LOS NÚMEROSREALES

HistoriaLos primeros números en aparecer en la

historia fueron los números que van del 1,2,3,... etc. y por esta razón son conocidos como los números naturales.

El primer registro que se obtiene sobre la utilización del cero fue en el año 36 a.C. por la civilización Maya.

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C

Alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales.

Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después.

N

ZQ

Q`

C

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos

Num

éric

os

Números Reales REs el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales

R = Q U Q’

Números Complejos cEs la colección de números de la forma a + bi, donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria que cumple con la propiedad.

i2=-1

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos

Num

éric

os

Números Racionales QEs el conjunto de los números de la forma donde p y q son enteros, con q ≠ 0, se representa mediante el símbolo.

Q= { ,q Є Z Λ q ≠ 0}

Números Irracionales Q’Es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos números enteros

Q’

Entre los mas conocidos esta el π

pq

CONJUNTOS NUMERICOSCo

njun

tos

Num

éric

os

Números Naturales NEs la colección de Objetos matemáticos representados por los símbolos 1, 2, 3, 4, …., etc. Llamados números para contar.

N= {1, 2, 3, 4, ….}

Números Enteros ZLos números enteros abarca los números negativos incluyendo eL cero y los números positivos. Y se representa

Z= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ….}

LOS NÚMEROS REALESCOMO UN CAMPO

Números Reales

El concepto de números reales surgió a partir de la utilización de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del año 1,000 a. C. El conjunto de los números reales es representado con la letra: R

En Matemáticas, los números reales son los que abarcan a los números racionales y los números irracionales.

Relación de igualdadExiste una relación que presenta los números reales que son conocidas como relaciones de igualdad y estas son de utilidad para la demostración de algunos teoremas, estas relaciones dicen:

Sean a, b, c ϵa) Si a = b, entonces b = ab) Si a = b, y b = c, entonces a = cc) si a + c denota al numero real que resulta de sumar a

y c, y ac denota al numero real que resulta de multiplicar a y c, entonces a = b implicará que

a + c = b + c y que ac = bc

Axiomas

Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas “verdades evidentes”

porque permiten deducir las demás formulas.

Es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración,

como punto de partida para demostrar otras fórmulas.

En el campo de los números reales son seis los principales axiomas que se toman, y a través de su uso y postulación, permiten el desarrollo de los teoremas que estructuran una parte de las matemáticas.

Axiomas de Números Reales

Axioma 1. Si a, b ϵ R, entonces a + b, ab ϵ R (Ley de cerradura para la suma y el producto)

Axioma 2Si a, b ϵ R, entonces a+b = b+a y ab = ba (Ley de conmutatividad)

Axiomas de Números Reales

Axioma 3Si a, b, c ϵR entonces a(b+c) = (a+b)+c y a(bc) = (ab)c

(Ley de asociatividad)

Axioma 4Si a, b, c ϵ entonces a(b + c) = ab + ac

(Ley de distributividad)

Axiomas de Números Reales

Axioma 5Existen 0, 1 ϵ R, con 0 = 1, tales que: si a ϵR, ̸�entonces a+0 = a y a·1 = a (0 se llamará Neutro aditivo y 1 se llamará Neutro multiplicativo)

Axioma 6Si a ϵ R, existe a1 ϵR tal que a + a1 = 0 y si a ϵR con a = 0, ̸� entonces existe a2 ϵR tal que a · a2 = 1 (Existencia de los inversos)

Axiomas de Números Reales

Teorema

Es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Un teorema generalmente posee un numero de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas.

Corolarios

Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado.

Teorema Ii) Si a, b, c ϵ R y a + c = b + c, entonces a=bii) Si a, b, c ϵ R , c ≠ 0 y ac = bc, entonces a=b

Demostración:i) Sea c1 ϵ R tal que c + c1 = 0 (Esto por el axioma 6)

Entonces a + c = b + c

⇒ (a + c) + c1 = (b + c) + c1 (Propiedad de la igualdad) ⇒ a + (c + c1) = b + (c + c1) (Por axioma 3) ⇒ a + 0 = b + 0 (Por axioma 6) ⇒ a = b (Por axioma 5)

ii) Si a, b, c ϵ , c≠0 ac = bc, entonces a=b si c≠0, el axioma seis garantiza la existencia de un número real c2 tal que cc2 = 1. Por lo tanto:

ac = bc ⇒ (ac)c2 = (bc)c2 (Propiedad de la igualdad) ⇒ a(cc2) = (bc)c2) (Por axioma 3) ⇒ a · 1 = b · 1 (Por axioma 6) ⇒ a = b (Por axioma 5)

Jerarquía de los operadores

Para desarrollar cualquier operación aritmética es necesario utilizar la jerarquía de los operadores aritmeticos.Dentro de una misma expresión los operadores se evalúan en el siguiente orden.1. Exponenciación2. Multiplicación, División (Con decimales)3. División Entera.4. Suma y resta

1. Cuando se encuentran operadores del mismo nivel, estos se desarrollan de izquierda a derecha.

2. Cuando se encuentran varios paréntesis, se empiezan a desarrollar por el más interno. Un paréntesis, sólo desaparece, cuando queda un solo término en medio de ellos

Jerarquía de los operadores

EJEMPLO

Tomaremos como ejemplo la expresión [2 * 5 + 3].

Algunos tendrían la duda de cual operación resolver en primera instancia ¿La multiplicación o la suma?; otros sumarían y luego multiplicaría diciendo que la respuesta es 16

Para no cometer errores al momento de resolver una operación matemática, tenga en cuenta la jerarquía de los operadores.En nuestro ejemplo: primero se debe realizar la multiplicación y luego la suma, por lo tanto la respuesta correcta será:

2 * 5 + 310 + 3

13 Resultado Correcto

RESPUESTA CORRECTA

40 / 5 + 8² * 3 ----------> 1° es la exponenciación 40 / 5 + 64 * 3 ---------> Primero se resuelve la

división (de izquierda a derecha) 8 + 64 * 3 --------------> Luego división (mismo nivel

jerárquico de multiplicación) 8 + 192-----------------> Por último se realiza la suma 200

EJEMPLO

EJERCICIO

Resolver. 51 / 2 + 3 Desarrollo:51 / 2 + 3 ---> La división ( / ) indica que se

manejan decimales. 51 / 2= 25.525.5 + 3 -----> Luego se realiza la suma de los dos

valores 28.5

EJERCICIO

Resolver : 7 * 10 – 15 / 3 * 4 + 9

7 * 10 – 15 / 3 * 4 + 9 1 2

70 – 5 * 4 + 9 370 –20 + 9 450 + 9 5

59

Desarrollo:

EJERCICIO

Resolver : 9 + 7 * 8 – 36 / 5

Desarrollo:

9 + 7 * 8 – 36 / 5 19 + 56 – 36 / 5 29 + 56 – 7.2 365 – 7.2 4 57.8

Resolver:9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + ((5 ^ 3) / 10 + 2.5)

9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + ((5 ^ 3) / 10 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + (125 / 10 + 2.5)

9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + (12.5 + 2.5) 9 + 2 * 12 / 2 ^ 2 + 15

9 + 2 * 12 / 4 + 15 9 + 24 / 4 + 15

9 + 6 + 1515 + 15

30

Resolver:360 / 2 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500

360 / 2 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500180 / 10 / 3 – 5 * 8 + 38 + 500

18 / 3 – 5 * 8 + 38 + 5006 – 5 * 8 + 38 + 500

6 – 40 + 38 + 500-34 + 38 + 500

4 + 500504