcla perfecta mas popular es la llamada mezcla faro que se realiza en dos fases:

1. Se divide la baraja de cartas en dos paquetes exactamente iguales.

2. Se mezclan los dos paquetes, imbricando las cartas de cada monton de modo que se

vayan alternando, una por una y de forma exacta.

Para la segunda parte, tenemos dos alternativas (segun la terminologıa ideada por el

singular mago Alex Elmsley):

Si las cartas superior e inferior del paquete inicial mantienen sus posiciones despues

de la mezcla, esta recibe el nombre de faro exterior (out-faro).

Si la carta superior pasa al segundo lugar y la inferior al penultimo lugar despues

de la mezcla, esta recibe el nombre de faro interior (in-faro).

En el caso de que la baraja tenga un numero impar de cartas, al dividirla por la mitad

11

habra un paquete con una carta mas que el otro. Durante la mezcla, las cartas del paquete

menor deberan intercalarse entre las del paquete mayor. Esta mezcla recibe el nombre de

faro impar.

El nombre de la mezcla procede del juego de azar con el mismo nombre, el juego de Faro, al

que personajes de la talla de Leonhard Euler y Abraham de Moivre dedicaron tiempo

en calcular las probabilidades de ganar y cuya historia y caracterısticas se describen con

gran detalle en [Mor].

Hay una gran variedad de problemas (resueltos y sin resolver) relacionados con la mezcla

faro. Para despertar la curiosidad del lector, nos limitaremos a comentar algunos de los

mas significativos.

13 Dada una baraja de n cartas, si llamamos I,O a las aplicaciones que consisten en

realizar una faro interior y una faro exterior, respectivamente, encontrar formulas explıcitas

para definir las aplicaciones I,O, I−1, O−1.

Si llamamos S = {0, 1, . . . , n− 1} al conjunto de n cartas, las formulas pedidas son:

I(k) =

2k + 1 (mod n + 1) si n es par

2k + 1 (mod n) si n es impar.

O(k) =

2k (mod n− 1) si n es par

2k (mod n) si n es impar,k < n− 1, O(n− 1) = n− 1.

I−1(k) =

[(k + n)/2] si k es par

[k/2] si k es impar.O−1(k) =

k/2 si k es par

[(k + n)/2] si k es impar.

14 ¿Cual es el numero de mezclas faro que son necesarias para volver toda una baraja

de n cartas a su posicion inicial?

Si denotamos por o(M,n) al orden de la permutacion correspondiente a la mezcla M de una

baraja con n cartas, el problema equivale a determinar los valores o(O,n) y o(I, n).

Por las caracterısticas propias de las mezclas faro, es facil deducir que

o(O, 2n) = o(O, 2n− 1) = o(I, 2n− 1) = o(I, 2n− 2),

lo que sugiere que podamos limitar el estudio a la mezcla faro exterior con un numero

par de cartas. Se puede demostrar que o(O, 2n) es el orden de 2 (mod 2n− 1), es decir el

menor entero k que verifica 2k ≡ 1 (mod 2n− 1).

12

Proponemos, sin resolver, otro problema que contiene propiedades generales de estas mez-

clas. Una de ellas, ¿cual sera?, permite descubrir cual es la combinacion adecuada de

mezclas in-faro y out-faro que hace pasar la primera carta a cualquier posicion preestable-

cida de la baraja.

15 Dado el conjunto S = {0, 1, . . . , 2n − 2}, si llamamos I,O a las aplicaciones que

consisten en realizar una in-faro y una out-faro, respectivamente, probar:

a) Ok(p) = 2kp (mod 2n− 1), donde O corresponde a una out-faro.

b) Ik(p) = 2kp +k∑

i=1

2k−i (mod 2n− 1), donde I corresponde a una in-faro.

c) Sk . . . S1(p) = 2kp +k∑

i=1

2k−iw(Si) (mod 2n − 1), donde Si corresponde a una faro

arbitraria y w(Si) =

0 si Si = O,

1 si Si = I.

No vamos a extendernos en las propiedades mas magicas de esta mezcla, quiza para no

desvelar secretos reservados a los magos (el lector interesado puede descubrirlos en la obra

maestra [Min]), pero queremos terminar con una especialmente hermosa, tanto que su

descubridor, el citado Alex Elmsley, reservo para uso privado durante mas de treinta

anos. Se conoce como principio de Penelope y lo dejamos como ejercicio final de esta

recopilacion.

16 En una baraja de 2n cartas, se retiran k cartas de la parte inferior y se realiza una

mezcla faro (out-faro si k es par o in-faro si k es impar). Probar que la carta que ocupaba

la posicion n pasa a ocupar la posicion k.

De hecho, se puede plantear una situacion mas general, expresada como sigue:

Si se retiran x cartas de la parte superior e y cartas de la parte inferior de una baraja,

cualquier carta del paquete central se traslada mediante una mezcla faro a la posicion

k + y − x, donde k es una constante que depende de la posicion de la carta antes de la

mezcla y del tipo de mezcla faro realizada.

Observacion final. Repasando el artıculo, observamos que la bibliografıa contiene el libro

[Gar], el cual no ha sido citado hasta el momento. Por ser uno de los trabajos seminales

de magia matematica y por cumplirse este ano 2014 el centenario del nacimiento de su

autor, preferimos no excluirlo de la lista.

13

Referencias

[AZ] Martin Aigner y Gunter Ziegler. El libro de las demostraciones, Nivola (2005).

[AD] David Aldous y Persi Diaconis. Shuffling cards and stopping times, Amer.

Math. Montly 93 (1986), 333–348.

[Ale1] Pedro Alegrıa. Magia por principios, Publidisa (2008).

[Ale2] Pedro Alegrıa. Codigos secretos y teorıa de la informacion en la magia, Sigma

26 (2005), 117–130.

[DG] Persi Diaconis y Ron Graham. Magical Mathematics: the mathematical ideas

that animate great magic tricks, Princeton (2012).

[duS] Marcus du Sautoy. Simetrıa: un viaje por los patrones de la naturaleza, Acanti-

lado (2009).

[Gar] Martin Gardner. Mathematics, Magic and Mystery, 1967.

[Kle] Michael Kleber. The best card trick, Mathematical Intelligencer 24 (2002), 9–11.

[Min] Stephen Minch. The collected works of Alex Elmsley (vol. 1 & 2), L & L (1991).

[Mor] S. Brent Morris. Magic tricks, card shuffling and dynamic computer memories,

MAA (1998).

[Mul] Colm Mulcahy. Mathematical card magic: fifty-two new effects, CRC (2013).

[TT] Lloyd N. Trefethen y Lloyd M. Trefethen. How many shuffles to randomize a

deck of cards?, Proceedings of the Royal Society London 456 (2000), 2561–2568.

14