logica proposicional

5/13/2018 Logica proposicional - slidepdf.com

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Lenguaje formal

Consiste en abreviar o simbolizar las oraciones o juicios, que en la lógicamatemática se llaman proposiciones. Estas proposiciones se reducen enel lenguaje formal a una sola letra, que llamamos variable, y lasimbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la hastael final del abecedario.

Si digo por ejemplo: «Antonio ama a Piedad», esta proposición quedasimbolizada en el lenguaje formal mediante la variable o , o , o .

Además de estas variables, la lógica proposicional utiliza otros símbolos,llamados constantes, cuyo significado siempre es el mismo, ya quemodifican o unen a las variables. Estos símbolos constantes se llamanfuntores, juntores, conectivas u operadores lógicos.

Cuando el funtor afecta a una sola variable, se llama monádico, como porejemplo el negador ( ) que se lee en el lenguaje natural «no», y se sitúaencima de la letra variable, , «no ». Cuando afectan a más de unavariable, son poliádicos. Los funtores más importantes son:

Conjuntor , «y» en el lenguaje natural.Disyuntor , «o».

Condicional, «si... entonces».Bicondiconal, «si y sólo si... entonces».

Disyunción exclusiva, «o... o», una proposición excluye a laotra.

El negador además de ser un funtor monádico —es decir que afecta a unavariable—, puede ser poliádico, cuando afecta a más de una variable o auna expresión entera.

Hay que tener siempre en cuenta, que las variables simbolizan oracionesenteras y no sólo palabras o nombres:

Ejemplos de simbolización de oraciones, del lenguaje natural al lenguajeformal:

1. La conjunción: «Juan juega y Pedro estudia».

2. La disyunción: «Llueve o nieva».3. El condicional: «Si estudias entonces aprendes».



4. El bicondicional: «Si y sólo si tienes dieciocho años puedesvotar».

5. La disyunción exclusiva: «O te quedas o te vas».

6. La negación: «Manolo no juega limpio».

A veces el negador puede afectar a más de una variable o a la conjunción,o disyunción de ambas:

«Es falso que estudies o trabajes».

Valores de verdad

En la gramática estamos acostumbrados a ver que las oraciones pueden

ser verdaderas o falsas, según se ajusten o no a la realidad que expresan,por ejemplo si llueve y digo que “hace sol”, esa oración es falsa. Encambio la lógica considera que las proposiciones pueden ser verdaderas ofalsas con independencia de que en la realidad lo sean; por eso habla devalores de verdad.

Una proposición [ ] puede ser indistintamente verdadera o falsa; cuandoes verdadera, le damos valor 1, cuando es falsa, le adjudicamos el valor 0.Según esto la variable , puede tener los siguientes valores:

1 1 0 01 0 1 0

Cuando siempre tiene valor 1, hablamos de tautología de . Cuandosiempre es falsa, contradicción de . Si p es primero verdadera y luegofalsa, afirmación de . Cuando es primero falsa y luego verdadera,negación de .

Si consideramos los valores de dos variables conjuntamente, lasposibilidades aumentan según el gráfico siguiente:



1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0

1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0

Las dos primeras columnas indican los cuatro valores posibles que puedentener dos proposiciones simples, si se consideran sus valores a la vez: lasdos verdaderas, la primera verdadera y la segunda falsa, la primera falsa yla segunda verdadera y las dos falsas.

Las restantes dieciséis columnas representan los valores de verdad o

falsedad, de cada una de las dieciséis proposiciones de orden dos.

Entre estas proposiciones, hay algunas que tienen especial interés enlógica, según los valores que adoptan las variables cuando estánafectadas por funtores:

Proposición conjuntiva

1 1 1

1 0 0

0 0 1

0 0 0

La conjunción es verdadera sólo cuando ambas variables lo son y es falsaen los demás casos.

Se lee y .

Proposición disyuntiva inclusiva

1 1 1

1 1 0

0 1 1



0 0 0

La disyunción es verdadera en todos los casos menos cuando vale 0 yvale 0.

Se lee ó .

Proposición disyuntiva exclusiva

1 0 1

1 1 0

0 1 1

0 0 0

La disyunción exclusiva es verdadera cuando una variable es verdadera yla otra falsa, y es falsa en los demás casos.

Se lee excluye a .

Proposición condicional

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

El condicional es verdadero en todos los caso menos cuando vale 1 yvale 0.

Se lee condiciona a .

Proposición bicondicional

1 1 1



1 0 0

0 0 1

0 1 0

El bicondicional es verdadero cuando ambos son verdaderos o cuandoambos son falsos, y es falso en los demás casos.

