UNIVERSIDAD EMPRESARIAL SIGLO 21

Logica Simbolica

Profesora: Doctora Silvia M. Ojeda

1 INTRODUCCION

Toda disciplina que desee abordarse desde un punto de vista cientfico, requierepara su buen desarrollo y formalizacion, del establecimiento de principios o pos-tulados basicos, a partir de los cuales sea posible obtener conclusiones y deducirpropiedades del objeto de estudio. Para que las conclusiones a las que se arribederiven efectivamente de los postulados establecidos y sean consecuentes con el-los, se requiere que el metodo cientfico de inferencia utilizado para su obtencionsea valido.

La logica matematica, tambien llamada logica simbolica o logstica, puededefinirse como la disciplina que formaliza el estudio de los metodos del razon-amiento; es necesaria en practicamente todos los ordenes de nuestra vida, a talpunto que es mas probable que una persona que haya estudiado logica razonescorrectamente y menos probable que as lo haga alguien que nunca ha reflexionadosobre los principios generales de esta actividad.

En cualquier ambito es preciso estructurar nuestro pensamiento de maneralogica, pues de otra forma sera imposible el planteamiento de un problema y masaun desarrollar algun tipo de estrategia para encontrar su solucion. La presenciade una estructura logica es muy importante incluso en el lenguaje que utilizamosa diario, sin la cual sera muy difcil y hasta imposible la comunicacion. Veamosel siguiente mensaje transmitido por un comunicador de la television:

El mes pasado no llovio en Cordoba y en Buenos Aires

Es posible entender que el mes pasado no llovio en Cordoba y tampoco llovio enBuenos Aires ? Probablemente s, porque nos hemos acostumbrado a entendercorrectamente lo que se expresa de manera incorrecta; pero en realidad el mensajefue mal transmitido. El comunicador debio expresar:

El mes pasado no llovio ni en Cordoba ni en Buenos Aires

Tal como en el caso del ejemplo anterior a veces el mensaje es mal transmitido;sin embargo muchas veces el mensaje se transmite correctamente, aunque desde

1

el aspecto riguroso de la logica formal no sea as. Si un deportista anuncia alfinal de una carrera:

Llegue primero que nadie

En el lenguaje corriente, el mensaje es equivalente a decir que el deportista llegoprimero o que gano la carrera. Sin embargo, en un sentido riguroso el deportistaal decir que llego primero que nadie esta diciendo que en el orden de meritos dela carrera, despues de el no hay NADIE. Luego el deportista en cuestion no llegoantes que el primero, no llego antes que el segundo, no llego antes que el tercero,no llego antes que el penultimo, es decir: llego ULTIMO. En el lenguaje corrienteo comun hay ocasiones en que se pierde la estructura rigurosa de la logica formala pesar de lo cual el mensaje esta bien transmitido.

En las ciencias exactas como la matematica, fsica y ciencias informaticasdesaparece la ambiguedad que en ocasiones puede tener el lenguaje corriente. Laformalizacion logica rigurosa en estas disciplinas hace a su escencia misma.

2 LAS PROPOSICIONES LOGICAS

Una proposicion logica es una oracion declarativa a la cual puede asignarse elvalor de verdad Verdadero o el valor de verdad Falso pero no ambos a lavez.Es importante destacar que el vocablo o en la definicion de proposicion esestrictamente excluyente, en el sentido de que una proposicion solo puede teneruno de dos valores de verdad (verdadero, falso) y solo uno.

:

a) El hombre llego a la luna

b) La programacion lineal es un metodo que permite resolver problemas economicos.

c) Dos es un numero impar.

d) Todos somos inmortales.

La definicion de proposicion es simple y clara pero oculta sutlmente dos principioslogicos:

1. Principio de contradicion: Dadas dos proposiciones contradictorias entre s,no pueden ser ambas verdaderas.

2. Principio de tercero excludo: Dadas dos proposiciones contradictorias entres, no pueden ser ambas falsas.

2

Denotaremos (indicaremos) a las proposiciones con letras de imprenta minusculasde nuestro alfabeto p, q, r.... etc.

:

p : Una computadora es un dispositivo electronico.

q : El congreso fue magnificente.

r : Salio el sol.

