¡Los Griegos ya vienen!

¡Los Griegos ya vienen!

Los parámetros de sensibilidad:

Delta =

Gamma =

Theta =

Vega =

Rho =

EJEMPLO:S = $100; X = $100;r = 0,08; = 0,3; T = 180 d.

Call Put

Precio: $10,30 $6,43

0,6151 -0,3849

0,0181 0,0181

-12,2607 -4,5701

26,8416 26,8416

25,2515 -22,1559Todos son $s per una unic=dad.

LOS GRIEGOS SON MEDIDAS DE SENSIBILIDAD.

La pregunta es como va a cambiar el valor de la opción cuando se cambie el valor de uno de los parámetros que definen su valor.

delta Delta mide la sensibilidad del valor de la opción ante un “pequeño” cambio en el precio de mercado del activo subyacente.

En términos matemáticos:

(c) = c/ S

(p) = p/ SObsérvase que el delta del activo subyacente es 1 por definición:

(S) = S/ S = 1.En general, la delta de cual quier posicion es el cambio de dicha posición antes un pequeño cambio en el valor del activo subyacente.

Resultados:

1. El delta de una put es el delta de la call (mismo subyacente, mismo precio de ejercicio y mismo vencimiento) menos 1.

(p) = (c) - 1.1. Usando la fórmula de Black y Scholes, se puede

mostrar que:

(c) = n(d1) 0 < (c) < 1

(p) = n(d1) - 1 -1 < (p) < 0

en el ejemplo inicial:

(c) = 0,6151

(p) = - 0,3849

EJEMPLO:

(c) = 0,64 (p) = - 0,36.Un STRADDLE comprado tiene un delta de:

0,64 + (- 0,36) = 0,28.

Una estrategia (STRIP)en la que compramos dos de las puts y una call tiene un delta de:

0,64 + 2(- 0,36) = - 0,08

Y está casí neutralizada.

Con los dados datos, la compra de la put con una acción del subyacente nos da una estrategia con delta:

1 + (- 0,36) = 0,64,

Así que la estrategia de: comprar la put, caomprar el subyacente y vender la call, siempre está delta neutral.

Por fin, la compra de 100 acciones del subyacente, venta de 100 calls y compra de y 100 puts nos da una posición con:

= 100 + (-100)(0,64) + 100(-0,36) = 0.

Estretegias que definen un nivel fijo de delta

PosicióN de DELTA NEUTRAL

Acabamos de comprar una opción call porque está subvaluadada. Para proteger el valor de la opción ante posibles cambios del precio del activo subyacente, vamos a comprar acciones del mismo.

Problema: ¿Cuántas acciones del activo subyacente es necesario comprar para obtener una posición neutralizada. Es decir, una posición cuyo valor no se cambia cuando se cambie el precio del subyacente?

V = n(S)S + n(c)c

(V) = n(S) + n(c)(c)

Una posición cuyo valor no se cambie es una posición

DELTA NEUTRAL ( = 0)

(V) = 0 n(S) + n(c)(c) = 0,

n(S) = - n(c)(c) = 0,

EJEMPLO:

Supongamos que delta de una call es 0,50. Acabamos de comprar 100 calls. ¿Cuantas acciones del subyacente necesitamos comprar para tener una posición delta neutral?

n(s) = - n(c)(c) = 0,

(c) = 0,50 y n(c) = 100, se desprende que:

n(s) = - n(c)(c) = - 100(0,50) = - 50.Esta solución significa que la call y las acciones están en posiciones opuestas. Las acciones deben haber vendidas en corto.

De la ecuación: n(S) = - n(c)(c) = 0, es claro que:

(c) = - n(S)/n(c).

Resulta que se puede definir el delta como:

la razón de cobertura.

Es decir, delta indica la cantidad del subyacente que está requerida para neutralizar el riesgo de la posición.

GAMMA Gamma mide el cambio de la delta antes un pequeño cambio del precio del subyacente.

En términos matemáticos gamma es la segunada derivada del valor de la opción.

(c) = 2c/ S2

(p) = 2p/ S2

Obsérvase que el delta del activo subyacente es 1 por que por la definición:

(S) = 2S/ S2 = 0.En general, Gamma de cual quier posicion es el cambio del delta de dicha posición ante un pequeño cambio del precio de mercado del subyacente.

En el ejemplo inicial:

(c ) = (p) = 0,0181

Resultado:

Los gammas de una call y una put son iguales.

Ejemplo:

Con una (c) = 0,70 (p) = - 0,30 y gamma de 0,2345, una estrategia de Venta de la call y compra de la put tiene una

= - 0,70 + (- 0,30) = -1,00,

= - 0,2345 + 0,2345 = 0.

La estrategia de: comprar el subyacente

comprar la put

vender la call

= 1 - 0,70 + (- 0,30) = 0

= 0 - 0,2345 + 0,2345 = 0.

Esta estrategia es delta y gamma neutral.

VEGA Vega mide la sensibilidad del valor de la opción antes un pequeño cambio de la volatilidad del precio del activo subyacente.

En el ejemplo inicial

(call) = (put) = 26,8416

THETA Theta mide la sensibilidad del valor de la opción antes un cambio pequeño del tiempo que reste hasta el vencimiento de la opción.

En el ejemplo inicial

(call) = -12,2607

(put) = -4,5701

RHO Rho mide la sensibilidad del valor de la opción antes un cambio pequeño de la tasa de interés.

En el ejemplo inicial

(call) = 25,2515

(put) = -22,1559

RESUMEN DE LOS GRIEGOS

Posición Delta Gamma Vega Theta Rho

S comprado 1 0 0 0 0

S vendido - 1 0 0 0 0

C comprada + + + - +

C vendida - - - + -

P comprada - + + - -

P vendida + - - + +

La sensibilidad de carteras

1. Una cartera es una combinación de activos y opciones.

2. Todas las medidas de sensibilidad son derivadas.

3. Teórema: La derivada de una combinación de funciones es la combinación de las derivadas.

Por ende, la sensibilidad de una cartera es la suma de las medidas de sensibilidad de las posiciones incluidas en la cartera.

EJEMPLO:

Supongamos que el precio actual de una libra de cobre es S = $,7525. Más, esxisten tres opciones con los siguientes parámetros:

Delta($) Gamma($)

Call 1 0,63 0,22

Call 2 0,45 0,34

Call 3 0,82 0,18

S 1,0 0,0

Es importante recordar que estos valores son por libra y que una opción cubre 25.000libras.

Consederemos la siguiente cartera:

{Largo:3 calls #1; 2 calls #3; Corto: 10 calls #2.}

= 3(0,63) + 2(0,82) – 10(0,45) = (- 0,97)(25.000)

= - $24.250

= 3(0,22) + 2(0,34) – 10(0,18) = (- 0,46)(25.000)

= - $11.500

Si el precio del cobre/libra se baja por un $/lbr, el valor de dicha posición va a subir por $24.250 y el nuevo Delta será - $35.750. Se puede neutralizar el delta: compra 24.250 libras de cobre.

ADMINISTRACIÓN DE RIESGO

Administración de riesgo es el conjunto de actividades en los

mercados de los derivados dirigidas a consegir un

nivel aceptado de riesgo.

El objetivo puede ser eliminar el riesgo completamente o,

disminuir el riesgo

ESTRATEGIAS DE ADMINISTRACIÓN DE RIESGO

1. PUTS PROTECTORAS

Para proteger el valor de una cartera

2. CALLS PROTECTORAS

Para poner límite por el

precio de compra

3. COLLAR

Para definir precio máximo y precio mínimo con autofinanciación

ESTRATEGIAS DE ADMINISTRACIÓN DE RIESGO

4. SWAPS DE BASE

Para eliminar el riesgo totalmente

5. DELTA-GAMA-VEGA-RHO

NEUTRAL CARTERAS

Para proteger el valor de la cartera

1. PUTS PROTECTORAS

ESTRATEGIA F.C.I. S < X S > X

COMPRAR S - S0 S S

COMPRAR PUT - p - (S – X) 0

TOTAL -(S0+p) X S

G/P X-S0- p S-S0- p

X

- p S

G/P

AL VENCIMIENTO

Supongamos que S0 = X

1. PUTS PROTECTORAS

X S0 p X - S0 - p S - S0 - p

$280 $288 $23 - $31 S - 311

$300 $288 $32 - $20 S - 320

$330 $288 $53 - $11 S - 341

$280 $300 $330 0

-10

-20

-30

S

G/P

¿CÓMO ADMINIDTRAR EL RIESGO DE UN PORTAFOLIO?

El gerente de un portafolio de acciones que vale:

V = $2.600.000.000

teme que el mercado baje unos 25% - 40% en los próximos seis meses. Su portafolio tiene alta correlación con el mercado, y si bajará el mercado disminuaría el valor de dicho portafolio acerca de 40%. Vender el

portafolio para recomprarlo luego que baje el mercado no es alternativa factible. El problema es cómo usar los derivados

eficientemente, de manera rápida y barrata para hacer cobertura contra la bajada esperada en el valor del portafolio.

¿CÓMO ADMINIDTRAR EL RIESGO DE UN PORTAFOLIO?

DOS ALTERNATIVAS:

1. COBERTURA CORTA CON FUTUROS SOBRE UN

ÍNDICE BURSÁTIL.

2. COMPRA DE PUTS PROTECTORAS.

SUPUESTO:

EXISTEN FUTUROS Y OPCIONES

SOBRE EL ÍNDICE

IPSA

Características principales

de los contratos:

Índice: IPSA - 40

Unidad: $100.000

Un tick: $0,01 ($1.000/contrato)

Entrega: Marzo, Junio, Septiembre,

Diciembre

Último día: El penúltimo día hábil del mes de entrega

Horas: 8:30AM – 3:30PM Santiago horas

Settlement: En efectivo

COBERTURA CORTA CON FUTUROS SOBRE EL IPSA - 40

Fecha Spot Futuros

8.10.99

V =$2,6Mil M F(junio) = 130 IPSA = 125Vender 200

Futuros**

8.11.00

V =$1,56Mil M F(junio) = 77 IPSA = 75 Comprar 200

Futuros

V = $1,56Mil M + (130 - 77)($100.000)(200)

= $1,56Mil M + 1.06Mil M

= $2,62Mil M

**N = $2.600.000.000/(130)($100.000) = 200

PUTS PROTECTORAS

Estrategia F.C.I. IPSA < 125 IPSA > 125

Portafolio -$2,6MM = N(125)L

20,8M(I) 20,8M(I)

Comprar 208 PUTs

-$270,4M p = 13pts

N(125-I)L

0

TOTAL -$2,8704M N(125)L 20,8M(I)

G/P -$270,4M $(I-125)208M –$270,4M

AL VENCIMIENTO

Supuestos:

IPSA = 125

p(125, X = 125, 6 meses) = 13 puntos

Multiplicador = L = $100.000

N = $2.600.000.000/(125)($100.000)= 208

Costo = (208)(13)($100.000) = $270,4M

V0 = 20,8M(IPSA)

PUTS PROTECTORAS

125 138

-270,4 M

S

G/P AL VENCIMIENTO

G/P = $20,8M(I- 125) - $270,4M

IPSA-40 <125 IPSA-40 > 125

V = $2,6MilM - $270,4M V = $20,8M(I)- $270,4M

V = $2.329.600.000

COBERTURA CORTA CON FUTUROS SOBRE EL IPSA - 40

Fecha Spot Futuros

8.11.99

V =$2,6Mil M F(junio) = 130 IPSA = 125Vender 200 Fs.

8.11.00

V =$2,8Mil M F(junio) = 141 IPSA = 135Comprar 200 Fs

V = $2,8Mil M + (130 - 141)($100.000)(200)

= $2,8Mil M – $220 M

= $2.580.000.000

Con los puts protectoras, el valor total en este caso es: 20,8M(141) – 270,4M

= $2.662.400.000

2. CALLS PROTECTORAS

ESTRATEGIA FCI S < X S > X

COMPRAR S - S0 S S

VENDER CALL + c 0 -(S – X)

TOTAL -(S0- c) S X

G/P S-S0+c X- S0+c

X

c

S

G/P

AL VENCIMIENTO

Supongamos que S0 = X S

3. COLLARS

EL PROBLEMA CON

PUTS Y CALLS PROTECTORAS:

LAS PRIMAS.

Para abrir estas estrategias,

se debe pagar las primas de las opciones.

Dichas primas son irrecuperables.

3. COLLARS

4. Compra de una call para garantizar un precio máximo de

la compra del activo subyacente

y

financiarla con la venta de una put.

2. Compra de una put protectora para garantizar un precio

mínimo de la venta del activo subyacente

y

financiarla con la venta de una call

3. COLLARS

4. Compra de una call para garantizar un precio máximo de la compra del

activo subyacente

y

financiarla con la venta de una put.

EJEMPLO

Un importador Chileno importa equipos técnicos de EEUU y los vende a sus clientes chilenos. El

importador paga por los equipos un precio fijo en dólares US. Sin

embargo, sus clientes le pagan un precio fijo en pesos chilenos. El

importador sufre el riesgo del tipo de cambio entre el $USD y el $CLP.

3. COLLARS

Datos:

El precio en $USD: $10M

El precio en $CLP: $6.360M

Con el tipo de cambio de $CLP530/$USD

la ganacia del importador es:

G = $CLP6.360M/$CLP532/$USD - $10M USD = $2M USD

El Riesgo:

Se despreciará el $CLP

3. COLLARS

Si se despreciera el peso a CLP540/$USD, por ejemplo, se disminuaría la ganancia del importador a:

G = $CLP6.360M/$CLP540$USD - $10MUSD = $1,777,778USD.

Si se despreciera el peso de CLP$530/$USD a CLP636/$USD, la ganacia del importador se disminuaría a cero:

G = $CLP6.360M/$CLP636US - $10MUS = CERO

Alternativamente: Si se apreciera el peso a CLP400/$USD, por ejemplo, se incrementaría la ganancia del importador a $5,9M USD:

G = CLP6.360M/$CLP400/$USD - $10MUSD

= $5,9M USD.

¿CÓMO ADMINISTRAR EL RIESGO DEL TIPO DE CAMBIO?

ALTERNATIVAS:

A. No hacer ninguna cobertura, es decir, aceptar el riesgo.

B. Hacer cobertura con un SWAP o, equivalentemente, con una seríe de FORWARDS.

C. Hacer cobertura con compra de CALLS protectoras.

D. Hacer cobertura con COLLAR: comprar CALLS, financiándolas con venta de PUTS.

Características principales

de los contratos:

Moneda: $USD

Unidad: CLP2.000

Un tick: CLP5/$USD(CLP10.000 USD/contrato)

Entrega: Marzo, Junio, Septiembre,

Diciembre

Último día: El penúltimo día hábil del mes de entrega

Horas: 8:30AM – 3:30PM Santiago horas

Settlement: Depósito de la moneda en tal banco

EL COLLAR

D. Hacer cobertura con

COLLAR:

Compra de CALLS, financiándolas con venta de PUTS.

Supongamos:

c(S = 530;X = 530;T = 3meses)

=

p(S = 530;X = 550;T = 3meses)

ESTRATEGIA FCI S<530 530<S<550 S>550

COMPRAR 6.000 CALLS X = 530

- 0 S - 530

S - 530

VENDER 6.000

PUTS X = 550 + -(550-S) -(550 – S) 0

TOTAL 0 S - 550 2S – 1.080 S - 550

G/P S – 550 2S – 1.080 S – 550

AL VENCIMIENTO

CAMBIO 400 540 636

INGRESO $6.360M

CLP

$15,9M USD

$6.360M

CLP

$11,(7)M USD

$6.360M

CLP

$10M

USD

PAGO $10M USD $10M USD $10M USD

COLLAR - $4,5M USD

$0

USD

$1M

USD

G/P $1,4M

USD

$1,78M

USD

$2,566M

USD

4. SWAP DE BASES

En cual quier momento, k, la BASEk = Ck – Fk,T

es una variable aleatoria y por lo tanto, la base representa riesgo. Este riesgo existe en coberturas largas tal como cortas con futuros.

A veces, el cubridor quiere eliminar este riesgo totalmente. Lo puede hacer a través de un

swap de base

Definición:

Swap de base es un acuerdo entre dos partes en que una parte paga ( a la otra parte) la base actual:

Bk = Ck – Fk,T

y recibe ( de la otra parte) la base inicial:

B0 = C0 – F0,T .

Cobertura corta: El cubridor paga Bk y recibe B0

Cobertura larga: El cubridor paga B0 y recibe Bk

COBERTURA CORTA CON

SWAP DE BASE

FECLPA SPOT FUTURO

O S0 Abrir posición:

corta F0,T

1 S1 F1,T

Vender el comodity S1 2) larga F1,T

B0 = S0 - F0,T

B1 = S1 – F1,T

El CUBRIDOR recibe: F0,T + B1

EL SWAP DE BASE:

cubridor contraparteB1

B0

RESULTADO:

El cubridor corto recibe:

(futuros + spot) F0,T + B1

+

(swap de base) - ( B1 - B0)

= F0,T + B0

= F0,T + S0 - F0,T

= S0

CONCLUCION:

EN TOTAL, EL CUBRIDOR RECIBE S0

Empezamos con riesgo de precio SPOT.

A través de la COBERTURA CORTA CON FUTUROS, cambiamos el riesgo con RIESGO DE BASE.

En fin, con SWAP DE BASE, eliminamos todo el riesgo. El ingreso de la venta del comodity mas el swap es S0 SIN RIESGO.

COBERTURA LARGA CON

SWAP DE BASE

FECLPA SPOT FUTURO

O S0 Abrir posición:

larga F0,T

1 S1 F1,T

Comprar el comodity S1 1) corta F1,T

B0 = S0 - F0,T

B1 = S1 – F1,T

El CUBRIDOR paga: F0,T + B1

EL SWAP DE BASE:

cubridor contraparte

B0

B1

RESULTADO:

El cubridor largo paga:

(futuros + spot) F0,T + B1

+

(swap de base) B0 - B1

= F0,T + B0

= F0,T + S0 - F0,T

= S0

CONCLUCION:

EN TOTAL EL CUBRIDOR PAGA S0

Empezamos con riesgo de precio SPOT.

A través de la COBERTURA CON FUTUROS, cambiamos el riesgo con RIESGO DE BASE.

En fin, con SWAP DE BASE, eliminamos todo el riesgo. El pago (ingreso) es S0 SIN RIESGO.

EJEMPLO:

DE LA SALA DE NEGOCIOS DE DERIVADOS DE BP

Definiciones de dos índices:

L3D = Índice de los tres últimos días

= Promedio ponderado de los precios del futuro en NYMEX durante los últimos tres días de

cotización del mismo.

IF= El índice “Inside FERC.” = Promedio ponderado de los precios spot de Gas Natural.

12 de abril 11:45AM:

La sala de derivados de BP

1. Primera llamada: BP acuerda a comprar 8,4 million gallones de GN de BM en agosto a IF.

2. Segunada llamada: (Simultáneamente,) BP hace cobertura a través de una posición larga de 200 futuros de GN en NYMEX para entrega en agosto. {(200)(42.000) = 8.400.000}

3. Tercera llamada: (Simultáneamente,) BP acuerda vender 8,4 million gallones de GN a SST. SST comprará el GN de BP al precio actual (NYMEX) del futuro para agosto, menos un descuento – X, todavía desconocido.

FECLPA SPOT FUTUROS

12 de abril Entrar acuerdos Comprar 200 futuros de GN en NYMEX para agosto

F4,12; aug = $5.87

12 de agosto (i) Comprar GN Vender 200 futuros de BM a: de GN en NYMEX

C1 = IF . para agosto Faug; aug = L3D

. (ii) Vender GN a SST a: C2 = F4, 12; aug – X

Se desprende que en el 12 de agosto, el flujo de caja de BP será:(F4,12; aug – X) – IF + L3D - F4,12; aug = L3D – X – IF.

Fijése que este flujo de caja lleva un riesgo que radica en el SPREAD de los índices: L3D – IF.

¿ Cómo puede BP eliminar el riesgo de diCLPo SPREAD?

BP decide eliminar el riesgo del SPREAD L3D – IF a través de un swap. Claro que el swap debe ser flotante-por-flotante.

4. La cuarta llamada: (simultáneamente) BP entra en un

swap con una contraparte en lo que BP acuerda a pagar

L3D – $0,05/gallon y recibir IF

Se puede describir dicho swap así:

EL SWAP DEL SPREAD L3D - IF

L3D - $0,025

IF En suma: el flujo de caja total para BP es:

Mercado spot: F4, 12; AUG - X - IF Mercado futuro: + L3D - F4, 12; AUG

Swap: + IF - (L3D – $0, 05)

= $0,05 - X.

BP decidió que quisiera tener un ingreso de 2 centavos($0,02)por gallon de este negocio. Para lograr un flujo de 2 centavos por gallon, resolvamos:

$0,02 = $0,05 - X. La solución de esta ecuación es:

X = $0,03 .Recuérdese que X es el descuento que demanda SST para comprar el GN de BP. Entonces, el acuerdo es que BP vende el GN a SST por el precio NYMEX actual $5,87 menos el descuento de 5 centavos: $5,84.

BP CONTRAPARTE

CONCLUCION:El precio NYMEX actual para agosto es $5,87.BP vendrá el GN a SST por $5,87 – 0,03 = $5,84.

BP entro en unos acuerdos que hizo por teléfono asegurando una ganancia sin riesgo de $0,03/gallon.En total la ganacia sin riesgo en el 12 de agosto será:

($0,03/gallon)(8.400.000gallones) = $252.000.

ANALISIS DEL EJEMPLO

CONTRAPARTE

BM SST

NYMEX

BP

L3D - .05 IF

IF F4,12;AUG - X

GN GN

LARGOF4,12;AUG

CORTOL3D

COBERTURA

SPOT

SWAP

5. DELTA-GAMA-VEGA-KAPA

RISK-NEUTRAL ESTRATEGIAS

Los parámetros de sensibilidad:

Delta =

Gamma =

Theta =

Vega =

Rho =

ESTRATEGIAS BASADAS EN GRIEGOS

Estrategias basadas en griegos son estrategias en las que el inversionista trata de conseguir un nivel de sensibilidad. Es decir, la estrategia está construida con el objetivo de que tenga una dada exposición al riesgo.

La abrumadora mayoría de este tipo de estrategias tratan de que la estrategia no tenga ninguna exposición al riesgo.

En las siguientes pájinas analizamos ejemplos de posiciones:

1. delta neutral

2. delta-gamma neutral

3. Delta-gamma-vega-rho neutral

En dicho ejemplo el activo subyacente es el índice S&P100 y las opciones sobre el mismo son europeas.

EJEMPLO:

S = $300

X = $300

T = 365 días

= 0,18 ( desviación estándar annual de 18%) r = 0,08 ( Tasa anual de interés sin riesgo 8%) d = 0,03 ( tasa anual de dividendos es 3%)

C = $28,25

= 0,6245

= 0,0067

= 0,0109

= 0,0159

ESTRATEGIA DE DELTA NEUTRAL

Supongamos que la opción arriba está vendida:

W0 = - 1 posición corta en la call.

Para neutralizar la exposición de riesgo vamos a abrir una posición larga en el activo subyacente:

WS = 0,6245 Comprar 0,6245 del subyacente.

Analicemos:

Primer caso A: El precio del subyacente: $300 a $301.

Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio

-Call - $28,25 - $28,88 - $0,63

(0,6245)S $187,35 $187,97 $0,62

Error: - $0,01

Primer caso B: El precio del subyacente: $300 a $299.

Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio

-Call - $28,25 - $27,62 + $0,63

(0,6245)S $187,35 $186,73 - $0,62

Error: + $0,01

Se desprende que cuando WS = Delta, la cartera: corta call y larga subyacente esta neutralizada.

Segundo caso:El precio del subyacente: $300 a $310.

Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio

-Call - $28,25 - $34,81 - $6,56

(0,6245)S $187,35 $197,59 $6,24

Error: - $0,32

El problema es que delta se cambia cuando se cambie el precio del subyacente.

S = $300 $301 $310

= 0,6245 0,6311 0,6879.

Conclusión: Para neutralizar el impacto de grandes cambios en el subyacente es necesario usar una posición delta-gamma neutral. Sin embargo, para hacerlo es necesario tener otras opciones.

Supongamos que existe otra opción sobre el mismo subyacente con los siguientes parámetros:

Call inicial(#0) Call (#1)

S = $300 S = $300

X = $300 X = $305

T = 365 días T = 90 días

= 0,18 = 0,18

r = 0,08 r = 0,08

d = 0,03 d = 0,03

c = $28,45 c = $10,02

= 0,6245 = 0,4952

= 0,0067 = 0,0148

= 0,0109 = 0,0059

= 0,0159 = 0,0034

POSICION DELTA-GAMMA NEUTRAL

(1) WS +W0(0,6245) + W1(0,4952) = 0 = 0

(2) W0(0,0067) + W1(0,0148) = 0 = 0

Para crear cartera delta-gamma neutral las dos condiciones deben cumplirse simultáneamente, mantentiendo la posición corta en la call inicial:

Solución:

W0 = -1

W1 = - (0,0067)(-1)/0,0148 = 0,453

WS = - (0,6245)(-1) – (0,453)(0,49520 = 0,4

Corto la call inicial : W0 = -1.000

Largo 0,453 de call #1 W1 = 0,453

Largo 0,4 del subyacente WS = 0,400

LA CARTERA DELTA-GAMMA NEUTRAL

Primer caso: El precio del subyacente: $300 a $301.

Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio

(-1,0)#0 - $28,25 - $28,88 - $0,63

(0,453)#1 $4,54 $4,77 $0,23

(0,4)S $120 $120,4 $0,40

Error: Cero

Segundo caso:El precio del subyacente: $300 a $310.

Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio (-1,0)#0 - $28,25 - $34,81- $6,56

(0,453)#1 $4,54 $7,11 $2,57

(0,4)S $120 $124 - $4,00

Error: + $0,01

La cartera está neutralizada contra cambios pqueños tal como cambios grandes en el precio del activo subyacente.

Cartera Delta Gamma Vega Rho

-1,00(#0) -0,6245 -0,0067 -0,0109 -0,0159

0,453(#2) 0,2245 0,0067 0,0027 0.0015

0,400S 0,4000 0 0 0

Riesgo Cero Cero -0,0082 -0,0144

Es claro que la cartera todavía esté expuesta al riesgo de dos factores:

la volatilidad

la tasa de interés.

Sin Embargo,

al examinar la exposición entera, se ve que:

La siguiente tabla muestra la distribución del error asociado con la cartera delta – nuetral para tres niveles de volatilidad: 12%, 18% Y 24%, para varios cotizaciones del subyacente:

MATRIX DE EXPOSICION PARA LA CARTERA

DELTA NEUTRAL

Subyacente !2% 18% 24%

$270 $2,73 - $3,26 - $9,45

$275 $4,05 - $2,24 - $8,61

$280 $5,08 - $1,42 - $7,92

$285 $5,82 - $0,79 - $7,38

$290 $6,29 - $0,35 - $6,97

$295 $6,47 - $0,08 - $6,70

$300 $6,40 0,00 - $6,56

$305 $6,09 - $0,08 - $6,56

$310 $5,57 - $0,32 - $6,67

$315 $4,84 - $0,71 - $6,89

$320 $3,94 - $1,24 - $7,24

$325 $2,89 - $1,90 - $7,69

$330 $1,72 - $2,67 - $8,82

La siguiente tabla muestra la distribución del error asociado con la cartera delta-gamma nuetral para tres niveles de volatilidad: 12%, 18% Y 24%, para varios cotizaciones del subyacente:

MATRIX DE EXPOSICION PARA LA CARTERA

DELTA NEUTRAL

Subyacente !2% 18% 24%

$270 $5,54 - $0,45 - $6,64

$275 $6,04 - $0,25 - $6,62

$280 $6,38 - $0,12 - $6,62

$285 $6,57 - $0,04 - $6,63

$290 $6,62 - $0,01 - $6,63

$295 $6,55 0,00 - $6,62

$300 $6,40 0,00 - $6,56

$305 $6,17 0,00 - $6,48

$310 $5,89 $0,01 - $6,34

$315 $5,56 $0,01 - $6,17

$320 $5,19 $0,01 - $5,99

$325 $4,80 $0,01 - $5,78

$330 $4,38 - $0,01 - $5,56

La tasa de interés es el cuarto parámetro. En el siguiente caso analizamos el error cuando se cambie la tasade interés:

Tercer caso: El precio del subyacente: $300 a $310 y simultáneamente, la tasa de interés

sin riesgo se alza por 1%, de 8% a 9%.

Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio

(-1,0)#0 - $28,25 - $33,05 - $4,80

(0,453)#1 $4,54 $6,91 $2,37

(0,4)S $120 $124 - $4,00

Error: - $1,57

Para eliminar la entera exposición al riesgo, vamos a usar el activo subyacente, S = $300 y la siguientes opciones:

CALL 0 1 2 3

X 300 305 295 300

T(días) 365 90 90 180

Volatilidad 18% 18% 18% 18%

r 8% 8% 8% 8%

Dividendos 3% 3% 3% 3

PRECIO $28,25 $10,02 $15,29 $18,59

Las medidas de exposición al riesgo son:

CALL 0 1 2 3 S

Delta = : 0,6245 0,4952 0,6398 0,5931 1,0

Gamma= : 0,0067 0,0148 0,0138 0,0100 0,0

Vega = : 0,0109 0,0059 0,0055 0,0080 0,0

Rho = : 0,0159 0,0034 0,0044 0,0079 0,0

LA CARTERA DELTA-GAMMA-VEGA-RHO NEUTRAL

Para eliminar la entera exposición al riesgo buscamos las ponderaciones de inversión en el subyacente y las dadas opciones de manera que asegure que todos los parámetros de sensibilidad son:

SIMULTANEAMENTE CERO:

Delta = = cero

Gamma = = cero

Theta = = cero

Vega = = cero

Rho = = cero

Delta = = 0

WS+W0(0,6245)+W1(0,4952)+W2(0,6398)+W3(0,5931) = 0

Gamma = = 0

W0(0,0067)+W1(0,0148)+W2(0,0138)+W3(0,0100) = 0

Vega = = 0

W0(0,0109)+W1(0,0059)+W2(0,0055)+W3(0,0080) = 0

Rho = = 0

W0(0,0159)+W1(0,0034)+W2(0,0044)+W3(0,0079) = 0

Se debe resolver las 4 ecuaciones simultáneamente.

Para llegar a la solución, fijamos W0 = - 1,0 y resolvaemos las ecuaciones. El resultado es:

Posición

W0 = -1,0000 Corta call #0

WS = 0,2120 larga 0,2120 del subyacente

W1 = 0,8380 Larga 0,8389 call #1

W2 = -1,9000 Corta 1,9000 call #2

W3 = 2,0420 Larga 2,0420 call #3

En realidad, cada una de las opciones cubre 100 acciones del subyacente. Los resultados arriba se pueden reescribir:

Corta 100 calls

Larga 2.120 acciones del subyacente

Larga 84 calls #1

Corta 190 calls # 2

Larga 204 calls #3

LA CARTERA DELTA-GAMMA-VEGA-RHO NEUTRAL

Cuarto caso: El precio del subyacente: $300 a $310 y simultáneamente, la tasa de interés

sin riesgo se alza por 1%, de 8% a 9% y simultáneamente, la volatilidad annual se cambia de 18% a 24%

Cartera Valor inicial Nuevo valor cambio

-1,0(#0) - $28,25 - $42,81 - $14,56

(0,212)S $63,60 $65,72 $2,12

(0,838)#1 $8,40 $16,42 $8,02

(-1,9)#2 - $29,05 - $48,97 - $19,92

(2,042)#3 $37,97 $62,20 - $24,25

Error: - $0,09