macroeconomía avanzada computacionalwebpersonal.uma.es/de/jtorres/pdf/mac3.pdf · macroeconomía...

Macroeconomía Avanzada Computacional

José L. Torres ChacónDepartamento de Teoría e Historia Económica

Universidad de Málaga

Septiembre 2010

Indice

I Sistemas dinámicos básicos 5

1 Una introducción a la macroeconomía dinámica com-putacional 71.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Resolución numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Efectos de una perturbación . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Cambio en el valor de los parámetros . . . . . . . . . . 211.6 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Computación de modelos dinámicos básicos 272.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto 28

2.2.1 Valor de las variables en estado estacionario . . 332.2.2 Efectos de un aumento en la cantidad de dinero 372.2.3 Efectos de cambios en los parámetros . . . . . 39

2.3 Resolución numérica del Ejercicio 2.4: El desbordamientodel tiempo de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.1 Efectos de un aumento en la cantidad de dinero 49

iv Indice

2.3.2 Efectos de cambios en los parámetros . . . . . 522.4 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

II Introducción al equilibrio general 56

3 La elección intertemporal del consumidor 573.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 El problema del consumidor en tiempo discreto y con

vida �nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3 Ejemplo: función de utilidad logarítmica . . . . . . . . 593.4 El problema del consumidor en Excel . . . . . . . . . . 60

3.4.1 Cambio en los parámetros . . . . . . . . . . . . 663.4.2 Cambio en las variables exógenas (cambio en

la renta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.3 Cambio en la función de utilidad . . . . . . . . 72

3.5 La decisión de consumo en MatLab . . . . . . . . . . . 76

4 Las empresas y la decisión de inversión 814.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Computación en Excel del modelo de la Q de Tobin . 82

4.2.1 Linearización del modelo . . . . . . . . . . . . . 824.2.2 Efectos de una disminución en el tipo de interés 85

4.3 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5 El gobierno y la política �scal 915.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Los impuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2.1 Cambio en el tipo impositivo . . . . . . . . . . 945.3 La seguridad social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.3.1 Cambio en las cotizaciones a la seguridad social 104

6 El modelo básico de equilibrio general 1076.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2 Computación del modelo simpli�cado en Excel . . . . 108

6.2.1 El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3 Computación del modelo en MatLab . . . . . . . . . . 117

6.3.1 El algoritmo de Newton-Raphson . . . . . . . . 1176.4 Computación del modelo de equilibrio general dinámico

básico en MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Indice 1

6.4.1 Cálculo del estado estacionario . . . . . . . . . 1296.4.2 Dinámica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . 131

III Crecimiento económico 136

7 Introducción al crecimiento económico 1377.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2 Modelo con ahorro exógeno en tiempo discreto . . . . 1387.3 Resolución en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.3.1 Efectos de un aumento en la tasa de ahorro . . 144

8 El modelo de Ramsey 1498.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.2 El modelo de Ramsey en tiempo discreto y con vida

�nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.3 Resolución numérica del modelo de Ramsey linearizado153

8.3.1 Linearización del modelo . . . . . . . . . . . . . 153

2 Indice

Prefacio

El presente manual forma parte de un conjunto de manualesque recogen diverso material correspondiente a la asignatura deMacroeconomía Avanzada II, que se imparte el Departamentode Teoría e Historia Económica en la Licenciatura de Economíade la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de laUniversidad de Málaga. El material que se imparte en dichaasignatura se ha dividido en tres manuales: Uno teórico, quehemos denominado AMA (Apuntes de Macroeconomía Avanzada),otro de ejercicios resueltos que hemos denominado EMA (Ejerciciosde Macroeconomía Avanzada) y un tercero de computación quees el presente y que hemos denominado MAC (MacroeconomíaAvanzada Computacional). Los tres manuales tienen una estructurasimilar, estando pensados para su utilización de forma conjunta, yaque contienen desarrollos que son complementarios, si bien estánpensados para poder ser también utilizados de forma independiente.Este manual comprende una serie de ejercicios de computación,

usando los diferentes desarrollos teóricos que componen la asignaturay que se dividen en tres partes: Sistemas Dinámicos Básicos,Introducción al Equilibrio General Dinámico e Introducción alcrecimiento. El objetivo es resolver los diferentes desarrollos teóricospero utilizando técnicas de computación. Computación quiere decirque vamos a utilizar un ordenador para resolver los distintos modelos

4 Indice

teóricos y que dicha resolución se va a llevar a cabo de formanumérica.Al usar un método de resolución numérico, esto signi�ca que

tenemos que considerar la variable tiempo como una variable entiempo discreto. Por tanto, los análisis que hemos llevado a caboen tiempo continuo en AMA y EMA, tenemos que rede�nirlos yresolver dichos desarollos en tiempo discreto.Los programas informáticos que vamos a utilizar son dos: Excel

y MatLab. Excel es una hoja de cálculo, similar a otras comopuede ser la hoja de cálculo Calc de Open O¢ ce. Las ventajas deuna hoja de cálculo es que son fáciles de manejar, al tiempo quetienen una capacidad muy elevada para realizar una gran variedadde operaciones de cálculo. Por su parte, MatLab es un lenguaje deprogramación, siendo más difícil de usar que una hoja de cálculo,pero con una �exibilidad y con un poder de cálculo muy superior.El manejo de un programa u otro dependerá de la complejidaddel problema que queramos resolver. No obstante, la mayoría deejercicios trataremos de realizarlos en la hoja de cálculo.

Parte I

Sistemas dinámicosbásicos

5

1Una introducción a la macroeconomíadinámica computacional

1.1 Introducción

En este tema vamos a llevar a cabo un ejercicio de computaciónsimple con el objetivo de ilustrar como podemos utilizar unordenador para realizar simulaciones numéricas de los modelosmacroeconómicos. En concreto, en este tema vamos a realizaruna serie de simulaciones numéricas correspondientes al ejemplode sistema dinámico desarrollado en el capítulo 1 de AMA. Dichoejemplo lo vamos a resolver de forma numérica usando una hoja decálculo. En particular, vamos a usar la hoja de cálculo Excel, aunquetambién podríamos usar la hoja de cálculo Calc de Open O¢ ce.A la hora de computar numéricamente los sistemas dinámicos

resueltos analíticamente, el único elemento diferenciador quetenemos que considerar es que los desarrollos teóricos los hemosrealizado en tiempo continuo, lo que supone trabajar con ecuacionesdiferenciales. La computación numérica requiere pasar del tiempocontinuo al tiempo discreto. Por tanto, en lugar de trabajar conecuaciones diferenciales trabajaríamos con ecuaciones en diferencias,siendo todo lo demás igual.Resolver numéricamente este tipo de sistemas tiene importantes

ventajas. En primer lugar, permite la obtención de las sendas

8 1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional

temporales de las variables, que no se pueden apreciar de formadirecta en los diagramas de fases. Así, basta con realizar un grá�codel valor de cada variable en función del tiempo para apreciar sucomportamiento a lo largo del mismo. En segundo lugar, permiterealizar ejercicios de sensibilidad, estudiando el comportamientodel sistema en función, tanto del valor de las variables exógenascomo del valor de los distintos parámetros. Así, una vez resueltoel modelo y computado númericamente, basta, por ejemplo, concambiar el valor de un determinado parámetro para ver cómo laeconomía se ve alterada, tanto en términos de su equilibrio comode su dinámica. Esto signi�ca que podemos simular las distintastrayectorias de las variables endógenas dados unos parámetros y unadeterminada perturbación en las variables exógenas. Estos elementosno son posibles de apreciar resolviendo el sistema de forma teórica yrepresentándolo a través del correspondiente diagrama de fases.La estructura de este tema es como sigue. En el segundo apartado

presentamos una breve descripción de las ecuaciones diferencialesasí como la notación del sistema dinámico que vamos a resolveren tiempo continuo. La sección tercera muestra la resoluciónnumérica de dicho sistema dinámico realizada en una hoja de Excel,describiéndose todos los elementos que deben introducirse en lahoja de cálculo para obtener la solución numérica del mismo. Lasección cuarta utiliza la hoja de cálculo construida anteriormentepara analizar los efectos de una determinada perturbación, es decir,un cambio en las variables exógenas. La sección quinta realiza unanálisis similar pero en términos de un cambio en el valor de losparámetros. A esto es a lo que se denomina análisis de sensibilidad.El tema �naliza con algunas conclusiones.

1.2 Ecuaciones en diferencias

La computación númerica de un determinado sistema de ecuacionesrequiere que dicho sistema esté de�nido en términos de unidades detiempo discretas. Sin embargo, tal y como hemos podido comprobaren los desarrollos teóricos realizados, el tiempo lo hemos de�nido enforma continua. El resultado es el mismo, pudiéndose resolver losmodelos teóricos tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto.Podemos decir que esta elección es una cuestión de gustos. A algunosles gusta más plantear y resolver los problemas suponiendo que el

1.2 Ecuaciones en diferencias 9

tiempo es una variable continua mientras que a otros les resultamás atractivo plantear y resolver los problemas suponiendo que eltiempo es una variable discreta. No obstante, hemos de decir quelas herramientas de resolución varían en cada caso siendo tambiéndiferente la forma de presentar los resultados.En tiempo continuo, el cambio en una variable lo hemos de�nido

como su derivada respecto al tiempo:

_xt =@xt@t

(1.1)

En tiempo discreto, el cambio de una variable viene dado por:

�xt = xt+1 � xt (1.2)

Esto signi�ca que el valor de una variable en el momento t vendríadado por:

xt+1 = xt +�xt (1.3)

El sistema de ecuaciones dinámica que aparece como ejemplo en elcapítulo 1 de AMA, en el cual tenemos dos variables endógenas (x1;t,x2;t) y dos variables exógenas (z1;t, z2;t), podemos representarlo entiempo discreto como:�

�x1;t�x2;t

�=

��

� �x1;tx2;t

�+

��1 00 �

� �z1;tz2;t

�(1.4)

Por tanto, las ecuaciones que de�nen el comportamiento a lo largodel tiempo de las dos variables endógenas son las siguientes:

�x1;t = ��x1;t � �x2;t � z1;t (1.5)

�x2;t = x1;t � �x2;t + �z2;t (1.6)

Esta forma de representar el sistema de ecuaciones entiempo discreto implica que cuanto se produce una determinadaperturbación en el momento t, no afecta a las variables endógenashasta el momento t+1. Una vez que tenemos nuestro sistema de�nidoen tiempo discreto, ya podemos proceder a su computación numérica.


Figura 1.1. Hoja de Cálculo en Excel correspondiente al Ejercicio 1.1

1.3 Resolución numérica

Vamos a proceder a resolver númericamente el sistema de ecuacionesen diferencias anterior usando el programa Excel. Para ellonecesitamos dar valores tanto a los parámetros del sistema como alas variables exógenas. En este caso no tenemos ninguna restricciónsobre los valores de los parámetros, excepto la que resulta de que losvalores propios de la matriz de coe�cientes asociada a las variablesendógenas sean números reales (en un momento volvemos sobre estepunto). El �chero que vamos a utilizar se denomina EC11.xls yaparece re�ejado en la �gura 1.1. Vamos a describir a continuacióncomo construimos dicha hoja de cálculo.Para la resolución numérica del modelo necesitamos dos bloques

de información numérica: el valor de los parámetros y el valor delas variables exógenas. Lo primero que tenemos que hacer es dar

1.3 Resolución numérica 11

valores a los parámetros del modelo (indicadas por letras griegas enminúsculas). La tabla 1.1 muestra los valores seleccionados para losparámetros. Obviamente, la propia dinámica del sistema dependeráde estos valores, por lo que en una sección posterior procederemosa analizar los efectos de cambios en los mismos, que es a lo quedenominamos análisis de sensibilidad. A la hora de elegir los valoresde los parámetros hemos de tener en cuenta tanto su signi�cadoeconómico (no lo tienen en este ejemplo), como las restriccionessobre los mismos que pueden derivarse de la estabilidad del sistema.En este ejemplo, hemos visto ya que el sistema presenta estabilidadglobal ya que las raíces (valores propios) de la matriz de coe�cientesasociadas a las variables endógenas son negativas, por lo que noexisten (a priori) restricciones sobre el valor de los parámetros.La tabla 1.1 muestra los valores seleccionados para los distintosparámetros.

Tabla 1.1: Valores de los parámetrosSímbolo De�nición Valor

� Elasticidad de x1;t repecto a x1;t 0,50� Elasticidad de x1;t repecto a x2;t 0,02 Elasticidad de x2;t repecto a x1;t 1,50� Elasticidad de x2;t repecto a x2;t 0,10� Elasticidad de x2;t repecto a z2;t 1,00

Una vez determinados estos valores podemos proceder a calcularel valor numérico de las variables endógenas en estado estacionario.No obstante, antes de continuar con la resolución númerica esconveniente comprobar que se cumple la restricción reseñadaanteriormente. En efecto, si calculamos los valores propios delanterior sistema obtenemos que:

�1; �2 =�(�+ �)�

p(�+ �)2 � 4(�� + �)2

(1.7)

por lo que para que se cumpla la anterior restricción (raíces reales),el resultado de la expresión dentro de la raiz cuadrada tiene que serpositivo, por lo que tiene que cumplirse que:

(�+ �)2 � 4(�� + �) > 0 (1.8)

Si sustituimos los valores de los parámetros que aparecen en latabla 1.1 obtenemos que:


(0; 50 + 0; 10)2 � 4(0; 50� 0; 10 + 1; 50� 0; 02) = 0; 04 > 0 (1.9)

En la �gura 1.1 hemos representando la hoja de cálculo que hemosconstruido en la cual aparecen diferentes bloques de informaciónnecesarios. Como podemos comprobar el valor del parámetro �,que lo hemos llamado "Alpha" aparece en la celda "B12". El valordel parámetro �, que hemos denominado "Beta" aparece en la celda"B13". El valor asignado a , que hemos denominado "Gamma",viene dado en la celda "B14". El valor del parámetro �, que hemosdenominado "Delta" aparece en la celda "B15". Finalmente, el valordel parámetro �, que hemos denominado "Ita" aparece en la celda"B16".Un elemento de gran utilidad consiste en rede�nir el nombre de

las celdas, con el objeto de que el valor que asignamos a cadaparámetro esté de�nido en términos de su propio nombre. Así,por ejemplo, si situamos el cursor en la celda "B12", observamosque dicha celda toma como nombre de referencia "Alpha". Paraintroducir un determinado nombre simplemente tenemos que situarel cursor en la ventana arriba a la izquierda donde sale el indicador decelda, e introducir en el mismo el nombre que deseemos. Con estoconseguimos varias cosas: las fómulas que tenemos que introducirvan a quedar más claras y más fáciles de interpretar, evitamos el usocontinuo del símbolo "$" para �jar el valor de una determinada celday, lo más importante, evitamos cometer errores.A continuación de�nimos el valor de las variables exógenas. En

este caso, de�nimos el valor inicial y el valor que toman en el caso enque se produzca una perturbación, con objeto de analizar los efectosde las mismas con posterioridad. Dichos valores aparecen en lascolumnas "B" y "C", en las �las 21 y 22. En el caso de que no seproduzca ninguna perturbación, los valores de la columna "B" seránlos mismos que los de la columna "C". Como podemos comprobarel valor dado a la variable exógena z1, es de -1, que aparece en lacelda "B21". Por su parte el valor dado a la variable exógena z2 estambién de -1 y aparece re�ejado en la celda "B22". Inicialmente,estos mismos valores también aparecen en las celdas "C21" y "C22".La condición de raíces reales aparece en la celda "B33", cuyo valor

tiene que ser positivo para que las raíces sean reales, tal y comohemos visto anteriormente. Por su parte, las celdas "B37" y "B38"


muestran los valores de las raíces del sistema, que en este caso tomanvalores negativos, (-0,2 y -0,4).A continuación, de�nimos el bloque que nos permite obtener

la solución numérica del modelo para las variables endógenas encada momento del tiempo. En la columna "F" hemos representadoel tiempo, comenzando por -1, que sería la situación de estadoestacionario inicial. El índice temporal 0 es el que vamos a utilizarcomo referente del momento en el que se produce una determinadaperturbación. Para construir esta columna simplemente tenemos queintroducir un número y sumarle 1 al valor de la celda correspondientea la �la anterior. Así, por ejemplo, si situamos el cursor en la celda"F5" observamos que aparece la siguiente fórmula, =F4+1, que indicael valor de la �la anterior más una unidad.A continuación, las columnas "G" y "H", presentan el valor de las

variables en cada momento del tiempo, mientras que las columnas"I" y "J" muestran su variación en el tiempo. Los primeros valores delas variables, los hemos obtenido calculando el valor de las variablesen estado estacionario, dados los valores de las variables exógenasy del valor de los parámetros. El valor de las variables en estadoestacionario viene dado por:

�x1;t =��

�� + �z1;t �

��

�� + �z2;t (1.10)

�x2;t =�

�� + �z1;t +

��

�� + �z2;t (1.11)

Estos valores aparecen calculados en las celdas "B26" y "B27",respectivamente. En efecto si situamos el cursor en la celda "B26",observamos que en la ventana superior aparece la siguiente expresión:

=(-Delta/(Alpha*Delta+Gamma*Beta))*z1_0-(Beta*Ita)/(Alpha*Delta+Gamma*Beta)*z2_0

que se corresponde con la expresión (1.10). Por su parte, sisituamos el cursor sobre la celda "B27", observamos que la fómulaque contiene dicha celda es:

=-(Gamma/(Alpha*Delta+Gamma*Beta))*z1_0+((Alpha*Ita)/(Alpha*Delta+Gamma*Beta))*z2_0


que se corresponde con la expresión (1.11). Las celdas "G3" y"H3", son precisamente dichos valores, que se corresponden con elequilibrio del sistema. Como podemos comprobar, dados los valoresque hemos utilizado para los parámetros y las variables exógenas, losvalores de las variables endógenas en estado estacionario son:

�x1;t =�0; 1

0; 5� 0; 1 + 1; 5� 0; 02 � (�1)

� 0; 02� 10; 5� 0; 1 + 1; 5� 0; 02 � (�1) = 1; 5 (1.12)

�x2;t =�1; 5

0; 5� 0; 1 + 1; 5� 0; 02 � (�1)

+1; 5� 1

0; 5� 0; 1 + 1; 5� 0; 02 � (�1) = 12; 5 (1.13)

Las siguientes celdas de las columnas "G" y "H" se obtenensimplemente sumando al valor de la variable en el periodo anteriorsu variación correspondiente, dado que:

xt+1 = xt +�xt

Así, la celda "G4", contiene la expresión =G3+I3. Esta fórmula seaplica a toda la columna "G". Así, por ejemplo, despues de copiarla expresión anterior, la celda "G5" tiene que contener la expresión=G4+I4. La misma estructura tiene la columna "H" correspondientea la segunda variable endógena. En este caso, la celda "H4" contienela expresión =H3+J3 y así sucesivamente en las siguientes �las.Por último, las �las "I" y "J" indican las variaciones de las

variables endógenas en cada momento del tiempo, que vienen dadaspor las ecuaciones en diferencias que de�nen el sistema dinámicoplanteado. La �la "I" calcula las variaciones de la variable endógena1. Si situamos el cursor sobre la celda "I3" observamos que contienela expresión:

=-Alpha*G3-Beta*H3-z1_0

donde G3 hace referencia al valor de la primera variable endógena,H3 hace referencia al valor de la segunda variable endógena y z1_0


es el valor de la variable exógena 1 en el momento inicial, lo quees equivalente a la ecuación en diferencias para la primera variableexógena:

�x1;t = ��x1;t � �x2;t � z1;t (1.14)

Por su parte, la celda "I4", contiene la siguiente expresión:

=-Alpha*G4-Beta*H4-z1_1

en la cual la variable exógena 1, z1_1, es la correspondiente almomento en el cual se produce la perturbación. Esta expresión es laque copiaríamos en las siguientes celdas de esta columna.De forma equivalente la columna "J" calcula las variaciones de la

variable endógena 2, teniendo la misma estructura. La ecuación endiferencia correspondiente a este variable es:

�x2;t = x1;t � �x2;t + �z2;t (1.15)

Si situamos el cursor en la celda "J3", observamos que la expresiónque aparece es:

=Gamma*G3-Delta*H3+Ita*z2_0

que es exactamente la ecuación anterior. Por su parte, si situamosel cursor en la celda "J4", la expresión que aparece es:

=Gamma*G4-Delta*H4+Ita*z2_1

en la cual la variable exógena 2 es la correspondiente a la nuevasituación una vez que se ha producido la perturbación. Estaexpresión es la que copiaríamos en las siguientes celdas de la columna"J".Finlamente, construimos en la hoja de cálculo grá�cos que

representen el valor de cada una de las variables endógenas en funcióndel tiempo, dado que tenemos valores numéricos para las mismasen dada momento del tiempo. Como podemos comprobar en las�guras 1.2 y 1.3, obtenemos un valor constante para las dos variables


Variable x1

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50

Tiempo

Figura 1.2. Senda temporal de la variable endógena 1. Situación inicial

endógenas, dado que el sistema está en estado estacionario. Estarepresentación grá�ca la podemos usar para comprobar que todoslos cálculos que hemos realizado en la hoja de Excel son correctos,ya que en cada momento del tiempo cada variable endógena tomael mismo valor indicando que el sistema dinámico se encuentra enreposo.

1.4 Efectos de una perturbación

Una vez resuelto numéricamente el sistema, a continuación vamosa analizar los efectos de una perturbación. En este contextocomputacional este análisis es muy fácil de realizar, ya queúnicamente tenemos que cambiar el valor de la variable exógenaseleccionada en la dirección que se quiera y automáticamente la hojade cálculo se actualizará con los nuevos valores para las variables, sunuevo estado estacionario y la representación grá�ca de la dinámica.De hecho esta es la principal ventaja de resolver númericamenteen una hoja de cálculo. Una vez la tenemos construida basta conrealizar el cambio deseado y automáticamente el programa recalculala nueva solución.

