Los sistemas de representacin (II). Dibujo y perspectivade superficies radiadas y slidos

Este tema es una sntesis de los sistemas axonomtricos que hemos desarrollado en los temas anteriores.Los conceptos y procedimientos estudiados en el trazado de formas planas constituyen la base fundamental deldibujo de figuras ms complejas, ya que las proyecciones axonomtricas de cualquier superficie, cuerpo o slido esuna forma plana.Empezaremos por el estudio y posterior construccin de superficies radiadas: cilndricas y cnicas. Aprenderemosnuevos mtodos de trazado, en isomtrico y caballera, lo que nos permitir dibujar piezas en tres dimensiones, esdecir, su perspectiva directa.

Casi todos los objetos elaborados por el ser humano en los mbitos del diseo (muebles), arquitectura (elementosarquitectnicos), ingeniera (piezas mecnicas), etc.. tienen en su estructura y composicin superficies geomtricasconcretas.

En la imagen superior tienes una pieza representada, de izquierda a derecha, en perspectiva isomtrica y caballera.

1. Superficies

Una superficie es el agrupamiento de puntos y lneas, marca el lmite (contorno) entre un espacio interior (dintorno)y otro exterior.Cuando una superficie separa estas dos regiones del espacio crea un cuerpo o slido.

La clasificacin de las superficies puede variar, en funcin del criterio que se aplique. Generalmente su estudio secircunscribe a dos tipos: curvas y regladas.Si seccionamos una superficie mediante planos secantes, producen en ella truncamientos o biselados que generannuevas superficies. En los mbitos de la tcnica y el arte esto es fundamental, ya que permite mejorar lafuncionalidad de las piezas mecnicas, y acenta la esttica y la expresividad en la obra artstica.

En la imagen superior hemos representado en perspectiva isomtrica y caballera una superficie prismtica, observacmo el espacio interior est conformado rectngulos.

1.1. Generalidades

DEFINICIN.

Una superficie est conformada por los infinitos puntos de contactos que un cuerpo o slido tiene con el espacio quele rodea, se considera que su grosor es infinitamente pequeo (slo tiene dos dimensiones).

Sabemos que un punto al desplazarse genera una recta, y sta al moverse crea una superficie plana; a este tipo derectas la llamamos recta generatriz.

Una superficie puede generarse a partir de:

Una recta generatriz: si su movimiento sigue una ley determinada. La superficie se denomina geomtrica.

Otra superficie: al desplazarse, mediante un movimiento envolvente.

En ambos casos, la recta o la superficie pueden modificar dependiendo de la posicin que vayan ocupando, o por elcontrario, pueden permanecer indeformables.

Un slido o cuerpo est formado por distintas superficies, creando un volumen material limitado(tridimensional).

CLASIFICACIN.

Segn sea la lnea que genera a la superficie podemos clasificarlas en:

Regladas: generadas por una lnea recta.

No regladas: generadas por una lnea curva.

Las superficies regladas a su vez se dividen en dos tipos:

Desarrollables: todos sus puntos se pueden adosar a un plano, sin que la superficie se deforme.

Alabeadas: si adaptamos sus puntos a un plano la superficie sufre deformacin.

Dentro de las desarrollables distinguimos dos tipos:

Polidricas: formadas por caras planas (tringulos, cuadrilteros, polgonos) y pueden ser regulares eirregulares.

Radiadas: la superficie es generada por una recta (generatriz), apoyada o paralela a una recta (eje), que semueve apoyndose en una lnea poligonal o curva (directriz) cerrada o abierta. Segn sea la posicin de lageneratriz respecto del eje, se generan dos tipos de superficies: cnicas y cilndricas.

En la imagen inferior puede ver un esquema dela clasificacin de las superficies, hemos resaltado en color rojo lasque desarrollaremos en este tema.

Actividad

Otra definicin de superficie: es el lugar geomtrico de las posiciones de una lnea que se mueveen el espacio siguiendo una ley.

SUPERFICIES RADIADAS.

Cnicas: la recta generatriz corta al eje.

Cilndricas: la recta generatriz es paralela al eje.