Se lee bicondiciona a .

Proposición negativa

1 0

0 1

La negación - que se lee no -, cambia el valor de la variable que seniega: sólo es verdadera si es falsa y es falsa si es verdadera.

Proposiciones atómicas y moleculares. Las tablas de verdad ó tablasveritativas

En Química se aprende que los cuerpos están formados de átomos que se

asocian formando moléculas; cuando una proposición consta de una solavariable la llamamos proposición atómica, y, cuando consta de muchasvariables, proposición molecular.

Para hallar el valor de verdad de una proposición molecular, hay quedescubrir el funtor capital, aquel que liga más, es decir que une o liga todala expresión.

Un mecanismo sencillo para conocer el valor del funtor capital en unaproposición molecular es el llamado método de las tablas de verdad.

Sirve de ayuda para localizar al funtor capital, la utilización de paréntesis ycorchetes:



En esta expresión se ve con claridad que el funtor capital es el condicional,que une todo el corchete con .

El modus operandi es ir encontrando el valor de verdad primero de losfuntores que ligan menos, hasta llegar en último lugar al funtor capital.

1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0

0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 0 0 1 0

En esta expresión, se comienza hallando el valor del condicional en elprimer paréntesis puesto que une a la con la ; después la conjunciónque une el resultado del condicional con la dentro del corchete; y porúltimo el condicional que une el resultado recién hallado de la conjuncióncon la última variable .

Cuando en la tabla aparece en todos los lugares de funtor capital el valor1, la expresión es una tautología o identidad. Si en todos los lugares elvalor es 0, es una contradicción. Finalmente cuando en el funtor capitalencontramos valores de 1 y de 0, la proposición es indeterminada.

Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla veritativa:

1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0

Según se observa en este ejemplo, el resultado del condicional en el

primer paréntesis, es el mismo que el resultado de la disyunción en elsegundo paréntesis. Estas proposiciones son por tanto, equivalentes; estoquiere decir que pueden ser sustituidas una por la otra.

Dada cualquier expresión, se puede sustituir por otra equivalente, estaafirmación se conoce con el nombre de principio o regla de sustitución.



Leyes lógicas

Todas aquellas proposiciones tautológicas son leyes de la lógicaproposicional. Por ejemplo:

1 1 0

0 1 1

Es una ley lógica que ya conoció Aristóteles con el nombre de terceroexcluido o tertio excluso.

Las leyes lógicas son muy numerosas, pero hay algunas muy importantes

que se refieren a la conjunción, disyunción y negador (La significatautología y la contradicción):

Idempotencia

Asociativa

Conmutativa

Identidad

http://www.educared.org/wikiEducared/Arist%C3%B3teles_%28384_%E2%80%93_322%29.html





Absorción

Distributiva

De Morgan

Doble negación

Para desarrollar la lógica proposicional no es necesario utilizar todos losfuntores, es suficiente hacerlo con un número mínimo, son los funtoresprimitivos, a partir de los primitivos se obtienen los derivados.

La conjunción, disyunción y el negador son los primitivos, ya que gracias ala regla de sustitución, los demás funtores como el condicional o elbicondicional se pueden reducir a ellos:

Regla de sustitución

1.



2.

Ejercicios

Hallar la tabla veritativa de las siguientes expresiones:

En primer lugar hallamos los valores del primer paréntesis, después losvalores del otro paréntesis; finalmente hallamos los valores del condicionalrelacionando los resultados de ambos paréntesis. La expresión es unatautología.

Ejercicio 1

1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 0 1 1

0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0

Es una tautología.

Ejercicio 2

1 1 1 1 1 0 0

1 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1

Ejercicio 3

1 1 1 1 1 0 0

1 0 0 1 1 1 1



0 0 1 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0

Es una tautología.

Ejercicio 4

1 1 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 1 1 1 1

El razonamiento o inferencia

Hasta aquí hemos considerado las proposiciones y sus conexiones. Ahoravamos a observar la relación interna de las proposiciones y el modo deprogresar en el conocimiento, obteniendo conclusiones a partir deproposiciones ya conocidas. Es el razonamiento o inferencia.

Razonar es un proceso progresivo de la mente, que va de unasproposiciones ya conocidas llamadas premisas a otra nueva llamadaconclusión. La conclusión está en parte contenida en las premisas, de

modo que para que el razonamiento esté bien construido tiene que haberuna relación de necesidad entre las premisas y la conclusión. Laconclusión se deriva necesariamente de las premisas. Por ejemplo,cuando descargo un camión de muebles, extraigo éstos del interior, y esen ese momento cuando puedo apreciarlos en su conjunto. Sacarconclusiones es derivarlas de las proposiciones anteriores o premisas:

"Si estudio, aprendo. Es así que estudio, luego aprendo".