1.4 Efectos de una perturbación 17

Variable x2

0.002.004.006.008.00

10.0012.0014.00

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50

Tiempo

Figura 1.3. Senda temporal de la variable endógena 2. Situación inicial

En concreto, vamos a suponer que la variable exógena 1 disminuyey pasa a tomar un valor de -2. Para realizar este análisis únicamentetenemos que cambiar el valor de la celda "C21". Si en lugar deponer un valor de -1, ponemos un valor de -2, vemos que la hojacambia de forma automática, representando los efectos de dichaperturbación. Si lo que queremos es estudiar los efectos de un cambioen la variable exógena 2, entonces cambiaríamos el valor de la celda"C22". También podemos analizar los efectos de dos perturbacionessimultáneas, cambiando los valores tanto de la variable exógena 1como de la exógena 2, es decir, cambiando de forma simultánea losvalores de las celdas "C21" y "C22".La �gura 1.4 muestra como quedaría la hoja de cálculo una vez

consideramos esta perturbación sobre la variable exógena 1. Enprimer lugar, podemos observar que ahora el estado estacionario esdiferente. Antes de la perturbación el valor de estado estacionarioera 1,5 y 12,5 para las variables endógenas 1 y 2, respectivamente.Ahora podemos comprobar que el valor de las variables endógenasen el nuevo estado estacionario es de 2,75 y 31,25, respectivamente.También podemos observar como ahora las columnas "I" y "J" noson cero a partir del momento 0, re�ejando que el sistema está enmovimiento como consecuencia de la perturbación introducida. No


Figura 1.4. Hoja de cálculo en el caso de una disminución en z1

1.4 Efectos de una perturbación 19

Variable x1

0.000.501.001.502.002.503.003.50

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50

Tiempo

Figura 1.5. Efecto de una disminución en z1

es hasta el periodo 30 aproximadamente (depende de la exactitud quequeramos dar a nuestros cálculos), cuando las derivadas respecto altiempo de las variables endógenas vuelven a ser cero, indicando queel sistema ha alcanzado el nuevo estado estacionario.Las �guras 1.5 y 1.6 muestran la dinámica de las variables

endógenas ante dicha perturbación. Tal y como podemos observaren la �gura 1.5, la variable 1 comienza aumentar, incluso por encimadel nuevo valor de estado estacionario, para posteriormente disminuirhasta alcanzar su nuevo estado estacionario. Este comportamientore�eja que la trayectoria de esta variable es levemente asintótica,pasando de una situación de aumento a una situación de disminución,antes de alcanzar su nuevo nivel de equilibrio. Los que nos estádiciendo este grá�co es que la trayectoria de la variable 1 no es directadesde el estado estacionario inicial hacia el estado estacionario �nal,mostrando un comportamiento en forma de U invertida. Así,muestra que en los primeros periodos posteriores a la perturbación lavariable 1 sufre un rápido aumento hasta alcanzar un valor máximo,para disminuir lentamente a partir de este momento hasta ajustarsea su nuevo valor de equilibrio, alcanzándolo aproximadamente en elperiodo 20.


Variable x2

0.005.00

10.0015.0020.0025.0030.0035.00

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50

Tiempo

Figura 1.6. Efecto de una disminución en z1

Por su parte, la �gura 1.6 muestra el comportamiento de lavariable endógena 2. En este caso la variable 2 comienza aaumentar hasta alcanzar el nuevo estado estacionario teniendo elmismo comportamiento durante todo el tiempo. En este caso latrayectoria es directa, mostrando una dinámica más simple que en elcaso anterior, aunque observamos que la velocidad del ajuste no esconstante, siendo más rápida al principio. No obstante la velocidadde ajuste es muy similar a la registrada por la variable 1, alcanzandosu nuevo estado estacionario aproximadamente en el periodo 25-30.Las representaciones grá�cas realizadas anteriormente ilustran las

denominadas funciones impulso-respuesta. Uno de los aspectos másimportantes que nos interesan del funcionamiento de una economía,consiste en calcular cómo las diferentes variables macroeconómicasreaccionan ante una determinada perturbación. Esto nos permiteconocer cómo es el efecto de impacto, es decir, el efecto sobre cadavariable macroeconómica de la perturbación de forma inmediata,junto con su evolución en momentos del tiempo posteriores, queva a depender de cuales sean los efectos de dicha perturbaciónha producido sobre el resto de variables macroeconómicas. Elconocimiento de estas funciones de impulso-respuesta resulta vitalpara el diseño de las políticas económicas y para anticipar cuales

1.5 Cambio en el valor de los parámetros 21

van a ser los efectos a lo largo del tiempo de una determinadaperturbación que afecte a la economía.

1.5 Cambio en el valor de los parámetros

Otro ejercicio de gran interés que podemos realizar consiste enestudiar cuales son los efectos de los valores de los parámetros sobrela dinámica del sistema. A este ejercicio es a lo que se denominaanálisis de sensibilidad, ya que nos indica cómo reacciona el sistemaen función del valor de los parámetros del mismo. En el sistemanos encontramos con dos grupos de parámetros: los asociados a lasvariables exógenas y los asociados a las variables endógenas. Elvalor de los parámetros asociados a las variables exógenas van adeterminar el efecto de impacto de la perturbación, es decir, cómose ven afectadas las variables endógenas inicialmente ante un cambioen alguna de las variables exógenas. Por el contrario, la dinámicadel sistema, es decir, como cambian las variables endógenas a lolargo del tiempo una vez se ha producido el efecto de impacto,viene determinado por el valor de los parámetros asociados a estasvariables.Para llevar a cabo este análisis vamos a suponer que se produce

la perturbación anterior, pero ahora vamos a cambiar el valor delparámetro �. En lugar de suponer que su valor es 0,1, como hemoshecho anteriormente, vamos a suponer que su valor es de 0,02. Estecambio afecta tanto al valor de las variables en estado estacionariocomo a la dinámica que van a seguir las variables endógenas anteuna determinada perturbación.La �gura 1.7 muestra como quedaría en este caso la hoja de

cálculo. Tal y como podemos observar, el valor de las variablesen el estado estacionario cambia respecto a la situación anterior.En efecto, el valor de las variables en estado estacionario dependedel valor de los parámetros (y del valor de las variables exógenas),por lo que si alteramos el valor de los mismos obtenemos un valorde estado estacionario diferente para las variables endógenas. Así,ahora el estado estacionario inicial toma un valor de 1 para la variableendógena 1 y de 25 para la variable endógena 2. Suponiendo que seproduce la misma perturbación que hemos estudiado anteriormente(la variable exógena 1 pasa de un valor de -1 a un valor de -2) el


Figura 1.7. Hoja de cálculo con cambio en los parámetros

1.5 Cambio en el valor de los parámetros 23

Variable x1

0.000.501.001.502.002.503.00

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50

Tiempo

Figura 1.8. Efecto de una disminución en z1 con � = 0; 02

estado estacionario pasaría a ser 1,5 para la variable endógena 1 y62,5 para la variable endógena 2.Las �guras 1.8 y 1.9 muestran la dinámica de las variables

endógenas ante la misma perturbación que hemos analizado en lasección anterior. Como podemos observar, la dinámica del sistema esahora diferente. El aumento de la variable 1 en los periodos inicialesrespecto a su valor de equilibrio es ahora más importante, indicandoque esta variable se hace más sensible ante la perturbación. Estosigni�ca que el desequilibrio que se produce en términos de la variableendógena 1 es más importante conforme disminuya el parámetro �.Por otra parte, vemos que el ajuste de la variable 2 respecto a sunuevo estado estacionario es ahora más lento.En términos generales observamos que ahora la dinámica de ajuste

es más lenta respecto a la situación anterior. Las variables noalcanzan el nuevo estado estacionario hasta aproximadamente elperiodo 50. En cualquier caso este ejercicio nos sirve para ilustrarque los valores de los parámetros juegan un papel fundamental a lahora de determinar la dinámica del sistema.


Variable x2

0.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.00

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50

Tiempo

Figura 1.9. Efecto de una disminución en z1 con � = 0; 02

1.6 Conclusiones

En este tema hemos resuelto de forma numérica un sistema de dosecuaciones en diferencias sin signi�cado económico. Para ello hemosutilizado como herramienta una hoja de cálculo, esto es, un programainformático de uso simple y ampliamente conocido y utilizado por su�exibilidad y capacidad de realizar diferentes operaciones numéricas.Las hojas de cálculo constituyen una herramienta muy útil pararealizar estos simples ejercicios, ya que son fáciles de usar, al menosde forma básica. Para calcular númericamente el sistema propuestoúnicamente necesitamos dar valores tanto a los parámetros como alas variables exógenas. En realidad lo que hemos hecho es resolverel ejemplo que aparece en el tema 1 de AMA, pero de una formaalternativa: con números.No obstante todo lo anterior, hemos de tener en cuenta que para

obtener una computación del sistema de ecuaciones, primero tenemosque resolverlo de forma analítica, es decir, hay que resolverlo a mano,usando unos instrumentos menos so�sticados tecnológicamente,como son papel y lápiz, pero igualmente potentes. Esto va aser una regla sin excepciones en la macroeconomía computacional.Antes de computar númericamente un modelo necesitamos resolverlo

1.6 Conclusiones 25

antes analíticamente, si bien en la actualidad están desarrollándoseunos programas informáticos altamente so�sticados que permiten lacomputación de modelos macroeconómicos, incluso muy complejos,sin necesidad de resolverlos analíticamente. Es el propio programainformático el que los resuelve lo que sin duda permitirá construirmodelos altamente complejos y realizar simulaciones en un ordenadorsin tener que resolver de forma analítica.El ejercicio realizado nos sirve también para mostrar las ventajas

de la computación frente a la resolución análitica de un determinadoproblema. Vemos que la computación permite obtener una grancantidad de información, que puede resultar difícil de obtener enla resolución teórica. Así, es posible obtener de forma directa elvalor de las variables en cada momento del tiempo y, por tanto,obtener una representación grá�ca de su trayectoria temporal. Estoes especialmente útil para el análisis de distintas perturbaciones. Porotra parte, también permite realizar de una forma muy fácil análisisde sensibilidad respecto al valor de los distintos parámetros.

2Computación de modelos dinámicosbásicos

2.1 Introducción

En este tema vamos a calcular númericamente algunos de losmodelos dinámicos simples que hemos resuelto analíticamente enel capítulo 2 de AMA. El esquema que vamos a emplear es elmismo que el desarrollado en el tema anterior, pero ahora aplicadoa sistemas dinámicos que tienen contenido económico. Para resolvercomputacionalmente estos modelos vamos a seguir utilizando la hojade cálculo Excel. Nuestro objetivo es obtener la senda temporal delas diferentes variables de la economía, en contraposición al diagramade fases que obtenemos cuando resolvemos dichos modelos de formaanalítica. Así, hemos visto que su representación grá�ca a través deldiagrama de fases es muy ilustrativa de la dinámica del sistema, sibien también presenta algunos inconvenientes a la hora de interpretarla evolución dinámica de las variables.En primer lugar, vamos a realizar diferentes simulaciones

numéricas del modelo más simple, con objeto de ilustrar el hechode que estos modelos son muy fáciles de computar. A continuación,vamos a computar el modelo del desbordamiento del tipo de cambio,ya que al presentar una solución del tipo punto de silla, hemos deconsiderar algunos elementos particulares al mismo. Los ejercicios

28 2. Computación de modelos dinámicos básicos

los vamos a realizar utilizando Excel y los �cheros correspondienteslos hemos denominado EC21.xls y EC22.xls.La estructura del tema es la siguiente. En la sección segunda

vamos a resolver numéricamente el primer ejercicio que hemos yaresuelto analíticamente. Esto nos permitirá obtener solucionesnuméricas y realizar distintas simulaciones que añaden información ala solución previamente obtenida en términos del diagrama de fases.A continuación, la sección tercera lleva a cabo el mismo análisis perocon un modelo que presenta una solución de punto de silla, en laque hay que considerar elementos adicionales para su computación.El tema �naliza con algunas conclusiones relevantes que podemosextraer de los ejercicios realizados.

2.2 Resolución numérica del modelo más simplejamás visto

Vamos a suponer que la estructura de nuestra economía viene dadapor el siguiente sistema de ecuaciones:

mt � pt = yt � �it (2.1)

ydt = �0 � �1(it ��pet ) (2.2)

�pt = �(yt � yt) (2.3)

�yt = �(ydt � yt) (2.4)

donde m es el logaritmo de la cantidad de dinero, p el logaritmo delnivel de precios, yd, el logaritmo del nivel de demanda, y el logaritmodel nivel de producción, y el logaritmo del nivel de producciónpotencial, i el tipo de interés nominal. Todos los parámetros sede�nen en términos positivos. El símbolo � de�ne la variación de lavariable correspondiente, siendo:

�pt = pt � pt�1 (2.5)

�yt = yt � yt�1 (2.6)

2.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto 29

Como podemos comprobar, este modelo lo hemos de�nido entiempo discreto, dado que vamos a resolverlo numéricamente. Noobstante, podemos comprobar que su estructura es exactamenteequivalente a la de su versión en tiempo continuo.Una característica diferenciadora de la computación respecto a la

resolución analítica, es que en la computación no existe diferenciaentre las variables endógenas de referencia y el resto de variablesendógenas tal y como lo hemos hecho cuando lo resolvemos entérminos teóricos. Esto es así porque ahora podemos cacular el valorde todas las variables endógenas demás de que la resolución no estásujeta a únicamente dos variables endógenas para poder realizar surepresentación grá�ca a través del diagrama de fases.Resolviendo (véase la sección 2.2 de AMA), obtenemos el siguiente

sistema de ecuaciones:

�pt = �(yt � yt) (2.7)

�yt = �

��0 + (�1��

�1

�� 1)yt +

�1�(mt � pt)� �1yt

�(2.8)

En notación matricial tendríamos:

��pt�yt

�=

�0 �

��1� �(�1��

�1 � � 1)

� �ptyt

�(2.9)

+

�0 0 �� 1

� ��1�

�24 �0mt

yt

35 (2.10)

Para la realización de nuestro ejercicio vamos a suponer losvalores para los parámetros que aparecen re�ejados en la tabla 2.1.Estos valores se obtienen o bien de la realización de estimacioneseconométricas o bien de la calibración de los mismos en funciónde los datos. Por ejemplo, para estimar la semi-elasticidad deltipo de interés y la elasticidad de la demanda de dinero podemosestimar econométricamente la ecuación de demanda de dinero. Elvalor de los coe�cientes estimados de dicha ecuación para unadeterminada economía serían los valores correspondientes a � y .Otra forma de calcular los parámetros del modelo consiste en la


Figura 2.1. Hoja de cálculo del modelo

calibración de los mismos tal que la estructura teórica se adapte alos datos. Así, se trataría de utilizar las variables macroeconómicaspara determinar algunos ratios importantes que permitan inferir elvalor de los parámetros. En la actualidad el enfoque más utilizadoes la calibración de los parámetros o bien utilizar los dos métodos deforma simultánea.La �gura 2.1 muestra la hoja en Excel del modelo resuelto

numéricamente, donde aparecen los diferentes conjuntos deinformación que necesitamos: de�nición de las variables,determinación del valor de los parámetros, determinación del valorde las variables exógenas y cálculo del estado estacionario. Acontiuación aparecen los valores de cada una de las variablesendógenas en cada periodo así como un grá�co de las mismas paraobservar su senda temporal.


Los valores de los parámetros pueden ser muy diferentes de unaeconomía a otra, re�ejando las características de las mismas entérminos de la velocidad de ajuste de los parámetros.


� Semi-elasticidad del tipo de interés 0,5 Elasticidad de mt � pt respecto a la producción 0,05�1 Elasticidad de la ydt al tipo de interés 50� Velocidad de ajuste de los precios 0,01� Velocidad de ajuste del nivel de producción 0,2

A la hora de �jar el valor de los anteriores parámetros tenemos queasegurarnos que cumplen determinadas condiciones. Una primeracondición que les vamos a exigir es que las raíces de la matriz decoe�cientes asociados a las variables endógenas sean número realesen el caso en que tengamos una solución del tipo punto de silla, quepara computar el modelo vamos a necesitar el valor de las raíces. Ensegundo lugar, tenemos que ver si el análisis de estabilidad imponealguna condición adicional sobre los mismos. En primer lugar, alcalcular las raíces de la matriz de coe�cientes asociados a las variablesendógenas obtenemos la siguiente expresión:

�(�1��1 � � 1)�

rh�(�1��

�1 � � 1)

i2� 4��1�

�

2La primer condición implica que tiene que cumplirse que:�

�(�1��1

�� 1)

�2� 4��1�

�> 0

En este caso concreto la condición anterior no es necesaria ya queobtenemos que ambas raíces son negativas y, por tanto, la soluciónes de estabilidad global. En cualquier caso, sustituyendo los valoresde la tabla 2.1 resulta que:

�0; 2� (50� 0; 01� 50� 0; 05

0; 5� 1)

�2�4� 0; 2� 50� 0; 01

0; 5= 0; 41 > 0

Por otra parte hemos de tener en cuenta que si el término�1��

�1 � �1 es positivo, entonces las dos raíces son también positivas


(�1 > 0; �2 > 0): En este caso todas las trayectorias son explosivaspor lo que este términos no puede ser negativo. Si por el contrario�1� �

�1 � � 1 es negativo entonces las dos raíces son negativas

(�1 < 0; �2 < 0), siendo todas las trayectorias convergentes hacia elestado estacionario. Por tanto este término tiene que ser negativo.Sustituyendo los valores dados en la tabla 2.1 tenemos que:

�1��1

�� 1 = 50� 0; 01� 50� 0; 05

0; 5� 1 = �5; 5

por lo que los parámetros seleccionados cumplen esta condición.A continuación, debemos determinar el valor inicial de las variables

del modelo (endógenas y exógenas). En primer lugar, determinamosel valor de las variables exógenas en el momento inicial, que aparecenre�ejadas en la tabla 2.2. Estos valores son totalmente arbitrarios,pero hemos de tener de alguna manera en cuenta el signi�cadoeconómico de cada variable.

Tabla 2.2: Valores de las variables exógenasSímbolo De�nición Valor

m0 Cantidad de dinero 100�0 Componente autónomo de la ydt 2.100y0 Nivel de producción potencial 2.000

Estos valores aparecen en las celdas "B23", "B24" y "B25", quehemos denominado "money0", "Beta0" y "Ybar0", respectivamente.Una vez determinados los valores de los parámetros y de las variablesexógenas, a continuación procedemos a determinar el valor de lasvariables endógenas en el momento inicial, que lo consideramos deequilibrio, por lo que el valor de las variables endógenas coincidirácon su valor de estado estacionario. Por tanto, para calcular dichovalor, recurrimos a la de�nición de estado estacionario que hemosobtenido de la resolución del modelo.Dados los valores de los parámetros y de las varaibles exógenas, en

términos numéricos tendríamos que las dos ecuaciones diferencialespara los precios y el nivel de producción serían:

�pt = 0; 01� (yt � 2:000)


�yt = 0; 2� [2:100� 5; 5� yt + 50� (100� pt)� 50� 2:000]

En términos matriciales el sistema resultante sería:

��pt�yt

�=

�0 0; 01�20 �1

� �ptyt

�+

�0 0 �0; 010; 2 20 �0; 1

�24 �0mt

yt

352.2.1 Valor de las variables en estado estacionario

Para calcular el valor inicial (estado estacionario) de las variablesendógenas, en primer lugar, procedemos a calcular el valor de estadoestacionario de las dos variables endógenas de referencia, que en estecaso son el nivel de precios y el nivel de producción.Recordemos que esto se calcula como:�

ptyt

�= �A�1Bzt

Resoliendo obtenemos las siguientes expresiones:

pt =��0�1

+mt � ( +�

�1)yt

yt = yt

Por tanto, en nuestro caso resulta:

�ptyt

�= �

�0 0; 05�20 �0; 2

��1 �0 0 �0; 050; 2 20 �0; 1

�24 2:1001002:000

35Calculando la anterior expresión obtenemos que:�

ptyt

�=

�1

2:000

�es decir, el nivel de precios de equilibrio inicial es p0 = 1 y el nivelde producción de equilibrio inicial es y0 = 2:000: Una vez obtenidosestos valores, podemos utilizar las distintas ecuaciones para calcular


el resto. Así, por ejemplo, podemos utilizar la ecuación (2.1) paracalcular el valor incial del tipo de interés nominal. Despejando eltipo de interés nominal obtenemos que:

i0 = �1

�(m0 � p0 � y0)

Sustituyendo los valores correspondientes resulta:

i0 = �1

0; 5(100� 1� 0; 05� 2:000) = 2

por lo que el valor inicial de equilibrio del tipo de interés nominal es2 (nótese que este valor es el mismo que el correspondiente al nivel deprecios y no es una casualidad). A continuación, ya podemos calcularel valor de equilibrio inicial para la demanda agregada, sustituyendolos valores conocidos en la ecuación (2.2), de lo que resulta que:

yd0 = �0 � �1(i0 ��pe0)

yd0 = 2:100� 50� 2 = 2:000

dado que si suponemos la existencia de equilibrio el nivel de preciossería constante (�pe0 = 0), es decir yd0 = 2:000, exactamente lamisma cantidad que el nivel de producción inicial. Para comprobar�nalmente que dichos valores son los correspondientes al estadoestacionario podemos calcular las variaciones del nivel de preciosy del nivel de producción que deberían ser cero. En efecto, sisustituimos los valores conocidos en la ecuación (2.3) obtendríamos:

�p0 = 0; 01� (2:000� 2:000) = 0

Y �nalmente, si hacemos lo mismo en la ecuación (2.4) el resultadosería:

�y0 = 0; 2� (2:000� 2:000) = 0

La �gura 2.1 muestra la hoja de cálculo correspondiente a esteejercicio, siendo su estructura similar a la vista en el tema anterior.Tal y como podemos observar, las columnas "F", "G", "H" e "I"muestran el valor de cada una de las variables endógenas (precios,producción, demanda y tipo de interés nominal) en cada momentodel tiempo.