Superficies radiadas de revolucin: depende de la posicin y el ngulo entre el eje y la recta generatriz:

Cnicas de revolucin: el ngulo que forma la generatriz con el eje es constante. En la siguienteanimacin, realizada en perspectiva militar, puedes ver cmo se genera un cono recto de revolucin a partir deuna generatriz apoyada en un eje vertical y una circunferencia directriz.

Objetivos

Cilndricas de revolucin: la distancia entre el eje y la generatriz es constante. En la siguiente animacin,realizada en perspectiva militar, puedes ver cmo se genera un cilindro recto de revolucin a partir de unageneratriz paralela a un eje vertical y una circunferencia directriz.

Nosotros en este curso slo vamos a estudiar las superficies regladas radiadas.

Actividad

Objetivos

si lo que desea es representar el espacio tridimensional que ocupa un cuerpo, ser la escultura elmedio ms idneo mediante el cual podr configurar los tres lmites fsicos que definen un cuerpo:ancho alto y profundidad, esto es, el volumen.

Nosotros percibimos un cuerpo gracias a todos sus contornos, esto es posible por la interaccin delas distintas superficies que definen su forma.

En la imagen superior te mostramos diversas esculturas expuestas en el museo nacional ReinaSofa de Madrid.Estn dispuestas de izquierda a derecha segn su grado de iconicidad, relacin de semejanza entreuna imagen y su referente, las dos primeras presentan una gran semejanza con en el referente uobjeto real, mientras que las tres ltimas se parecen poco a su referente real.Observa cmo el volumen rotundo y definido de los cuerpos situados a la izquierda entran encontraposicin con los representados a la derecha, donde los huecos y las superficies geomtricassencillas, dotan a las esculturas de una gran expresividad.

1.2. Cilndricas

La superficie se genera por una recta paralela a un eje, se desplaza apoyndose en una lnea poligonal o curva.En la imagen superior, de izquierda a derecha, tienes la perspectiva militar de un cilindro y un prisma.

CILINDRO.

La superficie cilndrica est generada por una recta que se traslada paralelamente, apoyndose sobre los puntos dedos curvas planas iguales, que pueden ser una circunferencia o una elipse, contenidas en dos planos paralelos(directrices).

Elementos.

Un cilindro est formado por: directriz, generatrices, un eje, las bases y la altura.

En la animacin inferior hemos representado en perspectiva militar un cilindro recto de revolucin.

Clasificacin.

Dependiendo de la posicin de las generatrices respecto de la directriz y de la forma de esta los cilindros seclasifican en: rectos, oblicuos y de revolucin.

En este curso vamos a estudiar solamente los cilindros rectos de revolucin.

Cilindro truncado.

Se genera cuando sus bases no son paralelas; pero sin llegar a cortarse.

A este tipo de cilindro tambin se le denomina tronco de cilindro.

En la imagen izquierda tienes un ejemplo de cilindro recto de revolucintruncado, en perspectiva militar, observa cmo la seccin es una elipse.

Actividad

Objetivos

PRISMA.

La superficie prismtica est generada por una recta que se corta en un punto impropio apoyndose en un polgonodirectriz. Esta superficie prismtica est limitada, en sus dos sentidos, por dos planos secantes paralelos.

Un prisma est constituido por aristas y caras y estn son dos tipos: laterales y bsicas:

Arista y caras laterales: pertenecen a la superficie lateral.

Aristas bsicas y planos bsicos (bases): son el resultado de la interseccin de la superficie lateral con losplanos secantes.

La distancia perpendicular entre las bases paralelas de un prisma es su altura.

El nmero de caras laterales depender del nmero de lados del polgono base, y viceversa.

Prisma truncado.

Se genera cuando sus bases no son paralelas; pero sin llegar a cortarse.

Sus caras laterales son trapecios.

A este tipo de prisma tambin se le denomina tronco de pirmide.

En la imagen izquierda tienes un ejemplo de trapecio truncado, en perspectivamilitar, de base pentagonal; observa cmo sus caras son trapecios rectngulos.

Elementos.

Un prisma est formado por: directriz, generatrices (aristas), un eje, la bases, las caras laterales y la altura.

En la animacin inferior hemos representado en perspectiva militar un prisma regular de base hexagonal.

Actividad

Objetivos

Clasificacin.

Dependiendo de la posicin de las aristas laterales respecto de la directriz y de la forma de esta los prismas seclasifican en: recto, oblicuo, regular e irregular.