La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma sobre labase de las otras proposiciones que nos dan los elementos de juicio o

razones para aceptar la conclusión.

En el lenguaje formal la conclusión va precedida del símbolo que se lee"luego".



El razonamiento anterior se simboliza:

1. ( primera premisa )

2. ( segunda premisa )

(conclusión)

Un razonamiento bien construido puede ser falso en su contenido material,por ejemplo si digo:

"Todos los burros vuelan".

"Platero es un burro".

Luego "Platero vuela".

El razonamiento es materialmente falso pero es válido lógicamente porqueestá bien construido. A la lógica sólo le importa la validez formal.

Otro ejemplo descabellado puede ser:

"La tierra está formada de plastilina".

"Mi brazo forma parte de la tierra".

Luego "Mi brazo está formado de plastilina".

El razonamiento es lógica o formalmente verdadero porque la lógica buscaque la conclusión se derive necesariamente de las premisas, y no unaverdad de hecho.

Puede darse el caso, sin embargo, de razonamientos que seanverdaderos materialmente y válidos formalmente, por ejemplo:

"Quien no se presente a examen, suspenderá".



"Pepa no se ha presentado".

Luego "Pepa suspende".

En resumen, en lógica no interesa tanto la verdad o falsedad de lasproposiciones, sino las relaciones lógicas que existen entre ellas.

Un razonamiento es válido cuando la conclusión se derivanecesariamente de las premisas y es inválido cuando la conclusión no sederiva de las premisas.

Ejemplos de razonamiento:

1. 2. 3. 4.

También pueden escribirse: , ; , etc.

¿Cómo se puede saber si un razonamiento es o no válido sin necesidadde traducirlo al lenguaje natural?

Podemos hacerlo mediante las tablas veritativas.

Modus operandi:

1. Se hallan las tablas de cada una de las premisas y de la conclusión.2. Si se da el caso de que teniendo valor verdadero las premisas, laconclusión es falsa, la inferencia es inválida.3. Si la conclusión es verdadera al igual que las premisas, el razonamientoes válido. Por ejemplo:

1. ( primera premisa )2. ( segunda premisa )

(conclusión)



1 0 1

1 0 11 1 1

0 1 0

La columna de la izquierda expresa los valores de la disyunción de ;los del centro la segunda premisa que es , y la última columna losvalores de la conclusión .

Vemos que no hay ningún caso en que siendo verdaderas ambaspremisas, la conclusión sea falsa. Luego el razonamiento es válido.

Si razonamos así:

1. ( primera premisa )

2. ( segunda premisa )

(conclusión)

1 1 0 1 1 1 11 0 1 1 1 0 0

0 1 0 0 1 1 0

0 0 1 1 0 1 0

En la tercera fila se observa que, siendo verdaderas las dos premisas, laconclusión es falsa, luego el razonamiento es inválido. De este modopodemos comprobar la validez de muchos razonamientos.

Algunos razonamientos válidos, son leyes lógicas como las queanteriormente hemos expuesto, y sirven también para calcular la validezde otros razonamientos.

Los más usados son:



Modus ponendo ponens o modus ponens

,

Modus tollendo ponens

,

,

Modus tollendo tollens

,

Ley conjuntiva

,

Ley simplificativa

Ley aditiva

Silogismo condicional o ley transitiva

,

Silogismo condicional, es aquel en que la premisa mayor es unaproposición condicional y la menor una categórica. Por ejemplo:

Si Pedro es mayor de edad, puede emanciparse;

Pedro es mayor de edad,

Luego Pedro puede emanciparse.



Recordando la regla de verdad de las proposiciones condicionales,sucederá en este silogismo que de la verdad de la condición se seguirá ladel condicionado. Efectivamente, un silogismo condicional no es más queuna proposición condicional más desarrollada. En ambas operacionesmentales la conexión entre el antecedente y el consecuente debe sernecesaria. Las conclusiones deben venir por causalidad lógica.

Ley de transposición

Ley de traslación

Dilema constructivo

,

Dilema destructivo

,

Para conocer la validez o invalidez de un razonamiento, existen otros dosprocedimientos más rápidos que las tablas de verdad: la prueba formalde invalidez y la prueba formal de validez.

