m. sc. jorge e. hernández h ucla – dac. 2008. aplicaciones de las derivadas aquí mostramos el...

M. Sc. Jorge E. Hernández H

UCLA – DAC. 2008

Aplicaciones de las DerivadasAplicaciones de las Derivadas

Aquí mostramos el contenido de esta presentación.

La misma lo guiará en el aprendizaje de dicho contenido.

1. Monotonía de una función.1. Monotonía de una función.

El término monotonía, cuando se refiere a una función, es usado para catalogar el ordenamiento de los valores de la función con respecto al orden natural de los valores de sus argumentos. Es decir, vemos el orden de f (x) comparado con el orden del argumento x.

Monotonía de una función.Monotonía de una función.

Esta clasificación tiene como base la relación de orden ≥ o ≤ .

Función creciente: Decimos que una función es creciente en un intervalo (a,b) si para cada par de elementos

en (a,b), se tiene que

21 xx

)()( 21 xfxf

Monotonía de una funciónMonotonía de una función..

Por ejemplo, la función

es una función creciente. En efecto, sean

Entonces,

y

En consecuencia,

Veamos el gráfico.( ) 3 2f x x

1 2 1 2, ( ), x x Dom f x x

1 23 3x x

1 23 2 3 2x x

1 2( ) ( )f x f x


Función decreciente: Decimos que una función es decreciente en un intervalo (a,b) si para cada par de elementos

en (a,b), se tiene que

21 xx

1 2( ) ( )f x f x


Por ejemplo, la función

es una función creciente. En efecto, sean

Entonces,

y

En consecuencia,

Veamos el gráfico.( ) 2 3f x x

1 2 1 2, ( ), x x Dom f x x

1 23 3x x

1 22 3 2 3x x

1 2( ) ( )f x f x


Intervalo de crecimiento:

El intervalo de la recta real donde la función es monótona creciente se denomina intervalo de crecimiento.

Una función puede poseer uno o varios intervalos de crecimiento.

En la gáfica, el intervalo (a,b) es un intervalo de crecimiento


Intervalo de decrecimiento:

El intervalo de la recta real donde la función es monótona decreciente se denomina intervalo de decrecimiento.

Una función puede poseer uno o varios intervalos de decrecimiento.

En la gáfica, el intervalo (a,b) es un intervalo de crecimiento


Aplicación de la derivada #1.

Teorema: Dada una función f diferencible, entonces el conjunto solución de la desigualdad

está formado por los intervalos de crecimiento de la función.

Teorema:

Dada una función f diferenciable, el conjunto solución de la desigualdad

Está formado por los intervalos de decrecimiento de la función.

'( ) 0f x

'( ) 0f x


Ejemplo: Encontrar los intervalos de monotoniá de la función

Solución:

Primero, encontramos la derivada de la función

Para encontrar los intervalos de crecimiento resolvemos

Resolviendo esta desigualdad:

es decir, el conjunto solución es

y es precisamente el intervalo de crecimiento de la función.

2( ) 3 2f x x x

'( ) 6 2f x x

'( ) 0f x

6 2 0x

6 2x

1/ 3x

[1/ 3, )


En consecuencia, el intervalo que que complementa para la totalidad de R, es el intervalo

Que es precisamete el intervalo de decrecimiento.

Ω

El siguiente gráfico muestra estos intervalos:

( ,1/ 3)

2. Puntos críticos de una función.2. Puntos críticos de una función.

Punto crítico: Un punto de la gráfica de una función se denomina punto crítico si en este punto la derivada de la función es cero o no existe.


Algunos tipos de puntos críticos: 1. Función con punto crítico donde la derivada es cero.


Algunos tipos de puntos críticos: 2. Función con punto crítico donde la derivada no existe.

por discontinuidad.


Algunos tipos de puntos críticos: 2. Función con punto crítico donde la derivada no existe.

por no existencia de los límites laterales de la derivada

Ω

3. Maximos y minimos Relativos.3. Maximos y minimos Relativos.

Máximo relativo:

Es cualquier punto de la gráfica de la función, cuyo valor en la ordenada es mayor que cualquier otro punto de la misma , en un entorno de él.