En este curso vamos a estudiar solamente los prismas regulares.

Paraleleppedo.

Es un prisma cuya directriz es un cuadrilteroparalelogramo (rectngulo, rombo y romboide). Puedeser rectngulo u oblicuo.

Actividad

Objetivos

1.3. Cnicas

La superficie se genera por una recta apoyada en un eje, se desplaza apoyndose en una lnea poligonal o curva. Enla imagen superior, de izquierda a derecha, tienes una perspectiva militar de una pirmide y un cono.

CONO.

La superficie cnica est generada por una recta que se traslada apoyando uno de sus extremos sobre los puntosque forman la directriz, una curva plana (circunferencia o elipse) y el otro extremo se mantiene fijo en un punto,llamado vrtice.

Elementos.

Un cono est formado por: directriz, generatriz, un eje, un vrtice, la base y la altura.

En la animacin inferior hemos representado en perspectiva militar un cono recto de revolucin.

Clasificacin.

Dependiendo de la posicin de las generatrices respecto del eje, y de la forma de la directriz, los conos se clasificanen: rectos, oblicuos y de revolucin.

Cono truncado.

Se genera al seccionar un cono mediante unplano paralelo o inclinado a la base.

Dicho plano secante no puede pasar por elvrtice ni cortar a la base.

A este tipo de cono tambin se le denominatronco de cono.

En la imagen izquierda tienes un ejemplo decono truncado, en perspectiva militar, de basepentagonal; observa cmo dependiendo de lainclinacin del plano seccin se genera unacircunferencia o una elipse.

Cuando un cono recto de revolucin esseccionado por un plano se generan las curvas

cnicas: elipse, parbola e hiprbola.

Objetivos

Actividad

PIRMIDE.

La superficie piramidal est generada por una recta que se traslada, apoyndose uno de sus extremos sobre lospuntos de una directriz poligonal, y el otro extremo permanece fijo en un punto llamado vrtice.

Elementos.

Una pirmide est formada por: directriz, generatrices (aristas), un eje, la bases, un vrtice y la altura.

En la animacin inferior hemos representado en perspectiva militar una pirmide regular de base hexagonal.

Clasificacin.

Dependiendo de la posicin del eje respecto de la directriz y de la forma de esta las pirmides se clasifican en:recta, oblicua, regular e irregular.

En este curso vamos a estudiar solamente los pirmides regulares.

Pirmide truncada.

Se obtiene cuando se corta una pirmidemediante un plano paralelo o inclinado a labase.

Dicho plano secante no puede pasar por elvrtice ni cortar a la base.

A este tipo de pirmide tambin se ledenomina tronco de pirmide.

En la imagen izquierda tienes un ejemplode pirmide truncado, en perspectivamilitar, de base pentagonal; observa cmodependiendo de la inclinacin del plano

seccin se genera una polgono igual a la base o distinto.

Sus caras laterales son cuadrilteros.

Actividad

Objetivos

2. Dibujo isomtrico

Recuerda que cuando realizamos un dibujo isomtrico no se aplica el coeficiente de reduccin (0,816) y que ademsla proyeccin de la circunferencia y sus arcos, que en realidad es una elipse, nosotros la construimos mediante elmtodo del valo isomtrico.

En la imagen superior tienes un ejemplo de dibujo isomtrico de superficies radiadas y de un slido o cuerpo.

Para el desarrollo de este apartado es conveniente que repases el tema 2 de esta unidad didctica.

Actividad

2.1. Cilindro y Prisma

CILINDRO.

Las posiciones que puede ocupar un cilindrorecto de revolucin respecto de las caras deltriedro pueden ser infinitas.Nosotros solamente vamos a analizar aquellasposiciones en las que sus bases sean paralelas auno de los planos de proyeccin.

Estas bases pueden estar contenidas o no en lascaras del triedro.

En la imagen izquierda tienes la perspectivaisomtrica de un cilindro apoyado en el planoXOY, observa cmo su base es un valoisomtrico (o una elipse).

Posiciones del cilindro.

Una base est contenida en un plano del triedro y es tangente a las otras caras.

Dibujo isomtrico de un cilindro.