Indique cuales de las siguientes oraciones son proposiciones y cuales no:

a : Conecte mi computadora.

b : Las cuentas atrasadas son numerosas.

c : Vendra el gerente?

d : El lunes no se atendera al publico.

e : Ojala venga el gerente.

f : Resuelva este problema!

g : No fumar ni salivar.

h : Tal vez venga el gerente.

i : La logica es el arte del buen razonamiento.

j : En breve llegara el gerente y el resolvera este problema.

k : Que da tan maravilloso!

l : Hoy es un da maravilloso.

m : Una computadora es un mamfero.

n : Senderos de paz.

(importante): La logica como disciplina no estudia la veracidad o falsedadde las proposiciones; por ejemplo:

p : Clara fue al dentista esta manana.

p es una proposicion que puede ser cierta o no; el estudio de su veracidad no esproblema de la logica.

Resulta util, a veces, organizar los valores de verdad de una proposicion p enforma de tabla:

3

pVF

Una organizacion de este tipo recibe el nombre de tabla de verdad para laproposicion p.

2.1 Proposiciones simples y compuestas

Una proposicion simple es una oracion declarativa que no puede separarse en doso mas oraciones declarativas a las que pueda asignarse algun valor de verdad.En el ejercicio 1, la proposicion i es simple y j no lo es pues a partir de laproposicion j es posible obtener dos proposiciones:

p : En breve llegara el gerente

q : El resolvera este problema

Las proposiciones p y q estan vinculadas entre s por el vocablo y, para formarla proposicion j.

Las proposiciones pueden combinarse de diversas maneras para generar proposi-ciones mas complejas empleando como vnculo entre ellas los denominados conectivosl ogicos .

:

a : Juan esta estudiando matematica o economa

Entonces las proposiciones:

p : Juan esta estudiando matematica

q : Juan esta estudiando economa

estan vinculadas por el vocablo o, para formar de esa manera la proposicion a.Mas formalmente:

Una proposicion compuesta es toda combinacion de dos o mas proposicionessimples mediante conectivos logicos.

Existen numerosos conectivos logicos; en este curso estudiaremos los mas us-ados.

Hemos dicho que indicaremos a las proposiciones con letras minusculas deimprenta a, ...p, q, ... etc.; esta notacion sera usada tanto para proposiciones sim-ples como compuestas; ademas, cuando sea importante distinguir entre proposi-ciones compuestas de proposiciones simples, usaremos letras mayusculas P,Q,R,.....para referirnos a las proposiciones compuestas; as si P es una proposicion

4

compuesta constituda a partir de conectar logicamente las proposiciones simplesp, q, r, y s, escribiremos: P (p, q, r, s), o simplemente y cuando ello no cause con-fusion, nos referiremos a la proposicion P. Es posible tambien vincular medianteconectivos logicos, dos o mas proposiciones compuestas o bien proposiciones com-puestas con proposiciones simples para formar una nueva proposicion compuesta.

El valor de verdad de una proposicion compuesta, depende exclusivamente delos valores de verdad asignados a cada una de las proposiciones simples que lacomponen y de la forma en que estas estan relacionadas. La manera en que seencuentran vinculadas dos o mas proposiciones depende de la accion del conectivologico o de los conectivos logicos que las vinculan.

3 CONECTIVOS LOGICOS

Hemos introducido el concepto general de conectivo logico como un vnculo queactua entre dos proposiciones generando una proposicion compuesta. Nos corre-sponde ahora definir en particular cada conectivo logico y su manera de actuar.

3.1 La conjuncion

Una de las formas mas comunes de conectar oraciones en el lenguaje cotidiannoes hacerlo mediante el vocablo y. Por ejemplo:

P : En la reunion con el gerente estaran Juan y Mara

Se trata de una proposicion compuesta por las proposiciones simples:

p: En la reunion con el gerente estara Juan

q: En la reunion con el gerente estara Mara

Observemos que para construir P se han aplicado las reducciones o simplifica-ciones que nos impone el lenguaje corriente ya, que sonara repetitivo y redun-dante decir:

En la reunion con el gerente estara Juan y en la reunion con el gerente estaraMara

Desde el punto de vista de la logica matematica la proposicion P se construyea partir del conectivo conjuncion aplicado a las proposiciones p y q.

