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  • Lgica Proposicional

    Gua

    Lgica Proposicional

    Tema IV: Tablas de Verdad

  • Lgica Proposicional

    1.1 CALCULO PROPOSICIONAL

    1.1.1. FORMULAS.

    Con estos cinco conectivos lgicos con los que se han trabajados expresiones tales como p q, p q, p q, p q y p;

    se construyen proposiciones compuestas ms complejas, haciendo combinaciones de las anteriores. Entonces es necesario

    especificar la manera en que los smbolos (variables proposicionales y conectores lgicos) pueden colocarse juntos.

    DEFINICIN. Frmula.

    Frmula es una expresin que contiene una secuencia finita o cadena de variables

    proposicionales simples o atmicas (p, q, r, etc.) y conectores lgicos (, , , , ,

    etc.) que satisface las siguientes reglas:

    (1) Cualquier variable proposicional es una frmula.

    (2) Si p es una frmula, entonces p es una frmula.

  • Lgica Proposicional

    (3) Si p y q son frmulas, entonces p q, p q, p q, p q y p son

    frmulas.

    El valor de verdad de una frmula depender de los valores de verdad de las variables proposicionales simples o atmicas que

    la componen. El nmero de combinaciones que tengamos en una tabla de verdad depender del nmero de variables

    proposicionales distintas que intervengan en la frmula, siendo igual a 2n, donde n es el nmero de variables proposicionales

    diferentes que intervienen en ella.

    Ejemplo ilustrativo: Construir la tabla de verdad para la frmula

    [(p q) ( p)] q:

    Solucin:

    En este caso, en la frmula intervienen dos variables proposicionales distintas, por lo tanto se tienen 22 = 4 combinaciones

    posibles.

    p q p q p (p q) ( p) [(p q) ( p)] q.

    V V V F F V

  • Lgica Proposicional

    V F V F F V

    F V V V V V

    F F F V F V

    DEFINICIN. Frmula tautolgica.

    Se dice que una frmula es tautolgica o tautologa si y slo si su valor de verdad es

    verdadero, independientemente de que los valores de verdad de sus variables

    proposicionales componentes sean falsos o verdaderos. Es decir, una tautologa es

    una proposicin compuesta que siempre es verdadera.

    En la Lgica, tenemos varias tautologas que son importantes. Entre ellas, tenemos:

    La ley del medio excluido: p p

    La ley de no contradiccin: (p p)

    La ley de la inferencia contrapositiva (o Modus Tollendo Tollens):

    [(p q) ( q)] p

  • Lgica Proposicional

    Ejemplo:

    p q (pvq) (pvq)q

    V V V V

    V F F V

    F V V V

    F F V V

    p q r (pq) (qr) (pq)^(qr) (pr) [(pq)^(qr)](pr)]

    V V V V V V V V

    V V F V F F F V

    V F V F V F V V

    V F F F V F F V

    F V V V V V V V

    F V F V F F V V

    F F V V V V V V

    F F F V V V V V

  • Lgica Proposicional

    p q r s (pq) (r^~s) q(r^~s) (pq)^[q(r^~s)] (rvs) p(rvs) {(pq)^[q(r^~s)]}[p(rvs)]

    V V V V V F V V V V V

    V V V F V V V V V V V

    V V F V V F F F V V V

    V V F F V F F F F F V

    V F V V F F V F V V V

    V F V F F V V F V V V

    V F F V F F V F V V V

    V F F F F F V F F F V

    F V V V V F F F V V V

    F V V F V V V V V V V

    F V F V V F F F V V V

    F V F F V F F F F V V

    F F V V V F V V V V V

    F F V F V V V V V V V

    F F F V V F V V V V V

    F F F F V F V V F V V

    Ejemplo ilustrativo: Mostrar, mediante una tabla de verdad, la veracidad de ley de la inferencia contrapositiva (o Modus Tollendo

    Tollens):

    [(p q) ( q)] p

  • Lgica Proposicional

    Solucin:

    p q p q q (p q) ( q) p [(p q) ( q)] p

    V V V F F F V

    V F F V F F V

    F V V F F V V

    F F V V V V V

  • Lgica Proposicional

    DEFINICIN. Frmula contradictoria.

    Se dice que una frmula es contradictoria o una contradiccin si y slo si su valor de

    verdad es falso, independientemente de que los valores de verdad de sus variables

    proposicionales componentes sean falsos o verdaderos. Es decir, una contradiccin

    es una proposicin compuesta que siempre es falsa.

    Ejemplo:

    p q (pvq) (pvq)q ~[(pvq)q]

    V V V V F

    V F F V F

    F V V V F

    F F V V F

  • Lgica Proposicional

    p q r (pq) (qr

    ) (pq)^(qr) (pr) [(pq)^(qr)](pr)] ~[(pq)^(qr)](pr)

    ]

    V V V V V V V V F

    V V F V F F F V F

    V F V F V F V V F

    V F F F V F F V F

    F V V V V V V V F

    F V F V F F V V F

    F F V V V V V V F

    F F F V V V V V F

    p q r s (pq) (r^~s) q(r^~s) (pq)^[q(r^~s)] (rvs) p(rvs) (pq)^[q(r^~s)]}[p(rvs)] ~ {(pq)^[q(r^~s)]}[p(rvs)]}

    V V V V V F V V V V V F

    V V V F V V V V V V V F

    V V F V V F F F V V V F

    V V F F V F F F F F V F

    V F V V F F V F V V V F

    V F V F F V V F V V V F

    V F F V F F V F V V V F

    V F F F F F V F F F V F

    F V V V V F F F V V V F

    F V V F V V V V V V V F

    F V F V V F F F V V V F

    F V F F V F F F F V V F

  • Lgica Proposicional

    F F V V V F V V V V V F

    F F V F V V V V V V V F

    F F F V V F V V V V V F

    F F F F V F V V F V V F

    Ejemplo ilustrativo 1: Mostrar, mediante una tabla de verdad, la ley de contradiccin: p p.

    Solucin:

    p p p p

    V F F

    F V F

    Ejemplo ilustrativo 2: Probar que la expresin (p q) ( p q) es una contradiccin:

    Solucin:

    A B

    p q p q p p q ( p q) A B

    V V V F V F F

    V F F F F V F

  • Lgica Proposicional

    F V V V V F F

    F F V V V F F

    DEFINICIN. Frmula sinttica o contingencia.

    Se dice que una frmula es sinttica o contingencia si y slo si la misma no es una

    tautologa ni una contradiccin.

    Ejemplo:

    p q (p^q) (p^q)p

    V V V V

    V F F F

    F V F V

    F F F V

  • Lgica Proposicional

    p q r (p^q) (p^q)r

    V V V V V

    V V F V F

    V F V F F

    V F F F V

    F V V F F

    F V F F V

    F F V F F

    F F F F V

    p q r s (pq) (r^s) (pq)(r^s)

    V V V V V V V

    V V V F V F F

    V V F V V F F

    V V F F V F F

    V F V V F V V

    V F V F F F V

    V F F V F F V

    V F F F F F V

    F V V V F V V

    F V V F F F V

    F V F V F F V

    F V F F F F V

    F F V V V V V

    F F V F V F F

    F F F V V F F

    F F F F V F F

  • Lgica Proposicional

    Ejemplo ilustrativo: Mostrar que la frmula no es tautologa ni contradiccin:

    p ( q r) (p q) ( r)

    Solucin:

    En este caso, en la frmula intervienen 3 variables proposicionales distintas, por lo tanto se tienen 23 = 8 combinaciones

    posibles.

    A B

    p