En la animacin inferior puedes ver cmo se ha realizado el dibujo isomtrico de las proyecciones secundarias(planos XOY, XOZ) y directa de un cilindro cuyas bases son paralelas al plano XOY. Puedes ver cmo el cilindro no estangente a ningn plano del triedro.

PRISMA.

Las posiciones que puede ocupar un prismaregular respecto de las caras del triedro puedenser infinitas.

Nosotros solamente vamos a analizar aquellasposiciones en las que sus bases sean paralelas auno de los planos de proyeccin, y con al menosuno de los lados, de la otra base, paralelo a unode los ejes isomtricos.

Las bases pueden estar contenidas o no en lascaras del triedro.

En la imagen izquierda tienes la perspectivaisomtrica de un prisma regular, de base

hexagonal, apoyado en el plano XOY, con dos lados paralelos a un eje isomtrico.

Posiciones del prisma.

Una base est contenida en un plano del triedro. En este ejemplo la base hexagonal tiene dos lados paralelos a uneje isomtrico.

Dibujo isomtrico de un prisma.

En la animacin inferior puedes ver cmo se ha realizado el dibujo isomtrico de las proyecciones secundarias(planos XOY, XOZ) y directa de un prisma regular, cuyas bases, hexagonales, son paralelas al plano XOY. Puedes vercmo ninguna arista del prisma est contenida en los planos del triedro.

Dibujo isomtrico de un prisma seccionado.

En esta animacin te mostramos un prisma regular de base hexagonal seccionado por la mitad mediante dos cortes,uno longitudinal y otro transversal.Dicho prisma est apoyado en los planos de triedro:

En el plano ZOY por una de sus bases.

En el plano XOY por una de sus caras laterales.

En el plano XOZ por una arista lateral.

El prisma queda definido por sus vistas didricas alzado planta y perfil derecho.

En la imagen izquierdatienes las vistasdidricas de un conorecto de revolucinseccionado, apoyadopor una de sus bases enel plano XOZ, ytangente a los planosXOY, ZOY. Tienes quetrazar las proyeccionessecundarias y directa,determinado su dibujoisomtrico.

Para realizar este ejercicio debes tener en cuenta los siguientes datos:

Dimetro de las bases: 70 mm.

Altura del cilindro: 60 mm.

Seccin: 30 x 30.

Debes realizar este ejercicio en un formato A3, en este documento pdf puedes ver los datos

2.2. Cono y Pirmide

CONO.

Las posiciones que un cono recto de revolucin,considerando su base y su eje, puede ocuparrespecto de las caras del triedro, son infinitas.

Nosotros solamente vamos a analizar aquellasposiciones en las que su base sea paralela a unode los planos de proyeccin, y lgicamente sueje ser perpendicular a dicho plano.

La base puede estar contenida o no en las carasdel triedro.

En la imagen izquierda tienes la perspectivaisomtrica de un cono recto de revolucinapoyado en el plano XOY.

Posiciones del cono.

Su base est contenida en un plano del triedro y es tangente a las otras caras.

Cono recto de revolucin.

Su base es paralela al plano XOY, y no es tangente a ninguna cara del triedro. Para realizar le dibujo isomtrico delas proyecciones secundaria y directa de la base hemos empleado el mtodo del valo isomtrico.

Cono truncado.

Su base est contenida en el plano XOY y es tangente a los planos XOZ, ZOY, en los ejes X e Y respectivamente.

PIRMIDE.

Las posiciones que una pirmide regular,considerando su base y su eje, respecto de lascaras del triedro, pueden ser infinitas.

Nosotros solamente vamos a analizar aquellasposiciones en las que su base sea paralela a unode los planos de proyeccin, y lgicamente sueje ser perpendicular a dicho plano. Uno de loslados de la base, como mnimo, ser paralelo auno de los ejes isomtricos.

La base puede estar contenida, o no, en lascaras del triedro.

En la imagen izquierda tienes la perspectivaisomtrica de una pirmide regular, de base

hexagonal, apoyado en el plano XOY, con dos lados paralelos a un eje isomtrico.

Posiciones de la pirmide.

La base est contenida en un plano del triedro. En este ejemplo la base hexagonal tiene dos lados paralelos a un eje

isomtrico.

Pirmide regular de base hexagonal. Su base es paralela al plano XOY.

vistas didricas de una pirmidetruncada de bases pentagonal,apoyada en el plano XOY por subase mayor, y uno de sus ladosparalelo al eje X.

