lógica y cálculo proposicional i

LÓGICA Y CALCULO

PROPOSICIONAL

Lógica

Lógica es el estudio del razonamiento; se

refiere específicamente a si el razonamiento

es correcto. La lógica se centra en la relación

entre las afirmaciones y no en el contenido de

una afirmación en particular. Considere, por

ejemplo, el siguiente argumento:

Todos los matemáticos usan sandalias

Cualquiera que use sandalias es un algebrista

Por lo tanto, todos los matemáticos son

algebristas

Lógica

En el sentido técnico la lógica no ayuda a

determinar si alguna de las afirmaciones es

cierta, pero si las dos primeras son ciertas

entonces la tercera lo es.

Elementos del calculo

proposicional

Llamaremos proposición a toda expresión que en su significado puede ser verdadera o falsa.

Todo Guatemalteco es Centroamericano

(Esta proposición es cierta siempre)

Todo Guatemalteco ha ido a la Luna

(Esta proposición es falsa siempre)

El estudiante “x” de la Universidad mide 1.85 mt

(Esta proposición es verdadera para algunos estudiantes “x” y es falsa para otros)


proposicional Determine si cada oración en los ejercicios 1 a 8 es una

proposición.

Si la oración es una proposición, escriba su negación. (No se piden los

valores de verdad de las oraciones que son proposiciones).

1. 2 + 5 = 19.

2. Mesero, ¿serviría las nueces, quiero decir, serviría las nueces a los

invitados?

3. Para algunos Guatemaltecos el lunes es el peor día de la semana.

4. Tecun Uman fue un intrépido navegante español

5. Imprime la primera hoja

6. “Nadaremos, nadaremos en el mar, el mar, el mar” es una oración de la película animada Nemo

7. Todo entero par mayor que 4 es la suma de dos primos.

8. La diferencia de dos primos.


proposicional

Proposición simple o atómica:

Es aquella proposición que no contiene

conectivos lógicos ejemplo:

1. p.

2. q.

3. r.

4. s.


proposicional

Conectivos lógicos o proposicionales. Estos son

los símbolos que se utilizan para conectar

proposiciones

Además para toda proposición se tiene

Negación, no es cierto que, en símbolo ¬


proposicional

Proposición compuesta: Estas son

proposiciones simples o atómicas que están

afectadas por conectivos lógicos,

Ejemplo:


proposicional

Ejemplo 1:

Sean las proposiciones

p: El cine esta abierto

q: La película es un estreno

las proposiciones compuestas formadas con

los conectivos lógicos son:


proposicional


proposicional

Ejemplo 2:

p: Está lloviendo,

q: Me estoy mojando,

entonces la conjunción de p , q es

p ∧ q: Está lloviendo y Me estoy mojando.

La disyunción de p ,q es

p ∨ q: Está lloviendo o me estoy mojando.

El valor de verdad de la conjunción p ∧ q está determinado por los valores verdaderos de p & q


proposicionalla definición se basa en la interpretación usual de “y”.

Considere la proposición

p ∧ q: Está lloviendo y me estoy mojando

Si está lloviendo (es decir, p es verdadera) y también Me estoy mojando (es decir, q también es verdadera), entonces la proposición


se consideraría verdadera.

Sin embargo, si no está lloviendo (esto es, p es falsa) o si no me estoy mojando (q es falsa) o ambas, entonces la proposición


se consideraría falsa.


proposicional

p ∨ q: Está lloviendo o me estoy mojando.

El valor de verdad de la conjunción p ∧ q está

determinado por los valores verdaderos de p

o q

¿Cuándo seria verdadera la proposición?


proposicional

la definición se basa en la interpretación usual de “o”.


p ∨ q: Está lloviendo o me estoy mojando

Se consideraría verdadera si

Esta lloviendo o me estoy mojando

Esta lloviendo o no me estoy mojando

No esta lloviendo o me estoy mojando

En cualquiera de las tres cumple una de las dos condiciones.


proposicional

Sin embargo, si no está lloviendo (esto es, p

es falsa) o si no me estoy mojando (q es

falsa)

p ∨ q: No está lloviendo o no me estoy

mojando



proposicional

p → q: Está lloviendo entonces me estoy

mojando.

El valor de verdad de la implicación p → q está

determinado por los valores verdaderos de p

o q



proposicional

la definición se basa en la interpretación usual de “entonces”.


p → q: Está lloviendo entonces me estoy mojando


Esta lloviendo entonces me estoy mojando

No esta lloviendo entonces me estoy mojando

No esta lloviendo entonces no me estoy mojando


proposicional

Sin embargo, si está lloviendo (esto es, p es

verdadera) y no me estoy mojando (q es

falsa)

p → q: Está lloviendo entonces no me estoy

mojando



proposicional

p ↔ q: Está lloviendo si y solo si me estoy

mojando.

El valor de verdad de la implicación p ↔ q

está determinado por los valores verdaderos

de p o q



proposicional

la definición se basa en la interpretación usual de “si y solo si”.


p ↔ q: Está lloviendo si y solo si me estoy mojando


Esta lloviendo si y solo si me estoy mojando

No esta lloviendo si y solo si no me estoy mojando


proposicional

p ↔ q: Está lloviendo si y solo si no me

estoy mojando


p ↔ q: No esta lloviendo si y solo si, me

estoy mojando



proposicional

Practiquemos.

Sean las proposiciones

p:Estudio todos los días

q:Aprobar el curso

Evalué las proposiciones compuestas

Conjunción

Disyunción

Implicación y

Doble implicación


proposicional

Conjunción


q:Aprobar el curso

p ∧ q: Estudio todos los días y Apruebo el

curso

Es verdadera para el caso en el cual

ambas sean verdaderas, en caso

contrario es falsa.


proposicional

Disyunción


q:Aprobar el curso

p ∨ q: Estudio todos los días o Apruebo el

curso

Es falsa para el caso en el cual ambas

sean falsas, en caso contrario es falsa.


proposicional

Implicación


q:Aprobar el curso

p → q: Estudio todos los días entonces

Apruebo el curso

Es falsa para el caso en el cual la primera

proposición sea verdadera y la segunda

falsa, en caso contrario es verdadera


proposicional

Doble Implicación o equivalencia.


q:Aprobar el curso

p ↔ q: Estudio todos los días si y solo si

Apruebo el curso

Es verdadera en el caso ambas sean

verdaderas o ambas sean falsas, en

caso contrario es falsa


proposicional

Tablas de Verdad: Una tabla de verdad

muestra las posibles combinaciones de las

proposiciones simples o compuestas. Para

saber el numero de filas que se van a

evaluar utilizamos la siguiente formula


proposicional

Tablas de Verdad:

Si se tiene una proposición el numero de filas

será


proposicional

Tablas de Verdad:


proposicional

Tablas de Verdad: Así para la proposición

compuesta por p,q tenemos que el

numero de filas es

V= verdadero

F= falso


proposicional

Tablas de Verdad:

Conjunción


proposicional

Tablas de Verdad:

Disyunción


proposicional

Tablas de Verdad:

Implicación


proposicional

Tablas de Verdad:

Doble Implicación


proposicional

Puesto que la proposición p es falsa, la proposición q es verdadera y la proposición r es falsa, determine si cada proposición en los ejercicios

siguientes es falsa o verdadera.

1. p ∨ q

2. ¬p ∨¬q

3. ¬p ∨ q

4. ¬p ∨¬(q ∧ r )

5. ¬( p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r )

6. ( p ∨¬r ) ∧¬((q ∨ r ) ∨¬(r ∨ p))

lógica y cálculo proposicional i

Education