: Dadas dos proposiciones p y q, llamaremos conjuncion de p y q a la proposicionp q (que se lee: p y q) la cual es verdadera si ambas, p y q, lo son y falsa encualquier otro caso.

Esta defincion puede expresarse mediante la siguiente tabla de verdad:

5

p q p qV V VV F FF V FF F F

: Considere las proposiciones simples:

p : Hoy se reune la comision directiva de la empresa

q : Hoy se decide sobre la incorporacion del personal

r : El gerente comercial esta de viaje

s : El conflicto salarial se tratara mas adelante

1) Indique en smbolos y en lenguaje corriente

a) La conjuncion entre p y q

b) La conjuncion entre p y r

c) La conjuncion entre q y s

2) Si p es verdadera y q es falsa asigne el valor de verdad correspondiente aP = p q.3) Si p es falsa y r es falsa asigne a Q = pr el valor de verdad que le corresponde.4) Si q es verdadera y r es falsa Que valor de verdad tiene R = q r ?5) Sean S = r s, T = S q, U = s q y V = r U.

a) Escriba T en lenguaje corriente

b) Cual es el valor de verdad de T, si r es falsa?

c)Cual es el valor de verdad de T, si q, r y s son verdaderas?

d) Cual es el valor de verdad de T, si q es falsa?

e) Cual es el valor de verdad de T, si q es falsa, r es verdadera y s verdadera?

f) Que puede decir a cerca de T y U ?

g) Sea W = P S. Escriba W en lenguaje corriente y proporcione el valor deverdad de W en cada uno de los siguientes casos:

i) p, q, r, s son verdaderas

ii) P es falsa

iii) Alguna de las proposiciones simples involucradas es falsa.

6

En la definicion de conjuncion, nos referimos a la conjuncion de dos proposi-ciones simples. Tal como en el caso del ejercicio anterior es posible tambienrealizar la conjuncion entre dos proposiciones compuestas o entre una simple yuna compuesta.

3.2 La Disyuncion

Otra forma de combinar oraciones en el lenguaje cotidiano es mediante el vocabloo como en la siguiente proposicion compuesta:

P : El gerente viajara en mayo o en diciembre.

en la cual se conectan mediante el vocablo o las proposiciones simples:

p : El gerente viajara en mayo.

q : El gerente vajara en diciembre.

Sin embargo es importante observar que el vocablo o posee cierta ambiguedaden el lenguaje cotidiano, ya que lo utilizamos en el sentido incluyente pero tambienen el sentido excluyente; en el caso del ejemplo anterior:

El gerente viajara en mayo o en diciembre o en ambos meses (sentido incluyente)

El gerente viajara en mayo o en diciembre pero no en ambos meses (sentidoexcluyente)

En las siguientes proposiciones podremos ver claramente estos dos usos del voca-blo o.

P : Juan nacio en Argentina o en Chile

Q : Esta prohibido comer o beber en clase

Para el caso de la proposicion P, el vocablo o tiene sentido excluyente pues, enefecto, Juan pudo haber nacido en la Argentina o en Chile pero nunca en ambospases. En tanto, para el caso de la proposicion Q, nos expulsaran de la clasesi comemos, si bebemos y con mayor razon si hacemos ambas cosas a la vez; esdecir el vocablo o tiene en este caso sentido incluyente.

Dadas dos proposiciones p y q llamaremos disyuncion inclusiva entre p y q ala proposicion p q (que leemos p o inclusivo q), la cual es falsa si ambas, p yq lo son, y verdadera en todos los otros casos.Esta definicion puede expresarse mediante la siguiente tabala de verdad:

7

p q p qV V VV F VF V VF F F

Dadas dos proposiciones p y q llamaremos disyuncion exclusiva entre p y q ala proposicion p Y q (que leemos p o exclusivo q), la cual es falsa si p y q tienenel mismo valor de verdad y verdadera en todos los otros casos.La tabla de verdad que corresponde a este conectivo logico es la siguiente:

p q p Y qV V FV F VF V VF F F

: Considere las proposiciones simples:

p : El numero 100 es un numero par.

q : a es una vocal.

r : 2+2 es tres.

t : z es una vocal.

u : a es una consonante.