Mínimo relativo:

Es cualquier punto de la gráfica de la función, cuyo valor en la ordenada es menor que cualquier otro punto de la misma en un entorno de él.

3. Máximos y mínimos relativos.3. Máximos y mínimos relativos.


Teorema:

Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto que contiene a x = c entonces,

1. Si la derivada es positiva para cualquier valor de x menor que c y negativa para cualquier valor mayor que c entonces f es tiene un máximo relativo en x = c.

2. Si la derivada es negativa para cualquier valor de x menor que c y positiva para cualquier valor mayor que c entonces f es tiene un mínimo relativo en x = c.


Ejemplo de aplicación:

Dada la función

Encontrar los extremos relativos.

Solución:

Como f es un polinomio entonces conocemos que su derivada existe en todo su dominio.

Su derivada es

3 2( ) 6 9 1f x x x x

2( ) 3 12 9f x x x


Resolvamos la ecuación

para encontrar los puntos críticos.

23 12 9 0x x

23 12 9 0x x

2 4 3 0x x

1,2

34 16 12 4 4

12 2x


Entonces los puntos críticos son

Nos toca decidir cual de ellos es un máximo o cual es un mínimo.

Usamos entonces el teorema anterior. Evaluamos la derivada con algún valor de x a la izaquierda de 3, a su derecha, a la izquierda de 1 y a su derecha, estudiando su signo. Y vemos que:

Ω

1 23 y 1x x

4. Concavidad de una función.4. Concavidad de una función.

El término concavidad se refiere a la curvatura que presenta el trazado de la gráfica de la función que se está estudiando.

Esta curvatura puede mostrarse hacia arriba o hacia abajo. Por eso hablamos de funciones

1.Cóncavas hacia arriba o

2.Concavas hacia abajo.

Ejemplo gráfico.


Al igual que la monotonía, decimos que el intervalo donde la función es concava hacia arriba es un intervalo de concavidad hacia arriba. Similarmente, el intervalo donde la función es concava hacia abajo es un intervalo de concavidad hacia abajo.

En la gráfica el intervalo

Es un intervalo de conc. hacia abajo.

( , )a



Teorema: Dada una función f diferencible dos cveces, entonces el conjunto solución de la desigualdad

está formado por los intervalos de concavidad hacia arriba de la función.

Teorema:

Dada una función f diferenciable dos veces, el conjunto solución de la desigualdad

Está formado por los intervalos de concavidad hacia abajo de la función.

''( ) 0f x

''( ) 0f x


Ejemplo: Encontrar los intervalos de concavidad de la función

Solución:

Primero, encontramos la derivada de la función

Seguidamente, buscamos su segunda derivada

Debemos resolver la desigualdad

para encontrar los intervalos de concavidad hacia arriba. En consecuencia,

es una desigualdad válida para cualquier valor de x. Por lo tanto el conjunto solución es R.

2( ) 3 2f x x x

'( ) 6 2f x x

''( ) 6f x

''( ) 0f x

6 0


Concluimos que la función

es concava hacia arriba en toda la recta real. Véase la gráfica.

Ω

2( ) 3 2f x x x

5. Puntos de Inflexión.5. Puntos de Inflexión.

Se denomina punto de inflexión de la gráfica de una función al punto en donde ocurre un cambio de concavidad.

Esto puede ocurrir, cuando a la izquierda del punto hay concavidad hacia arriba y a su derecha concavidad hacia abajo, o viceversa.

Véase el gráfico.

6. Pasos para graficar6. Pasos para graficar

Dada una función f nos interesa encontrar su gráfica. De esta gráfica nos interesan todos los aspectos estudiados anteriormente.

Aquí proponemos una secuencia de pasos, ordenados de forma tal que podemos encontrar la gráfica de cualquier función sin gran dificultad.

