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Los Números Enteros
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Números Enteros
+20
Buena temperatura ambiental + 20°C
+10
Jorge Tiene 10 años
Los juegos Olímpicos
empezaron el año 776 antes de Cristo
- 8
+70
- 70
El Buzo llegó hasta los 70 metros bajo el nivel
del mar
---- 776
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Los números naturales se consideran enteros positivos
Se pueden escribir tanto 4 como + 4
Los números enteros están formados por
los enteros positivos, los enteros negativos
y el cero
Por cada entero positivo, se corresponde un entero negativo+5 , - 5, ………+ 3 , - 3 …….. + 357 , - 357 , etc.
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Representación de los números enteros
Para representar los números enteros en una recta se deben seguir los siguientes pasos
1° Se traza una recta y se elige un punto para representar el cero
2° A la derecha del cero se ubica el + 1
3° La distancia entre el cero y el + 1 será la distancia entre dos enteros consecutivos.
0 1 2 6-4
-6
4° A la derecha del cero se colocarán los enteros positivos
5° A la izquierda del cero se colocarán los enteros negativos
Positivos Negativos
-1
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Valor Absoluto de un número
Los números +4 y -4 están a la misma distancia del 0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Es evidente que +4 y -4 están asociados al mismo número natural 4. Esto se utiliza para definir el valor absoluto de un número.
Valor absoluto de un número es la distancia a que se encuentra del origen del sistema, es decir, la distancia
a que se encuentra del 0. Se simboliza con un par de barras.
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Ejemplos:
| +4 | = 4
| - 4 | = 4Están a la misma distancia del 0
|- 2 | = 2
|+2 | = 2
Del mismo modo:
|+35 | = 35|- 42 | = 42
Hay varias definiciones de valor absoluto, pero sesimplifica diciendo que el valor absoluto de un número
corresponde al valor del número sin el signo (a su valor positivo).
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Operatoria con Números Enteros
SumaResta
MultiplicaciónDivisión
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Suma de enteros de igual signo
a) Suma de enteros positivos
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
También se escribe: (+2) + (+3) = + (2 + 3) = + 5
(+4) + (+7) = + 11
(+2) + (+3) = + 5
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b) Suma de enteros negativos
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
(-3) + (-5) = - 8
(-4) + (-7) = - 11
También se escribe : (-4) + (-7) = - ( 4 + 7) = - 11
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En resúmen:
Para sumar números del mismo signo:
1° Se suman sus valores absolutos.2° Se antepone el signo que tenían los números.
(+16)+(+14) = +30(+5)+(+21)+(+7)
= +33(+28)+(+56) = +84 (-35)+(-72) = -107
(-15)+(-81)+(-93) = -189
(-15) = (-8)+(-7)
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Suma de números de distinto signo
Veamos algunos ejemplos:
a) Compramos una docena de huevos
Quebramos 8 huevos
Nos quedan:(+ 12)+ (-8) = + 4
b) Nos dieron $ 16.000 para comprar
gastamos $ 19.000
El saldo de la cuenta es:
(+$16.000) + (- $19.000) = - $3.000
Para sumar dos números de distinto signo:
1° Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor
2° Al resultado se le coloca el signo del sumando demayor valor absoluto.
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Suma de varios números enteros
Veamos un ejemplo:(+100) + (-40) + (-70) + (+50) = (+100) + (+50) + (-40) + (-70)
= (+150) + (-110)
= + 40
Para sumar varios números enteros:1° Se suman separadamente los números enteros
positivos y negativos.2° Se suman el número entero positivo y el número
entero negativo obtenidos.
(+100) + (-40) + (-70) + (+50) = (+100) (+50) (-40) (-70)++ +
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Opuesto de un número entero
4 y -4 son dos números simétricos respecto de cero. tienen el mismo valor absoluto per distinto signo. Se llaman opuestos.
4 = op (-4)
-4 = op(+4)
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(-3) = op (+3) (+3) = op(-3)
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* El opuesto del opuesto de un número es el mismo número
a ba + b
Op (a+b) Op a Op bOp (a) + opp
´(b)
8 -2 6 - 6 - 8 2 -8 + 2 = -6
-7 -5 5 12 -12 7 7 + 5 = 12
* El opuesto de la suma es igual a la suma de los opuestos, como lo demuestra la siguiente tabla.