1) Indique, segun corresponda, en smbolos o en lenguaje corriente las siguientesdisyunciones. En cada caso asigne valor de verdad.

a) p qb) r tc) p rd) a es una vocal o a es una consonante.

e) El numero 100 es un numero par o a es una consonante.

2) Sean P = p q , Q = r t , R = p r , S = q Y u

a) Evaluar el valor de verdad de P Q, P R, P Sb) Evaluar el valor de verdad de Q R, Q S, Q q

3) Evaluar el valor de verdad de:

8

a) ( p q) r y de p (q r)b) (p q) r y de p (q r)c) ( q t) r y de q (t r)d) ( q t) r y de q (t r)

4) Piense una proposicion que sea disyuncion inclusiva de dos proposiciones sim-ples y otra que sea disyuncion exclusiva de dos proposiciones simples.

3.3 La Implicacion Simple

Consideremos la siguiente proposicion:

Si Juan salda su deuda con la empresa, entonces obtendra el credito.

En ella se expresa que exsite cierta condicion entre las proposiciones:

p: Juan salda su deuda con la empresa.

q: Juan obtendra el credito.

Este tipo de oracion declarativa recibe el nombre de proposicion condicional yel conectivo logico utilizado para formarla, si....entonces, se llama implicacionsimple. La palabra entonces puede reemplazarse por una coma:

Si Juan salda su deuda con la empresa, obtendra el credito.

: Dadas dos proposiciones p y q llamaremos implicacion simple de p y q a laproposicion p q (que leemos p implica q o si p entonces q) la cual es falsasi p es verdadera y q es falsa y verdadera en todos los otros casos.Esta definicion se puede expresar mediante la siguiente tabla de verdad:

p q p qV V VV V FF V VF F V

En la definicion anterior p recibe el nombre de antecedente o hipotesis de laimplicacion simple y q se llama consecuente (o conclusion); tambien se dice quep es una condicion suficiente para q y que q es una condicion necesaria para p.

Es importante no caer en la confusion de asociar el significado de la palabraimplicar a los valores de la tabla de verdad de la implicacion simple pues, elhecho de que el antecedente sea verdadero, no implica en cuanto al significadocorriente de la palabra (significado que da el diccionario), que el consecuente

9

es verdadero. Para aclarar el sentido logico (y no el corriente) de la palabraimplicar en la implicacion simple, podemos pensar en la implicacion simple comoen un compromiso entre el antecedente y el consecuente en el siguiente sentido:Consideremos la proposicion compuesta:

P : Si me prestan el auto, te paso a buscar por la Facultad.

y las proposiciones simples:

p : Me prestan el auto

q : Te paso a buscar por la Facultad

Si p se cumple (me prestan el auto) y q se cumple (te paso a buscar por laFacultad) entonces el compromiso entre p y q se cumple, y la implicacion simpleresulta verdadera.

Si p se cumple (me prestan el auto) y q no se cumple (no te paso a buscar porla Facultad), entonces he roto mi compromiso, es decir el compromiso entre p yq no se cumple y la implicacion simple es falsa.

Si p no se cumple (no me prestan el auto), en realidad me veo liberado delcompromiso establecido de pasar a buscarte por la Facultad; as que mas alla deque te pase a buscar por la Facultad a pie o en colectivo o bien que no te pasea buscar por la Facultad (es decir, mas alla de que q se cumpla o no se cumpla),yo no he roto el compromiso establecido, por lo cual el condicional simple resultaen cualquier caso (se cumpla o no se cumpla q ), verdadero.

:1) Escriba cada una de las siguientes proposiciones en la forma si.... entonces.....

p : El entrenamiento diario es fundamental para que Juan gane el torneo.

q : Mara puede andar en moto solo si usa el casco.

r : A menos que me arreglen el aire acondicionado no pagare el alquilerdel departamento.

2) Determine el valor de verdad de las siguientes implicaciones simples:

a) Si 3+4=12 entonces 3+2=6

b) Si 3+3=6 entonces 3+6=9

c) Si 3+3=6 entonces 3+4=9

d) Si De la Rua es el presidente Argentino entonces 2+3=5

3) Proporcione dos ejemplos de Implicacion Simple.

