logica matematica

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LGICA MATEM`TICA GEORFFREY ACEVEDO GONZ`LEZ primera versin 2005: NUBIA JANETH GALINDO PATIO UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS B`SICAS, TECNOLOG˝A E INGENIER˝A UNIDAD DE CIENCIAS B`SICAS BogotÆ D. C, 2007

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LGICA MATEMTICA GEORFFREY ACEVEDO GONZLEZ

primera versin 2005: NUBIA JANETH GALINDO PATIO UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E INGENIERA UNIDAD DE CIENCIAS BSICAS Bogot D. C, 2007 id21554954 pdfMachine by Broadgun Software- a great PDF writer!- a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.comhttp://www.broadgun.com COMIT DIRECTIVO Jaime Alberto Leal Afanador Rector Gloria Herrera Vicerrectora Acadmica y de Investigacin Roberto Salazar Ramos Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedaggicas Maribel Crdoba Guerrero Secretaria General MDULO LGICA MATEMTICASEGUNDAEDICIN Copyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia ISBN 2007 Bogot, Colombia OHdichade entender,mayorquelade imaginaroladesentir! Borges. Introduccin Este mdulo est concebido para ser un curso introductorio al apasionante mundo delalgicaMatemtica,hasidodiseadoparaseruncursotransversalatodoslos programas acadmicos de la UNAD. Paraleerelmduloslosenecesitanlosconceptosdeconjuntosnumricos,y operacionesalgebraicascomodestruccindesignosdeagrupacin,factorcomn, ecuacioneseinecuacionesdeprimergradoquepuedenseradquiridosdemanera simultnea. La intencin es que el estudiante pueda aprender de este mdulo por s mismo, en este sentido es un texto escrito ms para los estudiantes que para el profesor. En el primer captulo, analizaremos las diferentes operaciones entre conjuntos, tales comounin,interseccinycomplemento,entreotrasoperaciones,quenospermitirn llegaralacompresindelosconectivoslgicosusadosen el lenguaje natural, partiendo de una representacin grfica. A la par desarrollaremos las destrezas lgico matemticas, dando solucin a problemas como ste: De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta estudiantes de la UNAD,losamantesdelamsicadeJuanesson15;mientrasquelosque nicamente gustan de la msica de Chaquira son 20, Cuntos son fanticos de los dosartistassi10delosencuestados,entrelos25quenosonfanticosde Chaquira, afirman ser fanticos de Juanes? Elsegundocaptulotieneelobjetivodeserunaherramientaquepermiteadquirir habilidadesparacomprenderconceptoscomolosconectivoslgicosqueusamos diariamenteennuestroleguajeyquepocasvecesnosdetenemosaanalizary comprender,porejemplo,nuestroamigoBooleafirmaquecuandoganesuequipo predilectoharfiesta,pasadountiempoencontramosqueBooleestfestejandopero quesuequipopredilectohaperdido,SeestcontradiciendoelamigoBoole?,eneste cursodescubriremosyanalizaremoselconectivolgicoquehausadoBooleensu afirmacin, para concluir que no se ha contradicho. Identificarlosconectivoslgicos,laspremisasycomprendersufuncinenel lenguajenospermitirdisearfrasescadavezmscomplejassinquesepierdala coherencia en la construccin gramatical. Posteriormente aprenderemos ha hacer simplificaciones de expresiones complejas o difciles de descifrar usando el lenguaje natural, para ello utilizaremos leyes expresadas pormediodesmbolos.Porejemplo,alexpresarenlenguajenaturalqueEsfalsoque Augustusnomiente,pormediodelalgicaaprendemosallegaralasimplificacin: Augustusmienteutilizandoleyeslgicasbsicasquenospermitenvalidarla simplificacin hecha con un argumento ms all de la simple intuicin. Otrainteresanteaplicacindelalgicaesenelprocesodevalidarnuestros argumentos. Por ejemplo, analicemos que puede concluirse de la siguiente afirmacin: Si llueve hace fro, posteriormente ocurre que hace fro, es entonces correcto concluir que llueve?, por medio de la lgica transformaremos esta expresin en lenguaje simblico queposteriormentepodremosanalizarpormediodeunatabladeverdadydescubriren que caso especfico el argumento se contradice. Enelmundodelaargumentacinsiempreestamosutilizandounosprincipios lgicosbsicosque estudiaremos en este apasionante curso, permitindonos mejorar en la construccin de argumentos fuertes, basados en los cimientos de la lgica. Agradezco a toda la comunidad acadmica su valiosa colaboracin. Que estas pginas os brinden muchas horas de diversin. Georffrey Acevedo G. Unidad 11 Teora de conjuntos yprincipios de Lgica. Captulo 11: Teora de conjuntos ABCU Objetivo general Estudiar,analizaryprofundizarlosconceptosfundamentalesdelateoradeconjuntos, bsicosparallegaralacomprensindelosconectivoslgicosysurelacinconel lenguaje natural, a la vez que son aplicados en la solucin de problemas. Objetivos especficos 1.Identificar las relaciones entre conjuntos. 2.Distinguir las diferentes clases de conjuntos. 3.Representar grficamente los conjuntos. 4.Realizar las diferentes operaciones entre conjuntos. 5.Resolver problemas con conjuntos. 1.1Definicin y generalidades Las nociones de conjunto y de elemento son ideas primitivas que se presentan en forma intuitiva. Los conjuntos estn relacionados con el proceso de contar y por lo tanto permiten resolver problemas que involucran el concepto de cantidad. Se puede afirmar que un conjunto es una coleccin de objetos, smbolos o entidades bien definidas, que reciben el nombre de miembros o elementos del conjunto. Representacin grfica Una forma sencilla de visualizar los conjuntos y las relaciones entre ellos, es mediante la utilizacin de esquemas grficos llamados circulos de Euler o diagramas de Venn. Estos esquemas estn compuestos por una regin cerrada del plano (generalmente un rectngulo), la cual representa el conjunto universal, y por uno o varios crculos que representanlos conjuntos a graficar. Generalmente,losconjuntosseidentificanconletrasmaysculasysuselementoscon minsculas. Para indicar que un elemento es un miembro de un conjunto, se utiliza el smboloe(se lee pertenece a) y para indicar que no esta en el conjunto se utiliza el smbolo e (se lee no pertenece a). Esta es la representacin grfica correspondiente: AUx e A x Ux eA Ax Figura No. 1 Formas para determinar un conjunto: Bsicamente existen dos formas para determinar un conjunto, stas son: 1. Por extensin:Unconjuntoestdeterminadoporextensincuandosedescribeelconjuntonombrando cada uno de sus elementos. Por ejemplo: A = {2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19,} D = {a, e, i, o, u } 2. Por comprensin:Unconjuntoestdeterminadoporcomprensincuandosenombraunapropiedad,una regla o una caracterstica comn a los elementos del conjunto. Por ejemplo: C = {Nmeros impares menores que 10} D = {Vocales} B = {Dgitos} Lenguaje: E = {x eR/0 x < 9}, en este caso se utiliza un lenguaje muy especfico, el cual se lee as: E igual al conjunto de todos los nmeros realestales que (o que verifican que) cero (0) es menoroigualax,y,xasuvezesmenorque9,estanotacinseusaconmucha frecuenciaparadescribirintervalos,paraescribirlasolucindeunainecuacinopara representar el dominio de una funcin real. Conjuntos Infinitos: Existen conjuntos como por ejemplo: A = {x e R/0 x < 9} Z = {x e N /x es par} Que no se pueden expresar por extensin debido a que nunca se terminara de escribir la lista de los nmeros reales que pertenecen al conjunto A, o, los naturales que pertenecen a Z, este tipo de conjuntos, reciben el nombre de INFINITOS; Conjuntos Finitos: Mientras que otros, como por ejemplo: C = {x/x es vocal} D = {x/xes dgito par} Queestnformadosporciertonmerodeelementosdistintos,recibenelnombrede conjuntos FINITOS. Todos los conjuntos que se nombran por comprensin, se pueden escribir por extensin? Elanlisisanterior,permitedarrespuestaaestapregunta,sesugierebuscarms ejemplosquejustifiquenlarespuestaparaqueseananalizadosconeltutoryluego socializados en los equipos de trabajo. 1.2.4Conjuntos especiales 1.2.4.1 Conjunto vaco Un conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vaco y se simboliza as: NaturalmenteelconjuntoCformapartedecualquierconjuntoA,porlocualsepuede afirmar que: C c A El conjunto (vaco) es un subconjunto de todo conjunto? Ejemplo 1.Si D = {x e N/x = x ), obviamente D es un conjunto que carece de elementos, puesto que no existe ningn nmero natural que sea diferente a s mismo. UAA = C Figura No. 2. {}C 1 Conjunto unitario: Se denomina conjunto unitario al conjunto formado por un slo elemento. Ejemplo: E = {x/x es un primo par} El nico nmero que cumple las dos condiciones (ser primo y a la vez par) es el nmero 2, por lo tantoE = {2} se llama unitario. 1.2.4.3Conjunto universal Cuando se habla o se piensa en los conjuntos, es conveniente establecer la naturaleza de sus elementos, por ejemplo: Los elementos del conjunto A = {a, e, i}pertenecen al conjunto de las vocales, V = {a, e, i, o, u}, es decir, A c V, este conjunto V constituye el universo del conjunto A, por esta razn se dice que V es un conjunto Universal. Similarmente, si A = {x e N / x es primo} sus elementosson elementos del conjunto de los nmeros naturales N, A c N y en este caso, N se constituye enel conjunto universal.Generalmente, el conjunto universal se simboliza con la letra U. UAU = Conjunto Universal A= {a,e,i} U= V = {a,e,i,o,u} a e i o u Figura No. 4 UAA = Conjunto Unitario A= {7} 7 Figura No. 3 Conjunto de partes o conjuntos de conjuntos Si A es un conjunto, el conjunto de partes de A, escrito como P(A) est formado por todos los subconjuntos que se pueden formar del conjunto A. Ejemplo 1. SiA={1,3,5},entonceselconjuntodepartesdeAestaformadoporlossiguientes subconjuntos: P (A) = {{1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3, 5}, {1, 3, 5}, C}. C e P(A) y 2n subconjuntos Note que: Como ya habamos analizado, el conjunto vaco est en todo conjunto y este caso no es la excepcin, por esta razn C e P(A).Adems, cave anotar que los elementos del conjunto A son a su vez conjuntos, por lo que se dice que el conjunto P(A) constituye una familia de conjuntos. El nmero de elementos del conjunto P(A) depende del nmero de elementos de A; en el ejemplo,Atiene3elementosyP(A)tiene8=23elementos,engeneral,SiAtienen-elementos se pueden formar 2n subconjuntos del conjunto A. Cuntos y cules son los subconjuntos que se pueden formarde un conjunto A = { 1,3,5} ? Ejemplo 2. Sea B = {2, {1, 3}, 4, {2, 5}}. B no es una familia de conjuntos porque algunos elementos de B son conjuntos y otros no.Para queel conjunto B fuera un conjunto de partes o una familia de conjuntos debera estar expresado de la siguiente forma: B = { {2}, {1,3}, {4}, {2,5} }. Relaciones entre conjuntos 1.1.1Subconjuntos UnconjuntoAesunsubconjuntodeunconjuntoB,sitodoelementodelconjuntoA tambin es elemento del conjunto B. Simblicamente esta relacin se expresa as: AcB(se lee Aesta contenido en B)si todo elemento x que est en el conjunto A entonces xtambin est en B, es decir;AcBsi todox e A, entonces x e B Ejemplo 1: Si A = {x/x es dgito par}yB = {x/x es dgito}, claramente AcB ya que todo dgito par es dgito. Por extensin la situacin se expresa as: A = {2, 4, 6, 8}y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Entonces A es un subconjunto de B. Unresultadomuytileimportanteacercadelacontenenciaentreconjuntosesel siguiente: Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces, A es un subconjunto de C; simblicamente este enunciado se escribe as: SAcBy BcC,entonces, AcC La demostracin es la siguiente: BAUAcB x e A x e B x C U AcBBcC______AcC x e A A x B Figura No. 6 Figura No. 5 S x e A; entonces x e B porque AcB, pero xtambin esta en n porqueBcC; por lo tanto si xeA, entonces x e C y esto se cumple para todo elemento x que est en A, debidoa que el conjunto A esta contenido en el conjunto B y B a su vez, esta contenido en C; por consiguiente queda demostrado queAcC. Si A, B y C son tres conjuntos no vacos que verifican las condiciones Ac By B cC, qu se puede concluir de A con respecto a C? 1.2.2Igualdad entre conjuntos El conjunto A es igual al conjunto B si ambos conjuntos tienen los mismos elementos, es decir,sitodosloselementosdeApertenecenaBysitodosloselementosdeB pertenecen al conjunto A. La igualdad entre conjuntos se simboliza de la siguiente forma: A=B si AcB y BcA Ejemplo 1.Si M = {1, 1, 0, 2}yN = {2, 1, 0, 1}, claramente se observa queMcNy queNcM, por lo tanto M = N. Ejemplo 2. Si A ={x / x es dgito} y B = {x / x es dgito par}, se puede observar que BcA pero A . B, por lo tanto el conjunto A no es igual al conjunto B, lo cual se escribe,A = B. BUAcBBcA ______ B = A 1 A2 4 3 5 B U BcA A . B ______A = B 6 A2 4 38 1 5 7 9 Figura No. 8 Figura No. 7. Conjuntos Completamente Diferentes oDisyuntos: Esimportantedestacarquecuandodosconjuntossoncompletamentediferentes(no tienen ningn elemento en comn) reciben el nombre de conjuntos disyuntos. Ejemplo 3. LosconjuntosA={x/xesdgitopar}yB={x/xesdgitoimpar}notienenningn elemento en comn, es decir A y B son disyuntos. 1.2.3 Subconjunto propio Todo conjunto es subconjunto de s mismo, es decir, A c A (con A un conjunto cualquiera), si ese subconjunto se llama B, entonces se puede afirmar que B es un subconjunto propio de A, este hecho se simboliza as: B_A (se lee B est contenido o es igual al conjunto A) Ejemplo 1. Al considerar los conjuntosA = {x / x es vocal} yB = {a, e, i, o, u}, se puede afirmar que A = B, en particular se observa queA _ByB _A, lo cual permite afirmar que A es subconjunto propio de A, y B es subconjunto propio de A. Ejemplo 2. LosconjuntosA={1,2,3},B={1,3},C={0,2}yD={1}sontodossubconjuntosdel conjuntoM={0,1,2,3},peroningunoesunsubconjuntopropiodeM,yaquecon ninguno se puede establecer alguna de las relaciones siguientes: A _M,B _M,C_M, D_ M

