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Los números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.

Por ejemplo, la necesidad de representar el dinero adeudado, temperatura bajo cero, profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero. Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los enteros.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5 |5| = 5

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Representación de los números enteros

1. En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2, 3,...

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: − 1, −2, −3,...

Orden en los números enteros

Los números enteros están ordenados. De dos números representados gráficamente, es mayor al que él está situado más a la derecha, y menor el situado más a la izquierda.

Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero.

−7 < 0

2. Todo número positivo es mayor que cero.

7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

−7 >− 10 |−7| < |−10|

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7 |10| > |7|

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo s igno, se suman los va lores absolutos y a l resul tado se le pone e l s igno común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si los sumandos son de d ist into s igno, se restan los va lores absolutos (a l mayor le restamos e l menor) y a l resul tado se le pone e l s igno del número de mayor va lor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

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Propiedades de la suma de números enteros

1. In terna :

E l resu l tado de sumar dos números en teros es o t ro número entero .

a + b

3 + (−5)

2 . Asociat iva :

E l modo de agrupar los sumandos no var ía e l resu l tado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5 ) = 2 + [3 + (− 5) ]

5 − 5 = 2 + (− 2 )

0 = 0

3 . Conmutat iva :

E l o rden de los sumandos no var ía la suma.

a + b = b + a

2 + (− 5 ) = (− 5 ) + 2

− 3 = − 3

4 . E lemento neutro :

E l 0 es e l e lemento neut ro de la suma porque todo número sumado con é l da e l mismo número .

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5 . E lemento opuesto

Dos números son opuestos si a l sumar los obtenemos como resul tado e l cero .

a + ( -a ) = 0

5 + (−5) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual a l mismo número.

−(−5) = 5

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Resta de números enteros

La resta de números enteros se obt iene sumando a l minuendo e l opuesto del sustraendo.

a - b = a + ( -b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1. In terna :

La resta dos números enteros es o t ro número entero .

a − b

10 − (−5)

2 . No es Conmutat iva :

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La mult ip l icación de var ios números enteros es o t ro número entero , que t iene como va lor absoluto e l producto de los va lores absolutos y , como signo , e l que se ob t iene de la ap l icac ión de la regla de los s ignos .

Regla de los s ignos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

5

(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. In terna :

E l resu l tado de mult ip l icar dos números enteros es o t ro número entero .

a · b

2 · (−5)

2 . Asociat iva:

El modo de agrupar los factores no var ía e l resul tado. S i a , b y c son números enteros cua lesqu iera , se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [ (3 · (−5) ]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3 . Conmutat iva:

El orden de los factores no var ía e l producto.

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4 . Elemento neutro :

E l 1 es e l elemento neutro de la mult ip l icación porque todo número mul t ip l i cado por é l da e l mismo número .

a ·1 = a

(−5) · 1 = (−5)

5. Distributiva :

El p roduc to de un número por una suma es igua l a la suma de los p roduc tos de d icho número por cada uno de los sumandos .

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2) · (3 + 5 ) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2) · 8 = - 6 - 10

-16 = -16

6

6. Sacar factor común:

Es e l p roceso inverso a la p rop iedad d is t r ibu t iva .

S i var ios sumandos t ienen un fac to r común, podemos t rans formar la suma en produc to ex t rayendo d icho fac to r .

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5 )

División de números enteros

La divis ión de dos números enteros es o t ro número entero , que t iene como va lor absoluto e l cociente de los va lores absolutos y , como signo , e l que se ob t iene de la ap l icac ión de la regla de los s ignos .

Regla de los s ignos

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna :

E l resu l tado de divid ir dos números enteros no s iempre es o t ro número entero .

(−2) : 6

2 . No es Conmutat ivo :

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natura l de un número entero es o t ro número entero , cuyo va lo r absoluto es e l va lor absoluto de la potencia y cuyo signo es e l que se deduce de la ap l icac ión de las s igu ien tes reglas :

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1. Las potencias de exponente par son siempre posi t ivas.

2 . Las potencias de exponente impar t ienen e l mismo s igno de la base.

Propiedades

1. a0 = 1 ·

2 . a1 = a

3 . Producto de potencias con la misma base :

Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes .

am

· a n

= am + n

(−2)5

· (−2)2

= (−2)5 + 2

= (−2)7 = −128

4 . D ivis ión de potencias con la misma base :

Es o t ra po tenc ia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes .

am

: a n

= am - n

(−2)5

: (−2)2

= (−2)5 - 2

= (−2)3 = −8

5 . Potencia de una potencia :

Es o t ra po tenc ia con l a misma base y cuyo exponente es e l producto de los exponentes .