1.Buscar el dominio de la función

2.Buscar los puntos de discontinuidad

3.Encontrar asíntotas horizontales

4.Encontrar asíntotas verticales

5.Encontrar puntos críticos

6.Encontrar Intervalos de monotonía

7.Encontrar puntos de inflexión

8. Encontrar Intervalos de concavidad

6. Pasos para graficar6. Pasos para graficar

Ejercicio: Dada la función

Encuentre su gráfica.

Solución:

Sigamos los pasos dados anteriormente.

1.Búsqueda del dominio.

Esta función es un polinomio

Por lo tanto su dominio es todo el conjunto de números reales.

2. Búsqueda de puntos de discontinuidad

Esta función es continua en todos sus puntos ya que es un polinomio, por lo tanto no tiene discontinuidades

3 2( ) 4 3f x x x

6. Pasos para graficar.6. Pasos para graficar.

3. Asíntotas horizontales.

Para encontrar estas asíntotas buscamos los límites de la función al infinito y al menos infinito.

En consecuencia, no hay asíntotas horizontales.

4. Asíntotas verticales.

Como la función no posee puntos de discontinuidad entonces no posee asíntotas verticales.

3 2 4 3xLim x x

3 2 4 3xLim x x


5. Puntos críticos.

Estos puntos los encontramos resolviendo la ecuación

Veamos entonces.

Resolvemos entonces:

Sustituyendo estos valores en la función, obtenemos :

'( ) 0f x

3 2( ) 4 3f x x x

2'( ) 12 6f x x x

212 6 0x x

6 (2 1) 0x x

6 0 y (2 1) 0x x

0 y 1/ 2x x


Para

Y para

Así los puntos críticos son

6. Busqueda de intervalos de monotonía.

Para encontrar dichos intervalos escogemos resolver una de estas desigualdades.

3 20 (0) 4.0 3.0 0x f

3 21 1 1 1 ( ) 4.( ) 3.( )

2 2 2 21

4

x f

1 1(0,0) y ,

2 4

'( ) 0 ó '( ) 0f x f x


En este caso resolveremos la primera de las desigualdades y encontraremos el o los intervalos de crecimiento.

Usando el método de Sturm

En consecuencia, los intervalos de crecimiento son

Y el intervalo de decrecimiento es

2'( ) 12 6 0f x x x

6 (2 1) 0x x

12 ( 1/ 2) 0x x

( ,0) y (1/ 2, )

(0,1/ 2)


7. Buscar puntos de inflexión.

Para esto resolvemos la ecuación

En otras palabras, necesitamos derivar por segunda vez

Así, tenemos

Sustituyendo este valor en la función dada

''( ) 0f x

''( ) 24 6f x x

2'( ) 12 6f x x x

24 6 0x

6 1

24 4x

3 21 1 1 1

4. 3.4 4 4 8

f


En consecuencia el punto de inflexión es

8. Intervalos de concavidad.

Para encontrar dichos intervalos, resolvemos una de las siguientes desigualdades

Nosotros escogeremos la primera de ellas. Así, tenemos

Lo que significa que el intervalo de concavidad hacia arriba es

1 1,

4 8

''( ) 24 6 0f x x

''( ) 0 ó ''( ) 0f x f x

1

4x

1,

4


Y en consecuencia el intervalo de concavidad hacia abajo es

_________ == __________

1,4

Con todos los datos encontrados, llenaremos una tabla resumen y graficaremos en un plano cartesiano.


TABLA RESUMEN

Dominio de la función R

Discontinuidades No tiene

Asíntotas Horizontales No tiene

Asíntotas Verticales No tiene

Puntos Críticos (0,0) y (1/2, -1/4)

Intervalos de monotonía C: (-∞,0),(1/2,∞) D: (0,1/2)

Puntos de inflexión (1/4,-1/8)

Intervalos de concavidad Abj: (-∞,1/4) Arr: (1/4,∞)


Identificación de los datos en el plano.


Gráfica de la función

Fin de la presentaciónFin de la presentación

Gracias por su atención.

m. sc. jorge e. hernández h ucla – dac. 2008. aplicaciones de las derivadas aquí mostramos el...

Documents