BUA . B y B . Ay no hay elementos comunes A7 1 5 2 9 Figura No. 9. Operaciones entre conjuntos Ascomolasoperacionessuma,resta,multiplicacinydivisinestndefinidassobre los nmeros reales, tambin existen operaciones definidas entre los conjuntos como la unin, interseccin, complemento, diferencia, diferencia simtrica y producto cartesiano; stas se estudiarn en las siguientes secciones. 1.Unin Si A y B son dos conjuntos no vacos, se define la unin entre A y B como el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Simblicamente la unin se define as: AB = {x / x e A,v, x e B}, donde el smbolo v se lee o. Para representar grficamente una operacin entre conjuntos, se debe tener en cuenta la relacin que exista entre ellos, segn los siguientes casos: Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos). La parte subrayada representa la unin entre losconjuntos A y B. ABUABABU8 9 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7} AB = {1,2,3,4,5,6,7} 3 2 415 7 6 Figura No. 10. Caso 2.Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn. Caso 3.Que un conjunto este contenido en el otro. la parte sombreada indica la operacin. Ejemplo 1.SiA = {x e N / x es dgito par o dgito primo}, grficamente la representacin de est unin es: LafiguraNo.3permiteapreciarqueelnicodgitoqueesalavezparyprimoesel nmero 2; esto conlleva a la formulacin de la siguiente operacin entre conjuntos: ABU8 9 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7} AB = {1,2,3,4,5,6,7} 3 2 4 15 7 6 AU8 9 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7} AB = {1,2,3,4,5,6,7} 3 2 4 1B 5 7 6 UAB U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,5,7,9} B = {2,4,6,8} AB = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 3 7 5 12 8 4 Figura No. 13 6 9 Figura No. 12 Figura No. 11 2.Interseccin SedefinelainterseccinentredosconjuntosAyBcomoelconjuntoformadoportodos los elementos que pertenecen simultneamente al conjunto A y al conjunto B. Simblicamente la interseccin se expresa as: A B = {x / x e A, . ,x e B} el smbolo se lee interseccin y el smbolo . se lee y. Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos). La parte subrayada representa la unin entre losconjuntos A y B. Sepuedeobservarquecuandodosconjuntossondiferentes,suinterseccinesvacay los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se haba mencionado; Caso 2.Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn. ABU8 9 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7} AB = { } 3 2 415 7 6 Figura No. 14. Figura No. 15 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7} AB = {5,6 } AB U8 9 3 2 4 17 5 6 Caso 3.Que un conjunto este contenido en el otro. La parte sombreada indica la operacin: Esto permite afirmar que siA c B, entonces.A B = A; anlogamente se puede inferir que siB c A, entonces,A B = B. A continuacin se realiza la demostracin analtica para el caso 3 de la figura No. 16, la otra situacin siB c A, entonces,A B = B, se deja como ejercicio complementario (se encuentraalfinaldelcaptulo),estademostracinesmuysimilaralaquesehara continuacin, sin embargo la puede consultar en el libro, Teora de conjuntos de Seymour Lipschutz. SiAcB,pordefinicindecontenenciaentreconjuntossepuedeafirmarquetodo elementoxeA,entoncesxeB;pordefinicindeinterseccin,stoselementosxforman el conjunto A B y como todos estos son elementos de A, se puede concluir que A B = A. Ejemplo 1. Dados los conjuntos: M = {x e N / x es mltiplo de 2} N = {xe N / x es mltiplo de 3} P = {xe N / x es impar} Se pueden analizar las siguientes intersecciones: 1. M N = {6, 12, 18, 24, 36,}, escrito por comprensin es: M N = {xe N / x es mltiplo de 6}. 2. MP=C,noexisteningnnmeronaturalqueseamltiplode2yalavez impar. 3.C M =C, El conjunto vaco est contenido en cualquier conjunto, en particular en M, esto esC c M, luego se puede concluir que C M = C. 4.Para hallar la interseccin M N P, se puede encontrar la interseccin de M con N y luego con el conjunto P, es decir, hay que encontrar los elementos que estn en los tres conjuntos: M, N y P. AU8 9 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7} AB = {5,6,7 } = B 3 2 4 1B 5 7 6 Figura No. 16 En este caso M N = {xe N / x es mltiplo de 6} y ste intersecado con el conjunto P est formado por los mltiplos de 6 que son impares, es decir, M N P = {xe N / x es impar y mltiplo de 6}, por extensin el conjunto es: M N P = C, pues no existe ningn nmero natural que sea a la vez impar y mltiplo de 6. Ejercicio propuesto: Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de Venn 3.Diferencia Segnlostrescasosestudiados,sepuedeafirmarquealcomparardosconjuntosno vacos, puede suceder que: 1.No tengan ningn elemento en comn, (conjuntos totalmente diferentes). 2.Sloalgunoselementosseancomunes,(conjuntosparcialmentediferenteso parcialmente iguales) 3.Un conjunto este contenido en el otro. 4.Tengan exactamente los mismos elementos, (conjuntos iguales) En los numerales 1, 2 y 3, se puede formar un conjunto con los elementos que le faltan a un conjunto para ser igual a otro, este conjunto as formado, se denomina diferenciaentre conjuntos. Si A y B son dos conjuntos no vacos, entonces se define la diferencia entre A y B as: A B = {x / x e A, ., x e B} Estoselee:AmenosB,eselconjuntoformadoporloselementosqueestnenel conjunto A pero no en el B. En la siguientes grficas, la parte sombreada representa la diferencia entre los conjuntos A y B. Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos). U =M = N = MN = MP = M N P = MNU Figura No. 17 PAB 8U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7} A -B = A = {1,2,3,4} 3 27 6 Se puede observar que cuando dos conjuntos son diferentes, su diferencia es vaca y los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se haba mencionado; Caso 2.Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn. Caso 3.Que un conjunto este contenido en el otro. La parte sombreada indica la operacin.

Enlafigura20,sepuedeobservarquetodoslos elementos que estn en B, estn en A (debidoaqueBcA),porlotantonoexisteningnelementoquepertenezcaala diferencia B A y en consecuencia B A = C.Surge ahora, la siguiente inquietud: Cul ser la diferencia entre A y B (A B) cuando B c A? Esta pregunta se plantea formalmente en el numeral 4 de los ejercicios complementarios y el propsito es realizar la demostracin con el apoyo del tutor. AU8 9 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7} A-B = {1,2,3,4} B-A = { }3 2 4 1B 5 7 6 Figura No. 20 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7} A-B = {1,2,3,4} ABU8 9 3 2 4 17 Figura No. 19 5 6 Ejemplo 1. DadoslosconjuntosA={x/xesundgito}yB={0,2,3,7}hallarAByBAy hacer la representacin grfica. Para efectuar estas operaciones se escriben los conjuntos por extensin, as: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {0, 2, 3, 7}, entonces: A B = {1, 4, 5, 6, 8, 9} yB A = C, 4Diferencia simtrica SedefineladiferenciasimtricaentredosconjuntosnovacosAyB,comoelconjunto formadoporloselementosquepertenecenalconjuntoAoalconjuntoB,perono pertenecen simultneamente a ambos conjuntos. Simblicamente la diferencia simtrica entre A y B se escribe as: A A B = {x / x e A, v, x e B, ., x e A B}. AUU = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} B = {0,2,3,7} A-B = {1,4,5,6,8,9} B-A = { }6 5 4 1B 2 7 3 Figura No. 21 890 Enlasiguientesgrficas,lapartesombreadarepresentaladiferenciasimtricaentrelos conjuntos A y B. Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos). Sepuedeobservarquecuandodosconjuntossondiferentes,sudiferenciasimtricaes vaca y los conjuntos se llaman disyuntos. Caso 2.Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn. Caso 3.Que un conjunto este contenido en el otro. La parte sombreada indica la operacin. Ejemplo 1. AU8 9 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7} AAB = {1,2,3,4} BAA = {1,2,3,4}3 2 41B 5 7 6 Figura No. 24 AB 8 9 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7} A A B = {1,2,3,4,5,6,7} B A A = {1,2,3,4,5,6,7} 3 2 415 7 6 Figura No. 22. U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7} AAB = {1,2,3,4,7} BAA = {1,2,3,4,7} Figura No. 23 ABU8 9 3 2 4 17 5 6 Si A = {x / x es una letra de la palabra INGENIERIA}y B = {x / x es una letra de la palabra SISTEMAS}, entonces A A B = {N, G, R, M, S, T}. Ejercicio propuesto: Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de Venn Ejemplo 2. Dados los conjuntos M = {1, 2, 3, 4}yN = {4, 5}, la diferencia simtrica entre M y N es: MAN={1,2,3,5},claramentesepuedeobservarqueelnmero4,noperteneceala diferencia simtrica porque forma parte de la interseccin entre M y N. Ejercicio propuesto: Representa el ejemplo anterior mediante diagramas de Venn 5.Complemento Si A es un conjunto no vaco, el complemento de A, simbolizado por A, est formado por todos los elementos que no pertenecen al conjunto A,es decir, U =A = B=AB = A A B= AB = A BU Figura No. 25 U =A = B=AB = A A B= AB = A BU Figura No. 26 A = Ac = A* = ~A = A =A = {x / x e A} En la siguientes grficas, la parte sombreada representa el complemento del conjunto A.Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningn elemento en comn. (conjuntos disyuntos). Caso 2.Que los conjuntos tengan slo unos elementos en comn. Caso 3.Que un conjunto este contenido en el otro. La parte sombreada indica la operacin. 8 9 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4} B = {5,6,7} A = {5,6,7,8,9} 3 2 415 7 6 Figura No. 27. ABFigura No. 28 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6} B = {5,6,7} A = {7,8,9} U897 AB4 13 2 6 5 U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7} A = {8,9} Figura No. 29 AU8 9 3 2 4 1B 5 7 6 AEjemplo 1.AlconsiderarelconjuntouniversalcomoelconjuntodelosestudiantesdeIngenierade sistemasdelaUNADyAcomoelconjuntodelosestudiantesqueestnenelprimer semestre,elcomplementodelconjuntoA(A)serelconjuntoformadoportodoslos estudiantesdeingenieradesistemasdelaUNADquenocursanprimersemestre,esto es: U = {x e UNAD / x estudia ingeniera de sistemas}. A = {x e Ingeniera de sistemas /x e Primer semestre}. A = {x e Ingeniera de sistemas /x e Primer semestre}. 1.4.6Producto Cartesiano Par ordenado o pareja ordenada: La expresin (x , y ) representa una pareja ordenada , que cumple la condicin de que su primeracomponente,(x)pertenecealconjuntoAylasegundacomponente(y)pertenece al conjunto B. Plano cartesiano: Losparesordenados(x,y),(-x,y),(x,-y),(-x,-y)serepresentanenelplanocartesiano como sigue: Producto Cartesiano: Si A y B son dos conjuntos no vacos, se define el producto cartesiano entre A y B as: A X B = {(x , y ) / x A , , y B }. Ejemplo 1. Si A = {1, 2,3} yB = {-1, 0, 2} el producto cartesiano de A X B es: A X B = {(1,-1),(1,0),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,2),(3,-1),(3,0),(3,2)} y el producto de BXA es B X A = {(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,1),(0,2),(0,3),(2,1),(2,2),(2,3)} De donde se observa que el producto cruz no es conmutativo, es decir: x-x -y y(-x,y) (x,y) (-y,-x)(x,-y) Y X Figura No. 30 A x B = B x A Se puede observar que el producto cartesiano entre A y B no es conmutativo, puesto que la pareja ordenada ( x, y ) es diferente a la pareja ordenada ( y, x ), en particular, (-1,1) es diferente a (1, -1) y ( 1,1) es diferente a (-1,-1). La siguiente grfica muestra la diferencia. Ejercicio propuesto: Realizaelsiguienteproductocartesianoyluegoubicalosparesordenadosenelplano cartesiano: Si A = {2,3} yB = {1, -2}A x B es:

1-1 -1 1(-1,1)(1,1) (-1,-1)(1,-1) Y X Figura No. 31 Figura No. 32 lgebra de conjuntos Propiedades de las operaciones entre conjuntos Lassiguientescuatropropiedades,sonvlidasparalasoperacionesdeunine interseccin: a.Leyes de idempotencia:

AUA=A AA=A b) Leyes asociativas: (AUB)UC=AU(BUC) (AB)C=A(BC) b.Leyes conmutativas: AUB=BUA AB=BA d)Leyes distributivas: AU(BC)=(AUB)(AUC) A(BUC)=(AB)U(AC) Las siguientes propiedades estn relacionadas con los conjuntos Universal Uy vacoC: e)Leyes de identidad: AUU=U AU= A AU=A A= Propiedades con respecto al complemento. f)Leyes del complemento: AUA'=U AA'= (A' )'=A'=U g)Leyes de DMorgan: (AUB)'=A'B' (AB)'=A'UB' Estas leyes se pueden representar grficamente de la siguiente forma: a)Leyes de idempotencia: AUA=A AA=A Qu obtenemos de interceptar el conjunto A con l mismo? Qu pasa si unimos A con A? : b)Leyes de identidad:AUU=U AU = A AU=A A= Qu se obtiene de unir el conjunto A con el universo? : Qu se obtiene de unir el conjunto A con el vaco? : Figura No. 33 = AA AU= AAAA UU U A A A Figura No. 35 AUUU U = AU= UUFigura No. 34 AU U U Qu tienen en comn A y el universo? Qu tienen en comn A y el vaco? : c)Leyes del complemento: AUA'=U AA' = (A' )'=A'=U

Qu se obtiene de unir A con lo que no es A? Figura No. 36 A UU = A U Figura No. 37 A U =Figura No. 38 A UU U U=A U U

Qu tienen comn A con lo que no es A? d)Leyes de D Morgan: (AUB)'=A'B' (AB)'=A'UB' La demostracin grfica de (AUB)'=A'B'es la siguiente: Ashemosencontradoelreaquerepresentaalaprimerapartedelaigualdad, ahora representamos la segunda parte, se espera que los resultados sean iguales: Ejercicio propuesto: RealizalademostracingrficadelteoremadeDMorganpara:(AB)'=A'UB' para ello subraya el rea correspondiente. Figura No. 39 A UUU = A U 897 A B 4 1 3 2 6 5 AUB U 897 A B 4 1 3 2 6 5 (AUB) Figura No. 40 9 A U 8 7 AB4 1326 5 U B 8 9 7 AB4 1326 5 U A'B' 8 9 7 AB4 1326 5 Primera parte Segunda parte de la igualdad A'UB': Lasanterioresleyesestnformuladasporpares,locualverificalanaturalezadualdela teora de conjuntos. Ejercicio propuesto: Simplifica usando las leyes del lgebra Booleana 1)( (AB)' )2)(A ) ( ( (B)' ) )3) (A'UA' )UB'4) (A)' 5)(A )' 9 ______ U 8 7 AB4 1326 5 U ____ 8 9 7 AB4 1326 5 U _______ 8 9 7 AB4 1326 5 Figura No. 41 9 ______ U 8 7 AB4 1326 5 U ____ 8 9 7 AB4 1326 5 U _______ 8 9 7 AB4 1326 5 6) (AU ) '7)(AA)' U (A'UA' ) 8)(AUA ) '9)(AA ) 'UA'10) ( (A ) UU )'A' Principio de dualidad Siseintercambianlasoperacionesunin(U)porinterseccin(),comotambinel conjuntouniversal(U)porelconjuntovaco(),encualquierrazonamientosobre conjuntos, el enunciado resultante se llama DUAL del primero. Ejemplo 1.Demostrar que el dual de; (UUB)(AU)=Aes: (B)U(AU)=A Tomando la primera partey por las leyes de identidad se tiene que: (UUB)(AU)U A= A Ahora,considerandolasegundaynuevamenteaplicandolasleyesdeidentidadsetiene que: (B)U(AU) UA= A Con lo cual queda demostrado. Ejemplo 2. Demostrar que el dual de(AB)U(AB') =Aes (AUB)(AUB') =A En este caso se puede hacer la demostracin en forma grfica as: i) La primera parte se puede representar de la siguiente forma: Figura No.42 primera parte 9 A U 8 7 AB4 1326 5 U B 8 9 7 AB4 1326 5 U AB' 8 9 7 AB4 1326 5 U 8 7 AB4 1326 5 U 8 7 AB4 1326 5 U 8 7 AB4 1326 5 Segunda parte:(AUB)(AUB') =A i) La primera parte se puede representar de la siguiente forma:

Figura No.43 segunda parte (AUB)(AUB') =A 9 A U 8 7 AB 4 13 26 5 U B 8 9 7 AB 4 132 6 5 9 A U 8 7 AB 4 1 3 2 6 5 = AUB 8 9 U A 4 1 3B 6 5 7 29 U ( AUB ) 8 7 A B 4 13 2 6 5 AUB 8 9 U A 4 13 B 6 5 7 2 Captulo 22 Principios de lgica. y o No~ Si entonces S y slo si Principios de la lgica Objetivo general Establecer el valor de verdad de muchos de los enunciados lgicos, utilizando las leyes de la lgica y las de las inferencias, ya sea para determinar la conclusin, o para determinar la consistencia interna de un razonamiento. Utilizar las diferentes leyes de la lgica con el fin de obtener precisin, claridad y generalidad en diferentes razonamientos. Objetivos especficos 1.Conocer la historia de la lgica y su clasificacin. 2.Establecer la relacin entre lgica y lingstica. 3.Aprenderlosconectivoslgicos:disyuncin,conjuncin,negacin,implicaciny equivalencia. 4.Elaborar la tabla de verdad de enunciados o expresiones lgicas. 5.Aplicar las leyes del lgebra de proposiciones para realizar demostraciones. 6.Determinar la conclusin de un grupo de premisas utilizando las inferencias lgicas. 7.Definirydiferenciarconceptostalescomorazonamiento,demostraciny argumento. Historia y clasificacin Etimolgicamente la lgica es la ciencia del logos. Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se defini la lgica como la rama de la gramtica que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje. Comolapalabraeslaexpresin,omanifestacindelpensamientoyelpensamiento racional es la base de la filosofa, puede decirse en general, que la lgica es la ciencia del pensamientoracional;esdeaclararquelalgicanoseocupadelcontenidodelos pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos. Enrespuestaalanecesidaddeconstruirargumentos,paradefenderorefutar pensamientosdelosdems,Aristteles,consideradoporlosgriegos.Elpadredela lgica,creomtodossistemticosparaanalizaryevaluardichosargumentos,paralo cualdesarrolllalgicaproposicionalestableciendoprocedimientosparadeterminarla verdad o falsedad de proposiciones compuestas. El gran matemtico Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lgica clsica,planteandoqueladependencialgicaentreproposicionesesdemostrada, reduciendoargumentoscomplejosensimples,paralocualpropusorepresentarel conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecnico y a ste esquema(lgica simblica) lo llam una caracterstica universal. ElprocesodelalgicacontinuenelsigloXIX.En1847elmatemticoinglsGeorge BooleencompaadeAugustusdeMorganhizonotarelparentescoentrelas operacioneslgicasconlasmatemticas,puesapartirdelosoperadoresaritmticosde adicin, multiplicacin y sustraccin crearon los operadores lgicos equivalentes de unin, interseccin y negacin; adems formularon los principios del razonamiento simblico y el anlisislgico.ABooleseleatribuyelainvencindelastablasdeverdadpara comprobar la veracidad de proposiciones compuestas. Este trabajo fue retomadopor Bertrand Russell y AlfredWhitehead en 1910 en su obra PrincipioMatemtico,quienescodificaronlalgicasimblicaensupresenteforma definindolacomolaCienciadetodaslasoperacionesconceptualesposibles,por esta razn la fundacin de la lgica formal moderna se le atribuye a ellos. Clasificacin de la lgica La lgica se puede clasificar como: 1.Lgica tradicional o no formal. 2.Lgica simblica o formal. En la lgica tradicional se consideran los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico, ylosmtodosdeinferenciaqueestnrelacionadosconladestrezaparainterpretary distinguirelrazonamientocorrectodelincorrecto;sepuedeconsiderarquelalgicano formal resume las experiencias humanas obtenidas del conocimiento y de la observacin del mundo circundante. Lalgicacomocienciaconstituyelalgicaformalosimblica,lacualseencargade investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia;esconsideradacomounodelossistemasmedianteelcualsellegaaformas purasyrigurosas.Enelpensamientosimblico,laspalabrassemanipulan,segnlas reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido. Conceptualizacin

