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UdeA - ultima actualizacion: 5 de diciembre de 2018

Modulo 4 - Diapositiva 26Secciones Conicas

Universidad de Antioquia

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

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Temas

La Circunferencia

La Parabola

La Elipse

La Hiperbola

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Secciones Conicas

Las secciones conicas, tambien llamadas conicas, pueden obtenerse al cortarcon un plano un cono circular recto de doble rama. Al variar la posicion delplano, obtenemos una circunferencia, una elipse, una parabola, o unahiperbola.

Conicas Degeneradas

Se obtienen conicas degeneradas si el plano corta el cono en solo un punto oa lo largo de una o dos rectas que se encuentren en el cono.

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La Circunferencia

Una circunferencia es el conjunto detodos los puntos de un plano cuyadistancia a un punto fijo C (centro) es r.

Ecuacion de unacircunferencia

La forma estandar de laecuacion de una circunferenciacon centro (h, k) y radio r es

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

La forma general de laecuacion de unacircunferencia es

x2 + y2 + ax + by + c = 0

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Ejemplo

Para determinar el centro y el radiode la circunferencia con ecuaciongeneral dada por

x2 + y2 − 2x− 3 = 0

reescribimos la ecuacion en la formaestandar, para lo cual completamoscuadrados en el caso de la variable xası:

x2 + y2 − 2x− 3 = 0

(x2 − 2x + 1) + y2 + (−3− 1) = 0

(x− 1)2 + y2 = 4

lo que muestra que la ecuacion

corresponde a una circunferenciacon centro (h, k) = (1, 0) y radior = 2, cuya grafica es:

x

y

(1, 0)

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La Parabola

Una parabola es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantesde un punto fijo F (el foco) y una recta fija l (la directriz) que esta en elplano.

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Ecuacion de la Parabola

Eje Focal paralelo al eje y

(x− h)2 = 4p(y − k)

o y = ax2 + bx + c, donde

1 p = 14a

. Vertice (h, k)

2 Directriz: y = k − p

3 Foco F (h, k + p)

4 Longitud del Lado recto 4 |p|

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Eje focal paralelo al eje x

(y − k)2 = 4p(x− h)

o x = ay2 + by + c, donde

1 p = 14a

. Vertice (h, k)

2 Foco F (h + p, k)

3 Directriz: x = h− p

4 Longitud del Lado recto 4 |p|

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Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.

Determine que representa la ecuacion y2 − 12x− 2y + 7 = 0

Notemos que la ecuaciony2 − 12x− 2y + 7 = 0 se puedereescribir (completando cuadradosen y) como

(y − 1)2 = 12

(x− 1

2

)

que es la ecuacion de una parabolacon eje focal paralelo al eje x, conp = 3, vertice V =

(12, 1), foco

F =(72, 1)

y recta directriz x = −2.

x

y

V F

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Ejercicio 2.

Hallar la ecuacion de la parabola con vertice V = (−4, 3) y focoF = (−4, 1)

Tenemos que V = (h, k) = (−4, 3) y F = (h, k + p)(−4, 1), por tantotenemos una parabola con eje focal paralelo al eje y, con h = −4, k = 3,p = −2 y recta directriz con ecuacion y = 5cuya ecuacion estandar es:

(x + 4)2 = −8(y − 3)

x

y

V

F

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La Elipse

Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tal que la sumade las distancias desde dos puntos fijos (los focos) en el plano es unaconstante positiva.

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Elementos de la Elipse

1 C : Centro. V, V ′ vertices

2 Ejes Mayor y Menor V V ′, AA′

3 Lado Recto MM ′ = 2b2

a

4 Excentricidad e = ca

5 a2 = b2 + c2. Notar que a > c

6 Eje focal: que pasa por los focos

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Eje focal paralelo al eje y

Ecuacion:

(x− h)2

b2+

(y − k)2

a2= 1

Elementos:

1 C = (h, k)

2 Focos F ′ = (h, k − c),F = (h, k + c)

3 Vertices V ′ = (h, k − a),V = (h, k + a)

4 Eje Focal x = h

Ejemplo: Eje focal el eje y y centroC = (0, 0)

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Eje focal paralelo al eje x

Ecuacion y Elementos:

(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1

1 C = (h, k), Eje Focal y = k

2 Focos F ′ = (h− c, k),F = (h + c, k)

3 Vertices V ′ = (h− a, k),V = (h + a, k)

Ejemplo: Eje focal el eje x y centro C = (0, 0)

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Ejercicio resuelto

Ejercicio 3.

Hallar una ecuacion para la elipse con centro C = (−3, 4), eje mayorde longitud 8, eje menor de longitud 6 y eje mayor paralelo al eje x

Como el eje mayor es paralelo al eje x entonces la ecuacion en la formaestandar de la elipse tiene la forma

(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1

con h = −3 y k = 4. Como el eje mayor tiene longitud 8, entonces a = 4 ycomo el eje menor tiene longitud 6, entonces b = 3 por tanto la ecuacionpedida es:

(x + 3)2

16+

(y − 4)2

9= 1

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La Hiperbola

Una hiperbola es el conjunto detodos los puntos P del plano

tal que el valor absoluto de la

diferencia de las distancias de P a

dos puntos fijos F y F ′ (los focos)

es una constante positiva.

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Elementos de la Hiperbola

1 Centro C = (h, k).

2 Vertices V, V ′

3 Eje Transverso V V ′

4 Eje Conjugado AA′

5 c2 = a2 + b2.

6 Eje focal: pasa por los focos

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Ecuacion de la Hiperbola

Ecuacion: Eje focal paralelo al eje x

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

Las asıntotas conforman el lugargeometrico de la ecuacion

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 0

Ejemplo: Hiperbola con centro(0, 0) y eje focal el eje x

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Ecuacion: Eje focal paralelo al eje y

(y − k)2

a2− (x− h)2

b2= 1

Las asıntotas conforman el lugargeometrico de la ecuacion

(y − k)2

a2− (x− h)2

b2= 0

Ejemplo: Hiperbola con centro(0, 0) y eje focal el eje y

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Ejercicio resuelto

Ejercicio 4.

Determine que lugar geometrico representa la ecuacion

x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0

Reescribimos la ecuacion en la forma estandar, para lo cual completamoscuadrados en las variables x e y ası:

x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0

(x2 + 6x + 9)− 4(y2 − 6y + 9)− 31− 9 + 36 = 0

(x + 3)2 − 4(y − 3)2 = 4

Por tanto la ecuacion representa una hiperbola con ecuacion estandar:

(x + 3)2

4− (y − 3)2

1= 1

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Problemas de Aplicacion

Ejercicio 5.

El cable del puente ilustrado en la figura tiene la forma de una parabola.Las torres que sostienen la estructura estan separadas por una distancia de600 pies, y tienen una altura de 80 pies. Si el cable toca la superficie delcamino a la mitad de la distancia entre las torres, ¿cual es la altura delcable en un punto situado a 150 pies del centro del puente?

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Ya que el cable tiene forma de parabola podemos pensar en una parabolacon vertice en el origen (0, 0) y eje focal el eje y con ecuacion

x2 = 4py

Los datos del problema nos indican ademas que el punto (300, 80) pertenecea la parabola, es decir satisface su ecuacion lo que nos permite hallar elvalor de p

3002 = 4p(80)

ası

p =3002

4 · 80=

1125

4y la ecuacion queda

x2 = 1125y

Para hallar la altura y a 150 pies del vertice basta ver que el punto (150, y)satisface la ecuacion, por tanto

y =1502

1125= 20 pies

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Ejercicio 6.

Una pista de atletismo tiene forma de elipse, con 100 pies de largo y 60 deancho. Determine su ancho a 10 pies del vertice.

Para solucionar el problema podemos tomar una elipse con centro en (0, 0),a = 50 y b = 30 con ecuacion estandar es:

x2

502+

y2

302= 1

Como queremos determinar su ancho a 10 pies del vertice, entonces estamosa 40 pies del centro, es decir que el punto (40, y) pertenece a la elipse siendo2y el ancho a 10 pies del vertice, por tanto basta sustituir x = 40 en laecuacion para determinar y

y =

√(1− 402

502

)· 302 = 18

por tanto el ancho a diez pies del vertice es de aproximadamente 36 pies.

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Referencias

Sullivan, M. Algebra y Trigonometrıa, 7a Edicion. Editorial PearsonPrentice Hall, 2006.

Swokowski, E.W. Cole, J.A. Algebra y Trigonometrıa con GeometrıaAnalıtica 13a Edicion. Editorial Cengage Learning, 2011

Zill, D. G. Dewar, J. M. Algebra, Trigonometrıa y Geometrıa Analıtica, 3a

Edicion. Editorial McGraw-Hill, 2012.

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