Si situamos el cursor en la celda "F3" aparece la expresión:

=(Theta*Beta0)/Beta1+money0-(Psi+Theta/Beta1)*Ybar0

que es simplemente la expresión correspondiente al valor de estadoestacionario inicial del nivel de precios. Las restantes �las de estacolumna simplemente contienen el valor del nivel de precios en elmomento anterior más el cambio producido en dicho nivel de precios.Así, la celda "F4", contiene la expresión =F3+J3, donde "F3" hacereferencia al nivel de precios del periodo anterior y "J3" al cambioen el nivel de precios. Esta expresión se copia en las restantes �lasde dicha columna.Por su parte, si situamos el cursor en la celda "G3" ésta contiene

la expresión:

=Ybar0

esto es, el valor de estado estacionario inicial del nivel deproducción que se corrsponde con el nivel de producción potencial.En la celda "G4", aparece la expresión =G3+K3 en la que de�nimos elnivel de producción de cada periodo como el anterior más el cambioexperimentado en el mismo. La columna "H" contiene los valores dela demanda agregada. Si nos situamos en la celda "H3", observamosque aparece la expresión

=Beta0-Beta1*(I3-J3)

que se corresponde con la ecuación de demanda agregada delmodelo, en el cual la demanda agregada depende negativamente deltipo de interés real, que hemos de�nido como la diferencia entre eltipo de interés nominal y la in�ación. Esta misma expresión apareceen las siguientes celdas de esta columna. La columna "I" contienelos valores del tipo de interés nominal. Así, la celda "I3" contiene lasiguiente expresión:

=-1/Theta*(money0-F3-Psi*G3)


que es la ecuación resultante de despejar el tipo de interés de laecuación de demanda de dinero. Si nos siguamos en la celda "I4", laexpresión que aparece es:

=-1/Theta*(money1-F4-Psi*G4)

que hace referencia a la nueva cantidad de dinero a partir delmomento 0. Esta expresión es la misma que aparece en las siguientes�las de esta columna.Finalmente, las columnas "J" y "K" muestran las variaciones de

los precios y del nivel de producción, es decir, de�nen el valor dela in�ación y el crecimiento de la producción en cada periodo. Eneste caso debemos introducir las correspondientes ecuaciones quedeterminan el comportamiento de ambas variables. Si nos situamosen la celda "J3" vemos que contiene la expresión:

=Mi*(G3-Ybar0)

mientras que la celda "J4" contiene la expresión:

=Mi*(G4-Ybar1)

siendo esta misma expresión la que aparece en las siguientesceldas, dado que es posible que queramos analizar los efectos de unaalternación en el nivel de producción potencial de la economía. Porsu parte, si nos situamos en la celda "K3", observamos que contienela expresión:

=Ni*(H3-G3)

que se corresponde con la ecuación dinámica del nivel deproducción. Como podemos comprobar en la hoja de cálculopodemos introducir la expresión inicial dada por el modelo, ya quetambién vamos a calcular en cada momento del tiempo el valorcorrespondiente de la demanda agregada. Si todos los cálculos soncorrectos, las columnas "J" e "K", donde aparece el cambio de cadavariable, deben ser ceros.


Figura 2.2. Efectos de un aumento en la cantidad de dinero

2.2.2 Efectos de un aumento en la cantidad de dinero

Vamos ahora a analizar cuáles serían los efectos de una perturbacióny a realizar dicho ejercicio usando la hoja de cálculo. Esto nospermitirá calcular el valor de las variables endógenas en cadamomento del tiempo y, por tanto, obtener la dinámica temporal decada una de ellas. Al realizar este ejercicio en una hoja de cálculoel resultado que vamos a obtener es la respuesta temporal de cadavariable ante una perturbación. Esto es lo que se denomina el análisisimpulso-respuesta.En concreto, vamos a suponer que en el momento de tiempo 0 se

produce un aumento en la cantidad de dinero, pasando de un valorde 100 a un valor de 101. Para realizar este ejercicio únicamentehemos de cambiar el valor de la celda "C23" y automáticamenteobtendremos los resultados.


La �gura 2.2. muestra como queda la hoja de cálculo en estecaso, donde toda la dinámica de las variables se calcula de formaautomática. Esto es así porque hemos referenciado las expresiones apartir del momento 0 respecto a los nuevos valores de las exógenas,con el objetivo de realizar análisis de perturbación. Así, en estecaso concreto podemos analizar los efectos de cambios (aumentos odisminuciones) en la cantidad de dinero, cambios en el gasto públicoy cambios en el nivel de producción potencial. También es posiblesimular perturbaciones que sean combinaciones de cambios en dos omás variables exógenas de forma simultánea.Como podemos observar, en el periodo 0 se produce una

disminución instantánea del tipo de interés nominal. Así, el tipode interés nominal pasa de 2 a ser 0. Como consecuencia e estadisminución en el tipo de interés la demanda agregada aumenta.Así pasa de un valor de 2.000 a un valor de 2.100. Este aumentode la demanda agregada va a provocar que el nivel de producciónaumente en el siguiente periodo lo que a su vez provoca un aumentoen el tipo de interés nominal. Por otra parte, el aumento del nivel deproducción en el periodo 1 va a dar lugar a que los precios aumentenen el periodo 2. La forma más fácil de observar estos efectos esconstruyendo un grá�co que represente la senda temporal de cadavariable.La dinámica de las variables se puede observar muy fácilmente

a través de un grá�co de cada variable en función del tiempo.Las �guras 2.3-2.6 muestran la senda temporal de las cuatrovariables endógenas. Como podemos observar el nivel de preciosva aumentando paulatinamente en el tiempo hasta alcanzar el nuevoestado estacionario. En este caso no se producen �uctuaciones enel nivel de precios y sigue la misma tendencia, es decir, aumentaindicando que siempre estamos en una situación de sobreproducción.Por el contrario el nivel de producción experimenta un aumentoinicial para posteriormente ir disminuyendo hasta alcanzar el nuevoestado estacionario. En este caso, el nivel de producción aumentainicialmente indicando la existencia de un exceso de demanda, peroposteriormente disminuye indicando lo contrario, esto es, un excesode oferta. Por otra parte vemos que el ajuste inicial en el nivel deproducción es signi�cativo, lo que signi�ca que hemos supuesto unvalor de su velocidad de ajuste que puede ser excesivamente elevado.


Nivel de precios

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51

Tiempo

Figura 2.3. Senda temporal del nivel de precios ante un aumento en lacantidad de dinero

Por su parte, el comportamiento de la demanda agregada y deltipo de interés muestran que ambas variables tienen un elevado nivelde �exibilidad. El tipo de interés nominal es una variable �exible,que disminuye de forma instantánea ante el aumento en la cantidadde dinero. Esta disminución en el tipo de interés nominal tambiénsupone una disminución instantánea en el tipo de interés real lo queprovoca a su vez un aumento en la demanda agregada. No obstante,el aumento siguiente en el nivel de producción hace que el tipo deinterés nominal vuelva a aumentar, provocando el movimiento ensentido contrario en la demanda agregada.

2.2.3 Efectos de cambios en los parámetros

A continuación vamos a realizar un análisis de sensibilidad alterandoalguno de los parámetros del modelo para estudiar como la dinámicaque siguen las diferentes variables se ve alterada. En concreto vamosa disminuir la velocidad de ajuste del nivel de producción. Así, elparámetro � pasa de un valor de 0,2 a un valor de 0,02 (diez vecesmás pequeño). Las �guras 2.7-2.10 muestran la dinámica temporalde cada variable en este caso.


Nivel de producción

1990.001995.002000.002005.002010.002015.002020.002025.00

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51

Tiempo

Figura 2.4. Senda temporal del nivel de producción ante un aumento en lacantidad de dinero

Nivel de demanda

1900.00

1950.00

2000.00

2050.00

2100.00

2150.00

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51

Tiempo

Figura 2.5. Senda temporal de la demanda agregada ante un aumento enla cantidad de dinero


Tipo de interés nominal

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51

Tiempo

Figura 2.6. Senda temporal del tipo de interés ante un aumento en lacantidad de dinero

Ahora la dinámica es más compleja que anteriormente, generandomovimientos oscilatorios (�uctuaciones cíclicas) en las variables,indicando que la trayectoria hacia el nuevo estado estacionario esasintótica, esto es, en términos del diagrama de fases estaríamosdando vueltas en torno al estado estacionario. Por tanto, ahoraestaríamos pasando de un tipo de desequilibrio a otro. Nóteseque si los precios aumentan esto signi�ca que estamos en unasituación de sobreproducción, mientras que si disminuyen estamosen una situación de infraproducción. Esto es debido a que ahorael parámetro que determina la velocidad de ajuste en el nivel deproducción es más pequeño. Es decir, estamos suponiendo que elnivel de producción es mucho más rígido y, en efecto, si observamosla �gura 2.8 podemos apreciar que ahora el nivel de producción nocambia de forma instantánea, sino que lo hace de forma mucho másgradual.Tanto el nivel de demanda agregada como el tipo de interés

nominal siguen re�ejando un cambio de forma instantánea a laperturbación, debido a que estas variables tienen un alto grado de�exibilidad.


Nivel de precios

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51

Tiempo

Figura 2.7. Senda temporal del nivel de precios con � = 0; 02

Nivel de producción

1990.00

1995.00

2000.00

2005.00

2010.00

2015.00

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51

Tiempo

Figura 2.8. Senda temporal del nivel de producción con � = 0; 02


Nivel de demanda

1850.00

1900.00

1950.00

2000.00

2050.00

2100.00

2150.00

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51

Tiempo

Figura 2.9. Senda temporal de la demanda agregada con � = 0; 02


0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51

Tiempo

Figura 2.10. Senda temporal del tipo de interés con � = 0; 02


2.3 Resolución numérica del Ejercicio 2.4: Eldesbordamiento del tiempo de cambio

El modelo que hemos computado anteriormente presentaba unacaracterística importante: todas las trayectorias eran convergentes alestado estacionario. Es decir, el modelo presenta estabilidad global.Sin embargo, en la mayoría de situaciones nos vamos a encontrarcon soluciones del tipo punto de silla, es decir, con trayectoriastanto convergentes al estado estacionario como divergentes respectoal mismo. En este caso, la resolución del modelo es ligeramentediferente, dado que tenemos que tener en cuenta la existenciade una senda estable y de los efectos a corto plazo asociados auna determinada perturbación. A continuación vamos a resolvernuméricamente un modelo con estas característicasLa estructura de la economía viene dada por las siguientes cuatro

ecuaciones:

mt � pt = yt � �it (2.11)

ydt = �0 + �1(st � pt + p�t )� �2it (2.12)

�pt = �(ydt � yt) (2.13)

�set = it � i�t (2.14)

donde s el logaritmo del tipo de cambio, p�, el logaritmo del nivel deprecios del exterior e i� el tipo de interés nominal del exterior.Resolviendo analíticamente este modelo, obtenemos que las

ecuaciones que determinan el comportamiento de los precios y deltipo de cambio nominal vienen dadas por las siguientes expresiones:

_pt = ��0 + ��1st + ��1p�t � �(�1 +

�2�)pt +

��2�mt � �(

�2�+ 1)yt

(2.15)

_st = �1

�(mt � pt � yt)� i�t (2.16)

El valor de las variables en estado estacionario vendría dado por:

2.3 Resolución numérica del Ejercicio 2.4: El desbordamiento del tiempo de cambio 45

pt = mt � yt + �i�t (2.17)

st = mt ��0�1��1� �1�1

�yt +

��1 + �2�1

i�t (2.18)

Con objeto de computar númericamente el modelo anterior, enprimer lugar, asignamos valores numéricos tanto a las constantescomo a las variables exógenas. La tabla 2.3 muestra los valoresseleccionados para los parámetros del modelo. En este casono tenemos ninguna restricción de signos a imponer sobre losparámetros. Sin embargo, hemos de asegurarnos en este caso que lasraíces sean reales, ya que hemos de calcularlas para poder resolvernuméricamente el modelo.


� Semi-elasticidad del tipo de interés 0,5 Elasticidad de la demanda de dinero 0,05�1 Elasticidad de ydt ante el tipo de cambio real 20�2 Elasticidad de ydt ante el tipo de interés 0,1� Velocidad de ajuste de los precios 0,005

Por su parte, la tabla 2.4 presenta los valores de las variablesexógenas en el momento inicial, donde ahora podemos observar quetenemos 5 variables endógenas, teniendo que asignar valores a lasvaribles del exterior.

Tabla 2.4: Valores de las variables exógenasSímbolo De�nición Valor

m0 Cantidad de dinero 100�0 Componente autónomo de la demanda agregada 500y0 Nivel de producción potencial 2.000p�0 Nivel de precios del exterior 0i�0 Tipo de interés nominal del exterior 3

Las raíces serían las siguientes:


�(�1�+�2�� )�

rh(�1�+

�2�� )i2+ 4�1�

�

2(2.19)

Como podemos observar en este caso, independientemente de losvalores seleccionados de los parámetros el término que queda dentrode la raíz cuadrada es siempre positivo. Sustituyendo los valores dela tabla 2.3 obtenemos que:

�(�1�+�2�� )�

rh(�1�+

�2�� )i2+ 4�1�

�

2La diferencia respecto al modelo anterior es que ahora tenemos

una solución de punto de silla. Ya sabemos que esto signi�caque determinadas trayectorias son convergentes hacia el equilibriomientras que otras trayectorias son divergentes. Esto supone laexistencia de una senda estable que determina la trayectoria de lasvariables endógenas hacia el estado estacionario.La �gura 2.11 muestra como quedaría la hoja de cálculo del

modelo. La construcción de la misma es similar a la realizadaen el caso del ejercicio anterior, excepto por varios elementosdiferenciadores. En este caso tenemos una solución de punto desilla, dado que una de las raíces es negativa mientras que la otraes positiva. En este caso cuando se produce una perturbacióndebemos tener en cuenta la reacción a la misma del tipo decambio nominal que es una variable totalmente �exible y que estádeterminada fundamentalmente por las expectativas de su evoluciónfutura. Así, cuando hemos resuelto el modelo analíticamente hemosvisto que justo en el momento en que se produce, por ejemplo, unaumento en la cantidad de dinero, el tipo de cambio aumenta deforma instantánea hasta alcanzar la senda estable. Este aumentoinstantáneo en el tipo de cambio está provocado por un reajuste alalza de las expectativas sobre su valor futuro. Adicionalmente, ladinámica que va a seguir el tipo de cambio a lo largo del tiempotambién viene condicionada por sus expectativas, que grá�camentela representamos en términos de la senda estable.Las columnas "F" a "I" muestran el valor de las variables

endógenas precios, tipo de cambio nominal, demanda agregada y tipode interés nominal, respectivamente. Las columnas para el nivel deprecios, demanda agregada y tipo de interés nominal se construyen


Figura 2.11. Hoja de cálculo del modelo


como anteriormente. Así, en las celdas de la �la 3 para el nivel deprecios y tipo de cambio nominal aparecen las expresiones de susvalores en estado estacionario.El primer elemento diferenciador que tenemos que introducir es

el correspondiente al valor del tipo de cambio en el momento enel que se produce la perturbación, es decir, en la celda "G4". Taly como hemos descrito anteriormente, en el momento en el que seproduce la perturbación, el tipo de cambio experimenta un cambioinstantáneo como consecuencia del reajuste de las expectativas. Elsalto que se produce en el tipo de cambio en el corto plazo, y elcausante del fenómeno de la sobrerreacción, podemos calcularlo entérminos cuantitativos. Para ello partimos de la ecuación dinámicadel tipo de cambio:

_st = �1

�(mt � pt � yt)� i�t

Paralelamente, podemos de�nir las trayectorias estables respectoal tipo de cambio, que están asociadas a la raíz negativa (�1):

_st = �1(st � st)

Como podemos comprobar, ambas ecuaciones dan como resultadola derivada respecto al tiempo del tipo de cambio nominal, por loque podemos igualar ambas ecuaciones:

�1(st � st) = �1

�(mt � pt � yt)� i�t

Despejando el valor del tipo de cambio resulta:

st =�(mt � pt � yt)

��1� i�t�1+ st (2.20)

La expresión anterior sería el valor que introduciríamos en la celda"G4", tal que dicha celda contendría la expresión:

=-(money1-F4-Psi*Ybar1)/(Theta*Lambda1)-iext1/Lambda1+$B$35

La celda "G5" contendría la expresión:


=G4+K4

indicando que el valor en del tipo de cambio en un periodo seríael del periodo anterior más su variación. Esta expresión es la queaparece en las siguientes �las de la columna.El otro cambio que hemos de tener en cuenta es la dinámica del

tipo de cambio nominal. Así, la columna "J" contine la ecuación deajuste para el nivel de precios. Sin embargo, la columna "K" contienela trayectoria del tipo de cambio en términos de sus desviacionesrespecto al estado estacionario. Es decir, representa el movimientodel tipo de cambio a lo largo de su senda estable. Si nos situamosen la celda "K3", observamos que la expresión que aparece es:

=I3-iext0

esto es, la direrencia entre el tipo de interés nacional y el tipo deinterés del exterior, que en estado estacionario tiene que ser cero. Laexpresión que aparece en la celda "K4" y siguientes es:

=Lambda1*(G4-$B$35)

que representa los movimientos del tipo de cambio a lo largo de lasenda estable, siendo una proporción de la diferencia entre el valordel tipo de cambio y su valor de estado estacionario.

2.3.1 Efectos de un aumento en la cantidad de dinero

Vamos a continuación a utilizar el modelo resuelto anteriormentepara calcular los efectos de un aumento en la cantidad de dinero eilustrar el fenómeno de la sobrerreacción del tipo de cambio antedicha perturbación.De la expresión (2.20) obtenida anteriormente, obtenemos que la

derivada del tipo de cambio respecto a la cantidad de dinero (estopermite conocer el ajuste en las expectativas y el efecto en el cortoplazo) viene dada por:

dstdmt

=�1��1

+dstdmt

= 1� 1

��1> 1 (2.21)


Como podemos comprobar, la derivada es positiva y superior a launidad, dado que �1 < 0, lo que indica que una deteminada variaciónen la cantidad de dinero provoca un aumento más que proporcionaldel tipo de cambio nominal. Este cambio instantáneo es precisamentea lo que denominamos sobrerreacción (o desbordamiento) del tipo decambio nominal.Para computar numéricamente los efectos de la anterior

perturbación, vamos a suponer que la cantidad de dinero aumentade 100 a 101 en el periodo 0. La �gura 2.11 muestra como quedaríanlos cálculo despues de producirse esta perturbación. Como podemoscomprobar el tipo de cambio aumenta de forma instantánea, al igualque disminuye el tipo de interés y aumenta la demanda agregada.En este ejemplo concreto, el tipo de cambi para de valer 76,52 aaumentar hasta 81,51, para posteriormente ir disminuyendo hastasituarse en un valor de 77,62, un punto superior al valor incial dadoque la cantidad de dinero también ha aumentado un punto y secumple la paridad del poder adquisitivo en el largo plazo.Las �guras 2.12-2.15 muestran la dinámica de las variables

endógenas ante esta perturbación. En primer lugar, los precioscomenzan a aumentar de forma gradual, hasta alcanzar su nuevonivel de equilibrio, superior en un punto al inicial (exactamente enla misma medida en la que aumenta la cantidad de dinero). El tipode cambio experimenta un aumento inicial, alcanzando un valor muypor encima de su valor de estado estacionario. Esto es consecuenciadel reajuste de expectativas sobre la tasa de depreciación del tipode cambio. El aumento en la cantidad de dinero va a provocar unaumento a largo plazo en el tipo de cambio, lo que se traduce enun aumento de las expectativas de depreciación y, por tanto, unaumento instantáneo en el mismo. Una vez se produce este efectode impacto, a continuación el tipo de cambio toma la direccióncontraria, disminuyendode forma progresiva hasta alcanzar el nuevoestado estacionario.La demanda agregada también experimenta un aumento inicial

para posteriormente disminuir hasta su valor inicial de estadoestacionario. Esto es debido a que la perturbación que estamosestudiando es de carácter nominal, por lo que no tiene efectos realesen el largo plazo. Así, el nivel de demanda agregada será el mismoque existía antes de la perturbación. Sin embargo, el aumentoen el tipo de cambio provoca un aumento de la competitividad


Figura 2.12. Efectos de un aumento en la cantidad de dinero


Nivel de precios

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55

Tiempo

Figura 2.13. Senda temporal del nivel de precios ante un aumento en lacantidad de dinero

exterior vía precios, aumentando la demand agregada, efecto que vaeliminándose conforme aumenten los precios. Dado que a largo plazolos precios van a aumentar en la misma medida en la que aumentael tipo de cambio nominal, esto signi�ca que a largo plazo el nivel decompetitividad exterior vía precios de la economía vuelve a su valorinicial, por lo que el estado estacionario de la demanda agregada nocambia.El tipo de interés nominal disminuye inicialmente de forma

proporcional al aumento en la cantidad de dinero, para iraumentando posteriormente de forma gradual. Este movimientoen el medio plazo del tipo de interés nominal es similar al queexperimenta el nivel de precios. Así, a medida que los preciosvan aumentando, el equilibrio en el mercado de dinero provoca unaumento en el tipo de interés nominal, reajustándose a la baja lasexpectativas de depreciación del tipo de cambio nominal.

2.3.2 Efectos de cambios en los parámetros

Finalmente podemos realizar un análisis de sensibilidad para estudiarcomo el fenómeno del desbordamiento del tipo de cambio se ve


Tipo de cambio nominal

74.0075.0076.0077.0078.00

79.0080.0081.0082.00

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55

Tiempo

Figura 2.14. Senda temporal del tipo de cambio nominal ante un aumentoen la cantidad de dinero

Nivel de demanda

1940.001960.001980.002000.002020.002040.002060.002080.002100.002120.00

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55

Tiempo

Figura 2.15. Senda temporal del nivel de demanda ante un aumento enl acantidad de dinero



0.000.501.001.502.002.503.003.50

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55

Tiempo

Figura 2.16. Senda temporal del tipo de interés ante un aumento en lacantidad de dinero

afectado por el valor de los parámetros. Así, podemos cambiarlos diferenteres parámetros del modelo, tanto los de sensibilidadcomo los de velocidad de ajuste, y estudiar como cambios en estosparámetros afectan al comportamiento del tipo de cambio en el cortoplazo.

2.4 Conclusiones

En este tema hemos resuelto de forma numérica dos de los ejerciciosque previamente han sido resueltos de forma análitica y que consistenen modelos dinámicos simples del funcionamiento de una economía.Estos ejercicios nos permiten analizar los efectos de diferentesperturbaciones de una forma sencilla y rápida.El primer ejercicio resuelto presentaba una solución de estabilidad

global, con todas las trayectorias convergentes hacia el estadoestacionario. Su computación únicamente requiere escribir en la hojade cálculo las expresiones que conforman el modelo, así como loscálculos realizados en términos de los valores de estado estacionario.

2.4 Conclusiones 55

El segundo ejercicio ha consistido en calcular numéricamente unmodelo que presenta una solución del tipo punto de silla. En estecaso tenemos una variable �exible que se mueve en función deexpectativas. Para calcular la dinámica en este caso necesitamospreviamente conocer el efecto de corto plazo que una perturbaciónproduce en dicha variable. Este efecto instantáneo es equivalente alreajuste en las expectativas. En cuanto al medio plazo, hemos vistoque su comportamiento viene determinado por la senda estable.