La lgica ofrece mtodos que ensean cmo formar proposiciones, evaluar sus valores de verdadydeterminarsiunasconclusionessepuedendeducircorrectamenteapartirde proposicionessupuestas;adems,lalgicaesunacienciaqueseinteresaporlas relacionesexistentesentrelasproposiciones,conelfindeobtenerprecisin,claridady generalidad en los razonamientos. Laprecisinlalogramedianteelusodesmbolos,loscualestienencomofuncin primordialeliminarlasambigedadesquelaestructuradellenguajeordinarionopuede evitar con facilidad. La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiariza con los elementos bsicos de un argumento lgico, tanto en su representacin simblica como en susignificadoparaluegoestablecerunlenguajesimblicoartificial,quelepermita simplificarargumentoslgicoscomplicados;deestamanera,elsmbolopermite concentracin sobre lo esencial de un contexto dado, incrementando la fiabilidad con que se aplica el conocimiento. Lgica y lingstica Porsuorigenydesarrollonatural,hansidoreconocidosdostiposbsicosdelenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajesformales o artificiales. Los lenguajes naturales no se establecieron a travs de ninguna teora, entre ellos estn el castellano, el francs y el ingls. Las teoras y gramticas de lenguajes naturales, fueron establecidas a posteriori, es decir despus de que el lenguaje ya haba madurado. Loslenguajesformalescomolasmatemticasylalgica,fuerondesarrollados, generalmente, a partir del establecimiento de una teora, la cual da las bases para que a travs de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teora. Loslenguajesnaturalesyformalestienenpuntosencomn,enprincipio,setienela existenciadeunconjuntofinitollamadoalfabeto,elcualestaconstituidodesmbolos simples llamados comnmente letras. En los lenguajes naturales se tienen como ejemplos losalfabetos:latino,griegoyrabe-persa, entre otros. En los formales como la lgica se tiene el lxico del clculo proposicional y de predicados. Mediante la concatenacin de las letras del alfabeto se forman los monemas, fonemas o palabras que se encuentran en el interior de un enunciado, de tal forma que un lenguaje se consideracomounconjuntoinfinitodeoracionesoenunciadosqueseformancon palabras del diccionario. En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten enuna lista de smbolos, (lgicosomatemticos)sujetosadiversasinterpretaciones.Enunlenguajeformal,las palabrasylasoracionesestnperfectamentedefinidas,unapalabramantieneelmismo significado prescindiendo del contexto o de su uso. Los lenguajes formales son, por esto, necesariamenteexentosdecualquiercomponentesemnticofueradesusoperadoresy relaciones,yesgraciasaestaausenciadesignificadoespecial,queloslenguajes formalespuedenserusadosparamodelarunateoradelaingenieradesistemas,mecnica, elctrica, entre otras. Simbolizacin :proposiciones La lgica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma como elementobsicodeanlisisalaproposicin,quenoesotracosaqueunaoracindel lenguaje cotidiano con un significado mucho ms limitado, en tales condiciones, se puede considerar una proposicin como una excepcin lingstica que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa, y para simplificar la escritura de argumentos lgicos complicados; crea unlenguajesimblicoartificial,endondeestableceunconjuntodereglasclaras,bien definidas y que no presentan las ambigedades ni vaguedades del lenguaje corriente. Esimportanteteneren cuenta que las proposiciones representan oraciones declarativas, lascualescontienenunsujetoperfectamentedefinidoodadoporelcontexto,unpredicado y una conjugacin del verbo ser. Lasproposicionesserepresentansimblicamentemedianteelusodeletrasminsculas delalfabetotalescomop,q,r,s,...,x,y,z,lascualesrecibenelnombredeletraso variables proposicionales, de esta forma, el lenguaje proposicional se hace ms simple y exacto que el lenguaje natural. Los siguientes ejemplos ilustran cmo se pueden simbolizar las proposiciones: p :Hoy es sbado. q :Estudio ingeniera de sistemas. r:NewYork es llamada la capital del mundo. s :1 no es un nmero primo. x :4 + 3=10. Es decir, se puede establecer una relacin biunvoca entre el lenguaje natural y el lenguaje formal. Estas proposiciones generalmente se llaman frases. En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como por ejemplo: Las rosas son rojas y tienen espinas. Laseleccin Colombia gan o perdi? En el pas no hay violencia. Siestudiolgicamatemticaentoncesserundestacadoingenierode sistemas. 4 es un nmero par si y slo si se puede dividir por 2. Estas expresiones se denominan oraciones y para su formacin se utilizaron las letrasy, o, no, si entonces, s y slo si, que sirvieron para unir o enlazar los enunciados. Conectivos Lgicos EstostrminosdeenlacerecibenelnombredeConectivoslgicosyaligualquealas proposiciones, tambin se les asignan un lenguaje simblico, as: LENGUAJE NATURALLENGUAJE FORMAL y o No ~ Si entonces S y slo si Vemos varios ejemplos de notacin simblica de las proposiciones: p : Las rosas son rojas. q : Las rosas tienen espinas. pq : Las rosas son rojas y tienen espinas. r: La seleccin Colombia gan?. s: La seleccin Colombiaperdi?. r s : La seleccin Colombia gan o perdi?. t : En el pas hay violencia. ~ t : En el pas no hay violencia. x : Estudio lgica matemtica y : Ser un destacado ingeniero de sistemas xy : Si estudio lgica matemtica ser un destacado ingeniero de sistemas. u :4 es un nmero par. v :4 es divisible por 2. u v: 4 es un nmero par si y slo si es divisible por 2. En lgica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atmicas o simples y moleculares o compuestas, veamos: Proposiciones simples: Sedenominanproposicionessimplesaquellasoracionesquenoutilizanconectivos lgicos. Estos son algunos ejemplos: p :El eclipse es un fenmeno natural. q :La luna es un satlite de la tierra. r:2 es el inverso multiplicativo de 2. s: -3 es el inverso aditivo de 3. El valor de verdad de una proposicin simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al mismo tiempo, pues dejara de ser proposicin. Proposiciones Compuestas Lasproposicionescompuestassonaquellasqueseobtienencombinandodosoms proposiciones simples mediante trminos de enlace. Estos son algunos ejemplos de proposiciones compuestas: p : Est lloviendo. q:El sol brilla. p q: Est lloviendo y el sol brilla. x :Quieres caf?. y :Quieres t?. xy : quieres caf o t?. s : Llueve. r: Hace fro. s r : Si llueve entonces hace fro. p : Un tringulo es equiltero.q:Un tringulo tiene sus tres lados iguales. pq : Un tringulo es equiltero si y slo si tiene sus tres lados iguales. Laveracidadofalsedaddeunaproposicincompuesta,dependedel valor de verdad de cadaunadelasproposicionessimplesquelaconformanydelaformacomoestn combinadas;paraestablecerestevalor,sefijancriteriosqueseestudiarnenlas prximas secciones de este captulo. Conectivos Lgicos

Como ya se dijo en la seccin anterior, los smbolos que sirven para enlazar dos o ms proposicionessimples,sellamanconectivoslgicos,estosson:laconjuncin,la disyuncin, la negacin, el condicional y el bicondicional. La conjuncin: Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin compuesta p y q simbolizadaporp q, se denomina la conjuncin de p y q. Ejemplos de conjuncin: Ejemplo 1 La proposicin compuestar s : 6 es nmero par y entero positivo, est formada por: r: 6 es un nmero par. : y s : entero positivo. Ejemplo 2 p q : Termino de escribir mi programa de computacin y luego jugar tenis p : Termino de escribir mi programa de computacin. : y q :jugar tenis. Para establecer el valor de verdad de la conjuncin, surgen las siguientes posibilidades: 1.Que p y q seanverdaderas. 2.Que p sea verdadera y q sea falsa. 3.Que p sea falsa y q verdadera. 4.Que p y q seanfalsas. A continuacin se analizan estas posibilidades para el ejemplo 1, el anlisis del ejemplo 2 se deja como ejercicio. 1.r: Verdadera. 6 es un nmero par.s: Verdadera. 6 es un entero positivo.rs :Verdadera(V) 2.r: Verdadera. 6 es un nmero par. s: Falsa. 6 no es un entero positivo. rs : Falsa (F). 3.r: Falsa. 6 no es un nmero par. s: Verdadera. 6 es un entero positivo. rs :Falsa (F). 4 r : Falsa. 6 no es un nmero par. s: Falsa. 6 no es un entero positivo. r s: Falsa (F). La disyuncin v Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin p o q, simbolizada p v q se llama disyuncin de p y q. El operador o se puede usar de dos formas: como o incluyente o como oexcluyente. Enelprimercaso(oincluyente)hacequeelvalordeverdaddeunadelasdos proposicionessimplesrepercutaenelvalorverdaderodelaproposicindisyuntiva; mientras que en la segunda forma (o excluyente) el valor de verdad de una proposicin excluye la veracidad de la otra proposicin, esto hace que la proposicin disyuntiva tome el valor verdadero. Ejemplo 1. Uso del o incluyente rvs:Juan estudia ingeniera o Paola estudia medicina. r :Juan estudia ingeniera. v : O s:Paola estudia medicina. Ejemplo 2. Uso del o excluyente.xvy: Quieres helado o gaseosa. x :Quieres helado. v :O y: Quieres gaseosa.