Prueba formal de invalidez

Se trata de una demostración indirecta por reducción al absurdo. Si laconclusión tiene valor 0, es falsa, y las premisas pueden tener valor 1, elrazonamiento es inválido.

Modus operandi:



Se da valor 0 a la conclusión y se intenta que todas las premisasadquieran valor de verdad - operando como hacíamos en las tablasveritativas -. Si las premisas son verdaderas y la conclusión falsa, elrazonamiento es inválido.

Por ejemplo:

1.

2.

3.

Operamos así:

1.

1/0 1 1

2.

1 1 0

3.

1 1 0

0

El razonamiento es inválido, ya que hemos podido dar valor 1 a laspremisas, siendo falsa la conclusión.

Consideremos ahora el siguiente razonamiento:

1.

0 1 1 1 0

2.

1 0 0

1 0 0

Como la segunda premisa no puede tener valor 1, no se puede probar lainvalidez del razonamiento.



Sin embargo, para probar la validez de un razonamiento, es necesarioademás realizar la prueba formal de validez.

Prueba formal de validez

Consiste en obtener la conclusión, a partir de las premisas utilizando lasleyes de la lógica y los razonamientos válidos expuestos más arriba.

Modus operandi:

Se numeran las premisas, y también cada uno de los pasos que se vandando, indicando a la derecha - en lenguaje natural - la ley lógica que seaplica, hasta alcanzar la conclusión.

Ejemplo 1

Hallar la siguiente conclusión , a partir de las premisas:

1.

2.

Solución:

3. Sustitución del condicional en 1.

4. Ley de Morgan en 3.

5. Ley simplificativa en 4.


En este último paso, alcanzamos la conclusión: , luego elrazonamiento es válido.

Ejemplo 2

Demostrar la siguiente conclusión , a partir de las premisas:

1.



2.

Solución:


4. Sustitución condicional en 3.

5. Ley de transposición en 2.

6. Silogismo condicional o ley de transitividad entre 4 y 5.


Ejemplo 3

Traducir al lenguaje formal y demostrar por el método de validez formal elsiguiente razonamiento, tomado libremente de Los hermanos Karamazovde Fedor Dostoievsky:

1. Si Dios no existe, todo estaría permitido.

2. Si Dios no existe, no habría normas morales.

3. Es así que hay normas morales.

Luego Dios existe.

En primer lugar transformamos el lenguaje natural en lenguaje formal:

1. Si Dios no existe, todo estaría permitido:

2. Si Dios no existe, no habría normas morales:

3. Hay normas morales:

Luego Dios existe:



1.

2.

3.

Solución:

Intentamos demostrar la conclusión , a partir de las tres premisas:

4. Modus tollendo tollens entre la premisa 2 y la 3.

Ejemplo 4

Demostrar la siguiente conclusión , a partir de las premisas:

1.

2.

Solución:


4. Transposición en 2.

5. Ley de transitividad en 3 y 4.


Ejemplo 5

Traducir al lenguaje formal y probar la validez del siguiente razonamiento:



No es verdad que estudias y trabajas.

Si quieres conseguir dinero entonces trabajas.

Luego si estudias entonces no consigues dinero.

1. No es verdad que estudias y trabajas:

2. Si quieres conseguir dinero entonces trabajas:

Luego si estudias entonces no consigues dinero:

1.

2.

Solución:



5. Transposición en 2.

6. Ley de transitividad entre 4 y 5.


Ejemplo 6

Traducir al lenguaje formal y probar la validez del siguiente razonamiento:

O me traes a casa, o no voy a la fiesta.

Si no llueve entonces voy a la fiesta.

Luego si no me traes a casa llueve.



1. O me traes a casa, o no voy a la fiesta:

2. Si no llueve entonces voy a la fiesta:

Luego si no me traes a casa llueve:

1.

2.

Solución:


4. Ley de transposición en 2.

5. Ley transitiva en 3 y 4.


En el momento en el que no pueda llegar a la conclusión de unrazonamiento con las premisas dadas, tiene que resolver el ejercicio porreducción al absurdo. De esta forma (forma directa) pueden resolversetodos lo ejercicios de lógica proposicional pero siempre que le pidan quellegue a una conclusión debe hacerlo de forma indirecta antes, cuandoesté seguro de que no se puede hacer pase a hacerlo de forma directa.Para hacerlo de esta forma, tiene que sacar la negación de la conclusióndel razonamiento y utilizarlo como una premisa más.

Diagramas de bloquesUn sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar lasfunciones que lleva acabo cada componente en la ingeniería de control, por lo general se usa unarepresentacióndenominada diagrama de bloques.



Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de lasfunciones que lleva acabo cada componente. Tal diagrama muestra las relaciones existentes entre

los diversoscomponentes.En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables delsistema, mediantebloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolopara representar laoperación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque paraproducir la salida.La figura muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flechaque señala el bloqueindica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la

salida. Tales flechas seconocen como señales.

Observe que las dimensiones de la señal de salida del bloque son lasdimensiones de la señal deentrada multiplicadas por las dimensiones de la función de transferencia en elbloque.Un diagrama de bloques contiene información relacionada con elcomportamiento dinámico, perono incluye información de la construcción física del sistema. En consecuencia,muchos sistemasdiferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismodiagrama de bloques.Reducción de un diagrama de bloquesEs importante señalar que los bloques pueden conectarse en serie, sólo si laentrada de un bloque



no se ve afectada por el bloque siguiente. Si hay efectos de carga entre loscomponentes, esnecesario combinarlos en un bloque único.

Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos derealimentación se simplificamediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra delos diagramas debloques. Algunas de estas reglas importantes aparecen en la tabla y seobtienen escribiendo lamisma ecuación en formas distintas

Reglas del algebra de bloques



La simplificación de un diagrama de bloques mediante reordenamientos ysustituciones reduce demanera considerable la labor necesaria para el análisis matemáticosubsecuente. Sin embargo,

debe señalarse que, conforme se simplifica el diagrama de bloques, lasfunciones de transferenciade los bloques nuevos se vuelven más complejas, debido a que se generanpolos y ceros nuevos.Al simplificar un diagrama de bloques, recuerde lo siguiente:1. El producto de las funciones de transferencia en la dirección de latrayectoria directa debe ser



el mismo.2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el

mismo.

Ejemplo 1Simplifique el siguiente diagrama de bloques



Ejemplo 2

Simplifique el siguiente diagrama de bloques



Ejemplo 4Procedimiento para obtener funciones de transferencia de las variables de

interés



LOGICA COMBINACIONAL

Definición

Un circuito combinacional consiste en:

- variables de salida,

- compurtas lógicas y

- variables de salida

PROCEDIMIENTO DE DISEÑO

1. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

2. DETERMINAR NUMERO DE VARIABLES DE E/S

3. ASIGNAR LETRAS A LAS VARIABLES

circuito

lógico

combinacio

entrada salida



4. TABLA DE VERDAD

5. FUNCION DE BOOLE

6. DIAGRAMA LOGICO

SUMADOR MEDIO

1. PROBLEMA: circuito que elabore suma entre dos bits.

2. VARIABLES DE ENTRADA 2

VARIABLES DE SALIDA 2

3. VARIABLES DE ENTRADA: x, y

VARIABLES DE SALIDA : C, S

4. TABLA DE VERDAD

x y C S



0 0

0 1

1 0

1 1

0 0

0 1

0 1

1 0

5. a. S = xy' + x'y C = xy

b. S = (x+y)(x'+y') C = xy

c. S = (C + x'y')' C = (x'+y')'

d. S = xy C = xy

6. DIAGRAMAS LOGICOS

SUMADOR COMPLETO

1. PROBLEMA: SUMAR TRES BITS (ACARREO)

2. VARABLES DE ENTRADA 3


3. VARIABLES DE ENTRADA: x, y, z




4. TABLA DE VERDAD

x y z C S

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

0 0

0 1

0 1

1 1

0 1

1 0

1 0

1 1

SUSTRACTOR MEDIO

1. PROBLEMA: circuito que elabore una resta entre dos bits.

2. VARIABLES DE ENTRADA 2


3. VARIABLES DE ENTRADA: x, y



VARIABLES DE SALIDA : C, D

4. TABLA DE VERDAD

x y C D

0 0

0 1

1 0

1 1

0 0

1 1

0 1

0 0



5. a. S = xy' + x'y C = x'y

6. DIAGRAMAS LOGICOS

SUSTRACTOR COMPLETO

1. PROBLEMA: RESTAR TRES BITS (ACARREO)

2. VARABLES DE ENTRADA 3


3. VARIABLES DE ENTRADA: x, y, z


4 TABLA DE VERDAD

x y z C S

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

0 0

1 1

1 1

1 0

0 1

0 0

0 0

1 1

5. FUNCIONES DE BOOLE



D = x'y'z + x'yz' + xy'z' + xyz

yz y

______________

00 01 11 10

1 1

1 1

C = x'y + x'z + yz

yz y

______________

00 01 11 10

1 1 1

1

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