(am

)n

= am · n

[ (−2)3]

2 = (−2)

6 = 64

6 . Producto de potencias con e l mismo exponente :

Es o t ra potenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l producto de las bases

an

· b n

= (a · b) n

(−2)3

· (3 )3

= (−6) 3 = −216

8

7. Cociente de potencias con e l mismo exponente :

Es o t ra potenc ia con e l mismo exponente y cuya base es e l coc ien te de las bases .

an

: b n

= (a : b) n

(−6)3 : 3

3 = (−2)

3 = −8

Potencias de exponente entero negativo

Operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones

1º . E fec tuar las operac iones ent re paréntesis , corchetes y l laves.

2 º . Ca lcu lar las potencias y ra íces .

3 º . E fec tuar los productos y cocientes .

4 º . Rea l izar las sumas y restas .

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Operaciones combinadas

1. Sin paréntesis

1.1 Sumas y d i ferencias .

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la izqu ie rda , vamos e fec tuando las operac iones según aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Sumas, restas y productos.

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =

Rea l izamos pr imero los productos por tener mayor pr ior idad .

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =

E fec tuamos las sumas y restas .

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Sumas, restas , productos y d iv is iones .

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =

Rea l izamos los productos y cocientes en e l orden en e l que los encont ramos porque las dos operac iones t ienen la misma pr ior idad .

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =

E fec tuamos las sumas y restas .

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Sumas, restas , productos , d iv is iones y potencias .

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+ 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =

Rea l izamos en pr imer lugar las potencias por tener mayor pr ior idad .

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 : 4 =

Segu imos con los productos y cocientes .

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 =

E fec tuamos las sumas y restas .

10

= 26

2. Con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2 ) + (5 + 16 : 4 ) −5 + (10 − 23)=

Rea l izamos en pr imer lugar las operaciones contenidas en e l los .

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4 ) − 5 + (10 − 8 )=

Quitamos paréntesis rea l izando las operac iones .

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3.Con paréntesis y corchetes

[15 − (23 − 10 : 2 ) ] · [5 + (3 ·2 − 4 ) ] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =

Primero operamos con las potencias , productos y cocientes de los paréntesis .

= [15 − (8 − 5 ) ] · [5 + (6 − 4 ) ] − 3 + (8 − 6 ) =

Rea l izamos las sumas y restas de los paréntesis .

= [15 − 3 ] · [5 + 2 ] − 3 + 2=

En vez de poner corchetes pondremos paréntes is d i rec tamente :

= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los corchetes .

= 12 · 7 − 3 + 2

Mult ip l icamos .

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos .

= 83

4.Con fracciones

Pr imero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis .

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Operamos en e l p r imer paréntesis , qu i tamos e l segundo, s impl i f i camos en e l te rcero y operamos en e l ú l t imo.

Rea l izamos e l producto y lo simpl i f icamos .

Rea l izamos las operaciones del paréntesis .

Hacemos las operaciones de l numerador , divid imos y simpl i f icamos e l resu l tado.

Ejercicio de operaciones combinadas

14 − {7 + 4 · 3 - [ ( -2)2 · 2 - 6 ) ] }+ (2

2 + 6 - 5 · 3 ) + 3 - (5 - 2

3 : 2 ) =

Primero operamos con las potencias , productos y cocientes de los paréntesis .

14 − [7 + 4 · 3 - (4 · 2 - 6 ) ] + (4 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 8 : 2 ) =

Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis .

14 − [7 +12 - (8 - 6 ) ] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4 ) =

Real izamos las sumas y d i ferencias de los paréntesis .

14 − (7 +12 -2 ) + ( -5) + 3 - (1 ) =

14 − (17) + ( -5 ) + 3 - (1) =

La supresión de paréntesis ha de rea l izarse considerando que:

S i e l parén tes is va preced ido de l signo + , se supr imi rá manteniendo su s igno los té rminos que contenga.

S i e l parén tes is va preced ido de l signo − , a l supr imi r e l parén tes is hay que cambiar de s igno a todo los té rminos que contenga.

14 − 17 - 5 + 3 - 1 = − 6