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14/10/2006 Ing. Edwin Palacios [email protected] 1

Movimiento armnico simple.

Cualquier objeto que posea aceleracin

proporcional y en sentido opuesto al

desplazamiento se encuentra en

movimiento armnico simple.

Un caso que permite ilustrar de buena

manera lo anterior, es el de un cuerpo

unido a un resorte que se comporta segn

la ley de Hooke.

En la figura siguiente se observa un

resorte unido a un soporte fijo y a un

cuerpo de masa m, que ser considerado

como partcula. El sistema se encuentra

sobre una mesa de cubierta horizontal y

se est observando desde arriba. El

resorte tiene su largo natural (L0).

largo natural

r0= L0 i

Apliquemos una fuerza sobre el cuerpo

hasta que el resorte se alargue hasta la

posicin A. En ese instante sobre el

cuerpo existen dos fuerzas que se anulan:

la fuerza externa (G F=Fi ) y la fuerza del

resorte (Gr r

F =-F i ).

r= x i

F = F i elongado por fuerza externa

F = F i Fr = -Fr i

largo natural

El cuerpo se ha desplazado G r=xi si consideramos que se mueve en el eje x, y

que el origen est en el punto que ocupa el

cuerpo cuando el resorte tiene su largo

natural. Note que x ha variado en el

tiempo entre 0 y A, de manera tal que es

una funcin del tiempo.

Si eliminamos la fuerza externa, entonces

la fuerza que el resorte ejerce sobre el

cuerpo lo obligar a oscilar alrededor del

punto L0 (suponemos roce despreciable).

UNIVERSIDAD NAVAL "CMDTE. RAFAEL MORAN VALVERDE"

2

Esto se debe a que la fuerza del resorte

depende de la posicin, siendo negativa

hasta alcanzar el largo natural (donde es

nula) y luego es positiva hasta alcanzar un

punto L2, ubicado A metros hacia la

izquierda. Esto es, las magnitudes de los

desplazamientos del cuerpo desde el

largo natural del resorte, son iguales:

x

Fr

-A

F=-kx

A

-kA

kA

L1-L0 =A

L0

L2

L2-L0=-A

L1

Fr = -Fr i

Fr = Fr i

Si despreciamos las fuerzas de roce,

tenemos un oscilador armnico simple,

puesto que la aceleracin tiene la misma

direccin que la fuerza neta, que en todo

momento es opuesta al desplazamiento

respecto de su posicin de equilibrio. La

oscilacin tiene una amplitud A.

La fuerza del resorte es restauradora, es

decir, tiende a llevar al cuerpo a la

posicin de equilibrio.

Anlisis dinmico.

Supongamos que el origen est en el

punto en donde el resorte tiene su largo

natural.

Un anlisis dinmico nos muestra que

cuando el cuerpo est a la derecha del

punto de equilibrio, entonces de acuerdo

a la segunda Ley de Newton:

r= x i

F = -kx i

largo natural x=0

G2

2

d xiF=mdt

La fuerza neta sobre el cuerpo proviene

de la fuerza de restauracin del resorte

que sigue la Ley de Hooke:

14/10/2006 Ing. Edwin Palacios [email protected]


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G F=-kxi ,

Por lo que:

2

2

d xikxi =mdt

=2

2d x k- x

mdt

Que se puede reescribir como:

= 2

22

d x - x (1)dt

Si por conveniencia renombramos la

constante:

= 2k (2)m

(1) da cuenta del movimiento del cuerpo

oscilando alrededor del punto de

equilibrio x=0, sujeto a la fuerza de

restauracin del resorte.

Note que las dimensiones de son:

[ ] = = =

2mN Kg 1m s

Kg Kgm s

Razn por la que es denominada

frecuencia angular, o pulsacin del

movimiento.

Dos soluciones posibles a la ecuacin (1)

son las funciones:

x=Asen t (3)

x=Acos t (3a)

Donde y A son constantes.

Consideremos la ec. (3) para mostrar que

es una solucin.

Si la derivamos dos veces obtenemos:

= =

=

= =

22

2

22

2

dx v A cos t (4)dtd x -A sen t (5)dtd x a x (6)dt

Que es igual a (1).

Lo mismo se obtiene derivando 2 veces la

funcin (3a):

= =

=

= =

22

2

22

2

dx v A sen t dtd x -A cos t dtd x a x dt

En cualquier caso, se observa que la

aceleracin es proporcional al

desplazamiento y en sentido opuesto,

cumpliendo con los requisitos para ser

considerado movimiento armnico simple.



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Anlisis cinemtico.

Periodo y frecuencia.