Tienes que trazar las proyecciones secundarias y directa, determinado su dibujo isomtrico.

Para realizar este ejercicio debes tener en cuenta los siguientes datos:

Lado del pentgono base inferior: 40 mm.

Lado del pentgono base superior: 30 mm.

Altura de la pirmide truncada: 60 mm.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

2.3. Slidos

VISTAS Y EJES ISOMTRICOS.

La disposicin de las vistas didricas respecto de los ejes de coordenadas isomtricos X, Y, Z, depender del perfilque se use en ellas.Recordemos que en la axonometra ortogonal la posicin de los ejes no vara, salvo en su sentido positivo onegativo, lo que s ocurre en la axonometra oblicua frontal: la disposicin del eje Y (ngulo XY) est condicionada alperfil.As pues, deberemos colocar las vistas, en funcin del perfil que se vayamos a emplear.

En la imagen izquierdatienes dos ejemplos devistas didricasdistribuidas respecto delos ejes isomtricas,segn el perfil:

Perfil derecho: elancho se corresponde conel eje X, y la profundidadcon el eje Y.

Perfil izquierdo: elancho se corresponde conel eje Y, y la profundidadcon el eje X.

PROYECCIN ISOMTRICA DE UN SLIDO.

En la siguiente animacin puedes ver cmo se traza el dibujo isomtricos de una pieza que est apoyada en lascaras del triedro.La pieza viene dada por sus vistas didricas: alzado, planta y perfil izquierdo; observa cmo los ejes isomtricosestn dispuestos respecto de dichas vistas:

Planta: ancho eje Y.Perfil Izquierdo: profundidad eje X.

En la imagen izquierda tieneslas vistas didricas de unslido; considerando que esten cada uno de los planos deltriedro por una de sus caras,tienes que trazar lasproyecciones secundarias ydirecta, determinado su dibujoisomtrico.

Debes realizar este ejercicioen un formato A3, en estedocumento pdf puedes ver losdatos

3. Perspectiva caballlera

La perspectiva caballera de cualquier superficie o slido, axonometra oblicua frontal, depender del ngulo queadopte el eje Y respecto del X y del coeficiente de reduccin que apliquemos.Dada la complejidad que tiene el trazado de la perspectiva de la circunferencia en los planos XOY, ZOY, solamentecontemplaremos dos posibles disposiciones: paralela o contenida en el plano XOZ.

En la imagen hemos realizado la perspectiva caballera de superficies radiadas y de un slido o cuerpo, empleando uneje XY = 30 y aplicando un coeficiente de reduccin = 1/2.

Para el desarrollo de este apartado es conveniente que repases el tema 3 de esta unidad didctica.

Actividad

3.1. Cilindro y Prisma

CILINDRO.

Las posiciones que puede ocupar un cilindro recto derevolucin respecto de las caras del triedro puedenser infinitas.Recordemos que en perspectiva caballera unacircunferencia nicamente se proyecta en verdaderamagnitud, sin deformacin, cuando es paralela oest contenida en el plano XOZ, por tanto, nosotrossolamente vamos a analizar esta disposicin.

En la imagen izquierda tienes la perspectivacaballera de un cilindro apoyado en el plano XOY,observa cmo sus bases son elipses.

Cilindro recto de revolucin. Sus bases son paralelas al plano XOZ.

PRISMA.

Las posiciones que puede ocupar un prisma regular respectode las caras del triedro pueden ser infinitas.Nosotros solamente vamos a analizar aquellas posiciones enlas que sus bases sean paralelas a uno de los planos deproyeccin, y con al menos uno de los lados, de la otra base,paralelo a uno de los ejes axonomtricos.Las bases pueden estar contenidas o no en las caras deltriedro.

En la imagen izquierda tienes la perspectiva caballera de unprisma regular, de base hexagonal, apoyado en el planoXOY, con dos lados paralelos al eje X.

Prisma regular de base hexagonal. Su base es paralela al plano XOY.

En la imagen izquierda tienes las vistasdidricas de un cilindro recto de revolucinseccionado, apoyado por una de sus bases enel plano XOZ, y tangente a los planos XOY,ZOY. Tienes que trazar las proyeccionessecundarias y directa, determinado superspectiva caballera.Para realizar este ejercicio debes tener encuenta los siguientes datos:

ngulo XY = 45.

