INTRODUCCION

Las losas armadas en dos direcciones son losas que transmiten las cargas aplicadas a travs de flexin en dos sentidos. Este comportamiento se observa en losas en las cuales la relacin entre su mayor y menor dimensin es menor que dos. A lo largo del tiempo, los mtodos de diseo de estos elementos han ido variando. En un inicio, el desconocimiento del comportamiento real de este tipo de estructuras llev a la creacin de patentes para su diseo y construccin. Antes de entrar en servicio, las losas eran sometidas a pruebas y el proyectista daba una garanta por un perodo determinado de tiempo. Los procedimientos de diseo empleados consideraban, erradamente, que parte de la carga aplicada sobre la losa generaba esfuerzos en una direccin y el resto tena un efecto similar en la otra. Es decir, la carga se reparta en las dos direcciones principales.

En 1914, J. R. Nichols propuso usar principios de esttica para la determinacin de los esfuerzos de flexin en las losas. A diferencia de sus predecesores, consider que el total de la carga aplicada generaba esfuerzos en ambas direcciones del elemento. Este principio no fue aceptado sino hasta mediados de 1925 y fue incluido en el cdigo del ACI slo hasta 1971. Los esfuerzos obtenidos aplicando el mtodo de Nichols no son exactos, sin embargo, permiten disear losas que funcionan eficientemente.

En 1940, el Joint Comitee ACI-ASCE planteando un mtodo de coeficientes para el diseo de losas armadas en dos sentidos con vigas en los bordes de los paos. Este mtodo todava se emplea y lo consignan en sus textos numerosos autores.

En 1943, K. W. Johansen propuso la teora de las lneas de fluencia. Esta teora supone que conforme se incrementa la carga, se desarrollan articulaciones en la losa, a manera de bisagras, que generan la rotacin de trozos rgidos del elemento. Este planteamiento basado en una anlisis plstico conduce a espesores de losa menores que los obtenidos a travs otros mtodos y por ello es preciso verificar, siempre, sus condiciones de servicio.

Otros investigadores que han aportado con sus investigaciones al conocimiento del comportamiento de losas armadas en dos direcciones son: Ockleston, Mansfield, Rzhanitsyn, Powell, Wood, Sawczuk, Gamble-Sozen-Siess y Park.

TIPOS DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOSEn un inicio, las losas armadas en dos sentidos se apoyaron sobre vigas en sus cuatro lados dando lugar a los sistemas de vigas y losas, Conforme se fue conociendo mejor el comportamiento de estas estructuras se fue prescindiendo de las vigas y se desarrollaron losas planas, flat plate o fZat slab, Este sistema es eficiente y econmico cuando acta bajo cargas de gravedad, sin embargo, su poca rigidez lateral lo hace inconveniente en regiones de alta sismicidad. El encofrado de las losas planas es ms econmico que el del sistema de vigas y losa. Adems, son erigidas en menos tiempo y permiten aprovechar mejor el espacio vertical de las edificaciones. El tendido de tuberas tambin es ms sencillo por la ausencia de vigas en el techo. Por ello, en zonas de baja sismicidad, las losas planas son muy utilizadas. Son econmicas para luces mayores de 6 m.

En ocasiones, las losas planas presentan problemas de punzonamiento alrededor de las columnas.No es posible una adecuada transferencia de las cargas aplicadas sobre la losa hacia la columna. En estas situaciones es posible incrementar el espesor de la losa sobre el apoyo para aumentar la seccin de concreto que resiste el corte. Este ensanchamiento se denomina baco o panel. Tambin se suele hacer uso de capiteles.

Este sistema es conveniente para luces de 6 a 9 m. sometidas a cargas mayores a 500 kg/m2. La losa es maciza para evitar el punzonamiento. Esta estructura permite reducir la carga muerta que sostiene y cubrir luces mayores. Su uso es conveniente en tramos de 7.5 a 12 m. El vaco dejado por la reduccin de la seccin de la losa puede quedar abierto o ser rellenado por ladrillos.

CRITERIOS PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS

Se presentan algunas recomendaciones sugeridas por el cdigo del ACI para el dimensionamiento de losas armadas en dos direcciones.