Ejemplo 3: Uso del o excluyente pvq: Alexandra vive en Bogot o en Barranquilla. p : Alexandra vive en Bogot. v : O q : Alexandra vive en Barranquilla. La negacin: Seapunaproposicinsimple.Sedefinelanegacindepmediantelaproposicin compuesta no p simbolizada por:~ p. Ejemplo 1. p :3 es un nmero entero primo. ~ p : 3 no es un nmero entero primo, tambin se puede leer.es falso que 3 es un nmero entero primo. Ejemplo 2. q :El automvil de Francisco es rojo. ~q:ElautomvildeFrancisconoesrojo,o,esfalsoqueelautomvilde Francisco es rojo. El condicional Sedicequeunaproposicincompuestaescondicional,siestaformadapordos proposiciones simples enlazadas por la expresin sientonces. Si p y q representan dos proposiciones, la expresin si p entonces q se simboliza as : p qy se lee p implica q. Laproposicinprecedidaporlaexpresinsi,sellamaantecedenteohiptesisyla proposicinprecedidaporlaexpresinentonces,sellamaconsecuenteoconclusin de la implicacin. En la expresinp q, el antecedente es p y el consecuente es q. Las proposiciones condicionales se pueden enunciar de diferentes maneras as: Si p entonces q. p slo si q. q si p. p es suficiente para q. q es necesaria para p. Los siguientes ejemplos ilustran los anteriores enunciados: Si unentero es mltiplo de 4 entonces es divisible por 2. Apruebo el semestre slo si estudio. El algoritmo esta bien enunciado si el programa corre. Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas. Cuandounaproposicincondicionalseescribeenunadelasanterioresformas, probablemente, en el lenguaje comn habr alguna que no se interprete como se desea, pero como la lgica no permite ambigedades, stas se deben escribir segn la definicin dada en la seccin. Existen varias formas de enunciar proposiciones condicionales as: Implicacin directa:p q Implicacin contraria:q p Implicacin recproca:~ p ~ q Implicacin contrarrecproca:~ q ~ p Ejemplo 1. Dadas las proposicionesp:2mes divisible por 4 q:m es parentonces: La proposicin directa es: p q:Si 2m es divisible por 4 entonces m es par, la contraria es:q p: Si m es par entonces 2m es divisible por 4, la recproca es: ~ p ~ q: si 2m no es divisible por 4, entonces m no es par y la contrarrecproca es: ~ q ~ p : Si m no es par, entonces 2m no es divisible por 4. Ejemplo 2. Teniendoencuentalaproposicindirecta:~pqconstruirlasotrasformasdela implicacin: Contraria:q ~ p Recproca: ~ (~ p) ~ q p ~ q Contrarrecproca: ~ q ~ (~ p) ~ qp. Ejemplo 3. Proposicin directa:~ p ~ q Contraria: ~ q ~ p Recproca: ~ (~ p) ~ (~ q) p q Contrarrecproca:~ (~ q) ~ (~ p) q p El bicondicional Sedenominabicondicionalalaproposicinformadapordosproposicionessimples conectadas por la expresins y slo s. Simblicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicacin p q constituye un bicondicional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro. El bicondicional est formado por las implicacionesp qyq p, las cuales deben tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se dice que la proposicin p es equivalente a la proposicin q y se acostumbra a escribirp q. Laproposicinbicondicionaltienevariasformasdetraduccinmsnodesignificacin, stas son: p s y slo si q. q s y slo si p. si p entonces q y recprocamente. si q entonces q y recprocamente. p es una condicin necesaria y suficiente para q. q es una condicin necesaria y suficiente para p. Ejemplo 1. Dadas las proposiciones: p: Un tringulo es rectngulo. q: Un tringulo tiene un ngulo recto. El bicondicionalp q se puede traducir de las siguientes formas: Un tringulo es rectngulo s y slo s tiene un ngulo recto. Un tringulo tiene un ngulo recto s y slo s es un tringulo rectngulo Si un tringulo es rectngulo entonces tiene un ngulo recto y si un tringulo tiene un ngulo rectoentonces es un tringulo rectngulo. Unacondicinnecesariaysuficienteparaqueuntringulosearectnguloesque tenga un ngulo recto. Una condicin necesaria y suficiente para que un tringulo tenga un ngulo recto es que seaun tringulo rectngulo. Un tringulo rectngulo es equivalente a un tringulo con un ngulo recto. Tablas de verdad Definicin Unatabladeverdadesunarepresentacinesquemticadelasrelacionesentre proposiciones; sirve para determinar los valores de verdad de proposiciones compuestas, lascualesdependendelosconectivosutilizadosydelosvaloresdeverdaddesus proposiciones simples. En la elaboracin de una tabla de verdad los trminos de enlace tales como la negacin(~),ladisyuncin()ylaconjuncin()seconsideranconectivos fundamentales; por tal razn, sus valores de verdad constituyen base para establecer bajo qu condiciones una proposicin compuesta es verdadera o falsa. p q~ pp qp q p qp q VVFVVVV VFFFVFF FVVFVVF FFVFFVV Parasimbolizarlosvaloresdeverdaddeunaproposicin,seutilizaelsistemabinario, medianteelcualseleasigna1alvalorverdaderoy0alvalorfalso.Lasiguientetabla resume los valores de verdad de los conectivos lgicos: p q~ pp qp q p qp q 1101111 1000100 0110110 0010011 Construccin de tablas de verdad Para determinar el valor de verdad de una proposicin compuesta es necesario elaborar la correspondiente tabla de verdad; para tal finy mediante el siguiente ejemplo se enuncian los pasos a seguir: Ejemplo 1. Construir la tabla de verdad para la proposicin~ (p q). Paso 1. Se hace un recorrido de izquierda a derecha teniendo en cuenta los parntesis. Paso 2. Se identifica el conectivo que aparece dentro del parntesis, en este ejemplo la conjuncin. Paso 3. Se precisa el trmino de enlace que precede al parntesis, en el ejemplo la negacin. Paso 4. Se elabora la tabla con el nmero de columnas determinado por: Proposiciones que intervienen Conectivos utilizados dentro del parntesis Conectivo utilizado fuera del parntesis. La siguiente tabla ilustra el paso 4: p q p q ~ ( p q ) Paso 5. Se fijan los valores de verdad en las columnas de las proposiciones p y q. se ilustra en la siguiente tabla p q p q~ ( p q ) 11 10 01 00 Paso 6. Se completa la tabla por columnas, teniendo en cuenta el conectivo y el valor de verdad de cada proposicin simple. La finalizacin de la elaboracin de la tabla de verdad es: pqp q~ ( p q )pqp q~ ( p q ) VVVF1110 VFFV1001 FVFV0101 FFFV0001 Ejemplo 2. Elaborar la tabla de verdad de la proposicin: (p q) (p q). Alrealizarelrecorridodeizquierdaaderechaseobservaquelaproposicinest conformada por dos parntesis conectados por la disyuncin y dentro de cada parntesis seidentificanladisyuncinylaconjuncinrespectivamente;despusdeste anlisis se elabora la tabla. pqp qp q(p q) (p q) 11111 10100 01100 00000 Ejemplo 3 Elaborar la tabla de verdad para la doble negacin, es decir,~ (~ p) p~ p~ (~ p)p~ p~ (~ p) VFV101 FVF010 Esteresultadopermiteconcluirqueladoblenegacindeunaproposicineslamisma proposicin. Tabla No. 1La conjuncin. Tabla No.2La disyuncin. Tabla No.3La negacin. Tabla No.4El condicional. Tabla No.5El Bicondicional. Tablas de verdad para los conectivos lgicos La conjuncin p q p q VVV VF F FVF FFF

Delaanteriortabladeverdadpodemosconcluirquelaconjuncinesverdadera nicamente cuando las dos proposiciones simples son verdaderas, en cualquier otro caso la proposicin es falsa. La disyuncinp q pvq VVV VFV F V V FFF La negacin p ~ pVFF V El condicional

El bicondicional Implicacin directa, contraria, recproca y contrarecproca Tabla de verdad para las cuatro formas de la implicacin, pq p q VVV VFF FVV FFV pq p q VVV VFF FVF FFV pq~ p~ q p qDirecta q p Contraria ~ p ~ q Recproca ~ q ~ p Contrarrecporca 11001111 10010110 01101001 00111111 Tabla No. 6. Formas de la implicacin. Esta tabla permite analizar que los valores de verdad correspondientes a las columnas de la directa y la contrarecpocacoinciden, al igual que los de las columnas de la contraria y de la recproca, por lo tanto estas implicaciones son equivalentes, es decir: 1.( p q ) (~ q ~ p ) 2.( q p ) (~ p ~ q ) Se propone al estudiante construir la tabla de verdad para las anteriores equivalencias. Leyes de la lgica Tautologa Entrelasproposicionescompuestasexistenunasmuyimportantesporsersiempre verdaderas,independientementedelvalordeverdaddelasproposicionesquela conforman,estetipodeproposicionesrecibenelnombredetautologas,esdecir,una tautologa es una proposicin que es verdadera en todos los casos. Ejemplo 1. Demostrar que la proposicin ( p q ) (~ q p ) es verdadera: Paraverificarlavalidezdeestaproposicinesnecesariorealizarlatabladeverdady comprobar que en la ltima columna solamente aparecen valores verdaderos. p qp q~ q ~ q p( p q ) (~ q p) 111011 101111 011011 000101 Tabla No. 7. Ejemplo 1. Unaproposicincompuesta,queesfalsaentodosloscasosindependientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la conforman se llama Contradiccin. Ejemplo 2. Es ( p ~ q ) quna tautologa? Para responder la pregunta se hace necesario hacer la tabla de verdad, as: pq~ qp ~ q(p ~ q) q VVFFF VFVVF FVFFF FFVFF Por lo tanto esta proposicin no es una tautologa, es una contradiccin. Dosproposicionescompuestasseconsideranlgicamenteequivalentessitienenlos mismos valores de verdad para cada una de las opciones en la tabla de verdad. Ejemplo 3 Establecer si las proposiciones (p q )y (~ p q ) son lgicamente equivalentes. Para esto hay que probar que (p q) (~ p q), la tabla de verdad es: pq p q~ p~ p q(p q ) (~ p q)111011 100001 011111 001111 Comolaltimacolumnaestodaverdadera(tautologa),sepuedeconcluirquelas proposiciones son lgicamente equivalentes. Leyes del lgebra de proposiciones Las siguientes son las leyes de la lgica. 1. Idempotencia: p p p p p p 3. Asociativas: (p q) r p (q r ) (p q) r p (q r) 4. Conmutativas: p q q p p q q p 5. Distributivas: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 6. Identidad: p 0 p , p 1 1 p 0 0 ,p 1 p. 7. Complemento: p ~ p 1, p ~ p 0 ~ ( ~ p) p, ~ 1 0, ~ 0 1 8. Leyes D Morgan: ~ ( p q ) ~ p ~ q~ ( p q ) ~ p ~ q Estasleyesestnformuladasporparesdebidoalanaturalezadualdellgebrade proposiciones. Enlosejemplosqueaparecenacontinuacin,seutilizanlasleyesdelalgicapara realizar las respectivas demostraciones: Ejemplo 1. Demostrar que: 1.p p p 2.p p p. Estasdemostracionessepuedenefectuarpartiendodelprimermiembroyllegaral segundoopartiendodelsegundoyllegaralprimero.Enlapartederechaseescribeel nombre de la ley que justifica ese paso. 1. Partiendo del primer miembro se llega al segundo as: p p (p p) 0 Identidad p p (p p) (p ~ p)Complemento p p p (p ~ p)Distributiva p p p 1Complemento p p pIdentidad 2. Partiendo del segundo miembro se llega al primero as: p p 0Identidad p p (p ~ p)Complemento p (p p) (p ~ p)Distributiva p (p p) 1Complemento p (p p)Identidad. Se sugiere hacer las demostraciones partiendo del primer miembro. Ejemplo 2. Demostrar que: (p q) (~ p q) q ( q p) (q ~ p) qConmutativa q ( p ~ p )Distributiva q 0Complemento qIdentidad Ejemplo 3. Demostrar que: [ (p q) (~ p r) (q r) ] [ (p q) (~ p r)] [ (p q) (~ p r) (q r) ] [ (p q) (~ p r) (q r) ] 0Identidad [(p q) (~ p r) (q r)] (q r) ~ (q r) Complemento (p q) (~ p r) (q r) ~ (q r) Asociativa (p q) (~ p r) 0 Complemento (p q) (~ p r) Identidad Ejemplo 4. Demostrar: (p ~ q) (q r) (q ~ r) (p q) (p ~ q) [q (r ~ r)]Distributiva (p ~ q) [q 0]Complemento (p ~ q) qIdentidad (p q) (~ q q) Distributiva (p q) 0Complemento (p q) Identidad. Ejemplo 5. Demostrar:~ [(p ~ q r) (p q r)] (~ p ~ r) ~ [(p ~ q r) (p q r)] ~ [(p r) (~ q q)] Conmutativa y distributiva ~ [(p ~ q r) (p q r)] ~ [(p r) 1] Complemento ~ [(p ~ q r) (p q r)] ~ (p r) Identidad ~ [(p ~ q r) (p q r)] (~ p ~ r)D Morgan Cuantificadores Cuantificador universal y existencial Existen especialmente en matemticas, expresiones que contienen variables tales como x, y, z, etc.,para las cuales su valor de verdad depende del valor que tome la variable. Ejemplo 1.x + 1 = 2 Esta proposicin es verdadera si x = 1y falsa si x = 1. A estas proposiciones se les llama Proposiciones abiertas. Hasta el momento se han tratado proposiciones a las cuales se les puede asignar un valor deverdad,yaseafalsooverdadero,ahoraenestaseccin,seestudialalgicade proposicionesabiertas,paraello,seasignaunaexpresinllamadacuantificador,que permite restringir los valores de las variables, de tal forma que la proposicin toma un solo valor de verdadpara dicha restriccin. En el ejemplo, la proposicin se puede enunciar de las siguientes formas: 1.Existe x = 1 tal quex + 1 = 2.Proposicin verdadera 2.Para todo x = 1, se tiene que x + 1 = 2. Proposicin falsa. Simblicamente,enelprimercasoelcuantificadorrecibeelnombredecuantificador existencial, pues est informando que existe un slo valor para x que hace verdadera la proposicindada,mientrasqueenelsegundocasoelcuantificadorsellamauniversalporqueafirmaquetodoslosvaloresdexdiferentesde1hacenlaproposicinfalsa,es decir, que un valor de x diferente de 1 convierte x + 1 = 2 en proposicin falsa. Cualquiercuantificadordelaformaparatodo,todo,paracada,ocadasellama cuantificador universal y se simboliza por Ejemplo 2. ( x) / ( x + 4 = 4 + x). Significa que todo x verifica la ecuacin. Lapalabraalgunos(s)significaqueporlomenosunoverificalacondicin.Los cuantificadoresdelaformaexisteporlomenosuno,ysellamancuantificadores existenciales y se representan as: -. Ejemplo 3 (- x ) /( 2 x + 2 = 5 ). Valores de verdad de expresiones con cuantificadores Paradeterminarelvalordeverdaddeunaexpresinquecontieneuncuantificadores importante tener claros los siguientes conceptos: (-x = 1) / (x + 1 = 2) Verdadera. ( x = 1 ) / ( x + 1 = 2) Falsa. 1.ConjuntoUniversal:eselconjuntoquecontienetodosloselementos considerados en un estudio determinado. 2.Conjunto dominio de la variable: corresponde al conjunto de valores posibles de la variable. Ejemplo 1. (x R ) / ( 2 x 1 = 0 ) que se lee para todo x que pertenece a los reales se verifica que 2 x 1 = 0 . En esta proposicin el conjunto universal esta formado por los nmeros reales y el dominio de la variable es x = . Elejemploafirmaquetodonmerorealverifica2x1=0,locualesfalso,perosise cambiaelconjuntouniversal,porelconjunto{1/2},laproposicinseconvierteen verdadera y se enuncia as: ( x { 1/2 } ) /( 2 x 1 = 0) es verdadera. Lo anterior conduce a la siguiente afirmacin: Unaproposicinquecontieneuncuantificadoruniversalesverdaderasyslosel dominio de la variable es igual al conjunto universal. Ejemplo 2. (-x R )/( x 2- 1 = 0) Conjunto universal: R (reales) Dominio de la variable: x= 1,, x = -1 Enestecasoelcuantificadorexistencialafirmaqueporlomenosexisteunvalorque satisface la proposicin, as, el ejemplo 2 es verdadero. Ejemplo 3. (-x R ) ( x 2+ 1 = 0) El conjunto universal est formado por los nmeros reales, pero el dominio de la variable es el conjunto vaco, pues, no hay un nmero real que al elevarlo al cuadrado y sumarle 1 de cmo resultado cero, esto hace que la proposicin sea falsa. Del anlisis de los ejemplos 2 y 3 se puede afirmar: Una proposicin con un cuantificador existencial es verdadera si y slo si el dominio de la variable no es vaco. Captulo33 Preliminares sobre las proposiciones

