lógica borrosa

Fundamentos de la Lógica borrosa

Fundamentos• Lógica borrosa: Basada en el concepto de

conjunto borroso• 1965: Lotfi A. Zadeh, profesor de Universidad

Berkeley, California• Conjuntos borrosos: Son aquellos en que la

transición entre la pertenencia y la no pertenencia es gradual y no abrupta. Cada elemento tiene un grado de pertenencia a un conjunto borroso definido a través de la función de pertenencia

Fundamentos

• Principio de incompatibilidad (Zadeh, 1973): “Informalmente, la esencia de este principio

está en que cuando la complejidad de un sistema aumenta, nuestra capacidad para efectuar precisas y significativas sentencias sobre su comportamiento disminuye hasta que se alcanza un determinado umbral, a partir del cual precisión y significación (relevancia) se convierten en mutuamente excluyentes”.

Lógica borrosa vs. Lógica tradicional1

10 40 Temperatura

1

Temperatura

Alta20 30

MediaBaja

10 40Alta

20 30MediaBaja

¡Mi nieta tiene fiebre!

Función de pertenencia

Función de pertenencia

Soporte

2

exp)(b

axx

Funciones de pertenencia

caso otroen 0

si /)(1

si /)(1

)(

axaax

axaxa

xA

Triangular

Trapezoidal

caso otroen 0

si /)(1

si 1

si /)(1

)(

bxbbx

bxa

axaxa

xA

Funciones de pertenencia

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2trapmf gbellmf trimf gaussmf gauss2mf smf

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1zmf psigmf dsigmf pimf sigmf

Matlab: >> mfdemo

Función de pertenencia singleton

Singleton o punto borroso

Sea A una función de pertenencia, si sop(A)={x0} entonces A esun singleton y se usa la

notación

0

xA

.

Dos conjuntos en un universo.

Solape

Intersección

Unión

XxxBxA

xBxAxBA

,

,min

XxxBxA

xBxAxBA

,

,max

T(x, y)=T(y, x) Simetricidad

T(x, T(y ,z))=T(T(x, y), z) Asociatividad

Monotonicidad

Identidad unitaria

Lógica de conexión.

Lógica de conexión y o norma triangular T

Satisface las siguientes propiedades:

'')','(),( yytambiényxxsiyxTyxT

1,0,)1,( xxxT

Lógica de conexión y.

MIN

PANDA

LANDA

Lógica de conexión y.

Mínimo MIN(a, b) = min{a, b}

Lukasiewicz LANDA(a, b) = max{a+b-1, 0}

Probabilística PANDA(a, b) = ab

Weak

Hamacher

Dubois y Prade

Yager

formaotra de 0

1},{ si },{),(

bamaxbaminbaWEAK

0 ,)))(1((

),(

abba

abbaHANDA

1) (0, ,},,{

),( bamax

abbaDAND

0},)1()1(,1{1),(/1

pbaminbaYANDppp

p

Intervalos de la lógica de conexión y.

MIN

WEAK

Lógica de conexión o.

Máximo MAX(a, b) = max{a, b}

Lukasiewicz LOR(a, b) = min{a+b, 1}

Probabilística POR(a, b) = a+b - ab

Strong

Hamacher

Yager

formaotra de 1

0},{ si },{),(

baminbamaxbaSTRONG

0 ,))1(1(

)2(),(

ab

abbabaHOR

0},,1{),( pbaminbaYORp pp

p

Lógica de conexión o.

Lógica de conexión o o co-norma T

LOR

MAX

POR

Intervalos de la lógica de conexión o.

STRONG

MAX

Variable lingüística.

Variable lingüística: Variable cuyos valores son palabras o sentencias pertenecientes al lenguaje natural o artificial, la cual se caracteriza por el siguiente cuádruple:{ X, T(X), U, G }

Nombre de la variable

lingüística

Conjunto de términos (valores

lingüísticos) definidos en X

Dominio físico real sobre el que están definidos los

valores que se aplican a la variable lingüística

Función semántica que da un “significado”

(interpretación) a una variable lingüística en

función de los elementos a los que x representa

Ejemplo de variable lingüística.

•V= Velocidad•T(V)= {Baja, Moderada, Alta}•U=[0, 150] km/h•G:

{ X, T(X), U, G }

57 ; 0 para 0

57 0 para 150

02-1

vv

vv

Baja

501 ; 0 para 0

150 0 para 150

752-1

vv

vv

Moderada

150 ; 75 para 0

150 75 para 150

1502-1

vv

vv

Alta

Términos lingüísticos modificados.

Término lingüístico modificado: Concentración o dilatación de funciones de pertenencia como consecuencia de utilizar un modificador o adjetivo: muy, algo, etc.

X

kA

k xxA /)(

Aplicándose la dilatación cuando k < 1 y la

concentración cuando k > 1

Ejemplos de términos lingüísticos modificados

.

•T(V)= {Baja, Moderada, Alta}•T(V)= {Mas Baja, Menos Moderada, No Alta}

57 ; 0 para 0

57 0 para 150

02-1

0.5

vv

vv

BajaMas

501 ; 0 para 0

150 0 para 150

752-1

2

vv

vv

ModeradaMenos

150 ; 75 para 1

150 75 para 150

1502-1-1

vv

vv

AltaNo

Razonamiento basado en un conjunto de reglas

.

Sistema borroso: Sistema inteligente que, a partir de un conjunto de funciones de pertenencia definidas en determinado universo de discurso y determinadas reglas definidas por un experto realiza una inferencia a partir de valores de las variables de entrada

Si A es BAJA y B es ALTA Entonces C(A,B) es MEDIO

Partes de una regla.

Si A es BAJA y B es ALTA Entonces C(A,B) es MEDIO

Premisa ConclusiónVariables de entrada

Variable de salida

Términos lingüísticos

Operador lógico borroso

(Normas)

Generación del conocimiento.

Regla 1: Si caudal en el punto 1 es medio y caudal en el punto 2 es medio entonces nivel en el punto 3 es medioRegla 2: Si caudal en el punto 1 es medio y caudal en el punto 2 es alto entonces nivel en el punto 3 es alto

Bajo Medio Alto

C1 Caudal en el punto 1

Bajo Medio Alto


.49

.56

.2

Variables de entrada

Grados de pertenencia



Bajo Medio Alto


Bajo Medio Alto


.49

.56

.2

Regla

Antecedente 1

Antecedente 2

(A_1A_2)

Regla 1

0.49 0.2 0.2

Regla 2

0.49 0.56 0.49

Norma T: MIN

Grado de veracidad de la regla

Borrosificador



ReglaGrado de

veracidad de la regla

Regla 1

0.2

Regla 2

0.49

Bajo Medio Alto

Nivel en el punto 3

.49.2

Regla 1

Regla 2

Implicación o inferencia

Implicación o inferencia: Se aplica cuando existen reglas con el mismo consecuente

http://omarsanchez.net/Documents/Introduccion.pdf



Bajo Medio Alto

Nivel en el punto 3

.49.2

Regla 1

Regla 2

l

iiU

l

iiUi

u

uu

uC

1

1*

)(

)(

3


.49.2

DesborrosificadorCentro de área o Centro promedio

Pasos para diseñar un conjunto de reglas

.

Definir las variables de entradas y salidas

Definir el universo de discurso

Determinar el número de funciones de

pertenencia

Distribuir las funciones de pertenencia

Definir el método de borrosificación

Definir el método de inferencia

Definir el método de desborrosificación

Examinar la conducta del modelo y la superficie de salida: Redefinir reglas Ejemplo

http://omarsanchez.net/heuristico.aspx