Coeficiente de reduccin = 2/3.

Debes realizar este ejercicio en un formatoA3, en este documento pdf puedes ver los

datos

3.2. Cono y Pirmide

CONO.

Las posiciones que puede ocupar un cono recto derevolucin respecto de las caras del triedro pueden serinfinitas.Como vimos en el cilindro, la perspectiva caballera deuna circunferencia nicamente se proyecta enverdadera magnitud, sin deformacin, cuando esparalela o est contenida en el plano XOZ, por tanto,nosotros solamente vamos a analizar esta disposicin.

En la imagen izquierda tienes la perspectiva caballerade un cono recto de revolucin apoyado en el planoXOY, observa cmo su base es una elipse.

Cono recto de revolucin. Su base es paralela al plano XOZ.

PIRMIDE.

Las posiciones que una pirmide regular, considerando subase y su eje, respecto de las caras del triedro, pueden serinfinitas.Nosotros solamente vamos a analizar aquellas posiciones enlas que su base sea paralela a uno de los planos deproyeccin, y lgicamente su eje ser perpendicular a dichoplano. Uno de los lados de la base, como mnimo, serparalelo a uno de los ejes isomtricos.La base puede estar contenida o no en las caras del triedro.

En la imagen izquierda tienes la perspectiva caballera deuna pirmide regular, de base hexagonal, apoyada en elplano XOY, con dos lados paralelos al eje X

Pirmide regular de base hexagonal. Su base es paralela al plano XOY.

En la imagen izquierda tieneslas vistas didricas de unapirmide truncada de basespentagonal, apoyada en elplano XOY por su base mayor,y uno de sus lados paralelo aleje X.

Tienes que dibujar lasproyecciones secundarias ydirecta, determinado superspectiva caballera.Para realizar este ejerciciodebes tener en cuenta lossiguientes datos:

Lado del pentgono baseinferior: 40 mm.

Lado del pentgono basesuperior: 30 mm.

Altura de la pirmidetruncada: 60 mm.

ngulo XY = 135.

Coeficiente de reduccin= 1/2.

3.3. Slidos

Perspectiva caballera de un cono truncado seccionado.En la animacin inferior puedes ver cmo se realiza la perspectiva caballera de un cono truncado seccionado,apoyado por su base mayor en el plano XOZ y tangente a los planos XOY, ZOY.

En la imagen izquierdatienes las vistasdidricas de un slido;considerando que tieneest apoyado en losplanos del triedro poruna de sus caras, tienesque trazar lasproyeccionessecundarias y directa,

Para realizar esteejercicio debes tener encuenta los siguientesdatos:

ngulo XY = 135.

Coeficiente de reduccin = 1/2.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

4. QCAD (XV)

Las formas ms complejas suelen llevar superficies curvas. Al representarlas en perspectiva, stas superficiesgeneran elipses.

El tratamiento de la elipse ser diferente segn generemos de forma automtica la perspectiva isomtrica otracemos la perspectiva caballera. En cualquiera de los dos casos el tratamiento de estas curvas requiere el estudiode las polilneas, que uno de los aspectos fundamentales a estudiar en este tema.

4.1. Dibujo de prismas y pirmides

El dibujo de poliedros y de figuras de revolucin es sencillo con los programas de diseo asistido. Vamos a ver acontinuacin el trazado de diferentes figuras tanto en perspectiva isomtrica como caballera.

ISOMTRICA: trazado de un prisma recto

Vamos a dibujar en primer lugar en isomtrica, un prisma recto de base hexagonal de acuerdo con las dimensionesy posicin que se aprecia en la siguiente imagen.

Paso 1: comenzaremos seleccionando la base y realizando su proyeccin isomtrica, eligiendo como punto dereferencia el O, para que se nos site a la distancia adecuada de los ejes. y a continuacin hacemos lo mismo con elalzado.

Paso 2: procedemos a elevar la base hasta la altura de 30 cm, para ello podemos:

A) Seleccionar la base y con la herramienta de traslacin escribimos en la lnea de comandos:@0,30*sqrt(2/3) -recuerda que se ha de aplicar el coeficiente de reduccin isomtrico que es -.