Parte II

Introducción al equilibriogeneral

56

3La elección intertemporal delconsumidor

3.1 Introducción

En este tema vamos a centrarnos en el problema al que se enfrenta elconsumidor. Para ello vamos a resolver numéricamente un problemasimple, en el cual el objetivo del consumidor es el de maximizar sunivel de felicidad a lo largo de toda su vida, representada por unafunción de utilidad que depende únicamente de su nivel de consumo.El problema básico de la elección intertemporal del consumir es

un problema lo su�cientemente sencillo como para poder ser resueltousando una hoja de cálculo. Si bien se trata de un problema deoptimización dinámica, las hojas de cálculo son lo su�cientementepotentes como para resolver este tipo de problemas, siempre quevenga de�nido en tiempo discreto, la vida del individuo sea �nita,el número de periodos no muy elevado y la forma funcional de lautilidad no muy compleja.Para resolver computacionalmente el problema del consumidor

vamos a utilizar la herramienta Solver de Excel. Esta herramientaes muy fácil de usar, incorporando el algoritmo de Newton que nospermite resolver problemas de optimización con una única variable.Una vez resuelto el problema del consumidor en una hoja de

cálculo, a continuación utilizaremos una herramienta más compleja,

58 3. La elección intertemporal del consumidor

utilizando el lenguaje MatLab. Los fundamentos del algoritmoutilizado para resolver el problema de optimización los estudiaremosen el tema 6.

3.2 El problema del consumidor en tiempo discretoy con vida �nita

En esta sección vamos a presentar el problema del consumidoren tiempo �nito y discreto, exactamente en la versión queposteriormente vamos a resolver usando Excel.Suponemos que existe previsión perfecta, por lo que el individuo

conoce en cada momento del tiempo toda la corriente de ingresosque va a obtener a lo largo de su vida, que la función de utilidadúnicamente depende del consumo que realiza el individuo en cadaperiodo y que su ciclo vital es �nito.El problema del consumidor sería:

maxCt

TXt=0

�tU(Ct) = maxCt

TXt=0

U(Ct)

(1 + �)t(3.1)

sujeto a:

Ct +Bt = (1 +Rt)Bt�1 + Yt (3.2)

B0 � 0 (3.3)

BT = 0 (3.4)

El consumidor selecciona un plan óptimo de consumo en cadaperiodo de su vida.En t=0, el agente decide los valores:

C00 ; C01 ; C

02 ; C

03 ; C

04 ; :::C

0T (3.5)

El problema del consumidor lo podemos de�nir a través delsiguiente Langragiano:

L = max(Ct)

�t fU(Ct)� �t(Ct +Bt �Wt � (1 +Rt)Bt�1)g (3.6)

3.3 Ejemplo: función de utilidad logarítmica 59

Resolviendo el anterior problema encontramos que las condicionesde primer orden son las siguientes:

@L@Ct

= U 0(Ct)� �t = 0 (3.7)

@L@Bt

= ��t�t + �t+1�t+1(1 +Rt+1) = 0 (3.8)

@L@�t

= Ct +Bt �Wt � (1 +Rt)Bt�1 = 0 (3.9)

Despejando de la primera condición de primer orden (3.7) ysustituyendo en la segunda (3.8) obtenemos:

�tU 0(Ct) = �t+1U 0(Ct+1)(1 +Rt+1) (3.10)

y operando resulta:

U 0(Ct) = �U 0(Ct+1)(1 +Rt+1) (3.11)

expresión que nos indica como es la senda óptima de consumo delindividuo a lo largo del tiempo, resultado de la comperación delas utilidades marginales obtenidas en dos periodos, dadas unaspreferencias intertemporales y un tipo de interés real que indica elcoste (positivo o negativo) de trasladar renta de un periodo a otro.

3.3 Ejemplo: función de utilidad logarítmica

Para resolver numéricamente el problema del consumidor planteadoanteriormente, necesitamos de�nir que forma funcional tiene lafunción de utilidad. En nuestro caso vamos a suponer que la funciónde utilidad tiene forma logarítmica, que es una forma funcional muyutilizada en la práctica. Por tanto, el problema del consumidorvendría dado por:

maxCt

TXt=0

�t lnCt (3.12)

El problema a resolver sería:


L = max(Ct)

�t flnCt � �t(Ct +Bt �Wt � (1 +Rt)Bt�1)g (3.13)


@L@Ct

=1

Ct� �t = 0 (3.14)

@L@Bt

= ��t�t + �t+1�t+1(1 +Rt+1) = 0 (3.15)

@L@�t

= Ct +Bt �Wt � (1 +Rt)Bt�1 = 0 (3.16)


�t1

Ct= �t+1

1

Ct+1(1 +Rt+1) (3.17)

y operando resulta:

Ct+1 = �(1 +Rt+1)Ct (3.18)

3.4 El problema del consumidor en Excel

Para computar númericamente el anterior problema vamos a utilizarel "Solver" de Excel que permite resolver de forma fácil un problemade optimización dinámica cuando sólo tenemos una variable, comoes el consumo en nuestro caso. Para ejecutar esta herramienta deExcel tenemos que ir a "Herramientas" y seleccionar "Solver" y nosaparecerá la ventana que se muestra en la �gura 3.1. El primerelemento es "Celda objetivo:". Esta opción hace referencia al valor dela función objetivo del problema que queremos resolver. En nuestrocaso hace referencia a la utilidad total del individuo a lo largo desu vida. En concreto, sería la suma descontada de la utilidad queobtiene el individuo en cada periodo de su vida.

A continuación aparece la instrucción "Valor de la celda objetivo:"en la que existen tres opciones: "Máximo", "Mínimo" y "Valores

3.4 El problema del consumidor en Excel 61

Figura 3.1. Herramienta Solver de Excel


de:". Estas opciones hacen referencia al tipo de problema quequeremos resolver. Si queremos maximizar el valor de la celdaobjetivo seleccionaríamos "Máximo". Si lo que queremos esminimizar un determinado problema entonces seleccionaríamos laopción "Mínimo". Por el contrario, que lo que queremos es quealcance un determinado valor, introduciríamos dicho valor en laopción "Valores de:". En nuestro caso el problema que queremosresolver consiste en la maximización de la utilidad del consumidor,por lo que seleccionaríamos la opción "Máximo", que es precisamentela opción que viene marcada por defecto.Seguidamente aparece la instrucción "Cambiando las celdas".

Aquí tenemos que introducir las celdas en las que Excel va a calcularla variable objetivo, esto es, el nivel de consumo periodo a periodo.En las celdas que indiquemos en este apartado es donde la hoja decálculo va a presentar la solución al problema que queramos resolver.En nuestro caso concreto, vamos a obtener el nivel de consumo encada periodo que maximiza la utilidad total del individuo a lo largode su vida.Finalmente aparece la instrucción "Sujetas a las siguientes

restricciones:". En este apartado debemos de introducir lasrestricciones a las que está sujeto el problema que queremos resolver.La restricción con la que va a contar nuestro problema es que lacantiad de activos (ahorro) del individuo al �nal de su vida tieneque ser cero.A la derecha del cuadro de diálogo de "Solver" aparece una

pestaña denominada "Opciones...". Si pinchamos en dicha pestañaaparece el cuadro de diálogo re�ejado en la �gura 3.2. Este cuadropermite cambiar diferentes parámetros, tales como el tiempo máximode cálculo, el número de iteraciones, la precisión, la toleranciay la convergencia. También incluye otras opciones adicionales.En nuestro caso es importante seleccionar la opción "Adoptar nogegativos". Esto es así, porque dado el problema que vamos aresolver, el consumo de un individuo no puede ser negativo ningúnperiodo. Por último, existen opciones en relación con la estimación,devidas y el algoritmo de búsqueda de la solución.El �chero de Excel que vamos a utilizar en este caso es

"EC31.xls". La �gura 3.3 muestra el �chero que hemos denominadoEC31.xls. Como podemos observar, en este caso sólo necesitamosdos parámetros: la tasa de descuento intertemporal y el tipo de


Figura 3.2. Opciones herramienta Solver de Excel


Figura 3.3. Hoja de cálculo con el problema del consumidor

interés real, elementos que hemos visto son factores determinantesde la senda óptima de consumo. En realidad el tipo de interés real esuna variable que puede cambiar a lo largo del tiempo. No obstante,por ahora vamos a suponer que se trata de una constante. Por otraparte, también hemos de especi�car la renta salarial del individuo encada periodo de su vida. Los valores que hemos �jado son un factorde descuento intertemporal de 0,97 y un tipo de interés real el 2%.La columna "E" es tiempo, la columna "F" que presentará los

valores del consumo, es la que tenemos que calcular. La columna"G" es la renta, que la suponemos dada, la columna "H" es el ahorroque se obtiene como la diferencia entre el consumo y la renta decada periodo y �nalmente la columna "I" muestra la satisfacción delindividuo en función del consumo en términos actualizados.Para resolver el ejercicio utilizando la herramienta Solver de Exel

operamos como sigue. En primer lugar rellenamos con valores


�cticios la columna correspondiente al consumo. A continuaciónestablecemos el nivel de renta del individuo en cada periodo. Ennuestro caso hemos supuesto que el nivel de renta es de 10 en cadaperiodo desde el momento 0 al momento 30, siendo la renta salarialdel individuo cero desde el periodo 31 hasta el último periodo de suvida.El ahorro se calcula de la siguiente forma. El ahorro del primer

periodo es simplemente la diferencia entre el nivel de consumo y elnivel de renta en dicho periodo. Así, si situamos el cursor en la celda"H3", vemos que aparece la expresión:

=G3-F3

es decir, la renta salarial (columna "G") menos el consumo(columna "F") en el periodo 0. Por el contrario si nos situamosen la celda "H4" vemos que la expresión que aparece es:

=(1+Interés)*H3+G4-F4

es decir, es la rentabilidad de los ahorro realizados hasta el periodoanterior más la renta del periodo menos el consumo del periodo. Lassiguientes �las de esta columna contienen esta misma expresión. Esdecir, es la rentabilidad bruta del ahorro realizado hasta el periodoanterior más el nuevo ahorro del periodo.Finalmente la columna "I" preseta la valoración de la utilidad

descontada en cada periodo. Si nos situamos en la celda "I3" aparecela expresión:

=Beta^E3*LOG(F3)

que es la valoración de la utilidad en el periodo 0, es decir,el logaritmo del consumo multiplicado por el factor de descuentointertemporal elevado al índice de tiempo correspondiente a dichoperiodo. Por último en la celda "I54" aparece la sumatoria de lasutilidades descontadas, que es el valor que tenemos que maximizar.Las �guras 3.4-3.7 muestran las sendas temporales de las

diferenteres variables. En primer lugar, hemos supuesto que la


renta es exógena y que toma un valor de 10 para los periodos 0a 30, pasando a tormar un valor nulo a continuación. Por tanto,el individuo tiene que repartir la renta obtenida en los primerosperiodos a lo largo de todo su ciclo vital. La senda óptima deconsumo tiene pendiente negativa, indicando que el consumir pre�retener un nivel de consumo elevado en los primeros periodos e irdisminuyendo su consumo a lo largo del tiempo. Si la comparamoscon la evolución temporal de la renta vemos que el individuoredistribuye la renta que obtiene en unos determinados periodos desu vida a lo largo de todo su ciclo vital.El hecho de que la senda temporal de consumo tenga pendiente

negativa obedece al hecho de que el tipo de interés real es superior ala tasa de preferencias intertemporales. Así, en este ejercicio hemossupuesto que el tipo de interés es del 2% mientras que la tasa depreferencia intertemporal, �, es de, dado que � = 1=(1 + �) = 0; 97.Esto va a provocar que el coste de endeudarse sea elevado al tiempoque es rentable ahorrar.Dada la estructura en la renta que hemos supuesto, la tasa de

ahorro de este individuo es positiva. El individuo sólo obtiene rentadurante los primeros periodos de su vida. Esto signi�ca que elindividuo debe generar un ahorro positivo durante este periodo desu vida para tener recursos para consumir en los últimos periodos desu vida, una vez se ha jubilado y no obtiene mayores ingresos. Comopodemos observar la senda de consumo de este individuo tiene formade pirámide, aumentando de forma continua en el tiempo durante suetapa laboral. Una vez el individuo deje de trabajar, a partir de esemomento el individuo desahorra, consumiendo los ahorros que habíagenerado previamente. Finalmente, la felicidad del individuo tienependiente negativa, dado que la senda óptima de consumo tambiéntiene senda negativa.

3.4.1 Cambio en los parámetros

A continuación vamos a analizar los efectos de un cambio en losparámetros. En nuestro modelo tenemos dos parámetros: el tipo deinterés real y la tasa de preferencia intertemporal de los individuos.En primer lugar, vamos a suponer que el tipo de interés es disminuye


Renta

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

12.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 3.4. Senda de la renta.

Consumo

0.002.00

4.006.00

8.0010.00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Tiempo

Figura 3.5. Senda óptima del consumo


Ahorro

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 3.6. Senda óptima del ahorro.

Felicidad

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Tiempo

Figura 3.7. Senda óptima de la felicidad.


Consumo

0.002.00

4.006.00

8.0010.00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Tiempo

Figura 3.8. Senda óptima de consumo con � = 0; 99:

hasta ser cero. Es decir, vamos a ver las consecuencias sobre la sendaóptima de consumo de un tipo de interés nulo.En primer lugar, vamos a estudiar los efectos de una alteración en

el factor de descuento temporal. En concreto, vamos a suponer quese produce una disminución en la tasa de preferencia intertemporal,pasando el factor de descuento a tomar un valor de 0,99. La �gura3.8 muestra la nueva senda de consumo del individuo, mientras quela �gura 3.9 muestra la senda del ahorro. Ahora la senda óptima deconsumo tiene pendiente positiva. Eso signi�ca que el individuo vaa preferir consumir menos en los primeros periodos e ir aumentandosu nivel de consumo a medida que pasa el tiempo. Esta nueva sendade consumo viene determinada por el nuevo factor de descuento, queimplica una mayor preocupación por el futuro por parte del agente.Es decir, el agente descuenta poco la utilidad futura. Esta variaciónva a provocar que la tasa de preferencia intertemporal sea inferior altipo de interés real, lo que da como resultado una senda óptima deconsumo con pendiente creciente.La nueva senda óptima de consumo obtenida re�eja el hecho de

que ahora estamos analizando el comportamiento de un individuoque descuenta muy poco el futuro, es decir, que se preocupa mucho


Ahorro

0.0020.0040.0060.0080.00

100.00120.00140.00160.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 3.9. Senda del ahorro con � = 0; 99:

por el mismo. Esto va a tener importantes consecuencias en términosde sus decisiones económicas. Así, este individuo va a sacri�carconsumo actual para obtener mayores niveles de consumo futuro.Como consecuencia de esta decisión su nivel de ahorro va a serelevado durante los primeros periodos de su vida.Seguidamente vamos a estudiar los efectos de un cambio en el tipo

de interés real. En concreto vamos a suponer que el tipo de interésreal es cero, es decir, no hay ningún coste (ni positivo ni negativo)de mover el dinero intertemporalmente, mientras que el factor dedescuento es el inicial. El coste de endeudarse sería nulo y tambiénsería nulo la rentabilidad del ahorro. Las �guras 3.10 y 3.11 muestranlas sendas óptimas del consumo y del ahorro, respectivamente.

3.4.2 Cambio en las variables exógenas (cambio en la renta)

En el ejercicio anterior hemos supuesto que la renta del individuoes constante durante su vida laboral, desde el periodo 0 al periodo30. Sin embargo, en la realidad la renta salarial de los individuosva aumentando a medida que aumenta su experiencia laboral. Portanto, ahora vamos a repetir el ejercicio anterior pero suponiendo queel salario tiene una función creciente, lo que va a tener importantes


Consumo

0.00

5.00

10.00

15.00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Tiempo

Figura 3.10. Senda óptima de consumo con R = 0:

Ahorro

20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 3.11. Senda del ahorro con R = 0:


consecuencias en términos del ahorro. En concreto, vamos a suponerque la renta del periodo 0 es de 10 y que aumenta en una unidad encada periodo.Para resolver este nuevo ejercicio introducidos los nuevos valores

para la renta y a continuación, ejecutamos de nuevo la herramientaSolver, que recalcula de forma instantánea la senda óptima deconsumo.Las �guras 3.12-3.15 muestran las sendas temporales de las

diferentes variables. En primer lugar, la renta presenta ahorauna senda creciente a lo largo de la vida laboral del individuo.Esto signi�ca que el individuo comienza a trabajar con un salariobajo, pero a medida que acumula experiencia laboral su salario vaaumentando, hasta pasar a un valor cero a partir del momento de lajubilación.Como podemos observar, la senda óptima de consumo vuelve a ser

negativa, similar a la obtenida en el ejercicio con renta constante.Esto es así porque la estructura de la renta no afecta a la decisiónde consumo del individuo. La decisión de consumo del individuo setoma en función de tres elementos: el tipo de interés real, la tasade preferencia intertemporal y el grado de curvatura de la funciónde utilidad. Por tanto la senda óptima de consumo es totalmenteindependiente de la estructura de renta del individuo, tal y comopone en evidencia este ejercicio numérico.La variable que si cambia en este caso es el ahorro, que se acomoda

a la nueva estructura de la renta, tal que la senda de consumosea la óptima. En este caso vemos como el ahorro del individuodurante los primeros años de su vida laboral es negativo, es decir,el individuo se endeuda consumiendo una cantidad superior a surenta. Esto es así porque el individuo sable que sus ingresos van aser superiores en el futuro, por lo que el individuo se trae renta delfuturo al presente. Obviamente, este ahorro negativo tiene que sercompensado posteriormente con un ahorro positivo durante su vidalaboral. De nuevo el ahorro �naliza en el momento de la jubilación,y a partir de ese momento el individuo consume todos los activosacumulados hasta dicho momento.

3.4.3 Cambio en la función de utilidad

A continuación vamos a repetir el ejercicio anterior pero usandouna función de utilidad alternativa. En concreto vamos a utilizar


Renta

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 3.12. Senda de la renta.

Consumo

0.005.00

10.0015.00

20.0025.00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Tiempo

Figura 3.13. Senda óptima del consumo.


Ahorro

100.00

50.00

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 3.14. Senda óptima del ahorro

Felicidad

0.000.200.400.600.801.001.201.40

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Tiempo

Figura 3.15. Senda de la felicidad en términos descontados


la función de utilidad del tipo CRRA con un parámetro constantede aversión al riesgo relativo. Nuestro objetivo en este caso va a serestudiar cuáles son los efectos sobre la decisión de consumo de laaversión al riesgo.En este caso el ejercicio a resolver es el siguiente:

maxCt

TXt=0

�tC1��t � 11� � (3.19)


@L@Ct

= C��t � �t = 0 (3.20)

@L@Bt

= ��t�t + �t+1�t+1(1 +Rt+1) = 0 (3.21)

@L@�t

= Ct +Bt �Wt � (1 +Rt)Bt�1 = 0 (3.22)


�tC��t = �t+1(1 +Rt+1)C��t (3.23)

y operando resulta la siguiente senda óptima de consumo:

C�t+1 = �(1 +Rt+1)C�t (3.24)

Una vez resuelto el problema analíticamente, a continuación vamosa resolverlo computacionalmente. En este caso necesitamos unparámetro adicional, que es la tasa relativa de aversión al riesgo.Vamos a suponer que el parámetro de aversión al riesgo es elevado.Por ejemplo, vamos a suponer que � = 10: En este caso estamossuponiendo un individuo que tiene una función de utilidad muycóncava.El problema aparece resuelto en la hoja de cálculo EC32.xls. Para

resolver este nuevo problema cambiamos la expresión que aparece enla columna "I". Si situamos el cursor en la celda "I3", vemos queaparece la expresión:


Consumo

0.002.00

4.006.00

8.0010.00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Tiempo

Figura 3.16. Senda óptima de consumo con � = 10:

=Beta^E3*(F3^(1-Sigma)-1)/(1-Sigma)

que es la que corresponde a la nueva función de utilidad.Resolviendo este problema obtenemos que la senda óptima deconsumo se hace ahora muy horizontal.Las �guras 3.16-3.17 muestran las sendas temporales de las

variables relevantes.

3.5 La decisión de consumo en MatLab

En esta sección vamos a resolver el problema del consumidor entiempo �nito, pero usando MatLab, que es una herramienta muchomás potente que una hoja de cálculo. En concreto vamos a usarla rutina "fsolve" para resolver este problema. La rutina "fsolve"encuentra las raíces (los ceros) de un sistema de ecuaciones nolineales. Para ello tenemos que usar el lenguaje de este programay escribir una serie de instrucciones en relación al problema quequeremos resolver.MatLab puede utilizar diferentes algoritmos para resolver el

problema de optimización dinámica que planteemos. Uno de losmás usados en la práctica es el algoritmo de Newton-Raphson, que

3.5 La decisión de consumo en MatLab 77

Ahorro

20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 3.17. Senda óptima del ahorro con � = 10:

analizaremos con mayor detenimiento en el tema 6. Por el momento,simplemente vamos a utilizar uno de los programas que ya vienenincluidos dentro de MatLab, que es el denominado "fsolve".Los programas que necesitamos para ello son consumo.m y

cpo.m. Para ello suponemos que la función de utilidad delconsumidor es logarítmica. Estos programas son los siguientes:

% Consumo.m%Problema del consumidor% Función de utilidad logarítmica: U=ln(C)clear all% Parámetros del modeloT = 50; % Tiempo de vida del individuoR = 0.02; % Tipo de interes realbeta = 0.97; % Factor de descuento intertemporal% Senda temporal de la renta del individuo% El proceso de la renta es exógenofor t=1:30;w(t) = 10;endfor t=31:T;


w(t) = 0;endparam = [T R beta w];% Algoritmo de búsqueda de cerosx0 = 50*ones(size(1:T))�; % Valores inicialescrit = 1e-06; % Toleranciamaxit = 1000; % Máximo número de iteracionessol = fsolve(�cpo�, x0);% Soluciónfor t=1:Tc(t) = sol(t);endfor t=2:T;b(1) = w(1)-c(1);b(t) = (1+R)*b(t-1)+w(t)-c(t);endfor t=1:TU(t) = beta^t*log(c(t));end% Gráficossubplot(2,2,1)plot(c)title(�Consumo�)subplot(2,2,2)plot(b)title(�Ahorro�)subplot(2,2,3)plot(w)title(�Renta�)subplot(2,2,4)plot(U)title(�Felicidad�)

function f=cpo(x0, param)% Parámetros del modeloT = 50;R = 0.02;beta = 0.97;% Senda temporal de la renta del individuofor t=1:30;

3.5 La decisión de consumo en MatLab 79

w(t) = 10;endfor t=31:T;w(t) = 0;end% Asignacion de variablesfor t=1:Tc(t) = x0(t);end% Cálculo del ahorrofor t=2:T;b(1) = w(1)-c(1);b(t) = (1+R)*b(t-1)+w(t)-c(t);end% Condición terminalc(T+1) = 0;% Senda óptima de consumof(1) = c(2)-beta*(1+R)*c(1);for t=2:T-1f(t) = c(t+1)-beta*(1+R)*c(t);endf(T) = c(T)-(1+R)*b(T-1);f=f�;La �gura 3.18 muestra la senda temporal de las diferentes variables

que obtenemos una vez que ejecutamos el programa anterior. Lassendas temporales de las variables son las mismas que las obtenidasanteriormente cuando usamos la función "Solver" en la hoja decálculo Excel.


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 505

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9Consumo

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100A horro

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10Renta

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5Felicidad

Figura 3.18. Sendas óptimas usando MatLab

4Las empresas y la decisión deinversión

4.1 Introducción

En este tema vamos a resolver computacionalmente una versiónsimple del modelo de la Q de Tobin. El modelo de la Q deTobin puede representarse en términos de un sistema de ecuacionesdinámicas que describen el comportamiento del stock de capital yde la ratio Q marginal. Sin embargo, estas ecuaciones tienen unanaturaleza no lineal, por lo que no es posible su computación deforma directa al no poder escribirlo en notación matricial. En estecaso, para poder computar numéricamente el modelo, hemos deproceder en primer lugar a linealizar las ecuaciones diferenciales,reescribiendo el modelo en término de las desviaciones de cadavariable respecto a su valor de estado estacionario. El procedimientova a ser muy similar a los ejercicios realizados en los temas 1 y 2.En este caso concreto, vamos a obtener una solución del tipo puntode silla, por lo que hemos de tener en cuenta las especi�cidadesasociadas a este tipo de solución, en términos del efecto impactosobre las variables �exibles que tiene cualquier perturbación.

82 4. Las empresas y la decisión de inversión

4.2 Computación en Excel del modelo de la Q deTobin

En este apartado vamos a describir los pasos que hemos de dar pararesolver computacionalmente el modelo de la Q de Tobin en una hojade cálculo. Para ello necesitamos realizar tres pasos: parametrizarlas funciones de producción y de costes de ajuste, resolver el modeloy, por último, linealizar las ecuaciones de ajuste de las variablesendógenas.

4.2.1 Linearización del modelo

En este apartado vamos a rede�r el modelo en términos lineales. Paraello vamos a suponer que la función de producción es del tipo Cobb-Douglas y que la función de costes de ajuste es tal que I(I) = 1.Resolviendo el problema llegamos a las siguientes dos ecuacionesdiferenciales:

_qt = qt(Rt + �)� �K��1t

_Kt = qt � PKtEl problema con el que nos encontramos es que ambas ecuaciones

son no lineales, por lo que no podemos escribir el problema ennotación matricial y estudiar las características de la matriz decoe�cientes asociadas a las variables endógenas. Esto supone que nopodemos computar numéricamente este modelo y para ello hemos detransformar dichas ecuaciones para que sean lineales.En primer lugar, calculamos el valor de las variables en estado

estacionario, tal que _qt = 0 y _Kt = 0. De la segunda ecuaciónobtenemos que:

qt = 1

lo que supone que el logaritmo de la ratio q en estado estacionarioes cero.De la primera expresión resulta que:

�K��1t = qt(Rt + �) = (Rt + �)

y despejando:

4.2 Computación en Excel del modelo de la Q de Tobin 83

Kt =

�Rt + �

�

� 1��1

En términos de tasas de crecimiento, el anterior sistema deecuaciones diferenciales podemos escribirlo como:

_qtqt= (Rt + �)�

�K��1t

qt

_Kt

Kt=

qtKt

� 1

Kt

Tomando logaritmos resulta:

d ln qtdt

= (Rt + �)� � exp((�� 1) lnKt)� ln qt)

d lnKt

dt= exp(ln qt � lnKt)� exp(� lnKt)

Para construir una aproximación de las anteriores dos ecuacionesalrededor de su estado estacionario vamos a usar la expansión deTaylor. Para ello en primer lugar calculamos las siguientes derivadasparciales:

d exp((�� 1) lnKt � ln qt)d ln qt

= � exp((�� 1) lnKt � ln qt)

d exp((�� 1) lnKt � ln qt)d lnKt

= (�� 1) exp((�� 1) lnKt)

d exp(ln qt � lnKt)

d ln qt= exp(ln qt � lnKt)

d exp(ln qt � lnKt)

d lnKt= � exp(ln qt � lnKt)

d exp(� lnKt)

d lnKt= � exp(� lnKt)

Por tanto, aplicando la expansión de Taylor resulta que:


d ln qtdt

' ��d exp((�� 1) lnKt � ln qt)d ln qt

(ln qt � ln qt)

��(�� 1) exp((�� 1) lnKt � ln qt)(lnKt � lnKt)

y sustituyendo:

d ln qtdt

' � exp((�� 1) lnKt � ln qt)(ln qt � ln qt)

��(�� 1) exp((�� 1) lnKt � ln qt)(lnKt � lnKt)

y dado que:

�(��1) exp((��1) lnKt) = �(��1)�Rt + �

�

��1��1

= (��1)(Rt+�)

y que:

� exp((�� 1) lnKt � ln qt) = �

�Rt + �

�

��1��1

= Rt + �

resulta que:

d ln qtdt

' (Rt + �)(ln qt � ln qt)� (�� 1)(Rt + �)(lnKt � lnKt)

por lo que ya tenemos linearizada la ecuación correspondiente a lasvariaciones en la ratio q.A continuación, repetimos el mismo pocedimiento respecto a la

ecuación del stock de capital. En este caso tenemos que:

d lnKt

dt' d exp(ln qt � lnKt)

d ln qt(ln qt � ln qt) +�

�d exp(� lnKt)

d lnKt+d exp(ln qt � lnKt)

d lnKt

�(lnKt � lnKt)

y sustituyendo resulta:


d lnKt

dt' exp(ln qt � lnKt)(ln qt � ln qt) +�

exp(� lnKt)� exp(ln qt � lnKt)�(lnKt � lnKt)

Sabiendo que ln qt = 0, resulta

d lnKt

dt' exp(� lnKt)(ln qt � ln qt) =

1

Kt

(ln qt � ln qt)

=

�Rt + �

�

� �1��1

(ln qt � ln qt)

Por tanto en notación matricial el modelo de la Q de Tobin(log)linearizado respecto al estado estacionario resultaría:

� d ln qtdt

d lnKtdt

�=

"(Rt + �) �(�� 1)(Rt + �)�Rt+��

� �1��1 0

# �(ln qt � ln qt)(lnKt � lnKt)

�Una vez linearizado el modelo, a continuación podemos calcular

las raíces asociadas a la matriz de coe�cientes. La ecuacióncorrespondiente sería:

�2 � (Rt + �)�+ (�� 1)(Rt + �)�Rt + �

�

� �1��1

= 0

Por tanto las dos raíces serían:

�1;�2 =(Rt + �)�

q(Rt + �)2 � 4(�� 1)(Rt + �)

�Rt+��

� �1��1

2

4.2.2 Efectos de una disminución en el tipo de interés

Una vez que hemos linealizado las dos ecuaciones diferenciales,podemos proceder a computar numéricamente este modelo en unahoja de cálculo. El �chero que contiene el modelo de la q de Tobin enExcel, se llama EC41.xls. La hoja de cálculo correspondiente apareceen la �gura 4.1. Tal y como podemos observar, necesitamos de�nirel valor de los parámetros y de las variables exógenas. En nuestro


caso hemos supuesto que tanto el parámetro tecnológico asociado alcapital como la tasa de depreciación física del capital son parámetros,mientras que hemos supuesto que tanto el precio del capital como eltipo de interés son variables exógenas.A partir de las expresiones calculadas anteriormente, y dados

unos valores para las variables exógenas y para los parámetros,podemos proceder a calcular tanto el valor de las variables en estadoestacionario como el valor de las raíces de la matriz de coe�cientesde las variables endógenas.La �gura 4.1 muestra la hoja de cálculo, en la cual hemos simulado

los efectos de una disminución en el tipo de interés. El único elementoque hemos de tener en cuenta es que la solución es del tipo punto desilla, por lo que hemos de calcular el efecto de impacto de cualquierperturbación sobre la ratio q. Para ello únicamente hemos de igualaruna ecuación dinámica a la trayectoria convergente hacia el estadoestacionario, tal que:

d lnKt

dt=

�Rt + �

�

� �1��1

(ln qt � ln qt) = �1(lnKt � lnKt)

Despejando obtenemos que:

ln qt =

�Rt + �

�

� 1��1

�1(lnKt � lnKt)

lo que nos indicaría el efecto a corto plazo sobre la ratio q. Estevalor es precisamente el que aparece en la celda "G4" de la hoja decálculo correspondiente, indicando el cambio que registra el valor dela ratio q hasta alcanzar la senda estable.La �gura 4.2 muestra la dinámica del logaritmo de la ratio q ante

una disminución en el tipo de interés. Como podemos observar, suvalor de estado estacionario inicial es cero, que corresponde a unavalor de dicha ratio de 1. La disminución en el tipo de interés provocaun aumento instantáneo de dicha ratio, hasta alcanzar su sendaestable. Esto es debido a que ahora el coste del capital es menor,por lo que disminuye el coste de reposición del capital instalado y,por tanto, es rentable para la empresa invertir en capital ya que elcoste del mismo es inferior al aumento en el valor de mercado dela empresa. A continuación, una vez se produzca el aumento en elcapital, la ratio q irá disminuyendo progresivamente, hasta alcanzar


Figura 4.1. El modelo de la q de Tobin en Excel


Figura 4.2. Senda temporal de la ratio q ante una disminución en el tipode interés

su nuevo valor de equilibrio de estado estacionario, que el el mismoque existía con anterioridad a la perturbación.Finalmente, la �gura 4.3 muestra la dinámica del logaritmo del

stock de capital. Como podemos observar el aumento de la ratio qprovoca un aumento progresivo del stock de capital. De hecho elstock de capital está aumentando hasta que la ratio q vuelva a suvalor de estado estacionario. Este proceso va a llevar a que en el largoplazo, el stock de capital aumente respecto a la situación inicial.

4.3 Conclusiones

En este tema hemos resuelto numéricamente el modelo de la Q deTobin. Como hemos visto, antes de proceder a su computaciónnumérica hemos de proceder a su linearización, ya que dicho modeloresulta en un sistema de dos ecuaciones diferenciales no lineales.Esto sucede con una variedad de modelos, en los cuales la dinámicade las variables endógenas resulta no lineal. En estos casos hemosde aplicar algún procedimiento para su linearización.

4.3 Conclusiones 89

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55Tiempo

Stock de capital (logaritmo)

Figura 4.3. Senda temporal del stock de capital ante una disminución enel tipo de interés

En nuestro caso hemos linearizado, en términos logarítmicos,respecto al estado estacionario. De este modo podemos reescribirel sistema de ecuaciones en términos de las desviaciones de cadavariables respecto a su valor de estado estacionario.Una vez resuelto de esta forma el modelo podemos computarlo

numéricamente en una hoja de cálculo. Este ejercicio nos va apermitir estudiar diferentes perturbaciones, así como los efectos dealteraciones en los parámetros del modelo.

5El gobierno y la política �scal

5.1 Introducción

En este tema vamos a realizar diferentes ejercicios computacionalesen relación al papel del gobierno en la economía. En concreto, vamosa realizar dos ejercicios. En primer lugar, vamos a resolver de nuevoel problema del consumidor, pero introduciendo los impuestos. Elobjetivo de este ejercicio es estudiar los efectos de la política �scal através de cambios en los impuestos sobre la decisión del consumidoren términos del consumo y del ahorro. En segundo lugar, realizamosun ejercicio sobre los efectos de cambios en las cotizaciones a laseguridad social sobre el comportmiento de los consumidores. Elobjetivo de ambos ejercicios es estudiar los efectos que provocanlos cambios en la política �scal sobre las decisiones de los agentes,en este caso de los consumidores. Ambos ejercicios los vamos aresolver númericamente utilizando la herramienta "Solver" de la hojade cálculo Excel.

5.2 Los impuestos

En primer lugar, vamos a resolver el problema del consumidorcon vida in�nita pero introduciendo un impuesto sobre la renta.

92 5. El gobierno y la política �scal

Suponemos que la función de utilidad del individuo es logarítmica.Por tanto el problema a maximizar viene dado por:

maxCt

TXt=0

�t lnCt (5.1)

sujeto a la restricción presupuestaria:

Ct +Bt = (1� � t)Wt + (1 +Rt)Bt�1

donde � es el tipo impositivo sobre la renta. Así, cuanto mayor sea �menor es la renta disponible del individuo. Es decir, suponemosque el gobierno no devuelve lo recaudado y simplemente es unapérdida de recursos para la economía. Lo recaudado por el gobiernosimplemente se pierde.El problema a resolver sería:

L = max(Ct)

�t flnCt � �t(Ct +Bt � (1� � t)Wt � (1 +Rt)Bt�1)g

(5.2)Resolviendo el anterior problema encontramos que las condiciones

de primer orden son las siguientes:

@L@Ct

=1

Ct� �t = 0 (5.3)

@L@Bt

= ��t�t + �t+1�t+1(1 +Rt+1) = 0 (5.4)

@L@�t

= Ct +Bt � (1� � t)Wt � (1 +Rt)Bt�1 = 0 (5.5)


�t1

Ct= �t+1

1

Ct+1(1 +Rt+1) (5.6)

y operando resulta:

Ct+1 = �(1 +Rt+1)Ct (5.7)

Como podemos comprobar, la senda óptima de consumo delindividuo es independiente del impuesto sobre la renta, lo que

5.2 Los impuestos 93

Figura 5.1. El problema del consumidor con impuestos

signi�ca que la política �scal es inefectiva. Esto es debido a quehemos supuesto que el salario es exógeno. No obstante, cambios enel tipo impositivo van a alterar el volumen de consumo del individuo.La �gura 5.1 muestra la hoja de cálculo EC51.xls. Para la

resolución del anterior problema utilizamos la herramienta "Solver"de Excel. Los parámetros que necesitamos de�nir son la tasa dedescuento, el tipo de interés real y el tipo impositivo. Suponemosque la tasa de descuento es de 0.97 y que el tipo de interés real esdel 5%. Por otra parte, vamos a suponer que el individuo tiene quepagar un 35% de su renta en forma de impuestos.En la columna "F" de�nimos el nivel de consumo periodo a

periodo, que es la varaible que queremos calcular. La columna "G"muestra la renta del individuo que viene dada, es decir, suponemosque es una variable exógena. En este ejemplo concreto hemossupuesto que la renta inicial es de 10 y que aumenta en una unidad


cada periodo hasta que el individuo se jubila. La columna "H"muestra la recaudación impositiva, que es simplemente un 35% dela columna "G". La columna "I" muestra el nivel de ahorro delindividuo. Este nivel de ahorro se calcula de la siguiente forma. Enel primer periodo (periodo 0) es simplemente la diferencia entre larenta neta de impuestos y el consumo que realiza el individuo. Enel segundo periodo y siguientes sería la diferencia entre la renta netade impuestos y el consumo en el periodo más el ahorro del periodoanterior más la rentabilidad asociada a dicho ahorro. Finalmente, lacolumna "J" muestra el nivel de utilidad descontada del individuoen cada periodo de su vida.Las �guras 5.2-5 muestran la senda temporal de las variables

relevantes. En primer lugar, la senda de consumo es creciente, porlo que el individuo decide un mayor consumo conforme avance eltiempo. La pendiente de esta senda de consumo depende de la tasade descuento y del tipo de interés real, junto con la forma de lafunción de utilidad del inviduo, que en este caso es logarítmica. Larenta la suponemos exógena, teniendo el individuo un nivel de renta(antes de impuestos) de 10 en el periodo 0 y aumentando dicha rentauna unidad hasta el periodo 26, momento en el que el individuo sejubila y su renta pasa a cero. El impuesto sobre la renta tiene lamisma forma, ya que hemos supuesto que es proporcional a la renta.Por último, el ahorro del individuo va a tener la forma estándar. Eneste caso el individuo va ahorrar durante los primerios periodos desu vida hasta el momento de su jubilación, a partir del cual el ahorroes negativo, consumiendo el individuo los activos �nancieros que haido acumulando a lo largo de su vida laboral.

5.2.1 Cambio en el tipo impositivo

Supongamos ahora que el gobierno disminuye el impuesto sobrela renta hasta el 15%. Dado el planteamiento del problema, estosigni�ca que el individuo tiene una mayor renta disponible, dadoque hemos supuesto que el gobierno no devuelve a la economía elimporte de lo recaudado vía impuestos. Esto signi�ca que su nivelde consumo periodo a periodo va a ser mayor, pero como podemoscomprobar no altera la decisión del individuo en términos de su sendaóptima de consumo. En efecto, tal y como podemos observar en las�guras 5.6 y 5.7, la senda óptima del consumo del individuo siguesiendo la misma, si bien ahora los niveles de consumo son superiores

5.2 Los impuestos 95

Consumo

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.2. Senda óptima de consumo con impuesto sobre la renta � = 0; 35

Renta

0.005.00

10.0015.0020.0025.0030.0035.0040.00

0 8 16 24 32 40 48

Tiempo

Figura 5.3. Renta


Impuesto sobre la renta

0.002.004.006.008.00

10.0012.0014.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.4. Impuesto sobre la renta

Ahorro

50.00

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.5. Ahorro con impuesto sobre la renta � = 0; 35

5.3 La seguridad social 97

Consumo

0.005.00

10.0015.0020.0025.0030.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.6. Senda óptima de consumo con impuesto sobre la renta � = 0; 15

a los obtenidos anteriormente. Esto es debido a que ahora la rentadel individuo es superior como consecuencia de la disminución en elimpuesto, pero su distribución a lo largo de todos los periodos siguesiendo la misma, ya que es independiente del tipo impositivo.Por su parte, la senda del ahorro es también similar a la obtenida

anteriormente, re�ejando un mismo patrón de comportamiento, sibien los niveles de ahorro periodo a periodo son diferentes comoconsecuencia de la alteración en el nivel de renta disponible.Utilizando este sencillo ejemplo como referencia podemos realizar

multitud de experimentos sobre los efectos de la política �scal.Así, podemos suponer la existencia de un impuesto sobre la rentaprogresivo, que aumente por tramos de renta. También podemosanalizar los efectos que tiene el hecho de que el gobierno devuelvaal individuo el dinero recaudado pero en diferentes momentos deltiempo, etc.

5.3 La seguridad social

En esta sección vamos a resolver el problema del consumidor, peroconsiderando la existencia de un sistema de seguridad social, que


Ahorro

50.00

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.7. Ahorro con impuesto sobre la renta � = 0; 15

supone que el individuo va a percibir una pensión una vez se jubile.Consideramos la existencia de un impuesto a la renta en forma decotizaciones a la seguridad social. Existen dos sistemas de seguridadsocial: de reparto y de capitalización. En este ejercicio vamos asuponer que el régimen de la seguridad social es de capitalización.Esto signi�ca que el importe recaudado a través de las cotizacionesa la seguridad social va a un fondo de pensiones, el cual genera unarentabilidad dada por el tipo de interés real.En este caso el problema del consumidor sería:

maxCt

TXt=0

�t lnCt (5.8)

sujeto a la siguiente restricción presupuestaria del individuo:

Ct +Bt = (1� � sst )Wt + (1 +Rt)Bt�1 +Dt

donde � ss es el tipo impositivo de las cotizaciones a la seguridadsocial y donde Dt es la pensión de jubilación que recibe el individuo.Esta pensión sólo sería positiva cuando el salario del individuo fuese


cero, es decir, cuando el individuo ha abandonado la vida laboral yse encuentra jubilado.El problema a resolver sería por tanto:

L = max(Ct)

�t flnCt � �t(Ct +Bt � (1� � t)Wt � (1 +Rt)Bt�1 �Dt)g

(5.9)Resolviendo el anterior problema encontramos que las condiciones

de primer orden son las siguientes:

@L@Ct

=1

Ct� �t = 0 (5.10)

@L@Bt

= ��t�t + �t+1�t+1(1 +Rt+1) = 0 (5.11)

@L@�t

= Ct +Bt � (1� � sst )Wt � (1 +Rt)Bt�1 �Dt = 0 (5.12)


�t1

Ct= �t+1

1

Ct+1(1 +Rt+1) (5.13)

y operando resulta:

Ct+1 = �(1 +Rt+1)Ct (5.14)

Tal y como podemos observar la senda óptima de consumodel individuo es totalmente independiente tanto del impuesto decotización a la seguridad social como del importe de su pensión unavez esté jubilado.La �gura 5.8 muestra la hoja de cálculo EC52.xls, en la que hemos

resuelto el problema anterior. Para ello, hemos de dar valores atres parámetros: Tasa de descuento, tipo de interés real y tipo delas cotizaciones a la seguridad social. El tipo impositivo para laseguridad social es del 36%, que es aproximadamente el que existeen la actualidad en España.Por otra parte, hemos de decidir de que forma recibe el individuo

su pensión. Una vez se jubile el individuo, éste tiene acceso al fondode pensiones. Podemos realizar dos supuestos. Que el individuo


cobra integranebte la cantidad del fondo de pensiones justo en elmomento que se jubila, o bien que dicho fondo de pensiones se repartede alguna forma a lo largo de la vida restante del individuo.En nuestro caso vamos a realizar la segunda opción. Así,

observamos que cuando se jubila el individuo, con los datosutilizados, el fondo de pensiones tiene un total de 359,37 unidadesde consumo. Podemos suponer que este fondo se distribuye entre losaños que le quedan de vida al individuo, pero que periodo a periodo,el fondo de pensiones sigue generando una rentabilidad. Así, enel ejemplo hemos supuesto que la pensión que dobra el individuoperiodo a periodo es de 23 unidades, excepto en el último año desu vida, en el cual la pensión es exactamente igual al restante delfondo de pensiones para garantizar que este fondo es cero cuandoel individuo deja de existir. Así, la celda "H54" es simplemente lacelda "J53".Las �guras 5.9-11 muestran la senda temporal de las variables

relevantes. En primer lugar, observamos que la senda de consumosigue teniendo pendiente positiva. Esto es así, porque como hemosvisto anteriormente, la senda óptima de consumo del individuo no seve afectada ni por las cotizaciones a la seguridad social y por la formaen la que se reciben las pensiones. Esto signi�ca que un sistemade seguridad social de capitalización no tiene ningún efecto sobrelas decisiones del individuo respecto al consumo periodo a periodo.Esto es debido a que las cotizaciones a la seguridad social implican laexistencia de un ahorro forzoso, que es perfectamente sustitutivo delahorro voluntario. Por tanto, cambios en el sistema de seguridadsocial únicamente provocan cambios en el ahorro voluntario delindividuo, sin que afecten a su nivel de consumo.El fondo de pensiones muestra las aportaciones que periodo a

periodo realiza el individuo al mismo durante su etapa labora,junto con la rentabilidad que va generando. Dicho fondo vaincrementándose hasta el momento en el que se produce la jubilación.A partir de dicho momento, y dado el supuesto que hemos realizadode distribución de este fondo en los distintos periodos de vidarestantes para el individuo, el fondo comienza a disminuir, hastaser nulo en el momento en el que el individuo deja de existir.La senda óptima de ahorro es ahora diferente como consecuencia

del régimen de seguridad social. Como podemos comprobar el ahorroahora es negativo, y de cuantía muy elevada, la mayor parte del


Figura 5.8. El problema del consumidor con un régimen de seguridad socialde capitalización


Consumo

0.005.00

10.0015.0020.0025.0030.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.9. Senda óptima de consumo con � ss = 0; 36

periodo laboral del individuo. Esto es debido a que el individuo estásustituyendo ahorro voluntario por el ahorro obligatorio derivadode las cotizaciones a la seguridad social. Dada la senda óptimade consumo que quiere seguir el individuo, las cotizaciones a laseguridad social le suponen un volumen de ahorro muy grande, que lova a compensar a través del endeudamiento. Tan sólo en los últimosaños de la vida laboral este individuo genera un ahorro positivo.Por otra parte, el volumen de ahorro durante su jubilación es

positivo, ya que el igual que el salario, la pensión también le vienedada al individuo y la distribuye en el tiempo de acuerdo a suspreferencia. En este caso, una vez que el individuo está jubilado ycomienza a cobrar su pensión, va a ahorrar parte de esta inicialmente,con el objeto de mantener la senda creciente en su nivel de consumo.En resumen, en este sistema de seguridad social vemos que el

ahorro obligatorio del sistema es sustitutivo perfecto del ahorroprivado, indicando que dado un determinado ahorro obligatorio elindividuo va a ajustar su ahorro privado tal que la senda del consumosea la que maximiza su nivel de bienestar.