La representacin grfica de la funcin

(3b) para una oscilacin completa se ve en

la figura siguiente, permitiendo

identificar con claridad que existe un

comportamiento peridico en el tiempo

(como esperbamos).

x(m)

t(s)

-A

A

T2

3T4

T4

T

El tiempo que demora en dar una

oscilacin completa se denomina periodo

(T) y se mide en segundos. En T=0 se

encuentra desplazado A metros a la

derecha de la posicin de equilibrio. En el

intervalo < < T0 t4

, se encuentra a la

derecha del punto de equilibrio (x

positivo) y en el intervalo <

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Lo que muestra que el perodo es

independiente de la amplitud, y es

determinado solo por la masa del cuerpo y

la fortaleza del resorte.

En consecuencia, un cuerpo que se mueve

con m.a.s. oscila siempre con igual perodo

y frecuencia (frecuencia natural del

sistema). Si aumentamos la amplitud,

tambin aumenta la fuerza de

restauracin (y por tanto la aceleracin),

provocando un movimiento ms rpido,

que compensa la mayor trayectoria que

debe recorrer para completar el ciclo.

Angulo de fase.

Las soluciones a la ecuacin diferencial

que da cuenta del m.a.s. son en realidad

iguales, puesto que ambas funciones se

comportan de similar manera en el

tiempo, desfasadas en 90 ( 2

radianes).

x(m)

t(s)A

T = +x Acos( t) Asen( t )2

= x Asen( t)2

En consecuencia, soluciones ms

generales podran ser funciones de la

forma:

+ x=Asen( t ) (10)

+ x=Acos( t ) (11)

Donde es la fase inicial, o constante de fase, es decir la fase cuando t=0s.

x(m)

t(s)A

= + x Asen( t )

= x Asen( t)

x(m)

t(s)A

= x Acos t

= + x Acos( t )

Entonces, las constantes amplitud y fase

inicial estn determinadas por las

condiciones iniciales.



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Posicin, rapidez y aceleracin

mximas.

Supongamos que la posicin viene dada

por la funcin + x=Acos( t ) , que como hemos visto, es ms conveniente para

estudiar el caso de que el cuerpo unido al

resorte sea alejado A metros hacia la

derecha.

Entonces la velocidad y la aceleracin

corresponden a:

= = + dxv A sen( t )dt

(12)

= = + 2

22

d xa A cos( t )dt

(13)

Debido a que:

[ ][ ]

= =

+ = + =

cos sen2

sen cos2

cos cossen sen

Entonces, las ecuaciones (11), (12) y (13)

se pueden escribir como:

+ x=Acos( t )

= + +v A cos( t )2

= + + 2a A cos( t )

Mostrando analticamente que la

velocidad est desfasada 2

radianes y la

aceleracin radianes respecto de la posicin.

Para la solucin senoidal se encuentra lo

mismo.

La conclusin se ve mejor en la figura

siguiente, donde se observan las curvas

x=Asen(t+), v=Asen(t++/2), y a=-A2sen(t++), para un m.a.s. con fase inicial , amplitud A y perodo T.

x(t) t(s)A

TT23T4

a(t) 2A

v(t)A

t(s)

t(s)

2

T40

0

T(s)

2



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Tanto las expresiones analticas, como la

grfica anterior, muestran claramente

que la velocidad y la aceleracin mximas

son:

= maxv A

= 2maxa A

Expresiones tiles:

Si conocemos la posicin y la rapidez

iniciales (x0 y v0) es sencillo calcular la

amplitud y fase iniciales, puesto que si

t=0s las ecuaciones (11) y (12) quedan:

+ = 0x =Acos( 0 ) Acos( )

= + = 0v A sen( 0 ) A sen( )

Dividiendo la segunda por la primera, se

tiene:

= = 0

0

v A sen( ) tg( )x Acos( )

De donde:

= 0

0

varctg (14)x

Por otra parte, si elevamos al cuadrado

ambas y las sumamos, tenemos:

( )= = + = +

2 220

2 2 220

22 2 22 0

0 2

x A cos

v A sen

vx A cos sen

+ == +

222 0

0 2

22 0

0 2

vx A

vA x (15)

Note que la posicin inicial coincide con la

amplitud solo si la velocidad inicial es

nula.

Otra forma de encontrarla proviene de

reescribir la ecuacin (12) utilizando la

identidad + = + 2sen( t ) 1 cos ( t ) , quedando:

= + v A sen( t )

( )= + 2v A 1 cos ( t ) = + 2 2 2v A A cos ( t )

= 2 2v A x (16)

Donde claramente se observa que la

velocidad tiene un mximo para x=0. Los

signos muestran que se obtiene el valor

A dos veces, conforme pasa por el origen viajando hacia la derecha o hacia la

izquierda.



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