B) Tambin podramos trazar una linea vertical auxiliar desde un vrtice de la base de la proyeccin XOZhasta cortar el eje OX. La traslacin la haramos desde el punto de corte con el eje hasta el vrtice.

Paso 3: (A) Trasladamos la base proyectada usando como puntos de referencia en la translacin cualquiera de losextremos de las aristas verticales del prisma, y (B) trazamos las aristas verticales; cambiamos a trazos aquellas queson ocultas

CABALLERA: trazado de un prisma recto

Repetimos el trazado del prisma, pero ahora usando una perspectiva caballera, ngulo del eje Y de 135 y reduccinde 2/3.

Paso 1: comenzamos por trasladar la vista de alzado en verdadera magnitud usando como punto de referencia en latraslacin el origen O, y a continuacin situamos el punto A, que es el extremo de una lnea auxiliar de longitud40*2/3, situada como vemos en la imagen.

Paso 2: dibujamos el cuadrado que contiene a la base a partir del punto A. Para conocer la longitud de los lados delcuadrado, vamos a usar la herramienta de acotacin, y acotamos los puntos que nos permitirn dibujar las otraslneas auxiliares que vemos en la imagen.

Paso 3: (A) usando como puntos de referencia los extremos de los segmentos trazados, dibujamos la base. (B)Copiamos la base en su posicin superior usando las referencias de la vista sobre el plano XOZ.

Paso 4: Ya slo nos queda trazar las aristas verticales e indicar las lneas ocultas

De igual forma procederamos para dibujar las pirmides. Observa que en las vistas didricashemos puesto las cotas que delimitan las lneas auxiliares que nos ayudan a trazar la base en laperspectiva caballera.

perspectiva de una pirmide

Objetivos

4.2. Las curvas isomtricas. Figuras de revolucin

Cuando trazamos una circunferencia o arco de circunferencia en isomtrica, ste se convierte en una elipse o arcode elipse. El proceso de trazado es el mismo que usamos para trazar rectas, aunque la lnea correspondiente a esaelipse es una polilnea. Este tipo de lneas compuestas tienen el inconveniente de no poder ser usadas ni con, nipara las herramientas de edicin en el recorte, lo que representa un inconveniente.

Para los casos en que la figura final lleve la elipse completa, s que el resultado es cmodo, ya que no tendremos querealizar ninguna operacin adicional; pero si aparecen circunferencias en las que haya partes ocultas y necesitemosrecortar, ser ms cmodo proceder como se explica ms adelante.

En la imagen de arriba puedes ver la transformacin de una circunferencia en las elipses correspondientes cuando seproyecta sobre cada uno de los planos.

As mismo puedes observar que si seleccionas una de las elipses, sta queda delimitada por una gran cantidad denodos -puntos azules-, detalle significativo de ser una polilnea.

En su lugar podemos trazar nosotros mismos la elipse correspondiente, que es ms verstil con las herramientas deedicin.

Cmo sustituir la polilnea por una elipse

1. A la circunferencia de la que queremos hacer la proyeccin isomtrica le dibujamos los dimetros con inclinacinde 45.

2. Seleccionamos la circunferencia y sus dimetros y realizamos la proyeccin isomtrica necesaria. En la imagensiguiente la vemos proyectada sobre los tres planos segn tres elipses. Cualquiera de esas elipses est formada poruna polilnea.

3. Se elimina la polilnea que deseemos y se traza en su lugar la elipse apoyndonos en el centro y los ejes que yatenemos. A la derecha de la imagen podemos ver una de las elipses trazadas que est seleccionada y que slopresenta cinco nodos (el centro y los extremos de los ejes mayor y menor), que la diferencia de la polilnea.

Dibujo de un cilindro

Veamos cmo dibujar un cilindro en perspectiva isomtrica representado por su planta y alzado, y situado segn ladisposicin que ves en la imagen:

Paso 1: comenzamos por trazar las diagonales de la base -que sern los ejes mayor y menor de la futura elipse-, ylas proyecciones isomtricas del alzado y la base.

Paso 2: transformamos la polilnea de la base en una elipse usando los ejes mayor y menor que ya tenemos, y laelevamos usando una lnea auxiliar que corte el eje OX en un punto, que usaremos como referencia de la traslacin,y como destino, el vrtice sealado.