Figura 01: Tipos de losas armadas en dos sentidos

Espesor mnimo de la losaEl cdigo del ACI propone espesores mnimos de losa que garantizan que sus deflexiones no sean excesivas. Si los esfuerzos de corte son elevados, dicho espesor debe ser incrementado.Esta situacin se suele presentar en los sistemas de losas sin vigas.El espesor mnimo de losas con vigas entre apoyos, es funcin de el cual es igual al promedio de los valores de correspondientes a las vigas que limitan el pao. El parmetro a se determina a travs de la siguiente expresin (ACI-13.0):

Dnde:

: Mdulo de elasticidad del concreto de las vigas.: Mdulo de elasticidad del concreto de la losa. : Momento de inercia de la seccin bruta de la viga respecto a su eje centroidal. : Momento de inercia de la seccin bruta de la losa respecto a su eje centroidal.

Si vigas y losa constituyen un sistema monoltico, se considerar que las vigas incluyen una porcin de losa a cada lado, la cual ser igual a la proyeccin de la viga sobre o por debajo de la losa, la que sea mayor y no deber superar cuatro veces el espesor de la losa. (Figura 02)

Figura: 02 Porcin de losa que contribuye la resistencia de la viga.

Viga Exterior Viga InteriorFigura 03: Se muestra las secciones de vigas y losas a ser consideradas en la expresin de la figura 01Si es menor que 0.2, la rigidez de las vigas es prcticamente nula y por lo tanto, su presencia no se considera. En este caso, los espesores de losa se determinarn haciendo uso de la Tabla 01. Para losas con bacos dicho espesor no deber ser menor que 10 cm y para losas sin bacos, ser mayor que 12.5 cm.

Esfuerzo de fluencia del acero (kg/cm2)Sin bacosCon bacos

Pao exteriorPao inferiorPao exteriorPao interior

Sin vigas de bordeCon vigas de bordeSin vigas de bordeCon vigas de borde

2800

4200

5250

Tabla 01 Espesores mnimos de losas armadas en dos sentidos del cdigo del ACI.

Si est comprendido entre 0.2 y 2, el espesor de la losa estar dado por la siguiente expresin:

Y no ser menor que 12.5 cm. Si es mayor que 2, el espesor mnimo ser:

El espesor de la losa no ser, en ningn caso, menor que 9 cm. En las expresiones anteriores el parmetro es igual a la relacin entre la mayor y menor luz libre de la losa.

En los extremos discontinuos, la losa deber proveerse una viga de borde con un valor de no menor que 0.8 o si no la hay, el peralte ser igual al espesor determinado con las expresiones anteriores incrementado en un 10%.

Las recomendaciones del cdigo en relacin al espesor de losas armadas en dos direcciones pueden obviarse siempre que se demuestre que las deflexiones de los elementos horizontales no exceden los mximos permitidos. Las flechas debern calcularse teniendo en cuenta el tamao del pao y sus condiciones de apoyo. El efecto de la carga sostenida tambin deber considerarse.

bacos o panelesLas dimensiones de los bacos debern satisfacer las condiciones presentadas en la figura 04(ACI-13.3.7).

Figura: 04 provisiones para el dimensionamiento de bacosPara el clculo del refuerzo negativo sobre la columna, el espesor del baco por debajo de la losa no se considerar mayor que un cuarto de la distancia entre la cara de la columna o capitel y el borde del baco. Si el espesor del baco es mayor, no se tomar en cuenta.

CapitelesLos capiteles reducen la luz libre de los paos de la losa, sin embargo, para el diseo, esta reduccin es limitada a un mnimo del 65% de la luz entre ejes de apoyos. Para el clculo de los momentos en la losa, las dimensiones de las columnas no se considerarn mayores que las definidas por la interseccin del mayor cono circular o pirmide recta que se pueda inscribir entre el capitel y la superficie inferior de la losa o baco si es que existe y cuyos lados estn inclinados 45" respecto al eje de la columna. La figura 05 muestra esta consideracin ms claramente

Figura 05 Ancho efectivo de una columna provista de capitelLos capiteles tambin incrementan la resistencia al punzonamiento de la unin losa-columna pues aumentan el permetro de la columna.