Fondo de pensiones

0.0050.00

100.00150.00200.00250.00300.00350.00400.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.10. Fondo de pensiones con � ss = 0; 36

Ahorro

60.00

40.00

20.00

0.00

20.00

40.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.11. Senda del ahorro con � ss = 0; 36


5.3.1 Cambio en las cotizaciones a la seguridad social

Supongamos ahora que el gobierno reduce las cotizaciones a laseguridad social. Por ejemplo, vamos a suponer que las cotizacionesdisminuyen hasta el 20%. Qué implicaciones tiene este cambio sobrelas deciciones del individuo. Los resultados aparecen re�ejados enlas �guras 5.12-14. En este caso la pensión del individuo sería de 12unidades de consumo en cada periodo, excepto el último periodo enel cual obtendría 18,96 unidades de consumo.Tal y como podemos comprobar, la senda óptima de consumo del

individuo sigue siendo la misma, dado que no se ve afectada por esteimpuesto en términos de las cotizaciones a la seguridad social. Noobstante, ahora el nivel de consumo del individuo es superior en cadamomento del tiempo, dado que el ahorro obligatorio es menor y elindividuo no se ve obligado a endeudarse en grandes cantidades parapoder maximizar su nivel de bienestar.El comportamiento del fondo de pensiones es similar al obtenido

anteriormente, dado que se trata de un impuesto proporcional. Laúnica diferencia es que ahora las aportaciones periodo a periodoal fondo de pensiones son menores, como consecuencia de ladisminución en el tipo de cotización a la seguridad social. Esto haceque la cantidad del fondo cuando el individuo se jubila sea menorque la obtenida anteriormente.Por último, la senda del ahorro es diferente a la obtenida

anteriormente. Así, ahora el endeudamiento del individuo es muyescaso, prácticamente nulo, durante su vida laboral. Esto es debidoa que ahora el ahorro obligario es mucho menor, por lo que elindividuo lo sustituye por ahorro voluntario para alcanzar el nivelóptimo de consumo en cada periodo. El individuo ahora ahorrahasta el momento en que se jubila, a partir del cual el ahorro sevuelve negativo.


Consumo

0.005.00

10.0015.0020.0025.0030.0035.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.12. Senda óptima de consumo con � ss = 0; 20

Fondo de pensiones

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.13. Fondo de pensiones con � ss = 0; 20


Ahorro

50.00

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 5.14. Senda del ahorro con � ss = 0; 20

6El modelo básico de equilibrio general

6.1 Introducción

En este tema vamos a calcular numéricamente el modelo básico deequilibrio general dinámico. Para resolver el comportamiento delconsumidor hemos utilizado la herramienta "Solver" de la hoja decálculo Excel, que nos permite resolver un problema de optimizacióncon una única variable. Sin embargo, este no va a ser el caso ahora,ya que en el problema de optimización vamos a tener un sistemade ecuaciones con más de una variable. No obstante, vamos asimpli�car el modelo básico de equilibrio general tal que podamosseguir utilizando la herramienta "Solver" de Excel. Para ello, vamosa construir en primer lugar una versión en la cual la función deutilidad únicamente depende del consumo eliminando, por tanto, ladecisión del individuo en relación al empleo. En este caso tenemosun modelo similar al del consumidor salvo por el hecho de que ahorala renta se determina de forma endógena. Este ejercicio lo vamos autilizar para la ilustrar la dinámica del stock de capital en su procesode ajuste hacia el estado estacionario.En segundo lugar, vamos a resolver el modelo básico con factor

de trabajo constante utilizando MatLab. Se trata en este casode repetir el ejercicio anterior para comparar ambos programas y

108 6. El modelo básico de equilibrio general

las soluciones que obtendríamos. Posteriormente vamos a utilizarMatLab para calcular el estado estacionario de la economía a travésde la determinación de dos variables: el nivel de empleo y el nivel decapital.

6.2 Computación del modelo simpli�cado en Excel

En esta sección vamos a resolver el modelo básico sin empleoutilizando una hoja de excel, suponiendo que el tiempo es �nito. Eneste caso suponemos que la función de utilidad no depende el ocio,es decir, únicamente tenemos como factor productivo al capital. Eneste caso, podemos utilizar de nuevo la herramienta "Solver" paracomputar númericamente este modelo considerando que el tiempoes �nito. Esto signi�ca que hemos de determinar cual es el stock decapital inicial y el stock de capital �nal. El stock de capital �nal lovamos a determinar en términos de su valor de estado estacionario.La dinámica de la economía va a depender de cómo sea el stock decapital inicial en relación al �nal.

6.2.1 El modelo

Vamos en primer lugar a resolver el modelo de equilibrio generalpero introduciendo un supuesto simpli�cador: la función de utilidadde los individuos únicamente depende del consumo. De esta formaeliminamos la decisión respecto a la cantidad de horas que van adedicar a trabajar los individuos. Esto supone que la dotación dehoras dedicadas a trabajar es una constante, tal que Lt = 1.Suponemos que el consumidor representativo resuelve el siguiente

problema de maximización:

maxTXt=0

�tU(Ct) (6.1)

donde � 2 (0; 1): Suponemos que la función de utilidad es logarítmicapor lo que:

U(Ct) = lnCt (6.2)

La ecuación de acumulación de capital es:

6.2 Computación del modelo simpli�cado en Excel 109

Kt+1 = (1� �)Kt + It (6.3)

Suponemos que la función de producción de la economía es:

Yt = AK�t L

1��t (6.4)

donde A es el parámetro de productividad agregada (ProductividadTotal de los Factores, PTF), que suponemos constante y exógeno.Dado K0 y dado fRt;WtgTt=0, el consumidor representativo resuelve:

max1Xt=0

�t lnCt (6.5)

sujeto a:

Ct + It = RtKt +WtLt (6.6)

Como L = 1, la restricción presupuestaria la podemos escribircomo:

Ct +Kt+1 �Kt = (Rt � �)Kt +Wt (6.7)

Equilibrio competitivio: Un equilibrio para nuestra economía esuna secuencia fCt; Lt;Kt; Rt;Wtg1t=0, tal que tanto los consumidorescomo las empresas maximizan su función objetivo respectiva y secumple la restricción de factibilidad de la economía:Dados fRt;Wtg1t=0, la empresa representativa resuelve:

maxAK�t L

1��t �RtKt �WtLt (6.8)

La condición de factibilidad de la economía sería:

Ct +Kt+1 � (1� �)Kt = Yt = AK�t L

1��t = RtKt +WtLt (6.9)

Problema de maximización del consumidor vendría dado por:

L = maxfCt;Ktg1t=0

1Xt=0

�t (lnCt � �t(Ct +Kt+1 � (Rt + 1� �)Kt �Wt))

Las condiciones de primer orden vienen dadas por:


@L@C

=1

Ct� �t = 0 (6.10)

@L@K

= �t�t(Rt + 1� �)� �t�1�t�1 = 0 (6.11)

@L@�

= Ct +Kt+1 �Kt � (Rt � �)Kt �Wt = 0 (6.12)

Por otra parte, del problema de maximización de las empresasobtenemos:

Rt = �AK��1t L1��t = �AK��1

t (6.13)

Wt = (1� �)AK�t L

��t = (1� �)AK�

t (6.14)

Operando con las condiciones de primer orden del consumidorobtenemos:

�t1

Ct(Rt � 1 + �)� �t�1

1

Ct�1= 0 (6.15)

�1

Ct(Rt + 1� �)�

1

Ct�1= 0 (6.16)

Sustituyendo el valor obtenido del problema de maximización dela empresa para R y W , en la expresión anterior y en la condiciónde transversalidad obtenemos:

�1

Ct(�AK��1

t + 1� �)� 1

Ct�1= 0 (6.17)

Ct +Kt+1 �Kt � (�AK��1t � �)Kt � (1� �)AK�

t = 0 (6.18)

Por tanto obtendríamos un sistena de dos ecuaciones en diferencias(una para el consumo y otra para el capital) tal qu:

�1

Ct(�AK��1

t + 1� �)� 1

Ct�1= 0 (6.19)

Ct +Kt+1 � (1� �)Kt �AK�t = 0 (6.20)


Por tanto, el modelo quedaría reducido a un sistema de dosecuaciones en diferencias del tipo:

�(Ct; Ct�1) = 0 (6.21)

�(Kt;Kt+1) = 0 (6.22)

Por tanto, para resolver el modelo podemos buscar los cerospara las dos ecuaciones anteriores. Otra posibilidad consiste entransformar las dos ecuaciones en diferencias anteriores de primerorden, en una nueva ecuación en diferencias de segundo orden. Paraello sustituimos el C de la ecuación diferencial del capital en laecuación diferencial del consumo, obteniendo:

�(�Kt + (1� �)Kt�1 +AK�t�1)

��(�AK��1t + 1� �)�

�(�Kt+1 + (1� �)Kt +AK�t )�� = 0 (6.23)

Ahora tenemos una ecuación en diferencias de segundo orden deltipo:

�(Kt�1;Kt;Kt+1) = 0 (6.24)

Para estudiar el comportamiento de la economía según el modeloanterior, vamos a partir de un stock de capital inicial, quedenominamos K0. De este modo podemos estudiar la dinámica delmodelo hacia el estado estacionario. Calcular el estado estacionarioes fácil. Para ello eliminamos los subíndices de tiempo de nuestraecuación y nos queda:

�(�AK��1

+ 1� �)� 1 = 0 (6.25)


K =

�1

�A(1

�� 1 + �

� 1��1

(6.26)

En el caso en que pre�ramos trabajar con el sistema de dosecuaciones sería como sigue. Eliminando los subíndices de tiempode la senda óptima de consumo obtenemos que:


1 = �(R+ 1� �) (6.27)

Despejando el tipo de interés real de equilibrio resulta:

R =1

�� 1 + � = 1� � + ��

�(6.28)

Por otra parte de la condición de primer orden de la empresarespecto al stock de capital tenemos que:

�AK��1

= R =1� � + ��

�(6.29)

Despejando el stock de capital de estado estacionario resulta:

K =

�1� � + ��

�A�

� 1��1

(6.30)

Por otra parte, una vez obtenido el valor del stock de capital enestado estacionario, podemos obtener el valor de estado estacionariodel resto de variables del modelo. En este caso serían:

Y = AK�= A

�1� � + ��

�A�

� ��1

(6.31)

I = �K = �

�1� � + ��

�A�

� 1��1

(6.32)

C = Y � I = AK�= A

�1� � + ��

�A�

� ��1

(6.33)

Una vez resuelto el modelo de forma analítica, a continuaciónvamos a resolverlo computancionalmente en Excel. La �gura 6.1muestra la hoja de Excel donde hemos resuelto este problema. Comopodemos observar necesitamos en primer lugar de�nir el valor delos parámetros del modelo. Estos son el factor de descuento, latasa de depreciación del capital y el stock de capital inicial. Eneste caso concreto hemos supuesto que el factor de descuento, �,es igual a 0,97, que el parámetro tecnológico � es 0,35, que laratio de depreciación física del capital es de 0,06 y que la constantetecnológica A es igual a 10. Con estos datos podemos calcular el valordel stock de capital en estado estacionario. Para ello sustituimos losvalores anterioes en la expresión (6.30) obteniendo como resultado


Figura 6.1. El modelo de equilibrio general sin ocio

que el stock de capital de estado estacionario es 274,81, que esprecisamente el valor que aparece en la celda "B9".Las variables del modelo vienen de�nidas en las columnas F,G,H,I,

y J. La columna F corresponde al consumo, que es la variable quehemos decalcular. La columna G es el ahorro, que simplemente es ladiferencia entre lo que se produce y lo que se consume. la columnaH es la producción, que depende del stock de capital. La columna Ies el stock de capital. En la celda "I3", aparece el stock de capitalinicial. En nuestro ejemplo hemos supuesto que es el 80% del stockde capital de estado estacionario. Por su parte, en la celda "I4"aparece la expresión:

=(1-Delta)*I3+G3


donde el stock de capital en cada periodo de tiempo es el stockde capital del periodo anterior, descontado la depreciación, más elnuevo capital que se incorpora, que viene determinado por el ahorro.Por último, la columna I presenta el valor de la utilidad en términosdescontados.Las �guras 6.2-6.5 muestran los resultados obtenidos en términos

de la dinámica que van a seguir las distintas variables hasta alcanzarel estado estacionario. Tal y como podemos observar, el nivel deconsumo va aumentando progresivamente, hasta alcanzar su valorde estado estacionario. Por el contrario el ahorro tiene una sendadecreciente. Así, inicialmente el ahorro es elevado, dado que estamosmuy alejados del estado estacionario. A medida que aumenta el stockde capital, el ahorro se va haciendo menor, hasta alcanzar su valorde estado estacionario que viene dado por el valor �K. Dado que� = 0; 06 y que K = 274; 81, el valor de estado estacionario parael ahorro sería 16,49. Sin embargo en la �gura correspondiente noobservamos dicho valor, debido a que la herramienta "Solver" no estáencontrando la verdadera solución al modelo sino una aproximacióna la misma. De hecho podemos observar que el ahorro aumentaligeramente al �nal del periodo, cuando en la realidad tiene unasenda decreciente continua hacia su valor de estado estacionario.Por su parte, la �gura 6.4 muestra la senda del stock de capital.

Tal y como podemos observar, el stock de capital va aumentandogradualmente en el tiemp hasta alcanzar su valor de estadoestacionario. Sin embargo, dicho ajuste no se produce de formainstantánea, debido a que los consumidores están maximizando sunivel de felicidad a través de la elección de una senda óptima deconsumo. Es decir, no sería óptimo ahorrar mucho en el primerperiodo tal que el stock de capital se fuese directamente a su valorde estado estacionario, aunque esto implicase un mayor nivel deconsumo desde dicho momento.Finalmente, la �gura 6.5 muestra la senda del nivel de producción

de la economía que es similar a la del stock de capital. Así, conformeaumenta el stock de capital también aumenta el nivel de producciónhasta alcanzar su valor de estado estacionario.Utilizando el ejercicio anterior podemos realizar diferentes análisis.

Así, podemos alterar los valores de los parámetros para estudiarsu in�uencia sobre la velocidad de ajuste de la economía hacia elestado estacionario. Por otra parte, también podemos cambiar la


Consumo

44.0046.0048.0050.0052.0054.0056.00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Tiempo

Figura 6.2. Senda del consumo

Ahorro

15.50

16.00

16.50

17.00

17.50

18.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 6.3. Senda del ahorro


Stock de capital

200.00210.00220.00230.00240.00250.00260.00270.00280.00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Tiempo

Figura 6.4. Senda del stock de capital

Producción

62.00

64.00

66.00

68.00

70.00

72.00

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Tiempo

Figura 6.5. Senda de la producción

6.3 Computación del modelo en MatLab 117

condición inicial para el stock de capital y estudiar como se comportala economía en función de la diferencia entre el stock de capital yinicial y su valor de estado estacionario.

6.3 Computación del modelo en MatLab

A continuación vamos a resolver el modelo básico de equilibriogeneral en MatLab. Vamos a resolver exactamente la versiónanterior con el objeto de realizar comparaciones. De hecho vamos acomprobar que la solución obtenida es ligeramente diferente, debidoa que Excel no ha sido capaz de encontrar la verdadera solución, sinouna aproximación a la misma.Antes de proceder a describir los programas que vamos a utilizar

en MatLab, vamos a continuación a describir los fundamentos básicosdel algoritmo de Newton-Raphson.

6.3.1 El algoritmo de Newton-Raphson

Vamos a aplicar ahora el método de Newton-Raphson usando paraello la función de MatLab "fsolve". Para ello construimos un vector(nuestra semilla) de dimensión T + 1, que contenga los valores:

K0 =�K0;K;K; :::;K

�(6.34)

Partiendo de la semilla anterior resolvemos el siguiente sistema:

�(K0;K1;K2) = 0

�(K1;K2;K3) = 0

�(K2;K3;K4) = 0

:

�(KT�1;KT ;KT+1) = 0 (6.35)

Tanto K0 como KT+1 son conocidos. De hecho el último valordel stock de capital suponemos que es igual al estado estacionario.(KT+1 = K). Es decir, seleccionamos un periodo temporal tal queestemos seguros que la economía alcanza su estado estacionario.Para encontrar los ceros de un sistema de ecuaciones no lineales

existe una gran variedad de métodos. Uno de los más usados en


la práctica es el algoritmo de Newton-Raphson. El objetivo que sepersigue es encontrar una solución, x, tal que F (x) sea igual a cero.Para ello partimos de desarrollar la serie de Taylor de la función paraun determinado valor inicial xn:

F (x) = F (xn)+F0(xn)(x�xn)+

F 00(xn)

2!(x�xn)2+

F 000(xn)

3!(x�xn)3+:::

El procedimiento es iterativo y consiste en ir calculando la anteriorexpresión para las distintas aproximaciones resultadntes. Estaexpresión la evaluaríamos para diferentes valores tal que:

F (xn+1) = F (xn) + F0(xn)(xn+1 � xn) +

F 00(xn)

2!(xn+1 � xn)2 + :::

La solución vendría dada por el valor que hace que la expansiónde Taylor sea igual a cero:

F (xn) + F0(xn)(xn+1 � xn) +

F 00(xn+1)

2!(xn+1 � xn)2 + ::: = 0

Si truncamos la expansión de Taylor a partir de términos de grado2, obtenemos que:

F (xn) + F0(xn)(xn+1 � xn) ' 0

La aproximación anterior es más exacta cuanto más cerca estemosde la solución. Despejando la solución obtenida resulta:

xn+1 = xn �F (xn)

F 0(xn)

que es a lo que se denomina la fórmula de Newton-Rapshon. Elalgoritmo sería el siguiente. Comenzamos por un valor incicial dex0. La solución que obtendríamos de aplicar el algoritmo de Newton-Rapshon sería.

x1 = x0 �F (x0)

F 0(x0)

Si F (x1) es diferente de cero entonces procedemos a una segundaiteración calculando:


x2 = x1 �F (x1)

F 0(x1)

De nuevo, si F (x2) es diferente de cero entonces procedemos a unatercera iteración calculando:

x3 = x2 �F (x2)

F 0(x2)

y así, hasta que encontremos una solución tal que el valor de lafunción sea cero.Otro elemento que hemos de �jar es lo que se denomina el criterio

de tolerancia. Este criterio determina en cuanto se puede desviar lasolución del cero absoluto. En cada iteración podemos calcular unaaproximación al error relativo absoluto, que lo de�nimos como:

j"aj =�xn+1 � xn

xn

�� 100

Si j"aj es mayor que un valor �jado a priori, " (la tolerancia),entonces el algoritmo procede a realizar una nueva iteración. Enel caso en el que el error relativo absoluto sea inferior al criterio detolerancia, el algoritmo �naliza, dando la última iteración la soluciónal mismo.En el caso en que la ecuación que queramos resolver sea lineal,

el algoritmo de Newton-Raphson encuentra la solución de formadirecta, ya que el error que comete es cero. Supongamos quequeremos encontrar el cero para la siguiente función lineal:

F (x) = x� 2

Oviamente la solución a la anterior función es x = 2. Imaginemosque no lo sabemos y creemos que su valor debe ser 5, (x0 = 5).Si aplicamos el algoritmo de Newton-Raphson entonces tendríamosque:

x1 = 5� 3 = 2

Evaluando la función para dicha solución resulta:

F (x0) = x0 � 2 = 2� 2 = 0


Vamos a ver un sencillo ejemplo de como el algoritmo de Newton-Raphson puede ser usado para resolver la raiz cuadrada de un númeroy. Dado que x =

py, también podemos escribirlo como x2 = y. Esto

signi�ca que podemos resolver y encontrar los ceros para la siguientefunción:

F (x) = x2 � y

Aplicando el algoritmo de Newton-Raphson otenemos que:

xi+1 = xi �x2i � y2xi

=2x2i � x2i + y

2xi=1

2

�xi +

y

xi

�En términos generales, podemos aplicar el anterior algoritmo a

un sistema de ecuaciones no lineales. En este caso tendríamos necuaciones con n incógnitas. El problema consistiría en encontrar unvector x̂ = (x̂1; :::; x̂n) de Rn tal que su imagen por F : Rn �! Rn

sea F (x̂) = 0: En este caso la aproximación de la función a través dela primera expensión de Taylor a la función F vendría dada por:

F (x) � F (x) + J(x)(x� x) (6.36)

donde J(x) es la matriz jacobiana de F evaluada en x:

J(x) =

2664F11(x) F12(x) ::: F1n(x)F21(x) F22(x) ::: F2n(x)::: ::: ::: :::

Fn1(x) Fn1(x) ::: Fnn(x)

3775 (6.37)

donde Fij(x) = @Fi(x)@xj

: Haciando uso del Teorema de Taylor,conforme x se acerca al valor x, los términos de orden mayor tiendena cero. Dado que estamos buscanco un cero de la ecuación F (x), laexpresión (6.36) podemos evaluarla en x̂ y escribirla como:

x̂ � x� F (x)

J(x)(6.38)

El algoritmo de Newton-Raphson funciona de la siguiente forma:

1. A partir de un valor inicial, x0, evaluamos la función F (x0) yJ�1(x0), para calcular:


x1 = x0 �F (x0)

J(x0)(6.39)

2. Dado el nivel de tolerancia �jado, ", calculamos la distanciaentre x0 y x1: Si la distancia es inferior a ", entonces nosquedamos con x0 como la solución. En caso contrario, volvemosa repetir el paso 1 pero con el valor x1, evaluando F (x1) yJ(x1), para calcular:

x2 = x1 �F (x0)

J(x0)(6.40)

3. Retir el paso 2. Si la distancia es inferior al nivel de toleranciarepetir el paso 1, con el valor x2, evaluando F (x2) y J(x2),para calcular:

x3 = x2 �F (x0)

J(x0)(6.41)

El algoritmo de Newton-Raphson tiene algunos problemas:

1. Si la semilla no es buena puede que no exista convergencia o queobtengamos otra solución, en el caso en que existan solucionesmúltiples.