Paso 3: A) trasladamos la base inferior para obtener la superior, usando una generatriz del cilindro; B) trazamos lasgeneratrices de la perspectiva con la herramienta usando las referencias del eje mayor, y C) con la herramientadividir cortamos la elipse de la base en los extremos del eje mayor y convertimos a lnea de trazos la parte oculta.

Actividad

no son trazadas de forma correcta las rectas tangentes a la elipse desde un punto exteriorsituado en la prolongacin del eje mayor de la misma.

Al mismo tiempo, tratando de solventar este problema, hemos averiguado que podemos evitar elmismo simplemente tomando como eje mayor, el menor de la elipse, y como menor, el mayor. Deesta manera, el problema queda resuelto.

4.3. Las curvas en caballera. Figuras de revolucin.

Como ya sabemos, las circunferencias y arcos de circunferencias se transforman en elipses al realizarles unaperspectiva.

Dibujar la elipse en perspectiva caballera no es tan simple como lo es en isomtrica, ya que el programa no disponede ayudas especficas para este tipo de perspectiva. Por ello no nos quedar ms remedio de usar para su trazado elmismo procedimiento que usaramos para hacerlo con las herramientas tradicionales del dibujo. Repasemos estaconstruccin de la elipse:

Hallaremos la elipse correspondiente a la proyeccin sobre el plano XOZ, en la perspectiva de la imagen siguiente:

Comenzamos por trazar la caballera del cuadrado que contiene a la circunferencia y dibujamos en l sus diagonalespara obtener el centro de la futura elipse (a); la lnea que une los dos centros es la direccin de afinidad (b), quenos servir para hallar otros puntos ms adelante.

Con centro en el punto de corte obtenido y pasando por el centro de la circunferencia, dibujamos un arco (se trazauna circunferencia, que posteriormente recortamos) que corta al eje OX en dos puntos 1 y 2 (d); unimos el punto 1con los centros de la circunferencia y de la elipse, lneas que nos darn las direcciones del eje mayor en la elipse(e); alargamos estas lneas hasta obtener sobre la circunferencia lo que sern los extremos del eje mayor al serproyectados (f).

Trazamos lneas paralelas a la direccin de afinidad por los puntos de corte obtenidos y alargamos hasta obtener losextremos del eje mayor (g).Procedemos de igual forma par el eje menor, uniendo el punto de corte 2 con los centros de la circunferencia y laelipse (h), y alargando estas lneas para obtener los puntos que delimitan el eje menor (i).

Los cuatro puntos finalmente obtenidos delimitan los ejes mayor y menor de la elipse, con lo que ya podemosproceder a trazarla (j). Procederamos de la misma forma para obtener la elipse proyectada sobre el plano ZOY (k).

Como has podido apreciar, el trazado de la proyeccin en caballera de una circunferencia es algo laborioso, pero trashaberlo practicado varias veces, y usando con eficiencia las capas para ir ocultando todas aquellas lneas que teestorben en cada momento, vers que realmente no es difcil su dibujo.

Dibujo de un cono

Veamos cmo dibujar un cono de revolucin, atendiendo a sus dimensiones y posicin respecto a los planos deproyeccin que se muestran en la imagen siguiente:

Paso 1: Trasladamos el alzado sobre el plano XOZ usando el punto O como referencia en dicha traslacin.

Paso 2: A) dibujamos una lnea auxiliar de longitud 80*2/3, que nos marcar la posicin del centro de la elipse, yposteriormente trazamos la elipse de la base; pero para evitar que el dibujo se nos complique, la vamos a trazaraparte; B) luego la trasladamos a su lugar en la perspectiva.

Paso 3: C) trazamos una paralela a la anterior lnea auxiliar por el vrtice en la vista XOZ, para obtener la posicindel vrtice del cono en la perspectiva. D) Slo nos queda trazar las tangentes desde este vrtice a la elipse de labase, recortar esta por las intersecciones y convertir a trazos la parte oculta.

4.5. Practica lo aprendido

Practica los trazados estudiados en este tema dibujando en perspectiva isomtrica o caballera las piezas que teproponemos a continuacin.

Actividad 1

Actividad 2:

Actividad 3: