1 Longitudes y áreas de polígonos

ACTIVIDADES

1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

a) b) � cm

� cm

� cm� cm

�,� cm

�,� cm

� cm� cm

� cm

2. Se quiere cercar un campo con forma de pentágono re-gular de 15 m de lado. Se pondrán tres filas de alam-bre. ¿Cuántos metros se necesitan?

3. Mide el perímetro de estas figuras utilizando las uni-dades indicadas.

a

b

c

Compara los resultados obtenidos para un mismo perí-metro al utilizar distintas unidades.

4. Dibuja un rectángulo que tenga el mismo perímetroque un cuadrado de 8 cm de lado.

5. Utiliza estas unidades para medir la superficie de lassiguientes figuras.

Compara los resultados obtenidos para una misma super-ficie al utilizar distintas unidades.

6. Un rectángulo tiene 28 cm de perímetro, de los cuales,10 son de la base. ¿Cuál es su altura?

Ejemplo Además, para proteger los murales de la lluvia van a colocar tela impermeable. Lorenzo mide la superficie del mural utilizando como unidad un adoquín.

El área del mural es 195 adoquines.

Una superficie es cualquier porción limitada del plano. El área es la medida de la superficie.

Ejemplo Los alumnos de 1.º ESO han terminado sus murales en el patio. Para protegerlos de pisadas, los van a rodear con una cinta. Lorenzo mide la longitud de los lados del mural usando como unidad el lado de los adoquines del suelo.

El perímetro es 15 + 13 + 15 + 13 = 56 unidades.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

2 Longitudes de figuras circulares

ACTIVIDADES

7. Calcula la longitud de las circunferencias de radios:

a) 10 cm c) 1,2 m

b) 2,2 hm d) 3,32 m

1. Calcula la longitud de las circunferencias de diámetros10 cm, 6 cm, 8 cm y 12 cm.

8. La longitud de una circunferencia es de 28,26 mm.¿Cuál es el radio?

9. Alejandra quiere construir un aro de baloncesto conun cable de 2 m de longitud. Sabe que el diámetro deun aro oficial mide 45,7 cm. ¿Tendrá suficiente con elcable del que dispone?

10. Juan tiene 80 cm de alambre y quiere hacer anillas de2 cm de radio. ¿Cuántas anillas podrá construir?

Si quisiéramos medir la longitud de una rueda de bicicleta podríamos seguir este proceso: colocamos una marca de pintura en un punto de la rueda y echamos a rodar. En el suelo aparecerán dos marcas de pintura. La distancia entre las dos marcas será la longitud de esa circunferencia.

Como no siempre es posible medir la longitud, observamos que la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro es siempre la misma cantidad.

Ld

= 3,141592653…

Esta cantidad es un número con infinitos decimales y se llama pi (se escribe π).

La longitud de una circunferencia se puede calcular con la expresión: L = π ⋅ dComo el diámetro es dos veces el radio, también se puede expresar: L = 2 ⋅ π ⋅ r

Ten en cuenta

El número π tiene un valor aproximado de 3,14.

arco

cuerda

radio ángulodel arco

La razón entre el diámetro y la longitud de una circunferencia es siempre π.

3 Áreas de cuadriláteros

Rectángulo y cuadrado

El área de un rectángulo de base b y altura h es:

A = b ⋅ hEl área de un cuadrado de lado l es:

A = l ⋅ l = l2

Romboide Fíjate en este dibujo que nos explica cuál es la fórmula del área del romboide.

h

b

h

b

TrapecioFíjate en este dibujo que nos explica cuál es la fórmula del área del trapecio.

B B + b

B + bBb

b

h h

El área de un trapecio de base mayor B y base menor b es: A=( B+ b ) ⋅h

2

El área de un romboide con base b y altura h es: A = b ⋅ h

A = 5 ⋅ 2

Recuerda en un trapecio:Las bases son los lados paralelosLa altura es el segmento perpendicular entre las bases

RomboFíjate en este dibujo que nos explica cuál es la fórmula del área del romboide.

d

D

D

d

2

d

D2

El área de un rombo con diagonal mayor D y diagonal menor d es: A= D ⋅d2

ACTIVIDADES

11. Calcula el área de los siguientes paralelogramos.

a)

� cm

c)

�,� cm

�,� cm

b)

�,� cm

�,� cm

d)

� cm

�,� cm

12. Dibuja y calcula el área de los siguientes rectángulos.

a) Longitud de la base 12,75 cm y altura 7 cm.

b) Longitud de la base 9,5 cm y altura 7 cm.

13. Calcula el área de un romboide de base 10 cm y altura5 cm.

14. ¿Cuál es el área de un rombo de diagonales 8 y 6 cm?

15.

Halla las áreas de los siguientes rombos.

a) D = 9, d = 2 c) D = 3, d = 1

b) D = 5, d = 4 d) D = 10, d = 5

16. Calcula el área de un trapecio rectángulo cuyas basesmiden 10 y 12 mm y su altura 5 mm.

17. Calcula el área de estas figuras:

a) b)

� m

� m

� m

� m

�,� m

�,� m

18. Dibuja un trapecio isósceles de bases 3 y 5 cm, y ladosiguales de 4 cm, indicando la altura con líneas discon-tinuas. Calcula su área y su perímetro.

ACT IV IDAD RESUELTA

Calcula el área del trapecio.

� cm

� cm

� cm

El área es: A=(B+ b) ⋅h

2= (7+ 5) ⋅3

2= 18

El área mide 18 cm2.

� cm a

� cm

CaClculCalcula el área de un cuadrado cuyo perímetro es 2,8 m.a CCalcula el área de un cuadrado cuyo perímetro es 2,8 m.a Calcula el área de un cuadrado cuyo perímetro es 2,8 m.lcula el área de un cuadrado cuyo perímetro es 2,8 m.

4 Área del triángulo

El área de un triángulo de base b y altura h es: A= b ⋅h2

Ejemplo Un triángulo tiene de base 12 cm y de altura 7 cm, calcula su área.

Aplicando la fórmula del área obtenemos:

A= b ⋅h2

= 12⋅72

= 42cm2

Ejemplo Calcula el área del siguiente triángulo.

� cm

El área es 6 cm2.

3

ACTIVIDADES

18. Calcula el área de un triángulo de 7 cm de base y 4 cmde altura.

19. Completa la siguiente tabla referida a un triángulorectángulo.

base altura área

8 2 ● ● ●

● ● ● 2 12

10 ● ● ● 30

20. Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos cate-tos miden 10 cm y 6 cm.

La base de un triángulo es cualquiera de sus lados.La altura es el segmento perpedicular desde el vértice opuesto al lado que tomamos como base.

En un triángulo rectángulo la base y la altura coinciden con los catetos (lados que forman el ángulo recto

5 Áreas de polígonos regulares

ACTIVIDADES

21 Calcula el área de un cuadrado (que también es un po-lígono regular) de lado 6 cm utilizando la fórmula delos polígonos regulares (observa que la apotema es lamitad del lado).

22. Calcular el área de un hexágono de apotema 1,7 cm yperímetro 12 cm.

23. Calcula el área del siguiente polígono.

l =�,� cm

a=� cm

24. Calcula la apotema de un pentágono regular cuyo ladomide 3 cm, y su área, 15,48 cm2.

� cm

�,�

cm�,

� cm

� cm

a

4

Ejemplo Calcula el área del pentágono regular de lado l = 6 cm y apotema a=4 cm.

• El perímetro es: p = 5,1 ⋅ 6 cm = 30 cm.

•

La apotema mide 4 cm.

Por tanto, el área del pentágono es: A= 30⋅4 ,12

= 61 ,5

El área del pentágono es 61,5 cm2.

El área de un polígono regular con perímetro p y apotema a es:

A=p ⋅a2

Radio

Apotema

• Radio: segmento que une el centro con un vértice.

• Apotema: segmento que une el centro con el puntomedio de un lado.

25. Calcula el área de un cuadrado cuyo perímetro es 2,8 m.

26 El perímetro de un rectángulo mide 72,5 mm. Sabiendo que la base mide 18,25 mm, calcula el área

254 UNIDAD 13

6 Áreas de figuras circulares

Área del círculoCuanto mayor es el número de lados de un polígono, más se parece a un círculo.

a aar r r

El área de un círculo de radio r es: A= π ⋅r2

Área de un sector circularEl área del sector circular es proporcional al ángulo que abarca.

n

r

El área de un sector circular de ángulo n° es: A= π ⋅r2 ⋅n°360°

Ejemplo Calcula el área del sector circular de la figura:

• El sector circular abarca un ángulo de 60° y el radio esr = 3 cm.

A= π ⋅32 ⋅60°360°

= 9 ⋅π6

= 3 ⋅π2

= 4 ,71

El área es 4,71 cm2.

� cm

��°

7 Áreas por descomposición y composición

Las superficies no siempre tienen la forma de polígonos o figuras circulares conoci-das. Para calcular el área de estas figuras planas utilizamos las técnicas de descom-posición, composición o ambas a la vez.

Descomposición de figurasAl descomponer una figura, la dividimos en otras más sencillas cuyas áreas sepamos calcular.

Ejemplo Calcula el área de la siguiente figura descomponiéndola en figuras más sencillas.

� cm

� cm

� cm

� cm

� cm

Podemos descomponer la figura de esta forma:

� cm

� cm

� cm

� cm

� cm

1. El área de la figura es la suma de las áreas del rectángulo y del trapecio:

•Arectángulo = b ⋅ h = 4 ⋅ 6 = 24

•Atrapecio = ( B+ b ) ⋅h

2=

( 3+ 2 ) ⋅ 2

2= 5

Afigura = Arectángulo + Atrapecio = 24 + 5 = 29

El área de la figura es 29 cm2.

� cm

� cm � cm

� cm

� cm

Una técnica de descomposición muy aplicada es la triangulación. Consiste en di-vidir la superficie en triángulos. La tecnología del GPS y la construcción de mapas, por ejemplo, se basan en la triangulación de la superficie terrestre.

� cm

� cm

� cm

� cm

� cm

Organiza tus ideas

PERÍMETRO Y ÁREA

Perímetro es la longitud del contorno de una figura plana.

Rectángulo

b

h

Rectángulo

A = b ⋅ h

Cuadrado

l

Cuadrado

A = l2

Rombo

D

d

Rombo

A= D ⋅d2

Romboide

b

h

Romboide

A = b ⋅ h

El área es la medida de la superficie de una figura plana.

Triángulo

b

h

Triángulo

A= b ⋅h2

Trapecio

B

h

bTrapecio

A=( B+ b )⋅h

2

Polígono regular

a

r l

Polígono regular

A=p ⋅a2

POlÍgOnOs

Longitud de una circunferencia

r

L = 2 ⋅ π ⋅ r

Longitud de un segmento circular

r

n°

Área de un círculo

r

A = π ⋅ r2

Área de un sector circular

r

n°

Área de una corona circular

r

R

A = π ⋅ (R2 − r2)

FiguRAs ciRculAREs

2 2 2

SSersá prporcional al ángulo

Ses