Lógica de proposiciones, deducción natural

Raúl Monroy

Impertinencias con prop Falta de estructura motiva uso de meta-

teoremas deducción: P Q sii {P} Q

regla T:

contraposición:

refutación:

Lógica de proposiciones: sistema de demostración

¿Cómo construir un cálculo para razonar sobre proposiciones?

Queremos un conjunto de reglas de prueba que nos permitan inferir fórmulas de otras fórmulas

Recuerda que: Una lógica contiene 3

ingredientes: 1. Un lenguaje formal;2. Un sistema de demostración; y3. Una semántica del lenguaje

Logica de proposiciones, sintaxis

El alfabeto (de nuestra versión) de la lógica proposicional consiste de los siguientes caracteres:

a,…,z; A,…,Z, 0,…,9,(,),{,},[,],,,,, símbolos no lógicos: constante:

una secuencia de caracteres que inicia con una minúscula o un número

Un solo tipo de constante, constante objeto, que nombra un elemento específico del dominio de discurso

Sintaxis (continúa) P es una oración sii:

es una constante objeto, o es una oración compuesta:

P, P1 P2, P1 P2, P1 P2, P1 P2

donde P1 y P22 son oraciones Precedencia de operadores:

, , , , Un operando se asocia con aquel operador

que posee precedencia superior. En caso de empate, el operador se asocia a la derecha

Deducción natural 0 axiomas Conjunto de reglas de inferencia Una demostración de P es una secuencia de

oraciones terminada con P. Cada oración en la secuencia es o una hipótesis,

o un axioma, o puede derivarse a partir de oraciones previas, vía una regla de inferencia.

Nota: Si usamos una hipótesis temporal (cf cajas), ésta sólo puede usarse si ocurre previamente al punto de aplicación y no aparece dentro de una caja que haya sido cerrada

Reglas de inferencia Para cada conectivo, hay una o

más reglas para introducirlo y una o más para eliminarlo

Y lógico, Introducción:

Eliminación:

P Q

P Q

P Q

P

P Q

Q

i

e1e2

Ejemplos Demuestre:

p q | q p (p q) r, s t | q s

Doble Negación

Introducción:

Eliminación:

PP

P

P

i

e

Ejemplos Demuestre:

p, ¬¬(q r) | ¬¬p r

Implicación material,

Eliminación:

Introducción: ?

P P QQ

e

Ejemplos Demuestre:

p (q r), p, q | r ¬p q, ¬q | p p (q r), p, ¬r | ¬q

Nota: en las dos últimas use modus tollens ¬Q P Q

¬PMT

Implicación material, Introducción:

Ejemplos:

¬q ¬p | p ¬¬q

p | p

| (q r) ((¬q ¬p) (p r))

PQ

P Qi

Actividad en colaboración Demostrar:

p q r | p q r p q r | p q r p q | p r q r

O-lógico Introducción

EliminaciónPR

QRP Q

Re

P QP i1

P Q

Qi2

Ejemplos Demuestre:

p q | q p q r | p q p r (p q) r | p (q r) p (q r) | (p q) (p r)

Nota: Resolver el último ejercicio requiere el uso de la regla copy

Las reglas para negación, Eliminación de

Eliminación de ¬

Introducción de ¬P

¬P¬i

PP e

P i

Ejemplos Demostrar:

¬p q | p q p q, p ¬q | ¬p p ¬q r, ¬r, p | q

Reglas auxiliares Modus tollens

Introducción de doble-negación

Reductio ad absurdum

Tertium non datur (law of the excluded middle)

Lógica de proposiciones: Semántica

Semántica: La semántica de una lógica es una definición de la veracidad de las oraciones en un lenguaje de la lógica en términos de una interpretación

Interpretación Una interpretación, I, para un

lenguaje, L, es una definición de cada uno de los símbolos no lógicos de L en términos de algún dominio, v.gr.:

S={b,p,q}; D={⊺, }; I(b)= , I(p)= , I(q)= ⊺

Modelo y consecuencia lógica Una interpretación, I, para un lenguaje,

L, satisface o es modelo de una oración, P, si P es verdadera en I. En símbolos,

Sean P y una oración y un conjunto de oraciones, P es una consecuencia lógica de sii cada interpretación que es modelo de todas las oraciones en también es un modelo de P. En símbolos,

Semántica de la lógica de proposiciones La semántica de la lógica proposicional es

una definición de la veracidad de una oración con respecto a una interpretación:

I(P) = ⊺ sii I(P) = I(P1 P2) = ⊺ sii I(P1) = ⊺ y I(P2) = ⊺ I(P1 P2) = ⊺ sii I(P1) = ⊺ o I(P2) = ⊺ I(P1 P2) = ⊺ sii I(P1) = o I(P2) = ⊺ I(P1 P2) = ⊺ sii I(P1) es equivalente a I(P2)

P es universalmente válida, o tautológica, si es verdadera en cualquier interpretacion:

Si por el contrario P es falsa en toda interpretación, decimos que es una contradiccion

Teoría Una teoría es un conjunto de oraciones

el cual está cerrado bajo consecuencia lógica.

Una teoría, , es completa sii, para cada oración, P, P o bien P es miembro de

Una teoría, , es inconsistente sii, para alguna oración P, y

Enfoque sintáctico versus enfoque semántico

Satisfacción e inferencia están relacionadas por dos propiedades:

Corrección:

Calidad de cobertura: Corrección y calidad de cobertura

no son conceptos cuyo sentido es absoluto en Lógica

Conclusiones Algunos cálculos son menos

estructurados que otros Cálculos estructurados permiten la

construcción de procedimientos de demostración, algunos de los cuales a su vez permiten construir un procedimiento de decisión

Lógica proposicional es decidible