10

3.4 Recproca de la Implicacion Simple

Analicemos la proposicion siguiente:

P : Si estoy de vacaciones, visito a mis amigos del sur.

A partir de la proposicion P es posible establecer dos proposiciones simples:

p : Estoy de vacaciones.

q : Visito a mis amigos del sur.

P es la implicacion simple entre p y q, donde p es el antecedente y q es el con-secuente. Sin embargo a partir de las proposiciones simples p y q es posibleestablecer la implicacion simple Q entre q y p, con q como antecedente y p comoconsecuente:

Q : Si visito a mis amigos del sur, estoy de vacaciones.

Q se llama proposicion recproca de P. Formalmente:: Si p y q son dos proposiciones y P : p q es la implicacion simple entre p

y q entonces Q : q p es la implicacion simple entre q y p y se llama recprocade P.

:Es importante enfatizar que p q y su recproca q p son muy distintaspues tienen distintas tablas de verdad:

p q p q q pV V V VV F F VF V V FF F V V

: Sean las proposiciones

p : Juan aprobo el examen de logica.

q : Juan podra rendir la materia correlativa de logica.

S : Hoy es ano nuevo, entonces ayer termino un ano.

1) Evalue el valor de verdad de p q y de q p en los siguientes casos:

a) p falsa y q verdadera.

b) p y q son falsas.

2) Establezca la recproca T de la proposicion S3) En el ejemplo anterior evalue el valor de verdad de T si S es verdadera.

11

3.5 Implicacion Doble

Pensemos en la proposiciones:

p : Juan aprueba el examen de logica

q : Juan rinde la materia correlativa de logica

P : p qQ : q P

Entonces tenemos:

P : Si Juan aprueba el examen de logica entonces rinde la materia correlativade logica.

Q : Si Juan rinde la materia correlativa de logica entonces aprueba el examende logica.

Si efectuamos la conjuncion entre las proposiciones P y Q (P Q) tendremosuna relacion de ida y vuelta entre las proposiciones p y q dada por lo quellamaremos implicacion doble. Simbolicamente, p q y en palabras:

S : Juan aprueba el examen de logica si y solo si aprueba la materia correlativade logica.

: Dadas dos proposiciones p y q llamaremos implicacion doble de p y q a laproposicion p q (que leeremos p implica doblemente a q) la cual es falsa si py q tienen distintos valores de verdad y verdadera si p y q tienen igual valor deverdad.

Esta definicion se expresa logicamente mediante la siguiente tabla de verdad:

p q p qV V VV F FF V FF F V

Tal como se explico precedentemente, la implicacion doble entre p y q puedeinterpretarse como la conjuncion entre las proposiciones p q y q p, lo cualjustifica su denominacion.

:

p : ire de vacaciones

q : compro una moto

12

s : compro un auto

Ire de vacaciones si y solo si compro una moto o un auto, es la implicacion dobleentre las proposiciones p y (q s), lo cual se simboliza logicamente:

p (q s)

: Construya la tabla de verdad de p (q s).

13

Proposiciones recproca, contraria y contrarecproca de una proposicion condi-cional p q

P : p q q p proposicion recproca de P(Prop. Condicional) p q proposicion contraria de P

q p proposicion contrarecproca de PPodemos establecer las siguientes relacionesp qOtros conectivos logicosCuando definimos proposicion compuesta, dejimos que se trataba de dos o

mas proposiciones simples vinculadas por conectivos logicos; a partir de all tra-bajamos con distintos conectivos logicos: disyuncion (), conjuncion inclusiva(), y exclusiva ( ) , implicacion simple ( ) e implicacion doble (). Hastaahora siempre pensamos que un conectivo vincula 2 proposiciones; por ejemplo:

Juan va al cine con Laura o con Mara.p : Juan va al cine con Laura q : Juan va al cine con MaraSe trata de dos proposiciones p y q vinculadas por el conectivo o.Sin embargo hay conectivos que actuan sobre una sola proposicion (simple o

compuesta) transformandola, este es el caso de la negacion:p : Juan va al cineq : Juan no va al cineq es la negacion de p y q se simboliza p

14