logica modal

Introducción a la Lógica Modal

Pedro Cabalar

Depto. ComputaciónUniversidade da Coruña, SPAIN

4 de mayo de 2006

P. Cabalar ( Depto. Computación Universidade da Coruña, SPAIN )Lógica Modal 4 de mayo de 2006 1 / 14

Outline

1 Introducción

2 Modal proposicional: sintaxis y axiomatizaciónSintaxisAxiomatización

3 Semántica. Marcos de Kripke


Introducción

Modalidad: ¿cuál es la idea?

Capturar algún aspecto del conocimiento más frecuente en elentorno bajo estudio. Ejemplos:

instantes de tiemposiempre P(x), a_veces P(x), . . .

estados de conocimiento de un agentea_sabe_que (b_sabe_que P(x))

procesos, estados de un programa, interpretaciones de unapalabra o una frase, . . .


Introducción

Relación con Primer Orden

¿Podríamos usar Lógica de Primer Orden?Sí, aunque con cierto “trabajo”. Ejemplo:

“siempre P(x , y)” = ∀t(Instante(t) ⇒ P(x , y , t t))

Fíjate cómo indexamos los predicados respecto a t . (reificación)

. . . de hecho, las lógicas modales son traducibles a primer orden

¿entonces para qué sirven?Notación y métodos de deducción: mucho más cómodosPerdemos expresividad, ganamos al restringir el tipo derazonamientoNormalmente, la versión proposicional es decidible


Modal proposicional: sintaxis y axiomatización Sintaxis

Sintaxis

Cálculo Proposicional:conjunto finito de átomos o proposiciones Σ = {p, q, r , . . . }operador unario ¬operadores binarios ∧,∨,→,≡constantes >,⊥

. . . a eso añadimos 2 op. binarios:� = necesario (también representado como L)♦ = posible (también representado como M)

Prioridad de operadores: ¬, L, M,∧,∨,→,≡.

L y M son duales (podemos definir uno en func. del otro)

Mp def= ¬L¬p


Modal proposicional: sintaxis y axiomatización Axiomatización

Axiomatización: definiciones

La sintaxis define un lenguaje L = cjto. fórmulas bien formadas

Una lógica S no es más que S ⊆ LS serán las fórmulas “válidas” o los “teoremas”

Método de deducción: axiomas + reglas de inferencia

Teorema: un axioma o una fórmula obtenida por aplicación dereglas a otros teoremas.



Axiomatización: reglas de inferencia

Reglas que usaremos:

Modus Ponens (MP)` α, ` α → β

` β

Sustitución Uniforme (SU)` α

` α[β1/p1, . . . , βn/pn]

Necesitación (N)` α

` Lα



Algunos axiomas básicos

Axiomas más frecuentes:

K L(p → q) → (Lp → Lq)

T Lp → p

D Lp → Mp

4 Lp → LLp

B p → LMp



Ejemplo: sistema K

Es el más elemental, y está incluido en los demás.Se define a partir del axioma K

K L(p → q) → (Lp → Lq)

Ejercicio: probar los teoremas

K1 L(p ∧ q) → Lp ∧ Lq

K2 Lp ∧ Lq → L(p ∧ q)

Regla derivada:

DR1` α → β

` Lα → Lβ


Semántica. Marcos de Kripke

Mundos posibles

En cálculo proposicional, tenemos interpretaciones

v : Σ −→ {0, 1}

que nos dan el valor de certeza de cada átomoy que ampliamos para evaluar fórmulas. Ej: v(p → ¬q)

Idea clave: manejar varios mundos, cada uno con suinterpretación proposicional.

Tendremos un mundo actual de referenciaademás de una relación que dice qué otros mundos son visiblesdesde este.



Marco Kripke (Kripke frame)

Definition (Marco Kripke)

Es un par 〈W , R〉 donde W = {w1, w2, . . . } es un conjunto de mundosy R ⊆ W ×W una relación entre mundos.

Definition (Modelo)

Es un triple 〈W , R, v〉 donde 〈W , R〉 es un marco, yv : W × Σ → {0, 1} una valoración de átomos para cada mundo.



Satisfactibilidad

Sea M = 〈W , R, v〉 un modelo. Escribimos M, w |= α para indicarque M satisface la fórmula α en el mundo w ∈ W .


logica modal

Documents

tambin representado como

axiomatizacin axiomatizacinaxiomatizacin

lp lq

sintaxis

denition

cabalar

modelo

depto