2. Necesidad de disponer de expresiones analíticas de todas lasderivadas parciales de F .

El modelo en MatLabA continuación vamos a resolver la misma versión del modelo

resulta en Excel pero utilizando MatLab. De nuevo tenemos dosopciones: o bien trabajar con un sistema de dos ecuaciones endiferencias de primer grado o bien con una única ecuación endiferencias de segundo grado. Vamos a describir los programas deMATLAB que vamos a utilizar. Estos programas se denominanmodel1.m, model1cpo.m, model2.m y model2cpo.m. Elprograma model1.m resuelve el modelo utilizando el sistema dedos ecuaciones en diferencias de primer grado, una para el consumoy otra para el capital. El programa model2.m resuelve el modelo


utilizando una única ecuación en diferencias de segundo grado parael stock de capital. La estructura de estos programas es la siguiente.Programa model1.m% Modelo basico de equilibrio general sin empleo% Función de utilidad logarítmica: U=ln(C)clear all% Definición de parámetrosA = 10.0;alpha = 0.35;delta = 0.06;beta = 0.97;% TiempoT = 100;% Semilla: valor inicial K0 y valor final KSSKSS = ((1-beta+delta*beta)/(A*alpha*beta))^(1/(alpha-1));K0 = 0.8*KSS;param =[A alpha delta beta K0 KSS T];save param param;x0 = [K0 KSS*ones(size(1:T-1)) 0.25*K0*ones(size(1:T))]�;sol = fsolve(�model1cpo�,x0);% Soluciónfor i=1:T;K(i) = sol(i);C(i) = sol(i+T);endK = [K0;K�];Y = A*K.^alpha;I = K(2:T+1)-(1-delta)*K(1:T);% Gráficossubplot(2,2,1)plot(C)title(�Consumo�)subplot(2,2,2)plot(I)title(�Ahorro�)subplot(2,2,3)plot(K(1:T))title(�Capital�)subplot(2,2,4)


plot(Y(1:T))title(�Producción�)

Programa model1cpo.m% Modelo basico de equilibrio general sin empleo% Condiciones de primer ordenfunction f=model1cpo(z,param)% Carga de parámetrosload paramA = param(1);alpha = param(2);delta = param(3);beta = param(4);K0 = param(5);KSS = param(6);T = param(7);% Asignación de variablesfor i=1:TK(i) = z(i);C(i) = z(i+T);endC(T+1) = C(T);% Ecuación a resolverf(1) = C(2)-beta*(alpha*A*K(1)^(alpha-1)+(1-delta))*C(1);f(2) = C(1)+K(1)-(1-delta)*K0-A*K0^alpha;for i=2:Tf(2*i-1) = C(i+1)-beta*(alpha*A*K(i)^(alpha-1)+(1-delta))*C(i);f(2*i) = C(i)+K(i)-(1-delta)*K(i-1)-A*K(i-1)^alpha;endf=f�;

Programa model2.m% Modelo basico de equilibrio general sin empleo% Función de utilidad logarítmica: U=ln(C)clear all% Definición de parámetrosA = 10.0;alpha = 0.35;delta = 0.06;beta = 0.97;


% TiempoT = 100;% Semilla. Valor incial K0 y valor final KSSKSS = ((1-beta+delta*beta)/(A*alpha*beta))^(1/(alpha-1));K0 = 0.8*KSS;param =[A alpha delta beta K0 KSS T];save param param;x0 = [K0 KSS*ones(size(1:T-1))]�;sol = fsolve(�model2cpo�,x0);% SoluciónK = [K0;sol;KSS];Y = A*K.^alpha;I = K(2:T+1)-(1-delta)*K(1:T);C = Y(1:T)-I;% Gráficossubplot(2,2,1)plot(C)title(�Consumo�)subplot(2,2,2)plot(I)title(�Ahorro�)subplot(2,2,3)plot(K(1:T))title(�Capital�)subplot(2,2,4)plot(Y(1:T))title(�Producción�)

Programa model2cpo.m% Modelo basico de equilibrio general sin empleo% Condiciones de primer ordenfunction f=model2cpo(z,param)% Carga de parámetrosload paramA = param(1);alpha = param(2);delta = param(3);beta = param(4);K0 = param(5);KSS = param(6);

6.4 Computación del modelo de equilibrio general dinámico básico en MatLab 125

T = param(7);% Asignación de variablesfor i=1:TK(i) = z(i);endK(T+1) = KSS;% Ecuación a resolverf(1)=beta*(alpha*A*K(1)^(alpha-1)+(1-delta))*

((1-delta)*K0+A*K0âlpha-K(1))-(A*K(1)âlpha+(1-delta)*K(1)-K(2));for i=2:Tf(i)=beta*(alpha*A*K(i)^(alpha-1)+(1-delta))*

((1-delta)*K(i-1)+A*K(i-1)âlpha-K(i))-(A*K(i)âlpha+(1-delta)*K(i)-K(i+1));endf=f�;

La �gura 6.6 muestra la dinámica de las cuatro principalesvariables del modelo. Como podemos observar, el stock decapital aumenta hasta alcanzar su valor de estado estacionario,aproximadamente a partir del periodo 50, aunque el modelo lohemos resuelto para 100 periodos. Una senda similar muestranla producción, al tiempo que también aumenta el consumo hastaalcanzar su valor de estado estacionario. Por su parte elahorro disminuye continuamente hasta alcanzar su valor de estadoestacionario. Como podemos comprobar, en términos generales, lasolución es similar a la obtenida resolviendo este mismo modelo enExcel. No obstante, apreciamos algunas importantes diferencias,principalmente en relación a las sendas del ahorro y del consumo.

6.4 Computación del modelo de equilibrio generaldinámico básico en MatLab

A continuación vamos a resolver el modelo de equilibrio generaldinámico básico, pero introduciendo el ocio y, por tanto, la decisiónen términos de la oferta de trabajo. En primer lugar vamos aconsiderar la existencia de un entorno competitivo o descentralizado,donde cada agente toma sus propias decisiones para maximizar susrespectivas funciones objetivo. El problema descentralizado vendríadado por la maximización del siguiente problema:


0 50 10048

50

52

54

56Consumo

0 50 10016

16.5

17

17.5

18Ahorro

0 50 100200

220

240

260

280Capital

0 50 10066

68

70

72Producción

Figura 6.6. Dinámica del modelo hacia el estado estacionario

max(Ct;It;Ot)

L =1Xt=0

�t [ logCt + (1� ) log(1� Lt)] ; (6.42)

sujeto a la restricción presupuestaria:

Ct + It =WtLt +RtKt; (6.43)

donde la inversión viene de�nida por:

It = Kt+1 � (1� �)Kt

En este caso los consumidores eligen, dado el precio de los factoresproductivos, cuanto van a consumir (y al mismo tiempo cuanto vana ahorrar que va a determinar el proceso de acumulación del capital)así como cuanto tiempo van a dedicar a trabajar. Es decir, existeun vector de precios que van a constituir la información fundamentalque van a utilizar los individuos para tomar sus decisiones.Para resolver dicho problema construimos el Lagrangiano:


max(Ct;Kt;Ot)

L =1Xt=0

�t�

[ logCt + (1� ) log(1� Lt)]��t [Ct +Kt+1 �WtLt � (Rt + 1� �)Kt]

�(6.44)

Condiciones de primer orden:

@L@Ct

= 1

Ct� �t = 0 (6.45)

@L@Lt

= � 1� 1� Lt

+ �tWt = 0 (6.46)

@L@Kt

= �t�t(Rt + 1� �)� �t�1�t�1 = 0 (6.47)

@L@�t

= Ct +Kt+1 �Kt � (Rt � �)Kt �WtLt = 0 (6.48)

Sustituyendo la condición de primer orden (6.45) en la condiciónde primer orden (6.46), obtenemos la condición que iguala el ratio desustitución marginal entre consumo y ocio al coste de oportunidadde una unidad adicional de ocio:

1�

Ct1� Lt

=Wt (6.49)

Sustituyendo la condición de primer orden (6.45) en la condiciónde primer orden (6.47), obtenemos la condición que iguala el ratiomargional del consumo con el de la inversión:

CtCt�1

= � [Rt + 1� �] (6.50)

Por otra parte, del problema de maximización de la empresasabemos que R y W son iguales a sus productos marginales:

Rt = �AtK��1t L1��t (6.51)

Wt = (1� �)AtK�t L

��t (6.52)

Sustituyendo obtenemos:


1�

Ct1� Lt

= (1� �)AtK�t L

��t (6.53)

CtCt�1

= ��AtK

��1t L1��t + 1� �

�(6.54)

Por otra parte, sustituyendo el precio relativo de los factoresproductivos en la restricción presupuestaria del individuo obtenemos:

@L@�t

= Ct +Kt+1 �Kt � (Rt � �)Kt �WtLt = 0 (6.55)

Ct +Kt+1 �Kt � (�AtK��1t L1��t � �)Kt � (1� �)AtK�

t L��t Lt = 0(6.56)

Ct+Kt+1�Kt��AtK�t L

1��t +�Kt�AtK�

t L1��t +�AtK

�t L

1��t = 0(6.57)

Ct +Kt+1 � (1� �)Kt �AtK�t L

1��t = 0 (6.58)

El equilibrio competitivo consiste en encontrar secuencias delas variables fCt; It;Kt; Lt; Rt;Wt; Ytg1t=0 tal que los consumidoresmaximicen su nivel de felicidad, las empresas maximicen bene�ciosy es cumpla la restricción de factibilidad de la economía. El modeloestá compuesto por las siguientes siete ecuaciones:

(1� )

Ct1� Lt

=Wt (6.59)

Ct+1Ct

= � [(Rt+1 � �) + 1] (6.60)

Rt =�AtK

�t L

1��t

Kt= �

YtKt

(6.61)

Wt =(1� �)AtK�

t L1��t

Lt= (1� �)Yt

Lt(6.62)

Yt = AtK�t L

1��t (6.63)


Kt+1 = (1� �)Kt + It (6.64)

Ct + It = Yt (6.65)

6.4.1 Cálculo del estado estacionario

A continuación vamos a presentar un sencillo programa de MatLabpara calcular el valor de estado estacionario de las variables delmodelo. El programa se llama EE1.m, que a su vez hace unallamada a EE.m. Dados unos valores para los parámetros, elprograma calcula el valor de estado estacionario de las variables delmodelo, donde la dotación total de tiempo se ha normalizado a launidad. Para ello calculamos en primer lugar los valores de estadoestacionario par el empleo y para el stock de capital, cuyas semillasson 0,3 y 5, respectivamente. Una vez obtenidos los valores de estadoestacionario del stock de capital y del empleo podemos calcular elvalor de estado estacionario del resto de variables.

Tabla 6.1: Valor de los parámetrosVariable De�nición Valor� Elasticidad producción-capital 0,35� Factor de descuento 0,96 Ponderación consumo 0,40� Tasa de depreciación 0,06A Productividad Total de los Factores 1,00

Como podemos comprobar en la tabla 6.2, dado el valorseleccionado para los parámetros del modelo, el equilibrio de laeconomía se alcanzaría para un nivel de empleo equivalente al 35%de las horas disponibles, muy similar al que tiene una economía comola española. Por otra parte, el tipo de interés real (la rentabilidaddel capital) sería de un 10%. Respecto a las ratios fundamentalesque describen la economía, tenemos que la ratio capital/producciónes de 3,44, es decir, existen 3,4 unidades de capital por cada unidadde producción. La ratio de consumo/producción es del 80% mientrasque la tasa de ahorro es del 20%.


Tabla 6.2: Valor de las variables en estado estacionarioVariable De�nición ValorY Producción 0,6873C Consumo 0,5453I Inversión 0,1420K Capital 2,3661L Trabajo 0,3532W Salario 1,2648R Tipo de interés 0,1017

Programa EE1.m% Calibracion Modelo Equilibrio General% Estado Estacionarioclear all% Parámetros y valores inicialesalpha = 0.35;delta = 0.06;beta = 0.96;gamma = 0.4;L = 0.3;K = 5;A = 1;% Semillax0 = [L;K];param = [delta beta alpha gamma A];save param param% Soluciónsol = fsolve(�EE�, x0);L = sol(1);K = sol(2);R = (1/beta)-1+delta;Y = R*K/alpha;W = ((1-alpha)/alpha)*R*K/L;C = (gamma/(1-gamma))*W*(1-L);I = Y-C;

Programa EE.mfunction f = EE(z,param)% Asignacion de variables


L = z(1);K = z(2);% Asignacion de parametrosload paramdelta = param(1);beta = param(2);alpha = param(3);gamma = param(4);A = param(5);% EcuacionesR = 1/beta-1+delta;Y = R*K/alpha;C = Y-delta*K;W = ((1-alpha)/alpha)*(R*K/L);f(1) = Y-A*K^alpha*L^(1-alpha);f(2) = C-(gamma/(1-gamma))*W*(1-L);f=f�;

Los programas anteriores los podemos usar para estudiar comocambia el estado estacionario de la economía en función de losparámetros del modelo. Otro ejercicio que podemos realizarusando los programas anteriores es, a partir de los datos deContabilidad Nacional de una determinada economía, calcular cuálesson los parámetros de dicha economía dado el modelo que estamosutilizando.

6.4.2 Dinámica del modelo

Finalmente, vamos a estudiar la dinámica del modelo, incluyendo elempleo, cuando partimos de un nivel de stock de capital inferior alcorrespondiente al estado estacionario. Vamos a seguir suponiendoque el stock de capital inicial es un 80% del stock de capital en elestado estacionario. En este caso vamos a poder observar tambiénla dinámica del empleo, así como del salario.Los programas de MatLab se denominan model3.m y

model3cpo.m, y se describen a continuación.Programa model3.m% Modelo basico de equilibrio general sin empleo% Función de utilidad logarítmica: U=ln(C)clear all


% Definición de parámetrosA = 1.00;alpha = 0.35;delta = 0.06;beta = 0.96;gamma = 0.40;% TiempoT = 100;% Cálculo de los valores de estado estacionarioEE1% Semilla: valor inicial K0 y valor final KSSKSS = K;K0 = 0.8*KSS;% Definición de parámetrosA = 1.00;alpha = 0.35;delta = 0.06;beta = 0.96;gamma = 0.40;% TiempoT = 100;param =[A alpha delta beta gamma K0 T];save param param;x0 = [K0 KSS*ones(size(1:T-1)) 0.25*K0*ones(size(1:T)) 0.3*ones(size(1:T))]�;sol = fsolve(�model3cpo�,x0);% Soluciónfor i=1:T;K(i) = sol(i);C(i) = sol(i+T);L(i) = sol(i+2*T);endK = [K0;K�];L = L�;Y = A*K(1:T).^alpha.*L.^(1-alpha);I = K(2:T+1)-(1-delta)*K(1:T);W = (1-alpha)*A*K(1:T).^alpha.*L.^(-alpha);% Gráficossubplot(3,2,1)plot(C)


title(�Consumo�)subplot(3,2,2)plot(I)title(�Ahorro�)subplot(3,2,3)plot(K(1:T))title(�Capital�)subplot(3,2,4)plot(Y)title(�Producción�)subplot(3,2,5)plot(L)title(�Empleo�)subplot(3,2,6)plot(W)title(�Salario�)

Programa model3cpo.m% Modelo basico de equilibrio general% Condiciones de primer ordenfunction f=model3cpo(z,param)% Carga de parámetrosload paramA = param(1);alpha = param(2);delta = param(3);beta = param(4);gamma = param(5);K0 = param(6);T = param(7);% Asignación de variablesfor i=1:TK(i) = z(i);C(i) = z(i+T);L(i) = z(i+2*T);endC(T+1) = C(T);% Ecuación a resolverf(1) = C(2)-beta*(alpha*A*K(1)^(alpha-1)*L(1)^(1-alpha)+(1-delta))*C(1);f(2) = C(1)+K(1)-(1-delta)*K0-A*K0^alpha*L(1)^(1-alpha);


f(3) = (((1-gamma)/gamma)*C(1)/(1-L(1)))-(1-alpha)*A*K(1)âlpha*L(1)^(-alpha);for i=2:Tf(3*i-2) = C(i+1)-beta*(alpha*A*K(i)^(alpha-1)*L(i)^(1-alpha)+(1-delta))*C(i);f(3*i-1) = C(i)+K(i)-(1-delta)*K(i-1)-A*K(i-1)âlpha*L(i)^(1-alpha);f(3*i) = (((1-gamma)/gamma)*C(i)/(1-L(i)))-(1-alpha)*A*K(i)âlpha*L(i)^(-alpha);endf=f�;La �gura 6.7 muestra la dinámica de las variables. Tal y como

podmeos observar, el comportamiento del capital, consumo, ahorroy producción son muy similares a las obtenidas anteriormente. Deforma adicional también podemos observar la dinámica del empleo ydel salario. Así, inicialmente el nivel de empleo es muy elevado,debido fundamentalmente a la existencia de poco capital. Estoes así porque para generar un determinado nivel de producción,que sea óptimo respecto a los deseos de los individuos, hace faltatrabajar muchas horas dada la relativa escasez de capital. Sinembargo, a medida que aumenta el capital en la economía vemosque el nivel de empleo va dismininuyendo, hasta alcanzar su valorde estado estacionario. Finalmente, también podemos calcular lasenda temporal de los salarios, que vemos que aumentan, dada ladisminución que experimenta el nivel de empleo y dado el aumentoen el stock de capital.


0 50 1000.45

0.5

0.55

0.6Consumo

0 50 100

0.16

0.18

0.2Ahorro

0 50 1001.5

2

2.5Capital

0 50 1000.65

0.7

0.75Producción

0 50 1000.34

0.36

0.38Empleo

0 50 1001.1

1.2

1.3Salario

Figura 6.7. Dinámica del modelo de equilibrio general

Parte III

Crecimiento económico

136

7Introducción al crecimientoeconómico

7.1 Introducción

En este tema vamos a resolver numéricamente el modelo decrecimiento económico con ahorro exógeno. Se trata de un modelomuy simple, con una sóla variable endógena, el stock de capitalper cápita, que se determina a través de un proceso de ahorropredeterminado, sin que exista ningún criterio optimizador. Portanto, se trata de un problema que computacionalmente es sencilloy lo podemos resolver usando una hoja de cálculo.En concreto vamos a utilizar la ecuación exacta de acumulación

de capital en tiempo discreto, si bien los resultados serían losmismos que utilizando la ecuación de acumulación de capital entiempo continuo. A través de este ejercicio podemos analizar elcomportamiento dinámico de la economía ante una gran variedadde perturbaciones. En concreto, vamos a estudiar los efectosde un aumento de la tasa de ahorro. En primer lugar, vamosa resolver el modelo en tiempo discreto, para comprobar que laecuación resultante para la dinámica del capital, que será unaecuación en diferencias, di�ere ligeramente respecto a la ecuaciónque hemos utilizado en tiempo continuo. No obstante, en términos

138 7. Introducción al crecimiento económico

computacionales los resultados que obtendríamos serían exactamentelos mismos.

7.2 Modelo con ahorro exógeno en tiempo discreto

En primer lugar, vamos a resolver analíticamente el modelo queposteriormente vamos a calcular numéricamente. Partimos de de�nirla función de producción agregada de la economía que vamos autilizar, siendo:

Yt = AK�t L

1��t (7.1)

Para tener en cuenta el crecimiento de la población, reescribimosla función de producción en términos per cápita (o por trabajador).Para ello lo que hacemos es multiplicar y dividir la función deproducción por el número de trabajadores:

Yt = AK�t L

1��t

LtLt

(7.2)

Operando obtenemos que:

YtLt=AK�

t L1��t

Lt=AK�

t L1tL

��t

Lt= AK�

t L��t = A

K�t

L�t= A

�Kt

Lt

��(7.3)

Vamos a de�nir las variables en términos per cápita con una letraminúscula, tal que el nivel de producción per cápita de la economíaviene dado por

yt =YtLt

(7.4)

Por su parte, el stock de capital per cápita (por trabajador)vendría dado por:

kt =Kt

Lt(7.5)

Sustituyendo estas de�niciones en la expresión anterior, obtenemosla siguiente función de producción en términos per cápita:

yt = Ak�t (7.6)

7.2 Modelo con ahorro exógeno en tiempo discreto 139

A esta función de producción se le denomina función de producciónintensiva, ya que el nivel de producción per cápita únicamente vienedado en función de un único factor productivo, el stock de capitalper cápita.Cuando hablamos de crecimiento económico lo que nos interesa

fundamentalmente no es el nivel de producción per cápita, sino comoeste varía a lo largo del tiempo. Es decir, nos interesa la tasa devariación del nivel de producción, que es a lo que realmente llamamoscrecimiento económico. De la expresión anterior se deduce que la tasade variación del nivel de producción per cápita va a depender de comovaríe el stock de capital per cápita. A su vez el stock de capital percápita depende de como varíe el stock de capital agragado, así comode la variación en la cantidad de trabajo, o equivamentemente, de lapoblación.Consideramos el hecho de que la población no es constante, sino

que aumenta con el tiempo:

Lt = L0(1 + n)t (7.7)

donde n es la tasa de crecimiento de la población. Así, la poblaciónen un determinado momento del tiempo viene dada por:

Ct + It = Yt

Kt+1 = (1� �)Kt + It

Sustituyendo la inversión obtenemos que:

Ct +Kt+1 � (1� �)Kt = Yt

Multiplicando y dividiendo por la población resulta:

Ct +Kt+1 � (1� �)Kt

Lt=YtLt

Transformando la expresión anterior resulta:

CtLt+Kt+1Lt+1LtLt+1

� (1� �)Kt

Lt=YtLt

o equivalentemente:

ct + kt+1(1 + n)� (1� �)kt = yt


Depejando el stock de capital per cápita para t+ 1 resulta:

kt+1 =(1� �)kt + yt � ct

(1 + n)

Sustituyendo la de�nición de consumo:

kt+1 =(1� �)kt + syt

(1 + n)

Si calculamos la diferencia entre el stock de capital en ambosperiodos resulta:

kt+1 �kt

(1 + n)=

syt(1 + n)

� �kt(1 + n)

y operando resulta que:

kt+1 � kt = syt � �kt � nkt+1o equivalentemente:

kt+1 =syt + (1� �)kt

1 + n(7.8)

Esto signi�ca que ahora vamos a poder calcular el stock decapital del siguiente periodo directamente, sin necesidad de calcularpreviamente su tasa de variación. En cualquier caso el resultado quevamos a obtener es exactamente el mismo.Tal y como podemos apreciar, la ecuación (7.8) es ligeramente

diferente a la correspondiente a tiempo continuo, que viene dadapor:

_kt = syt � (� + n)kt (7.9)

Despejando, obtenemos que la condición de equilibrio viene dadapor:

syt = (� + n)kt (7.10)

donde syt es el ahorro o inversión bruta por trabajador y donde(� + n) es la tasa de depreciación efectiva del stock de capital porunidad de capital por trabajador. Es decir, el stock de capital percápita será constante cuando el volumen de ahorro por unidad decapital pér cápita sea igual a las pérdidas de capital per cápita pordepreciación efectiva.