DISEO DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES SEGN EL JOINT COMITEE ASCE-ACI 1940

Este mtodo de diseo es aplicable slo a losas armadas en dos sentidos apoyadas en vigas o muros. Se definen los siguientes parmetros

: Luz menor del pao analizado medida centro a centro de los apoyos o luz libre ms dos veces el espesor de la losa, el que sea menor.

: Luz mayor del pao analizado determinada con los mismos criterios que la luz menor.

: Carga amplificada uniforme por unidad de rea.

m : Cociente de la luz menor del pao entre la luz mayor, m=/:

La losa se considera dividida en franjas medias y franjas de columna como se muestra en la figura 06. La seccin crtica para el mximo momento negativo se ubica en la cara de las vigas y para el mximo positivo, en el centro de los paos. Los momentos, en la direccin mayor y menor, se calculan a travs de la siguiente expresin:

El valor del parmetro C depende de las condiciones de apoyo de la losa y se indica en la Tabla 2

Figura 06 Franjas medias de columna segn el mtodo del Joint Comitee ASCE-ACI

MomentosLuz cortaLuz larga para todo m

Valor de m

1.00.90.80.70.60.5

Panel interior Momento negativo en: Extremo continuo Extremo discontinuo Momento positivo

0.0330.0400.0480.0550.0630.0830.033

0.0250.030.0360.0410.0470.0620.025

Un extremo discontinuo Momento negativo en: Extremo continuo Extremo discontinuo Momento positivo

0.0410.0480.0550.0620.0690.0850.041

0.0250.0240.0270.0310.0350.0420.021

0.0310.0360.0410.0470.0520.0640.031

Dos extremos discontinuos Momento negativo en: Extremo continuo Extremo discontinuo

0.0490.0570.0640.0710.0780.090.049

0.0250.0280.0360.0360.0390.0450.025

0.0370.0430.0540.0540.0590.0680.037

tres extremos discontinuos Momento negativo en: Extremo continuo Extremo discontinuo

0.0580.0660.0740.0820.0900.0980.058

0.0290.0330.0370.0410.0450.0490.029

0.0440.0500.0560.0620.0680.0740.044

Cuatro extremos discontinuos Momento negativo en: Extremo continuo Extremo discontinuo

0.0330.0380.0430.0470.0530.0550.033

0.0500.0570.0640.0720.0800.0830.050

Tabla 02 Coeficientes para el clculo de los momentos de diseo de losas apoyadas en vigas

El momento por unidad de ancho obtenido a travs de la expresin anterior corresponde a la franja media. El momento en la franja de columna ser 2/3 del calculado para la franja media. Si el momento negativo a un lado de la viga es menor que el 80% del momento en su otro lado, los 2/3 de la diferencia se reparten a ambos lados, proporcionalmente a las rigideces de las losas.

El procedimiento de diseo por corte de la losa es similar al propuesto por el cdigo del ACI que es presentado en la seccin subsiguiente.

El clculo de los momentos en las vigas se efecta haciendo uso de las siguientes cargas uniformes, equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:

Viga paralela a la Luz

Viga paralela a la Luz

El clculo de las fuerzas cortantes se efecta empleando la distribucin real de la carga sobre la viga.Por su simplicidad, este mtodo resulta muy til para el diseo de losas apoyadas en muros y vigas.

PRINCIPIOS GENERALES PARA EL DISEO DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES SEGN EL CDIGO DEL ACI

En la figura 07 se muestra el diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de una losa cargada verticalmente. Como se aprecia, en las caras laterales existen fuerzas de corte horizontal y vertical, fuerza axial, momento flector alrededor del eje paralelo a la cara y momento torsor. Por equilibrio, se puede plantear seis ecuaciones, las cuales no son suficientes para determinar las fuerzas internas. Para establecer ecuaciones adicionales que permitan conocerlas es necesario recurrir a las condiciones de borde. Combinando estas relaciones con las derivadas del equilibrio del elemento diferencial es posible elaborar un sistema consistente de ecuaciones que permiten determinar las fuerzas internas de dicho elemento.