PS Clases S y PSP S P SP SP Proposiciones categricas Elestudioclsicooaristotlicodeladeduccinestcentradoenargumentosque contienensolamenteproposicionesdeuntipoespecial,llamadasproposiciones categricas. El tipo especial se refiere a que las proposiciones pueden ser universales (afirmativas o negativas) o particulares (afirmativas o negativas). Porlotanto,sepuedeafirmarquehaycuatroformasestndardeproposiciones categricas.Los siguientes ejemplos ilustran cada una de ellas. Proposicin categrica universal afirmativa Todos los conductores de automviles que no son seguros son personas temerarias que ponen en peligro la vida de los dems. Esta es una proposicin universal afirmativa. Se refiere a dos clases: 1. Conductores de automviles insegurosy2. personas temerarias que ponen en peligro la vida de los dems y dice que la primera clase est contenida en la segunda, lo cual significa que cada miembro de la primera clase es tambin miembro de la segunda. Enesteejemplo,eltrminosujetoconductores,designaalaclasedetodoslos conductores y el trmino predicado temerarias, designa a la clase de todas las personas temerarias. Estetipodeproposicincategricasellamauniversalafirmativa,porquelaproposicin afirma que la relacin de inclusin entre las dos clases es completa, todos los elementos o miembros de S tambin lo son de P. Todas las proposiciones universales afirmativas se pueden escribir simblicamente as: Todo S es P , donde Srepresenta el sujeto y P el predicado. Conductores de automviles Inseguros S P temerPersonas temerarias Todo S es P Personas Proposicin Categrica Universal negativa Ningn conductor de automvil responsable es un peligro para la vida de los dems. Estaesunaproposicinuniversalnegativa.Niega(enformauniversal)quelos conductores responsables son un peligro para la vida de los dems. En este caso se hace referencia a dos clases: 1. Conductor de automvil responsable y2. personas que ponen en peligro la vida de los dems laprimeraclaseexcluyealasegunda,laexcluyetotalmente,esdecir,quenohay ningn miembro de la primera clase (conductor responsable) que tambin pertenezca a la segunda (que represente un peligro para la vida de los dems).Todas las proposiciones universales negativas se pueden escribir as:NingnSes P ,donde S representa el trmino sujeto y P el trmino predicado. La proposicin recibe el nombre universal negativo,porque la proposicin niega que la relacindeinclusindeclasetengalugarentrelasdosclasesyloniegaenforma universal: no hay ningn miembro de S que tambin lo sea de P. Conductores de automvil Responsable SP temePersonasNingn S es P Persona temeraria que pone en peligro la vida de los dems Proposicin categrica afirmativa particular

Algunos estudiantes de la secundaria ingresan a la educacin superior. Este ejemplo afirma que algunos de los miembros de la clase de todos los estudiantes de secundariason(ingresan)miembrosdelaclasedeestudiantesdeuniversidad.Perono afirmaestouniversalmente:nodicequetodoslosestudiantesdesecundaria(sin excepcin)ingresanalauniversidad,sinomsbienalgunosenparticular.Esta proposicinnoafirmaniniegaquetodoslosestudiantesingresanalauniversidad,se refiere slo a algunos. Clases: 1. Estudiantes de secundaria y2. Estudiantes que ingresan a la educacin superior Lapalabraalgunosesindefinida,significaalmenosuno?,almenosdos?,al menostres?Oalmenoscuntos?Paramayorprecisin,seacostumbrausarste trmino como al menos uno . Por lo tanto una proposicin afirmativa particular se escribe simblicamente as: Algn S es P, Lo cual significa que por lo menos un miembro de la clase designada con el trmino sujeto StambinesmiembrodelaclasedesignadaporeltrminopredicadoP.Elnombre afirmativaparticularhacereferenciaaquelaproposicinafirmativasecumpleenla relacindeinclusinentreclases,peronoloafirmadelaprimeraclaseuniversalmente, slo parcialmente, de algunos miembrosparticulares de la primera clase. Proposicin Categrica Negativa particular Algunos nmeros reales no son positivos. Clases SP temerEstudiantes Algn S es P Estudiante que ingresa a laeducacin superior Estudiantes de secundaria 1. Nmeros reales y2. Nmeros negativos En este ejemplo el antecedente (algunos nmeros reales) es particular en el sentidoque noserefiereuniversalmentealosnmerosreales,sloaalgunosdeellos,algunos miembros de esa clase. Pero a diferencia del ejemplo anterior, no afirma que los miembros particulares de la primera clase a los que se refiere (nmeros reales) estn incluidos en la segundaclase(realesnopositivos),estoesprecisamenteloqueseniega.Una proposicin particular negativa, se escribe en forma simblica as: Algn S no es P. dice que por lo menos un miembro que pertenece a la clase designada poreltrminosujeto,S,esexcluidodelatotalidaddelaclasedesignadaporeltrmino predicado, P. SP temerNmeros Algn S no es P Nmeros NegativosNmeros Reales --- Cualidad y cantidad de las proposiciones categricas Cada proposicin categrica de forma estndar tiene una cualidad y una cantidad. Cualidad Afirmativa o Negativa: Lacualidaddeunaproposicinesafirmativaonegativa,segnelsujeto,completao parcialmente,afirmeonieguelainclusindelaclase.Porlotantolasproposiciones afirmativasuniversalesyparticularestienencualidadafirmativa,encambiolas proposiciones negativas universales y particulares tienen cualidad negativa. Cantidad Universal o Particular de cantidad: Lacantidaddeunaproposicinesuniversaloparticularsegnquelaproposicinse refiera a todos los miembros o solamente a algunos de la clase designada por el trmino sujeto.As,lasproposicionesuniversalesafirmativasonegativassonuniversalesde cantidadylasproposicionesparticularesafirmativasonegativassonparticularesde cantidad. ------------------Nemotecnia ----------------- ALGUNOS = PARTICULAR TODOS = UNIVERSAL Ejercicio propuesto: De la lectura anterior, ypuedes completar la siguiente tabla: Proposicin CategricaRepresentacin Toddo S es P Particular Negativa Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias Lasproposicionescategricasenformaestndarquetienenelmismotrminosujetoy trmino predicado, pueden diferir unas de otras en cualidad o en cantidad o en ambas Existen ciertas relaciones importantes correlacionadas con los diversos tipos de oposicin (diferenciaencualidad,cantidadoenambas)staspuedenserdeCONTRADICCIN, CONTINGENCIA, o, SUBCONTRARIAS Proposiciones contradictorias Dos proposiciones son CONTRADICTORIAS si una de ellas es la negacin de la otra, es decir, las dos proposiciones no pueden ser a la vez verdaderas ni a la vez falsas. Es claro que dos proposiciones categricas en forma estndar que tienen el mismo trmino sujeto y trminopredicado,perosondiferentestantoencantidadcomoencualidad,son contradictorias entre s. Ejemplo 1 Las proposiciones P: todos los jueces son abogados Q: algunos jueces no son abogados Soncontradictoriasporquesonopuestastantoencantidadcomoencualidad.La proposicin P es universal afirmativa, mientras que la proposicin Q es particular negativa. Ejemplo 2 Las siguientes proposicionestambin son contradictorias. P: algunos nmeros reales son negativos. Es particular afirmativa Q: todos los nmeros reales son negativos. Es universal negativa. En este caso son opuestas en cantidad y en cualidad. Otraformadeidentificarlasproposicionescontrarias,escuandolaverdaddeuna proposicin implica la falsedad de la otra. Ejemplo 3 P: -3 es mayor que -1 Q: -1 es mayor que -3. SoncontradictoriasporquelaproposicinPesfalsayestoimplicaquelaproposicinQ sea verdadera. Ejemplo 4 Dadas las proposiciones P: hoyes lunes Q: hoy no es lunes. Son contradictorias porque si P es verdadera automticamente Q ser falsa y lo contrario. Proposiciones Contradictorias y Contrarias Esimportanteaclararladiferenciaentreproposicionescontradictoriasyproposiciones contrarias. 1. Proposiciones contrarias: SedicequedosproposicionessonCONTRARIASsinopuedenserambasverdaderas, aunque ambas puedan ser falsas. Ejemplo 5 Considerando las proposiciones P:Paola es mayor que Anglica Q:Anglica es mayor que Paola Inicialmente se podra pensar que son contradictorias, es decir, que si P es verdadera, Q serafalsa,yconsecuentemente,siPesfalsa,entoncesQseraverdadera,peroal considerar el hecho de que Paola y Anglica tengan la misma edad, ambas proposiciones seranfalsas,porlotantonoserancontradictorias,yenestecasosellamaran contrarias, debido a que ambas no pueden ser verdaderas pero s falsas. En forma general se puede decir que dos proposiciones universales que tienen los mismos sujetos y predicados pero difieren en cualidad son contrarias. Elsiguienteejemplomuestraclaramenteladiferenciaentrelasproposiciones contradictorias y contrarias. Ejemplo 6 Dadas las proposiciones: P:todos los nmeros enteros son positivos Q:algunos enteros son positivos R: todos los enteros son negativos SepuedeafirmarquelasproposicionesPyQsoncontradictoriasporqueunaesla negacindelaotra(enestecasoPesfalsamientrasqueQesverdadera).Ylas proposicionesPyRsoncontrariasyaqueambasnopuedenseverdaderasperosison ambas falsas. ------------------Nemotecnia----------------- contrarias = ambas pueden ser falsas contradictorias = cuando una es verdadera la otra es falsa y viceversa. Proposicin Contingente Unaproposicinquenoesnecesariamenteverdaderaninecesariamentefalsasellama CONTINGENTE. Ejemplo 1 P: todos los matemticos son filsofos Esta es una proposicin que no es necesariamente verdadera (no todos los matemticos son filsofos), ni necesariamente falsa (existen matemticos que s son filsofos) Ejemplo 2 Q: todos los cuadrados son rectngulos Nonecesariamenteesfalsaporqueelcuadradoesuntipoderectngulo,nies necesariamente verdadera porque no todos los cuadrados son rectngulos Proposiciones Subcontrarias Se dice que dos proposiciones son subcontrarias si no pueden ser ambas falsas pero s ambas verdaderas Ejemplo 1 Las proposiciones P: algunos enteros son positivos Q: algunos enteros son negativos Son subcontrarias debido a que ambas son verdaderas. ------ la Clave---- Observaquenecesariamente,alafirmarquealgunosenterossonnegativos,estamos afirmandoqueelrestosonenterospositivos.Estoimposibilitaqueambasproposiciones sean falsas. --------------------- Enformageneralseafirmaquedosproposicionesparticularesquetienenelmismo trmino sujeto y trmino predicado pero diferente cualidad son subcontrarias Ejemplo 2 P: algunos ingenieros de sistemas son matemticos Q:algunos ingenieros de sistemas no son matemticos LasproposicionesPyQpuedenserlasdosverdaderas,peronopuedenserlasdos falsas, por lo tanto se dice que son subcontrarias. ------------------Nemotectnia----------------- contrarias = ambas pueden ser falsas subcontrarias = ambas pueden ser verdaderas contradictorias = cuando una es verdadera necesariamente la otra es falsa yviceversa. Smbolo y diagramas para proposiciones categricas Como la interpretacin de las proposiciones categricas depende fundamentalmente de la nocindeunaclasevaca,seutilizaelcero(0)pararepresentarestehechoypara simbolizar que la clase determinada por S no tiene miembros, se utiliza la ecuacin S = 0. Cuando se afirma que la clase S si tiene elementos, equivale a negar que S es vaca, por lo tanto su representacin simblica es S = 0. Lasproposicionescategricassepuedenrepresentargrficamentediagramandolas clasesalasquepertenecen,detalformaqueeldiagramaesdeunaclase,nodeuna proposicin, para realizar esta representacin se utiliza un crculo marcado con el trmino que designa la clase, por ejemplo la clase S s grafica as:

Clase S ParadiagramarlaproposicindequeSnotienemiembros,odequenohayS,se sombreatodoelcrculoquerepresentaS,locualindicaquenocontienenada,quees vaca, y, para graficar la proposicin que existen S, que se interpreta en el sentido de que hayporlomenosunmiembrodelaclaseS,secolocaunaxencualquierparteenel interior del crculo que representa a S, lo cual indica que s hay algo dentro de l, que no est vaco. A continuacin se representa grficamente las proposiciones No hay S y Hay S.

s

s

s S = 0. S = 0.S no tiene miembros xS tiene algo adentroHay S No hay S Se puede observar que el crculo que representa la clase S tambin representar la clase desucomplemento,S,esdecir,sienelinteriordelcrculoserepresentaatodoslos miembros de S, entonces, su exterior representar todos los miembros que no estn en S, por lo tanto estn en S. Representacin de una proposicin categrica: Para representar una proposicin categrica en forma estndar se necesitan dos crculos intersecados. Si S y P representan los sujetos y predicados de la proposicin, entonces su representacin es: La figura representa las dos clases S y P, pero no diagrama alguna proposicin de ellas, noafirmaniniegaqueunadelasdosolasdosclasestenganmiembros.Lapartedel crculo S que esta fuera de P representa todos los S que no son P, lo cual se identificar comoelproductodelasclasesSyP(SP);lapartecomndelosdoscrculos representa la interseccin o producto de las dos clases SP;la parte del crculo P que esta fuera de S representa a todos los P que no estn en S (por lo tanto estn en S), es decir, elproductoSP,ylaparteexternaalos dos crculos representa todas las proposiciones que no estn en S ni en P, lo cual corresponde a la cuarta clase SP. Lo anterior permite representar la figura No. 3 de la siguiente manera:

PS Clases S y PSP S P SP SP

PS clases S y P Para representar las cuatro proposiciones categricas de forma estndar se sombrea o se insertaxenvariaspartesdelagrfica,acontinuacinsepresentacadaunodelos casos: 1.Todo S es P, simbolizada porSP = 0, su representacin grfica es: 2.Ningn S es P, o, Ningn P es S simbolizadas por SP = 0 y PS = 0, respectivamente, la representacin grfica en ambos casos es:

SP = 0

PS S P UNingn S es P, o, Ningn P es S 3. Algn S es P, simbolizada por SP = 0, su representacin grfica es:

4. Algn S no es P, simbolizada porSP = 0, su representacin grfica es: En el caso Algn P no es S, simbolizada porPS = 0, su representacin grfica es:

S P UAlgnSesPo Algn P es S SP = 0 ; PS = 0 ; x S P UAlgn S no es PSP= 0 x S P UAlgn P no es S PS = 0 x Lassiguientesson algunas observaciones acerca de las representaciones grficas realizadas: 1.Eldiagramasimpledelosdoscrculos,sinotrotipodemarcasoindicaciones, representa clases pero no representa ninguna proposicin. 2.Un espacio en blanco a la izquierda no significa nada (ni que una clase tiene o no tiene miembros). 3.Las proposiciones slo las representan aquellos diagramas en los que una parte ha sido sombreada o en la que se ha insertado una x. 4.LosdiagramasdeVennconstituyenunarepresentacindelasproposiciones categricasenformaestndar,enlascualeslasinclusionesyexclusiones espaciales corresponden a inclusiones y exclusiones no espaciales de clases. 5.Proporcionan un mtodo claro de notacin y se constituyen en la base del mtodo mssimpleydirectoparaprobarlavalidezdelossilogismoscategricos(Ver siguiente captulo). Captulo 44 Deduccin 1.(G v H) (J . K) 2.G/J 3.G v H2, Ad. 4.J . K1,3, M. P 5.J4, Simp. OBJETIVOS ESPECFICOS 1.Inferir una conclusin a partir de dos o ms premisas 2.Utilizar las reglas de inferencia para establecer la validez o invalidez de un argumento. OBJETIVO GENERAL Utilizar el mtodo deductivo como una forma de razonamiento mediante el cual se puede establecerun principio general a partir de casos particulares. OBJETIVOS 1. Identificar y clasificar las proposiciones categricas de un argumento 2. Diferenciar la cualidad y cantidad de una proposicin categrica en forma estndar. 3.Establecereltipodeoposicinquesepuedepresentarentredosproposiciones categricas 4. Representar grficamente proposiciones categricas de forma estndar INTRODUCCIN Razonaresunprocesoporelcualseestableceunaconclusinbasadaenunaoms proposiciones supuestas o aceptadas, llamadas premisas, las cuales constituyen el punto de partida del proceso.Si la conclusin es correcta significa que las premisas contienen la informacinnecesariaysuficienteparaestablecerlaconclusinyporlotantosepuede afirmar que el razonamiento es correcto, de lo contrario, se dir que es incorrecto. Todoslossereshumanostenemoslacapacidaddelraciocinio;unaoperacindel pensamiento, la ms elevada, en la cual se enlazan ideas y fluyen otras, permitiendo as la comunicacin con el exterior. Se ha dicho que la lgica es la ciencia que estudia la estructura o forma del pensamiento, porlocualnoesdifcilcomprenderquehayvariasformasdepensamientos,msan, existenvariasformasderazonar,deductivamenteoinductivamente.Cuandosehaceun estudiolgicodelrazonamiento,esconvenientetenerpresentealgnmodelo con el que puedancompararsealgunasotrasespeciesderazonamiento;latareadellgicoes explicar las diferencias entre un cierto modo de razonar y el modelo escogido, el modelo que habitualmente se adopta consciente o inconscientemente para comparar con l todas las otras clases de razonamiento, es la deduccin simple, en la cual se pueden identificar las premisas y una conclusin y se puede formular una regla segn la cual, la conclusin se sigue de las premisas. Enelpresentecaptuloseestudiarelmtododeductivo,estesepuededefinircomoel procesodelpensamientomedianteelcualconbaseenexperiencias,seestableceun principiogeneral,elquetendrvalideznosloparaloscasosobservados,sinotambin para todos los de su especie. El mtodo cientfico Elmtodocientficoconsisteenelconjuntodeprocedimientosparaobtenerun conocimiento que sea universal y, en principio, reproducible por cualquiera. Desde los inicios de la Modernidad,el conocimiento cientfico en las ciencias naturales y exactashaestadoligadoalaobservacinsistemticayalaformulacindedicha observacin mediante ecuaciones matemticas, la llamada matematizacin de la ciencia, que garantiza tanto su explicacin como su factibilidad. Desde el punto de vista de los positivistas, el primer paso en cualquier investigacin es la observacin,unavezqueseejecutalaobservacin,surgenunaomspreguntas, generadas por la curiosidad del observador, luego, el observador, mediante razonamiento inductivo,tratadedarunaomsrespuestaslgicasalaspreguntas,cadasolucin tentativapreliminaraestaspreguntas,sonlashiptesis.Despusdequehaenunciado unaomshiptesis,oexplicacionespropuestas,elinvestigadorelaboraunaoms predicciones,lascualesdebenserconsistentesconlasobservacionesehiptesis.Para hacer esto, el investigador usa el razonamiento deductivo. Enseguida, las predicciones son sometidasapruebassistemticasparacomprobarsuocurrenciaenelfuturo.Estas comprobacionesenconjuntorecibenelnombrede experimentacin. Cundo la hiptesis severifica,entoncesseprocesala declaracin final, que en ciencias se llama teora que soloesvlidaparauntiempoyunlugardeterminados.Silateoraseverificaracomo verdadera en todo tiempo y lugar, entonces es considerada como ley. Cosadistintaeslacienciasocial.Aqulareproducibilidadylaexplicacinsondbileso imposibles. En ellasse trata, no tanto de explicar como de comprender, en cuanto lo que sehaceesunalecturadesistemassimblicos,quesonsusceptiblesdedistintas interprepataciones, tanto desde las caractersticas mismas del cientfico, como de la poca en la cual l est haciendo su trabajo. Karl Popper, en la lgica del conocimiento cientfico, discuti con los positivistas sobre el carcterdelaobservacinyelmodeloinductivodelaciencia.Enefecto,aquellos pensaban que la ciencia comienza con la observacin y de all se hace una induccin para obtenerunaleygeneral.Popper,encambio,sealaquelacienciacomienzaconuna hiptesisquedebeintentarfalsarse(deahquesuteorasellameelfalsacionismo),es decir, refutarse. En la ciencia no se trata tanto de verificar como de que las teoras resistan los intentos de serrefutadas.Yparaellolasteorascientficasdebenserescritasenencunciados universales,quepuedenrefutarsemediantecontraejemplo,ynodeenunciados existenciales.Hagamosunailustracin;delaobservacindeloscuervos,alguienpuede afirmarqueexistencuervosnegros.Peroeseenunciadonoesfalsable.EnCambiosi alguien dice Todos los cuervos son negros y alguien encuentra un cuervo de otro color, el enunciado result falsable. Por eso hay que escribir la ciencia en enunciados universales, que sean susceptibles de ser refutados. Mientrasunateoraresistalosintentosdeserrefutada,sedicequeeselparadigma cientfico vigente. Todos los problemas de su campo de conocimiento se resuelven segn establecenlasleyesdelateora,perocuandoestaesrefutada,apareceunparadigma nuevo,quetomaelpapeldelanterior,yassucesivamente.Esosucediconlafsica tolomica,quefuerefutadaporlafsicagalileana,quefuemejoradaporlanewtoniana, que a su vez, fue rebatida, en sus fundamentos, por la fsica de la relatividad de Einstein. Una explicacin cientfica tiene la forma: un hecho se explica dentro de una ley cientfica queesunaecuacinmatemtica.As,elmovimientodeunplanetaseexplicaporla ecuacinquedescribesumovimiento.Ellaexplicaesemovimiento.Perolaexplicacin tambin sirve para la prediccin porque la ecuacin que sirve para describir tambin sirve para calcular en que lugar se encontrar ese planeta en un momento T cualquiera. Para Popper su mtodo sirve para superar el dilema entre explicar, en ciencias naturales, y comprender, en ciencias sociales. Porque explicar es comprender. Pero a diferencia de lasciencias naturales, la ciencias sociales no son susceptibles de matematizacin: nadie puede calcular los movimientos sociales ni las acciones de las personas, porque stas son voluntarias, distintas, en consecuencia,a los movimientos fsicos. La comprensin, que como se dijo, refiere a sistemas simblicos, como las culturas y las sociedades, es lo propio de las ciencias sociales. Aqu no hay una explicacin distinta a la comprensin de un sistema simblico y estas comprensiones se hacen en horizontes de comprensin que dependen del cientfico y su poca. Por eso las ciencias sociales no son neutrales, ni existe la objetividad del investigador social, porque el lee los hechos sociales desde su formacin, desde su propia personalidad y desde lo que sabe su poca. Este es el `punto distintivo central entre las ciencias naturales y las ciencias sociales. Por eso no hayunasolasociologa,sinodistintasescuelassociolgicas,niunaantropologa,sino escuelasdistintas,niunapedagogasinomltiplesescuelasdepensamientosobrela enseanza. Bibliografa: Gadamer, Hans Georg. Verdad y Mtodo. Editorial Sgueme, salamanca, 1972 Monsalve,Alfonso.LaTeoradelaArgumentacin.EditorialUniversidaddeAntioquia, 1982 Popper, Karl. La Lgica de la Investigacin Cientfica. Tecnos, Madrid, 1962 ___________. La Miseria del Historicismo. Tecnos, Madrid, 1975. Silogismos categricos Unsilogismoesunargumentodeductivoenel que se infiere una conclusin a partir de dospremisas.Unsilogismocategricoesunargumentodeductivoconsistenteentres proposicionescategricasquecontienenexactamentetrestrminos,cadaunodelos cualessloapareceendosdelasproposicionesqueloconstituyen.Dosdelas proposiciones reciben el nombre de premisas y la otra se llama conclusin. Forma estndar de un silogismo categrico Sedicequeunsilogismocategricoestenformaestndarcuandosatisfacelas siguientes condiciones: 1.Laspremisasyconclusinsonproposicionescategricasqueconservanel siguiente orden: 1.la premisa mayor se enuncia primero, luego2.la premisa menor y3.al final la conclusin. 2.Laconclusindeunsilogismodeformaestndaresunaproposicindeforma estndar que contiene dos de los tres trminos del silogismo. 3.Lapremisamayoresaquellaquecontieneeltrminomayoryesteeselque aparece como predicado de la conclusin. 4.Lapremisamenoresaquellaquecontieneeltrminomenor,queesel correspondiente al sujeto de la conclusin. 5.Los trminos mayor y menoraparecen, cada uno, en una premisa diferente. Ejemplo 1 Dadas las premisas: Ningn hroe es cobarde Algunos soldados son cobardes Y la conclusin: por lo tanto, algunos soldados no son hroes Sepuedeobservarclaramentequeelargumentodeductivoesunsilogismocategrico porqueconsisteentresproposicionescategricas(dospremisasyunaconclusin)que contienen exactamente tres trminos (hroe, cobarde y soldado). Parasabersielsilogismocategricoestenformaestndar,esnecesarioidentificarel trmino mayor, el trmino menor, premisa mayor, premisa menory analizar la conclusin. Enestecasoelpredicado de la conclusin es hroe, que constituye el trmino mayor, y porconsiguientelapremisamayores:ningnhroeescobarde;elsujetodela conclusinessoldadoqueeseltrminomenor,porlotantolapremisamenores: algunossoldadossoncobardes,adems,laconclusintienedosdelostrestrminos delsilogismo:soldadosyhroes,lostrminosmayorymenoraparecen,cadauno,en unapremisadiferente,porconsiguientesepuedeestablecerqueesteesunejemplode silogismo categrico en forma estndar, tambinaparece el trmino cobardes el cual se denomina trmino medio. Ejemplo 2 Teniendo en cuenta el siguiente argumento deductivo, identificar la conclusin, establecer la naturaleza del silogismo y verificar s esta en forma estndar. Ningn submarino nuclear es un navo comercial, as, ningn barco de guerra esunnavocomercial,puestoquetodoslossubmarinosnuclearesson barcos de guerra. Comoelargumentodeductivoestformadoportresproposicionescategricasque contienen exactamente los tres trminos: submarino nuclear, navo comercial y barcos de guerra, se puede afirmar que se trata de un silogismo categrico. La conclusin se identifica como la proposicin: ningn barco de guerra es un navo comercial. Y las premisas como las proposiciones: ningn submarino nuclear es un navo comercial ytodos los submarinos nucleares son barcos de guerra. Elpredicadodelaconclusineseltrminonavocomercial,elcualseconstituyeeneltrmino mayor y por consiguiente la premisa mayor es, ningn submarino nuclear es un navo comercial. El sujeto de la conclusin es barco de guerra, el cual se constituye en el trmino menor y por consiguiente la premisa menor es, todos los submarinos nucleares son barcos de guerra. Elanlisisanteriorpermiteafirmarqueesunsilogismocategricoenformaestndarel cual se puede escribir as: Premisa mayor: ningn submarino nuclear es un navo comercialPremisa menor:todos los submarinos nucleares son barcos de guerra Conclusin: Por lo tanto ningn barco de guerra es un navo comercial Ejemplo 3 Teniendo en cuenta el siguiente argumento deductivo, identificar la conclusin, establecer la naturaleza del silogismo y verificar si est en forma estndar. Todoslossatlitesartificialessondescubrimientoscientficosimportantes; por lo tanto, algunos descubrimientos cientficos importantes no son inventos norteamericanospuestoquealgunossatlitesartificialesnoson norteamericanos. El argumento deductivo est formado por tres proposiciones categricas que contienen los trminos: satlites artificiales, descubrimientos cientficos, inventos norteamericanos, por lo tanto se puede afirmar que se trata de un silogismo categrico. Las premisas son: Todoslossatlitesartificialessondescubrimientoscientficosimportantes,algunos satlites artificiales no son norteamericanos. La conclusin es: Algunos descubrimientos cientficos importantes no son inventos norteamericanos. El predicado de la conclusin es el trmino invento norteamericano, el cual se constituye en el trmino mayory por consiguiente, la premisa mayor es, algunos satlites artificiales no son norteamericanos. Elsujetodelaconclusinesdescubrimientoscientficos,elcualseconstituyeenel trmino menor y por consiguiente la premisa menor es, todos los satlites artificiales son descubrimientos cientficos. Teniendo en cuenta el anlisis anterior, se puede afirmar que es un silogismo categrico en forma estndar, el cual se puede escribir as. Premisa mayor: algunos satlites artificiales no son norteamericanos Premisa menor: todos los satlites artificiales son descubrimientos cientficos Conclusin:algunosdescubrimientoscientficosimportantesnosoninventos norteamericanos. --------------------------------------------Nemotecnia ---------------------------------- Forma Estndar de un silogismo categrico Sigue el siguiente protocolo y logrars el objetivo....no olvides divertirte: 1.Identifica los tres trminos 2.Separa las premisas de la conclusin 3.Analiza la conclusin obteniendo de esta el Sujeto y el Predicado 4.Identifica la premisa Mayor, y la premisa menor 5.Identifica el trmino medio. Las premisas Primera premisa: Solo esta premisa contiene el trmino mayor Segunda premisa: Solo esta premisa contiene el trmino menor Existe un trmino medio que aparece en las dos premisas La conclusin: -Contiene 2 de los 3 trminos de la siguiente manera: Paraidentificarcualeslapremisamayorbuscaelpredicadodela conclusin y observa en cual de las dos premisas aparece este. Trmino MayorPredicado de la conclusin Trmino menorSujeto de la conclusin ------- Argumento deductivo Un argumento en el cual las premisas involucradas proporcionan bases concluyentes para la verdad de la conclusin, se llama argumento deductivo. Consisteendeducirsuconclusinapartirdesuspremisas,medianteunaseriede argumentos elementales, cada uno de los cuales se conoce y acepta como vlido Argumento Vlido Un argumento que sigue una regla bien establecida se dice que es vlido; losargumentos se juzgan como aceptables o inaceptables en la medida en que sean vlidos. Validez o invalidez de un argumento Paraprobarlavalidezoinvalidezdeunargumento,seutilizaunmtodobasadoenel hecho de que stas son caractersticas puramente formales de los argumentos, es decir, quedosargumentosquetienenexactamentelamismaforma;sonvlidosoinvlidos, independientemente de las diferencias del tema que traten. Especficamente,paraprobarlainvalidezdeunargumento,bastaconformularotro argumentoquetengaexactamentelamismaformaytengapremisasverdaderasy conclusin falsa Validez de un argumento En teora, las tablas de verdad son apropiadas para probar la validez de un argumento de tipogeneral,peroenlaprcticasoncadavezmsdifcilesdemanejaramedidaque aumentaelnmerodeenunciadosoproposicionesqueconformandichoargumento.Un mtodo ms eficiente para probar la validez de un argumento extenso consiste en deducir suconclusinapartirdesuspremisas,medianteunaseriedeargumentoselementales, cadaunodeloscualesseconoceyaceptacomovlido,esteprocesoeselquese denomina mtodo deductivo. Prueba formal de validez Sedefineunapruebaformalqueunargumentodeterminadoesvlido,comouna sucesindeenunciados,cadaunodeloscuales,oesunapremisadelrazonamiento dado,o,sededucedelosenunciadosprecedentesmedianteunargumentovlido elemental, de tal forma que el ltimo enunciado o proposicin constituye la conclusin del argumento cuya validez se quiere demostrar. Se define un argumento vlido elemental, como un argumento que se puede interpretar comoelprocesodesustituirenunciadosoproposicionesenlugardevariables enunciativas. Prueba de invalidez Es obvio que, para un argumento invlido no existe una prueba formal de validez. Pero, si no se puede hallar una prueba de validez para un argumento, eso no quiere decir que sea invlido y que no se pueda construir dicha prueba. Acontinuacinsedescribeunmtodoqueestmuyrelacionadoconeldelastablasde verdad, pero que es mucho ms breve, en el cual se prueba la invalidez de un argumento hallandounnicocasoenelqueseasignanvaloresdeverdadalasvariablesdel enunciadodetalformaquelaspremisasseanverdaderasylaconclusinfalsa,loque lleva a concluir que la forma argumental es invlida.

Ejemplo 1 Probar la invalidez del siguiente argumento por el mtodo de asignar valores de verdad. 1.f r 2.p r 3. f p Paraprobarqueesteargumentoesinvlidosintenerqueconstruirunatabladeverdad completa,esnecesariotenerclaroqueuncondicionalesfalsosolamentesisu antecedenteesverdaderoysuconsecuentefalso,utilizandoestehechoseprocedea asignar valores de verdad a las proposiciones de la conclusin, es decir, si F es verdadero yPesfalso,entonces,laconclusinesfalsa.SialaproposicinRseleasignaelvalor verdadero,ambaspremisasseconviertenenverdaderas,porqueuncondicionales verdadero siempre que su consecuente sea verdadero. Lo anterior permite afirmar que si a lasproposicionesFyRselesasignaunvalorverdaderoyalaproposicinPunvalor falso,entonceselargumentotendrpremisasverdaderasyunaconclusinfalsa,conlo cual queda probado que el argumento es invlido. Con este mtodo lo que realmente se hace es construir un rengln de la tabla de verdad del argumento indicado, la relacin se puede observar ms claramente cuando los valores de verdad se escribenhorizontalmente, de la siguiente forma: -------- Nemotecnia------ PREMISAS VERDADERASCONCLUSIN FALSA frp f rp rf p verdadero verdadero falsoverdaderoverdaderofalso Argumento Invalido Un argumento se prueba invlido mostrando que por lo menos en un rengln de su tabla de verdad todas las premisas son verdaderaspero su conclusin es falsa. Ejemplo 2. SiSandraesinteligenteyestudiamucho,sacarbuenascalificacionesyaprobarel curso. Si Sandra estudia mucho pero no es inteligente, sus esfuerzos sern apreciados y sisusesfuerzossonapreciados,aprobarelcurso.SiSandraesinteligente,entonces estudia mucho.Luego, Sandra aprobar el curso. Tomando el siguiente lenguaje simblico I: Sandra es inteligente S: Sandra estudia mucho G: Sandra sacar buenas calificaciones