7.3 Resolución en Excel 141

Ejemplo: Si suponemos la función de producción es del tipo Cobb-Douglas, resulta que el estado estacionario vendría dado por:

sAk�t = (� + n)kt (7.11)

Despejando el stock de capital per cápita obtenemos que:

k��1t =

� + n

As(7.12)

siendo el stock de capital per cápita de estado estacionario:

kt =

�� + n

As

� 1��1

(7.13)

ct = (1� s)yt (7.14)

Si lo hacemos en tiempo discreto, bastaría con eliminar lossubíndices de tiempo de la ecuación en diferencias para el capitaltal que:

0 = sAk�t � �k � nk


k��1t =

n+ �

As

que es exactamente igual que en el caso de tiempo continuo.

7.3 Resolución en Excel

A continuación vamos a presentar la hoja de cálculo en laque resolvemos computacionalmente el modelo anterior, que secorresponde con el �chero EC71.xls. Como podemos apreciarnecesitamos de�nir, en primer lugar, el valor de los parámetros,que aparecen en la columna "B". Estos son la productividadtotal de los factores, el parámetro tecnológico, la tasa de ahorro,la tasa de crecimiento de la población y la tasa de depreciaciónfísica del capital. A patir de estos valores podemos calcular elvalor del stock de capital per cápita en estado estacionario. Estevalor aparece en la celda "B10", celda que contiene la expresión(7.13), y que da como resultado 5,83. Para poder realizar diferentes


tipos de análsis en función del valor de los parámetros hemosintroducido una nueva columna, "C" donde podemos cambiar suvalor y automáticamente calcular númericamente sus efectos sobrelas variables de la economía. A los valores de la columna "B"los hemos denominado como situación incial, con un subíndice 0,mientras que a los valores de la columna "C" los denominamossituación �nal, con un subíndice 1.La columna "F" contiene el índice de tiempo, mientras que en

las columnas "G-K", calculamos el valor de las variables relevantes:stock de capital per cápita, nivel de producción per cápita, ahorroper cápita, consumo per cápita y tasa de crecimiento del nivelde producción per cápita. La delda "G3" es el valor de estadoestacionario inicial, que es el calculado anteriormente. Por su parte,en la delda "G4" encontramos la siguiente expresión:

=(I3+(1-Delta1)*G3)/(1+n_1)

La expresión anterior se corresponde con la ecuación (7.8).donde elstock de capital per cápita de un periodo viene de�nido en términosdel stock de capital del periodo anterior, del ahorro del periodoanterior (columna "I") y de los parámetros tasa de crecimiento dela población y tasa de depreciación física del capital. De este modoestamos computando numéricamente exactamente la versión discretadel modelo. Esta misma expresión aparece en las restantes celdas dela columna "G". La columna "H" es el nivel de producción percápita. Si situamos el cursor en la celda "H3" la expresión queaparece es:

=A0*G3^Alpha0

que es la expresión correpsondiente a la funciónd de producciónintensiva en capital obtenida anteriormente. En la celda "H4" laexpresión es:

=A_1*G4^Alpha1


Figura 7.1. Hola de cálculo del modelo de crecimiento con ahorro exógeno

para permitir la posibilidad de realizar análisis sobre cambios encualquiera e los parámetros del modelo. La columna "I" contieneel ahorro de la economía, que simplemente se obtiene multiplicandola tasa de ahorro por el nivel de producción. La columna "J" esel consumo per cápita, que se obtiene como la diferencia de las doscolumnas anteriores, es decir, la diferencia entre lo que se produce ylo que se ahorra. Filnalmente la columna "K" contiene la expresiónpara la tasa de crecimiento de la producción per cápita.Como podemos comprobar, inicialmente los valores de las

columnas "B" y "C" son iguales, por lo que todas las variables sonconstantes en cada periodo de tiempo, mostrando su valor de estadoestacionario, siendo la tasa de crecimiento de la economía cero.


7.3.1 Efectos de un aumento en la tasa de ahorro

A continuación, vamos a utilizar la hoja de cálculo anterior paraanalizar los efectos de perturbaciones. En concreto, vamos a estudiarel caso de un aumento en la tasa de ahorro. Inicialmente la tasa deahorro es del 30% de la producción, y vamos a suponer que aumentahasta el 40%. Como podemos comprobar, ahora el stock de capitalde estado estacionario es superior al que existía anteriormente. Enefecto ahora obtenemos que el valor del stock de capital per cápitade estado esacionario es de 8,55 cuando anteriormente era de 5,83.La �gura 7.2 muestra la dinámica del stock de capital per cápitaante esta perturbación. Como podemos observar el stock de capitalper cápita va aumentando progresivamente, mostrando una formacóncava, hasta alcanzar el nuevo estado estadionario superior alprimero. Por su parte, la �gura 7.3 muestra la dinámica de laproducción per cápita, que simplemente es una función del stockde capital per cápita.La �gura 7.4 muestra la dinámica del ahorro per cápita. En

este caso, el aumento de la tasa de ahorro provoca un aumentoinstantáneo en el ahorro per cápita, ya que aumenta el ahorro porunidad de producción. A continuación el ahorro continua creciendoaunque de forma moderada. Este crecimiento viene derivado delaumento que se produce en el nivel de producción per cápita. Portanto, hay un efecto impacto provocado por el aumento en la tasa deahorro y posteriormente hay un efecto adicional derivado del mayornivel de producción.La �gura 7.5 muestra la dinámica del consumo per cápita. En este

caso el efecto impacto es negativo, produciéndose una disminución enel consumo per cápita. Esto es debido a que el aumento en la tasa deahorro provoca que una mayor parte de la producción se ahorre, porlo que la parte de la producción que se destina al consumo disminuye.A partir de este momento el consumo comienza a recuperarse, debidoa que se acumula mayor capital como consecuencia del mayor ahorroy, por tanto, aumenta el nivel de producción, por lo que de nuevopuede consumirse una mayor cantidad.Un resultado interesante que obtenemos es que si comparamos

el consumo per cápita �nal resulta que es inferior al consumo percápita que existía al inicio. Es decir, el aumento en la tasa deahorro de la economía provoca una disminución del consumo percápita en estado estacionario. Esto signi�ca que el nivel de bienestar


de la economía disminuye como consecuencia de esta perturbación.Los que está re�ejando esta situación es que el nivel de ahorro esdemasiado elevado, respecto al que maximizarí el nivel de consumoper cápita. En concreto, en este caso estaríamos situados a la derechade la regla de oro, donde la tasa de ahorro es excesivamente elevada.El hecho de que la tasa de ahorro sea ahora del 40% implica que elstock de capital per cápita de estado estacionario es muy elevado y,por tanto, también la producción per cápita. Sin embargo, tambiénhay que destinar una gran cantidad de recursos a mantener dichostock de capital, por lo que la parte de la producción que queda paraser consumida es muy pequeña, e inferior a la que existiría si la tasade ahorro fuese inferior.Por último, la �gura 7.6 muestra la evolución de la tasa de

crecimiento de la economía en términos per cápita. Como podemoscomprobar la tasa de crecimiento de la economía aumentaría deforma instantánea, como consecuencia del mayor nivel de ahorro, queprovocaría una mayor dotación de capital. Esta tasa de crecimientose mantendría en valores positivos durante toda la trayectoriatemporal hacia el estado estacionario, si bien cada vez sería menor.Es decir, la tasa de crecimiento iría reduciéndose conforme nosacerquemos al nuevo estado estacionario, hasta ser de nuevo ceroen dicho punto.A partir de la hoja de cálculo anterior, simplemente variando

los valores de los parámetros podemos realizar una gran cantidadde ejercicios sobre los efectos de distintas perturbaciones: cambiosen la tasa de depreciación física del capital, cambios en la tasa decrecimiento de la población, cambios en el parámetro tecnológico ycambios en el nivel tecnológico.


Stock de capital per cápita

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47

Tiempo

Figura 7.2. Dinámica del stock de capital per cápita ante un aumento dela tasa de ahorro

Producción per cápita

1.451.501.551.601.651.701.75

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47

Tiempo

Figura 7.3. Dinámica del nivel de producción per cápita ante un aumentoen la tasa de ahorro


Ahorro per cápita

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47

Tiempo

Figura 7.4. Dinámica del ahorro per cápita ante un aumento de la tasa deahorro

Consumo per cápita

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47

Tiempo

Figura 7.5. Dinámica del consumo per cápita ante un aumento de la tasade ahorro


Tasa de crecimiento

0.000.100.200.300.400.500.600.70

1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47

Tiempo

Figura 7.6. Tasa de crecimiento de la producción per cápita ante unaumento de la tasa de ahorro

8El modelo de Ramsey

8.1 Introducción

En el tema 6 hemos resuelto una versión del modelo de Ramseyen Excel utilizando la herramienta "Solver". Esta herramientanos permitía determinar los valores óptimos de consumo en cadaperiodo, tal que el individuo maximizase la suma descontada de susutilidades. Por tanto, ya sabemos como resolver este tipo de modeloscomputacionalmente calculando la senda ópima de consumo, simprey cuando el problema sea lo su�cientemente simple para poder serresuelto en una hoja de cálculo. En este tema vamos a continuareste análisis utiliando el modelo de Ramey, pero introduciendonuevas consideracioens. En concreto vamos a realizar dos ejerciciosdiferentes.En primer lugar, vamos a utilizar de nuevo la herramienta "Solver"

con una versión muy simpli�cada del modelo de Ramsey, con elobjetivo de ilustrar una propiedad de este tipo de modelos a la quese denomina el teorema de la autopista. Si suponemos que el ciclovital de la economía es �nito y que el capital �nal tiene que ser igualal capital inicial, resulta que éste no se mantiene constante, sino queprimero aumenta para posteriormente disminuir.

150 8. El modelo de Ramsey

A continuación vamos a resolver este modelo pero utilizando unanálisis diferente. En concreto, vamos a computar numéricamentelas ecuaciones dinámicas para el consumo per cápita y para el stockde capital per cápita, en términos de un sistema de ecuacionesdiferenciales, es decir, a través del diagrama de fases del modelo. Sinembargo, hemos de tener en cuenta que la ecuación dinámica para elcapital es no lineal, por lo que antes de proceder a su computaciónen una hoja de cálculo y computar las sendas temporales de lasdistintas variables endógenas hemos de proceder a su linearización.El procedimiento que vamos a utilizar es similar al empleadoanteriormente en el modelo de la Q de Tobin.

8.2 El modelo de Ramsey en tiempo discreto y convida �nita

En este apartado vamos a plantear un modelo de Ramsey muysimpli�cado para ilustrar el teorema de la autopista. La preguntaque vamos a hacernos es cuál es la decisión óptima para alcanzarel estado estacionario. Para ello vamos a suponer que la condicióninicial y �nal para el stock de capital es inferior a su valor de estadoestacionario.El problema del consumidor es maximizar:

max

TXt=0

�tU(ct) (8.1)

� 2 (0; 1): Suponemos que la función de utilidad de los agentes eslogarítmica, tal que:

U(ct) = ln ct (8.2)

La función de producción de la economía es:

yt = k�t (8.3)

La restricción presupuestaria viene dada por:

ct + st = yt (8.4)

Finalmente, la ecuación de acumulación de capital viene dada por:

8.2 El modelo de Ramsey en tiempo discreto y con vida �nita 151

kt+1 = (1� �)kt + yt � ct (8.5)

o equivalentemente:

kt+1 = (1� �)kt + k�t � ct (8.6)

Al margen de esta restricción, el problema a resolver también estásujeto a dos restricciones adicionales: Una condición inicial, k0; yuna condición �nal, kT � k.El langrangiano del problema del consumidor sería:

L =TXt=0

�t ln ct � �t (ct + kt+1 � (1� �)kt � k�t ) (8.7)

Las condiciones de primer orden son:

@L@C

= �t1

ct� �t = 0 (8.8)

@L@k

= �t((1� �) + �k��1t )� �t�1 = 0 (8.9)

De la primera condición de primer orden obtenemos que el valordel parámetro de Lagrange en el momento t es:

�t = �t1

ct(8.10)

Sustituyendo el parámetro de Lagrange en la segunda condiciónde primer orden, resulta:

�t1

ct((1� �) + �k��1t )� �t�1 1

ct�1(8.11)

Resolviendo obtenemos la ecuación dinámica que nos determinala decisión de consumo-ahorro de la economía:

�((1� �) + �k��1t ) =ctct�1

(8.12)

A partir de la expresión anterior, obtenemos el stock de capital enestado estacionario, tal que:

�((1� �) + �k��1) = 1 (8.13)


Figura 8.1. El teorema de la autopista

y despejando resulta que:

k =

�1� �(1� �)

��

� 1��1

(8.14)

La �gura 8.1 muestra la hora de Excel correspondiente al problemaanterior. En este caso hemos impuesto una condición inicial y �nalpara el stock de capital que resulta inferior a su valor de estadoestacionario. Además la condición inicial para el stock de capital esigual que la condición �nal. Resolviendo numéricamente el problemaanterior podemos obtener cuales son las trayectorias óptimas delconsumo, stock de capital y de la producción.La �gura 8.2 muestra la senda óptima de consumo, que tiene

pendiente positiva debido a los valores de los distintos parámetros.No obstante, esta senda óptima no es la misma que existiría en estadoestacionario, dado que en este caso los individuos van alterando su

8.3 Resolución numérica del modelo de Ramsey linearizado 153

decisión consumo-ocio en función del número de periodos del ciclovital, con el objetivo de alcanzar un stock de capital en cada periodotal que el bienestar sea el máximo.La �gura 8.3 muestra la evolución del stock de capital. Tal

y como podemos observar la senda es primero a aumentar, paraposteriormente ir disminuyendo hasta cumplir la condición �nal. Eneste caso el periodo de tiempo es muy reducido pero si lo aumentamosel stock de capital aumentaría hasta prácticamente alcanzar su valorde estado estacionario durante la mayor parte de la trayectoria,disminuyendo para cumplir la condición �nal únicamente en losúltimos periodos. Este es el teorema de la autopista. El mejorcamino para ir desde el punto inicial hasta el punto �nal es lo máscerca posible del estado estacionario el mayor tiempo posible. Esteteorema nos dice, que incluso en un horizonte temporal �nito, loóptimo es que la economía esté lo más cerca posible del estadoestacionario.Finalmente la �gura 8.4 muestra la evolución del nivel de

producción, cuya dinámica es similar a la que sigue el stock decapital. Al aumentar el stock de capital, también aumenta el nivelde producción, disminuyendo posteriormente hasta volver a su valorinicial.

8.3 Resolución numérica del modelo de Ramseylinearizado

En este apartado vamos a resolver el modelo de Ramsey en unahoja de cálculo en términos de las sendas temporales que siguen lasdistintas variables endógenas.

8.3.1 Linearización del modelo

En este apartado vamos a rede�r el modelo en términos lineales.Vamos a suponer que la función de producción es del tipo Cobb-Douglas y que la función de utilidad es logarítmica. Para ellopartimos de las dos ecuaciones diferenciales obtenidas anteriormente.Estas son:

_ct = (�k��1t � � � �)ct


Figura 8.2. Senda óptima del consumo

Figura 8.3. Senda óptima del stock de capital


Figura 8.4. Senda óptima de la producción

_kt = k�t � ct � (n+ �)ktEn primer lugar, calculamos el valor de las variables en estado

estacionario, tal que _ct = 0 y _kt = 0. De la primera expresión resultaque:

�k��1t = � + � (8.15)

y despejando:

kt =

�� + �

�

� 1��1

(8.16)

De la segunda ecuación obtenemos que:

ct = k�t � (n+ �)kt

y sustituyendo el valor de estado estacionario obtenido anteriormentellegamos a:

ct =

�� + �

�

� ��1

� (n+ �)�� + �

�

� 1��1


En términos de tasas de crecimiento, el anterior sistema deecuaciones diferenciales podemos escribirlo como:

_ctct= �k��1t � (� + �) (8.17)

_ktkt= k��1t � ctk�1t � (n+ �)

Tomando logaritmos resulta:

d ln ctdt

= � exp((�� 1) ln kt)� (� + �) (8.18)

d ln ktdt

= exp(�� 1) ln kt � exp(ln ct � ln kt)� (n+ �)

Para construir una aproximación de las anteriores dos ecuacionesalrededor de su estado estacionario vamos a usar la expansión deTaylor. Para ello en primer lugar calculamos:

d exp((�� 1) ln kt)d ln kt

= (�� 1) exp((�� 1) ln kt) (8.19)

d exp(ln ct � ln kt)d ln ct

= exp(ln ct � ln kt) (8.20)

d exp(ln ct � ln kt)d ln kt

= � exp(ln ct � ln kt) (8.21)

Por tanto, aplicando la expansión de Taylor resulta que:

d ln ctdt

' �d exp((�� 1) ln kt)

d ln kt(ln kt � ln kt)

y sustituyendo:

d ln ctdt

' �(�� 1) exp((�� 1) ln kt)(ln kt � ln kt)

y dado que:

�(�� 1) exp((�� 1) ln kt) = �(�� 1)�� + �

�

��1��1

= (�� 1)(� + �)

resulta que:


d ln ctdt

' (�� 1)(� + �)(ln kt � ln kt) (8.22)

por lo que ya tenemos linearizada la primera ecuación dinámica quenos indica los movimientos del consumo a lo largo del tiempo (nóteseque esta ecuación únicamente era lineal cuando su valor era igual acero, pero era no lineal en cualquier otro caso).Por otra parte, tenemos que:

d ln ktdt

'�d exp((�� 1) ln kt)

d ln kt+d exp(ln ct � ln kt)

d ln kt

�(ln kt � ln kt)

�d exp(ln ct � ln kt)d ln ct

(ln ct � ln ct)

y sustituyendo resulta:

d ln ktdt

'�(�� 1) exp((�� 1) ln kt) + exp(ln ct � ln kt)


� exp(ln ct � ln kt)(ln ct � ln ct)

Sabiendo que para que d ln ktdt = 0:

exp(ln ct � ln kt) = exp(�� 1) ln kt � (n+ �)

y que a su vez

exp(ln ct � ln kt) =�� + �

�

��1��1

� (n+ �)

resulta que:

exp(ln ct � ln kt) =�� + �

�

�� (n+ �) = (1� �)� + � � �n

�

Sustituyendo tenemos:

d ln ktdt

'�(�� 1)(� + �)

�+(1� �)� + � � �n

�


�(1� �)� + � � �n�

(ln ct � ln ct)


y operando resulta que:

d ln ktdt

' (� � n) (ln kt � ln kt)�(1� �)� + � � �n

�(ln ct � ln ct)

por lo que ya tenemos linearizada la ecuación dinámica del capital.Por tanto, en notación matricial resultaría:

�d ln ctdt

d ln ktdt

�=

�0 (�� 1)(� + �)

� (1��)�+��n� � � n

� �(ln ct � ln ct)(ln kt � ln kt)

�Tal y como podemos observar, hemos transformado un sistema

de ecuaciones dinámicas no lineales en un sistema dinámico lineal,en términos de las desviaciones (en términos logarítmicos, es decir,en porcentaje) de cada variable respecto al estado estacionario. Unavez linearizado el modelo, a continuación podemos calcular las raícesasociadas a la matriz de coe�cientes. A partir del sistema anteriorobtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:

�2 � (� � n)�+ (1� �)� + � � �n�

(�� 1)(� + �) = 0

Resolviendo obtenemos las siguientes raíces:

�1; �2 =(� � n)�

q(� � n)2 � 4 (1��)�+��n� (�� 1)(� + �)

2

siendo una raíz positiva y la otra negativa, dando lugar una solucióndel tipo punto de silla.Para computar el modelo necesitamos calcular el efecto de corto

plazo, esto es, la variación en el consumo (que es la variable �exible)justo en el momento en que se produce una perturbación. Tal y comohemos visto en términos teóricos, ante una perturbación, el consumose ajusta de forma inmediata hasta alcanzar la senda estable.Para calcular este efecto de corto plazo operamos como

anteriormente, es decir, igualamos una de las condiciones dinámicasa la trayectoria estable. Por ejemplo, operando con la condición deequilibrio del consumo resulta:

d ln ctdt

= (�� 1)(� + �)(ln kt � ln kt) = �1(ln ct � ln ct)


Despejando el logaritmo del consumo obtenemos:

ln ct =(�� 1)(� + �)(ln kt � ln kt) + �1 ln ct

�1

La �gura 8.5 muestra la hoja de cálculo correspondiente(EC82.xls), en la cual hemos computado el modelo anterior, así comoun aumento en el parámetro �:Las �guras 8.6 y 8.7 muestran las sendas del consumo y del capital

per cápita ante un aumento en la tasa de preferencia subjetivaintertemporal. El aumento en el parámetro � supone que losindividuos valoran en menor medida el futuro respecto al presente,es decir, se preocupan menos por el futuro. Esta alteración enlas preferencias provoca un aumento instantáneo en el consumo,aumentando respecto a su valor de estado estacionario. Sin embargo,este aumento en el consumo supone una disminución en el ahorro,


Figura 8.5. Senda óptima del consumo per cápita

que lleva a una caída en el stock de capital y, por tanto, en el nivelde producción.A partir de este momento el stock de capital de la economía

comienza a disminuir, disminuyendo también el consumo per cápitapor el menor nivel de producción. A largo plazo obtenemos que tantoel consumo como el stock de capital son inferiores a los existentesinicialmente.


Figura 8.6. Senda óptima del stock de capital per cápita

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