M edidas de dispersinM edidas de dispersin

P rof. S . V lezP rof. S . V lezP rof. S . V lezP rof. S . V lez

Introduccin

Las medidas de tendencia centralpermiten describir una distribucin pormedio de sus valores tpicos.medio de sus valores tpicos.

Sin embargo estas medidas son slo partede la informacin que se puede obtenerde la distribucin.

Medidas de dispersin.

A menudo, al conformarse la descripcin a una medida de tendencia central se cae en la sobre simplificacin y el estereotipo. Hacen falta otras medidas que reflejen la Hacen falta otras medidas que reflejen la variedad y la multiplicidad.

Estas medidas que hablan de las diferencias y la diversidad son las medidas de dispersin.

Medidas de dispersin

Describen cmo se extienden las puntuaciones de una variable de intervalo o razn a travs de una intervalo o razn a travs de una distribucin.

Medidas de dispersin

Tipos de medidas de dispersin

Recorrido Varianza Desviacin estndar

Medidas de dispersin

Recorrido Es la medida de distancia de una escala

intervalo o razn que indica como varan las observaciones individuales en la misma.observaciones individuales en la misma.

Datos agrupados Es la diferencia entre el la frontera superior de la

ltima clase y la frontera inferior de la primera clase .

Medidas de dispersin Recorrido

Es la medida de distancia de una escala intervalo o razn que indica como varan las observaciones individuales en la misma.observaciones individuales en la misma.

Datos no agrupados Es la diferencia entre la mayor y menor

observacin de la distribucin.

minmax=r

Ejemplo 1

En una distribucin los valores que se obtienenson: 2.1, 3.4, 4.2, 5.6, 7.8, y 9.0 .Cul es el recorrido de la muestra?

El recorrido es (9.0 - 2.1) = 6.9

Ejemplo 2

En una distribucin los valores que se obtienenson: 2.1, 3.4, 4.2, 5.6, 7.8, y 52.1.

El recorrido es (52.1 - 2.1) = 50El recorrido es (52.1 - 2.1) = 50

Realmente las dos distribuciones en los ejemplos1 y 2 se diferencian solamente por un dato con unvalor extremo que en la segunda distribucin dauna impresin falsa de los otros valores.

La varianza de una muestra datos no agrupados

La varianza es el grado en que los valores de una distribucin difieren de la media entre s.

( )1

2

2

=

n

xxs

media entre s.

Conceptualmente la varianza se define como la suma de las diferencias del promedio al cuadrado dividido por la cantidad de observaciones menos uno.

( )1

22

2

=

nn

Xx

s

Varianza

La varianza refleja cunto, en promedio, cada puntuacin de la distribucin se desva de la media. En una muestra el smbolo que se usa es y 2sEn una muestra el smbolo que se usa es y en una poblacin es . Es un promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada valor y la media. En smbolos esto es,

2 2 22 1 2( ) ( ) ... ( )

1nX X X X X Xs

n

+ + + =

2s2

VarianzaSe puede escribir como

donde la media es , n es el tamao de la muestra y es el ensimo valor de la variable. Debe notarse que el denominador no es n para la muestra sino n-1.

2

2 1

( )

1

n

ii

X Xs

n=

=

iXX

sino n-1. Para una poblacin, sin embargo, el denominador si es n. Esta diferencia entre la varianza de la muestra y de la poblacin se debe a que el promedio de las varianzas de todas las muestras de un tamao dado es igual a la varianza de la poblacin solamente si en las muestras se usa n-1. Sin embargo, es importante recordar que la varianza es un promedio de desviaciones de cada valor con respecto a la media.

Consideremos 10 pacientes de edades: 15 aos, 21, 32, 59, 60, 60, 61, 64, 71, y 80.

La media de edad de estos sujetos ser de:

(15 21 32 59 60 60 61 64 71 852

0)1

.30

aosX+ + + + + + + + += =

Varianza

521

.30

aosX = =

La varianza sera:

2 2 2(15 52.3) (21 52.3) ...(80 52.3)427.61

10

+ + =

Desviacin estndar de una muestra

Es la variacin promedio de las puntuaciones con relacin a la media.

Medidas de dispersin

ss2=

Desviacin estndar

En una muestra el smbolo es s y en una poblacin es . La desviacin estndar es la raz cuadrada de la varianza. la raz cuadrada de la varianza.

En smbolos, esto es,2 2 2

1 2( ) ( ) ... ( )

1nX X X X X Xs

n

+ + + =

2

1

( )

1

n

ii

X Xs

n=

=

Pasos para hallar el cmputo de la varianza y la desviacin estndar

a. Se halla la media aritmtica de los datosb. Se obtiene la diferencia entre cada valor y

la media.la media.c. Se cuadra cada diferenciad. Se suman los cuadradose. Se divide la suma por n-1

Ejemplo 1

Halla la varianza y desviacin estndar para los siguientes datos: 4.9, 6.3, 7.7, 8.9, 10.3, 11.7.Solucin: El primer paso es hallar la media aritmtica.

Esto es,4.9+6.3+ 7.7+ 8.9+ 10.3+ 11.74.9+6.3+ 7.7+ 8.9+ 10.3+ 11.7

8.36

X = =

2 2 2 2 2 22 (4.9 8.3) (6.3 8.3) (7.7 8.3) (8.9 8.3) (10.3 8.3) (11.7 8.3) 6.368

6 1s

+ + + + + = =

2 2 2 2 2 2(4.9 8.3) (6.3 8.3) (7.7 8.3) (8.9 8.3) (10.3 8.3) (11.7 8.3)2.523

6 1s

+ + + + + = =

Ejemplo 2

Halla la varianza y la desviacin estndar en el siguiente conjunto de datos (5,10 y 15). Solucin: La media es 10 ya que

.5 10 15 30

103 3

+ + = =.

Por lo tanto, la desviacin estndar es igual a 5 debido a que,

3 3

2 2 2 2 2 2(5 10) (10 10) (15 10) ( 5) (0) (5)

3 1 2s

+ + + += =

50

2= 25 5= =

Qu indican la varianza y la desviacin estndar?

Ambas muestran cun separadas estn las puntuaciones de la media. Mientras ms grandes son estas medidas, ms dispersin hay.

La desviacin estndar se prefiere a la varianza pues usa la misma unidad de las observaciones.

No tiene sentido hablar de unidades cuadradas. La varianza cuadra la diferencia entre cada valor y la media, pues si no lo hiciera la suma de las diferencias sera cero.

Qu indican la varianza y la desviacin estndar?

Ntese que ni la varianza ni la desviacin estndar pueden ser negativas.

La varianza es una suma de cuadrados y la desviacin estndar es un radical.

Ejemplo

Veamos lo que ocurre con los datos del ejemplo anterior que son: 4.9, 6.3, 7.7, 8.9, 10.3 y 11.7. En este caso (4.9 - 8.3) + (6.3 - 8.3) + En este caso (4.9 - 8.3) + (6.3 - 8.3) + (7.7 - 8.3) + (8.9 - 8.3) + (10.3 - 8.3) + (11.7 - 8.3) = 0

En el proceso de cuadrar se preservan estas diferencias

Estudia!

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xito en tu futuro!