Nota:
- ( - 6) = +6 - (+ 6) = -6
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Resta de Números enteros
Si observas que:
(+9) – (+4) = 5
Es lo mismo que:
9 – 4 = (+9) + (-4) = 5
Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo
a) (+9) – (-4) = 9 + 4 = 13b) (-9) – (+4) = (-9) + (-4) = (-13)c) (-9) – (-4) = (-9) + (+4) = (-5)
Ejemplos:
Entonces:
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El uso del paréntesis
Vamos a calcular:
9 – (12 + 3) = ¿?
1° Realizando primero las operaciones del paréntesis
9 – 15 = - 6
2° También se puede hacer usando los opuestos:9 – (12 + 3) = 9 + op (12) + op(3) = 9 + (-12) + (-3)
= 9 + (-15) = - 6
Se obtiene el mismo resultado
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Calculemos ahora: 12 – ( 10 – 6)
1° Resolviendo primero el paréntesis:
12 – ( 10 – 6) = 12 – 4 = 8
2° Sumando los opuestos:
12 – (10 – 6) = 12 + op(10) + op(-6)= (+12) + (-10) + (+6)= 18 + (-10) = 8
El mismo resulta
do
Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (-), sepuede operar de dos maneras diferentes:1° Resolviendo primero el paréntesis.2° Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los
números que contiene.
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Multiplicación de Números Enterosa) Dos enteros positivos
(+4) · (+8) = (+8) + (+8) + (+8) + (+8) = +32
b) Un entero positivo por otro negativo
(+4) · (-8) = (-8) + (-8) + (-8) + (-8) = -32
(-4) · (+8) = (+8) · (-4)
c) Dos enteros negativos
Luis consumirá tres frutas cada día durante sus Vacaciones, entonces, si Luis disminuye sus vacaciones en cinco días, ¿cuánta fruta ahorra’
Cada día ahorra 4 frutas
Deja de ir 8 días
Ahorra las frutas que no consumió
-4
-8
+32
(-4) · (-8) = +32
= (-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4)+(-4) = - 32
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Resumiendo:
a) (+4) · (+8) = + 32
b) (+4) · (-8) = - 32
c) (-4) · (+8) = - 32
d) (-4) · (-8) = + 32
El producto de dos números enteros es un número entero que:
1°) Su valor absoluto será igual al producto de los valores absolutos de los factores.
2°) Su signo será:Positivo cuando los factores tienen el mismo signo.Negativo, si los dos factores son de signo distinto.
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Regla de los signos
Para multiplicar (y dividir) números enteros hay que tener en cuenta el signo de cada uno de sus factores,ya que existen cuatro posibilidades.
+ ● + = ++ ● - = -- ● + = -- ● - = +
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Producto de varios enteros
Calculemos (-4) · (+8) · (-3) = ¿?
Observa:
a) -4 · 8 · (-3) = -32 · (-3) = +96
b) -4 · 8 · (-3) = -4 · (-24) = +96
Se obtiene el mismo
resultado
Para multiplicar varios números enteros, se agrupan de dos en dos en el orden que se prefiera (propiedad asociativa) y se realizan las multiplicaciones porparejas.
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División de números enteros
Recordemos que la división es la operación inversa dela multiplicación, entonces:
¿Cuál es el número que multiplicado por (-8) da como resultado 32?
X · (-8) = + 32
X = (+32) : (-8) = (-4)
Por lo que ya hemos visto, ese número es (-4), entonces:
Las propiedades del cociente de dos números enteros son las mismas que las del producto de dos números enteros.
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El cociente de dos números enteros es un número entero que:
1°) Su valor absoluto será igual al cociente de los valores absolutos de los factores.
2°) Su signo será:Positivo cuando los factores tienen el mismo signo.Negativo, si los dos factores son de signo distinto.
Tendemos entonces que podemos resumir como:
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Regla de los signos
Para dividir números enteros hay que tener en cuenta el signo de cada uno de sus factores, ya que existen cuatro posibilidades.
+ : + = ++ : - = -- : + = -- : - = +