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Lugares geométricos complejos

Primera parte

“Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella”.

Karl F. Gauss.

Wilfredo Zuleta R.1

En este sencillo artículo construimos algunos lugares geométricos aplicando

ciertas operaciones con números complejos sobre curvas particulares conocidas y con

el comando Lugar Geométrico y considerando el complejo escogido sobre dicha

curva en su forma Polar. Hemos trazado esos lugares geométricos con el software

libre Geogebra2. En resumen, se escoge una curva expresándola en forma polar y

escogemos un número complejo Z y luego le aplicamos una operación (o función)

sobre él, y su imagen es ( )f Z . Ahora bien, con estos valores y utilizando el comando

Lugar Geométrico generamos la correspondiente curva (o imagen). Luego con un

poco de trabajo matemático encontramos las ecuaciones paramétricas que lo

representan y sus correspondientes ecuaciones cartesianas.

La operación recíproco de un complejo generando

lugares geométricos

1. Es este caso el dominio de la función f es la parábola 2y x (forma

cartesiana) y en su forma polar 2( )

0

senr con

cos

. La curva en

azul representa el dominio de f y la curva en rojo la imagen de f . Usando el

recíproco de un número complejo en forma polar y cierta manipulación

matemática 3 se obtienen tanto las ecuaciones paramétricas como la

correspondiente ecuación cartesiana. Ver figura 1.

1 Profesor jubilado del NURR. Universidad De Los Andes. Trujillo-Venezuela. Email:wrzr2001us@hotmail.com

2 GeoGebra 5.0.236.0-3D

3 Recomendamos al lector no familiarizado con los temas necesarios para la lectura, revisar lo referente a

coodenadas polares y operaciones con números complejos.

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Figura 1

2. Ahora el dominio de la función f la curva 3y x (forma cartesiana) y en su

forma polar 3

( )

2

senr con

cos

. La curva en azul representa el

dominio de f y la curva en rojo la imagen de f . Ver figura 2.

Figura 2

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3. Sea ahora el dominio la elipse

2 2

2 21 0, 0

x ya b

a b

2 2 2 2cos( ) 0 2

b a senr con

ab

(formas

cartesiana y polar, respectivamente). Ver figura 3.

Figura 3

Observación:

a. En el caso mostrado en la figura 3, 1b y a puede ser cualquier número

positivo distinto de 1 y por esa razón la curva en rojo se mantiene tangente a la

elipse en los vértices que están sobre el eje menor. En este caso 1b y 1a y

así la curva en rojo es tangente pero está dentro de la elipse.

b. En el caso en que 1b pero 1a , sigue dándose la tangencia pero la elipse

esta por dentro de la curva en rojo como lo mostramos en la figura 4.

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Figura 4

c. En caso tal de que 1a b ambas curvas son circunferencias de radio 1,

como se muestra en la figura 5.

Figura 5

5

d. En el caso de que, 1a y b puede ser cualquier número mayor que 1, es de

esperarse que dichas curvas sean como las que se muestran en la figura 6.

Figura 6

e. En el caso de que, 1a y b sea cualquier número menor que 1, dichas curvas

son como las que se muestran en la figura 7.

Figura 7

6

f. En el caso de que 1a b se obtiene circunferencias concéntricas de radios a

y 1

a. En la figura 8 y 9 se muestran estos casos.

Figura 8 ( 1a b )

Figura 9 ( 1a b )

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g. En las figuras 10, 11, 12 y 13 se muestran otros casos posibles

Figura 10 ( 1 1b y a )

Figura 11 ( 1 1b y a )

8

Figura 12 ( 1b a )

Figura 13 ( 1a b )

4. Tomemos ahora como dominio las curvas de la forma ( cos ) 0 2a b con y

0 0a y b

a. Aquí consideremos 1b y 0a . El lugar geométrico generado es una Parábola

como se puede observar en la figura 14

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Figura 14

b. En este caso hacemos 1 0b y a para obtener una Hipérbola que mostramos en

la figura 15.

Figura 15

10

c. Ahora el caso en que 1 0b y a para obtener una Elipse que mostramos en la

figura 16

Figura 16

Observación:

Las curvas ( cos ) 0 2a b con empleadas aquí tienen sus “coincidencias”

con las curvas Caracoles expresadas por cos 0 2a b con , como por

ejemplo si 1a b obtenemos un Cardiode, si 1 2a

b es una Caracol con

hendidura, si 2a

b un Caracol convexo y si 1

a

b Caracol con rizo (Limacón).

Veamos a continuación las respectivas imágenes de estas curvas.

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Es deseable que el lector haga lo mismo que se ha hecho en este artículo pero con

esta familia de curvas y es de esperarse que se obtengan parábolas, elipses e

hipérbolas.

Continuará…