Una aproximacion al infinito

Guillermo Garro Gomez

Consideremos un numero natural cualquiera. Preferiblemente un numero grande, comoxxxx, el numero de granos de arena sobre la faz de la Tierra. Mas aun, pensemos en elnumero total de atomos contenidos en todos estos granos de arena, xxxx. Quiza sea mejorconsiderar el numero total de atomos que constituyen nuestro propio planeta, xxx. Vaya queestos numero son grandes. Ninguno de ellos, sin embargo, tan grande como el numero deatomos de nuestro sistema solar xxxx. Aun este numero es pequeno con respecto al numerode atomos que hay en nuestra galaxia (la Vıa Lactea) o de toda la materia del universo,xxxxta.

Pero, ¿que tan grandes son estos numeros? Probablemente, habras ya comprendido lectorhacia donde vamos (¿habras dicho: al infinito?).

Para un numero dado siempre podemos encontrar al menos otro numero todavıa mayor.Incluso para el increibe xxxxta, existe el numero

ta + 1,

evidentemente mayor. Podemos continuar indeterminadamente de este modo para encontrarun numero cien veces mayor, o mil veces mayor o un millon de veces mayor...

Que la cuenta de los numeros naturales (1, 2, 3,...) es infinita, parece ser una de lasprimeras intuiciones que desarrolla el intelecto humano. Esta intuicion, asequible inclusoa las mentalidades no matematicas, subyace a la idea de infinito que tienen por igual elmatematico y el profano: si N representa cualquier numero natural entonces el numeroN + 1 es mayor a N . Ası, el numero N + 1 es la evidencia de que la cuenta de los numeros1, 2, 3,...,N − 1, N es finita. (Del mismo modo en que comprendemos que hasta el numerode atomos del universo entero es finito.) Para los matematicos modernos, el conjunto de losnumeros naturales es infinito porque no es finito. Es decir, no existe un numero natural quesea mayor que todos los demas numeros naturales.

Ahora bien, el origen de los numeros naturales esta ligado a los procesos de conteo presentesen el intelecto (o psique) huamano probablemente desde los tiempos de los cuales ya notenemos memoria. Ası preguntar por la cantidad de objetos reunidos en una coleccion,remite casi instintivamente a este proceso de conteo. Debe haber, por tanto, un primerelemento, un segundo elemento, despues un tercero, y ası sucesivamente. Pero que sucede sipreguntamos por la cantidad de numeros naturales. Este es el problema que han planteadofilosofos y matematicos de todas las eras y geografıas. La cuestion es equivalente a preguntar¿cual es el numero maximo de objetos que podemos contar? Reflexionar un momento estaultima pregunta nos lleva a comprender porque el infinto ha estado presente, de alguna uotra forma, en el espiritu itelectual humano desde las civilizaciones antiguas.

En efecto, contar los numeros naturales es una tarea que bien podemos empezar perojamas terminar. Si suponemos que podemos enlistar (o nombrar) 120 numeros por minuto,

1

entonces un hombre longevo que viviera 80 anos alcanzarıa a contar hasta 5046760000, maso menos, si empieza la cuenta desde el momento en que nace hasta su ultimo suspiro. Inclusosi este hombre contara de 10 en 10 (es decir, si enlistara los multiplos de 10: 10, 20, 30,...)tan solo llegarıa al numero 50467600000. Mas aun, si nuestro contador humano decidieracontar las potencias de 10 (es decir, 10, 100, 1000, 10000,...), llegarıa al increıble numero105046760000, muy lejos, sin embargo, del infinito. Nuestro hombre-calculadora podrıa decidirsepor empezar la lista en 100000000, y continuar con las potencias de este numero, y obtenerun numero gigantesco al final de su vida, y no obsatante quedar tan lejos del infinito comoen todos sus intentos anteriores, ni mas ni menos.

Aristoteles, razobablemente, preferıa el termino infinito potencial, para caraterizar la listade los numeros naturales. Entendiendo que cualquier numeracion (como las de nuestrohombre-calculadora, por ejemplo) puede prologarse indeterminadamente, de la misma man-era en que podemos extender arbitrariamente un segmento de recta dado. Segun este (viejoy conocido) filosofo los numeros naturales no son una entidad en sı misma, esto es, no sonconcebibles como un todo, por lo que no podemos decir nada de ellos en conjunto, del mismomodo en que decimos que todos los planetas solares son esfericos, por ejemplo. El infinito,a secas, estaba estrictamente prohıbido.

La diferencia es sutil pero importante. En la mentalidad aristotelica es imposible concebircolecciones infinitas (de cualquier cosa), dado que ello significarıa que es posible observalas,literalmente. Ciertamente, nadie ha visto una reunion infinita de objetos, al menos nodel mismo modo en que podemos ver un grupo de cuervos, por ejemplo. Para Aristotelesel conocimiento provenıa de la naturelaza fısica de las cosas, no del lenguaje usado paradescribirlas. cita arsitoteles

El modelo aristotelico, de las esferas celestes para un universo finito (en extension) dominola mentalidad intelectual de la cultura occidental. En el ano 1600, el filosofo GiordanoBruno, propuso un modelo infinito (en extension) para la comprension del universo. La iglesiacatolica romana, institucion polıtica dominante en la epoca, que habıa dogmatizado las ideasaristotelicas, decidio quemarlo vivo para hacerle comprender su “error”. Recientemente sehan propuesto modelos que senalan que la forma (extensi´´on) del universo es finita comouna “dona” en cuatro dimensiones, y algunos matem´´aticos gustan de ironizar este crimencontra Bruno afirmando que la iglesia no hacıa sino apresurar a los pensadores a descubrireste modelo. Algunos matematicos, en cambio, nos sentimos profundamente afortunadosde que la iglesia haya dejado de prestar, desde hace mucho, semejantes servicios a nuestraciencia.

Matematicos y filosofos de todas las epocas y geografıas han observado ciertas anormal-idades en las intuiciones del infinito. Algunas de ellas parecen ser mas bien divertidos yenredados juegos de palabras. Por ejemplo: sea N el numero natural mas grande jamasconcebido. Ahora bien, si N es concebible (por hipotesis) entonces es concebible el numeroN + 1. Luego, dado que N es el numero natural mas grande jamas concebido, en particularN + 1 < N . De este modo, existe un numero natural, a saber, el numero natural masgrande jamas concebido, que es mayor que cualquier otro numero natural. Ası, el conjuntode numero naturales es finito entonces.

Resultarıa muy difıcilEste es un modo refinado (o matematico, o pedante si se quiere) de expresar una idea mas

profunda. En efecto, .

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La vida de un ser humano longevo, de unos 100 aos, es irrisiblemente comparable a la edadde la Tierra, unos 5 mil millones de anos. Que es un siglo a la eternidad. Dicho de otromodo, ¿que es cualquier cantidad (cualquier numero) al extenso infinito? Nada

Existe una intuicion basica del infinito que incluso puede encontrarse en las mentalidadesno matematicas.

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