Figura 07 Elemento diferencial de losaPara, hacer factible el desarrollo anterior, es necesario idealizar las condiciones de contorno: borde empotrado, simplemente apoyado o en volado. Aun as, el procedimiento matemtico para la resolucin del sistema de ecuaciones es complicado y dada la simplificacin hecha en torno a los apoyos, su uses bastante restringido. Si se incluyera los efectos de creep, agrietamiento y comportamiento no lineal del concreto, el anlisis sera prcticamente imposible. Por lo anterior, un mtodo exacto no es de utilidad prctica.

Para el diseo de losas armadas en dos direcciones, el cdigo del ACI propone que stas se consideren como vigas chatas y anchas apoyadas en las columnas que les sirven de apoyo. Con este criterio, las fuerzas cortantes horizontales y las fuerzas axiales de la losa son despreciadas.Bajo cargas de servicio ambas son pequeas y por lo tanto es posible obviarlas. Sin embargo, conforme la carga se incrementa, estas fuerzas crecen generando un mecanismo que constituye una reserva importante de resistencia. De todos modos, esta capacidad no es considerada pues se presenta luego de un agrietamiento y deflexin excesivos. Por lo tanto, la simplificacin propuesta por el cdigo es lgica y pertinente.

Los esfuerzos en la losa son mayores cerca de elementos rgidos como columnas, vigas y muros. En la figura 08.a se muestra el diagrama de momento flector obtenido de un anlisis elstico en dos secciones de una losa apoyada directamente sobre columnas. Ya sea en la seccin central del pao, donde los momentos son positivos, como en la correspondiente al eje de las columnas, donde son negativos, la mayor concentracin de esfuerzos se presenta sobre los apoyos. Por lo anterior, el cdigo del ACI divide los paos en franjas para facilitar la distribucin de los momentos en ellos.

Figura 08 Momentos flectores en diferentes secciones de la losaLa franja de columna es una franja con un ancho a cada lado del eje de las columnas igual al menor valor entre 0.25, y 0.25, donde , y , son las longitudes centro a centro del pao de losa. La franja central es la porcin del pao limitada por dos franjas de columna (figura 09)

Figura: 09 Franja central y franja de columnaEl cdigo del ACI propone dos mtodos simplificados para la determinacin de los momentos de diseo de las losas: mtodo directo y mtodo del prtico equivalente. Ambos son vlidos siempre que los paos sean rectangulares y que el sistema est sometido nicamente a cargas de gravedad. Adems, cualquier viga dentro de la estructura debe estar apoyada necesariamente sobre columnas, es decir, los mtodos propuestos no pueden ser utilizados si se presentan vigas apoyadas sobre vigas.

El mtodo directo (ACI-13.6) es un mtodo aproximado que estima los momentos flectores en base a coeficientes establecidos. Por esta razn, es aplicable slo si se satisfacen una serie de requerimientos en torno a las caractersticas geomtricas del sistema y al tipo de carga. Es un procedimiento sumamente sencillo.

El mtodo del prtico equivalente es ms elaborado que el anterior (ACI-13.7). Consiste en dividir la estructura tridimensional en una serie de prticos bidimensionales, como el mostrado en la figura 10. Estos estn limitados por las lneas medias de los paos que los conforman.

Los mtodos propuestos por el cdigo se pueden utilizar siempre que las cargas aplicadas sobre la estructura sean verticales. Para el anlisis de la losa sujeta a cargas laterales, es posible adaptar el mtodo del prtico equivalente, teniendo en cuenta la prdida de rigidez de sus elementos debido al agrietamiento, para lo cual se debe considerar las momentos de inercia reducidos que indica el ACI. Esta consideracin evita que se subestime el desplazamiento lateral de la estructura. La prdida de rigidez no slo es funcin del agrietamiento sino tambin de la concentracin del refuerzo y de las dimensiones del pao y de la columna. Para un elemento completamente fisurado y con refuerzo mnimo, la rigidez puede estimarse como un cuarto de la correspondiente a la seccin bruta. Obviamente, las condiciones no son siempre tan desfavorables pero en cualquier caso ese valor da resultados conservadores.